Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les applications de l'intégrale

Cette fiche ne recopie pas les six formules du chapitre : elles sont dans vos notes et personne ne les retient longtemps. Elle installe la seule chose qui les remplace toutes, la méthode de la TRANCHE, puis traite les six ou sept erreurs qui font perdre des points même quand la formule est correctement citée.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Toutes les applications de l'intégrale sont la même idée : découper en tranches infinitésimales, écrire ce que vaut UNE tranche, puis sommer. La formule ne se retient pas, elle se RECONSTRUIT à partir de la tranche, et c'est pour cela qu'il faut toujours en dessiner une.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Aire entre deux courbes Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)
2La décomposition des fractions rationnelles
3Techniques d'intégration
4L'Hôpital et formes indéterminées
5Intégrale définie et impropre
6Aire entre deux courbes

Notions couvertes

Volume par disques
Volume par rondelles
Volume par coquilles cylindriques
Longueur d'arc
Aire de surface de révolution
Valeur moyenne d'une fonction
Travail d'une force variable
Centre de masse
Force hydrostatique
Volume par sections connues

L'essentiel

La méthode de la tranche, qui remplace toutes les formules

• 1. DESSINER la région et une tranche représentative, verticale ou horizontale.
• 2. Écrire ce que vaut CETTE tranche : une aire, un volume, une longueur, un travail.
• 3. Repérer la variable d'intégration : celle dont l'épaisseur de la tranche porte le nom, $dx$ ou $dy$ .
• 4. Sommer, c'est-à-dire intégrer entre les valeurs extrêmes de cette variable.
• Une tranche perpendiculaire à l'axe de rotation donne un DISQUE ou une rondelle; une tranche parallèle donne une COQUILLE.

La même région, deux tranches : la verticale, parallèle à l'axe des ordonnées, engendre une COQUILLE si l'on tourne autour de cet axe; l'horizontale, perpendiculaire, engendre un DISQUE.

Toute formule du chapitre se retrouve en trente secondes par ce chemin. Les réciter de mémoire, c'est risquer d'échanger $r$ et $h$ .

Les volumes, selon le sens de la tranche

• DISQUES : $V=\pi\int_{a}^{b}\left[R(x)\right]^{2}dx$ , quand la tranche est perpendiculaire à l'axe et la région touche l'axe.
• RONDELLES : $V=\pi\int_{a}^{b}\left(\left[R\right]^{2}-\left[r\right]^{2}\right)dx$ , quand un trou sépare la région de l'axe.
• COQUILLES : $V=2\pi\int_{a}^{b}(\text{rayon})(\text{hauteur})\,dx$ , quand la tranche est parallèle à l'axe.
• SECTIONS CONNUES : $V=\int_{a}^{b}A(x)\,dx$ , où $A(x)$ est l'aire de la section, carrée, triangulaire ou semi-circulaire.
• Le RAYON est toujours la DISTANCE À L'AXE, pas la valeur de la fonction.

Rondelles moins disque intérieur, jamais $\left(R-r\right)^{2}$ : le carré de la différence n'est pas la différence des carrés.

Les autres applications, chacune en une ligne

• Longueur d'arc : $L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^{2}}\,dx$ .
• Aire de surface de révolution autour de l'axe des abscisses : $S=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^{2}}\,dx$ .
• Valeur moyenne : $\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$ , et le facteur $\frac{1}{b-a}$ n'est pas facultatif.
• Travail d'une force variable : $W=\int_{a}^{b}F(x)\,dx$ ; pour pomper un liquide, $W=\int\rho g\,A(y)\,d(y)\,dy$ où $d(y)$ est la distance à parcourir.
• Force hydrostatique : $F=\int\rho g\,h(y)\,w(y)\,dy$ , où $h$ est la PROFONDEUR sous la surface et $w$ la largeur.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre le rayon égal à la fonction quand l'axe est ailleurs

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Rotation autour de $y=3$ : $V=\pi\int\left[f(x)\right]^{2}dx$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le rayon est la DISTANCE à l'axe : $V=\pi\int\left[3-f(x)\right]^{2}dx$ . »

L'axe de rotation est la droite

y=3

: le rayon de la tranche est le SEGMENT entre la courbe et cet axe, soit

3-\sqrt{x}

, et non

\sqrt{x}

Pourquoi : La formule des disques suppose implicitement un axe passant par $y=0$ . Dès que l'axe se déplace, le rayon devient une différence, et l'oublier fausse le volume d'un facteur qui n'a rien de constant. Dessiner la tranche montre le rayon immédiatement.

