Examen pratique 2 corrigé de calcul différentiel (201-NYA)

a) $f(1)=\sqrt{4}=2$. Le quotient de Newton s'écrit $\frac{\sqrt{3(1+h)+1}-2}{h}=\frac{\sqrt{4+3h}-2}{h}$, de forme $\frac{0}{0}$. Une racine au numérateur appelle le conjugué : on multiplie haut et bas par $\sqrt{4+3h}+2$, ce qui donne $\frac{(4+3h)-4}{h\left(\sqrt{4+3h}+2\right)}=\frac{3h}{h\left(\sqrt{4+3h}+2\right)}=\frac{3}{\sqrt{4+3h}+2}$. Le facteur $h$ se simplifie, ce qui lève l'indétermination, et en faisant $h\to 0$ : $f'(1)=\frac{3}{2+2}=\frac{3}{4}$. Retenez le mécanisme général : dans toute dérivée par définition, un facteur $h$ DOIT apparaître au numérateur, sinon la limite serait infinie et la fonction ne serait pas dérivable.

b) Par les règles : $f(x)=(3x+1)^{1/2}$, donc $f'(x)=\frac{1}{2}(3x+1)^{-1/2}\cdot 3=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$. En $x=1$ : $\frac{3}{2\times 2}=\frac{3}{4}$. Les deux méthodes concordent, ce qui est attendu : les règles ne sont rien d'autre que ce calcul de limite fait une fois pour toutes, en général, pour ne plus avoir à le refaire.

c) $g(3)=\frac{4\times 9}{8}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$. Quotient de Newton : $\frac{1}{h}\left[\frac{4(3+h)^{2}}{8+h}-\frac{9}{2}\right]$. On met les deux fractions au même dénominateur $2(8+h)$ : $\frac{8(3+h)^{2}-9(8+h)}{2(8+h)}$. On développe le numérateur : $8\left(9+6h+h^{2}\right)-72-9h=72+48h+8h^{2}-72-9h=39h+8h^{2}=h(39+8h)$. Le quotient devient $\frac{h(39+8h)}{2(8+h)\,h}=\frac{39+8h}{2(8+h)}$, et en $h\to 0$ : $g'(3)=\frac{39}{16}=2{,}4375$. Vérification par la règle du quotient : $g'(x)=\frac{8x(x+5)-4x^{2}}{(x+5)^{2}}=\frac{4x^{2}+40x}{(x+5)^{2}}$, qui vaut $\frac{36+120}{64}=\frac{156}{64}=\frac{39}{16}$ en $x=3$.

d) $\frac{u(x+h)-u(x)}{h}=\frac{1}{h}\left[\frac{1}{2x+2h-3}-\frac{1}{2x-3}\right]=\frac{1}{h}\cdot\frac{(2x-3)-(2x+2h-3)}{(2x+2h-3)(2x-3)}=\frac{1}{h}\cdot\frac{-2h}{(2x+2h-3)(2x-3)}=\frac{-2}{(2x+2h-3)(2x-3)}$. En $h\to 0$ : $u'(x)=\frac{-2}{(2x-3)^{2}}$. Le signe est négatif partout, ce qui se lit sur le graphe : $u$ est décroissante sur chacune des deux branches de son domaine. Attention, décroissante SUR CHAQUE BRANCHE, pas sur $\mathbb{R}$ : une dérivée négative ne dit rien à travers une asymptote.

e) Pour $v(x)=|x-2|$ en $a=2$ : $v(2)=0$ et le quotient vaut $\frac{|2+h-2|-0}{h}=\frac{|h|}{h}$. À gauche, $h<0$ donc $|h|=-h$ et le quotient vaut $-1$ ; à droite il vaut $+1$. Les deux limites unilatérales existent mais DIFFÈRENT : la limite n'existe pas, $v$ n'est pas dérivable en 2. Géométriquement, c'est un POINT ANGULEUX : la courbe a deux demi-tangentes de pentes différentes. Pour $w(x)=\sqrt[3]{x}$ en $a=0$ : $w(0)=0$ et le quotient vaut $\frac{h^{1/3}}{h}=h^{-2/3}=\frac{1}{h^{2/3}}$, qui tend vers $+\infty$ des DEUX côtés puisque $h^{2/3}>0$ quel que soit le signe de $h$. La limite est infinie, donc elle n'est pas un nombre, donc $w$ n'est pas dérivable en 0. Géométriquement, c'est une TANGENTE VERTICALE : la courbe a bien une tangente, mais elle n'a pas de pente. La différence est nette : chez $v$ la limite n'existe pas parce que les deux côtés se contredisent ; chez $w$ les deux côtés s'accordent, mais sur une valeur infinie. Dans les deux cas, $v$ et $w$ sont pourtant CONTINUES au point étudié : continue n'implique pas dérivable.

