Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les limites et la continuité (201-NYA)

Q: Quelle est la différence entre la limite d'une fonction en un point et sa valeur en ce point ?

La limite décrit ce que fait la fonction autour du point, la valeur est ce qu'elle vaut au point. Les deux peuvent exister et être différentes, et la limite peut très bien exister là où la fonction n'est pas définie. C'est exactement cette distinction que teste toute question sur la continuité.

Q: Comment lever une forme indéterminée 0 sur 0 ?

On transforme l'écriture, on ne calcule pas. Avec des polynômes, on factorise et on simplifie le facteur qui s'annule. Avec une racine carrée, on multiplie par l'expression conjuguée. Avec des fractions imbriquées, on réduit au même dénominateur. Une indétermination n'est pas une réponse, c'est l'ordre de changer de forme.

Q: Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ?

Trois conditions, dans cet ordre, et toutes les trois écrites sur la copie : la fonction est définie au point, la limite existe en ce point, et ces deux nombres sont égaux. Pour une fonction définie par morceaux, on calcule les deux limites unilatérales au point de raccordement, puis on les égalise à la valeur imposée.

Q: Quand utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?

Dès que l'énoncé demande de montrer qu'une équation admet une solution sur un intervalle. On vérifie la continuité sur l'intervalle fermé, on calcule les images des deux bornes, on constate le changement de signe, puis on conclut à l'existence. L'unicité ne vient jamais de ce théorème : elle se justifie à part, par la stricte monotonie.

Q: Pourquoi une racine carrée peut-elle donner deux asymptotes horizontales ?

Parce que la racine de x au carré vaut la valeur absolue de x : cela fait x en plus l'infini, mais moins x en moins l'infini. Le signe change avec le côté, donc les deux limites à l'infini peuvent être opposées. C'est le piège classique des fonctions qui portent une racine au numérateur ou au dénominateur.

Q: Une fonction peut-elle être continue sur un intervalle et discontinue sur un autre qui contient le même point ?

Oui, et c'est exactement ce que teste le premier examen. À une borne fermée, on n'exige que la continuité d'un seul côté, celui où se trouve l'intervalle. Un saut situé à la borne droite d'un intervalle ne l'empêche donc pas d'être continue sur cet intervalle, alors que le même saut au milieu d'un intervalle plus large la rend discontinue, et qu'un intervalle ouvert en ce point la rend continue de nouveau. La question posée n'est jamais si la fonction est continue, mais si elle est continue sur cet intervalle-là.

Cette fiche ne reprend pas le cours de limites : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la méthode à choisir selon la FORME de l'indétermination, et la rédaction que le correcteur du premier examen de 201-NYA attend mot pour mot.

Elle donne d'abord les tableaux des opérations, somme, produit, quotient, puissance et comparaison des degrés, chaque ligne suivie d'un exemple chiffré, puis les pièges du premier examen. Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et pour les élèves de Terminale des lycées français de Montréal qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

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Le fil du chapitre

Une limite décrit ce que fait la fonction AUTOUR du point, jamais au point. Presque toutes les pertes de points de ce chapitre viennent de confondre $\lim_{x\to a}f(x)$ et $f(a)$ , ou de traiter $\infty$ comme un nombre.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 17 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Variation inverse et proportionnalitéSecondaire 3
2La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4
3Calculs algébriquesSecondaire 5
4Les fonctions définies par partiesSecondaire 5
5La fonction racine carréeSecondaire 5
6La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5
7Les fonctions quadratiquesSecondaire 5
8Les paramètres des fonctionsSecondaire 5
9Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5
10Fonctions et domaine

Notions couvertes

Limite d'une fonction
Limites unilatérales
Formes indéterminées
Limite à l'infini
Asymptotes verticales et horizontales
Continuité en un point
Fonction définie par morceaux
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème du sandwich
Limites trigonométriques remarquables
Définition epsilon-delta d'une limite
Continuité sur un intervalle

L'essentiel

Trois questions différentes en un seul point

• $\lim_{x\to a^{-}}f(x)$ et $\lim_{x\to a^{+}}f(x)$ : ce vers quoi la fonction se dirige en venant de gauche, puis de droite.
• $\lim_{x\to a}f(x)$ : elle existe SI ET SEULEMENT SI les deux unilatérales existent et sont égales.
• $f(a)$ : la valeur au point. Elle peut être différente des deux, ou ne pas exister du tout, sans que cela change quoi que ce soit à la limite.
• Un examen pose souvent les trois pour le même $a$ sur un graphique : trois réponses, pas une.

Trois lectures d'un même point

x=2

: la courbe monte vers

3

à gauche, redescend depuis

2

à droite, et le point plein donne

f(2)=4

. Les cercles vides ne sont pas des valeurs de

f

, ce sont des directions.

Retenir la formule qui résume le chapitre : la limite regarde le voisinage, la continuité compare le voisinage au point.

Les sept formes indéterminées, et celles qui n'en sont pas

• Indéterminées : $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty-\infty$ , $0\cdot\infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ .
• PAS indéterminées : $\frac{5}{0^{+}}=+\infty$ , $\frac{0}{5}=0$ , $\frac{5}{\infty}=0$ , $\infty+\infty=+\infty$ .
• Une indétermination n'est pas un résultat : c'est le constat que la forme ne décide pas, donc qu'il faut transformer l'écriture.

Écrire « forme indéterminée $\frac{0}{0}$ » avant de transformer rapporte souvent un demi-point : cela prouve que vous savez pourquoi vous factorisez.

Continuité en $a$ : trois conditions, dans cet ordre

• 1. $f(a)$ existe (le point appartient au domaine).
• 2. $\lim_{x\to a}f(x)$ existe (les deux unilatérales coïncident).
• 3. $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ .
• Si 2 est vraie mais 3 fausse : discontinuité par TROU, réparable en redéfinissant $f(a)$ .
• Si les deux unilatérales existent et diffèrent : discontinuité par SAUT, irréparable.
• Si une unilatérale est infinie : discontinuité INFINIE, il y a une asymptote verticale.

