Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les coordonnées polaires

Q: Le rayon polaire peut-il être négatif ?

Oui. Un rayon négatif signifie que le point se place dans la direction opposée à l'angle indiqué. C'est ce qui permet à une rose de coefficient pair d'avoir deux fois plus de pétales que son coefficient, la moitié d'entre eux étant tracés avec des valeurs négatives du rayon.

Q: Pourquoi le système d'équations ne donne-t-il pas toutes les intersections ?

Parce qu'il suppose que les deux courbes passent au même point pour le même angle. Or le pôle porte une infinité de noms, un pour chaque angle, donc deux courbes peuvent y passer à des angles différents. Il faut donc résoudre séparément la nullité de chaque rayon pour tester le pôle.

Q: D'où vient le facteur un demi dans l'aire polaire ?

De l'aire d'un secteur circulaire, qui vaut la moitié du carré du rayon multipliée par l'angle. La tranche élémentaire d'une région polaire est un secteur très mince, pas un rectangle. Le contrôle immédiat est d'appliquer la formule à un cercle de rayon constant, qui doit redonner pi fois le rayon au carré.

Q: Comment trouver les bornes d'une aire polaire ?

En cherchant les angles où le rayon s'annule, car c'est là que la courbe revient au pôle et referme une boucle. Pour une aire entre deux courbes, les bornes sont les angles d'intersection. Intégrer au-delà recompte des régions déjà parcourues et double ou quadruple la réponse.

Q: Combien de pétales a une rose polaire ?

Si le coefficient de l'angle est impair, la rose a exactement ce nombre de pétales. S'il est pair, elle en a le double. La raison tient au signe du rayon : avec un coefficient impair, la seconde moitié du tour retrace les mêmes pétales, alors qu'avec un coefficient pair elle en trace de nouveaux.

Cette fiche ne réexplique pas la conversion entre les deux systèmes de coordonnées : elle tient en deux lignes. Elle traite ce qui décide de la note, à savoir la non-unicité de la représentation polaire et ses conséquences sur les intersections, puis les trois facteurs que la formule de l'aire perd le plus souvent.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

En polaires, $r$ peut être NÉGATIF et l'angle se lit modulo $2\pi$ : un même point a une infinité de représentations. C'est de là que viennent toutes les pertes de points du chapitre, à commencer par les intersections que le système d'équations ne donne jamais.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les courbes paramétrées Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)
2La décomposition des fractions rationnelles
3Techniques d'intégration
4L'Hôpital et formes indéterminées
5Intégrale définie et impropre
6Les courbes paramétrées

L'essentiel

Un point, une infinité de noms

• Conversion : $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ ; réciproquement $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ et $\tan\theta=\frac{y}{x}$ , en surveillant le QUADRANT.
• $\left(r,\theta\right)$ et $\left(r,\theta+2k\pi\right)$ désignent le même point.
• $\left(-r,\theta\right)$ et $\left(r,\theta+\pi\right)$ aussi : un rayon NÉGATIF se lit dans la direction opposée.
• Le PÔLE, origine du repère, s'écrit $\left(0,\theta\right)$ pour n'importe quel $\theta$ : c'est le point le plus ambigu du plan.

La rose

r=\cos 2\theta

a QUATRE pétales : deux sont tracés par des valeurs positives de

r

, deux par des valeurs négatives, dans la direction opposée à l'angle.

Cette non-unicité n'est pas une curiosité : elle est la cause directe des deux pièges les plus coûteux du chapitre, les intersections manquées et les boucles comptées deux fois.

Les formules du chapitre, avec leurs facteurs

• AIRE d'un secteur : $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\left[r(\theta)\right]^{2}d\theta$ . Le $\frac{1}{2}$ ET le carré sont obligatoires.
• Aire ENTRE deux courbes polaires : $\frac{1}{2}\int\left(r_{\text{ext}}^{2}-r_{\text{int}}^{2}\right)d\theta$ , différence des carrés.
• LONGUEUR d'arc : $L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left[r(\theta)\right]^{2}+\left[r'(\theta)\right]^{2}}\,d\theta$ .
• PENTE de la tangente : $\frac{dy}{dx}=\frac{r'\sin\theta+r\cos\theta}{r'\cos\theta-r\sin\theta}$ , obtenue en paramétrant par $\theta$ .

