Exercices corrigés : l'intégrale indéfinie et les primitives (201-NYB)

a) Définition : $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$. Vérification : $F'(x)=\left(x\sin x\right)'+\left(\cos x\right)'=(\sin x+x\cos x)-\sin x=x\cos x=f(x)$ ✓. Les deux $\sin x$ s'annulent, et c'est tout l'intérêt de la forme proposée. Notez qu'on ne CHERCHE pas la primitive ici, on la VÉRIFIE : vérifier est toujours plus facile que trouver, et c'est la raison pour laquelle toute réponse d'intégration se contrôle par dérivation.

b) $F'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$ ✓ et $G'(x)=-2\cos x\cdot(-\sin x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$ ✓. Aucune contradiction : $F(x)-G(x)=\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$, une CONSTANTE. Le théorème qui règle la question : si deux fonctions ont la même dérivée sur un intervalle, leur différence y est constante (conséquence du théorème des accroissements finis, puisque $(F-G)'=0$). Deux primitives d'une même fonction ne peuvent donc différer que d'une constante, et c'est précisément ce que le $+C$ encode. Attention à l'hypothèse d'INTERVALLE : sur un domaine en deux morceaux, comme celui de $\frac{1}{x}$, la « constante » peut valoir une valeur à gauche de zéro et une autre à droite.

c) $F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+C$. La condition $F(2)=5$ donne $8-8+2+C=5$, donc $C=3$ et $F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+3$. Il y en a exactement UNE : la condition initiale sélectionne un unique membre de la famille infinie. C'est le mécanisme central des équations différentielles plus tard dans la session : l'intégration fournit la famille, la condition initiale choisit la solution.

d) Les trois courbes sont des translatées verticales l'une de l'autre : passer de $x^{2}$ à $x^{2}+2$ ajoute la même quantité partout, ce qui ne change aucune pente. Leur dérivée commune est $2x$, donc en une abscisse donnée les trois tangentes sont parallèles. Et par un point $(x_{0},y_{0})$ du plan il passe exactement une primitive, car l'équation $x_{0}^{2}+C=y_{0}$ a une solution unique $C=y_{0}-x_{0}^{2}$. Géométriquement : la famille des primitives remplit le plan sans qu'aucune ne se croise, ce qui donne l'image juste du $+C$ comme d'un curseur vertical.

a) On réécrit tout en puissances avant d'appliquer la formule. $\int\left(x^{5}-3x^{2}+7\right)dx=\frac{x^{6}}{6}-x^{3}+7x+C$. Ensuite $\int\frac{dx}{x^{4}}=\int x^{-4}dx=\frac{x^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{3x^{3}}+C$ : l'exposant négatif passe sans difficulté, il suffit de ne pas oublier que $-4+1=-3$. Enfin $\int\sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}x^{3/2}+C$. La réécriture préalable est le vrai geste technique : tant que l'intégrande n'est pas sous la forme $x^{n}$, aucune formule ne s'applique.

b) En $n=-1$, le dénominateur $n+1$ vaut zéro : la formule demande une division par zéro, elle n'a donc aucun sens. Ce cas se traite à part : $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$, parce que $\left(\ln|x|\right)'=\frac{1}{x}$. La valeur absolue est là parce que $\frac{1}{x}$ existe aussi pour $x<0$, où $\ln x$ n'est pas défini : pour $x<0$ on a $\ln|x|=\ln(-x)$, de dérivée $\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$ ✓. La formule couvre ainsi les deux côtés de l'origine. C'est le seul trou de la table des puissances, et il est comblé par une fonction d'une tout autre famille : la puissance $-1$ s'intègre en logarithme, ce qui n'a rien d'évident et mérite d'être mémorisé comme une exception.

c) $\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}+C$ : en dérivant $e^{3x}$ la règle de chaîne sort un facteur 3, il faut donc diviser par 3 pour compenser. $\int 2^{x}dx=\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ : en dérivant $2^{x}$ on obtient $2^{x}\ln 2$, d'où la division par $\ln 2$. Total : $\frac{e^{3x}}{3}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$. Dans les deux cas le dénominateur est exactement le facteur parasite que la dérivation ferait apparaître : intégrer, c'est annuler d'avance ce que dériver produirait.

