Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les courbes paramétrées

Cette fiche ne réénonce pas les formules du chapitre : elles tiennent en quatre lignes. Elle traite ce qui décide de la note, à savoir la lecture d'une courbe qui n'est pas un graphe, la distinction entre tangente verticale et rebroussement, et les deux formules dont un facteur est systématiquement perdu.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une courbe paramétrée n'est pas le graphe d'une fonction : elle peut se recouper, revenir sur ses pas, s'arrêter net. Presque toutes les pertes de points viennent d'avoir traité $t$ comme un $x$ , alors que $t$ est un TEMPS et la courbe une trajectoire.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Intégrale définie et impropre Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
3La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
4Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)
5Primitives et intégrale indéfinie
6La décomposition des fractions rationnelles
7Techniques d'intégration
8L'Hôpital et formes indéterminées
9Intégrale définie et impropre

L'essentiel

Ce qu'une courbe paramétrée peut faire, et qu'un graphe ne peut pas

• Une courbe paramétrée $\left(x(t),y(t)\right)$ peut se RECOUPER : deux valeurs de $t$ donnent le même point.
• Elle peut REBROUSSER : le mobile s'arrête et repart en sens inverse.
• Elle a une ORIENTATION, donnée par le sens des $t$ croissants, qu'il faut indiquer par une flèche.
• Une même courbe admet une INFINITÉ de paramétrages, qui la parcourent à des vitesses différentes.
• Le test de la verticale ne s'applique pas : $x$ n'est pas la variable, c'est une fonction du temps.

La courbe

x=t^{2}-1

y=t^{3}-t

repasse par l'origine pour

t=-1

t=1

: aucun graphe de fonction ne fait cela, et le point double ne se voit que sur le paramétrage.

Chercher les valeurs de $t$ qui donnent le même point est une question fréquente : on résout le SYSTÈME $x(t_{1})=x(t_{2})$ et $y(t_{1})=y(t_{2})$ .

Les quatre formules, et le facteur qui se perd

• Pente : $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{y'(t)}{x'(t)}$ , quotient de deux dérivées par rapport à $t$ .
• Dérivée seconde : $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{x'(t)}$ . Le dénominateur $x'(t)$ ne s'oublie pas.
• Longueur d'arc : $L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left[x'(t)\right]^{2}+\left[y'(t)\right]^{2}}\,dt$ , avec les DEUX dérivées.
• Aire sous la courbe : $\mathcal{A}=\int_{a}^{b}y(t)\,x'(t)\,dt$ , où le $x'(t)$ vient de $dx=x'(t)\,dt$ .
• Surface de révolution autour de l'axe des abscisses : $S=2\pi\int y(t)\sqrt{\left[x'\right]^{2}+\left[y'\right]^{2}}\,dt$ .

Toutes ces formules viennent de $dx=x'(t)\,dt$ et $dy=y'(t)\,dt$ . Les reconstruire à partir de là est plus sûr que de les mémoriser.

Tangentes remarquables et rebroussements

• Tangente HORIZONTALE : $y'(t)=0$ ET $x'(t)\neq 0$ .
• Tangente VERTICALE : $x'(t)=0$ ET $y'(t)\neq 0$ .
• Les deux nulles en même temps : point SINGULIER, souvent un rebroussement, et la pente se calcule par une limite.
• Vitesse du mobile : $\sqrt{\left[x'\right]^{2}+\left[y'\right]^{2}}$ . Elle s'annule exactement aux points singuliers.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Traiter la courbe comme un graphe de fonction

toute la question, quand on cherche à corriger un calcul juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe passe deux fois par l'origine, il y a une erreur dans mon calcul. »

Ce qu'il faut écrire

« $t=-1$ et $t=1$ donnent tous deux le point $(0\,;0)$ : c'est un point double, parfaitement normal pour une courbe paramétrée. »

Pourquoi : Une trajectoire peut se croiser elle-même : une voiture qui refait un tour de circuit repasse au même endroit à un autre instant. Le test de la verticale, appris pour les fonctions, n'a aucune validité ici.

2. Oublier le dénominateur dans la dérivée seconde

toute la question de concavité

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)$

Ce qu'il faut écrire

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{x'(t)}$

Pourquoi : La dérivée seconde est la dérivée de la pente PAR RAPPORT À $x$ , pas par rapport à $t$ . On applique donc une seconde fois la même règle de chaîne, en divisant par $x'(t)$ . Sans ce facteur, le signe peut même s'inverser là où $x'(t)<0$ , et tout le tableau de concavité est faux.