Trou en

x=1

: la limite existe mais diffère de

f(1)

, on répare en redéfinissant le point. Saut en

x=5

2{,}5

à gauche,

4{,}5

à droite. Infinie en

x=8

: une asymptote verticale.

Continuité SUR UN INTERVALLE : la borne change la réponse

• À l'INTÉRIEUR de l'intervalle : continuité ordinaire, les trois conditions en chaque point.
• À une borne FERMÉE : seulement la continuité UNILATÉRALE, du côté où vit l'intervalle. En $b$ pour $[a,b]$ , c'est la limite à gauche qui doit valoir $f(b)$ ; la droite ne regarde pas.
• À une borne OUVERTE : rien du tout, le point n'appartient pas à l'intervalle.
• Conséquence : une même fonction, un même point de rupture, quatre réponses. Si $f$ saute en $c$ tout en gardant $\lim_{x\to c^{-}}f(x)=f(c)$ , alors $f$ est continue sur $[a,c]$ , DISCONTINUE sur $[c,b]$ , continue sur $]c,b[$ , et discontinue sur $[a,b]$ où $c$ est intérieur.

Le même point

x=2

donne quatre verdicts : continue sur

[0\,;2]

où la limite à gauche vaut bien

f(2)=2

, discontinue sur

[2\,;5]

et sur

[0\,;5]

, continue de nouveau sur

]2\,;5]

qui exclut le point.

L'examen ne demande jamais « $f$ est-elle continue ? » mais « $f$ est-elle continue SUR ... ? ». Lire les crochets fait partie de la question : c'est le seul endroit du chapitre où la réponse en dépend.

Les limites à reconnaître d'un coup d'œil

• $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ et $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}$ , en RADIANS, et seulement quand l'argument du sinus est exactement le dénominateur.
• Fonction rationnelle en $\pm\infty$ : degré du haut plus petit, la limite est $0$ ; degrés égaux, c'est le rapport des coefficients dominants; degré du haut plus grand d'exactement un, il y a une asymptote oblique obtenue par division.
• $\sqrt{x^{2}}=|x|$ , donc $x$ en $+\infty$ mais $-x$ en $-\infty$ .

\frac{\sin x}{x}

n'est pas définie en

0

, mais la courbe arrive en

(0\,;1)

des deux côtés : la limite vaut

1

(en radians). Il n'y a qu'un trou, pas d'asymptote.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Somme : la limite de $f+g$

On substitue, on lit les deux limites, on cherche la ligne. Une seule ligne est rouge, et c'est celle qui revient à tous les examens.

$\lim f$	$\lim g$	$\lim (f+g)$
$L$	$L'$	$L+L'$
Exemple : $\lim_{x\to 4}\left(\sqrt{x}+x\right)=2+4=6$
$L$	$+\infty$	$+\infty$
Exemple : $\lim_{x\to 0^{+}}\left(5+\frac{1}{x}\right)=5+\infty=+\infty$
$L$	$-\infty$	$-\infty$
Exemple : $\lim_{x\to 0^{+}}\left(2-\frac{1}{x}\right)=2-\infty=-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(x^{3}+7x\right)=+\infty$ , sans calcul : 2 quantités qui explosent vers le haut ne peuvent pas se compenser.
$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$
Exemple : $\lim_{x\to-\infty}\left(x^{3}+x\right)=-\infty$
$+\infty$	$-\infty$	$\infty-\infty$ forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^{2}-4}\right)=\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{4}$ , après mise au même dénominateur. Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to+\infty}\left(x^{2}-x\right)=+\infty$ : même forme $\infty-\infty$ , et cette fois le résultat est infini. Ce qu'il faut faire : Trois gestes selon l'écriture : mettre au même dénominateur s'il y a des fractions, multiplier par le conjugué s'il y a une racine carrée, mettre le terme dominant en facteur entre polynômes.

Les deux calculs de la ligne rouge ont la même forme et deux réponses sans rapport, $\frac{1}{4}$ et $+\infty$ . C'est la définition d'une indétermination : la forme ne décide de rien, elle ordonne de réécrire.

Produit : la limite de $f\times g$

La règle des signes s'applique comme sur des nombres. Le seul cas indéterminé est celui où un facteur tend vers $0$ pendant que l'autre explose : $0$ n'a pas de signe, il ne peut donc pas arbitrer.

$\lim f$	$\lim g$	$\lim (f\times g)$
$L$	$L'$	$L\times L'$
Exemple : $\lim_{x\to 4}\sqrt{x}\,(x-1)=2\times 3=6$
$L>0$	$+\infty$	$+\infty$
Exemple : $\lim_{x\to 0^{+}}(x+3)\cdot\frac{1}{x^{2}}=3\times(+\infty)=+\infty$
$L<0$	$+\infty$	$-\infty$
Exemple : $\lim_{x\to 0^{+}}(x-3)\cdot\frac{1}{x^{2}}=(-3)\times(+\infty)=-\infty$
$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\pm\infty$ , règle des signes
Exemple : $\lim_{x\to 0^{+}}\left(-\frac{1}{x}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}}=(-\infty)\times(+\infty)=-\infty$
$0$	$\pm\infty$	$0\cdot\infty$ forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to 2}(x-2)\cdot\frac{1}{x^{2}-4}=\lim_{x\to 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}$ Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to 2^{+}}(x-2)\cdot\frac{1}{(x-2)^{2}}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{1}{x-2}=+\infty$ : même forme $0\cdot\infty$ , résultat infini. Ce qu'il faut faire : Écrire le produit comme un SEUL quotient, puis simplifier le facteur commun. C'est toujours possible, et cela ramène la ligne à celle du tableau des quotients.

Sur les lignes 2 et 3, c'est le SIGNE de la limite finie qui décide, pas celui de la fonction avant le passage à la limite. Une fonction négative sur tout un intervalle peut très bien avoir une limite positive.