Le $\frac{1}{2}$ de l'aire vient de l'aire d'un secteur circulaire, $\frac{1}{2}r^{2}\Delta\theta$ : la tranche est un triangle mince, pas un rectangle.

Les courbes à reconnaître d'un coup d'œil

• $r=a$ : cercle centré au pôle. $\theta=\alpha$ : droite passant par le pôle.
• $r=2a\cos\theta$ : cercle de rayon $a$ centré en $(a,0)$ ; $r=2a\sin\theta$ : cercle centré en $(0,a)$ .
• $r=a\left(1\pm\cos\theta\right)$ ou $a\left(1\pm\sin\theta\right)$ : CARDIOÏDE.
• $r=a\cos(n\theta)$ : rose à $n$ pétales si $n$ est IMPAIR, à $2n$ pétales si $n$ est PAIR.
• $r^{2}=a^{2}\cos 2\theta$ : lemniscate, en forme de huit couché.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Refuser un rayon négatif

toute la question de tracé, la moitié des pétales disparaissant

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $r=\cos 2\theta$ devient négatif entre $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4}$ , donc la courbe n'existe pas là. »

Ce qu'il faut écrire

« $r<0$ signifie que le point se place dans la direction OPPOSÉE à $\theta$ : ces valeurs tracent deux pétales supplémentaires. »

Pourquoi : Le rayon polaire est une coordonnée signée, pas une distance. Une rose à quatre pétales tracée avec deux pétales seulement signale exactement cette erreur, et elle se voit au premier regard sur la copie.

2. Oublier le pôle dans une intersection

toute la question, et une aire fausse si le découpage en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $1+\cos\theta=1-\cos\theta$ donne $\theta=\frac{\pi}{2}$ et $\frac{3\pi}{2}$ : deux points d'intersection. »

Ce qu'il faut écrire

« Il y en a TROIS : les deux du système, plus le PÔLE, atteint par la première courbe en $\theta=\pi$ et par la seconde en $\theta=0$ . »

Les deux cardioïdes se coupent en trois points visibles, mais le système n'en donne que deux : le PÔLE est atteint par chacune à un angle différent, donc il échappe à l'équation.

Pourquoi : Le système d'équations suppose que les deux courbes passent au même point POUR LE MÊME angle. Au pôle, ce n'est pas nécessaire, puisque $\left(0,\theta\right)$ est le même point pour tout $\theta$ . Il faut donc toujours tester le pôle SÉPARÉMENT, en résolvant $r=0$ pour chaque courbe.

3. Oublier le facteur un demi dans l'aire

toute la question, la réponse étant deux fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\mathcal{A}=\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}\,d\theta$

Ce qu'il faut écrire

$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}\,d\theta$

Pourquoi : La tranche élémentaire est un secteur circulaire d'aire $\frac{1}{2}r^{2}\Delta\theta$ , pas un rectangle. Contrôle immédiat sur le cercle $r=a$ : la formule doit redonner $\pi a^{2}$ , ce que seule la version avec $\frac{1}{2}$ fait.

4. Oublier le carré dans l'aire

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\int r\,d\theta$

Ce qu'il faut écrire

$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\int r^{2}\,d\theta$

Pourquoi : Sans le carré, l'expression n'a même pas la dimension d'une aire : $r\,d\theta$ est une longueur d'arc, pas une surface. Le contrôle dimensionnel suffit à écarter cette version, et il ne coûte rien.

5. Intégrer sur un tour complet là où une boucle suffit

toute la question, le résultat comptant les quatre pétales

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Aire d'un pétale de $r=\cos 2\theta$ : $\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}2\theta\,d\theta$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Un pétale se parcourt pour $\theta\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$ : $\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^{2}2\theta\,d\theta=\frac{\pi}{8}$ . »

Pourquoi : Les bornes d'une aire polaire se trouvent en cherchant où $r$ s'annule, c'est-à-dire où la courbe revient au pôle : ce sont ces angles qui délimitent une boucle. Intégrer au-delà recompte des régions déjà parcourues.

6. Se tromper de nombre de pétales

1 à 2 points sur le tracé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $r=\cos 2\theta$ a deux pétales, puisque le coefficient vaut $2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Coefficient PAIR donne $2n$ pétales, coefficient IMPAIR en donne $n$ : ici $n=2$ , donc QUATRE pétales. »

Pourquoi : La règle vient du signe de $r$ : quand $n$ est impair, la seconde moitié du tour retrace les mêmes pétales avec $r<0$ ; quand $n$ est pair, elle en trace de nouveaux. Compter les zéros de $r$ sur un tour donne la réponse sans avoir à retenir la règle.