a) Une somme, donc terme à terme, mais deux termes sont des pièges. $\sqrt{2}$ est un NOMBRE, pas une variable : $\sqrt{2}\,x^{3}$ se dérive en $3\sqrt{2}\,x^{2}$, exactement comme $7x^{3}$ donnerait $21x^{2}$. De même $\pi^{2}$ est une constante, sa dérivée est $0$, et non $2\pi$. Le radical se réécrit d'abord : $\sqrt[3]{8x^{4}}=\left(8x^{4}\right)^{1/3}=2x^{4/3}$, dont la dérivée est $2\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}=\frac{8}{3}x^{1/3}=\frac{8}{3}\sqrt[3]{x}$. Au total $f'(x)=20x^{3}+3\sqrt{2}\,x^{2}+\frac{8}{3}\sqrt[3]{x}-2$. Vérification en $x=1$ : $20+3\times 1{,}4142+2{,}6667-2\approx 24{,}91$.

b) Une composée, et rien d'autre : on réécrit le radical en exposant, $g(x)=\left(3x^{4}-5x\right)^{5/3}$. Règle de chaîne : $g'(x)=\frac{5}{3}\left(3x^{4}-5x\right)^{2/3}\left(12x^{3}-5\right)$. La dérivée de l'intérieur, $12x^{3}-5$, ne s'oublie pas : c'est elle qui distingue la règle de chaîne de la simple règle de puissance. On peut aussi écrire $g'(x)=\frac{5\left(12x^{3}-5\right)}{3}\sqrt[3]{\left(3x^{4}-5x\right)^{2}}$. Vérification en $x=2$ : $3(16)-10=38$ et $12(8)-5=91$, donc $g'(2)=\frac{5}{3}\times 38^{2/3}\times 91\approx 1714{,}27$.

c) Un PRODUIT de deux composées : la règle du produit chapeaute, la règle de chaîne s'applique dans chaque facteur. $f'(t)=6\left(t^{3}+5\right)^{5}\left(3t^{2}\right)(4t-3)^{10}+\left(t^{3}+5\right)^{6}\cdot 10(4t-3)^{9}\cdot 4$. On simplifie en mettant en évidence les plus petites puissances communes, $\left(t^{3}+5\right)^{5}$ et $(4t-3)^{9}$ : $f'(t)=\left(t^{3}+5\right)^{5}(4t-3)^{9}\left[18t^{2}(4t-3)+40\left(t^{3}+5\right)\right]$. Le crochet vaut $72t^{3}-54t^{2}+40t^{3}+200=112t^{3}-54t^{2}+200$. Donc $f'(t)=\left(t^{3}+5\right)^{5}(4t-3)^{9}\left(112t^{3}-54t^{2}+200\right)$. Vérification en $t=1$ : la forme non factorisée donne $6(6)^{5}(3)+6^{6}(40)=139\,968+1\,866\,240=2\,006\,208$, et la forme factorisée $6^{5}\times 1\times 258=7776\times 258=2\,006\,208$. Simplifier n'est pas facultatif : c'est la seule façon de vérifier son propre calcul.

d) Le facteur $2$ sort de la dérivée, on ne dérive que le quotient. $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ avec $u=3x^{2}+4$, $u'=6x$, $v=1-x$, $v'=-1$. Numérateur : $6x(1-x)-\left(3x^{2}+4\right)(-1)=6x-6x^{2}+3x^{2}+4=-3x^{2}+6x+4$. Donc $h'(x)=\frac{2\left(-3x^{2}+6x+4\right)}{(1-x)^{2}}=\frac{-6x^{2}+12x+8}{(1-x)^{2}}$. Le double signe négatif de $-u v'$ est l'erreur la plus courante de tout le chapitre : écrire $u'v+uv'$ au numérateur d'un quotient donne ici $6x-6x^{2}-3x^{2}-4$, soit un résultat entièrement faux. Vérification en $x=0$ : $h'(0)=\frac{8}{1}=8$.

