Exercices corrigés : les coordonnées polaires (201-NYB)

a) $r=\sqrt{1+3}=2$. Le point est dans le DEUXIÈME quadrant ($x<0$, $y>0$). La calculatrice donne $\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)=\arctan\left(-\sqrt{3}\right)=-\frac{\pi}{3}$, qui désigne un point du quatrième quadrant : c'est faux. Il faut ajouter $\pi$ : $\theta=-\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{2\pi}{3}$. Vérification : $2\cos\frac{2\pi}{3}=-1$ et $2\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}$.

b) Pour $\left(3,-3\right)$ : $r=3\sqrt{2}$, quatrième quadrant, $\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}$ est correct, et dans $[0,2\pi[$ on écrit $\theta=\frac{7\pi}{4}$. Pour $\left(-2,-2\sqrt{3}\right)$ : $r=\sqrt{4+12}=4$, TROISIÈME quadrant, $\arctan\left(\frac{-2\sqrt{3}}{-2}\right)=\arctan\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$, valeur du premier quadrant : il faut encore ajouter $\pi$, d'où $\theta=\frac{4\pi}{3}$. Règle : ajoutez $\pi$ dès que $x<0$, quel que soit le signe de $y$.

c) $x=4\cos\frac{5\pi}{6}=4\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2\sqrt{3}$ et $y=4\sin\frac{5\pi}{6}=4\cdot\frac{1}{2}=2$. Le point cartésien est $\left(-2\sqrt{3},2\right)$. Ce sens de conversion, lui, ne présente aucune difficulté : c'est toujours l'autre qui piège.

d) $\left(2,\frac{\pi}{3}\right)$, $\left(2,\frac{\pi}{3}+2\pi\right)=\left(2,\frac{7\pi}{3}\right)$, $\left(2,\frac{\pi}{3}-2\pi\right)=\left(2,-\frac{5\pi}{3}\right)$, et avec $r<0$ : $\left(-2,\frac{\pi}{3}+\pi\right)=\left(-2,\frac{4\pi}{3}\right)$. Le pôle est un cas extrême : $\left(0,\theta\right)$ désigne l'origine pour TOUT $\theta$, il possède donc une infinité non dénombrable de représentations. C'est précisément pourquoi il échappe aux systèmes d'équations, comme on le verra à l'exercice 8.

e) En cartésien, $d^{2}=\left(r_{1}\cos\theta_{1}-r_{2}\cos\theta_{2}\right)^{2}+\left(r_{1}\sin\theta_{1}-r_{2}\sin\theta_{2}\right)^{2}$. En développant : $r_{1}^{2}\left(\cos^{2}\theta_{1}+\sin^{2}\theta_{1}\right)+r_{2}^{2}\left(\cos^{2}\theta_{2}+\sin^{2}\theta_{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\right)=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)$. C'est la loi des cosinus dans le triangle formé par le pôle et les deux points, l'angle au pôle valant $\theta_{1}-\theta_{2}$. Application : $d^{2}=9+25-2\cdot 15\cos\frac{\pi}{3}=34-15=19$, donc $d=\sqrt{19}\approx 4{,}36$.

a) $r=c$ est le cercle de centre le pôle et de rayon $\left|c\right|$. $\theta=\alpha$ est la DEMI-droite issue du pôle faisant l'angle $\alpha$ si l'on impose $r\geq 0$ ; si l'on autorise $r<0$, on obtient la droite complète, car $\left(-r,\alpha\right)$ décrit la demi-droite opposée.

b) Multiplions par $r$ : $r^{2}=4r\cos\theta$, soit $x^{2}+y^{2}=4x$, donc $\left(x-2\right)^{2}+y^{2}=4$. C'est le cercle de centre $\left(2,0\right)$ et de rayon 2, passant par le pôle. Il est parcouru exactement une fois pour $\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, intervalle sur lequel $r\geq 0$. Sur $[0,2\pi]$ il serait parcouru DEUX fois, car pour $\theta\in\left]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right[$ le rayon devient négatif et redessine le même cercle. C'est l'erreur qui double toutes les aires de cercles polaires.

