Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : l'intégration numérique

Q: Pourquoi faut-il donner une borne d'erreur ?

Parce qu'une approximation sans borne ne dit pas combien de décimales sont fiables. La borne transforme un nombre en encadrement de la valeur exacte, ce qui est le seul résultat exploitable. Le barème lui réserve toujours des points distincts de ceux du calcul de l'approximation.

Q: Pourquoi Simpson exige-t-elle un nombre pair de sous-intervalles ?

Parce que la méthode remplace la courbe par une parabole sur chaque paire de sous-intervalles consécutifs. Il en faut donc un nombre pair pour que le découpage se referme exactement. Avec un nombre impair, la dernière paire est incomplète et les coefficients ne bouclent pas.

Q: Comment trouver la constante K dans la borne d'erreur ?

C'est un majorant de la valeur absolue de la dérivée concernée sur tout l'intervalle, donc son maximum. On étudie la monotonie de cette dérivée, souvent évidente, et on prend sa plus grande valeur. Choisir une valeur au hasard donne une borne fausse, parfois inférieure à l'erreur réelle.

Q: Les trapèzes surestiment-ils toujours l'intégrale ?

Seulement quand la fonction est convexe, c'est-à-dire quand sa dérivée seconde est positive. Les cordes passent alors au-dessus de la courbe. Sur une fonction concave, c'est l'inverse, et le point milieu fait toujours l'erreur de sens opposé, ce qui donne un encadrement gratuit.

Q: Combien de sous-intervalles pour une précision donnée ?

On écrit l'inéquation qui dit que la borne d'erreur est inférieure à la précision voulue, puis on isole le nombre de sous-intervalles. On arrondit toujours vers le haut, et pour Simpson on monte encore jusqu'au premier entier pair, puisque la méthode l'exige.

Cette fiche ne recopie pas les trois formules du chapitre : elles sont dans vos notes. Elle traite ce que le barème sanctionne, à savoir la borne d'erreur, les coefficients qui s'inversent et le nombre de sous-intervalles, trois endroits où une approximation par ailleurs correcte perd la moitié de ses points.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une méthode numérique ne donne pas un nombre, elle donne un nombre ET une BORNE D'ERREUR. Sans la borne, rien ne dit combien de décimales sont fiables, et la réponse ne vaut alors pas plus que le premier chiffre venu.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Intégrale définie et impropre Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
3La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
4Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)
5Primitives et intégrale indéfinie
6La décomposition des fractions rationnelles
7Techniques d'intégration
8L'Hôpital et formes indéterminées
9Intégrale définie et impropre

L'essentiel

Les trois formules, avec le même pas

• Pas : $h=\frac{b-a}{n}$ , où $n$ est le nombre de SOUS-INTERVALLES, pas le nombre de points.
• POINT MILIEU : $M_{n}=h\left[f(\bar{x}_{1})+\cdots+f(\bar{x}_{n})\right]$ , où $\bar{x}_{i}$ est le milieu du $i$ -ième sous-intervalle.
• TRAPÈZES : $T_{n}=\frac{h}{2}\left[f(x_{0})+2f(x_{1})+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_{n})\right]$ . Coefficients $1,2,2,\ldots,2,1$ .
• SIMPSON : $S_{n}=\frac{h}{3}\left[f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_{n})\right]$ , avec $n$ PAIR.
• Il y a toujours $n+1$ points $x_{0},\ldots,x_{n}$ pour $n$ sous-intervalles.

Quatre trapèzes sur

\left[1,3\right]

: chaque toit est la CORDE de la courbe, et comme

\frac{1}{x}

est convexe, tous les toits passent au-dessus, donc

T_{4}

surestime l'intégrale.

Les coefficients de Simpson commencent et finissent par $1$ , et alternent $4,2,4,2,\ldots,4$ entre les deux : le $4$ est toujours sur les indices IMPAIRS.

