Exercices corrigés : les applications de l'intégrale (201-NYB)

a) La tranche en $x$, perpendiculaire à l'axe, est un disque plein de rayon $f(x)=x^{2}$ et d'épaisseur $dx$ : $dV=\pi(x^{2})^{2}dx$. $V=\pi\int_{0}^{2}x^{4}dx=\pi\cdot\frac{32}{5}=\frac{32\pi}{5}\approx 20{,}1$.

b) Sur $[0,1]$, $\sqrt{x}\ge x$ : la tranche tourne en laissant un TROU, c'est une rondelle de rayon extérieur $R=\sqrt{x}$ (la courbe haute) et de rayon intérieur $r=x$. $V=\pi\int_{0}^{1}\left[(\sqrt{x})^{2}-x^{2}\right]dx=\pi\int_{0}^{1}(x-x^{2})dx=\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}52$. Piège évité : $\pi\int(R-r)^{2}dx$ est FAUX : on soustrait les CARRÉS des rayons, pas les rayons avant de mettre au carré.

c) Autour de l'axe des $y$, on tranche HORIZONTALEMENT : à la hauteur $y$, le disque va de l'axe jusqu'à la parabole, rayon $x=\sqrt{y}$ : $V=\pi\int_{0}^{4}(\sqrt{y})^{2}dy=\pi\int_{0}^{4}y\,dy=8\pi\approx 25{,}1$. Changer d'axe de rotation, c'est changer de variable de découpage : la tranche doit toujours être perpendiculaire à l'axe.

d) Le demi-cercle $y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$ sur $[-r,r]$, en rotation, engendre la sphère : $V=\pi\int_{-r}^{r}(r^{2}-x^{2})dx=\pi\left[r^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-r}^{r}=\pi\left(\frac{2r^{3}}{3}+\frac{2r^{3}}{3}\right)=\frac{4}{3}\pi r^{3}$. La formule apprise au secondaire tient en trois lignes de calcul intégral : c'est exactement pour cela qu'Archimède, qui l'obtint par découpages, voulait une sphère sur sa tombe.

a) La coquille en $x$ a pour rayon $x$ et pour hauteur la distance verticale de la parabole au plafond : $h(x)=4-x^{2}$, pour $x$ de 0 à 2. $V=2\pi\int_{0}^{2}x(4-x^{2})dx=2\pi\left[2x^{2}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2}=2\pi(8-4)=8\pi$ : EXACTEMENT le résultat des disques horizontaux de 1c. Deux découpages orthogonaux, une seule réalité : quand les deux méthodes sont praticables, elles se vérifient l'une l'autre, un luxe à s'offrir en examen quand le temps le permet.

b) Rayon $x$, hauteur $h(x)=2x-x^{2}$ : $V=2\pi\int_{0}^{2}x(2x-x^{2})dx=2\pi\left[\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2}=2\pi\left(\frac{16}{3}-4\right)=\frac{8\pi}{3}\approx 8{,}38$. Par disques, il aurait fallu inverser $y=2x-x^{2}$ (deux branches de racine carrée !) : les coquilles évitent toute l'algèbre.

c) Coquilles quand la région est naturellement décrite en TRANCHES PARALLÈLES à l'axe de rotation : rotation autour de l'axe des $y$ d'une région donnée par $y=f(x)$, c'est leur royaume, car inverser $f$ serait pénible ou multiforme. Disques ou rondelles quand la tranche PERPENDICULAIRE à l'axe s'écrit sans inversion. Le critère n'est pas la forme du solide mais la variable dans laquelle la région se raconte bien.

d) L'axe $x=3$ est à droite de l'arche : la tranche en $x$ tourne à la distance $3-x$ : $V=2\pi\int_{0}^{2}(3-x)(2x-x^{2})dx=2\pi\int_{0}^{2}(6x-5x^{2}+x^{3})dx=2\pi\left[3x^{2}-\frac{5x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2}=2\pi\left(12-\frac{40}{3}+4\right)=\frac{16\pi}{3}\approx 16{,}8$ : le double du volume de b), logique, la matière tournant plus loin de l'axe. Adapter le RAYON, jamais la hauteur : c'est le seul changement qu'un axe décalé impose aux coquilles.

