Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les fonctions et leur domaine

Cette fiche ne reprend pas le cours sur les fonctions : vous l'avez déjà, et il date souvent du secondaire. Elle traite ce qui décide de la note plus tard dans la session, quand un domaine mal établi rend fausses les limites, les asymptotes et les réponses d'optimisation qui tombent hors de l'intervalle admissible.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal qui commencent le calcul différentiel 201-NYA, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Le domaine n'est pas une formalité de début de copie : c'est lui qui décide si une limite a un sens, si une composée existe, et si la réponse d'un problème est recevable. Chaque perte de points de ce chapitre vient d'une condition oubliée, jamais d'un calcul raté.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (11 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
2Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
3Fonction de degré 1 : variations directe et partielleSecondaire 3
4Variation inverse et proportionnalitéSecondaire 3
5La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4 SN4
6Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
7La fonction racine carréeSecondaire 5 SN5
8La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
9Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5
10Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5
11Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5

Notions couvertes

Domaine de définition
Image d'une fonction
Valeur absolue
Fonction définie par morceaux
Composition de fonctions
Opérations sur les fonctions
Transformations du graphe
Fonction réciproque
Injectivité
Cercle trigonométrique
Angle de référence
Domaine physique d'un modèle

L'essentiel

Trois interdits, et trois seulement

• Un DÉNOMINATEUR ne s'annule pas.
• Un RADICANDE d'indice pair est positif ou nul.
• L'ARGUMENT d'un logarithme est strictement positif.
• Tout le reste de $\mathbb{R}$ est permis. Un numérateur qui s'annule, un carré, un sinus n'interdisent rien.
• Quand une racine passe au DÉNOMINATEUR, les deux premiers interdits se cumulent et l'inégalité devient STRICTE.

Même expression

9-x^{2}

, deux domaines :

\sqrt{9-x^{2}}

atteint

0

\pm 3

et les inclut, tandis que

\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}

explose en ces deux points et les exclut.

Écrire les conditions AVANT de les résoudre, une par ligne, rapporte le point de méthode même si l'intersection finale se trompe.

Le domaine des opérations, ligne par ligne

• $\text{dom}(f+g)=\text{dom}(f\cdot g)=\text{dom}\,f\cap\text{dom}\,g$ : les deux fonctions doivent exister.
• $\text{dom}\left(\frac{f}{g}\right)=\left(\text{dom}\,f\cap\text{dom}\,g\right)\setminus\left\{x:g(x)=0\right\}$ : on retire les zéros du DÉNOMINATEUR.
• $\text{dom}(f\circ g)=\left\{x\in\text{dom}\,g\;:\;g(x)\in\text{dom}\,f\right\}$ : deux conditions, dans cet ordre.
• $\text{dom}\,f^{-1}=\text{im}\,f$ et $\text{im}\,f^{-1}=\text{dom}\,f$ : les deux ensembles s'échangent.

Le domaine d'une composée ne se lit JAMAIS sur l'expression simplifiée : il se construit à partir des deux fonctions de départ.

Les transformations, et le sens de chacune

• Dans $y=a\,f\left(b(x-c)\right)+d$ : ce qui touche $x$ agit à l'envers, ce qui est à l'extérieur agit dans le sens naturel.
• $c>0$ décale vers la DROITE; $b>1$ COMPRIME horizontalement; $a>1$ étire verticalement; $a<0$ réfléchit selon l'axe des abscisses.
• Un point $(p,q)$ du graphe de $f$ devient $\left(\frac{p}{b}+c,\;aq+d\right)$ .
• Un coefficient $a$ NÉGATIF renverse l'intervalle image : $\left[0,5\right]$ devient $\left[-7,3\right]$ sous $q\mapsto-2q+3$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier que la racine au dénominateur exige une inégalité stricte

1 point, et les asymptotes verticales manquées ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\text{dom}\left(\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\right)=\left[-3,3\right]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $9-x^{2}>0$ , donc $\text{dom}=\left]-3,3\right[$ . »

Pourquoi : En $\pm 3$ le radicande vaut $0$ , valeur acceptable sous une racine mais interdite au dénominateur. Ces deux points sont précisément ceux où la fonction part à l'infini : les exclure du domaine, c'est déjà annoncer deux asymptotes verticales.