Quotient : la limite de $\frac{f}{g}$

Deux lignes seulement sont indéterminées. Les lignes vraiment dangereuses n'en sont pas : ce sont celles où le dénominateur tend vers $0$ , où tout se joue sur le signe de ce zéro, et où se décident les asymptotes verticales.

$\lim f$	$\lim g$	$\lim \frac{f}{g}$
$L$	$L'\neq 0$	$\frac{L}{L'}$
Exemple : $\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+3}{2x+6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
$L$	$\pm\infty$	$0$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\frac{9}{2x+1}=0$ : c'est cette ligne qui donne l'asymptote horizontale $y=0$ .
$\pm\infty$	$L'\neq 0$	$\pm\infty$ , règle des signes
Exemple : $\lim_{x\to 3^{+}}\frac{\frac{1}{x-3}}{x-8}=\frac{+\infty}{-5}=-\infty$
$L\neq 0$	$0^{+}$ ou $0^{-}$	$\pm\infty$ , règle des signes
Exemple : $\lim_{x\to 3^{+}}\frac{x+1}{x-3}=+\infty$ car $x-3$ vaut $0^{+}$ , alors que $\lim_{x\to 3^{-}}\frac{x+1}{x-3}=-\infty$ car $x-3$ vaut $0^{-}$ . La limite en $3$ n'existe donc pas, et pourtant $x=3$ est bien une asymptote verticale.
$L>0$	$0^{+}$ des deux côtés	$+\infty$ des deux côtés
Exemple : $\lim_{x\to 3}\frac{x+1}{(x-3)^{2}}=+\infty$ : un carré au dénominateur reste positif des deux côtés, donc les deux limites unilatérales sont égales et la limite existe, infinie.
$0$	$0$	$\frac{0}{0}$ forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{1}{4}$ , après multiplication par le conjugué $\sqrt{x}+2$ . Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}=\lim_{x\to 4}\left(\sqrt{x}+2\right)=4$ : même forme $\frac{0}{0}$ , résultat $4$ au lieu de $\frac{1}{4}$ , pour un simple échange du haut et du bas. Ce qu'il faut faire : Factoriser par $(x-a)$ en haut et en bas s'il y a des polynômes, multiplier par le conjugué s'il y a une racine, mettre au même dénominateur s'il y a des fractions imbriquées.
$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\frac{\infty}{\infty}$ forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}-1}{5x^{2}+x}=\frac{2}{5}$ , après mise en facteur de $x^{2}$ en haut et en bas. Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{3}-1}{5x^{2}+x}=+\infty$ : même forme $\frac{\infty}{\infty}$ , et un seul degré d'écart change tout. Ce qu'il faut faire : Mettre en facteur la plus grande puissance du dénominateur, ou comparer les degrés avec le tableau plus bas.

La case $\frac{L}{0}$ n'existe pas dans ce tableau : tant que le zéro n'est pas écrit $0^{+}$ ou $0^{-}$ , la ligne 4 n'est pas remplie et la limite n'est pas calculée. Le signe se lit sur un tableau de signes du dénominateur, jamais sur le tracé de la calculatrice.

Puissance : la limite de $f^{\,g}$

Le tableau des trois dernières indéterminations, celles qu'on oublie parce qu'elles ne ressemblent pas à des fractions. Elles ont toutes la même particularité : la base tend vers $1$ ou vers $0$ , ce qui semble tout décider, et ne décide rien.

$\lim f$ (base)	$\lim g$ (exposant)	$\lim f^{\,g}$
$L>0$	$L'$	$L^{L'}$
Exemple : $\lim_{x\to 9}x^{\frac{1}{2}}=9^{\frac{1}{2}}=3$
$L>1$	$+\infty$	$+\infty$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)^{x}=+\infty$ : une base qui reste au dessus de $2$ élevée à une puissance qui explose.
$0<L<1$	$+\infty$	$0$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=0$ : dès $x=10$ , la valeur est déjà inférieure à $0{,}001$ .
$1$	$\pm\infty$	$1^{\infty}$ forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}\approx 2{,}718$ . C'est la définition même du nombre $\mathrm{e}$ . Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}389$ : même forme $1^{\infty}$ , et le seul $2$ ajouté change la réponse du tout au tout. Ce qu'il faut faire : Poser $y=f^{\,g}$ , passer au logarithme, $\ln y=g\ln f$ , calculer la limite de $\ln y$ , puis remonter par l'exponentielle.
$+\infty$	$0$	$\infty^{0}$ forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}=1$ : en $x=1000$ , la valeur vaut déjà environ $1{,}0069$ . Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to+\infty}\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}\approx 2{,}718$ : même forme $\infty^{0}$ , résultat différent. Ce qu'il faut faire : Même geste : logarithme, limite de $g\ln f$ , puis exponentielle.
$0^{+}$	$0$	$0^{0}$ forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to 0^{+}}x^{x}=1$ : en $x=0{,}001$ , la valeur vaut environ $0{,}993$ . Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to 0^{+}}\left(\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}\right)^{x}=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368$ : même forme $0^{0}$ , résultat différent. Ce qu'il faut faire : Même geste : logarithme, limite de $g\ln f$ , puis exponentielle.

Les trois lignes rouges se ramènent toutes à $0\cdot\infty$ par le logarithme, et c'est la règle de L'Hospital qui conclut, quand elle a été vue. Au premier examen, l'attendu est souvent plus modeste : reconnaître que la forme est indéterminée et ne pas répondre $1$ par réflexe.

Quotient de polynômes en $\pm\infty$ : la limite se lit sur les degrés

Ce tableau est un raccourci du cas $\frac{\infty}{\infty}$ , et il donne en même temps l'asymptote. Sur une copie, il justifie la réponse mais ne remplace pas la mise en facteur, qui est ce que le correcteur veut voir.