a) Sur une tranche, la courbe avance de $dx$ et monte de $dy=f'(x)dx$ : sa longueur est l'hypoténuse $\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}=\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\,dx$, qu'on somme. Ici $f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}$ : $L=\int_{0}^{4}\sqrt{1+\frac{9x}{4}}\,dx=\left[\frac{8}{27}\left(1+\frac{9x}{4}\right)^{3/2}\right]_{0}^{4}=\frac{8}{27}\left(10^{3/2}-1\right)\approx 9{,}07$ : un peu plus que la corde $\sqrt{4^{2}+8^{2}}\approx 8{,}94$, comme il se doit.

b) $y'=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$, et l'identité donnée donne $\sqrt{1+y'^{2}}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ : la racine disparaît ! $L=\int_{0}^{1}\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}dx=\left[\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{e-e^{-1}}{2}\approx 1{,}18$. La chaînette (la courbe d'un câble suspendu) est LA courbe dont la longueur se calcule le mieux : sa dérivée et elle échangent leurs rôles sous la racine.

c) Parce que $\sqrt{1+f'^{2}}$ détruit presque toujours l'intégrabilité élémentaire : même la parabole $y=x^{2}$ mène à $\int\sqrt{1+4x^{2}}\,dx$, faisable mais laborieux (substitution trigonométrique), et l'ellipse mène à une intégrale... « elliptique », sans forme close, qui a donné son nom à toute une théorie. Dans les autres cas : intégration NUMÉRIQUE (sommes de Riemann raffinées), ou séries. Les longueurs calculables ($x^{3/2}$, chaînette, cercle) sont des exceptions choisies avec soin par les examens.

d) $f(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$, $f'=-\frac{x}{f}$ : $\sqrt{1+f'^{2}}=\sqrt{\frac{f^{2}+x^{2}}{f^{2}}}=\frac{r}{f}$. Alors $f(x)\sqrt{1+f'^{2}}=f\cdot\frac{r}{f}=r$ : CONSTANT ! $S=2\pi\int_{-r}^{r}r\,dx=2\pi r\cdot 2r=4\pi r^{2}$. La simplification dit une chose profonde (déjà connue d'Archimède) : chaque tranche verticale de la sphère, quelle que soit sa position, porte exactement la même aire que la tranche correspondante du cylindre circonscrit : la sphère se déroule sur son cylindre.

a) $\bar{T}=\frac{1}{24}\int_{0}^{24}\left[20+5\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right]dt$. Le sinus a une période de 24 h : son intégrale sur une période complète est NULLE (autant d'aire au-dessus qu'en dessous). Reste $\bar{T}=20$ °C. Sans calcul : la sinusoïde oscille symétriquement autour de 20, ses excès diurnes compensant exactement ses déficits nocturnes : la moyenne est le niveau de symétrie.

b) $\bar{v}=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}9{,}8t\,dt=\frac{1}{3}\cdot 9{,}8\cdot\frac{9}{2}=14{,}7$ m/s, atteinte quand $9{,}8t=14{,}7$, soit $t=1{,}5$ s : le MILIEU de l'intervalle, comme pour toute fonction linéaire. Le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales garantit qu'une fonction CONTINUE atteint toujours sa moyenne quelque part sur l'intervalle : la moyenne n'est pas une abstraction, c'est une valeur réellement prise.

c) La moyenne simple de $u$ sur une période est nulle (le courant alternatif va autant dans un sens que dans l'autre) : inutilisable pour mesurer la puissance, qui dépend de $u^{2}$. D'où la moyenne QUADRATIQUE : $\overline{u^{2}}=170^{2}\times\overline{\sin^{2}}=\frac{170^{2}}{2}$ (la moyenne de $\sin^{2}$ sur une période vaut $\frac{1}{2}$, la linéarisation du chapitre des techniques). $u_{eff}=\sqrt{\overline{u^{2}}}=\frac{170}{\sqrt{2}}\approx 120$ V : le « 120 volts » de la prise nord-américaine est une valeur efficace; la crête réelle est à 170 V. La valeur efficace est la tension continue qui chaufferait autant : c'est une moyenne énergétique.

d) Théorème : si $f$ est continue sur $[a,b]$, il existe $c\in[a,b]$ tel que $\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$. Géométriquement : l'aire sous la courbe égale l'aire d'un RECTANGLE de même base dont la hauteur $f(c)$ est prise SUR la courbe : on peut toujours raboter les bosses pour combler les creux, et le niveau d'arasement est une valeur atteinte. C'est le pont entre l'intégrale et la notion intuitive de moyenne.