2. Croire que le domaine d'une composée est celui de la fonction intérieure

2 points, et une asymptote verticale non détectée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $g(x)=\sqrt{x}$ a pour domaine $\left[0,+\infty\right[$ , donc $f\circ g$ aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut aussi $g(x)\in\text{dom}\,f$ : ici $\sqrt{x}\neq 2$ , donc $x\neq 4$ , et $\text{dom}(f\circ g)=\left[0,4\right[\cup\left]4,+\infty\right[$ . »

\frac{1}{\sqrt{x}-2}

existe pour tout

x\ge 0

SAUF en

x=4

, où la courbe part à l'infini des deux côtés : le trou vient de la fonction extérieure, pas de la racine.

Pourquoi : La méthode en deux temps n'est pas une précaution de rédaction : elle trouve un point d'exclusion que rien dans le domaine de $g$ n'annonçait. C'est le seul moyen sûr de ne pas le manquer.

3. Écrire que la racine d'un carré vaut la variable

2 points ici, et la moitié d'une question de limites plus tard

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sqrt{x^{2}}=x$

Ce qu'il faut écrire

$\sqrt{x^{2}}=|x|$ , donc $x$ si $x\ge 0$ et $-x$ si $x<0$

Pourquoi : $\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2$ , et non $-2$ . C'est cette égalité qui fait apparaître DEUX asymptotes horizontales sur $\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$ , et son oubli est l'erreur la plus coûteuse du chapitre suivant.

4. Retirer les zéros du numérateur au lieu de ceux du dénominateur

1 point, plus les valeurs interdites réelles qui restent non signalées

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\frac{x+3}{x^{2}-4}$ n'est pas définie en $x=-3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ n'est pas définie en $x=\pm 2$ , où le dénominateur s'annule; en $x=-3$ elle vaut $0$ . »

Pourquoi : Un numérateur nul donne une valeur parfaitement légitime, un ZÉRO de la fonction. Confondre racine et valeur interdite mène ensuite à chercher une asymptote là où la courbe traverse simplement l'axe.

5. Décaler dans le mauvais sens

1 point, et toute la lecture du graphe qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x-1)$ décale la courbe de $1$ vers la gauche. »

Ce qu'il faut écrire

« $f(x-1)$ décale la courbe de $1$ vers la DROITE : la nouvelle courbe atteint en $x=1$ ce que $f$ atteignait en $0$ . »

Pourquoi : Le test qui tranche en cinq secondes : quelle abscisse annule la parenthèse ? Pour $f(x-1)$ , c'est $x=1$ , donc le point qui était en $0$ se retrouve en $1$ , c'est-à-dire à droite. Ce test remplace avantageusement une règle apprise par cœur, qui s'inverse une fois sur deux sous la pression de l'examen.

6. Garder l'ordre des bornes quand le coefficient est négatif

1 point, et un intervalle qui ne veut rien dire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\text{im}\,f=\left[0,5\right]$ , donc $\text{im}\left(-2f+3\right)=\left[3,-7\right]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La transformation $q\mapsto-2q+3$ est DÉCROISSANTE, elle échange les bornes : $\text{im}=\left[-7,3\right]$ . »

Pourquoi : Un intervalle s'écrit toujours du plus petit au plus grand. Le vrai contenu de la question est ailleurs : une transformation décroissante envoie la borne inférieure sur la borne supérieure, et il faut le dire, pas seulement réordonner les nombres à la fin.