Degrés comparés	Ce qui se passe	Limite en $\pm\infty$
haut $<$ bas	le dénominateur écrase le numérateur	$0$ , asymptote horizontale $y=0$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x^{2}-5}=0$ : degré $1$ contre degré $2$ .
haut $=$ bas	les deux termes dominants s'équilibrent	rapport des coefficients dominants
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^{2}-x}{2x^{2}+7}=\frac{4}{2}=2$ , donc asymptote horizontale $y=2$ .
haut $=$ bas $+\,1$	division euclidienne	$\pm\infty$ , avec une asymptote OBLIQUE
Exemple : $\frac{x^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}\to+\infty$ , et la droite $y=x$ est asymptote oblique puisque $\frac{1}{x}\to 0$ .
haut $\geq$ bas $+\,2$	rien à récupérer	$\pm\infty$ , aucune asymptote
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}+1}{x}=+\infty$ : le quotient se comporte comme $x^{2}$ , il n'y a ni asymptote horizontale ni oblique.
avec une racine carrée, en $-\infty$	$\sqrt{x^{2}}=\|x\|=-x$	le signe s'inverse
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=1$ mais $\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=-1$ : deux asymptotes horizontales pour une seule courbe, $y=1$ et $y=-1$ .

La dernière ligne est le piège le plus rentable de tout le chapitre : dès qu'une racine carrée sort d'un $x^{2}$ , il faut écrire $\sqrt{x^{2}}=|x|$ et traiter les deux infinis séparément.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre la limite et la valeur de la fonction

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(2)$ n'existe pas, donc $\lim_{x\to 2}f(x)$ n'existe pas. »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ n'est pas définie en $2$ , mais $\lim_{x\to 2}f(x)=4$ : la limite ne regarde jamais le point lui-même. »

Des deux côtés, la courbe se dirige vers la hauteur

4

\lim_{x\to 2}f(x)=4

, même si le point

(2\,;4)

manque. Conclure « pas de

f(2)

, donc pas de limite » est faux.

Pourquoi : C'est l'erreur la plus fréquente du premier examen, et elle rend fausse toute la suite : la dérivée est précisément la limite d'un quotient qui n'existe PAS au point.

2. Traiter $\infty$ comme un nombre

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{\infty}{\infty}=1$ », ou « $\infty-\infty=0$ ».

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{\infty}{\infty}$ est une forme indéterminée : je mets le terme dominant en facteur, puis je conclus. »

Les trois quotients sont de la forme

\frac{\infty}{\infty}

et partent vers trois destins différents :

2

+\infty

0

. La forme ne décide rien, c'est le terme dominant qui tranche.

Pourquoi : $\infty$ est un comportement, pas une valeur. $\frac{2x}{x}\to 2$ , $\frac{x^{2}}{x}\to+\infty$ et $\frac{x}{x^{2}}\to 0$ ont toutes la même forme et trois réponses différentes : la forme seule ne décide rien.

3. Simplifier un facteur sans dire qu'il est non nul

1 point de rigueur

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$

Ce qu'il faut écrire

$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ pour $x\neq 2$ , donc $\lim_{x\to 2}=4$ .

Pourquoi : Les deux fonctions ne sont pas égales : elles coïncident partout SAUF en $2$ . C'est justement parce qu'on travaille sur $x\neq 2$ que la simplification est permise, et c'est cette phrase que le correcteur cherche.

4. La racine carrée en $-\infty$

2 points, et l'asymptote manquante

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=1$

Ce qu'il faut écrire

En $-\infty$ , $\sqrt{x^{2}+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}$ , donc la limite vaut $-1$ .

-\infty

la courbe de

\sqrt{x^{2}+1}

suit

y=-x

, pas

y=x

: divisée par

x

, qui est négatif, elle tend donc vers

-1

. La racine reste positive des deux côtés, c'est le signe de

x

qui change.

Pourquoi : Cette fonction a DEUX asymptotes horizontales, $y=1$ et $y=-1$ . Un examen qui demande « toutes les asymptotes » sanctionne la moitié de la réponse.

5. Le symbole $\lim$ qui disparaît en cours de calcul

0,5 à 1 point par copie

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\lim_{x\to 3}(x^{2}-9)=x^{2}-9=0$

Ce qu'il faut écrire

$\lim_{x\to 3}(x^{2}-9)=3^{2}-9=0$ , le symbole $\lim$ étant écrit à CHAQUE ligne tant que la substitution n'a pas été faite.

Pourquoi : Sans le symbole, vous écrivez une égalité entre une fonction et un nombre, ce qui est faux. Le correcteur le relève systématiquement, et c'est le point le plus facile à ne pas perdre.

6. Conclure à l'unicité avec le théorème des valeurs intermédiaires

1 point, et la question suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Par le TVI, il existe UNE SEULE solution $c$ telle que $f(c)=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Par le TVI, il existe AU MOINS un $c$ tel que $f(c)=0$ . De plus $f$ est strictement croissante sur $[a,b]$ , donc ce $c$ est unique. »

Continue sur

[a,b]

, négative en

a

, positive en

b

: le TVI garantit un zéro, et cette courbe en a TROIS (en rouge). L'unicité demande en plus la stricte monotonie.

Pourquoi : Le TVI donne l'existence, jamais l'unicité. L'unicité vient de la stricte monotonie, qui se justifie par le signe de la dérivée : c'est une deuxième phrase, séparée.

7. Appliquer $\frac{\sin x}{x}\to 1$ à un argument qui n'est pas le dénominateur

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}=1$

Ce qu'il faut écrire

$\frac{\sin 3x}{x}=3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}\to 3\cdot 1=3$ .

Les deux courbes ont un trou en

x=0

, mais pas à la même hauteur :

\frac{\sin 3x}{x}

arrive en

3

, pas en

1

. La limite de référence exige le même

3x

en haut et en bas.

Pourquoi : La limite de référence porte sur $\frac{\sin u}{u}$ avec le MÊME $u$ en haut et en bas. On fabrique ce $u$ en multipliant et divisant par le coefficient, ce qui laisse le facteur devant.