a) $W=\int_{0}^{0{,}3}200x\,dx=100x^{2}\Big|_{0}^{0{,}3}=9{,}0$ J. « Force finale fois distance » donnerait $60\times 0{,}3=18$ J, le DOUBLE : la force n'est pas de 60 N tout du long, elle part de zéro et croît linéairement; le travail est l'aire du triangle sous $F=kx$, soit la moitié du rectangle. Toute force variable exige l'intégrale : la formule $W=Fd$ n'est que le cas particulier constant.

b) La tranche de chaîne à la profondeur $x$ (entre $x$ et $x+dx$) pèse $2\,dx$ kg, subit $2g\,dx$ newtons, et doit monter de $x$ mètres : $dW=2\times 9{,}8\times x\,dx$. $W=19{,}6\int_{0}^{20}x\,dx=19{,}6\times 200=3920$ J. Le haut de la chaîne ne monte presque pas, le bas monte de 20 m : l'intégrale fait la moyenne pondérée de tous ces trajets, ce qu'aucune formule « poids fois hauteur » unique ne sait faire.

c) Tranche d'eau à la hauteur $y$ (mesurée depuis le fond) : volume $\pi(1)^{2}dy$, masse $1000\pi\,dy$, poids $9800\pi\,dy$, à hisser de $2-y$ mètres : $W=9800\pi\int_{0}^{2}(2-y)dy=9800\pi\left[2y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=9800\pi\times 2=19600\pi\approx 6{,}2\times 10^{4}$ J. Réflexe de mise en équation : choisir la variable (hauteur de la tranche), écrire son poids, sa distance de montée, et laisser l'intégrale assembler.

d) $\int_{R}^{b}\frac{GMm}{r^{2}}dr=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{b}\right)\to\frac{GMm}{R}$ quand $b\to\infty$ : l'intégrale impropre CONVERGE (c'est le critère en $p$ avec $p=2>1$). Conséquence spectaculaire : s'éloigner INFINIMENT de la Terre ne coûte qu'une énergie FINIE : il existe donc une vitesse de libération, $v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\approx 11{,}2$ km/s, au-delà de laquelle un projectile ne retombe jamais. Si la gravité décroissait en $\frac{1}{r}$ au lieu de $\frac{1}{r^{2}}$, l'intégrale divergerait et AUCUNE fusée, si puissante soit-elle, ne pourrait quitter la Terre : l'astronautique est une application du chapitre des intégrales impropres.

a) $V=\int_{0}^{25}(50-2t)dt=\left[50t-t^{2}\right]_{0}^{25}=1250-625=625$ L. À $t=25$, le débit $r(25)=0$ : le robinet s'est refermé linéairement et s'annule pile à cet instant : intégrer au-delà soustrairait de l'eau, ce qui signalerait que le modèle change (reflux ou arrêt).

b) Le coût marginal est la DÉRIVÉE du coût total : $C(100)=C(0)+\int_{0}^{100}(3+0{,}02x)dx=500+\left[3x+0{,}01x^{2}\right]_{0}^{100}=500+300+100=900$ dollars. L'intégrale du marginal reconstruit le total : même théorème fondamental, en costume d'économiste.

c) $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{10}e^{-x/10}dx=\lim_{b\to\infty}\left[-e^{-x/10}\right]_{0}^{b}=1$ ✓ : une densité de probabilité doit totaliser 1, et il faut une intégrale impropre pour le dire. $P(X>15)=\int_{15}^{\infty}\frac{1}{10}e^{-x/10}dx=e^{-1{,}5}\approx 0{,}223$ : environ 22 % des composantes passent 15 ans. La loi exponentielle est la version continue de la décroissance radioactive du chapitre des équations différentielles : tous ces chapitres sont le même calcul.

d) Déplacement : $\int_{0}^{4}(t^{2}-4t+3)dt=\left[\frac{t^{3}}{3}-2t^{2}+3t\right]_{0}^{4}=\frac{64}{3}-32+12=\frac{4}{3}$ m. Distance : $v$ s'annule en $t=1$ et $t=3$ (les points de la figure) : $\int_{0}^{1}v=\frac{4}{3}$, $\int_{1}^{3}v=-\frac{4}{3}$, $\int_{3}^{4}v=\frac{4}{3}$ : distance $=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=4$ m. Récit : le mobile avance de $\frac{4}{3}$, RECULE de $\frac{4}{3}$ (revenant à son départ), puis avance à nouveau de $\frac{4}{3}$ : il a marché 4 mètres pour un gain net de $\frac{4}{3}$. Déplacement = intégrale de $v$; distance = intégrale de $|v|$ : confondre les deux est l'erreur signature de ce chapitre.