2. Écrire le carré de la différence au lieu de la différence des carrés

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$V=\pi\int\left(R-r\right)^{2}dx$

Ce qu'il faut écrire

$V=\pi\int\left(R^{2}-r^{2}\right)dx$

Pourquoi : La rondelle est un grand disque MOINS un petit disque : on soustrait des AIRES, donc des carrés. Contrôle chiffré avec $R=3$ et $r=1$ : la bonne formule donne $\pi(9-1)=8\pi$ , la fausse donne $\pi(2)^{2}=4\pi$ , soit la moitié.

3. Confondre coquille et disque

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Tranche verticale, rotation autour de l'axe des ordonnées : $V=\pi\int x^{2}\,dy$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une tranche verticale est PARALLÈLE à l'axe des ordonnées : elle engendre une coquille, $V=2\pi\int x\,h(x)\,dx$ . »

Pourquoi : Le critère est géométrique et sans exception : tranche PERPENDICULAIRE à l'axe donne un disque, tranche PARALLÈLE donne une coquille. Le repère qui ne trompe pas est la variable d'intégration, qui doit être celle de l'épaisseur de la tranche.

4. Oublier le carré de la dérivée dans la longueur d'arc

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)}\,dx$

Ce qu'il faut écrire

$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^{2}}\,dx$

Pourquoi : La formule vient de Pythagore sur une tranche : $dL=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx$ . Le carré vient du théorème, pas d'une convention. Sans lui, une dérivée négative peut rendre le radicande négatif, ce qui est le signal d'alarme.

5. Oublier de diviser par la longueur de l'intervalle

toute la question, la réponse étant quatre fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La valeur moyenne de $f$ sur $\left[0,4\right]$ est $\int_{0}^{4}f$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\bar{f}=\frac{1}{4-0}\int_{0}^{4}f$ . »

Pourquoi : Une moyenne est une somme divisée par un effectif; ici l'effectif est la LONGUEUR de l'intervalle. Le contrôle est immédiat : la valeur moyenne doit être comprise entre le minimum et le maximum de la fonction, ce que l'intégrale seule ne respecte pas.

6. Mesurer la profondeur depuis le fond

toute la question de force hydrostatique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La plaque est à $y$ mètres du fond, donc la pression y vaut $\rho g y$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La pression dépend de la profondeur SOUS LA SURFACE : si la hauteur d'eau est $H$ , la profondeur est $H-y$ . »

Pourquoi : La pression est nulle à la surface et maximale au fond : une formule qui donne zéro au fond est manifestement inversée. Placer l'origine et écrire explicitement où se trouve la surface, avant tout calcul, règle la question une fois pour toutes.

7. Utiliser une formule sans dessiner la tranche

variable, mais c'est la source de la moitié des erreurs du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Volume de révolution, donc $V=\pi\int y^{2}\,dx$ , quelle que soit la situation. »

Ce qu'il faut écrire

« Je dessine la tranche, je lis son rayon et son épaisseur, puis j'écris son volume. La formule en découle. »

Pourquoi : Les six formules du chapitre se ressemblent et s'échangent facilement sous la pression. Le dessin, lui, ne ment pas : il donne le rayon, la hauteur, l'épaisseur, et donc la formule, sans rien avoir à retenir.