7. Croire que toute fonction a une réciproque

toute la question, souvent 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $g(x)=x^{2}-4x$ , j'isole $x$ , donc $g^{-1}$ existe. »

Ce qu'il faut écrire

« $g(0)=g(4)=0$ : $g$ n'est pas injective sur $\mathbb{R}$ . Sur $\left[2,+\infty\right[$ , $g^{-1}(x)=2+\sqrt{x+4}$ ; sur $\left]-\infty,2\right]$ , $g^{-1}(x)=2-\sqrt{x+4}$ . »

Pourquoi : Isoler $x$ produit un $\pm$ devant la racine, donc deux valeurs, donc aucune fonction. Le signe se choisit d'après la RESTRICTION retenue, jamais par habitude : c'est le même raisonnement qui oblige à définir $\arcsin$ sur $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ .

8. Prendre l'expression algébrique pour la fonction du problème

toute la question d'optimisation si la réponse tombe hors du domaine

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V(x)=x(30-2x)(40-2x)$ est un polynôme, donc son domaine est $\mathbb{R}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine physiquement admissible est $\left]0,15\right[$ , car il faut $x>0$ , $30-2x>0$ et $40-2x>0$ . »

Pourquoi : $V(16)=-256$ : la formule reste calculable et donne un volume négatif. La physique est portée par le DOMAINE, pas par la formule, et la contrainte la plus restrictive l'emporte sur les autres.

9. Retirer des valeurs d'un dénominateur qui ne s'annule jamais

1 point, et une asymptote verticale inventée au chapitre suivant

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\frac{x-4}{3x^{2}-4x+7}$ est une fraction, donc il faut exclure les racines du dénominateur. »

Ce qu'il faut écrire

« Le discriminant de $3x^{2}-4x+7$ vaut $16-84=-68<0$ : le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de son coefficient dominant, positif. Donc $\text{dom}\,f=\mathbb{R}$ . »

Pourquoi : La présence d'une fraction n'est pas en soi une restriction : la restriction vient de l'annulation EFFECTIVE du dénominateur, qu'il faut donc vérifier au lieu de la supposer. Le réflexe d'écrire « valeurs interdites » avant d'avoir calculé le discriminant produit des exclusions imaginaires, et plus tard une asymptote verticale qui n'existe pas. Trois quotients sur quatre ont bien des valeurs interdites; c'est le quatrième que l'examen met dans la liste.

10. Déclarer deux fonctions égales parce que leurs règles se simplifient l'une en l'autre

1 point ici, la nature d'une discontinuité plus tard

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $p(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}$ et $q(x)=x+2$ sont la même fonction. »

Ce qu'il faut écrire

« Leurs règles coïncident pour $x\neq 2$ , mais $\text{dom}\,p=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ et $\text{dom}\,q=\mathbb{R}$ : ce ne sont pas les mêmes fonctions. »

Pourquoi : Deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont le MÊME domaine ET la même règle. Ce n'est pas du vocabulaire : le graphe de $p$ est celui de $q$ percé d'un trou en $(2,4)$ , et simplifier a effacé l'interdit sans le supprimer. C'est exactement ce qui sépare un trou d'une asymptote verticale quand un facteur du dénominateur se simplifie contre le numérateur, et c'est la raison pour laquelle le domaine se lit toujours sur l'expression de DÉPART.

Quelle méthode choisir

Comment construire un domaine, condition par condition

On balaie l'expression et on note UNE condition par élément à risque, sans rien résoudre. La résolution vient après, et l'intersection en dernier.

Si il y a un quotient → poser dénominateur $\neq 0$ et résoudre

Exemple : $\frac{x+3}{x^{2}-4}$ donne $x\neq\pm 2$
Si il y a une racine d'indice pair, ailleurs qu'au dénominateur → poser radicande $\ge 0$ , inégalité LARGE

Exemple : $\sqrt{6-2x}$ donne $x\le 3$
Si il y a une racine d'indice pair AU dénominateur → poser radicande $>0$ , inégalité STRICTE

Exemple : $\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}$ donne $-3<x<3$
Si il y a un logarithme → poser argument $>0$

Exemple : $\ln(x-1)$ donne $x>1$
Si il y a une composée $f(g(x))$ → deux conditions : $x\in\text{dom}\,g$ , puis $g(x)\in\text{dom}\,f$

Exemple : $\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ donne $x\ge 0$ ET $x\neq 4$
Si il s'agit d'un problème concret → ajouter toutes les contraintes physiques et garder la plus restrictive

Exemple : une découpe de coins donne $x>0$ , $x<15$ et $x<20$ , donc $\left]0,15\right[$

Un trinôme sous une racine se traite par tableau de signes : positif à l'EXTÉRIEUR de ses racines quand le coefficient dominant est positif. C'est là que se perd la moitié gauche du domaine.