8. Déclarer une asymptote verticale dès que le dénominateur s'annule

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x=2$ annule le dénominateur de $\frac{x^{2}-4}{x-2}$ , donc $x=2$ est une asymptote verticale. »

Ce qu'il faut écrire

« Le numérateur s'annule aussi en $2$ ; après simplification la limite vaut $4$ : il y a un TROU en $x=2$ , pas d'asymptote. »

Le dénominateur de

\frac{x^{2}-4}{x-2}

s'annule en

x=2

et pourtant aucune branche ne part à l'infini : le numérateur s'annule au même point, le facteur

(x-2)

se simplifie et il ne reste qu'un trou en

(2\,;4)

Pourquoi : L'asymptote verticale demande une limite INFINIE, pas un dénominateur nul. Vérifier d'abord si le numérateur s'annule au même point : c'est ce qui distingue le trou de l'asymptote.

9. Écrire un $\infty$ sans signe quand la forme est $\frac{k}{0}$

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+4}{x-2}=\infty$ . »

Ce qu'il faut écrire

« À gauche $x-2<0$ et le numérateur vaut $8>0$ , donc la limite vaut $-\infty$ ; à droite elle vaut $+\infty$ . Les deux diffèrent : $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+4}{x-2}$ N'EXISTE PAS, et $x=2$ est tout de même une asymptote verticale. »

Forme

\frac{8}{0}

: la branche de gauche plonge vers

-\infty

, celle de droite monte vers

+\infty

. Asymptote verticale, oui ; limite en

2

, non. Un «

\infty

» sans signe ne dit rien de cela.

Pourquoi : La forme $\frac{k}{0}$ avec $k\neq 0$ n'est PAS une indétermination : il n'y a rien à factoriser, et chercher un facteur commun fait perdre cinq minutes. Mais elle n'est pas non plus une réponse : elle oblige à étudier le SIGNE de chaque côté, et les deux côtés peuvent se contredire. À comparer avec $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+4}{(x-2)^{2}}=+\infty$ , où le carré rend le dénominateur positif des deux côtés et où la limite existe, au sens infini. Enfin le symbole $\infty$ sans signe ne désigne rien en calcul différentiel : on écrit toujours $+\infty$ ou $-\infty$ .

10. Distribuer la racine sur une somme

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sqrt{4x^{2}-5x}=2x-\sqrt{5x}$ , puis un conjugué pour s'en sortir.

Ce qu'il faut écrire

$\sqrt{4x^{2}-5x}=|x|\sqrt{4-\frac{5}{x}}$ : on met $x^{2}$ en facteur sous la racine, et en $-\infty$ , $|x|=-x$ .

Le triangle rectangle de côtés

3

4

a une hypoténuse de

\sqrt{9+16}=5

, plus courte que le chemin

3+4=7

: la racine d'une somme n'est pas la somme des racines.

Pourquoi : La racine ne se distribue ni sur une somme ni sur une différence : $\sqrt{9+16}=5$ et non $3+4$ . Et sans différence de racines, le conjugué ne simplifie rien, il ajoute une ligne de calcul où l'erreur se cache.

11. Chercher des valeurs précises quand on demande le saut

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les limites unilatérales sont égales pour $k=-1$ ou $k=3$ , donc il y a un saut pour $k=-1$ ou $k=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les limites unilatérales sont égales pour $k=-1$ et $k=3$ seulement, donc elles diffèrent, et il y a un saut, pour tout $k\in\mathbb{R}\setminus\{-1\,;3\}$ . »

Pourquoi : Un saut demande des limites unilatérales DIFFÉRENTES : c'est le complémentaire des valeurs qui font exister la limite. Et parmi ces dernières, celle où $f(a)$ diffère de la limite donne une discontinuité par déplacement, pas une continuité.

12. Garder le sens de l'encadrement en multipliant par un négatif

les points de la justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $x\to 0^{-}$ : $-x\le x\cos\frac{1}{x}\le x$ .

Ce qu'il faut écrire

Pour $x<0$ , multiplier par $x$ retourne les inégalités : $x\le x\cos\frac{1}{x}\le -x$ , et les deux bornes tendent vers 0.

Pour

x<0

, c'est

y=-x

qui passe AU-DESSUS :

x\le x\cos\frac{1}{x}\le -x

. Les deux bornes tendent vers

0

, et la courbe, coincée entre elles, aussi.

Pourquoi : L'encadrement faux se trahit tout seul : en $x=-0{,}1$ , il affirme $0{,}1\le\dots\le -0{,}1$ . La limite reste 0, donc l'erreur ne se voit pas à la réponse, mais le théorème du sandwich exige un encadrement vrai, et c'est lui que le correcteur lit.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode pour lever l'indétermination

La méthode ne dépend pas du chapitre : elle dépend de la FORME de l'expression, qu'on lit avant de calculer quoi que ce soit.

Si forme $\frac{0}{0}$ avec des polynômes → factoriser en haut et en bas, le facteur commun est TOUJOURS $(x-a)$ , puis simplifier

Exemple : $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-x-2}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+1)=3$

Sur un polynôme de degré 3 ou plus, la division synthétique par $(x-a)$ va plus vite que la factorisation à vue.
Si forme $\frac{0}{0}$ avec une racine carrée → multiplier haut et bas par l'expression conjuguée, ce qui transforme la racine en différence de carrés

Exemple : $\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}\to\frac{1}{4}$
Si forme $\frac{0}{0}$ avec des fractions imbriquées → mettre au même dénominateur le numérateur composé, puis simplifier l'étage

Exemple : $\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{x-3}=\frac{3-x}{3x(x-3)}=-\frac{1}{3x}\to-\frac{1}{9}$
Si forme $\frac{\infty}{\infty}$ , fonction rationnelle → comparer les degrés, ou mettre en facteur la plus grande puissance présente au dénominateur

Exemple : $\frac{3x^{2}-1}{5x^{2}+x}\to\frac{3}{5}$
Si forme $\infty-\infty$ → mettre le terme dominant en facteur, ou multiplier par le conjugué s'il y a une racine

Exemple : $\sqrt{x^{2}+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}\to\frac{1}{2}$ en $+\infty$
Si forme $\frac{0}{0}$ avec du sinus ou du cosinus → fabriquer $\frac{\sin u}{u}$ en multipliant et divisant par ce qu'il faut, ou encadrer et appliquer le théorème du sandwich

Exemple : $\frac{1-\cos x}{x}=\frac{1-\cos x}{x^{2}}\cdot x\to\frac{1}{2}\cdot 0=0$

Si aucune branche ne s'applique, c'est le signal qu'il n'y a PAS d'indétermination : substituez, la réponse est immédiate. En 201-NYA, la règle de L'Hospital n'est pas encore disponible et son usage anticipé est refusé.