Les bornes d'erreur, et où chercher le maximum

• Trapèzes : $\left|E_{T}\right|\le\frac{K_{2}\left(b-a\right)^{3}}{12n^{2}}$ , où $K_{2}$ majore $\left|f''\right|$ sur $\left[a,b\right]$ .
• Point milieu : $\left|E_{M}\right|\le\frac{K_{2}\left(b-a\right)^{3}}{24n^{2}}$ , soit deux fois mieux que les trapèzes.
• Simpson : $\left|E_{S}\right|\le\frac{K_{4}\left(b-a\right)^{5}}{180n^{4}}$ , où $K_{4}$ majore $\left|f^{(4)}\right|$ .
• $K_{2}$ et $K_{4}$ se cherchent sur TOUT l'intervalle, en étudiant la monotonie de la dérivée concernée.
• Doubler $n$ divise l'erreur des trapèzes par $4$ et celle de Simpson par $16$ .

La borne est une MAJORATION : l'erreur réelle est presque toujours bien plus petite, et cela ne prouve pas que la borne est fausse.

Le sens de l'erreur, donné par la concavité

• $f$ CONVEXE, c'est-à-dire $f''>0$ : les trapèzes SURESTIMENT, le point milieu SOUS-ESTIME.
• $f$ CONCAVE, $f''<0$ : les trapèzes sous-estiment, le point milieu surestime.
• Les deux méthodes ENCADRENT donc l'intégrale, ce qui donne un contrôle gratuit.
• Simpson est exacte sur tout polynôme de degré au plus TROIS, ce qui explique son ordre élevé.

Sur la même tranche, la corde passe AU-DESSUS de la courbe convexe et le rectangle du milieu passe EN DESSOUS : les deux méthodes encadrent l'intégrale sans aucune formule d'erreur.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Rendre une approximation sans borne d'erreur

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $T_{4}=1{,}1167$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $T_{4}=1{,}1167$ , avec $\left|E_{T}\right|\le\frac{2(2)^{3}}{12(16)}=0{,}0833$ : la valeur exacte est donc entre $1{,}033$ et $1{,}200$ . »

Pourquoi : Une approximation sans encadrement ne dit rien : elle pourrait être fausse dès la première décimale. La borne est ce qui transforme un nombre en résultat, et le barème lui réserve toujours des points distincts du calcul.

2. Confondre le nombre de sous-intervalles et le nombre de points

toute la question, tous les points d'évaluation étant décalés

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'ai cinq points, donc $n=5$ et $h=\frac{3-1}{5}=0{,}4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Cinq points font QUATRE sous-intervalles : $n=4$ et $h=\frac{3-1}{4}=0{,}5$ . »

Pourquoi : Les points vont de $x_{0}$ à $x_{n}$ , donc il y en a $n+1$ . Le contrôle immédiat : le dernier point calculé doit tomber exactement sur $b$ . S'il tombe ailleurs, le pas est faux.

3. Utiliser Simpson avec un nombre impair de sous-intervalles

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $n=5$ , j'applique Simpson. »

Ce qu'il faut écrire

« Simpson exige $n$ PAIR : je prends $n=6$ . »

Pourquoi : La méthode remplace la courbe par une parabole sur CHAQUE PAIRE de sous-intervalles : il en faut donc un nombre pair pour que le découpage se referme. Avec $n$ impair, la dernière paire est incomplète et les coefficients ne bouclent pas sur un $1$ .

4. Inverser les coefficients de Simpson

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\frac{h}{3}\left[f(x_{0})+2f(x_{1})+4f(x_{2})+2f(x_{3})+f(x_{4})\right]$

Ce qu'il faut écrire

$\frac{h}{3}\left[f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+f(x_{4})\right]$

Pourquoi : Le $4$ va sur les indices IMPAIRS, les milieux de chaque parabole. Le contrôle infaillible : la somme des coefficients doit valoir $3n$ , ici $12$ ; avec $1+4+2+4+1=12$ ✓ et $1+2+4+2+1=10$ ✗.