3. Confondre tangente verticale et point de rebroussement

1 à 2 points, et un tracé faux au point le plus visible de la courbe

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x'(t)=0$ , donc la tangente est verticale. »

Ce qu'il faut écrire

« $x'(t)=0$ ET $y'(t)\neq 0$ donne une tangente verticale; si $y'(t)=0$ aussi, c'est un point singulier et il faut calculer $\lim\frac{y'}{x'}$ . »

Sur l'astroïde

x=\cos^{3}t

y=\sin^{3}t

, les deux dérivées s'annulent aux quatre pointes : ce ne sont pas des tangentes verticales mais des REBROUSSEMENTS, où la courbe forme un angle.

Pourquoi : Sur l'astroïde, les deux dérivées s'annulent aux quatre pointes : la courbe y forme un angle, pas une tangente verticale. Vérifier la seconde dérivée avant de conclure prend cinq secondes et évite de lisser un rebroussement sur le dessin.

4. Éliminer le paramètre sans reporter les restrictions

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x=\cos t$ , $y=\sin t$ , donc $x^{2}+y^{2}=1$ : c'est le cercle entier. »

Ce qu'il faut écrire

« Si $t\in\left[0,\pi\right]$ , seul le DEMI-cercle supérieur est décrit, avec $y\ge 0$ . »

Pourquoi : L'élimination du paramètre donne une équation cartésienne, mais elle perd l'information de domaine. Le paramétrage décrit un MORCEAU de cette courbe, et il faut préciser lequel en reportant les bornes de $t$ sur $x$ et sur $y$ .

5. Oublier une des deux dérivées dans la longueur d'arc

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$L=\int\sqrt{1+\left[y'(t)\right]^{2}}\,dt$

Ce qu'il faut écrire

$L=\int\sqrt{\left[x'(t)\right]^{2}+\left[y'(t)\right]^{2}}\,dt$

Pourquoi : La formule à $1+\left[f'\right]^{2}$ vaut pour un graphe $y=f(x)$ , où l'abscisse avance à vitesse $1$ . Ici $x$ avance à vitesse $x'(t)$ , qui n'a aucune raison de valoir $1$ : le $1$ est remplacé par $\left[x'(t)\right]^{2}$ .

6. Oublier $x'(t)$ dans l'aire sous la courbe

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\mathcal{A}=\int_{a}^{b}y(t)\,dt$

Ce qu'il faut écrire

$\mathcal{A}=\int_{a}^{b}y(t)\,x'(t)\,dt$ , car $dx=x'(t)\,dt$

Pourquoi : L'aire est $\int y\,dx$ , et le changement de variable $x=x(t)$ impose de traduire aussi le $dx$ . C'est exactement le même oubli que celui du $dx$ dans une substitution ordinaire, et il donne un nombre sans unité correcte.

7. Ne pas indiquer l'orientation

1 point, celui du tracé complet

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Voici la courbe. »

Ce qu'il faut écrire

« Voici la courbe, parcourue dans le sens des $t$ croissants, indiqué par les flèches; elle part de $(0\,;0)$ pour $t=0$ . »

Pourquoi : Deux paramétrages peuvent donner la même courbe géométrique en la parcourant en sens contraires, et les questions de vitesse ou de position à un instant donné dépendent du sens. Une flèche et le point de départ suffisent, et le barème les attend.

8. Croire qu'un paramétrage est unique

1 point d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x=t$ , $y=t^{2}$ est LE paramétrage de la parabole. »

Ce qu'il faut écrire

« C'est UN paramétrage. $x=2u$ , $y=4u^{2}$ décrit la même parabole, deux fois plus vite. »

Pourquoi : La courbe géométrique et le mouvement qui la décrit sont deux objets distincts. La longueur d'arc, elle, ne dépend pas du paramétrage; la vitesse en dépend. Savoir lequel des deux la question demande évite de calculer la mauvaise grandeur.

Quelle méthode choisir

Que se passe-t-il au point de paramètre $t_{0}$

On calcule $x'(t_{0})$ et $y'(t_{0})$ , puis on lit le tableau. Ces deux nombres décident de tout.