7. Confondre la pente de la tangente et la dérivée du rayon

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La tangente a pour pente $r'(\theta)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{dy}{dx}=\frac{r'\sin\theta+r\cos\theta}{r'\cos\theta-r\sin\theta}$ , obtenue en paramétrant $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ . »

Pourquoi : $r'(\theta)$ mesure la vitesse d'éloignement au pôle, pas l'inclinaison de la courbe. La pente s'obtient en traitant la courbe comme paramétrée par $\theta$ , ce qui fait apparaître deux termes en haut et deux en bas par la règle du produit.

8. Perdre le quadrant en convertissant vers les polaires

toute la question, le point obtenu étant le symétrique par rapport au pôle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x=-1$ , $y=-1$ donne $\tan\theta=1$ , donc $\theta=\frac{\pi}{4}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le point est au TROISIÈME quadrant : $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , et $r=\sqrt{2}$ . »

Pourquoi : La fonction arc tangente ne renvoie que des angles entre $-\frac{\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{2}$ : elle ne distingue pas le premier du troisième quadrant, ni le second du quatrième. Un dessin sommaire du point, avant tout calcul, règle la question.

Quelle méthode choisir

Comment trouver TOUTES les intersections de deux courbes polaires

Le système d'équations ne suffit jamais. Il faut trois vérifications, dans cet ordre.

Si on cherche les intersections « au même angle » → résoudre $r_{1}(\theta)=r_{2}(\theta)$ sur un tour complet

Exemple : $1+\cos\theta=1-\cos\theta$ donne $\theta=\frac{\pi}{2}$ et $\frac{3\pi}{2}$
Si on cherche si le PÔLE est commun → résoudre $r_{1}=0$ et $r_{2}=0$ SÉPARÉMENT; si les deux ont une solution, le pôle est une intersection

Exemple : $1+\cos\theta=0$ en $\pi$ et $1-\cos\theta=0$ en $0$ : le pôle est commun
Si les deux courbes peuvent se rencontrer avec des rayons opposés → résoudre aussi $r_{1}(\theta)=-r_{2}(\theta+\pi)$

Exemple : utile sur les roses et les lemniscates
Si un doute persiste → TRACER les deux courbes : le dessin donne le nombre de points, l'algèbre donne leurs coordonnées

Exemple : trois points visibles pour deux solutions du système signale un pôle oublié

Le dessin n'est pas une preuve mais un compteur : il dit combien de points chercher, ce qui suffit à savoir si le système en a manqué.

Quelles symétries exploiter

Un test de symétrie coûte dix secondes et divise le tracé par deux ou par quatre.

Si remplacer $\theta$ par $-\theta$ ne change pas $r$ → symétrie par rapport à l'AXE POLAIRE, l'axe des abscisses

Exemple : $r=1+\cos\theta$ , puisque le cosinus est pair
Si remplacer $\theta$ par $\pi-\theta$ ne change pas $r$ → symétrie par rapport à la droite $\theta=\frac{\pi}{2}$ , l'axe des ordonnées

Exemple : $r=1+\sin\theta$
Si remplacer $r$ par $-r$ , ou $\theta$ par $\theta+\pi$ , ne change pas la courbe → symétrie par rapport au PÔLE

Exemple : $r^{2}=\cos 2\theta$
Si aucun test ne fonctionne → tracer point par point sur un tour, en tabulant $r$ pour les angles remarquables

Exemple : toutes les $\frac{\pi}{12}$ suffit pour une courbe d'examen

Un test de symétrie qui échoue ne prouve pas l'absence de symétrie : ces tests sont suffisants, pas nécessaires. On peut donc tester les trois sans crainte.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une aire polaire, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute question demandant l'aire d'une boucle, d'un pétale ou d'une région entre deux courbes polaires.

1 Déterminer les BORNES en résolvant $r(\theta)=0$ , ou en cherchant les angles d'intersection.
2 Justifier que ces bornes délimitent bien UNE boucle, parcourue une seule fois.
3 Écrire la formule complète avec le $\frac{1}{2}$ et le carré.
4 Linéariser le carré trigonométrique par les formules de duplication avant d'intégrer.
5 Calculer et conclure avec l'unité d'aire.