5. Chercher le maximum de la dérivée seconde au mauvais endroit

toute la borne, qui devient trente fois trop petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f''(x)=\frac{2}{x^{3}}$ , je prends $K_{2}=f''(3)=\frac{2}{27}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\left|f''\right|$ est DÉCROISSANTE sur $\left[1,3\right]$ , son maximum est en $x=1$ : $K_{2}=2$ . »

Pourquoi : $K_{2}$ majore $\left|f''\right|$ sur tout l'intervalle, donc c'est un MAXIMUM, pas une valeur au hasard. On étudie la monotonie de $f''$ en une ligne, ou on compare ses valeurs aux deux bornes quand elle est monotone. Une borne sous-évaluée est pire qu'aucune borne : elle affirme une précision fausse.

6. Oublier le $\frac{h}{2}$ ou le $\frac{h}{3}$

toute la question, la réponse étant quatre fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

$T_{4}=1+2(0{,}667)+2(0{,}5)+2(0{,}4)+0{,}333=4{,}467$

Ce qu'il faut écrire

$T_{4}=\frac{0{,}5}{2}\times 4{,}467=1{,}1167$

Pourquoi : Le facteur devant les crochets porte toute la dimension : sans lui, on additionne des ordonnées, pas des aires. Le contrôle est immédiat : l'intégrale de $\frac{1}{x}$ sur $\left[1,3\right]$ est visiblement de l'ordre de $1$ , puisque la fonction y vaut entre $\frac{1}{3}$ et $1$ sur une largeur de $2$ .

7. Croire qu'une borne large signale une erreur

du temps perdu à refaire un calcul juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La borne vaut $0{,}083$ mais l'erreur réelle est $0{,}018$ : ma borne est fausse. »

Ce qu'il faut écrire

« Une borne MAJORE l'erreur : $0{,}018\le 0{,}083$ est exactement ce qu'on attend. »

Pourquoi : La borne suppose le pire cas, où $\left|f''\right|$ atteindrait son maximum partout. En pratique elle est généralement trois à cinq fois trop généreuse. Ce qui serait alarmant, c'est l'inverse : une erreur réelle SUPÉRIEURE à la borne annoncée.

8. Chercher $n$ sans résoudre l'inéquation

1 à 2 points, et une réponse invérifiable

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour une précision de $10^{-4}$ , je prends $n=100$ au hasard. »

Ce qu'il faut écrire

« Je résous $\frac{2(8)}{12n^{2}}\le 10^{-4}$ , soit $n^{2}\ge 13\,333$ , donc $n\ge 116$ : je prends $n=116$ . »

Pourquoi : La question « combien de sous-intervalles » attend une inéquation résolue, pas une estimation. On isole $n$ , on prend la racine, on ARRONDIT VERS LE HAUT, et pour Simpson on monte encore au premier entier pair.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon ce que l'énoncé demande

Les trois méthodes servent le même but avec des précisions différentes. L'énoncé impose presque toujours laquelle, mais il faut savoir pourquoi.

Si l'énoncé donne un tableau de valeurs aux extrémités des sous-intervalles → TRAPÈZES ou SIMPSON, les seules à n'utiliser que ces points

Exemple : des relevés de débit toutes les deux heures
Si l'énoncé donne les valeurs aux MILIEUX → point MILIEU, deux fois plus précis que les trapèzes pour le même travail

Exemple : des mesures prises au centre de chaque tranche
Si l'énoncé exige une précision élevée avec peu d'évaluations → SIMPSON, dont l'erreur décroît en $\frac{1}{n^{4}}$ au lieu de $\frac{1}{n^{2}}$

Exemple : quatre décimales exactes avec $n=8$
Si la primitive n'existe pas sous forme élémentaire → n'importe laquelle des trois, mais avec sa borne d'erreur

Exemple : $\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx$
Si l'intégrande est un polynôme de degré au plus trois → SIMPSON est EXACTE : l'erreur est nulle, quel que soit $n$

Exemple : $\int_{0}^{2}x^{3}dx$ donne exactement $4$ dès $n=2$

Le point milieu et les trapèzes encadrent l'intégrale quand la concavité est constante : calculer les deux donne un encadrement sans aucune borne théorique.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une approximation avec sa borne, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute question d'intégration numérique, même quand la borne n'est pas explicitement demandée.