Quel théorème pour quelle question

Les questions de la partie B se ressemblent toutes. Le verbe de l'énoncé désigne le théorème.

Si l'énoncé dit « montrer qu'il existe une solution » ou « que l'équation admet une racine » → théorème des valeurs intermédiaires, avec ses deux hypothèses vérifiées explicitement

Exemple : montrer que $x^{3}+x-1=0$ a une racine dans $[0,1]$
Si l'énoncé ajoute « une unique solution » → TVI pour l'existence, PUIS stricte monotonie pour l'unicité, en deux phrases séparées
Si l'énoncé donne un encadrement, ou une expression bornée multipliée par une expression qui tend vers $0$ → théorème du sandwich

Exemple : $-x^{2}\le x^{2}\sin\frac{1}{x}\le x^{2}$ , donc la limite vaut $0$ en $0$
Si l'énoncé demande de « déterminer $a$ pour que $f$ soit continue » → les trois conditions de continuité au point de raccord, transformées en équations

Exemple : voir l'exercice type décortiqué plus bas
Si l'énoncé demande de justifier qu'un maximum est ATTEINT → théorème des bornes atteintes, qui exige une fonction continue sur un intervalle FERMÉ et BORNÉ

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Le théorème des valeurs intermédiaires, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande de montrer qu'une équation admet une solution sur un intervalle, sans la calculer.

1 Nommer la fonction et l'intervalle : « Posons $f(x)=x^{3}+x-1$ sur $[0,1]$ . »
2 Justifier la continuité par sa RAISON, jamais par « c'est évident » : « $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $[0,1]$ . »
3 Calculer les deux valeurs aux bornes et les écrire : « $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ . »
4 Constater que la cible est comprise entre les deux : « $0$ est compris entre $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ . »
5 Conclure avec la phrase type, en citant le théorème par son nom.

Phrase de conclusion

$f$ étant continue sur $[0,1]$ et $0$ étant compris entre $f(0)$ et $f(1)$ , le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'il existe au moins un réel $c\in\,]0,1[$ tel que $f(c)=0$ .

Le piège : Sauter l'étape 2. Une copie qui calcule $f(0)$ et $f(1)$ puis conclut directement perd le point de la continuité, qui est l'hypothèse la plus importante du théorème.

Barème : En général 1 point pour la continuité justifiée, 1 point pour les valeurs aux bornes et l'encadrement, 1 point pour la conclusion nommant le théorème.

Déterminer un paramètre pour rendre une fonction continue

Quand l'utiliser : Fonction définie par morceaux, avec un ou deux paramètres à trouver.

1 Repérer les seuls points où la continuité peut échouer : les points de RACCORD. Ailleurs, dire pourquoi chaque morceau est continu (polynôme, quotient dont le dénominateur ne s'annule pas, racine sur son domaine).
2 Écrire la limite à gauche du point de raccord, en levant l'indétermination si le morceau de gauche en présente une.
3 Écrire la limite à droite, puis la valeur $f(a)$ en faisant attention au morceau qui contient VRAIMENT le point (regarder si l'inégalité est stricte ou large).
4 Poser l'égalité des trois quantités, ce qui donne une équation par point de raccord.
5 Résoudre le système, puis vérifier en substituant les valeurs trouvées.

Phrase de conclusion

Pour $a=3$ et $b=-3$ , les limites à gauche et à droite coïncident avec la valeur de la fonction en chaque point de raccord : $f$ est donc continue sur $\mathbb{R}$ .

Le piège : Chercher la valeur $f(a)$ dans le mauvais morceau. Un $x<2$ d'un côté et un $2\le x$ de l'autre veulent dire que $f(2)$ appartient au SECOND morceau, celui qui contient l'inégalité large.

Barème : Une équation juste par point de raccord, puis la résolution. La conclusion rédigée vaut le dernier point.

Prouver une limite par la définition formelle epsilon-delta

Quand l'utiliser : Question de rigueur, presque toujours sur une fonction affine ou quadratique simple, en fin d'examen.

1 Écrire ce qu'il faut prouver : « pour tout $\varepsilon>0$ , il existe $\delta>0$ tel que $0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$ . »
2 Travailler AU BROUILLON en partant de $|f(x)-L|$ et le majorer par une expression en $|x-a|$ .
3 Isoler $|x-a|$ pour lire le $\delta$ à choisir, par exemple $\delta=\frac{\varepsilon}{3}$ .
4 Rédiger dans le SENS DIRECT : « Soit $\varepsilon>0$ . Posons $\delta=\dots$ Si $0<|x-a|<\delta$ , alors $|f(x)-L|=\dots<\varepsilon$ . »
5 Conclure que la définition est satisfaite, donc que la limite vaut $L$ .

Phrase de conclusion

Pour tout $\varepsilon>0$ , le choix $\delta=\frac{\varepsilon}{3}$ convient, donc $\lim_{x\to a}f(x)=L$ par définition.

Le piège : Rendre le brouillon comme démonstration. La recherche du $\delta$ remonte de la conclusion vers l'hypothèse; la preuve, elle, doit descendre de l'hypothèse vers la conclusion. Le correcteur note la version rédigée dans le bon sens.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Faire dire la réponse à la calculatrice avant de la rendre

Sur TI, entrer la fonction dans Y1, puis TABLE avec un pas de $0{,}001$ autour du point : la colonne de valeurs converge vers la limite annoncée. Sur Casio, le menu TABLE avec Start et Step joue le même rôle.