Si $x'\neq 0$ → tangente de pente $\frac{y'}{x'}$ , courbe localement un graphe de fonction

Exemple : cycloïde en $t=\frac{\pi}{2}$ : pente $\frac{\sin t}{1-\cos t}=1$
Si $y'=0$ et $x'\neq 0$ → tangente HORIZONTALE

Exemple : cycloïde en $t=\pi$ , au sommet de l'arche
Si $x'=0$ et $y'\neq 0$ → tangente VERTICALE

Exemple : cercle $x=\cos t$ , $y=\sin t$ en $t=0$
Si $x'=0$ ET $y'=0$ → point SINGULIER : calculer $\lim_{t\to t_{0}}\frac{y'(t)}{x'(t)}$ pour obtenir la tangente, et vérifier s'il y a rebroussement

Exemple : astroïde aux quatre pointes, cycloïde aux points de contact avec le sol

Un point singulier n'est pas forcément un rebroussement : il peut aussi être un point ordinaire parcouru en ralentissant. C'est la limite de la pente qui tranche.

Comment éliminer le paramètre

Le but est une équation en $x$ et $y$ seuls. La méthode dépend de la forme des deux expressions.

Si l'une des deux équations s'inverse facilement → isoler $t$ et substituer dans l'autre

Exemple : $x=2t+1$ donne $t=\frac{x-1}{2}$ , à reporter dans $y$
Si les deux contiennent $\cos t$ et $\sin t$ → isoler $\cos t$ et $\sin t$ , puis utiliser $\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$

Exemple : $x=3\cos t$ , $y=2\sin t$ donne $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$
Si les deux contiennent des puissances du même bloc → élever à la bonne puissance pour faire apparaître un facteur commun

Exemple : $x=\cos^{3}t$ , $y=\sin^{3}t$ donne $x^{2/3}+y^{2/3}=1$
Si aucune élimination simple n'apparaît → ne pas insister : l'étude se mène très bien sur le paramétrage, et l'énoncé ne la demande souvent pas

Exemple : la cycloïde n'a pas d'équation cartésienne élémentaire

Après élimination, TOUJOURS reporter les bornes de $t$ sur $x$ et $y$ : l'équation cartésienne décrit souvent plus que le paramétrage.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

L'étude d'une courbe paramétrée, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Question longue demandant tangentes, points remarquables et tracé.

1 Donner le domaine de $t$ et calculer $x'(t)$ et $y'(t)$ , factorisés.
2 Résoudre $x'(t)=0$ et $y'(t)=0$ séparément, et dresser un tableau des SIGNES des deux dérivées.
3 Classer chaque valeur critique : tangente horizontale, verticale, ou point singulier.
4 Calculer les coordonnées de chaque point remarquable, et pas seulement son paramètre.
5 Tracer en respectant le sens des $t$ croissants, et poser une flèche.

Phrase de conclusion

En $t=\pi$ , $x'(\pi)=2\neq 0$ et $y'(\pi)=0$ : la tangente est horizontale au point $(\pi\,;2)$ , sommet de l'arche.

Le piège : Donner les points remarquables par leur PARAMÈTRE au lieu de leurs coordonnées. « Tangente horizontale en $t=\pi$ » ne situe rien sur le dessin; il faut le couple $(x,y)$ .

Barème : En général 2 points pour le tableau des deux dérivées, 1 point par point remarquable correctement classé, 2 points pour le tracé orienté.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier la pente sur deux points voisins

Calculer les coordonnées en $t_{0}$ et en $t_{0}+0{,}01$ , puis le quotient des accroissements : il doit coïncider avec $\frac{y'}{x'}$ .

Cycloïde en $t=\frac{\pi}{2}$ : la formule donne $1$ , et le quotient numérique donne $0{,}995$ ✓.
Contrôler la longueur d'arc contre la corde

La longueur calculée doit dépasser la distance entre les extrémités, et rester inférieure à la somme des variations de $x$ et de $y$ .

Un arc de cycloïde va de $(0\,;0)$ à $(2\pi\,;0)$ , soit une corde de $6{,}28$ ; la longueur $8$ est plausible, une longueur de $5$ ne le serait pas.
Vérifier qu'un point double est bien double

Substituer les deux valeurs de $t$ trouvées dans $x$ ET dans $y$ : les deux coordonnées doivent coïncider, pas seulement l'une des deux.