1 Calculer $h=\frac{b-a}{n}$ et LISTER les $n+1$ points $x_{0},\ldots,x_{n}$ .
2 Dresser un tableau des $f(x_{i})$ , avec assez de décimales pour la précision visée.
3 Appliquer la formule en écrivant les coefficients, puis multiplier par le facteur devant les crochets.
4 Calculer la dérivée nécessaire, étudier sa monotonie, et donner $K$ comme un MAXIMUM justifié.
5 Appliquer la formule de la borne et conclure par un ENCADREMENT.

Phrase de conclusion

$T_{4}=1{,}1167$ avec $\left|E_{T}\right|\le 0{,}0833$ , donc $\int_{1}^{3}\frac{dx}{x}$ est comprise entre $1{,}033$ et $1{,}200$ .

Le piège : Donner $K$ sans justifier que c'est un maximum. La phrase « $\left|f''\right|=\frac{2}{x^{3}}$ est décroissante sur $\left[1,3\right]$ , donc son maximum est $f''(1)=2$ » vaut à elle seule un point.

Barème : En général 1 point pour le pas et les points, 2 points pour l'approximation, 1 point pour $K$ justifié, 1 point pour la borne et l'encadrement.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier que le dernier point tombe sur $b$

Calculer $x_{0}+nh$ : le résultat doit être exactement $b$ . C'est le contrôle qui attrape la confusion entre points et sous-intervalles.

$1+4\times 0{,}5=3$ ✓. Avec $h=0{,}4$ , on obtiendrait $2{,}6$ , ce qui signale un pas faux.
Contrôler la somme des coefficients

Pour les trapèzes, la somme des coefficients vaut $2n$ ; pour Simpson, elle vaut $3n$ . Un total différent signale un coefficient mal placé.

Simpson avec $n=4$ : $1+4+2+4+1=12=3\times 4$ ✓. La suite $1,2,4,2,1$ donne $10$ et trahit l'inversion.
Encadrer par le point milieu et les trapèzes

Quand la concavité est constante, calculer les deux approximations : l'intégrale est entre les deux, sans aucune formule d'erreur.

Sur $\frac{1}{x}$ , convexe, $M_{n}\le\int\le T_{n}$ : un résultat hors de cet encadrement signale une erreur de calcul.
Comparer l'erreur réelle à la borne

Quand la valeur exacte est connue, vérifier que l'écart est INFÉRIEUR à la borne annoncée. Un écart supérieur prouve une erreur, pas une borne pessimiste.

$\left|1{,}1167-1{,}0986\right|=0{,}0181\le 0{,}0833$ ✓.
Vérifier l'ordre de grandeur par un rectangle moyen

Multiplier la largeur de l'intervalle par une valeur typique de la fonction : le résultat doit être du même ordre que l'approximation.

$\frac{1}{x}$ vaut entre $0{,}33$ et $1$ sur une largeur de $2$ : l'intégrale est entre $0{,}67$ et $2$ , et $1{,}12$ y tombe ✓.

L'exercice type décortiqué

Trapèzes et Simpson sur la même intégrale, avec les bornes

Approcher $\displaystyle\int_{1}^{3}\frac{dx}{x}$ avec $n=4$ , par les trapèzes puis par Simpson, et donner dans chaque cas une borne d'erreur.

La parabole qui passe par

(1\,;1)

(2\,;0{,}5)

(3\,;\frac{1}{3})

épouse la courbe bien mieux que la corde : c'est cette substitution qui donne à Simpson son ordre quatre.