c) $r^{2}=6r\sin\theta$ donne $x^{2}+y^{2}=6y$, soit $x^{2}+\left(y-3\right)^{2}=9$ : cercle de centre $\left(0,3\right)$ et de rayon 3, tangent à l'axe polaire au pôle. Il est parcouru une fois pour $\theta\in[0,\pi]$. Retenir : $r=2a\cos\theta$ est centré sur l'axe polaire, $r=2a\sin\theta$ sur l'axe $\theta=\frac{\pi}{2}$.

d) $r\cos\theta=x$, donc $r\cos\theta=3$ est la droite verticale $x=3$, d'équation polaire $r=\dfrac{3}{\cos\theta}=3\sec\theta$. Pour $x=d$ : $r=d\sec\theta$. Pour une droite dont le pied de la perpendiculaire issue du pôle est à distance $d$ dans la direction $\alpha$, la projection donne $r\cos\left(\theta-\alpha\right)=d$, soit $r=\dfrac{d}{\cos\left(\theta-\alpha\right)}$.

e) De $r\left(1+\cos\theta\right)=2$ on tire $r=2-r\cos\theta=2-x$, puis $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2-x$. En élevant au carré : $x^{2}+y^{2}=4-4x+x^{2}$, donc $y^{2}=4-4x=4\left(1-x\right)$. C'est une PARABOLE de sommet $\left(1,0\right)$, ouverte vers les $x$ négatifs, de foyer le pôle. Plus généralement $r=\dfrac{ed}{1+e\cos\theta}$ est une conique de foyer le pôle et d'excentricité $e$ : ellipse si $e<1$, parabole si $e=1$, hyperbole si $e>1$. C'est la forme sous laquelle Kepler écrit les orbites, et la seule raison pour laquelle les coordonnées polaires existent en mécanique céleste.

a) Symétrie par rapport à l'AXE POLAIRE : la courbe est inchangée si l'on remplace $\left(r,\theta\right)$ par $\left(r,-\theta\right)$, ou par $\left(-r,\pi-\theta\right)$. Symétrie par rapport à l'axe $\theta=\frac{\pi}{2}$ : si l'on remplace par $\left(r,\pi-\theta\right)$ ou par $\left(-r,-\theta\right)$. Symétrie par rapport au PÔLE : si l'on remplace par $\left(-r,\theta\right)$ ou par $\left(r,\theta+\pi\right)$.

b) $r=3\cos 2\theta$. Axe polaire : $3\cos\left(-2\theta\right)=3\cos 2\theta$, test réussi. Axe $\theta=\frac{\pi}{2}$ : $3\cos\left(2\pi-2\theta\right)=3\cos 2\theta$, réussi. Pôle : $3\cos\left(2\theta+2\pi\right)=3\cos 2\theta$, réussi. La courbe a les trois symétries. Comme $k=2$ est PAIR, la rosace a $2k=4$ pétales, de longueur 3, dirigés selon les axes, et elle est décrite exactement une fois sur $[0,2\pi]$.

c) $r=3\cos 3\theta$ : le test de l'axe polaire réussit, les deux autres échouent sous cette forme. Comme $k=3$ est IMPAIR, il y a $k=3$ pétales, et la courbe entière est déjà décrite sur $[0,\pi]$ ; sur $[0,2\pi]$ elle serait parcourue DEUX fois. La raison tient au signe : $\cos k\left(\theta+\pi\right)=\cos\left(k\theta+k\pi\right)$ vaut $\cos k\theta$ si $k$ est pair, et $-\cos k\theta$ si $k$ est impair. Quand $k$ est impair, le demi-tour suivant redonne les mêmes points via la représentation $\left(-r,\theta+\pi\right)$ : les pétales se superposent au lieu de s'intercaler.

d) $r=2+\sin\theta$. Axe polaire : $2+\sin\left(-\theta\right)=2-\sin\theta\neq r$, et la seconde forme donne $-2-\sin\left(\pi-\theta\right)$, qui échoue aussi : pas de symétrie par rapport à l'axe polaire, ce que confirme le fait que $r\left(\frac{\pi}{2}\right)=3$ alors que $r\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1$. Axe $\theta=\frac{\pi}{2}$ : $2+\sin\left(\pi-\theta\right)=2+\sin\theta=r$, test RÉUSSI. C'est un limaçon convexe, symétrique par rapport à l'axe vertical seulement.