$t=\pm 1$ donnent $x=0$ et $y=0$ dans les deux cas ✓. Une seule coordonnée qui coïncide ne suffit pas.
Comparer l'équation cartésienne au paramétrage

Après élimination, choisir une valeur de $t$ , calculer le point, et vérifier qu'il satisfait l'équation cartésienne obtenue.

$x=3\cos t$ , $y=2\sin t$ en $t=\frac{\pi}{3}$ donne $(1{,}5\,;1{,}73)$ , et $\frac{2{,}25}{9}+\frac{3}{4}=1$ ✓.

L'exercice type décortiqué

Un arc de cycloïde, de la tangente à la longueur

La cycloïde est décrite par $x(t)=t-\sin t$ et $y(t)=1-\cos t$ , pour $t\in\left[0,2\pi\right]$ .

Étudier les tangentes remarquables, puis calculer la longueur d'un arc.

Un arc de cycloïde, trajectoire d'un point d'une roue qui roule sans glisser : la courbe touche le sol en

t=0

t=2\pi

, où la roue s'arrête un instant.

Étape 1

$x'(t)=1-\cos t$ et $y'(t)=\sin t$ . Le premier est POSITIF ou nul partout, et s'annule seulement en $t=0$ et $t=2\pi$ .

Pourquoi

Factoriser et étudier le signe des deux dérivées est la première ligne : $1-\cos t\ge 0$ dit déjà que le mobile ne recule jamais horizontalement.

Étape 2

Tangente horizontale : $y'(t)=\sin t=0$ avec $x'(t)\neq 0$ , donc $t=\pi$ , au point $\left(\pi\,;2\right)$ , sommet de l'arche.

Pourquoi

On vérifie les DEUX conditions. Le point est donné par ses coordonnées, pas par son paramètre : c'est ce qui permet de le placer sur le dessin.

Étape 3

En $t=0$ et $t=2\pi$ : $x'=0$ ET $y'=0$ , points SINGULIERS. La pente s'obtient par $\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\sin t}{1-\cos t}$ , forme $\frac{0}{0}$ , qui vaut $\lim\frac{\cos t}{\sin t}=+\infty$ : la tangente est verticale, et il s'agit d'un rebroussement.

Pourquoi

Les deux dérivées nulles interdisent la formule $\frac{y'}{x'}$ : il faut passer par la limite, et c'est L'Hospital qui la donne. Conclure à une tangente verticale sans ce calcul serait une chance, pas un raisonnement.

Étape 4

Longueur : $L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(1-\cos t\right)^{2}+\sin^{2}t}\,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2-2\cos t}\,dt$ .

Pourquoi

Le développement donne $1-2\cos t+\cos^{2}t+\sin^{2}t=2-2\cos t$ , grâce à l'identité fondamentale. C'est la simplification que la formule attend, et elle rend le radicande intégrable.

Étape 5

Identité de l'angle moitié : $1-\cos t=2\sin^{2}\frac{t}{2}$ , donc $\sqrt{2-2\cos t}=2\left|\sin\frac{t}{2}\right|=2\sin\frac{t}{2}$ sur $\left[0,2\pi\right]$ , où le sinus de la moitié est positif.

Pourquoi

La valeur absolue se supprime en justifiant le SIGNE sur l'intervalle : sur $\left[0,2\pi\right]$ , $\frac{t}{2}$ parcourt $\left[0,\pi\right]$ où le sinus est positif. Cette justification vaut un demi-point.

Étape 6

$L=\int_{0}^{2\pi}2\sin\frac{t}{2}\,dt=\left[-4\cos\frac{t}{2}\right]_{0}^{2\pi}=-4(-1)+4(1)=8$ . Contrôle : la corde vaut $2\pi\approx 6{,}28$ , et $8>6{,}28$ ✓.

Pourquoi

Le résultat est un entier, ce qui est un bon indice de calcul juste, et il dépasse la corde comme toute longueur d'arc doit le faire. Deux vérifications pour le prix d'une.

Conclusion rédigée

L'arc de cycloïde a une tangente horizontale en $\left(\pi\,;2\right)$ , deux rebroussements à tangente verticale aux extrémités, et une longueur de $8$ unités, soit exactement quatre fois le diamètre de la roue.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$ en $t=0$ et conclure « forme $\frac{0}{0}$ , donc pas de tangente ». La forme indéterminée n'interdit rien : elle demande une limite, qui existe ici et vaut l'infini, donc une tangente verticale.

