Examen pratique 1 corrigé de calcul différentiel (201-NYA)

Un quotient : le seul interdit est l'annulation du dénominateur. On factorise $2x^{2}+3x+1$. Le discriminant vaut $9-8=1$, les racines sont $x=\frac{-3\pm 1}{4}$, soit $-\frac{1}{2}$ et $-1$, donc $2x^{2}+3x+1=(2x+1)(x+1)$. Le dénominateur s'annule en $x=2$, $x=-\frac{1}{2}$ et $x=-1$. Domaine : $]-\infty,-1[\,\cup\,]-1,-\tfrac{1}{2}[\,\cup\,]-\tfrac{1}{2},2[\,\cup\,]2,+\infty[$. Le piège : beaucoup d'élèves excluent aussi $x=-2$ parce que le numérateur s'y annule. Un numérateur nul ne crée aucun interdit, il crée un zéro de la fonction. La question du domaine ne regarde jamais le haut de la fraction.

Racine carrée, donc racine paire : on exige $4-x\ge 0$, c'est-à-dire $x\le 4$. Domaine : $]-\infty,4]$. Le crochet est fermé en 4 parce que $\sqrt{0}=0$ existe. Écrire $]-\infty,4[$ coûte un point pour rien.

Encore un quotient, mais ici le dénominateur ne s'annule jamais : le discriminant de $3x^{2}-4x+7$ vaut $16-4(3)(7)=16-84=-68<0$. Un trinôme de discriminant négatif garde le signe de son coefficient dominant, ici $3>0$, donc $3x^{2}-4x+7>0$ pour tout réel. Domaine : $\mathbb{R}$. C'est le faux interdit du titre : la présence d'une fraction ne suffit pas à retirer quoi que ce soit, il faut vérifier que le dénominateur s'annule vraiment.

Deux interdits se cumulent, et ils se cumulent en une seule inégalité STRICTE. La racine exige $x^{2}-5x+4\ge 0$, la fraction exige $\sqrt{x^{2}-5x+4}\ne 0$, donc $x^{2}-5x+4\ne 0$. Au total $x^{2}-5x+4>0$. Or $x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4)$, produit positif à l'extérieur des racines. Domaine : $]-\infty,1[\,\cup\,]4,+\infty[$. Une racine au dénominateur ne se traite pas comme une racine au numérateur : elle transforme un $\ge$ en $>$.

On traite les deux contraintes séparément. Racine : $x^{2}-3x+1\ge 0$. Le discriminant vaut $9-4=5$, les racines sont $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$, soit environ $0{,}382$ et $2{,}618$. Le trinôme, de coefficient dominant positif, est positif à l'extérieur : $x\le\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ ou $x\ge\frac{3+\sqrt{5}}{2}$. Dénominateur : $3-x\ne 0$, donc $x\ne 3$. On intersecte : $\left]-\infty,\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right]\cup\left[\frac{3+\sqrt{5}}{2},3\right[\,\cup\,]3,+\infty[$. Noter que $3$ appartient bien à la zone autorisée par la racine ($3>2{,}618$), il faut donc l'en retirer explicitement : c'est exactement le genre de point qu'on oublie quand on traite les deux conditions dans la tête au lieu de les écrire l'une sous l'autre.

Sans simplifier : $(f\circ g)(x)=\left(\sqrt{x^{2}-5}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{x^{2}-5}+1\right)+3$. On développe le carré : $\left(\sqrt{x^{2}-5}\right)^{2}+2\sqrt{x^{2}-5}+1=x^{2}-5+2\sqrt{x^{2}-5}+1$. On retranche ensuite $\sqrt{x^{2}-5}+1$ et on ajoute 3 : $x^{2}-5+2\sqrt{x^{2}-5}+1-\sqrt{x^{2}-5}-1+3=x^{2}-2+\sqrt{x^{2}-5}$. Vérification numérique en $x=3$ : $g(3)=\sqrt{4}+1=3$ puis $f(3)=9-3+3=9$ ; la formule donne $9-2+\sqrt{4}=9$. Les deux concordent.

$(g\circ f)(x)=\sqrt{(x^{2}-x+3)^{2}-5}+1$. Domaine : il faut $(x^{2}-x+3)^{2}\ge 5$. Le trinôme $x^{2}-x+3$ a pour discriminant $1-12=-11<0$, il reste donc strictement positif, et son minimum, atteint en $x=\frac{1}{2}$, vaut $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+3=\frac{11}{4}=2{,}75$. Ainsi $(x^{2}-x+3)^{2}\ge 2{,}75^{2}=7{,}5625>5$ pour tout réel. Domaine : $\mathbb{R}$. Comparer avec a) : $f\circ g$ et $g\circ f$ n'ont ni la même expression ni le même domaine, la composition n'est pas commutative.