Étape 1

$h=\frac{3-1}{4}=0{,}5$ , et les CINQ points sont $1$ , $1{,}5$ , $2$ , $2{,}5$ , $3$ . Valeurs : $1$ , $0{,}6667$ , $0{,}5$ , $0{,}4$ , $0{,}3333$ .

Pourquoi

Cinq points pour quatre sous-intervalles, et le dernier tombe exactement sur $3$ : les deux contrôles du pas sont faits avant tout calcul.

Étape 2

Trapèzes : $T_{4}=\frac{0{,}5}{2}\left[1+2(0{,}6667)+2(0{,}5)+2(0{,}4)+0{,}3333\right]=0{,}25\times 4{,}4667=1{,}1167$ .

Pourquoi

Les coefficients $1,2,2,2,1$ somment à $8=2n$ ✓, et le facteur $\frac{h}{2}$ est appliqué à la fin. Les deux vérifications tiennent en cinq secondes.

Étape 3

Borne des trapèzes : $f''(x)=\frac{2}{x^{3}}$ , décroissante sur $\left[1,3\right]$ , donc $K_{2}=f''(1)=2$ . D'où $\left|E_{T}\right|\le\frac{2(3-1)^{3}}{12(4)^{2}}=\frac{16}{192}=0{,}0833$ .

Pourquoi

La monotonie de $\left|f''\right|$ est écrite explicitement : c'est elle qui justifie que $2$ est bien un MAXIMUM, et c'est le point que la plupart des copies perdent.

Étape 4

Simpson : $S_{4}=\frac{0{,}5}{3}\left[1+4(0{,}6667)+2(0{,}5)+4(0{,}4)+0{,}3333\right]=0{,}16667\times 6{,}6=1{,}1000$ .

Pourquoi

Coefficients $1,4,2,4,1$ , somme $12=3n$ ✓, avec les $4$ sur les indices impairs. Le facteur est $\frac{h}{3}$ et non $\frac{h}{2}$ : les deux se confondent facilement.

Étape 5

Borne de Simpson : $f^{(4)}(x)=\frac{24}{x^{5}}$ , décroissante, donc $K_{4}=24$ . D'où $\left|E_{S}\right|\le\frac{24(2)^{5}}{180(4)^{4}}=\frac{768}{46\,080}=0{,}0167$ .

Pourquoi

Même méthode, une dérivée plus haut. La borne de Simpson est cinq fois plus fine que celle des trapèzes pour le même nombre d'évaluations, ce qui est tout l'intérêt de la méthode.

Étape 6

Contrôle : la valeur exacte est $\ln 3=1{,}0986$ . Erreur des trapèzes $0{,}0181\le 0{,}0833$ ✓; erreur de Simpson $0{,}0014\le 0{,}0167$ ✓. Simpson est treize fois plus précise.

Pourquoi

Les deux erreurs réelles sont bien inférieures à leurs bornes, comme attendu d'une majoration. Le rapport entre les deux confirme l'ordre supérieur de Simpson, ce qui est la conclusion que la question cherche.

Conclusion rédigée

$T_{4}=1{,}1167$ à $0{,}0833$ près et $S_{4}=1{,}1000$ à $0{,}0167$ près, alors que $\ln 3=1{,}0986$ : les deux encadrements contiennent la valeur exacte, et Simpson la serre bien plus étroitement.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $K_{2}=f''(3)=\frac{2}{27}$ parce que c'est la dernière valeur calculée. La borne deviendrait $0{,}0031$ , inférieure à l'erreur réelle de $0{,}0181$ : elle affirmerait une précision que le calcul n'a pas.