e) Pour $r=\sin 2\theta$, le test « $-r$ à la place de $r$ » donne $-\sin 2\theta$, différent de $\sin 2\theta$ : ÉCHEC. Pourtant la seconde forme du même test, « $\theta+\pi$ à la place de $\theta$ », donne $\sin\left(2\theta+2\pi\right)=\sin 2\theta$ : SUCCÈS. La courbe est donc bien symétrique par rapport au pôle, comme le montre son tracé en quatre pétales sur les diagonales. Conclusion : les tests sont des conditions SUFFISANTES. Un test qui réussit prouve la symétrie ; un test qui échoue ne prouve rien du tout, il faut alors essayer l'autre forme, ou revenir au tracé. C'est une conséquence directe du fait qu'un point a plusieurs représentations polaires.

a) Si $a<b$ : limaçon avec BOUCLE INTÉRIEURE, car $r$ change de signe, exemple $r=1+2\cos\theta$. Si $a=b$ : CARDIOÏDE, $r$ s'annule sans changer de signe, exemple $r=3+3\cos\theta$. Si $b<a<2b$ : limaçon à CREUX, $r$ reste positif mais la courbe présente une concavité rentrante, exemple $r=3+2\cos\theta$. Si $a\geq 2b$ : limaçon CONVEXE, exemple $r=4+2\cos\theta$.

b) $1+2\cos\theta=0$ donne $\cos\theta=-\frac{1}{2}$, soit $\theta=\frac{2\pi}{3}$ et $\theta=\frac{4\pi}{3}$. Entre ces deux valeurs, $\cos\theta<-\frac{1}{2}$ donc $r<0$ : les points sont tracés dans la direction OPPOSÉE à $\theta$, ce qui produit la petite boucle intérieure. La boucle intérieure correspond donc exactement à $\theta\in\left[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right]$, et la boucle extérieure à $\theta\in\left[-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$. Retenir : les bornes d'une boucle sont TOUJOURS des zéros consécutifs de $r$.

c) $r=3+3\cos\theta$ est maximal quand $\cos\theta=1$, en $\theta=0$ : le point $\left(6,0\right)$ est à distance 6 du pôle. $r=0$ quand $\cos\theta=-1$, en $\theta=\pi$ : la courbe atteint le pôle. Comme $r\geq 0$ partout et s'annule sans changer de signe, la courbe y arrive et y repart du même côté : c'est un point de REBROUSSEMENT, la pointe caractéristique de la cardioïde.

d) Pour $r=4+2\cos\theta$, $\frac{a}{b}=2$ : $r$ varie entre 2 et 6, jamais nul, donc pas de boucle ; et le seuil de convexité $\frac{a}{b}\geq 2$ est atteint, donc pas de creux non plus, la courbe est une ovale convexe. Pour $r=3+2\cos\theta$, $\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$ est strictement compris entre 1 et 2 : $r$ varie entre 1 et 5 sans s'annuler, donc pas de boucle, mais la convexité est perdue et la courbe présente un creux du côté $\theta=\pi$, où le rayon minimal vaut 1.

e) RÈGLE : si $r\left(\theta_{0}\right)=0$ et $r'\left(\theta_{0}\right)\neq 0$, la tangente à la courbe au pôle est la droite $\theta=\theta_{0}$. Justification : la pente vaut $\dfrac{r'\sin\theta+r\cos\theta}{r'\cos\theta-r\sin\theta}$, qui se réduit en $\theta_{0}$ à $\dfrac{r'\left(\theta_{0}\right)\sin\theta_{0}}{r'\left(\theta_{0}\right)\cos\theta_{0}}=\tan\theta_{0}$, puisque $r\left(\theta_{0}\right)=0$ et que $r'\left(\theta_{0}\right)$ se simplifie. Application : $r'=-2\sin\theta$ ne s'annule ni en $\frac{2\pi}{3}$ ni en $\frac{4\pi}{3}$. Les deux tangentes au pôle sont donc les droites $\theta=\frac{2\pi}{3}$ et $\theta=\frac{4\pi}{3}$ : ce sont en réalité la MÊME droite, de pente $\tan\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}$, le long de laquelle la boucle intérieure entre et ressort.