Domaine de $f\circ g$ : $x$ doit d'abord être dans le domaine de $g$, donc $x^{2}-5\ge 0$, soit $|x|\ge\sqrt{5}$ ; ensuite $g(x)$ doit être dans le domaine de $f$, qui est $\mathbb{R}$, ce qui n'ajoute rien. Domaine : $]-\infty,-\sqrt{5}\,]\cup[\,\sqrt{5},+\infty[$. L'expression simplifiée $x^{2}-2+\sqrt{x^{2}-5}$ porte encore la racine, elle donne donc bien la même restriction ici. Mais la règle générale est l'inverse : le domaine d'une composée se lit sur la composée AVANT simplification, jamais après. Simplifier peut effacer un interdit sans le supprimer.

On applique $h$ d'abord, puis $g$, puis $f$ : $(f\circ g\circ h)(x)=f\!\left(g(x+3)\right)=\left(\sqrt{(x+3)^{2}-5}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{(x+3)^{2}-5}+1\right)+3$. Aucune simplification demandée : dans un examen, une chaîne de composition se note en remplaçant mécaniquement la variable, et chaque parenthèse oubliée coûte le résultat.

NON. Leurs règles coïncident partout où les deux sont définies, puisque $\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ dès que $x\ne 2$. Mais $\operatorname{dom}(p)=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ tandis que $\operatorname{dom}(q)=\mathbb{R}$. Deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont le MÊME domaine et la même règle. Le graphe de $p$ est celui de $q$ percé d'un trou en $(2,4)$. Cette distinction n'est pas un détail de vocabulaire : c'est exactement ce qui sépare une asymptote verticale d'un trou, et on la retrouve intacte à l'exercice 7.

Un polynôme est continu partout, donc la limite est la valeur : $8-24+4=-12$. Aucun travail, et c'est le premier réflexe à avoir : on ne cherche une technique que si la substitution échoue.

$3^{-x}=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ avec une base strictement comprise entre 0 et 1 : la suite des puissances s'écrase vers zéro. Limite $=0$. Ce n'est pas une forme indéterminée, c'est le comportement standard d'une exponentielle décroissante.

$x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$. La substitution donne $\frac{5}{0}$, avec $k=5\ne 0$ : ce n'est PAS une indétermination. Le dénominateur est un carré, donc positif des deux côtés de $-3$, et le numérateur reste $5>0$. Le quotient explose vers le haut des deux côtés : $\lim_{x\to -3}\frac{5}{(x+3)^{2}}=+\infty$. La droite $x=-3$ est une asymptote verticale.

Substitution : $\frac{0}{0}$, donc facteur commun garanti. $25-x^{2}=(5-x)(5+x)$, d'où $\frac{x+5}{(5-x)(5+x)}=\frac{1}{5-x}$ pour $x\ne -5$. En $-5$ : $\frac{1}{10}$. Le piège est de croire qu'un $\frac{0}{0}$ donne toujours l'infini ou toujours zéro : il ne donne rien du tout tant qu'on n'a pas simplifié.

$\frac{0}{0}$ : $4-4-1+7-6=0$ en haut, $3-8+6-1=0$ en bas. Les deux polynômes admettent donc $(x-1)$ en facteur. Division synthétique au numérateur avec les coefficients $4,-4,-1,7,-6$ : on abaisse $4$, puis $4-4=0$, puis $0-1=-1$, puis $-1+7=6$, puis $6-6=0$. Le quotient est $4x^{3}+0x^{2}-x+6$, qui vaut $4-1+6=9$ en $x=1$. Au dénominateur, coefficients $3,-8,6,-1$ : on abaisse $3$, puis $3-8=-5$, puis $-5+6=1$, puis $1-1=0$. Le quotient est $3x^{2}-5x+1$, qui vaut $3-5+1=-1$. Limite $=\frac{9}{-1}=-9$. La division synthétique est ici plus rapide et plus sûre que la règle de L'Hôpital, et elle ne demande aucun théorème.

Fraction étagée : on assemble d'abord le numérateur sur un dénominateur commun. $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{4}=\frac{4-(x+1)}{4(x+1)}=\frac{3-x}{4(x+1)}$. Le dénominateur se factorise : $x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)$. L'expression devient $\frac{3-x}{4(x+1)}\cdot\frac{1}{(x-3)(x+1)}=\frac{-(x-3)}{4(x+1)^{2}(x-3)}=\frac{-1}{4(x+1)^{2}}$. En $x=3$ : $\frac{-1}{4\cdot 16}=-\frac{1}{64}$. Repérer le $3-x=-(x-3)$ est tout l'exercice.