À savoir par cœur

• $h=\frac{b-a}{n}$ , avec $n$ SOUS-INTERVALLES et $n+1$ points.
• Trapèzes : coefficients $1,2,\ldots,2,1$ et facteur $\frac{h}{2}$ . Somme des coefficients $2n$ .
• Simpson : coefficients $1,4,2,\ldots,4,1$ et facteur $\frac{h}{3}$ , avec $n$ PAIR. Somme $3n$ .
• $\left|E_{T}\right|\le\frac{K_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}$ , $\left|E_{M}\right|\le\frac{K_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}$ , $\left|E_{S}\right|\le\frac{K_{4}(b-a)^{5}}{180n^{4}}$ .
• $K$ est un MAXIMUM sur tout l'intervalle, justifié par la monotonie de la dérivée.
• Convexe : trapèzes au-dessus, point milieu en dessous. Les deux encadrent.
• Simpson est EXACTE sur tout polynôme de degré au plus trois.
• Pour trouver $n$ : résoudre l'inéquation et ARRONDIR VERS LE HAUT.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il donner une borne d'erreur ?

Parce qu'une approximation sans borne ne dit pas combien de décimales sont fiables. La borne transforme un nombre en encadrement de la valeur exacte, ce qui est le seul résultat exploitable. Le barème lui réserve toujours des points distincts de ceux du calcul de l'approximation.

Pourquoi Simpson exige-t-elle un nombre pair de sous-intervalles ?

Parce que la méthode remplace la courbe par une parabole sur chaque paire de sous-intervalles consécutifs. Il en faut donc un nombre pair pour que le découpage se referme exactement. Avec un nombre impair, la dernière paire est incomplète et les coefficients ne bouclent pas.

Comment trouver la constante K dans la borne d'erreur ?

C'est un majorant de la valeur absolue de la dérivée concernée sur tout l'intervalle, donc son maximum. On étudie la monotonie de cette dérivée, souvent évidente, et on prend sa plus grande valeur. Choisir une valeur au hasard donne une borne fausse, parfois inférieure à l'erreur réelle.

Les trapèzes surestiment-ils toujours l'intégrale ?

Seulement quand la fonction est convexe, c'est-à-dire quand sa dérivée seconde est positive. Les cordes passent alors au-dessus de la courbe. Sur une fonction concave, c'est l'inverse, et le point milieu fait toujours l'erreur de sens opposé, ce qui donne un encadrement gratuit.

Combien de sous-intervalles pour une précision donnée ?

On écrit l'inéquation qui dit que la borne d'erreur est inférieure à la précision voulue, puis on isole le nombre de sous-intervalles. On arrondit toujours vers le haut, et pour Simpson on monte encore jusqu'au premier entier pair, puisque la méthode l'exige.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'intégration numérique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Fiche de révision : l'intégration numérique

L'essentiel

Les trois formules, avec le même pas

Les bornes d'erreur, et où chercher le maximum

Le sens de l'erreur, donné par la concavité

Les pièges qui coûtent des points

1. Rendre une approximation sans borne d'erreur

2. Confondre le nombre de sous-intervalles et le nombre de points

3. Utiliser Simpson avec un nombre impair de sous-intervalles

4. Inverser les coefficients de Simpson

5. Chercher le maximum de la dérivée seconde au mauvais endroit

6. Oublier le h2\frac{h}{2}2h​ ou le h3\frac{h}{3}3h​

7. Croire qu'une borne large signale une erreur

8. Chercher nnn sans résoudre l'inéquation

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon ce que l'énoncé demande

La rédaction attendue

Une approximation avec sa borne, rédigée pour le correcteur

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Trapèzes et Simpson sur la même intégrale, avec les bornes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il donner une borne d'erreur ?

Pourquoi Simpson exige-t-elle un nombre pair de sous-intervalles ?

Comment trouver la constante K dans la borne d'erreur ?

Les trapèzes surestiment-ils toujours l'intégrale ?

Combien de sous-intervalles pour une précision donnée ?

Exercices corrigés : L'intégration numérique

Voir aussi

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6. Oublier le $\frac{h}{2}$ ou le $\frac{h}{3}$

8. Chercher $n$ sans résoudre l'inéquation