Quelle méthode pour une question de trigonométrie

La forme de la question désigne l'outil, et il n'y en a que trois.

Si on demande une valeur exacte d'un angle non usuel → angle de référence, puis signe donné par le quadrant

Exemple : $\cos\frac{4\pi}{3}$ : référence $\frac{\pi}{3}$ , troisième quadrant, cosinus négatif, donc $-\frac{1}{2}$
Si on demande de résoudre une équation sur un tour → angle de référence, puis DEUX quadrants où la fonction a le bon signe

Exemple : $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ donne $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{11\pi}{6}$
Si on demande amplitude, période ou déphasage → mettre le coefficient de $x$ EN FACTEUR d'abord, puis lire sur $a\sin\left(b(x-c)\right)+d$

Exemple : $3\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+1=3\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)+1$ , déphasage $\frac{\pi}{6}$

Une équation trigonométrique a deux familles de solutions par tour, sauf aux valeurs extrêmes $\pm 1$ . N'en donner qu'une coûte la moitié de la question.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un domaine, tel que le correcteur l'attend

Quand l'utiliser : À chaque fois qu'on écrit un domaine, y compris quand la question ne le demande pas explicitement.

1 Lister les conditions, une par ligne, avant toute résolution : « Il faut $x^{2}-x-6\ge 0$ et $x-4\neq 0$ . »
2 Résoudre chaque condition séparément, en explicitant le tableau de signes pour un trinôme.
3 Croiser les conditions et écrire l'intersection en notation d'INTERVALLES, avec les bons crochets.
4 Contrôler sur deux valeurs test : une qui doit être dedans, une qui doit être dehors.

Phrase de conclusion

$\text{dom}\,h=\left]-\infty,-2\right]\cup\left[3,4\right[\cup\left]4,+\infty\right[$ .

Le piège : Écrire le domaine en français (« tous les réels sauf 4 et les valeurs négatives ») au lieu d'une réunion d'intervalles. La notation est ce qui est évalué, et un crochet mal orienté coûte autant qu'une condition oubliée.

Barème : Généralement un demi-point par condition posée, un demi-point par résolution, un point pour l'intersection correctement notée.

Rédiger la recherche d'une réciproque

Quand l'utiliser : L'énoncé demande $f^{-1}$ , ou « exprimer $x$ en fonction de $y$ ».

1 Justifier d'abord l'injectivité, ou restreindre : « $f$ est strictement croissante sur $\left[2,+\infty\right[$ , donc injective. »
2 Poser $y=f(x)$ et isoler $x$ , en gardant trace des conditions de signe.
3 Choisir le signe de la racine d'après la restriction retenue, et le DIRE.
4 Échanger les noms des variables pour écrire $f^{-1}(x)$ .
5 Donner le domaine et l'image de $f^{-1}$ en rappelant qu'ils sont ceux de $f$ échangés.

Phrase de conclusion

Sur $\left[2,+\infty\right[$ , $g^{-1}(x)=2+\sqrt{x+4}$ , de domaine $\left[-4,+\infty\right[$ et d'image $\left[2,+\infty\right[$ .

Le piège : Sauter la justification d'injectivité. Une réciproque écrite sans elle est fausse dès que la fonction n'est pas monotone, et le correcteur retire le point même si la formule est bonne.

Barème : L'injectivité ou la restriction vaut presque toujours un point à elle seule.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester deux valeurs, une dedans et une dehors

Choisir un nombre censé appartenir au domaine et vérifier que la calculatrice renvoie une valeur, puis un nombre censé en être exclu et vérifier qu'elle renvoie une erreur.