$\frac{0}{0}$ avec une racine EN BAS. Le numérateur se factorise : $2x^{2}-10x-12=2(x^{2}-5x-6)=2(x-6)(x+1)$. On multiplie haut et bas par le conjugué $\sqrt{6}+\sqrt{x}$ : le dénominateur devient $\left(\sqrt{6}\right)^{2}-\left(\sqrt{x}\right)^{2}=6-x$. On obtient $\frac{2(x-6)(x+1)\left(\sqrt{6}+\sqrt{x}\right)}{6-x}=-2(x+1)\left(\sqrt{6}+\sqrt{x}\right)$ puisque $\frac{x-6}{6-x}=-1$. En $x=6$ : $-2(7)(2\sqrt{6})=-28\sqrt{6}\approx -68{,}59$. Le signe moins vient du renversement $6-x=-(x-6)$ : c'est la perte la plus fréquente de tout l'exercice.

Limite à l'infini d'un quotient de polynômes de MÊME degré : le comportement est dicté par les termes dominants, tous les autres deviennent négligeables. Limite $=\frac{3}{2}$. Rédaction propre : on divise haut et bas par $x^{4}$, ce qui donne $\frac{3-5/x^{2}+7/x^{4}}{2-4/x+1/x^{3}-1/x^{4}}\longrightarrow\frac{3}{2}$. Le quotient $\frac{3}{2}$ est la valeur de l'asymptote horizontale $y=\frac{3}{2}$.

Forme $\frac{0}{0}$. On assemble le numérateur : $\frac{1}{x}+\frac{1}{5}=\frac{5+x}{5x}$. Le dénominateur se factorise : $x^{2}-25=(x-5)(x+5)$. L'expression devient $\frac{x+5}{5x}\cdot\frac{1}{(x-5)(x+5)}=\frac{1}{5x(x-5)}$. En $x=-5$ : $\frac{1}{5(-5)(-10)}=\frac{1}{250}=0{,}004$. Le facteur $(x+5)$ était bien là, mais caché dans une fraction étagée : c'est pour cela qu'on assemble AVANT de chercher à simplifier.

Forme $\frac{0}{0}$ : en haut $-729+729+6-6=0$, en bas $108-126+39-21=0$. Le numérateur se factorise par groupement, sans division : $-x^{6}+3x^{5}+2x-6=-x^{5}(x-3)+2(x-3)=(x-3)\left(2-x^{5}\right)$, qui vaut $2-243=-241$ en $x=3$. Au dénominateur, division synthétique par $(x-3)$ avec les coefficients $4,-14,13,-21$ : on abaisse $4$, puis $12-14=-2$, puis $-6+13=7$, puis $21-21=0$. Le quotient est $4x^{2}-2x+7$, qui vaut $36-6+7=37$. Limite $=-\frac{241}{37}\approx -6{,}51$. Chercher un groupement avant de se lancer dans une division de degré 6 fait gagner cinq minutes d'examen.

Forme $\frac{0}{0}$ avec une racine EN HAUT. Conjugué : on multiplie par $\frac{2+\sqrt{x+2}}{2+\sqrt{x+2}}$, ce qui donne $\frac{4-(x+2)}{(x-2)\left(2+\sqrt{x+2}\right)}=\frac{2-x}{(x-2)\left(2+\sqrt{x+2}\right)}=\frac{-1}{2+\sqrt{x+2}}$. En $x=2$ : $\frac{-1}{2+2}=-\frac{1}{4}$. Le conjugué sert exactement à cela : transformer une différence de racines en une différence de carrés, donc en un polynôme où le facteur commun devient visible.

Substitution : $\frac{8}{0}$, avec $8\ne 0$. Ce n'est PAS une indétermination, il n'y a donc rien à factoriser, mais il faut étudier les deux côtés. À gauche de 2, $x-2<0$ et le numérateur vaut environ $8>0$ : le quotient tend vers $-\infty$. À droite, $x-2>0$ : le quotient tend vers $+\infty$. Les deux limites unilatérales sont différentes, donc $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+4}{x-2}$ N'EXISTE PAS. Écrire $\infty$ tout court est faux ici : $\infty$ sans signe ne désigne aucune des deux branches, et la droite $x=2$ reste une asymptote verticale malgré l'absence de limite.

Quotient de polynômes de degrés DIFFÉRENTS : degré 5 en haut, degré 3 en bas. En divisant haut et bas par $x^{3}$, on obtient $\frac{4x^{2}+3/x+9/x^{3}}{2-7/x+8/x^{3}}$, dont le numérateur explose comme $4x^{2}$ et le dénominateur tend vers 2. La fonction se comporte comme $2x^{2}$, et $x^{2}\to+\infty$ même quand $x\to-\infty$. Limite $=+\infty$. Le piège classique est de conclure $-\infty$ parce que $x\to-\infty$ : c'est la PARITÉ du degré restant qui décide, pas le sens dans lequel on part.