Phrase de conclusion

L'aire de la cardioïde $r=1+\cos\theta$ vaut $\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+\cos\theta\right)^{2}d\theta=\frac{3\pi}{2}$ unités d'aire.

Le piège : Intégrer $\cos^{2}\theta$ sans linéariser. La table ne donne pas cette primitive directement : il faut passer par $\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$ , et cette ligne est attendue sur la copie.

Barème : En général 1 point pour les bornes justifiées, 1 point pour la formule complète, 1 point pour la linéarisation, 1 point pour le calcul final.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier une aire polaire sur un cercle

Appliquer la formule à $r=a$ constante : elle doit redonner $\pi a^{2}$ . C'est le contrôle qui attrape le facteur $\frac{1}{2}$ manquant.

$\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}a^{2}d\theta=\frac{1}{2}a^{2}(2\pi)=\pi a^{2}$ ✓. Sans le $\frac{1}{2}$ , on obtiendrait $2\pi a^{2}$ , le double.
Compter les points d'intersection sur le dessin

Tracer sommairement les deux courbes et compter les croisements visibles, puis comparer au nombre de solutions du système.

Trois croisements visibles pour deux solutions algébriques : le pôle a été oublié, comme sur les deux cardioïdes opposées.
Contrôler le nombre de pétales par les zéros de $r$

Compter les valeurs de $\theta$ sur un tour où $r$ s'annule : chaque paire de zéros consécutifs délimite une boucle.

$\cos 2\theta$ s'annule huit fois sur $\left[0,2\pi\right]$ , ce qui délimite huit demi-pétales, donc quatre pétales ✓.
Convertir un point trouvé et le replacer

Après avoir obtenu $\left(r,\theta\right)$ , calculer $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ et vérifier que le point tombe dans le bon quadrant.

$\left(\sqrt{2},\frac{5\pi}{4}\right)$ donne $(-1\,;-1)$ ✓, troisième quadrant; $\left(\sqrt{2},\frac{\pi}{4}\right)$ aurait donné $(1\,;1)$ .

L'exercice type décortiqué

L'aire d'une cardioïde, de la borne à la linéarisation

Calculer l'aire de la région intérieure à la cardioïde $r=1+\cos\theta$ .

La cardioïde

r=1+\cos\theta

atteint son maximum

2

\theta=0

et revient au pôle en

\theta=\pi

: un tour complet la décrit exactement une fois.

Étape 1

Bornes : $r=1+\cos\theta$ s'annule seulement en $\theta=\pi$ , et la courbe se referme après un tour complet. On intègre donc de $0$ à $2\pi$ .

Pourquoi

Justifier que le tour est parcouru UNE seule fois est indispensable : sur une rose, le même raisonnement conduirait à des bornes bien plus étroites, et intégrer sur $2\pi$ compterait quatre fois la même région.

Étape 2

Symétrie : $\cos(-\theta)=\cos\theta$ , donc $r(-\theta)=r(\theta)$ : la courbe est symétrique par rapport à l'axe polaire. On peut intégrer de $0$ à $\pi$ et DOUBLER.

Pourquoi

Le test coûte dix secondes et divise le travail par deux. Il est facultatif ici mais indispensable sur les courbes où l'intégrale complète est lourde.

Étape 3

$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+\cos\theta\right)^{2}d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta\right)d\theta$ .

Pourquoi

Le $\frac{1}{2}$ et le carré sont écrits avant tout développement : c'est la seule protection contre les deux oublis les plus fréquents du chapitre.

Étape 4

Linéarisation : $\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$ , donc l'intégrande devient $\frac{3}{2}+2\cos\theta+\frac{\cos 2\theta}{2}$ .

Pourquoi

Aucune table ne donne la primitive de $\cos^{2}$ directement. La formule de duplication est la seule voie, et c'est la ligne que le barème attend explicitement.

Étape 5

Sur $\left[0,2\pi\right]$ , $\int\cos\theta\,d\theta=0$ et $\int\cos 2\theta\,d\theta=0$ : il ne reste que $\frac{3}{2}\times 2\pi=3\pi$ . Donc $\mathcal{A}=\frac{1}{2}(3\pi)=\frac{3\pi}{2}$ .