8. Intégrer une coquille selon la mauvaise variable

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$V=2\pi\int_{0}^{2}x\,h(x)\,dy$

Ce qu'il faut écrire

$V=2\pi\int_{0}^{4}x\,h(x)\,dx$ , l'épaisseur de la tranche verticale étant $dx$

Pourquoi : La variable d'intégration est imposée par l'ÉPAISSEUR de la tranche, et les bornes sont les valeurs extrêmes de cette variable. Mélanger la variable et les bornes est l'erreur qui donne un nombre plausible mais faux, donc la plus difficile à repérer.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode pour un volume de révolution

On dessine la région, l'axe de rotation, puis UNE tranche. Le sens de la tranche par rapport à l'axe décide de tout.

Si la tranche est PERPENDICULAIRE à l'axe et la région touche l'axe → DISQUES : $V=\pi\int R^{2}$ , où $R$ est la distance de la courbe à l'axe

Exemple : $y=\sqrt{x}$ tournant autour de l'axe des abscisses
Si la tranche est perpendiculaire à l'axe mais un TROU sépare la région de l'axe → RONDELLES : $V=\pi\int\left(R^{2}-r^{2}\right)$

Exemple : la région entre $y=\sqrt{x}$ et $y=\frac{x}{2}$ tournant autour de l'axe des abscisses
Si la tranche est PARALLÈLE à l'axe → COQUILLES : $V=2\pi\int(\text{rayon})(\text{hauteur})$

Exemple : la même région tournant autour de l'axe des ordonnées, en tranches verticales
Si l'énoncé donne la forme des sections perpendiculaires à un axe → SECTIONS CONNUES : $V=\int A(x)\,dx$ , en écrivant l'aire de la section

Exemple : sections carrées de côté $f(x)$ donnent $V=\int\left[f(x)\right]^{2}dx$

Les deux méthodes de révolution donnent toujours le même volume. Quand les deux sont possibles, on choisit celle qui évite d'inverser la fonction.

Quelle formule pour quelle grandeur physique

On écrit ce que vaut UNE tranche, et la formule apparaît.

Si on cherche une longueur de courbe → tranche de longueur $\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}$ , d'où $L=\int\sqrt{1+\left[f'\right]^{2}}\,dx$

Exemple : une chaînette, un arc de parabole
Si on cherche un travail → tranche de travail $F\,dx$ pour une force variable, ou $\rho g\,V(y)\,d(y)$ pour un pompage

Exemple : comprimer un ressort, vider un réservoir
Si on cherche une force de pression → tranche de force $\rho g\,h(y)\,w(y)\,dy$ , avec $h$ la profondeur SOUS la surface

Exemple : la force sur un barrage vertical
Si on cherche une valeur moyenne → $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$ , jamais l'intégrale seule

Exemple : la température moyenne d'une journée
Si on cherche une quantité accumulée à partir d'un taux → intégrer le taux : $Q=\int_{a}^{b}q'(t)\,dt$

Exemple : un débit intégré donne un volume

Le contrôle universel de ce chapitre est l'analyse dimensionnelle : le produit des unités de la tranche doit donner l'unité cherchée.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Un volume de révolution, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute question de volume engendré par la rotation d'une région.

1 Dessiner la région, l'axe de rotation, et UNE tranche représentative.
2 Annoncer la méthode et la justifier : « La tranche est perpendiculaire à l'axe, j'utilise les rondelles. »
3 Écrire le rayon extérieur et le rayon intérieur comme des DISTANCES à l'axe.
4 Poser l'intégrale complète avec ses bornes, qui sont les valeurs extrêmes de la variable d'épaisseur.
5 Calculer et conclure avec l'unité cubique.

Phrase de conclusion

Le volume engendré vaut $V=\pi\int_{0}^{4}\left[\left(\sqrt{x}\right)^{2}-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right]dx=\frac{8\pi}{3}$ unités cubiques.

Le piège : Sauter le dessin de la tranche. C'est la seule étape qui donne le rayon sans effort de mémoire, et le barème lui accorde souvent un point à part entière.

Barème : En général 1 point pour le schéma et la tranche, 1 point pour la méthode annoncée, 2 points pour l'intégrale posée, 1 point pour le calcul.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler les unités de la tranche

Multiplier les unités de chaque facteur de la tranche et vérifier qu'on obtient bien un volume, un travail ou une force selon la question.