La valeur d'abord : $-2$ tombe dans la deuxième branche, puisque celle-ci est valide pour $-2\le x<0$. Donc $f(-2)=3(-2)-7=-13$, qui existe. Limite à gauche : c'est la première branche, $\lim_{x\to -2^{-}}\left(-x^{2}+5\right)=-4+5=1$. Limite à droite : deuxième branche, $\lim_{x\to -2^{+}}(3x-7)=-13$. Les deux limites unilatérales sont finies mais DIFFÉRENTES, donc $\lim_{x\to -2}f(x)$ n'existe pas : la deuxième condition tombe. $f$ est discontinue en $-2$. Attention au piège du crochet : le $\le$ de la deuxième branche décide à lui seul de la valeur $f(-2)$, et beaucoup d'élèves lisent la première branche par habitude.

Valeur : la troisième ligne l'impose, $f(0)=-7$. Limite à gauche : $\lim_{x\to 0^{-}}(3x-7)=-7$. Limite à droite : il faut d'abord simplifier la quatrième branche, $\frac{x^{2}+14x}{-2x}=\frac{x(x+14)}{-2x}=\frac{x+14}{-2}$ pour $x\ne 0$, ce qui tend vers $\frac{14}{-2}=-7$. Les deux limites unilatérales valent $-7$, donc $\lim_{x\to 0}f(x)=-7=f(0)$. Les trois conditions sont satisfaites : $f$ est CONTINUE en $0$. Une fonction définie par cinq morceaux n'est pas condamnée à se casser à chaque raccord, et l'expression $\frac{x^{2}+14x}{-2x}$, indéfinie en 0, ne l'empêche pas : c'est la ligne $x=0$ qui donne la valeur.

Valeur : $1$ tombe dans la cinquième branche. On y remplace : $\frac{30-30}{4-4}=\frac{0}{0}$, qui n'est pas un nombre. Donc $f(1)$ N'EXISTE PAS et la première condition tombe déjà. La limite, elle, existe. À gauche : $\frac{x+14}{-2}\to\frac{15}{-2}=-\frac{15}{2}$. À droite : $\frac{30-30x}{4x^{3}-4x^{2}}=\frac{30(1-x)}{4x^{2}(x-1)}=\frac{-30}{4x^{2}}\to\frac{-30}{4}=-\frac{15}{2}$. Les deux coïncident, donc $\lim_{x\to 1}f(x)=-\frac{15}{2}$. $f$ est discontinue en $1$, non pas parce que la limite manque, mais parce que la fonction n'y est pas définie.

En $x=-2$ : discontinuité par SAUT, les deux limites unilatérales étant finies et distinctes. Elle n'est PAS réparable : aucune valeur unique ne peut valoir à la fois 1 et $-13$, la courbe se déchire vraiment. En $x=1$ : discontinuité par TROU, dite RÉPARABLE, parce qu'il suffit de poser $f(1)=-\frac{15}{2}$ pour que les trois conditions deviennent vraies. C'est la différence de fond entre les deux accidents : le trou est un défaut de DÉFINITION, on a mal noté la fonction en un point ; le saut est un défaut de COMPORTEMENT, la fonction elle-même se déchire, et aucune retouche ponctuelle ne recoud une déchirure.

Le dénominateur s'annule en $x=-7$, $x=\frac{1}{2}$ et $x=1$, donc $\operatorname{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{-7,\tfrac{1}{2},1\right\}$. Le point clé est que $3x-3=3(x-1)$ : le facteur $(x-1)$ apparaît EN HAUT et EN BAS. Pour $x\ne 1$ on peut donc simplifier, $f(x)=\frac{x^{2}+4}{3(x+7)(2x-1)}$. Cette écriture est valide sur tout le domaine, mais elle ne définit pas $f$ en $x=1$ : le domaine se lit sur l'expression de départ, jamais sur la simplifiée.

Il ne reste que deux facteurs au dénominateur après simplification, donc deux asymptotes verticales : $x=-7$ et $x=\frac{1}{2}$. Le numérateur $x^{2}+4$ est toujours strictement positif, il ne change donc jamais le signe. En $x=-7$ : $(2x-1)$ vaut $-15<0$ au voisinage, et $(x+7)$ change de signe. À gauche $(x+7)<0$, le dénominateur $3(x+7)(2x-1)$ est positif, donc $\lim_{x\to -7^{-}}f(x)=+\infty$. À droite $(x+7)>0$, le dénominateur est négatif, donc $\lim_{x\to -7^{+}}f(x)=-\infty$. En $x=\frac{1}{2}$ : $(x+7)$ vaut environ $7{,}5>0$, et $(2x-1)$ change de signe. À gauche $\lim_{x\to \frac{1}{2}^{-}}f(x)=-\infty$, à droite $\lim_{x\to \frac{1}{2}^{+}}f(x)=+\infty$. Une asymptote verticale se décrit par ses quatre limites, pas par sa seule équation.