d) $\int\sec^{2}x\,dx=\tan x$ et $\int\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x$, donc le résultat est $\tan x-4\arctan x+C$. Pour la seconde : $\int\sin(5x)dx=-\frac{\cos(5x)}{5}+C$. L'erreur de l'étudiant qui répond $-\cos(5x)+C$ est d'oublier la chaîne : en dérivant $-\cos(5x)$ on obtient $5\sin(5x)$, soit cinq fois trop. Le réflexe de vérification tranche immédiatement, et la règle générale à retenir est que pour un argument affine $ax+b$, la primitive se divise par $a$ : $\int f(ax+b)dx=\frac{F(ax+b)}{a}+C$. C'est le cas particulier le plus rentable du changement de variable, celui qu'on finit par faire de tête.

a) Linéarité : $\int\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx$ pour toutes constantes $a$ et $b$. Elle autorise deux choses, et deux seulement : séparer une SOMME, et sortir une CONSTANTE. Application : $\int\left(4\cos x-\frac{3}{x}+5e^{x}\right)dx=4\sin x-3\ln|x|+5e^{x}+C$. Une seule constante $C$ suffit pour toute l'expression, puisque la somme de trois constantes arbitraires reste une constante arbitraire.

b) Il suffit de dériver la réponse proposée : $\left(\frac{x^{2}}{2}e^{x}\right)'=xe^{x}+\frac{x^{2}}{2}e^{x}$, par la règle du produit. On voulait $xe^{x}$, on obtient $xe^{x}+\frac{x^{2}}{2}e^{x}$ : le terme parasite $\frac{x^{2}}{2}e^{x}$ n'est nul pour aucun $x\neq 0$, la réponse est donc fausse. La leçon dépasse l'exercice : l'intégrale d'un produit N'EST PAS le produit des intégrales, parce que la dérivation d'un produit fabrique deux termes et non un. Il n'existe aucune règle du produit pour intégrer; il existe l'intégration par parties, qui est le rattrapage de cette absence, et qui donnerait ici $(x-1)e^{x}+C$.

c) Même méthode de réfutation par un cas simple : $\int\frac{x}{x}dx=\int 1\,dx=x+C$, alors que la formule proposée donnerait $\frac{x^{2}/2}{x^{2}/2}=1$, une constante. Une fonction non constante ne peut pas être égale à une constante, la règle est donc fausse. Le calcul correct passe par la SIMPLIFICATION algébrique avant toute intégration : $\frac{x^{2}+3x}{x}=x+3$ pour $x\neq 0$, d'où $\int\frac{x^{2}+3x}{x}dx=\frac{x^{2}}{2}+3x+C$.

d) Premier calcul : on distribue avant d'intégrer, $\sqrt{x}(x^{2}-1)=x^{5/2}-x^{1/2}$, donc $\int=\frac{2}{7}x^{7/2}-\frac{2}{3}x^{3/2}+C$. Second calcul : on sépare la fraction terme à terme, $\frac{x^{3}+2x-5}{x^{2}}=x+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^{2}}$, donc $\int=\frac{x^{2}}{2}+2\ln|x|+\frac{5}{x}+C$. La manœuvre commune est de RÉÉCRIRE l'intégrande en une somme de termes de la table avant d'intégrer quoi que ce soit. Elle est la seule disponible parce que la linéarité ne sait traiter que des sommes : tant qu'un produit ou un quotient reste debout, aucune règle du chapitre ne s'applique. D'où la stratégie d'ouverture pour toute intégrale de ce chapitre : distribuer, séparer, simplifier, et regarder seulement ensuite s'il reste un travail à faire.

a) On pose $u=x^{2}+5$, donc $du=2x\,dx$ : le facteur $2x\,dx$ présent dans l'intégrale est exactement $du$. L'intégrale devient $\int u^{7}du=\frac{u^{8}}{8}+C$, et le retour en $x$ donne $\frac{(x^{2}+5)^{8}}{8}+C$. Le retour est OBLIGATOIRE pour une intégrale indéfinie : une réponse laissée en $u$ ne répond pas à la question posée, qui portait sur une fonction de $x$. Vérification par dérivation : $\frac{8(x^{2}+5)^{7}\cdot 2x}{8}=2x(x^{2}+5)^{7}$ ✓.

b) Premier cas : $u=x^{3}+4$, $du=3x^{2}dx$, l'intégrale devient $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln\left|x^{3}+4\right|+C$. Second cas : $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$, l'intégrale devient $\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C$. La structure commune est $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx$ : une fonction composée multipliée par la dérivée de son intérieur. C'est la règle de chaîne lue à l'envers, et c'est la seule chose que la substitution sait défaire. Remarquez au passage la forme $\int\frac{g'}{g}dx=\ln|g|+C$, qui revient si souvent qu'elle mérite d'être reconnue directement.

c) Avec $u=x^{2}$, $du=2x\,dx$, donc $x\,dx=\frac{du}{2}$ : $\int xe^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$. En revanche $\int e^{x^{2}}dx$ n'a AUCUNE primitive élémentaire : aucune combinaison finie de fonctions usuelles ne la donne, et ce n'est pas une question d'habileté mais un théorème. Le facteur $x$ change donc tout : il fournit le $du$ qui rend la substitution possible. C'est la comparaison la plus instructive du chapitre, car elle montre qu'intégrer n'est pas une procédure garantie comme l'est la dérivation. Une fonction élémentaire a toujours une dérivée élémentaire; elle n'a pas toujours une primitive élémentaire.

d) On pose $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$, donc $\sin x\,dx=-du$ : $\int\cos^{3}x\sin x\,dx=-\int u^{3}du=-\frac{u^{4}}{4}+C=-\frac{\cos^{4}x}{4}+C$. Le test, en une phrase : la substitution $u=g(x)$ marche si, après avoir remplacé $g(x)$ par $u$ et $g'(x)dx$ par $du$, il ne reste PLUS AUCUN $x$ dans l'intégrale. C'est le critère opérationnel complet, et il se vérifie en dix secondes avant de s'engager dans le calcul. S'il reste un $x$ isolé, deux issues : l'exprimer en fonction de $u$ (le retour en arrière de l'exercice suivant), ou changer de technique.

a) On pose $u=x^{3}-2$, donc $du=3x^{2}dx$. L'intégrale contient $x^{2}dx$, soit $\frac{du}{3}$ : on écrit $\int x^{2}(x^{3}-2)^{5}dx=\frac{1}{3}\int u^{5}du=\frac{u^{6}}{18}+C=\frac{(x^{3}-2)^{6}}{18}+C$. On a le droit parce que $\frac{1}{3}$ est une CONSTANTE, et la linéarité autorise à sortir les constantes. Ce serait interdit avec un facteur en $x$ : $\int x\,f(x)dx\neq x\int f(x)dx$, jamais. C'est la distinction décisive du chapitre, et elle sépare une substitution correcte de la faute du point d).

b) Arguments affines, donc division par le coefficient de $x$. Premier cas : $u=4x+3$, $du=4dx$, $\int\frac{dx}{(4x+3)^{2}}=\frac{1}{4}\int u^{-2}du=-\frac{1}{4u}+C=-\frac{1}{4(4x+3)}+C$. Second cas : $u=7-2x$, $du=-2dx$, $\int\sqrt{7-2x}\,dx=-\frac{1}{2}\int\sqrt{u}\,du=-\frac{1}{3}u^{3/2}+C=-\frac{(7-2x)^{3/2}}{3}+C$. Le signe négatif vient du coefficient $-2$ et s'oublie très souvent : la vérification par dérivation le rattrape à tous les coups.

c) Avec $u=x+1$ on a $du=dx$ et $\sqrt{x+1}=\sqrt{u}$, mais le facteur $x$ reste. On l'exprime en $u$ : puisque $u=x+1$, alors $x=u-1$. L'intégrale devient $\int(u-1)\sqrt{u}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}+C$, soit $\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C$. La manœuvre est légitime parce qu'un changement de variable est une SUBSTITUTION COMPLÈTE : tout ce qui dépend de $x$ doit être réécrit en $u$, y compris les $x$ qui ne faisaient pas partie du plan initial. La relation $u=x+1$ est inversible, elle fournit donc $x=u-1$ gratuitement. Ce « retour en arrière » est le geste que l'examen distingue le plus sûrement, parce qu'il exige de comprendre la substitution plutôt que de la reconnaître.