Une limite annoncée à $4$ mais une table qui affiche $3{,}998$ puis $3{,}999$ confirme; une table qui affiche $7{,}9$ dit que la factorisation est fausse.
Tester les deux côtés, pas un seul

Évaluer en $a-0{,}001$ ET en $a+0{,}001$ . Deux valeurs qui s'éloignent l'une de l'autre signalent un saut ou une asymptote, donc une limite qui n'existe pas.

C'est la vérification qui rattrape le $\sqrt{x^{2}}=|x|$ oublié : en $-10^{6}$ la calculatrice affiche $-1$ , pas $1$ .
Remplacer mentalement par les termes dominants

En $\pm\infty$ , ne garder que le terme de plus haut degré en haut et en bas : le rapport obtenu doit coïncider avec votre résultat.

$\frac{3x^{2}-1}{5x^{2}+x}$ se lit $\frac{3x^{2}}{5x^{2}}=\frac{3}{5}$ en trois secondes.
Vérifier le mode RADIAN avant toute limite trigonométrique

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ n'est vraie qu'en radians. En degrés, la calculatrice affiche $0{,}0174\ldots$ , ce qui fait douter d'un calcul pourtant juste.

Le nombre $0{,}01745$ à l'écran est le signal : c'est $\frac{\pi}{180}$ , la calculatrice est en degrés.
Relire la question posée

« La limite existe-t-elle ? » se répond par oui ou non avec justification, « calculer la limite » par un nombre, « la fonction est-elle continue ? » par les trois conditions. Une réponse juste à la mauvaise question ne rapporte rien.

Sur un graphique, un $f(a)$ demandé et une limite calculée à la place : la réponse est correcte, la note est zéro.

L'exercice type décortiqué

Raccordement à deux paramètres, comme au premier examen

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\frac{x^{2}-x-2}{x-2}$ si $x<2$ , $f(x)=ax+b$ si $2\le x<5$ , et $f(x)=2x+2$ si $x\ge 5$ .

Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1

Sur $]-\infty,2[$ , $f$ est un quotient de polynômes dont le dénominateur ne s'annule pas; sur $]2,5[$ et $]5,+\infty[$ , $f$ est affine. Les seuls points à examiner sont $x=2$ et $x=5$ .

Pourquoi

On commence par dire OÙ le problème peut se poser. Sans cette phrase, la copie a l'air de traiter deux points au hasard, et le correcteur enlève le point de justification.

Étape 2

$\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{x^{2}-x-2}{x-2}$ est de la forme $\frac{0}{0}$ ; or $x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$ , donc pour $x\neq 2$ l'expression vaut $x+1$ et la limite vaut $3$ .

Pourquoi

Forme indéterminée annoncée, factorisation, mention du $x\neq 2$ qui autorise la simplification : les trois gestes du chapitre en une ligne. C'est ici que se gagne le point de rigueur.

Étape 3

L'inégalité $2\le x$ est LARGE, donc $f(2)=2a+b$ , et comme le morceau du milieu est affine, $\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=2a+b$ également. La continuité en $2$ impose $2a+b=3$ .

Pourquoi

Le piège du raccordement est de chercher $f(2)$ dans le morceau de gauche. Regarder laquelle des deux inégalités est large règle la question une fois pour toutes.

Étape 4

En $5$ : $\lim_{x\to 5^{-}}f(x)=5a+b$ , tandis que $f(5)=2(5)+2=12$ puisque $x\ge 5$ relève du troisième morceau. La continuité en $5$ impose $5a+b=12$ .

Pourquoi

Même lecture qu'à l'étape précédente, mais l'inégalité large a changé de côté : la valeur au point vient maintenant du morceau de DROITE.

Étape 5

Le système $\begin{cases}2a+b=3\\5a+b=12\end{cases}$ donne, par soustraction, $3a=9$ donc $a=3$ , puis $b=3-2(3)=-3$ .

Pourquoi

Soustraire les deux équations élimine $b$ immédiatement : inutile d'isoler et de substituer, le système est déjà prêt pour l'élimination.

Étape 6

Vérification : avec $a=3$ et $b=-3$ , le morceau du milieu est $3x-3$ . En $2$ : $3(2)-3=3$ , qui est bien la limite à gauche. En $5$ : $3(5)-3=12$ , qui est bien $f(5)$ .

Pourquoi

Deux substitutions de dix secondes. Elles attrapent l'erreur de signe la plus courante du chapitre, celle qui donne $b=3$ au lieu de $b=-3$ .

Conclusion rédigée

Pour $a=3$ et $b=-3$ , les limites à gauche et à droite coïncident avec la valeur de $f$ en $2$ et en $5$ : $f$ est continue en ces deux points, donc continue sur $\mathbb{R}$ tout entier.

L'erreur classique sur cet exercice : Substituer $x=2$ dans le premier morceau, obtenir $\frac{0}{0}$ et en conclure que $f$ ne peut pas être continue. La forme $\frac{0}{0}$ ne dit rien : elle demande une factorisation, après quoi la limite existe et vaut $3$ .

À savoir par cœur

• $\lim_{x\to a}f(x)$ existe si et seulement si les deux limites unilatérales existent et sont ÉGALES; $f(a)$ n'intervient pas.
• Continuité en $a$ : $f(a)$ existe, la limite existe, et les deux sont égales. Trois conditions, jamais deux.
• $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ et $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}$ , en radians, avec le même argument en haut et en bas.
• $\sqrt{x^{2}}=|x|$ : en $-\infty$ cela vaut $-x$ , d'où la possibilité de deux asymptotes horizontales.
• Fonction rationnelle en $\pm\infty$ : degrés comparés. Plus petit en haut, limite $0$ ; degrés égaux, rapport des coefficients dominants; un degré de plus, asymptote oblique.
• Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'EXISTENCE. L'unicité vient de la stricte monotonie, dans une phrase séparée.
• Une indétermination n'est pas une réponse : c'est l'ordre de transformer l'écriture.
• Continuité sur un intervalle : à une borne FERMÉE, seule la continuité unilatérale du côté de l'intervalle est exigée. Un saut placé à la borne droite d'un intervalle ne l'empêche pas d'y être continue.
• Discontinuité NON ESSENTIELLE, la limite existe : par trou si $f(a)$ n'existe pas, par déplacement si $f(a)$ diffère de la limite. ESSENTIELLE, la limite n'existe pas : par saut ou infinie.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la limite d'une fonction en un point et sa valeur en ce point ?