Sur $\frac{\sqrt{x^{2}-x-6}}{x-4}$ : $x=5$ donne $\sqrt{14}$ , donc $5$ est dedans ✓; $x=0$ demande $\sqrt{-6}$ , donc $0$ est dehors ✓.
Vérifier une réciproque en composant

Calculer $f\left(f^{-1}(c)\right)$ pour un $c$ quelconque du domaine : le résultat doit être exactement $c$ .

$f^{-1}(5)=-\frac{16}{3}$ et $f\left(-\frac{16}{3}\right)=5$ ✓. Une composition qui ne redonne pas $c$ signale une erreur d'isolement, souvent un signe.
Contrôler une transformation sur un seul point

Prendre un point remarquable du graphe de départ, lui appliquer la règle $(p,q)\mapsto\left(\frac{p}{b}+c,\;aq+d\right)$ , et vérifier sur le dessin.

Le sommet $(0,0)$ de $y=x^{2}$ devient $(1,-4)$ pour $y=(x-1)^{2}-4$ : le dessin doit montrer un sommet en $(1,-4)$ , pas en $(-1,4)$ .
Relire l'unité et le sens dans un problème concret

Substituer une valeur du domaine et vérifier que la réponse a un sens physique : une longueur positive, un volume positif, une quantité inférieure au stock.

$V(16)=-256$ : un volume négatif prouve que $16$ n'appartient pas au domaine admissible, même si le polynôme se calcule.

L'exercice type décortiqué

Un domaine à deux interdits, comme au premier contrôle

Déterminer le domaine de $h(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-x-6}}{x-4}$ , en notation d'intervalles.

La parabole

x^{2}-x-6

est positive à l'EXTÉRIEUR de ses racines

-2

3

: la moitié gauche du domaine est celle que les copies oublient. La verticale en

x=4

marque le second interdit, indépendant du premier.

Étape 1

On liste les conditions avant de résoudre : la racine impose $x^{2}-x-6\ge 0$ , et le dénominateur impose $x-4\neq 0$ .

Pourquoi

Écrire les deux conditions séparément empêche d'en oublier une, et rapporte le point de méthode même si la suite dérape. Les deux interdits sont indépendants : ils ne se déduisent pas l'un de l'autre.

Étape 2

Factorisation du trinôme : $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ , dont les racines sont $-2$ et $3$ . Le coefficient dominant étant positif, le trinôme est positif à l'EXTÉRIEUR de ses racines : $x\le-2$ ou $x\ge 3$ .

Pourquoi

C'est ici que se perd la moitié gauche du domaine. La phrase « positif à l'extérieur des racines » est à écrire telle quelle : elle vaut le point de justification et évite de ne garder que $\left[3,+\infty\right[$ .

Étape 3

Les inégalités sont LARGES, parce que $\sqrt{0}=0$ existe : les valeurs $-2$ et $3$ appartiennent au domaine.

Pourquoi

La racine est au numérateur, donc rien n'interdit qu'elle s'annule. Si elle avait été au dénominateur, les deux mêmes valeurs auraient été exclues et les crochets se seraient ouverts.

Étape 4

Seconde condition : $x\neq 4$ . Or $4$ appartient à $\left[3,+\infty\right[$ , il faut donc bien le retirer.

Pourquoi

Une condition n'a d'effet que si elle porte sur un point déjà retenu. Vérifier ce point évite d'écrire une exclusion inutile, qui trahit une méthode appliquée mécaniquement.

Étape 5

Intersection : $\text{dom}\,h=\left]-\infty,-2\right]\cup\left[3,4\right[\cup\left]4,+\infty\right[$ .

Pourquoi

Trois intervalles, trois types de crochets différents. Chacun raconte une condition : crochet fermé pour une racine qui s'annule, crochet ouvert pour un dénominateur qui s'annule.

Étape 6

Contrôle : $h(5)=\frac{\sqrt{14}}{1}\approx 3{,}74$ existe ✓; $h(0)$ demande $\sqrt{-6}$ , donc $0$ est bien exclu ✓; $h(-3)=\frac{\sqrt{6}}{-7}$ existe ✓, ce qui confirme la moitié gauche.