a) On paramètre par $\theta$ : $x=r\left(\theta\right)\cos\theta$ et $y=r\left(\theta\right)\sin\theta$. En dérivant comme un produit, $\dfrac{dx}{d\theta}=r'\cos\theta-r\sin\theta$ et $\dfrac{dy}{d\theta}=r'\sin\theta+r\cos\theta$. La règle du quotient des dérivées en paramétrique donne alors directement $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{r'\sin\theta+r\cos\theta}{r'\cos\theta-r\sin\theta}$.

b) $r=1+\cos\theta$, $r'=-\sin\theta$. Alors $\dfrac{dy}{d\theta}=-\sin^{2}\theta+\left(1+\cos\theta\right)\cos\theta=-\left(1-\cos^{2}\theta\right)+\cos\theta+\cos^{2}\theta=2\cos^{2}\theta+\cos\theta-1=\left(2\cos\theta-1\right)\left(\cos\theta+1\right)$. Les zéros sont $\cos\theta=\frac{1}{2}$, soit $\theta=\pm\frac{\pi}{3}$, et $\cos\theta=-1$, soit $\theta=\pi$. En $\theta=\frac{\pi}{3}$ : $r=\frac{3}{2}$ et le point est $\left(\frac{3}{4},\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)$ ; en $\theta=-\frac{\pi}{3}$, le symétrique $\left(\frac{3}{4},-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)$. En $\theta=\pi$, $\frac{dx}{d\theta}$ s'annule aussi : c'est le point de rebroussement, pas une tangente horizontale.

c) $\dfrac{dx}{d\theta}=-\sin\theta\cos\theta-\left(1+\cos\theta\right)\sin\theta=-\sin\theta\left(2\cos\theta+1\right)$. Les zéros sont $\sin\theta=0$, soit $\theta=0$ ou $\theta=\pi$, et $\cos\theta=-\frac{1}{2}$, soit $\theta=\pm\frac{2\pi}{3}$. En $\theta=0$ : $r=2$, point $\left(2,0\right)$. En $\theta=\frac{2\pi}{3}$ : $r=\frac{1}{2}$, point $\left(-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$, et son symétrique en $\theta=-\frac{2\pi}{3}$. Le cas $\theta=\pi$ est de nouveau le rebroussement.

d) Soit $\phi$ l'angle de la tangente avec l'axe polaire ; alors $\psi=\phi-\theta$. En posant $\tan\phi=\dfrac{dy}{dx}$ et en utilisant la formule de la tangente d'une différence, $\tan\psi=\dfrac{\tan\phi-\tan\theta}{1+\tan\phi\tan\theta}$. En remplaçant $\tan\phi$ par l'expression de a et en multipliant haut et bas par $\cos\theta$, tous les termes se simplifient et il reste $\tan\psi=\dfrac{r}{r'}$. Pour la cardioïde : $\dfrac{r}{r'}=\dfrac{1+\cos\theta}{-\sin\theta}=\dfrac{2\cos^{2}\frac{\theta}{2}}{-2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}=-\cot\dfrac{\theta}{2}=\tan\left(\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)$, donc $\psi=\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{2}$. En $\theta=0$, $\psi=\frac{\pi}{2}$ : la tangente est perpendiculaire au rayon au point le plus éloigné, ce qui est visuellement évident.

e) Pour $r=e^{a\theta}$, on a $r'=ae^{a\theta}=ar$, donc $\tan\psi=\dfrac{r}{ar}=\dfrac{1}{a}$ : l'angle $\psi$ est CONSTANT, égal à $\arctan\frac{1}{a}$, quel que soit le point. La spirale coupe donc tous les rayons issus du pôle sous le même angle, d'où le nom de spirale équiangulaire. C'est la propriété qui la fait apparaître dans les coquilles de nautile et dans les trajectoires d'approche à cap constant, et c'est celle que Jacques Bernoulli a fait graver sur sa tombe avec la devise « eadem mutata resurgo ».

a) Découpons $\left[\alpha,\beta\right]$ en petits angles $d\theta$. Sur un tel angle, la région est presque un secteur circulaire de rayon $r\left(\theta\right)$, dont l'aire est la fraction $\frac{d\theta}{2\pi}$ du disque complet $\pi r^{2}$, soit $\frac{1}{2}r^{2}d\theta$. En sommant, $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}d\theta$. La quantité $\int r\,d\theta$ n'a aucune interprétation : $r\,d\theta$ est la longueur d'un ARC, pas une aire, et ses dimensions sont celles d'une longueur, pas d'une longueur au carré. C'est le contrôle dimensionnel qui doit vous alerter si vous oubliez le carré.