Pourquoi

Les deux termes en cosinus s'annulent sur un tour complet, ce qui rend le calcul immédiat. Le remarquer avant d'intégrer économise deux lignes.

Étape 6

Contrôle : la cardioïde est contenue dans le disque de rayon $2$ , d'aire $4\pi\approx 12{,}57$ ; la réponse $\frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71$ en représente un peu plus du tiers, ce qui correspond au dessin ✓.

Pourquoi

Un encadrement par un disque simple attrape le facteur $2$ manquant : sans le $\frac{1}{2}$ , on aurait trouvé $3\pi\approx 9{,}42$ , presque toute l'aire du disque, ce qui est visiblement faux.

Conclusion rédigée

L'aire intérieure à la cardioïde $r=1+\cos\theta$ vaut $\frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71$ unités d'aire, soit une fois et demie l'aire du disque unité.

L'erreur classique sur cet exercice : Intégrer $\left(1+\cos\theta\right)^{2}$ sans linéariser $\cos^{2}\theta$ , ou pire, écrire $\left(1+\cos\theta\right)^{2}=1+\cos^{2}\theta$ . Le double produit $2\cos\theta$ ne disparaît pas, même s'il finit par s'intégrer à zéro sur un tour complet.

À savoir par cœur

• $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ ; et pour la réciproque, surveiller le QUADRANT.
• $r$ peut être NÉGATIF : le point se place dans la direction opposée à $\theta$ .
• Le pôle s'écrit $\left(0,\theta\right)$ pour tout $\theta$ : il échappe toujours au système d'intersection.
• Aire : $\frac{1}{2}\int r^{2}\,d\theta$ . Le $\frac{1}{2}$ et le carré, tous les deux.
• Bornes d'une boucle : les angles où $r$ s'annule.
• Rose $r=a\cos(n\theta)$ : $n$ pétales si $n$ impair, $2n$ si $n$ pair.
• Longueur : $\int\sqrt{r^{2}+\left[r'\right]^{2}}\,d\theta$ .
• Linéariser $\cos^{2}$ et $\sin^{2}$ avant d'intégrer : la table n'en donne pas la primitive.

Questions fréquentes

Le rayon polaire peut-il être négatif ?

Oui. Un rayon négatif signifie que le point se place dans la direction opposée à l'angle indiqué. C'est ce qui permet à une rose de coefficient pair d'avoir deux fois plus de pétales que son coefficient, la moitié d'entre eux étant tracés avec des valeurs négatives du rayon.

Pourquoi le système d'équations ne donne-t-il pas toutes les intersections ?

Parce qu'il suppose que les deux courbes passent au même point pour le même angle. Or le pôle porte une infinité de noms, un pour chaque angle, donc deux courbes peuvent y passer à des angles différents. Il faut donc résoudre séparément la nullité de chaque rayon pour tester le pôle.

D'où vient le facteur un demi dans l'aire polaire ?

De l'aire d'un secteur circulaire, qui vaut la moitié du carré du rayon multipliée par l'angle. La tranche élémentaire d'une région polaire est un secteur très mince, pas un rectangle. Le contrôle immédiat est d'appliquer la formule à un cercle de rayon constant, qui doit redonner pi fois le rayon au carré.

Comment trouver les bornes d'une aire polaire ?

En cherchant les angles où le rayon s'annule, car c'est là que la courbe revient au pôle et referme une boucle. Pour une aire entre deux courbes, les bornes sont les angles d'intersection. Intégrer au-delà recompte des régions déjà parcourues et double ou quadruple la réponse.

Combien de pétales a une rose polaire ?

Si le coefficient de l'angle est impair, la rose a exactement ce nombre de pétales. S'il est pair, elle en a le double. La raison tient au signe du rayon : avec un coefficient impair, la seconde moitié du tour retrace les mêmes pétales, alors qu'avec un coefficient pair elle en trace de nouveaux.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les coordonnées polaires

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Les courbes paramétrées Fiche suivante Les suites numériques

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Fiche : les courbes paramétrées Exercices : applications de l'intégrale Exercices corrigés : Les coordonnées polaires Tutorat cégep

Vous cherchez un tuteur en calcul intégral 201-NYB à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On reprend les gestes qui coûtent des points à l'examen de calcul intégral, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel des évaluations de cégep.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli