Exercice 0.1 : Intégrer à l'aide de la table : douze calculs directs

Pour chaque fonction $f$ , déterminez la primitive générale à l'aide de la table des primitives de base et de la linéarité, puis la primitive $F$ qui s'annule au premier point indiqué, et donnez sa valeur au second point. Valeur exacte, ou au millième si elle contient $e$ , $\pi$ ou un logarithme.

Une seule méthode pour les douze lignes : RÉÉCRIRE d'abord l'intégrande en somme de termes de la table, racines en puissances fractionnaires, fractions en puissances négatives, quotient éclaté par le monôme, produit développé. Puis intégrer terme à terme, en divisant par le NOUVEL exposant ou par le coefficient $k$ de l'argument. Enfin, la condition $F(a)=0$ fixe la constante, ce qui revient à calculer $G(b)-G(a)$ pour n'importe quelle primitive $G$ .

a) $f(x)=4x^{3}-6x^{2}+2x-5$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(2)$ .
b) $f(x)=\frac{8}{x^{3}}-\frac{3}{x^{2}}$ ; $F(1)=0$ , donnez $F(2)$ .
c) $f(x)=\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ ; $F(1)=0$ , donnez $F(8)$ .
d) $f(x)=\frac{3x^{4}-x+2}{x^{3}}$ ; $F(1)=0$ , donnez $F(2)$ .
e) $f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{2}$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(1)$ .
f) $f(x)=4e^{2x}-e^{-x/2}$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(\ln 4)$ .
g) $f(x)=4^{x}+\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(1)$ .
h) $f(x)=\cos(3x)-2\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(\pi)$ .
i) $f(x)=\tan^{2}x+\frac{4}{1+x^{2}}$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(1)$ .
j) $f(x)=\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ; $F(0)=0$ , donnez $F\left(\frac{1}{2}\right)$ .
k) $f(x)=\frac{(x+1)^{2}}{x}$ ; $F(1)=0$ , donnez $F(e)$ .
l) $f(x)=\frac{1+x\cos x+xe^{x}}{x}$ ; $F(1)=0$ , donnez $F(2)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

F(2)

b)

F(2)

c)

F(8)

d)

F(2)

e)

F(1)

f)

F(\ln 4)

g)

F(1)

h)

F(\pi)

i)

F(1)

j)

F\left(\frac{1}{2}\right)

k)

F(e)

l)

F(2)

Voir la correction

Réponses

a) $F(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-5x$ ; $F(2)=-6$
b) $F(x)=-\frac{4}{x^{2}}+\frac{3}{x}+1$ ; $F(2)=\frac{3}{2}$
c) $F(x)=\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}-\frac{15}{4}$ ; $F(8)=\frac{57}{4}=14{,}25$
d) $F(x)=\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{2}$ ; $F(2)=\frac{19}{4}=4{,}75$
e) $F(x)=\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x$ ; $F(1)=\frac{28}{15}\approx 1{,}867$
f) $F(x)=2e^{2x}+2e^{-x/2}-4$ ; $F(\ln 4)=29$
g) $F(x)=\frac{4^{x}}{2\ln 2}-\frac{(1/2)^{x}}{\ln 2}+\frac{1}{2\ln 2}$ ; $F(1)=\frac{2}{\ln 2}\approx 2{,}885$
h) $F(x)=\frac{\sin(3x)}{3}+4\cos\left(\frac{x}{2}\right)-4$ ; $F(\pi)=-4$
i) $F(x)=\tan x-x+4\arctan x$ ; $F(1)=\tan 1-1+\pi\approx 3{,}699$
j) $F(x)=\arcsin x-x$ ; $F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\approx 0{,}0236$
k) $F(x)=\frac{x^{2}}{2}+2x+\ln|x|-\frac{5}{2}$ ; $F(e)=\frac{e^{2}}{2}+2e-\frac{3}{2}\approx 7{,}631$
l) $F(x)=\ln|x|+\sin x+e^{x}-\sin 1-e$ ; $F(2)\approx 5{,}432$

Le geste qui décide de tout se fait AVANT d'intégrer : réécrire. La table ne connaît ni les racines, ni les fractions, ni les produits, ni les quotients ; elle connaît $x^{n}$ , $e^{kx}$ , $a^{x}$ , $\sin$ , $\cos$ , $\sec^{2}$ , $\frac{1}{x}$ , $\frac{1}{1+x^{2}}$ et $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ . Une fois la somme écrite, la linéarité fait le reste, et il n'existe AUCUNE règle du produit ni du quotient pour les primitives.

a)

$F(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-5x+C$ , et $F(0)=0$ donne $C=0$ . Donc $F(2)=16-16+4-10=-6$ . Piège : oublier de diviser par le nouvel exposant, $4x^{3}\mapsto 4x^{4}$ au lieu de $x^{4}$ .

b)

$f(x)=8x^{-3}-3x^{-2}$ , donc $F(x)=\frac{8x^{-2}}{-2}-\frac{3x^{-1}}{-1}+C=-\frac{4}{x^{2}}+\frac{3}{x}+C$ . $F(1)=-4+3+C=0$ donne $C=1$ , et $F(2)=-1+\frac{3}{2}+1=\frac{3}{2}$ . Piège : l'exposant MONTE, $x^{-3}$ devient $\frac{x^{-2}}{-2}$ et non $\frac{x^{-4}}{-4}$ .

c)

$f(x)=x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{2}{3}}$ , donc $F(x)=\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}+C$ . $F(1)=\frac{3}{4}+3+C=0$ donne $C=-\frac{15}{4}$ , et $F(8)=\frac{3}{4}\times 16+3\times 2-\frac{15}{4}=18-\frac{15}{4}=\frac{57}{4}=14{,}25$ . Piège : $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}=x^{-\frac{2}{3}}$ , dont la primitive $\frac{x^{1/3}}{1/3}$ porte un coefficient $3$ .

d)

On éclate par le monôme : $f(x)=3x-x^{-2}+2x^{-3}$ , donc $F(x)=\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+C$ . $F(1)=\frac{3}{2}+1-1+C=0$ donne $C=-\frac{3}{2}$ , et $F(2)=6+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{3}{2}=\frac{19}{4}=4{,}75$ . Piège : intégrer le numérateur et le dénominateur séparément, une « règle du quotient » qui n'existe pas.

e)

On développe : $\left(x^{2}+1\right)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1$ , donc $F(x)=\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x+C$ avec $C=0$ , et $F(1)=\frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1=\frac{28}{15}\approx 1{,}867$ . Piège : répondre $\frac{\left(x^{2}+1\right)^{3}}{3}$ , dont la dérivée est $2x\left(x^{2}+1\right)^{2}$ : le facteur $2x$ manque, ce n'est pas une primitive.

f)

$\int e^{kx}dx=\frac{e^{kx}}{k}+C$ , avec $k=2$ puis $k=-\frac{1}{2}$ : $F(x)=2e^{2x}+2e^{-x/2}+C$ . $F(0)=2+2+C=0$ donne $C=-4$ . En $\ln 4$ : $e^{2\ln 4}=16$ et $e^{-\frac{\ln 4}{2}}=\frac{1}{2}$ , donc $F(\ln 4)=32+1-4=29$ . Piège : diviser par $-\frac{1}{2}$ multiplie par $-2$ , et le moins devant $e^{-x/2}$ devient un plus.

g)

$\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$ , avec $\ln 4=2\ln 2$ et $\ln\frac{1}{2}=-\ln 2$ : $F(x)=\frac{4^{x}}{2\ln 2}-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}{\ln 2}+C$ . Donc $F(1)=\frac{4-1}{2\ln 2}-\frac{\frac{1}{2}-1}{\ln 2}=\frac{3}{2\ln 2}+\frac{1}{2\ln 2}=\frac{2}{\ln 2}\approx 2{,}885$ . Piège : $\frac{4^{x+1}}{x+1}$ , la règle de puissance appliquée à une exponentielle.

h)

$F(x)=\frac{\sin(3x)}{3}+4\cos\left(\frac{x}{2}\right)+C$ , puisque $\int\sin(kx)dx=-\frac{\cos(kx)}{k}$ et que diviser par $k=\frac{1}{2}$ multiplie par $2$ . $F(0)=0+4+C=0$ donne $C=-4$ , et $F(\pi)=\frac{\sin 3\pi}{3}+4\cos\frac{\pi}{2}-4=-4$ . Piège : le signe, $-2\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ s'intègre en $+4\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ .

i)

$\tan^{2}x$ n'est pas dans la table, mais $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$ y est. Donc $F(x)=\tan x-x+4\arctan x+C$ avec $C=0$ , et $F(1)=\tan 1-1+4\times\frac{\pi}{4}=\tan 1-1+\pi\approx 3{,}699$ . Piège : $\frac{\tan^{3}x}{3}$ , dont la dérivée est $\tan^{2}x\sec^{2}x$ .

j)

On éclate : $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-1$ , donc $F(x)=\arcsin x-x+C$ avec $C=0$ , et $F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\approx 0{,}0236$ . Piège : $\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$ en radians, et non $30$ .

k)

On développe puis on éclate : $\frac{x^{2}+2x+1}{x}=x+2+\frac{1}{x}$ , donc $F(x)=\frac{x^{2}}{2}+2x+\ln|x|+C$ . $F(1)=\frac{1}{2}+2+0+C=0$ donne $C=-\frac{5}{2}$ , et $F(e)=\frac{e^{2}}{2}+2e+1-\frac{5}{2}=\frac{e^{2}}{2}+2e-\frac{3}{2}\approx 7{,}631$ . Piège : $\frac{1}{x}=x^{-1}$ est le trou de la formule des puissances, sa primitive est $\ln|x|$ .

l)

On éclate par $x$ : $f(x)=\frac{1}{x}+\cos x+e^{x}$ , trois familles de la table. $F(x)=\ln|x|+\sin x+e^{x}+C$ , $F(1)=\sin 1+e+C=0$ , donc $F(2)=\ln 2+\sin 2+e^{2}-\sin 1-e\approx 5{,}432$ , calculatrice en radians.

Contrôle : on DÉRIVE chaque primitive trouvée et l'on doit retomber sur $f$ , en dix secondes par ligne ; c'est ce contrôle qui attrape le facteur $\frac{1}{k}$ oublié et le signe des sinus. Pour la valeur, on vérifie que $F(a)=0$ au point de départ, puis on recalcule $F(b)$ à la machine.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 0.2 : Intégrer par changement de variable direct : dix calculs directs

Pour chaque fonction $f$ , déterminez une primitive par changement de variable, en écrivant $u$ et $du$ , puis la primitive $F$ qui s'annule au premier point indiqué, et donnez sa valeur au second point. Valeur exacte, ou au millième si elle contient $e$ ou un logarithme.

Une seule méthode pour les dix lignes : repérer la fonction INTÉRIEURE $u$ dont la dérivée est présente à un facteur constant près ; écrire $du=u'(x)\,dx$ et ajuster la constante ; intégrer en $u$ avec la table ; revenir en $x$ . La valeur demandée se calcule enfin comme $G(b)-G(a)$ , où $G$ est la primitive trouvée.

a) $f(x)=(3x-2)^{4}$ ; $F(1)=0$ , donnez $F(2)$ .
b) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(4)$ .
c) $f(x)=(2x+1)\left(x^{2}+x+1\right)^{3}$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(1)$ .
d) $f(x)=\frac{4x^{3}-2}{x^{4}-2x+3}$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(2)$ .
e) $f(x)=(x+1)\,e^{x^{2}+2x}$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(1)$ .
f) $f(x)=\sin^{4}x\cos x$ ; $F(0)=0$ , donnez $F\left(\frac{\pi}{2}\right)$ .
g) $f(x)=\frac{\sqrt{\ln x}}{x}$ ; $F(1)=0$ , donnez $F(e^{4})$ .
h) $f(x)=\frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(\ln 3)$ .
i) $f(x)=\tan(2x)$ ; $F(0)=0$ , donnez $F\left(\frac{\pi}{6}\right)$ .
j) $f(x)=\frac{6x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}$ ; $F(0)=0$ , donnez $F(1)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

F(2)

b)

F(4)

c)

F(1)

d)

F(2)

e)

F(1)

f)

F\left(\frac{\pi}{2}\right)

g)

F(e^{4})

h)

F(\ln 3)

i)

F\left(\frac{\pi}{6}\right)

j)

F(1)

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{(3x-2)^{5}}{15}$ ; $F(2)=\frac{1023}{15}=68{,}2$
b) $\sqrt{2x+1}$ ; $F(4)=2$
c) $\frac{\left(x^{2}+x+1\right)^{4}}{4}$ ; $F(1)=20$
d) $\ln\left|x^{4}-2x+3\right|$ ; $F(2)=\ln 5\approx 1{,}609$
e) $\frac{1}{2}e^{x^{2}+2x}$ ; $F(1)=\frac{e^{3}-1}{2}\approx 9{,}543$
f) $\frac{\sin^{5}x}{5}$ ; $F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{5}$
g) $\frac{2}{3}(\ln x)^{\frac{3}{2}}$ ; $F(e^{4})=\frac{16}{3}\approx 5{,}333$
h) $-\frac{1}{1+e^{x}}$ ; $F(\ln 3)=\frac{1}{4}$
i) $-\frac{1}{2}\ln\left|\cos(2x)\right|$ ; $F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\ln 2}{2}\approx 0{,}347$
j) $-\frac{3}{2\left(x^{2}+1\right)^{2}}$ ; $F(1)=\frac{9}{8}=1{,}125$

Le geste qui décide de tout : trouver $u$ en cherchant sa DÉRIVÉE dans l'intégrande. Un $2x+1$ à côté de $x^{2}+x+1$ , un $\frac{1}{x}$ à côté de $\ln x$ , un $\cos x$ à côté de $\sin x$ : quand la dérivée est là, à une constante près, la substitution marche ; quand il manque un facteur en $x$ , elle ne marche pas, et une constante ne se rajoute jamais pour compenser un $x$ .

a)

$u=3x-2$ , $du=3\,dx$ : $\int(3x-2)^{4}dx=\frac{1}{3}\int u^{4}du=\frac{(3x-2)^{5}}{15}+C$ . Donc $F(2)=\frac{4^{5}-1^{5}}{15}=\frac{1023}{15}=68{,}2$ . Piège : oublier le $\frac{1}{3}$ et répondre $\frac{(3x-2)^{5}}{5}$ , trois fois trop grand.

b)

$u=2x+1$ , $du=2\,dx$ : $\int(2x+1)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2x+1}+C$ . Donc $F(4)=\sqrt{9}-\sqrt{1}=2$ . Le $\frac{1}{2}$ de $du$ et le $\frac{1}{2}$ de l'exposant se compensent exactement.

c)

$u=x^{2}+x+1$ , $du=(2x+1)\,dx$ , présent tel quel : $\int u^{3}du=\frac{\left(x^{2}+x+1\right)^{4}}{4}+C$ . En $0$ , $u=1$ ; en $1$ , $u=3$ . Donc $F(1)=\frac{81-1}{4}=20$ .

d)

Forme $\frac{u'}{u}$ : $u=x^{4}-2x+3$ , $du=(4x^{3}-2)\,dx$ , et $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C$ . Ici $u>0$ sur $[0\,;2]$ (son minimum, en $x=\sqrt[3]{0{,}5}$ , vaut environ $1{,}81$ ). En $0$ , $u=3$ ; en $2$ , $u=15$ . Donc $F(2)=\ln 15-\ln 3=\ln 5\approx 1{,}609$ . Piège : $\frac{u'}{u}$ s'intègre en $\ln|u|$ , pas en $\frac{u^{2}}{2}$ ni en $\ln|u'|$ .

e)

Forme $u'e^{u}$ avec $u=x^{2}+2x$ , $du=(2x+2)\,dx=2(x+1)\,dx$ : il manque un facteur $2$ , constant, qu'on ajuste. $\int(x+1)e^{x^{2}+2x}dx=\frac{1}{2}e^{x^{2}+2x}+C$ . Donc $F(1)=\frac{e^{3}-e^{0}}{2}=\frac{e^{3}-1}{2}\approx 9{,}543$ .

f)

$u=\sin x$ , $du=\cos x\,dx$ : $\int u^{4}du=\frac{\sin^{5}x}{5}+C$ . Donc $F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1-0}{5}=\frac{1}{5}$ . Piège : prendre $u=\cos x$ ; sa dérivée $-\sin x$ ne figure qu'à la puissance $4$ , pas seule.

g)

$u=\ln x$ , $du=\frac{dx}{x}$ : $\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{2}{3}(\ln x)^{\frac{3}{2}}+C$ . En $1$ , $u=0$ ; en $e^{4}$ , $u=4$ . Donc $F(e^{4})=\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\times 8=\frac{16}{3}\approx 5{,}333$ .

h)

$u=1+e^{x}$ , $du=e^{x}dx$ : $\int u^{-2}du=-\frac{1}{u}=-\frac{1}{1+e^{x}}+C$ . En $0$ , $u=2$ ; en $\ln 3$ , $u=4$ . Donc $F(\ln 3)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ . Piège : y voir une forme $\frac{u'}{u}$ et écrire un logarithme ; le carré au dénominateur en fait une puissance $u^{-2}$ .

i)

$\tan(2x)=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$ : $u=\cos(2x)$ , $du=-2\sin(2x)\,dx$ , donc $\int\tan(2x)\,dx=-\frac{1}{2}\ln\left|\cos(2x)\right|+C$ . En $0$ , $\cos 0=1$ ; en $\frac{\pi}{6}$ , $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ . Donc $F\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}=\frac{\ln 2}{2}\approx 0{,}347$ . Piège : deux constantes à la fois, le $-1$ de la dérivée du cosinus et le $2$ de l'argument.

j)

$u=x^{2}+1$ , $du=2x\,dx$ , donc $6x\,dx=3\,du$ : $\int 3u^{-3}du=-\frac{3}{2u^{2}}=-\frac{3}{2\left(x^{2}+1\right)^{2}}+C$ . En $0$ , $u=1$ ; en $1$ , $u=2$ . Donc $F(1)=-\frac{3}{8}+\frac{3}{2}=\frac{9}{8}=1{,}125$ .

Contrôle : on dérive la primitive trouvée par la règle de dérivation en chaîne, et l'on doit retrouver exactement $f$ , facteur constant compris ; si un facteur $3$ , $\frac{1}{2}$ ou $-1$ manque, c'est l'ajustement de $du$ qui est faux.

Exercice 1 : Qu'est-ce qu'une primitive ?

La figure montre trois primitives de $f(x)=2x$ : les paraboles $x^{2}$ , $x^{2}+2$ et $x^{2}-2$ . Elles se déduisent l'une de l'autre par translation verticale, et c'est exactement ce que dit la constante d'intégration.

a) Énoncez la définition d'une primitive, puis vérifiez que $F(x)=x\sin x+\cos x$ est une primitive de $f(x)=x\cos x$ .
b) Montrez que $F(x)=\sin^{2}x$ et $G(x)=-\cos^{2}x$ sont toutes deux des primitives de $\sin 2x$ . Est-ce contradictoire ? Quel théorème règle la question ?
c) Trouvez la primitive $F$ de $f(x)=3x^{2}-4x+1$ qui vérifie $F(2)=5$ . Combien y a-t-il de telles primitives ?
d) En vous appuyant sur la figure : pourquoi les trois courbes ont-elles la même pente en chaque abscisse, et pourquoi une seule primitive passe-t-elle par un point donné du plan ?

Voir la correction

Réponses

a) $F'(x)=x\cos x$ : $F$ est bien une primitive
b) $F-G=1$ : deux primitives diffèrent d'une constante, sur un intervalle
c) $F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+3$ , et une seule
d) Translatées verticales : tangentes parallèles, une courbe par point

a)

Définition : $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$ . Vérification : $F'(x)=\left(x\sin x\right)'+\left(\cos x\right)'=(\sin x+x\cos x)-\sin x=x\cos x=f(x)$ ✓. Les deux $\sin x$ s'annulent, et c'est tout l'intérêt de la forme proposée. Notez qu'on ne CHERCHE pas la primitive ici, on la VÉRIFIE : vérifier est toujours plus facile que trouver, et c'est la raison pour laquelle toute réponse d'intégration se contrôle par dérivation.

b)

$F'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$ ✓ et $G'(x)=-2\cos x\cdot(-\sin x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$ ✓. Aucune contradiction : $F(x)-G(x)=\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ , une CONSTANTE. Le théorème qui règle la question : si deux fonctions ont la même dérivée sur un intervalle, leur différence y est constante (conséquence du théorème des accroissements finis, puisque $(F-G)'=0$ ). Deux primitives d'une même fonction ne peuvent donc différer que d'une constante, et c'est précisément ce que le $+C$ encode. Attention à l'hypothèse d'INTERVALLE : sur un domaine en deux morceaux, comme celui de $\frac{1}{x}$ , la « constante » peut valoir une valeur à gauche de zéro et une autre à droite.

c)

$F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+C$ . La condition $F(2)=5$ donne $8-8+2+C=5$ , donc $C=3$ et $F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+3$ . Il y en a exactement UNE : la condition initiale sélectionne un unique membre de la famille infinie. C'est le mécanisme central des équations différentielles plus tard dans la session : l'intégration fournit la famille, la condition initiale choisit la solution.

d)

Les trois courbes sont des translatées verticales l'une de l'autre : passer de $x^{2}$ à $x^{2}+2$ ajoute la même quantité partout, ce qui ne change aucune pente. Leur dérivée commune est $2x$ , donc en une abscisse donnée les trois tangentes sont parallèles. Et par un point $(x_{0},y_{0})$ du plan il passe exactement une primitive, car l'équation $x_{0}^{2}+C=y_{0}$ a une solution unique $C=y_{0}-x_{0}^{2}$ . Géométriquement : la famille des primitives remplit le plan sans qu'aucune ne se croise, ce qui donne l'image juste du $+C$ comme d'un curseur vertical.

Exercice 2 : La table des formules et son unique trou

Toute la table des primitives de base est la table des dérivées lue à l'envers. Une seule formule a un trou, et l'examen le teste chaque session.

a) Calculez $\int\left(x^{5}-3x^{2}+7\right)dx$ , $\int\frac{dx}{x^{4}}$ et $\int\sqrt{x}\,dx$ en réécrivant d'abord chaque intégrande en puissance de $x$ .
b) Pourquoi la formule $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ échoue-t-elle en $n=-1$ ? Que vaut alors l'intégrale, et pourquoi la valeur absolue dans la réponse ?
c) Calculez $\int\left(e^{3x}+2^{x}\right)dx$ . D'où vient le $\ln 2$ au dénominateur, et d'où vient le facteur $\frac{1}{3}$ ?
d) Calculez $\int\left(\sec^{2}x-\frac{4}{1+x^{2}}\right)dx$ et $\int\sin(5x)dx$ . Quelle erreur commet l'étudiant qui répond $-\cos(5x)+C$ à la seconde ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

a)

\int\frac{dx}{x^{4}}

\int\sqrt{x}\,dx

b)

\int\frac{dx}{x}

c)

Coefficient devant

e^{3x}

Primitive de

2^{x}

d)

\int\sin(5x)dx

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{x^{6}}{6}-x^{3}+7x+C$ ; $-\frac{1}{3x^{3}}+C$ ; $\frac{2}{3}x^{3/2}+C$
b) $n+1=0$ ; $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$
c) $\frac{e^{3x}}{3}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$
d) $\tan x-4\arctan x+C$ ; $-\frac{\cos 5x}{5}+C$

a)

On réécrit tout en puissances avant d'appliquer la formule. $\int\left(x^{5}-3x^{2}+7\right)dx=\frac{x^{6}}{6}-x^{3}+7x+C$ . Ensuite $\int\frac{dx}{x^{4}}=\int x^{-4}dx=\frac{x^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{3x^{3}}+C$ : l'exposant négatif passe sans difficulté, il suffit de ne pas oublier que $-4+1=-3$ . Enfin $\int\sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}x^{3/2}+C$ . La réécriture préalable est le vrai geste technique : tant que l'intégrande n'est pas sous la forme $x^{n}$ , aucune formule ne s'applique.

b)

En $n=-1$ , le dénominateur $n+1$ vaut zéro : la formule demande une division par zéro, elle n'a donc aucun sens. Ce cas se traite à part : $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$ , parce que $\left(\ln|x|\right)'=\frac{1}{x}$ . La valeur absolue est là parce que $\frac{1}{x}$ existe aussi pour $x<0$ , où $\ln x$ n'est pas défini : pour $x<0$ on a $\ln|x|=\ln(-x)$ , de dérivée $\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$ ✓. La formule couvre ainsi les deux côtés de l'origine. C'est le seul trou de la table des puissances, et il est comblé par une fonction d'une tout autre famille : la puissance $-1$ s'intègre en logarithme, ce qui n'a rien d'évident et mérite d'être mémorisé comme une exception.

c)

$\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}+C$ : en dérivant $e^{3x}$ la règle de chaîne sort un facteur 3, il faut donc diviser par 3 pour compenser. $\int 2^{x}dx=\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ : en dérivant $2^{x}$ on obtient $2^{x}\ln 2$ , d'où la division par $\ln 2$ . Total : $\frac{e^{3x}}{3}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ . Dans les deux cas le dénominateur est exactement le facteur parasite que la dérivation ferait apparaître : intégrer, c'est annuler d'avance ce que dériver produirait.

d)

$\int\sec^{2}x\,dx=\tan x$ et $\int\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x$ , donc le résultat est $\tan x-4\arctan x+C$ . Pour la seconde : $\int\sin(5x)dx=-\frac{\cos(5x)}{5}+C$ . L'erreur de l'étudiant qui répond $-\cos(5x)+C$ est d'oublier la chaîne : en dérivant $-\cos(5x)$ on obtient $5\sin(5x)$ , soit cinq fois trop. Le réflexe de vérification tranche immédiatement, et la règle générale à retenir est que pour un argument affine $ax+b$ , la primitive se divise par $a$ : $\int f(ax+b)dx=\frac{F(ax+b)}{a}+C$ . C'est le cas particulier le plus rentable du changement de variable, celui qu'on finit par faire de tête.

Exercice 3 : La linéarité, et les deux règles qui n'existent pas

L'intégration a UNE seule propriété algébrique : la linéarité. Chaque session, une majorité d'étudiants en invente deux autres, par analogie avec la dérivation.

a) Énoncez la linéarité de l'intégrale, puis calculez $\int\left(4\cos x-\frac{3}{x}+5e^{x}\right)dx$ .
b) Un étudiant écrit $\int x\,e^{x}dx=\frac{x^{2}}{2}\,e^{x}+C$ . Réfutez cette réponse par dérivation, sans calculer la vraie primitive.
c) Un autre écrit $\int\frac{x^{2}+3x}{x}dx=\frac{\int(x^{2}+3x)dx}{\int x\,dx}$ . Réfutez, puis calculez correctement l'intégrale.
d) Calculez $\int\sqrt{x}\left(x^{2}-1\right)dx$ et $\int\frac{x^{3}+2x-5}{x^{2}}dx$ . Quelle est la manœuvre commune à ces deux calculs, et pourquoi est-elle la seule disponible à ce stade ?

Voir la correction

Réponses

a) $4\sin x-3\ln|x|+5e^{x}+C$
b) La dérivée donne $xe^{x}+\frac{x^{2}}{2}e^{x}$ : faux
c) $\frac{x^{2}}{2}+3x+C$
d) $\frac{2}{7}x^{7/2}-\frac{2}{3}x^{3/2}+C$ ; $\frac{x^{2}}{2}+2\ln|x|+\frac{5}{x}+C$

a)

Linéarité : $\int\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx$ pour toutes constantes $a$ et $b$ . Elle autorise deux choses, et deux seulement : séparer une SOMME, et sortir une CONSTANTE. Application : $\int\left(4\cos x-\frac{3}{x}+5e^{x}\right)dx=4\sin x-3\ln|x|+5e^{x}+C$ . Une seule constante $C$ suffit pour toute l'expression, puisque la somme de trois constantes arbitraires reste une constante arbitraire.

b)

Il suffit de dériver la réponse proposée : $\left(\frac{x^{2}}{2}e^{x}\right)'=xe^{x}+\frac{x^{2}}{2}e^{x}$ , par la règle du produit. On voulait $xe^{x}$ , on obtient $xe^{x}+\frac{x^{2}}{2}e^{x}$ : le terme parasite $\frac{x^{2}}{2}e^{x}$ n'est nul pour aucun $x\neq 0$ , la réponse est donc fausse. La leçon dépasse l'exercice : l'intégrale d'un produit N'EST PAS le produit des intégrales, parce que la dérivation d'un produit fabrique deux termes et non un. Il n'existe aucune règle du produit pour intégrer; il existe l'intégration par parties, qui est le rattrapage de cette absence, et qui donnerait ici $(x-1)e^{x}+C$ .

c)

Même méthode de réfutation par un cas simple : $\int\frac{x}{x}dx=\int 1\,dx=x+C$ , alors que la formule proposée donnerait $\frac{x^{2}/2}{x^{2}/2}=1$ , une constante. Une fonction non constante ne peut pas être égale à une constante, la règle est donc fausse. Le calcul correct passe par la SIMPLIFICATION algébrique avant toute intégration : $\frac{x^{2}+3x}{x}=x+3$ pour $x\neq 0$ , d'où $\int\frac{x^{2}+3x}{x}dx=\frac{x^{2}}{2}+3x+C$ .

d)

Premier calcul : on distribue avant d'intégrer, $\sqrt{x}(x^{2}-1)=x^{5/2}-x^{1/2}$ , donc $\int=\frac{2}{7}x^{7/2}-\frac{2}{3}x^{3/2}+C$ . Second calcul : on sépare la fraction terme à terme, $\frac{x^{3}+2x-5}{x^{2}}=x+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^{2}}$ , donc $\int=\frac{x^{2}}{2}+2\ln|x|+\frac{5}{x}+C$ . La manœuvre commune est de RÉÉCRIRE l'intégrande en une somme de termes de la table avant d'intégrer quoi que ce soit. Elle est la seule disponible parce que la linéarité ne sait traiter que des sommes : tant qu'un produit ou un quotient reste debout, aucune règle du chapitre ne s'applique. D'où la stratégie d'ouverture pour toute intégrale de ce chapitre : distribuer, séparer, simplifier, et regarder seulement ensuite s'il reste un travail à faire.

Exercice 4 : Valeur absolue et domaines disjoints

Deux situations où le « $+C$ » cache une subtilité : quand l'intégrande a un coin, et quand le domaine est en deux morceaux.

a) Calculez $\int|x|\,dx$ en traitant séparément $x\geq 0$ et $x<0$ , puis recollez les deux morceaux.
b) Montrez que la primitive obtenue s'écrit $F(x)=\frac{x|x|}{2}+C$ et vérifiez qu'elle est dérivable EN 0.
c) Sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , la fonction $\frac{1}{x}$ admet-elle $\ln|x|+C$ comme primitive générale ? Justifiez avec précision.
d) Quelle hypothèse du théorème « deux primitives diffèrent d'une constante » est en cause au point c) ?

Voir la correction

Réponses

a) $\pm\frac{x^{2}}{2}+C$ , une seule constante par continuité
b) $F(x)=\frac{x|x|}{2}+C$ , $F'(0)=0$
c) Non : deux constantes indépendantes, une par morceau
d) L'hypothèse d'intervalle

a)

Pour $x\geq 0$ , $|x|=x$ donc une primitive est $\frac{x^{2}}{2}+C_{1}$ . Pour $x<0$ , $|x|=-x$ donc une primitive est $-\frac{x^{2}}{2}+C_{2}$ . Ces deux morceaux doivent se RECOLLER : une primitive est dérivable, donc continue, et la continuité en 0 impose $\frac{0}{2}+C_{1}=-\frac{0}{2}+C_{2}$ , c'est-à-dire $C_{1}=C_{2}$ . Il n'y a donc qu'une seule constante, et non deux : $F(x)=\frac{x^{2}}{2}+C$ pour $x\geq 0$ , $F(x)=-\frac{x^{2}}{2}+C$ pour $x<0$ .

b)

Les deux morceaux se résument en une seule formule : si $x\geq 0$ , $\frac{x|x|}{2}=\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^{2}}{2}$ ✓; si $x<0$ , $\frac{x|x|}{2}=\frac{x(-x)}{2}=-\frac{x^{2}}{2}$ ✓. Donc $F(x)=\frac{x|x|}{2}+C$ . Dérivabilité en 0 : le taux d'accroissement vaut $\frac{F(h)-F(0)}{h}=\frac{h|h|/2}{h}=\frac{|h|}{2}$ , qui tend vers 0 quand $h\to 0$ des DEUX côtés. Donc $F'(0)=0=|0|$ ✓. La primitive est bien dérivable partout, y compris au point anguleux de l'intégrande : intégrer LISSE, alors que dériver casse. C'est une observation générale, et c'est pourquoi une fonction seulement continue admet tout de même des primitives dérivables.

c)

NON, pas comme primitive GÉNÉRALE. Il est vrai que $\left(\ln|x|\right)'=\frac{1}{x}$ sur tout $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Mais le domaine est en DEUX morceaux disjoints, $\left]-\infty,0\right[$ et $\left]0,+\infty\right[$ , et rien n'oblige la constante à être la même sur les deux. La primitive générale s'écrit donc $F(x)=\ln|x|+C_{1}$ pour $x>0$ et $F(x)=\ln|x|+C_{2}$ pour $x<0$ , avec $C_{1}$ et $C_{2}$ INDÉPENDANTES. Par exemple, la fonction valant $\ln x$ pour $x>0$ et $\ln(-x)+7$ pour $x<0$ a bien $\frac{1}{x}$ pour dérivée partout, et elle ne s'écrit pas $\ln|x|+C$ . Contrairement au point a), aucune condition de continuité ne vient relier les deux constantes, puisque les morceaux ne se touchent pas.

d)

L'hypothèse en cause est celle d'INTERVALLE. Le théorème s'énonce : si $F'=G'$ SUR UN INTERVALLE, alors $F-G$ y est constante. Sa démonstration repose sur le théorème des accroissements finis, lequel exige de pouvoir relier deux points en restant dans le domaine. Sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , qui n'est pas un intervalle, on ne peut pas passer d'un point négatif à un point positif sans franchir 0, où la fonction n'existe pas : le raisonnement se casse, et la conclusion tombe. En pratique au cégep, on écrit tout de même $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$ parce qu'on travaille presque toujours sur un seul des deux morceaux à la fois; mais dès qu'une intégrale définie franchit 0, cette écriture devient fausse et l'intégrale est d'ailleurs divergente. C'est exactement le piège du chapitre des intégrales impropres.

Exercice 5 : Reconnaître la forme : la table des dérivées à l'envers

Trois motifs reviennent dans la moitié des intégrales d'examen. Les repérer en quelques secondes vaut mieux que toute technique lourde.

a) Énoncez les trois formes $\int\frac{f'}{f}$ , $\int f'f^{n}$ et $\int f'e^{f}$ , avec leur primitive.
b) Calculez $\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx$ , $\int\frac{e^{x}}{e^{x}+3}dx$ et $\int\frac{dx}{x\ln x}$ en identifiant $f$ à chaque fois.
c) Calculez $\int 3x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{4}dx$ et $\int\cos x\,e^{\sin x}dx$ .
d) Calculez $\int\frac{x}{x^{2}+1}dx$ : la forme n'est pas exactement celle du a). Quel ajustement, et pourquoi est-il permis ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/7

a)

\int f'e^{f}

b)

\int\frac{e^{x}}{e^{x}+3}dx

\int\frac{dx}{x\ln x}

c)

\int 3x^{2}(x^{3}+1)^{4}dx

\int\cos x\,e^{\sin x}dx

d)

Constante devant

\ln(x^{2}+1)

L'ajustement est permis car le facteur manquant est

Voir la correction

Réponses

a) $\ln|f|+C$ ; $\frac{f^{n+1}}{n+1}+C$ ; $e^{f}+C$
b) $\ln(x^{2}+1)$ ; $\ln(e^{x}+3)$ ; $\ln|\ln x|$ , plus $C$
c) $\frac{(x^{3}+1)^{5}}{5}+C$ ; $e^{\sin x}+C$
d) $\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C$ : on sort la constante $\frac{1}{2}$

a)

Les trois formes, toutes issues de la règle de chaîne lue à l'envers. $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln\left|f(x)\right|+C$ . $\int f'(x)\left[f(x)\right]^{n}dx=\frac{\left[f(x)\right]^{n+1}}{n+1}+C$ pour $n\neq-1$ . $\int f'(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+C$ . Dans les trois cas, la signature est la même : une fonction composée MULTIPLIÉE par la dérivée de son intérieur.

b)

Premier cas : $f=x^{2}+1$ , $f'=2x$ , exactement au numérateur, donc $\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx=\ln\left(x^{2}+1\right)+C$ (la valeur absolue est superflue, $x^{2}+1$ étant toujours positif). Deuxième : $f=e^{x}+3$ , $f'=e^{x}$ , présent, donc $\int\frac{e^{x}}{e^{x}+3}dx=\ln\left(e^{x}+3\right)+C$ . Troisième : on récrit $\frac{1}{x\ln x}=\frac{1/x}{\ln x}$ , donc $f=\ln x$ et $f'=\frac{1}{x}$ , d'où $\int\frac{dx}{x\ln x}=\ln\left|\ln x\right|+C$ . Un logarithme de logarithme, parfaitement légitime.

c)

Premier : $f=x^{3}+1$ , $f'=3x^{2}$ , exactement en facteur, avec $n=4$ : $\int 3x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{4}dx=\frac{\left(x^{3}+1\right)^{5}}{5}+C$ . Second : $f=\sin x$ , $f'=\cos x$ , présent : $\int\cos x\,e^{\sin x}dx=e^{\sin x}+C$ . Vérification systématique par dérivation : $\left(e^{\sin x}\right)'=\cos x\,e^{\sin x}$ ✓.

d)

La dérivée de $f=x^{2}+1$ est $2x$ , or le numérateur ne contient que $x$ : il manque le facteur 2. On l'AJUSTE en écrivant $\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}$ , d'où $\int\frac{x}{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C$ . L'ajustement est permis parce que $\frac{1}{2}$ est une CONSTANTE, et la linéarité autorise à sortir les constantes de l'intégrale. Ce serait interdit s'il manquait un facteur en $x$ : on ne peut jamais écrire $\int x\,g(x)dx=x\int g(x)dx$ . Toute la souplesse de la méthode tient dans cette distinction, et c'est elle qui sépare une substitution correcte d'une faute de raisonnement.

Exercice 6 : La substitution directe : reconnaître la dérivée cachée

Le changement de variable est le seul outil du chapitre qui dépasse la table. Sa signature est toujours la même : une fonction et sa dérivée cohabitent dans l'intégrande.

a) Calculez $\int 2x\left(x^{2}+5\right)^{7}dx$ en explicitant $u$ , $du$ et le retour en $x$ .
b) Calculez $\int\frac{3x^{2}}{x^{3}+4}dx$ puis $\int\frac{\ln x}{x}dx$ . Quelle structure commune ces deux intégrales partagent-elles ?
c) Calculez $\int x\,e^{x^{2}}dx$ . Comparez avec $\int e^{x^{2}}dx$ : que change le facteur $x$ ?
d) Calculez $\int\cos^{3}x\sin x\,dx$ , puis énoncez le test en une phrase qui décide si une substitution va marcher.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/5

a)

\int 2x(x^{2}+5)^{7}dx

b)

\int\frac{\ln x}{x}dx

c)

\int xe^{x^{2}}dx

\int e^{x^{2}}dx

d)

\int\cos^{3}x\sin x\,dx

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{(x^{2}+5)^{8}}{8}+C$
b) $\ln|x^{3}+4|+C$ ; $\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C$
c) $\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$ ; $\int e^{x^{2}}dx$ n'est pas élémentaire
d) $-\frac{\cos^{4}x}{4}+C$ ; il ne doit rester aucun $x$

a)

On pose $u=x^{2}+5$ , donc $du=2x\,dx$ : le facteur $2x\,dx$ présent dans l'intégrale est exactement $du$ . L'intégrale devient $\int u^{7}du=\frac{u^{8}}{8}+C$ , et le retour en $x$ donne $\frac{(x^{2}+5)^{8}}{8}+C$ . Le retour est OBLIGATOIRE pour une intégrale indéfinie : une réponse laissée en $u$ ne répond pas à la question posée, qui portait sur une fonction de $x$ . Vérification par dérivation : $\frac{8(x^{2}+5)^{7}\cdot 2x}{8}=2x(x^{2}+5)^{7}$ ✓.

b)

Premier cas : $u=x^{3}+4$ , $du=3x^{2}dx$ , l'intégrale devient $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln\left|x^{3}+4\right|+C$ . Second cas : $u=\ln x$ , $du=\frac{dx}{x}$ , l'intégrale devient $\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C$ . La structure commune est $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx$ : une fonction composée multipliée par la dérivée de son intérieur. C'est la règle de chaîne lue à l'envers, et c'est la seule chose que la substitution sait défaire. Remarquez au passage la forme $\int\frac{g'}{g}dx=\ln|g|+C$ , qui revient si souvent qu'elle mérite d'être reconnue directement.

c)

Avec $u=x^{2}$ , $du=2x\,dx$ , donc $x\,dx=\frac{du}{2}$ : $\int xe^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$ . En revanche $\int e^{x^{2}}dx$ n'a AUCUNE primitive élémentaire : aucune combinaison finie de fonctions usuelles ne la donne, et ce n'est pas une question d'habileté mais un théorème. Le facteur $x$ change donc tout : il fournit le $du$ qui rend la substitution possible. C'est la comparaison la plus instructive du chapitre, car elle montre qu'intégrer n'est pas une procédure garantie comme l'est la dérivation. Une fonction élémentaire a toujours une dérivée élémentaire; elle n'a pas toujours une primitive élémentaire.

d)

On pose $u=\cos x$ , $du=-\sin x\,dx$ , donc $\sin x\,dx=-du$ : $\int\cos^{3}x\sin x\,dx=-\int u^{3}du=-\frac{u^{4}}{4}+C=-\frac{\cos^{4}x}{4}+C$ . Le test, en une phrase : la substitution $u=g(x)$ marche si, après avoir remplacé $g(x)$ par $u$ et $g'(x)dx$ par $du$ , il ne reste PLUS AUCUN $x$ dans l'intégrale. C'est le critère opérationnel complet, et il se vérifie en dix secondes avant de s'engager dans le calcul. S'il reste un $x$ isolé, deux issues : l'exprimer en fonction de $u$ (le retour en arrière de l'exercice suivant), ou changer de technique.

Exercice 7 : Quand la substitution résiste : constantes et retour en arrière

Deux complications séparent la substitution d'examen de la substitution de cours : la dérivée présente à un facteur constant près, et le $x$ résiduel qu'il faut réexprimer en $u$ .

a) Calculez $\int x^{2}\left(x^{3}-2\right)^{5}dx$ : la dérivée de l'intérieur n'est pas exactement là, comment ajuster, et pourquoi a-t-on le droit ?
b) Calculez $\int\frac{dx}{\left(4x+3\right)^{2}}$ et $\int\sqrt{7-2x}\,dx$ (arguments affines).
c) Calculez $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ . Ici la substitution $u=x+1$ laisse un $x$ debout : que faire, et pourquoi cette manœuvre est-elle légitime ?
d) Un étudiant écrit $\int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx=\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{2}{3}\left(x^{3}+1\right)^{3/2}+C$ , en « sortant » le $x^{2}$ comme on sort une constante. Diagnostiquez précisément l'erreur.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

a)

\int x^{2}(x^{3}-2)^{5}dx

b)

\int\frac{dx}{(4x+3)^{2}}

\int\sqrt{7-2x}\,dx

c)

Coefficient de

(x+1)^{5/2}

Coefficient de

(x+1)^{3/2}

d)

Coefficient correct devant

(x^{3}+1)^{3/2}

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{(x^{3}-2)^{6}}{18}+C$
b) $-\frac{1}{4(4x+3)}+C$ ; $-\frac{(7-2x)^{3/2}}{3}+C$
c) $\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C$
d) Un facteur en $x$ ne sort pas : $\frac{2}{9}(x^{3}+1)^{3/2}+C$

a)

On pose $u=x^{3}-2$ , donc $du=3x^{2}dx$ . L'intégrale contient $x^{2}dx$ , soit $\frac{du}{3}$ : on écrit $\int x^{2}(x^{3}-2)^{5}dx=\frac{1}{3}\int u^{5}du=\frac{u^{6}}{18}+C=\frac{(x^{3}-2)^{6}}{18}+C$ . On a le droit parce que $\frac{1}{3}$ est une CONSTANTE, et la linéarité autorise à sortir les constantes. Ce serait interdit avec un facteur en $x$ : $\int x\,f(x)dx\neq x\int f(x)dx$ , jamais. C'est la distinction décisive du chapitre, et elle sépare une substitution correcte de la faute du point d).

b)

Arguments affines, donc division par le coefficient de $x$ . Premier cas : $u=4x+3$ , $du=4dx$ , $\int\frac{dx}{(4x+3)^{2}}=\frac{1}{4}\int u^{-2}du=-\frac{1}{4u}+C=-\frac{1}{4(4x+3)}+C$ . Second cas : $u=7-2x$ , $du=-2dx$ , $\int\sqrt{7-2x}\,dx=-\frac{1}{2}\int\sqrt{u}\,du=-\frac{1}{3}u^{3/2}+C=-\frac{(7-2x)^{3/2}}{3}+C$ . Le signe négatif vient du coefficient $-2$ et s'oublie très souvent : la vérification par dérivation le rattrape à tous les coups.

c)

Avec $u=x+1$ on a $du=dx$ et $\sqrt{x+1}=\sqrt{u}$ , mais le facteur $x$ reste. On l'exprime en $u$ : puisque $u=x+1$ , alors $x=u-1$ . L'intégrale devient $\int(u-1)\sqrt{u}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}+C$ , soit $\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C$ . La manœuvre est légitime parce qu'un changement de variable est une SUBSTITUTION COMPLÈTE : tout ce qui dépend de $x$ doit être réécrit en $u$ , y compris les $x$ qui ne faisaient pas partie du plan initial. La relation $u=x+1$ est inversible, elle fournit donc $x=u-1$ gratuitement. Ce « retour en arrière » est le geste que l'examen distingue le plus sûrement, parce qu'il exige de comprendre la substitution plutôt que de la reconnaître.

d)

L'erreur est d'avoir traité $x^{2}$ comme une constante, en « l'intégrant à part » en $\frac{x^{3}}{3}$ tout en intégrant le reste séparément. Aucune règle ne permet cela : l'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales, et sortir un facteur de l'intégrale n'est permis que s'il est CONSTANT. La réfutation immédiate se fait par dérivation : la réponse proposée demande la règle du produit et redonne $\frac{2}{3}x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{3/2}+x^{5}\sqrt{x^{3}+1}$ , qui n'est pas l'intégrande $x^{2}\sqrt{x^{3}+1}$ : c'est faux. Le calcul correct est une substitution ordinaire : $u=x^{3}+1$ , $du=3x^{2}dx$ , d'où $\frac{1}{3}\int\sqrt{u}\,du=\frac{2}{9}\left(x^{3}+1\right)^{3/2}+C$ . Ironie de la situation : l'étudiant avait le bon $x^{2}$ sous les yeux, c'était exactement le $du$ dont il avait besoin.

Exercice 8 : Synthèse : de la primitive au mouvement

L'intégrale indéfinie n'est pas un exercice de calcul formel : c'est la reconstruction d'une quantité à partir de son taux de variation. La physique en fait l'usage le plus direct.

a) Une particule a pour accélération $a(t)=6t-4$ (en m/s²), avec $v(0)=2$ m/s et $s(0)=3$ m. Trouvez $v(t)$ puis $s(t)$ , en justifiant chaque constante.
b) Le taux de variation d'une population est $P'(t)=200e^{0{,}1t}$ individus par année, et $P(0)=5000$ . Trouvez $P(t)$ , puis la population après 10 ans.
c) Calculez $\int\frac{2x+3}{x^{2}+3x+1}dx$ et $\int\frac{dx}{x\left(\ln x\right)^{2}}$ : quelle même structure gouverne ces deux intégrales ?
d) Devant une intégrale inconnue de ce chapitre, dans quel ordre poser les questions ? Illustrez chaque étape par une des intégrales déjà rencontrées.

Voir la correction

Réponses

a) $v=3t^{2}-4t+2$ ; $s=t^{3}-2t^{2}+2t+3$
b) $P(t)=2000e^{0{,}1t}+3000$ ; $P(10)\approx 8437$
c) $\ln|x^{2}+3x+1|+C$ ; $-\frac{1}{\ln x}+C$
d) Simplifier, table, substitution, retour en arrière, puis dériver

a)

L'accélération est la dérivée de la vitesse, donc la vitesse est une primitive de l'accélération : $v(t)=3t^{2}-4t+C_{1}$ . La condition $v(0)=2$ donne $C_{1}=2$ , d'où $v(t)=3t^{2}-4t+2$ . La vitesse est à son tour la dérivée de la position : $s(t)=t^{3}-2t^{2}+2t+C_{2}$ , et $s(0)=3$ donne $C_{2}=3$ , d'où $s(t)=t^{3}-2t^{2}+2t+3$ . Chaque intégration produit sa propre constante, et chaque constante réclame sa propre condition initiale : deux intégrations, deux conditions, ce qui est exactement pourquoi la mécanique a besoin de la position ET de la vitesse de départ pour prédire un mouvement. Vérification : $s'(t)=3t^{2}-4t+2=v(t)$ ✓ et $v'(t)=6t-4=a(t)$ ✓. La figure en montre la conséquence : la vitesse ne s'annule jamais (le discriminant du trinôme vaut 16 − 24, qui est négatif) et reste positive, donc la position croît sans arrêt.

b)

$P(t)=\int 200e^{0{,}1t}dt=\frac{200}{0{,}1}e^{0{,}1t}+C=2000e^{0{,}1t}+C$ . La condition $P(0)=5000$ donne $2000+C=5000$ , donc $C=3000$ et $P(t)=2000e^{0{,}1t}+3000$ . Après 10 ans : $P(10)=2000e^{1}+3000\approx 2000(2{,}71828)+3000\approx 8437$ individus. Notez que la constante $3000$ n'est pas un détail cosmétique : elle représente la part de la population qui ne participe pas à la croissance exponentielle, et l'oublier donnerait environ $5437$ individus au lieu de $8437$ , plus d'un tiers de moins.

c)

Les deux sont de la forme $\int\frac{g'(x)}{\left(g(x)\right)^{n}}dx$ . Premier cas : $g=x^{2}+3x+1$ , $g'=2x+3$ est exactement au numérateur, donc $\int\frac{2x+3}{x^{2}+3x+1}dx=\ln\left|x^{2}+3x+1\right|+C$ (cas $n=1$ , qui donne le logarithme). Second cas : on récrit $\frac{1}{x(\ln x)^{2}}=\frac{1}{(\ln x)^{2}}\cdot\frac{1}{x}$ , avec $g=\ln x$ et $g'=\frac{1}{x}$ présent : $\int u^{-2}du=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{\ln x}+C$ (cas $n=2$ , qui donne une puissance). La structure commune est donc la même substitution, et seule la valeur de $n$ décide si la réponse est un logarithme ou une puissance : c'est encore le trou en $n=-1$ de la table, rencontré sous un autre déguisement.

d)

L'ordre efficace : 1) Puis-je SIMPLIFIER l'intégrande algébriquement (distribuer, séparer une fraction, simplifier) ? Exemple : $\int\frac{x^{2}+3x}{x}dx$ , qui devient $\int(x+3)dx$ . 2) Est-ce une forme DIRECTE de la table, éventuellement à argument affine ? Exemple : $\int\sin(5x)dx$ , où il suffit de diviser par 5. 3) Vois-je une fonction ET sa dérivée, à une constante près ? Alors SUBSTITUTION. Exemple : $\int x^{2}(x^{3}-2)^{5}dx$ . 4) La substitution laisse-t-elle un $x$ debout ? Alors l'exprimer en $u$ . Exemple : $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ . 5) Rien de tout cela ne marche ? L'intégrale relève du chapitre suivant (parties, fractions partielles, trigonométrie), ou n'a pas de primitive élémentaire, comme $\int e^{x^{2}}dx$ . Et dans tous les cas : DÉRIVER la réponse avant de rendre la copie.

Exercice 9 : Les primitives qui n'existent pas

Toute fonction élémentaire a une dérivée élémentaire. La réciproque est FAUSSE, et c'est un théorème, non un aveu d'ignorance.

a) Que signifie exactement « fonction élémentaire » ? Donnez trois intégrandes usuels dont la primitive n'est pas élémentaire.
b) Comparez $\int xe^{x^{2}}dx$ et $\int e^{x^{2}}dx$ : la première se calcule, la seconde non. Qu'est-ce qui change ?
c) La fonction $e^{-x^{2}}$ admet-elle des primitives ? Concilier votre réponse avec le point a).
d) Que faire, concrètement, devant $\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx$ ? Citez les deux voies du cours et dites laquelle donne une garantie d'erreur.

Voir la correction

Réponses

a) Somme, produit, quotient, composée finis ; $e^{-x^{2}}$ , $\frac{\sin x}{x}$ , $\sqrt{1+x^{3}}$
b) Le facteur $x$ fournit le $du$
c) Oui : $\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt$ existe, sans être élémentaire
d) Série ou Simpson, $\approx 0{,}7468$ , les deux avec borne d'erreur

a)

Une fonction ÉLÉMENTAIRE est celle qu'on obtient à partir des polynômes, exponentielles, logarithmes, fonctions trigonométriques et leurs réciproques, par un nombre FINI de sommes, produits, quotients et compositions. Trois intégrandes usuels sans primitive élémentaire : $e^{-x^{2}}$ (loi normale en statistique), $\frac{\sin x}{x}$ (sinus cardinal, en optique et en traitement du signal), et $\sqrt{1+x^{3}}$ (longueur d'arc de certaines courbes). On peut y ajouter $\frac{1}{\ln x}$ et $\frac{e^{x}}{x}$ . Le théorème de Liouville démontre cette impossibilité : ce n'est pas qu'on n'ait pas encore trouvé, c'est qu'il n'existe rien à trouver.

b)

Ce qui change est la présence du facteur $x$ . Pour la première : $u=x^{2}$ donne $du=2x\,dx$ , donc le $x\,dx$ présent vaut $\frac{du}{2}$ et l'intégrale devient $\frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$ . La substitution fonctionne PARCE QUE la dérivée de l'intérieur est là, à une constante près. Pour la seconde, ce facteur manque : aucune substitution ne peut absorber le $dx$ , et l'on a vu au point a) qu'aucune autre technique n'y parviendra non plus. Un facteur $x$ apparemment anodin fait donc toute la différence entre une intégrale de trente secondes et une intégrale impossible : c'est la comparaison la plus instructive du chapitre.

c)

OUI, elle en admet. Il n'y a aucune contradiction, car ce sont deux affirmations DIFFÉRENTES. « Admettre une primitive » et « admettre une primitive ÉLÉMENTAIRE » ne sont pas la même chose. La fonction $e^{-x^{2}}$ est continue sur $\mathbb{R}$ , et le théorème fondamental du calcul garantit qu'alors la fonction $F(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt$ est dérivable de dérivée $e^{-x^{2}}$ : c'est bien une primitive, elle EXISTE. Simplement, on ne peut pas l'écrire avec les symboles usuels. Les mathématiciens lui ont d'ailleurs donné un nom, la fonction d'erreur $\operatorname{erf}$ , exactement comme on avait autrefois nommé $\ln$ la primitive de $\frac{1}{x}$ . Une « nouvelle » fonction n'est souvent qu'une primitive à laquelle on a fini par donner un nom.

d)

Deux voies. Première : le DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE. On remplace $e^{-x^{2}}$ par sa série de Maclaurin $1-x^{2}+\frac{x^{4}}{2!}-\frac{x^{6}}{3!}+\cdots$ , qu'on intègre terme à terme, ce qui donne $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}+\cdots\approx 0{,}7468$ . La série étant alternée, l'erreur est bornée par le premier terme négligé : la garantie est donc explicite. Seconde : l'INTÉGRATION NUMÉRIQUE, par la méthode de Simpson par exemple, qui donne $0{,}746855$ avec $n=4$ contre une valeur exacte de $0{,}746824$ ; ici aussi une borne d'erreur est disponible, en $\frac{M(b-a)^{5}}{180n^{4}}$ . Les DEUX voies donnent donc une garantie d'erreur, ce qui est précisément ce qui les rend acceptables en sciences : une approximation sans borne ne vaut rien. La série est plus commode près du centre de développement, la méthode numérique est indifférente à cela et s'applique même à des données sans formule.

Exercice 10 : La méthode des coefficients indéterminés

Quand on DEVINE la forme de la primitive, il ne reste qu'à ajuster des coefficients par identification. La technique évite parfois plusieurs intégrations par parties.

a) Déterminez $a$ et $b$ pour que $F(x)=(ax+b)e^{x}$ soit une primitive de $xe^{x}$ .
b) Déterminez $a$ , $b$ , $c$ pour que $F(x)=\left(ax^{2}+bx+c\right)e^{x}$ soit une primitive de $x^{2}e^{x}$ .
c) Devinez la forme puis déterminez les coefficients d'une primitive de $e^{x}\sin x$ .
d) Quel est l'avantage de cette méthode sur l'intégration par parties, et quelle est sa limite ?

Voir la correction

Réponses

a) $a=1$ , $b=-1$ : $(x-1)e^{x}+C$
b) $(x^{2}-2x+2)e^{x}+C$
c) $\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+C$
d) Rapide et vérifiée ; il faut deviner la forme

a)

On dérive la forme supposée : $F'(x)=ae^{x}+(ax+b)e^{x}=e^{x}\left(ax+a+b\right)$ . On veut $F'(x)=xe^{x}=e^{x}\cdot x$ . En simplifiant par $e^{x}$ , jamais nul, il reste $ax+(a+b)=x$ . Par IDENTIFICATION des coefficients : celui de $x$ donne $a=1$ ; le terme constant donne $a+b=0$ , donc $b=-1$ . D'où $\int xe^{x}dx=(x-1)e^{x}+C$ . Vérification : $\left[(x-1)e^{x}\right]'=e^{x}+(x-1)e^{x}=xe^{x}$ ✓.

b)

$F'(x)=(2ax+b)e^{x}+\left(ax^{2}+bx+c\right)e^{x}=e^{x}\left[ax^{2}+(2a+b)x+(b+c)\right]$ . On veut $x^{2}e^{x}$ , donc après simplification par $e^{x}$ : $ax^{2}+(2a+b)x+(b+c)=x^{2}$ . Identification : $a=1$ ; puis $2a+b=0$ donne $b=-2$ ; puis $b+c=0$ donne $c=2$ . D'où $\int x^{2}e^{x}dx=\left(x^{2}-2x+2\right)e^{x}+C$ , ce qui coïncide avec le résultat obtenu par deux intégrations par parties successives ✓. Un seul système linéaire a remplacé deux tours de parties.

c)

La dérivation d'un produit $e^{x}\times$ trigonométrie régénère toujours les deux fonctions $\sin$ et $\cos$ : on devine donc la forme $F(x)=e^{x}\left(a\sin x+b\cos x\right)$ . Dérivons : $F'(x)=e^{x}\left(a\sin x+b\cos x\right)+e^{x}\left(a\cos x-b\sin x\right)=e^{x}\left[(a-b)\sin x+(a+b)\cos x\right]$ . On veut $e^{x}\sin x$ , donc $a-b=1$ et $a+b=0$ . La seconde donne $b=-a$ , et en reportant : $2a=1$ , donc $a=\frac{1}{2}$ et $b=-\frac{1}{2}$ . Conclusion : $\int e^{x}\sin x\,dx=\frac{e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)}{2}+C$ . C'est le cas dit CYCLIQUE, que les parties résolvent en deux tours plus une équation en $I$ ; ici une identification suffit.

d)

AVANTAGE : la méthode remplace plusieurs intégrations successives par une seule dérivation suivie d'un système linéaire, ce qui est plus rapide et surtout moins exposé aux fautes de signe, très fréquentes dans les parties répétées. Elle rend aussi la vérification immédiate, puisqu'on a dérivé la réponse en cours de route. LIMITE : il faut DEVINER la bonne forme au départ, ce qui n'est possible que pour des familles bien identifiées, essentiellement polynôme fois exponentielle, polynôme fois sinus ou cosinus, et exponentielle fois trigonométrie. Devant $\int\ln x\,dx$ ou $\int\frac{dx}{x^{2}+1}$ , aucune forme évidente ne se présente et la méthode ne démarre pas. Elle complète donc l'intégration par parties sans la remplacer, exactement comme la méthode des coefficients indéterminés complétera la variation des constantes au chapitre des équations différentielles.

Exercice 11 : Les autres bases : 10 puissance x, le log décimal et les trois e

La table donne $\int e^{x}dx=e^{x}+C$ et $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$ . Dès que la base n'est plus $e$ , un logarithme népérien apparaît au dénominateur, et c'est lui qu'on oublie.

a) Calculez $\int 10^{x}dx$ et donnez la valeur décimale du coefficient obtenu devant $10^{x}$ .
b) Calculez $\int 3^{2x}dx$ de deux façons : par la substitution $u=2x$ , puis en écrivant $3^{2x}=9^{x}$ . Montrez que les deux réponses coïncident.
c) Calculez $\int x\,5^{x^{2}}dx$ .
d) Calculez $\int\frac{\log_{10}x}{x}dx$ en commençant par écrire $\log_{10}x=\frac{\ln x}{\ln 10}$ .
e) Calculez $\int x^{e}dx$ , $\int e^{x}dx$ et $\int e^{e}dx$ . Pourquoi ces trois intégrales, qui se ressemblent, relèvent-elles de trois règles différentes ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

a)

Coefficient devant

10^{x}

b)

Coefficient devant

3^{2x}

c)

Coefficient devant

5^{x^{2}}

d)

Primitive

e)

\int e^{e}dx

\int x^{e}dx

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{10^{x}}{\ln 10}+C$ , coefficient $\approx 0{,}4343$
b) $\frac{3^{2x}}{2\ln 3}+C=\frac{9^{x}}{\ln 9}+C$
c) $\frac{5^{x^{2}}}{2\ln 5}+C$
d) $\frac{(\ln x)^{2}}{2\ln 10}+C$
e) $\frac{x^{e+1}}{e+1}$ , $e^{x}$ , $e^{e}x$ : puissance, exponentielle, constante

a)

Puisque $\left(10^{x}\right)'=10^{x}\ln 10$ , on compense : $\int 10^{x}dx=\frac{10^{x}}{\ln 10}+C$ . Le coefficient vaut $\frac{1}{\ln 10}\approx 0{,}4343$ . Vérification : $\left(\frac{10^{x}}{\ln 10}\right)'=\frac{10^{x}\ln 10}{\ln 10}=10^{x}$ ✓.

b)

Substitution : $u=2x$ , $du=2\,dx$ , donc $\int 3^{2x}dx=\frac{1}{2}\int 3^{u}du=\frac{3^{2x}}{2\ln 3}+C$ . Réécriture : $3^{2x}=\left(3^{2}\right)^{x}=9^{x}$ , donc $\int 9^{x}dx=\frac{9^{x}}{\ln 9}+C$ . Or $\ln 9=\ln 3^{2}=2\ln 3$ et $9^{x}=3^{2x}$ : les deux réponses sont identiques, de coefficient $\frac{1}{2\ln 3}\approx 0{,}4551$ .

c)

$u=x^{2}$ , $du=2x\,dx$ , donc $x\,dx=\frac{du}{2}$ : $\int x\,5^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int 5^{u}du=\frac{5^{x^{2}}}{2\ln 5}+C$ . Le coefficient vaut $\frac{1}{2\ln 5}\approx 0{,}3107$ . Deux facteurs se cumulent au dénominateur : le $2$ de la substitution et le $\ln 5$ de la base.

d)

$\int\frac{\log_{10}x}{x}dx=\frac{1}{\ln 10}\int\frac{\ln x}{x}dx$ . Avec $u=\ln x$ , $du=\frac{dx}{x}$ : $\frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C=\frac{(\ln x)^{2}}{2\ln 10}+C$ , de coefficient $\frac{1}{2\ln 10}\approx 0{,}2171$ . Sans le changement de base, on est tenté d'écrire $\frac{(\log_{10}x)^{2}}{2}$ , qui est faux : sa dérivée vaut $\frac{\log_{10}x}{x\ln 10}$ , il manque un facteur $\ln 10$ .

e)

$\int x^{e}dx=\frac{x^{e+1}}{e+1}+C$ : c'est une PUISSANCE de $x$ d'exposant constant, la règle des puissances s'applique. $\int e^{x}dx=e^{x}+C$ : c'est une EXPONENTIELLE, la variable est à l'exposant. $\int e^{e}dx=e^{e}x+C$ : c'est une CONSTANTE, environ $15{,}15$ , qui s'intègre en $e^{e}x$ . La règle dépend de l'endroit où se trouve la variable, jamais de l'allure des symboles.

Exercice 12 : Retrouver une fonction à partir de sa dérivée seconde et d'une tangente

Une fonction $f$ vérifie $f''(x)=6x-12$ pour tout réel $x$ , et la droite d'équation $y=3x-2$ est tangente à sa courbe au point d'abscisse $1$ .

a) Écrivez $f'(x)$ avec une constante $C_{1}$ . Quelle information de l'énoncé fixe $C_{1}$ ? Calculez-la.
b) Écrivez $f(x)$ avec une constante $C_{2}$ . Quelle seconde information fixe $C_{2}$ ? Calculez-la.
c) Calculez $f(2)$ , puis vérifiez que $f(x)=(x-2)^{3}+2$ .
d) En quel autre point la tangente à la courbe est-elle parallèle à la droite $y=3x-2$ ? Donnez ses coordonnées et l'équation de cette tangente.
e) Un étudiant écrit « $f'(1)=3x-2$ évalué en $1$ , soit $f'(1)=1$ ». Quelle confusion commet-il ?

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=3x^{2}-12x+12$
b) $f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-6$
c) $f(2)=2$ ; $f(x)=(x-2)^{3}+2$
d) $(3;3)$ , tangente $y=3x-6$
e) L'ordonnée $1$ n'est pas la pente $3$

a)

$f'(x)=3x^{2}-12x+C_{1}$ . La tangente en $x=1$ a pour pente $3$ , donc $f'(1)=3$ : $3-12+C_{1}=3$ , d'où $C_{1}=12$ et $f'(x)=3x^{2}-12x+12$ . La PENTE de la tangente fixe la constante de la dérivée.

b)

$f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x+C_{2}$ . Le point de contact appartient à la fois à la courbe et à la tangente : $f(1)=3\times 1-2=1$ . Donc $1-6+12+C_{2}=1$ , d'où $C_{2}=-6$ et $f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-6$ . Une tangente fournit DEUX conditions, une pente et un point, exactement ce qu'il faut pour deux intégrations.

c)

$f(2)=8-24+24-6=2$ . Et $(x-2)^{3}+2=x^{3}-6x^{2}+12x-8+2=x^{3}-6x^{2}+12x-6$ ✓. La courbe est celle de $x^{3}$ translatée de $2$ vers la droite et de $2$ vers le haut : $(2;2)$ est son centre de symétrie et son point d'inflexion, là où $f''(x)=6x-12$ s'annule.

d)

On cherche $f'(x)=3$ : $3x^{2}-12x+12=3$ , soit $x^{2}-4x+3=0$ , de racines $x=1$ et $x=3$ . L'autre point est $(3;f(3))=(3;3)$ , puisque $f(3)=1+2=3$ . La tangente y a pour équation $y=3(x-3)+3=3x-6$ , parallèle à $y=3x-2$ sans être la même droite. Les deux points de contact sont symétriques par rapport au centre $(2;2)$ , comme la symétrie de la courbe le laissait prévoir.

e)

Il confond l'ORDONNÉE de la droite en $x=1$ , qui vaut $1$ et donne $f(1)$ , avec sa PENTE, qui vaut $3$ et donne $f'(1)$ . Avec $f'(1)=1$ , il trouverait $C_{1}=10$ et toute la suite serait fausse. La figure du corrigé montre la courbe et ses deux tangentes de pente $3$ .

Exercice 13 : Cinq primitives relevées sur une copie

Voici cinq réponses relevées sur une même copie d'examen. Pour chacune, dites si elle est vraie ou fausse en DÉRIVANT la réponse proposée, et corrigez-la si elle est fausse.

a) $\int\ln x\,dx=\frac{1}{x}+C$ .
b) $\int\frac{dx}{2x+1}=\ln|2x+1|+C$ .
c) $\int\sec x\tan x\,dx=\sec x+C$ .
d) $\int e^{-x}dx=e^{-x}+C$ .
e) $\int\frac{dx}{(1+x)^{2}}=-\frac{1}{1+x}+C$ .

Voir la correction

Réponses

a) Fausse : $x\ln x-x+C$
b) Fausse : $\frac{1}{2}\ln|2x+1|+C$
c) Vraie
d) Fausse : $-e^{-x}+C$
e) Vraie

a)

FAUSSE. $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}}$ , pas $\ln x$ : la copie a donné la DÉRIVÉE de $\ln x$ au lieu d'une primitive. La bonne réponse est $x\ln x-x+C$ , que l'on vérifie : $\left(x\ln x-x\right)'=\ln x+1-1=\ln x$ ✓. Elle s'obtient par parties au chapitre suivant.

b)

FAUSSE. $\left(\ln|2x+1|\right)'=\frac{2}{2x+1}$ : deux fois trop. La chaîne sort le facteur $2$ de l'argument affine, il faut donc diviser : $\int\frac{dx}{2x+1}=\frac{1}{2}\ln|2x+1|+C$ .

c)

VRAIE. $\left(\sec x\right)'=\left(\frac{1}{\cos x}\right)'=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\sec x\tan x$ ✓. C'est une ligne de la table des dérivées, lue à l'envers.

d)

FAUSSE. $\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}$ : le signe est faux. La bonne réponse est $-e^{-x}+C$ , l'argument $-x$ ayant pour coefficient $-1$ .

e)

VRAIE. $\left(-\frac{1}{1+x}\right)'=-\left(-\frac{1}{(1+x)^{2}}\right)=\frac{1}{(1+x)^{2}}$ ✓. Avec $u=1+x$ : $\int u^{-2}du=-u^{-1}+C$ . Bilan de la copie : deux réponses justes sur cinq, et les trois fausses tombaient toutes à la dérivation, en moins d'une minute.

Exercice 14 : Problème : la flèche d'une poutre encastrée

Une poutre horizontale de longueur $L=3$ m est encastrée dans un mur en $x=0$ et libre à l'autre bout. Sous une charge répartie, sa déformée $y(x)$ (en mètres, négative vers le bas) vérifie $y''(x)=-k\left(L-x\right)^{2}$ avec $k=0{,}0004$ m $^{-3}$ . L'encastrement impose $y(0)=0$ et $y'(0)=0$ : la poutre part du mur à l'horizontale.

La figure ci-dessous représente la situation ; elle n'est pas à l'échelle.

a) Calculez $y'(x)$ en fonction de $k$ , $L$ et $x$ . Attention au signe que produit l'argument $L-x$ .
b) Calculez $y(x)$ en fonction de $k$ , $L$ et $x$ .
c) Montrez que la flèche au bout libre vaut $y(L)=-\frac{kL^{4}}{4}$ , puis calculez-la en millimètres.
d) Calculez la pente $y'(L)$ au bout de la poutre.
e) On remplace la poutre par une poutre de même section deux fois plus longue, sous la même charge par mètre. Par combien la flèche est-elle multipliée ?

Voir la correction

Réponses

a) $y'(x)=\frac{k(L-x)^{3}}{3}-\frac{kL^{3}}{3}$
b) $y(x)=-\frac{k(L-x)^{4}}{12}-\frac{kL^{3}x}{3}+\frac{kL^{4}}{12}$
c) $y(L)=-\frac{kL^{4}}{4}=-8{,}1$ mm
d) $y'(L)=-0{,}0036$
e) Flèche en $L^{4}$ : multipliée par $16$

a)

Avec $u=L-x$ , $du=-dx$ : $\int-k(L-x)^{2}dx=k\int u^{2}du=\frac{k(L-x)^{3}}{3}+C_{1}$ . Le signe moins de $du=-dx$ a changé le signe de la primitive. La condition $y'(0)=0$ donne $\frac{kL^{3}}{3}+C_{1}=0$ , donc $y'(x)=\frac{k(L-x)^{3}}{3}-\frac{kL^{3}}{3}$ .

b)

$\int\frac{k(L-x)^{3}}{3}dx=-\frac{k(L-x)^{4}}{12}$ , par la même substitution. D'où $y(x)=-\frac{k(L-x)^{4}}{12}-\frac{kL^{3}}{3}x+C_{2}$ , et $y(0)=0$ donne $-\frac{kL^{4}}{12}+C_{2}=0$ : $y(x)=-\frac{k(L-x)^{4}}{12}-\frac{kL^{3}x}{3}+\frac{kL^{4}}{12}$ .

c)

En $x=L$ , le premier terme s'annule : $y(L)=-\frac{kL^{4}}{3}+\frac{kL^{4}}{12}=-\frac{4kL^{4}-kL^{4}}{12}=-\frac{kL^{4}}{4}$ . Numériquement : $-\frac{0{,}0004\times 81}{4}=-0{,}0081$ m, soit une flèche de $8{,}1$ mm vers le bas.

d)

$y'(L)=0-\frac{kL^{3}}{3}=-\frac{0{,}0004\times 27}{3}=-0{,}0036$ . La poutre descend de $3{,}6$ mm par mètre à son extrémité, là où elle est le plus inclinée.

e)

La flèche est proportionnelle à $L^{4}$ : doubler la longueur la multiplie par $2^{4}=16$ . C'est la raison pour laquelle un balcon deux fois plus profond ne demande pas une poutre deux fois plus forte, mais bien davantage. La figure du corrigé trace la déformée en millimètres.

Exercice 15 : Problème : les ventes d'un jeu lancé sans publicité

Un petit studio lance un jeu sans campagne publicitaire : les ventes se font par le bouche-à-oreille, qui démarre lentement puis s'essouffle. Le rythme des ventes est modélisé par $S'(t)=5000\,t\,e^{-t^{2}/2}$ exemplaires par semaine, $t$ en semaines après la sortie, et $S(0)=0$ .

a) Par une substitution que vous préciserez, trouvez $S(t)$ .
b) Combien d'exemplaires sont vendus pendant les deux premières semaines ?
c) Vers quelle valeur $S(t)$ tend-elle quand $t\to+\infty$ ? Interprétez.
d) Au bout de combien de semaines le studio aura-t-il vendu $90$ pour cent de ce total ?
e) À quel instant le rythme des ventes est-il maximal, et combien d'exemplaires par semaine se vendent alors ?

Voir la correction

Réponses

a) $S(t)=5000\left(1-e^{-t^{2}/2}\right)$
b) $\approx 4323$ exemplaires
c) $5000$ exemplaires au total
d) $t=\sqrt{2\ln 10}\approx 2{,}15$ semaines
e) À $t=1$ semaine, $\approx 3033$ par semaine

a)

On pose $u=-\frac{t^{2}}{2}$ , donc $du=-t\,dt$ et $t\,dt=-du$ : $\int 5000\,t\,e^{-t^{2}/2}dt=-5000\int e^{u}du=-5000e^{-t^{2}/2}+C$ . La condition $S(0)=0$ donne $-5000+C=0$ , donc $C=5000$ et $S(t)=5000\left(1-e^{-t^{2}/2}\right)$ .

b)

$S(2)=5000\left(1-e^{-2}\right)\approx 5000\times 0{,}8647\approx 4323$ exemplaires.

c)

$e^{-t^{2}/2}\to 0$ , donc $S(t)\to 5000$ . Le modèle prévoit un total de $5000$ exemplaires : c'est exactement la constante d'intégration, qui mesure ici le marché que le bouche-à-oreille finira par atteindre.

d)

$5000\left(1-e^{-t^{2}/2}\right)=4500$ donne $e^{-t^{2}/2}=0{,}1$ , soit $\frac{t^{2}}{2}=\ln 10$ et $t=\sqrt{2\ln 10}\approx 2{,}15$ semaines. L'essentiel des ventes se fait donc en un peu plus de deux semaines.

e)

On dérive le rythme : $\left(t\,e^{-t^{2}/2}\right)'=e^{-t^{2}/2}-t^{2}e^{-t^{2}/2}=\left(1-t^{2}\right)e^{-t^{2}/2}$ , positif avant $t=1$ et négatif après. Le rythme est maximal à $t=1$ semaine et vaut $5000e^{-1/2}\approx 3033$ exemplaires par semaine. La figure du corrigé montre les deux courbes : le rythme culmine au point d'inflexion des ventes cumulées.

Exercices corrigés : l'intégrale indéfinie et les primitives (201-SN3-RE, ancien 201-NYB)

Rappel de cours

Calculs : les primitives à calculer avec la table

Exercice 0.1 : Intégrer à l'aide de la table : douze calculs directs

Calculs : les primitives à calculer par changement de variable

Exercice 0.2 : Intégrer par changement de variable direct : dix calculs directs

Partie A : La primitive, la table et les formes à reconnaître (/50)

Exercice 1 : Qu'est-ce qu'une primitive ?

Exercice 2 : La table des formules et son unique trou

Exercice 3 : La linéarité, et les deux règles qui n'existent pas

Exercice 4 : Valeur absolue et domaines disjoints

Exercice 5 : Reconnaître la forme : la table des dérivées à l'envers

Partie B : Changement de variable, limites de la méthode et identification (/50)

Exercice 6 : La substitution directe : reconnaître la dérivée cachée

Exercice 7 : Quand la substitution résiste : constantes et retour en arrière

Exercice 8 : Synthèse : de la primitive au mouvement

Exercice 9 : Les primitives qui n'existent pas

Exercice 10 : La méthode des coefficients indéterminés

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Les autres bases : 10 puissance x, le log décimal et les trois e

Exercice 12 : Retrouver une fonction à partir de sa dérivée seconde et d'une tangente

Exercice 13 : Cinq primitives relevées sur une copie

Exercice 14 : Problème : la flèche d'une poutre encastrée

Exercice 15 : Problème : les ventes d'un jeu lancé sans publicité

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur en calcul intégral 201-SN3-RE à Montréal ?