Coquille : $2\pi\times$ rayon $\times$ hauteur $\times$ épaisseur donne longueur au cube ✓. Un produit qui donne une aire signale un facteur manquant.
Comparer à un solide simple

Encadrer le solide par un cylindre ou un cône dont le volume se calcule de tête, et vérifier que le résultat est du bon ordre.

Le solide engendré par $y=\sqrt{x}$ sur $\left[0,4\right]$ tient dans un cylindre de rayon $2$ et de hauteur $4$ , de volume $16\pi$ ; la réponse $8\pi$ est plausible.
Vérifier une valeur moyenne par encadrement

La valeur moyenne est toujours comprise entre le minimum et le maximum de la fonction sur l'intervalle. Une moyenne hors de cet encadrement signale l'oubli du facteur $\frac{1}{b-a}$ .

$f(x)=x$ sur $\left[0,4\right]$ : la moyenne vaut $2$ , bien comprise entre $0$ et $4$ ✓; l'intégrale seule vaut $8$ , hors de l'encadrement.
Refaire le volume par l'autre méthode

Disques et coquilles donnent le même nombre. Quand le temps le permet, recalculer par l'autre voie est la vérification la plus sûre.

Un volume trouvé par coquilles et confirmé par rondelles ne laisse aucun doute sur le rayon utilisé.
Vérifier que la longueur d'arc dépasse la corde

La longueur d'une courbe est toujours supérieure ou égale à la distance entre ses extrémités. Un résultat inférieur est impossible.

Pour $y=x^{2}$ de $(0,0)$ à $(1,1)$ , la corde vaut $\sqrt{2}\approx 1{,}414$ ; une longueur d'arc de $1{,}479$ est cohérente, une longueur de $1{,}2$ ne l'est pas.

L'exercice type décortiqué

Un volume par rondelles, comme à l'examen

La région du premier quadrant est bornée par $y=\sqrt{x}$ et $y=\frac{x}{2}$ .

Calculer le volume du solide engendré par sa rotation autour de l'axe des abscisses.

Les deux courbes se croisent en

(0\,;0)

(4\,;2)

; en tournant autour de l'axe des abscisses, la région laisse un TROU conique au centre, d'où les rondelles plutôt que les disques.

Étape 1

Intersections : $\sqrt{x}=\frac{x}{2}$ donne $x=\frac{x^{2}}{4}$ , soit $x^{2}-4x=0$ et $x(x-4)=0$ . Les bornes sont $x=0$ et $x=4$ .

Pourquoi

Comme pour une aire, les bornes viennent de l'intersection. On factorise plutôt que de diviser par $x$ , sans quoi la borne $0$ disparaît.

Étape 2

Point test $x=1$ : $\sqrt{1}=1$ et $\frac{1}{2}=0{,}5$ . La racine est AU-DESSUS sur tout l'intervalle, donc elle donne le rayon extérieur.

Pourquoi

Le rayon extérieur est la courbe la plus éloignée de l'axe. Un point test le désigne sans ambiguïté, et l'inverser échange $R$ et $r$ , ce qui donne un volume négatif.

Étape 3

La tranche verticale est PERPENDICULAIRE à l'axe de rotation, et la région ne touche pas l'axe entre les deux courbes : c'est une RONDELLE, de rayon extérieur $R=\sqrt{x}$ et de rayon intérieur $r=\frac{x}{2}$ .

Pourquoi

Deux décisions en une phrase, toutes deux lues sur le dessin : le sens de la tranche donne la méthode, et le trou impose la rondelle plutôt que le disque.

Étape 4

$V=\pi\int_{0}^{4}\left[\left(\sqrt{x}\right)^{2}-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right]dx=\pi\int_{0}^{4}\left(x-\frac{x^{2}}{4}\right)dx$ .

Pourquoi

On soustrait les CARRÉS, donc des aires de disques, et non les rayons. C'est ici que se joue l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

Étape 5

$\pi\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{12}\right]_{0}^{4}=\pi\left(8-\frac{64}{12}\right)=\pi\left(8-\frac{16}{3}\right)=\frac{8\pi}{3}$ .