Pourquoi

Le test en $x=-3$ est le plus utile des trois : il vérifie précisément la partie du domaine que l'erreur classique supprime.

Conclusion rédigée

$\text{dom}\,h=\left]-\infty,-2\right]\cup\left[3,4\right[\cup\left]4,+\infty\right[$ , les crochets fermés venant de la racine qui peut s'annuler et le crochet ouvert du dénominateur qui ne le peut pas.

L'erreur classique sur cet exercice : Ne garder que $\left[3,4\right[\cup\left]4,+\infty\right[$ , en oubliant que le trinôme est aussi positif pour $x\le-2$ . La moitié du domaine disparaît, et avec elle toutes les questions ultérieures sur cette branche de la courbe.

À savoir par cœur

• Trois interdits : dénominateur non nul, radicande pair positif ou nul, argument de logarithme strictement positif. Rien d'autre.
• Racine AU dénominateur : les deux se cumulent et l'inégalité devient stricte.
• $\sqrt{x^{2}}=|x|$ , jamais $x$ . Cette égalité produira deux asymptotes horizontales au chapitre suivant.
• $\text{dom}(f\circ g)$ : $x\in\text{dom}\,g$ ET $g(x)\in\text{dom}\,f$ . Deux conditions, jamais une.
• Un trinôme de coefficient dominant positif est positif à l'EXTÉRIEUR de ses racines.
• $f(x-c)$ décale vers la droite quand $c>0$ : l'abscisse qui annule la parenthèse dit tout.
• Une transformation à coefficient négatif RENVERSE l'intervalle image.
• Pas de réciproque sans injectivité. Sinon on restreint, et la restriction choisit le signe de la racine.
• Deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont le même domaine ET la même règle. Simplifier une écriture ne change jamais le domaine.

Questions fréquentes

Comment trouver le domaine de définition d'une fonction ?

On cherche les trois seuls interdits : un dénominateur qui s'annule, un radicande d'indice pair négatif, un argument de logarithme négatif ou nul. On pose une condition par élément à risque, on résout chacune séparément, puis on prend l'intersection et on l'écrit en notation d'intervalles.

Pourquoi le domaine change-t-il quand la racine est au dénominateur ?

Parce que deux interdits se cumulent. Sous une racine seule, le radicande peut valoir zéro, et les bornes appartiennent au domaine. Au dénominateur, la racine ne doit pas s'annuler non plus, donc le radicande doit être strictement positif et les bornes sortent du domaine.

Le domaine d'une composée est-il celui de la fonction intérieure ?

Non, il est en général plus petit. Il faut que la variable appartienne au domaine de la fonction intérieure, et en plus que le résultat de celle-ci appartienne au domaine de la fonction extérieure. Cette seconde condition fait souvent apparaître un point d'exclusion que rien n'annonçait.

Dans quel sens f de x moins 1 décale-t-elle la courbe ?

Vers la droite. Le test qui tranche en cinq secondes est de chercher l'abscisse qui annule la parenthèse : ici x vaut un, donc ce que la fonction faisait en zéro se produit maintenant en un, c'est-à-dire plus à droite. Ce qui touche la variable agit toujours dans le sens contraire de l'intuition.

Quand une fonction admet-elle une réciproque ?

Quand elle est injective, c'est-à-dire quand chaque valeur n'a qu'un seul antécédent. Une parabole ne l'est pas, puisqu'une horizontale la coupe deux fois. On la restreint alors à un intervalle où elle est strictement monotone, et c'est cette restriction qui décide du signe devant la racine dans la réciproque.

Pourquoi faut-il un domaine physique dans un problème d'optimisation ?

Parce que la formule algébrique reste calculable en dehors du sens physique. Le volume d'une boîte découpée dans un carton donne un nombre négatif pour une découpe trop grande. La physique est portée par le domaine, pas par la formule, et une réponse qui tombe hors du domaine admissible ne vaut rien.

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Exercices corrigés : Fonctions et domaine

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Limites et continuité

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