e) Quotient avec une racine au dénominateur. $u=2t^{2}-1$, $u'=4t$ ; $v=\left(t^{2}+2\right)^{1/2}$, $v'=\frac{1}{2}\left(t^{2}+2\right)^{-1/2}\cdot 2t=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+2}}$. Alors $g'(t)=\frac{4t\sqrt{t^{2}+2}-\left(2t^{2}-1\right)\dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+2}}}{t^{2}+2}$. On multiplie haut et bas par $\sqrt{t^{2}+2}$ pour vider l'étage : $g'(t)=\frac{4t\left(t^{2}+2\right)-t\left(2t^{2}-1\right)}{\left(t^{2}+2\right)^{3/2}}=\frac{4t^{3}+8t-2t^{3}+t}{\left(t^{2}+2\right)^{3/2}}=\frac{2t^{3}+9t}{\left(t^{2}+2\right)^{3/2}}=\frac{t\left(2t^{2}+9\right)}{\left(t^{2}+2\right)^{3/2}}$. Vérification en $t=1$ : $\frac{1\times 11}{3^{3/2}}=\frac{11}{3\sqrt{3}}\approx 2{,}117$. Noter le dénominateur en puissance $\frac{3}{2}$ : c'est la trace du $\left(\sqrt{v}\right)^{2}$ multiplié par un $\sqrt{v}$ supplémentaire, et l'écrire $\left(t^{2}+2\right)^{2}$ par distraction fausse tout.

a) Un produit dont chaque facteur est une composée. $u=e^{3x}$, $u'=3e^{3x}$ ; $v=\ln\left(x^{2}+1\right)$, $v'=\frac{2x}{x^{2}+1}$. Donc $f'(x)=3e^{3x}\ln\left(x^{2}+1\right)+e^{3x}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=e^{3x}\left[3\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{2x}{x^{2}+1}\right]$. Mettre $e^{3x}$ en évidence n'est pas cosmétique : la forme factorisée montre d'un coup d'oeil que $f'$ a le signe du crochet, l'exponentielle étant toujours positive.

b) Ne dérivez PAS ce quotient tel quel. Les propriétés du logarithme le transforment en somme : $g(x)=\ln\left(x^{2}+1\right)-\ln\sqrt{2x+3}=\ln\left(x^{2}+1\right)-\frac{1}{2}\ln(2x+3)$. La dérivation devient immédiate : $g'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{2x+3}=\frac{2x}{x^{2}+1}-\frac{1}{2x+3}$. Dériver la forme initiale par la règle de chaîne puis celle du quotient donne le même résultat après cinq lignes de plus et deux occasions de se tromper. La leçon vaut pour tout l'examen : la simplification préalable fait partie de la méthode, elle n'est pas un supplément d'élégance.

c) Composée de composée : la puissance chapeaute le sinus, qui chapeaute l'affine. On dérive de l'extérieur vers l'intérieur, une couche à la fois. $h'(x)=3\left(\sin(2x+1)\right)^{2}\cdot\cos(2x+1)\cdot 2=6\sin^{2}(2x+1)\cos(2x+1)$. Trois couches, trois facteurs : si votre réponse n'a pas autant de facteurs que la fonction a de couches, il en manque un.

d) Ni la règle de puissance ni la règle de l'exponentielle ne s'appliquent : dans $x^{x}$, la base ET l'exposant varient. On passe par la dérivation logarithmique. On pose $y=x^{x}$, on prend le logarithme des deux côtés : $\ln y=x\ln x$. On dérive chaque membre par rapport à $x$, en n'oubliant pas que $y$ dépend de $x$, ce qui donne un $\frac{y'}{y}$ à gauche par la règle de chaîne : $\frac{y'}{y}=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1$. Donc $y'=y(\ln x+1)$, soit $k'(x)=x^{x}\left(\ln x+1\right)$. Vérification en $x=1$ : $k'(1)=1\times(0+1)=1$. Écrire $x\cdot x^{x-1}$ est l'erreur classique : elle traite l'exposant comme une constante.