b) Le cercle est décrit une fois pour $\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. $A=\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}16\cos^{2}\theta\,d\theta=8\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta=8\cdot\frac{\pi}{2}=4\pi$. C'est bien $\pi R^{2}$ avec $R=2$. Sur $[0,2\pi]$ on trouverait $8\pi$ : le double, parce que le cercle est parcouru deux fois, une fois avec $r>0$ et une fois avec $r<0$. La formule d'aire compte les passages, exactement comme en paramétrique.

c) $A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+\cos\theta\right)^{2}d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta\right)d\theta$. Les trois morceaux valent $2\pi$, $0$ et $\pi$, donc $A=\frac{1}{2}\left(3\pi\right)=\frac{3\pi}{2}$. Pour une cardioïde $r=a\left(1+\cos\theta\right)$, l'aire est $\frac{3\pi a^{2}}{2}$, soit une fois et demie l'aire du disque de rayon $a$.

d) Un pétale de $r=3\cos 2\theta$ correspond à deux zéros consécutifs de $r$ : $\cos 2\theta=0$ donne $\theta=\pm\frac{\pi}{4}$. $A_{1}=\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}9\cos^{2}2\theta\,d\theta=\frac{9}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{9\pi}{8}\approx 3{,}53$. Comme $k=2$ est pair, il y a 4 pétales : aire totale $\frac{9\pi}{2}\approx 14{,}14$.

e) Pour $r=3\cos 3\theta$, $\cos 3\theta=0$ donne $\theta=\pm\frac{\pi}{6}$ pour le pétale central. $A_{1}=\frac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}9\cos^{2}3\theta\,d\theta=\frac{9}{2}\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{4}\approx 2{,}36$. Comme $k=3$ est impair, il y a 3 pétales : aire totale $\frac{9\pi}{4}\approx 7{,}07$. Les deux totaux diffèrent d'un facteur 2, alors que les deux courbes ont le même rayon maximal 3 : plus $k$ augmente, plus les pétales sont fins, et le total ne se conserve pas. Il n'existe aucun raccourci du type « aire totale $=$ nombre de pétales fois quelque chose de fixe » : il faut à chaque fois trouver les zéros de $r$ et compter les pétales selon la parité de $k$.

a) $r=0$ pour $\cos\theta=-\frac{1}{2}$, soit $\theta=\frac{2\pi}{3}$ et $\theta=\frac{4\pi}{3}$. Ce sont les instants où la courbe PASSE PAR LE PÔLE : entre deux passages consécutifs par le pôle, la courbe décrit une boucle fermée complète, et c'est exactement ce qu'il faut pour que $\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$ mesure une région bien définie. Prendre d'autres bornes reviendrait à mesurer un secteur tronqué.

b) La boucle intérieure est décrite pour $\theta\in\left[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right]$. En développant, $\left(1+2\cos\theta\right)^{2}=1+4\cos\theta+4\cos^{2}\theta=3+4\cos\theta+2\cos 2\theta$, dont une primitive est $3\theta+4\sin\theta+\sin 2\theta$. En $\frac{4\pi}{3}$ : $4\pi-2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=4\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}$. En $\frac{2\pi}{3}$ : $2\pi+2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=2\pi+\frac{3\sqrt{3}}{2}$. La différence vaut $2\pi-3\sqrt{3}$, donc $A_{\text{int}}=\frac{1}{2}\left(2\pi-3\sqrt{3}\right)=\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}544$. Le résultat est positif, comme il se doit, bien que $r$ y soit négatif : c'est $r^{2}$ qui est intégré.

c) La boucle extérieure correspond à $\theta\in\left[-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$. Avec la même primitive, et par parité, $A_{\text{ext}}=\frac{1}{2}\cdot 2\left(2\pi+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)=2\pi+\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 8{,}88$. C'est l'aire de toute la région enfermée par la grande boucle, boucle intérieure comprise.

d) La région entre les deux boucles s'obtient par soustraction : $A_{\text{entre}}=A_{\text{ext}}-A_{\text{int}}=\left(2\pi+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)-\left(\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)=\pi+3\sqrt{3}\approx 8{,}34$.