d) L'erreur est d'avoir traité $x^{2}$ comme une constante, en « l'intégrant à part » en $\frac{x^{3}}{3}$ tout en intégrant le reste séparément. Aucune règle ne permet cela : l'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales, et sortir un facteur de l'intégrale n'est permis que s'il est CONSTANT. La réfutation immédiate se fait par dérivation : la réponse proposée demande la règle du produit et redonne $x^{2}\sqrt{x^{3}+1}+\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}\cdot\frac{2}{3}\cdot\ldots$, bref un terme supplémentaire non nul, donc c'est faux. Le calcul correct est une substitution ordinaire : $u=x^{3}+1$, $du=3x^{2}dx$, d'où $\frac{1}{3}\int\sqrt{u}\,du=\frac{2}{9}\left(x^{3}+1\right)^{3/2}+C$. Ironie de la situation : l'étudiant avait le bon $x^{2}$ sous les yeux, c'était exactement le $du$ dont il avait besoin.

a) L'accélération est la dérivée de la vitesse, donc la vitesse est une primitive de l'accélération : $v(t)=3t^{2}-4t+C_{1}$. La condition $v(0)=2$ donne $C_{1}=2$, d'où $v(t)=3t^{2}-4t+2$. La vitesse est à son tour la dérivée de la position : $s(t)=t^{3}-2t^{2}+2t+C_{2}$, et $s(0)=3$ donne $C_{2}=3$, d'où $s(t)=t^{3}-2t^{2}+2t+3$. Chaque intégration produit sa propre constante, et chaque constante réclame sa propre condition initiale : deux intégrations, deux conditions, ce qui est exactement pourquoi la mécanique a besoin de la position ET de la vitesse de départ pour prédire un mouvement. Vérification : $s'(t)=3t^{2}-4t+2=v(t)$ ✓ et $v'(t)=6t-4=a(t)$ ✓.

b) $P(t)=\int 200e^{0{,}1t}dt=\frac{200}{0{,}1}e^{0{,}1t}+C=2000e^{0{,}1t}+C$. La condition $P(0)=5000$ donne $2000+C=5000$, donc $C=3000$ et $P(t)=2000e^{0{,}1t}+3000$. Après 10 ans : $P(10)=2000e^{1}+3000\approx 2000(2{,}71828)+3000\approx 8437$ individus. Notez que la constante $3000$ n'est pas un détail cosmétique : elle représente la part de la population qui ne participe pas à la croissance exponentielle, et l'ignorer fausserait la réponse de 60 pour cent.

c) Les deux sont de la forme $\int\frac{g'(x)}{\left(g(x)\right)^{n}}dx$. Premier cas : $g=x^{2}+3x+1$, $g'=2x+3$ est exactement au numérateur, donc $\int\frac{2x+3}{x^{2}+3x+1}dx=\ln\left|x^{2}+3x+1\right|+C$ (cas $n=1$, qui donne le logarithme). Second cas : on récrit $\frac{1}{x(\ln x)^{2}}=\frac{1}{(\ln x)^{2}}\cdot\frac{1}{x}$, avec $g=\ln x$ et $g'=\frac{1}{x}$ présent : $\int u^{-2}du=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{\ln x}+C$ (cas $n=2$, qui donne une puissance). La structure commune est donc la même substitution, et seule la valeur de $n$ décide si la réponse est un logarithme ou une puissance : c'est encore le trou en $n=-1$ de la table, rencontré sous un autre déguisement.

d) L'ordre efficace : 1) Puis-je SIMPLIFIER l'intégrande algébriquement (distribuer, séparer une fraction, simplifier) ? Exemple : $\int\frac{x^{2}+3x}{x}dx$, qui devient $\int(x+3)dx$. 2) Est-ce une forme DIRECTE de la table, éventuellement à argument affine ? Exemple : $\int\sin(5x)dx$, où il suffit de diviser par 5. 3) Vois-je une fonction ET sa dérivée, à une constante près ? Alors SUBSTITUTION. Exemple : $\int x^{2}(x^{3}-2)^{5}dx$. 4) La substitution laisse-t-elle un $x$ debout ? Alors l'exprimer en $u$. Exemple : $\int x\sqrt{x+1}\,dx$. 5) Rien de tout cela ne marche ? L'intégrale relève du chapitre suivant (parties, fractions partielles, trigonométrie), ou n'a pas de primitive élémentaire, comme $\int e^{x^{2}}dx$. Et dans tous les cas : DÉRIVER la réponse avant de rendre la copie.