e) Règle du quotient avec $u=e^{2x}$, $u'=2e^{2x}$, $v=1+e^{2x}$, $v'=2e^{2x}$. Numérateur : $2e^{2x}\left(1+e^{2x}\right)-e^{2x}\cdot 2e^{2x}=2e^{2x}+2e^{4x}-2e^{4x}=2e^{2x}$. Donc $m'(x)=\frac{2e^{2x}}{\left(1+e^{2x}\right)^{2}}$. Les termes en $e^{4x}$ s'annulent, ce qui est le signal qu'on a bien posé le calcul. Remarque utile : $m'>0$ partout, donc $m$ est strictement croissante, et comme $m(x)=\frac{1}{1+e^{-2x}}$ elle passe de 0 à 1. C'est la fonction logistique, celle qui modélise une saturation, et sa dérivée vaut aussi $2m(1-m)$.

a) On dérive terme à terme. $\left(2x^{3}\right)'=6x^{2}$. Pour $x^{2}y$, c'est un PRODUIT de deux fonctions de $x$ : $\left(x^{2}y\right)'=2xy+x^{2}y'$. À droite, $\left(y^{3}\right)'=3y^{2}y'$ par la règle de chaîne, et $(-5)'=0$. L'équation dérivée est donc $6x^{2}+2xy+x^{2}y'=3y^{2}y'$. On regroupe : $x^{2}y'-3y^{2}y'=-6x^{2}-2xy$, soit $y'\left(x^{2}-3y^{2}\right)=-6x^{2}-2xy$, d'où $\frac{dy}{dx}=\frac{-6x^{2}-2xy}{x^{2}-3y^{2}}=\frac{6x^{2}+2xy}{3y^{2}-x^{2}}$. Les deux écritures sont équivalentes, on a simplement multiplié haut et bas par $-1$. Le piège classique est d'oublier le produit dans $x^{2}y$ et d'écrire $2xy$ tout court.

b) Avec $x=0$, la relation devient $0+0=y^{3}-5$, donc $y^{3}=5$ et $y=\sqrt[3]{5}\approx 1{,}710$. Le point est $\left(0,\sqrt[3]{5}\right)$. La pente vaut $\frac{6(0)^{2}+2(0)y}{3y^{2}-0}=\frac{0}{3\sqrt[3]{25}}=0$ : la tangente y est HORIZONTALE, d'équation $y=\sqrt[3]{5}$. Noter qu'on n'a jamais eu besoin d'isoler $y$ en fonction de $x$, ce qui serait ici impossible à la main : c'est exactement l'intérêt de la dérivation implicite.

c) Vérification : $1^{2}+1\times 2+2^{2}=1+2+4=7$, le point appartient bien à la courbe. Dérivation implicite : $2x+\left(y+xy'\right)+2yy'=0$, où le terme $xy$ demande la règle du produit. On regroupe : $y'(x+2y)=-2x-y$, donc $\frac{dy}{dx}=\frac{-2x-y}{x+2y}$. En $(1,2)$ : $\frac{-2-2}{1+4}=-\frac{4}{5}$. Équation de la tangente : $y-2=-\frac{4}{5}(x-1)$, soit $y=-\frac{4}{5}x+\frac{14}{5}$. La courbe $x^{2}+xy+y^{2}=7$ est une ellipse inclinée, qu'aucune fonction $y=f(x)$ ne décrit en entier : encore une fois, seule la voie implicite fonctionne.

d) Tangente horizontale signifie $y'=0$, donc numérateur nul et dénominateur non nul : $-2x-y=0$, soit $y=-2x$. On reporte dans l'équation de la courbe : $x^{2}+x(-2x)+(-2x)^{2}=x^{2}-2x^{2}+4x^{2}=3x^{2}=7$, donc $x=\pm\sqrt{\frac{7}{3}}\approx\pm 1{,}528$. Les deux points sont $\left(\sqrt{\tfrac{7}{3}},-2\sqrt{\tfrac{7}{3}}\right)\approx(1{,}53\,;-3{,}06)$ et son symétrique $\approx(-1{,}53\,;3{,}06)$. On vérifie que le dénominateur $x+2y=x-4x=-3x$ n'y est pas nul, ce qui est vrai puisque $x\ne 0$ : sans cette vérification, on risquerait de déclarer horizontale une tangente qui est en réalité indéterminée.