La limite décrit ce que fait la fonction autour du point, la valeur est ce qu'elle vaut au point. Les deux peuvent exister et être différentes, et la limite peut très bien exister là où la fonction n'est pas définie. C'est exactement cette distinction que teste toute question sur la continuité.

Comment lever une forme indéterminée 0 sur 0 ?

On transforme l'écriture, on ne calcule pas. Avec des polynômes, on factorise et on simplifie le facteur qui s'annule. Avec une racine carrée, on multiplie par l'expression conjuguée. Avec des fractions imbriquées, on réduit au même dénominateur. Une indétermination n'est pas une réponse, c'est l'ordre de changer de forme.

Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ?

Trois conditions, dans cet ordre, et toutes les trois écrites sur la copie : la fonction est définie au point, la limite existe en ce point, et ces deux nombres sont égaux. Pour une fonction définie par morceaux, on calcule les deux limites unilatérales au point de raccordement, puis on les égalise à la valeur imposée.

Quand utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?

Dès que l'énoncé demande de montrer qu'une équation admet une solution sur un intervalle. On vérifie la continuité sur l'intervalle fermé, on calcule les images des deux bornes, on constate le changement de signe, puis on conclut à l'existence. L'unicité ne vient jamais de ce théorème : elle se justifie à part, par la stricte monotonie.

Pourquoi une racine carrée peut-elle donner deux asymptotes horizontales ?

Parce que la racine de x au carré vaut la valeur absolue de x : cela fait x en plus l'infini, mais moins x en moins l'infini. Le signe change avec le côté, donc les deux limites à l'infini peuvent être opposées. C'est le piège classique des fonctions qui portent une racine au numérateur ou au dénominateur.

Une fonction peut-elle être continue sur un intervalle et discontinue sur un autre qui contient le même point ?

Oui, et c'est exactement ce que teste le premier examen. À une borne fermée, on n'exige que la continuité d'un seul côté, celui où se trouve l'intervalle. Un saut situé à la borne droite d'un intervalle ne l'empêche donc pas d'être continue sur cet intervalle, alors que le même saut au milieu d'un intervalle plus large la rend discontinue, et qu'un intervalle ouvert en ce point la rend continue de nouveau. La question posée n'est jamais si la fonction est continue, mais si elle est continue sur cet intervalle-là.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Limites et continuité

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

17 exercices corrigés
170 points
225 minutes

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La dérivée et ses règles Les suites numériquesCalcul intégral (201-NYB)

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/nya-limites-continuite. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Examen pratique 1 : limites et continuité Compléments québécois au lycée Tutorat au cégep

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Fiche de révision : les limites et la continuité (201-NYA)

L'essentiel

Trois questions différentes en un seul point

Les sept formes indéterminées, et celles qui n'en sont pas

Continuité en aaa : trois conditions, dans cet ordre

Continuité SUR UN INTERVALLE : la borne change la réponse

Les limites à reconnaître d'un coup d'œil

Les règles de calcul en tableau

Somme : la limite de f+gf+gf+g

Produit : la limite de f×gf\times gf×g

Quotient : la limite de fg\frac{f}{g}gf​

Puissance : la limite de f gf^{\,g}fg

Quotient de polynômes en ±∞\pm\infty±∞ : la limite se lit sur les degrés

Les pièges qui coûtent des points

1. Confondre la limite et la valeur de la fonction

2. Traiter ∞\infty∞ comme un nombre

3. Simplifier un facteur sans dire qu'il est non nul

4. La racine carrée en −∞-\infty−∞

5. Le symbole lim⁡\limlim qui disparaît en cours de calcul

6. Conclure à l'unicité avec le théorème des valeurs intermédiaires

7. Appliquer sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x}\to 1xsinx​→1 à un argument qui n'est pas le dénominateur

8. Déclarer une asymptote verticale dès que le dénominateur s'annule

9. Écrire un ∞\infty∞ sans signe quand la forme est k0\frac{k}{0}0k​

10. Distribuer la racine sur une somme

11. Chercher des valeurs précises quand on demande le saut

12. Garder le sens de l'encadrement en multipliant par un négatif

Quelle méthode choisir

Quelle méthode pour lever l'indétermination

Quel théorème pour quelle question

La rédaction attendue

Le théorème des valeurs intermédiaires, rédigé pour le correcteur

Déterminer un paramètre pour rendre une fonction continue

Prouver une limite par la définition formelle epsilon-delta

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Raccordement à deux paramètres, comme au premier examen

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la limite d'une fonction en un point et sa valeur en ce point ?

Comment lever une forme indéterminée 0 sur 0 ?

Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ?

Quand utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?

Pourquoi une racine carrée peut-elle donner deux asymptotes horizontales ?

Une fonction peut-elle être continue sur un intervalle et discontinue sur un autre qui contient le même point ?

Exercices corrigés : Limites et continuité

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Voir aussi

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Continuité en $a$ : trois conditions, dans cet ordre

Somme : la limite de $f+g$

Produit : la limite de $f\times g$

Quotient : la limite de $\frac{f}{g}$

Puissance : la limite de $f^{\,g}$

Quotient de polynômes en $\pm\infty$ : la limite se lit sur les degrés

2. Traiter $\infty$ comme un nombre

4. La racine carrée en $-\infty$

5. Le symbole $\lim$ qui disparaît en cours de calcul

7. Appliquer $\frac{\sin x}{x}\to 1$ à un argument qui n'est pas le dénominateur

9. Écrire un $\infty$ sans signe quand la forme est $\frac{k}{0}$