À savoir par cœur

• Une courbe paramétrée peut se recouper et rebrousser : le test de la verticale ne s'y applique pas.
• $\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}$ , quotient de deux dérivées par rapport à $t$ .
• Dérivée seconde : dériver la PENTE par rapport à $t$ , puis DIVISER par $x'(t)$ .
• Tangente horizontale : $y'=0$ et $x'\neq 0$ . Verticale : $x'=0$ et $y'\neq 0$ .
• Les deux nulles : point singulier, la tangente se lit sur $\lim\frac{y'}{x'}$ .
• Longueur : $\int\sqrt{\left[x'\right]^{2}+\left[y'\right]^{2}}\,dt$ , jamais $\sqrt{1+\left[y'\right]^{2}}$ .
• Aire : $\int y(t)\,x'(t)\,dt$ , le $x'(t)$ venant de $dx=x'(t)\,dt$ .
• Après élimination du paramètre, reporter les bornes de $t$ sur $x$ et sur $y$ .

Questions fréquentes

Pourquoi une courbe paramétrée peut-elle se recouper ?

Parce qu'elle décrit une trajectoire dans le temps, pas le graphe d'une fonction. Deux instants différents peuvent correspondre au même point du plan, exactement comme une voiture repasse au même endroit après un tour de circuit. Le test de la verticale, valable pour les fonctions, ne s'applique pas ici.

Comment calculer la pente d'une courbe paramétrée ?

On divise la dérivée de y par rapport au paramètre par la dérivée de x par rapport au paramètre. Cela vient de la règle de chaîne : les deux petits d t se simplifient. La formule n'est valable que lorsque la dérivée de x ne s'annule pas.

Quelle est la différence entre une tangente verticale et un rebroussement ?

Une tangente verticale correspond à une dérivée de x nulle avec une dérivée de y non nulle : le mobile continue son chemin. Un rebroussement correspond aux deux dérivées nulles : le mobile s'arrête et repart, formant un angle. Il faut donc toujours vérifier les deux dérivées avant de conclure.

Pourquoi la longueur d'arc contient-elle les deux dérivées ?

Parce que la longueur d'un petit morceau de trajectoire est la racine de la somme des carrés des deux déplacements, par Pythagore. Sur un graphe de fonction, l'abscisse avance à vitesse un et la formule se simplifie. Ici les deux coordonnées avancent à leur propre vitesse, et aucune ne vaut un.

Faut-il éliminer le paramètre pour étudier la courbe ?

Non, et souvent ce n'est même pas possible. La cycloïde n'a pas d'équation cartésienne élémentaire, ce qui n'empêche ni le calcul des tangentes ni celui de la longueur. Quand l'élimination est possible, il faut penser à reporter les bornes du paramètre, sinon l'équation obtenue décrit plus que la courbe étudiée.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les courbes paramétrées

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Les coordonnées polaires

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Fiche de révision : les courbes paramétrées

L'essentiel

Ce qu'une courbe paramétrée peut faire, et qu'un graphe ne peut pas

Les quatre formules, et le facteur qui se perd

Tangentes remarquables et rebroussements

Les pièges qui coûtent des points

1. Traiter la courbe comme un graphe de fonction

2. Oublier le dénominateur dans la dérivée seconde

3. Confondre tangente verticale et point de rebroussement

4. Éliminer le paramètre sans reporter les restrictions

5. Oublier une des deux dérivées dans la longueur d'arc

6. Oublier x′(t)x'(t)x′(t) dans l'aire sous la courbe

7. Ne pas indiquer l'orientation

8. Croire qu'un paramétrage est unique

Quelle méthode choisir

Que se passe-t-il au point de paramètre t0t_{0}t0​

Comment éliminer le paramètre

La rédaction attendue

L'étude d'une courbe paramétrée, rédigée pour le correcteur

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un arc de cycloïde, de la tangente à la longueur

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi une courbe paramétrée peut-elle se recouper ?

Comment calculer la pente d'une courbe paramétrée ?

Quelle est la différence entre une tangente verticale et un rebroussement ?

Pourquoi la longueur d'arc contient-elle les deux dérivées ?

Faut-il éliminer le paramètre pour étudier la courbe ?

Exercices corrigés : Les courbes paramétrées

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6. Oublier $x'(t)$ dans l'aire sous la courbe

Que se passe-t-il au point de paramètre $t_{0}$