Pourquoi

On garde $\pi$ en facteur jusqu'au bout : la réponse exacte est attendue, et l'arrondi ne vient qu'ensuite, ici $8{,}38$ unités cubiques.

Étape 6

Contrôle : le solide est contenu dans le cylindre de rayon $2$ et de longueur $4$ , de volume $16\pi$ . La réponse $\frac{8\pi}{3}\approx 2{,}67\pi$ en représente le sixième, ce qui est cohérent avec la finesse de la région ✓.

Pourquoi

Un encadrement par un solide simple attrape les erreurs d'un facteur $2$ ou $\pi$ , celles que la relecture algébrique laisse passer.

Conclusion rédigée

Le volume engendré vaut $\frac{8\pi}{3}\approx 8{,}38$ unités cubiques, calculé par rondelles avec $R=\sqrt{x}$ et $r=\frac{x}{2}$ sur $\left[0,4\right]$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $\pi\int\left(\sqrt{x}-\frac{x}{2}\right)^{2}dx$ . Cette intégrale vaut $\frac{2\pi}{3}$ , soit quatre fois moins : la rondelle est une différence d'AIRES, jamais le carré d'une différence de rayons.

À savoir par cœur

• Une seule méthode : dessiner UNE tranche, écrire ce qu'elle vaut, sommer.
• Tranche PERPENDICULAIRE à l'axe : disques ou rondelles. Tranche PARALLÈLE : coquilles.
• Le rayon est la DISTANCE À L'AXE, pas la valeur de la fonction.
• Rondelles : $\pi\int\left(R^{2}-r^{2}\right)$ , jamais $\pi\int\left(R-r\right)^{2}$ .
• Coquilles : $2\pi\int(\text{rayon})(\text{hauteur})$ , intégrée selon l'épaisseur de la tranche.
• Longueur d'arc : $\int\sqrt{1+\left[f'\right]^{2}}$ , le carré vient de Pythagore.
• Valeur moyenne : $\frac{1}{b-a}\int f$ , comprise entre le minimum et le maximum.
• Hydrostatique : la profondeur se mesure SOUS LA SURFACE, jamais depuis le fond.

Questions fréquentes

Quand utiliser les disques et quand utiliser les coquilles ?

On regarde la tranche par rapport à l'axe de rotation. Une tranche perpendiculaire à l'axe engendre un disque ou une rondelle, une tranche parallèle engendre une coquille cylindrique. Les deux méthodes donnent toujours le même volume, on choisit celle qui évite d'inverser la fonction.

Comment trouver le rayon quand l'axe de rotation n'est pas un axe de coordonnées ?

Le rayon est la distance entre la courbe et l'axe, donc une différence. Pour une rotation autour de la droite d'équation y égale trois, le rayon vaut trois moins la valeur de la fonction. Dessiner la tranche et mesurer le segment qui la relie à l'axe donne la réponse sans effort de mémoire.

Pourquoi soustrait-on les carrés dans la formule des rondelles ?

Parce qu'une rondelle est un grand disque auquel on retire un petit disque. On soustrait donc des aires, qui sont proportionnelles aux carrés des rayons. Le carré de la différence des rayons donne un nombre bien plus petit et sans signification géométrique.

D'où vient la racine dans la formule de la longueur d'arc ?

Du théorème de Pythagore appliqué à une tranche infinitésimale. Un petit morceau de courbe est l'hypoténuse d'un triangle de côtés petit d x et petit d y, donc sa longueur est la racine de la somme des carrés. En mettant petit d x en facteur, on obtient la racine de un plus le carré de la dérivée.

Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction ?

On intègre la fonction sur l'intervalle, puis on divise par la longueur de cet intervalle. Le facteur de division n'est pas facultatif : c'est ce qui fait d'une somme une moyenne. Le contrôle immédiat est que la valeur obtenue doit se situer entre le minimum et le maximum de la fonction.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Applications de l'intégrale

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Fiche : l'aire entre deux courbes Exercices : intégrale définie et impropre Exercices corrigés : Les applications de l'intégrale Tutorat cégep

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