e) Tangente verticale signifie que la pente n'existe pas, donc dénominateur nul et numérateur non nul : $x+2y=0$, soit $y=-\frac{x}{2}$. En reportant : $x^{2}-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{4}=\frac{3x^{2}}{4}=7$, donc $x=\pm\sqrt{\frac{28}{3}}\approx\pm 3{,}055$, avec $y=\mp 1{,}528$. Ce que cela signifie pour la formule de c) : elle n'est valable qu'en dehors de ces deux points. Une formule de dérivation implicite porte toujours une condition implicite d'existence, celle de la non-annulation de son dénominateur, et l'oublier revient à affirmer qu'une courbe a une pente là où elle est verticale. Remarquez la symétrie du résultat : les tangentes horizontales et les tangentes verticales de cette ellipse se répondent par l'échange de $x$ et $y$, ce qui traduit la symétrie de l'équation elle-même.

a) Première dérivée, règle de chaîne : $f'(x)=5\left(2x^{3}+1\right)^{4}\cdot 6x^{2}=30x^{2}\left(2x^{3}+1\right)^{4}$. Deuxième, règle du produit sur $30x^{2}$ et $\left(2x^{3}+1\right)^{4}$ : $f''(x)=60x\left(2x^{3}+1\right)^{4}+30x^{2}\cdot 4\left(2x^{3}+1\right)^{3}\cdot 6x^{2}=60x\left(2x^{3}+1\right)^{4}+720x^{4}\left(2x^{3}+1\right)^{3}$. ON FACTORISE MAINTENANT, pas après : $f''(x)=60x\left(2x^{3}+1\right)^{3}\left[\left(2x^{3}+1\right)+12x^{3}\right]=60x\left(2x^{3}+1\right)^{3}\left(14x^{3}+1\right)$. Troisième dérivée : trois facteurs, donc trois termes. $f'''(x)=60\left(2x^{3}+1\right)^{3}\left(14x^{3}+1\right)+60x\cdot 18x^{2}\left(2x^{3}+1\right)^{2}\left(14x^{3}+1\right)+60x\left(2x^{3}+1\right)^{3}\cdot 42x^{2}$. On met $60\left(2x^{3}+1\right)^{2}$ en évidence : le crochet devient $\left(2x^{3}+1\right)\left(14x^{3}+1\right)+18x^{3}\left(14x^{3}+1\right)+42x^{3}\left(2x^{3}+1\right)$, soit $\left(28x^{6}+16x^{3}+1\right)+\left(252x^{6}+18x^{3}\right)+\left(84x^{6}+42x^{3}\right)=364x^{6}+76x^{3}+1$. Donc $f'''(x)=60\left(2x^{3}+1\right)^{2}\left(364x^{6}+76x^{3}+1\right)$. En $x=1$ : $60\times 9\times 441=540\times 441=238\,140$.

b) $g(x)=x^{-1}$. On calcule les premières : $g'=-x^{-2}$, $g''=2x^{-3}$, $g'''=-6x^{-4}$, $g^{(4)}=24x^{-5}$. Deux régularités apparaissent : le signe alterne, donc un facteur $(-1)^{n}$, et le coefficient est $1,2,6,24$, c'est-à-dire $n!$. L'exposant vaut $-(n+1)$. Donc $g^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}\,n!}{x^{n+1}}$. Justification par récurrence : la formule vaut pour $n=1$ ; si elle vaut au rang $n$, dériver $(-1)^{n}n!\,x^{-(n+1)}$ donne $(-1)^{n}n!\cdot\left(-(n+1)\right)x^{-(n+2)}=(-1)^{n+1}(n+1)!\,x^{-(n+2)}$, qui est bien la formule au rang $n+1$.

c) $y=(1-x)^{-1}$. Attention au signe intérieur : $y'=-1\cdot(1-x)^{-2}\cdot(-1)=(1-x)^{-2}$, les deux moins se compensent. Ensuite $y''=2(1-x)^{-3}$, $y'''=6(1-x)^{-4}$. Aucun signe n'alterne cette fois, et le coefficient est encore $n!$ : $y^{(n)}=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$. Comparer avec b) est instructif : les deux fonctions se ressemblent, mais le $-1$ intérieur de la chaîne annule exactement l'alternance des signes.

d) Les dérivées du sinus tournent en cycle de longueur 4 : $\sin x$, $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$, puis $\sin x$ de nouveau. Il suffit donc du reste de $2026$ dans la division par 4. Or $2024=4\times 506$, donc $2026=4\times 506+2$ et le reste vaut 2. La deuxième dérivée du cycle est $-\sin x$ : $h^{(2026)}(x)=-\sin x$.