Exercices corrigés : l'intégrale indéfinie et les primitives (201-NYB)

a) Définition : $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$. Vérification : $F'(x)=\left(x\sin x\right)'+\left(\cos x\right)'=(\sin x+x\cos x)-\sin x=x\cos x=f(x)$ ✓. Les deux $\sin x$ s'annulent, et c'est tout l'intérêt de la forme proposée. Notez qu'on ne CHERCHE pas la primitive ici, on la VÉRIFIE : vérifier est toujours plus facile que trouver, et c'est la raison pour laquelle toute réponse d'intégration se contrôle par dérivation.

b) $F'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$ ✓ et $G'(x)=-2\cos x\cdot(-\sin x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$ ✓. Aucune contradiction : $F(x)-G(x)=\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$, une CONSTANTE. Le théorème qui règle la question : si deux fonctions ont la même dérivée sur un intervalle, leur différence y est constante (conséquence du théorème des accroissements finis, puisque $(F-G)'=0$). Deux primitives d'une même fonction ne peuvent donc différer que d'une constante, et c'est précisément ce que le $+C$ encode. Attention à l'hypothèse d'INTERVALLE : sur un domaine en deux morceaux, comme celui de $\frac{1}{x}$, la « constante » peut valoir une valeur à gauche de zéro et une autre à droite.

c) $F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+C$. La condition $F(2)=5$ donne $8-8+2+C=5$, donc $C=3$ et $F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+3$. Il y en a exactement UNE : la condition initiale sélectionne un unique membre de la famille infinie. C'est le mécanisme central des équations différentielles plus tard dans la session : l'intégration fournit la famille, la condition initiale choisit la solution.

d) Les trois courbes sont des translatées verticales l'une de l'autre : passer de $x^{2}$ à $x^{2}+2$ ajoute la même quantité partout, ce qui ne change aucune pente. Leur dérivée commune est $2x$, donc en une abscisse donnée les trois tangentes sont parallèles. Et par un point $(x_{0},y_{0})$ du plan il passe exactement une primitive, car l'équation $x_{0}^{2}+C=y_{0}$ a une solution unique $C=y_{0}-x_{0}^{2}$. Géométriquement : la famille des primitives remplit le plan sans qu'aucune ne se croise, ce qui donne l'image juste du $+C$ comme d'un curseur vertical.

a) On réécrit tout en puissances avant d'appliquer la formule. $\int\left(x^{5}-3x^{2}+7\right)dx=\frac{x^{6}}{6}-x^{3}+7x+C$. Ensuite $\int\frac{dx}{x^{4}}=\int x^{-4}dx=\frac{x^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{3x^{3}}+C$ : l'exposant négatif passe sans difficulté, il suffit de ne pas oublier que $-4+1=-3$. Enfin $\int\sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}x^{3/2}+C$. La réécriture préalable est le vrai geste technique : tant que l'intégrande n'est pas sous la forme $x^{n}$, aucune formule ne s'applique.

b) En $n=-1$, le dénominateur $n+1$ vaut zéro : la formule demande une division par zéro, elle n'a donc aucun sens. Ce cas se traite à part : $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$, parce que $\left(\ln|x|\right)'=\frac{1}{x}$. La valeur absolue est là parce que $\frac{1}{x}$ existe aussi pour $x<0$, où $\ln x$ n'est pas défini : pour $x<0$ on a $\ln|x|=\ln(-x)$, de dérivée $\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$ ✓. La formule couvre ainsi les deux côtés de l'origine. C'est le seul trou de la table des puissances, et il est comblé par une fonction d'une tout autre famille : la puissance $-1$ s'intègre en logarithme, ce qui n'a rien d'évident et mérite d'être mémorisé comme une exception.

c) $\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}+C$ : en dérivant $e^{3x}$ la règle de chaîne sort un facteur 3, il faut donc diviser par 3 pour compenser. $\int 2^{x}dx=\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ : en dérivant $2^{x}$ on obtient $2^{x}\ln 2$, d'où la division par $\ln 2$. Total : $\frac{e^{3x}}{3}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$. Dans les deux cas le dénominateur est exactement le facteur parasite que la dérivation ferait apparaître : intégrer, c'est annuler d'avance ce que dériver produirait.

d) $\int\sec^{2}x\,dx=\tan x$ et $\int\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x$, donc le résultat est $\tan x-4\arctan x+C$. Pour la seconde : $\int\sin(5x)dx=-\frac{\cos(5x)}{5}+C$. L'erreur de l'étudiant qui répond $-\cos(5x)+C$ est d'oublier la chaîne : en dérivant $-\cos(5x)$ on obtient $5\sin(5x)$, soit cinq fois trop. Le réflexe de vérification tranche immédiatement, et la règle générale à retenir est que pour un argument affine $ax+b$, la primitive se divise par $a$ : $\int f(ax+b)dx=\frac{F(ax+b)}{a}+C$. C'est le cas particulier le plus rentable du changement de variable, celui qu'on finit par faire de tête.

a) Linéarité : $\int\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx$ pour toutes constantes $a$ et $b$. Elle autorise deux choses, et deux seulement : séparer une SOMME, et sortir une CONSTANTE. Application : $\int\left(4\cos x-\frac{3}{x}+5e^{x}\right)dx=4\sin x-3\ln|x|+5e^{x}+C$. Une seule constante $C$ suffit pour toute l'expression, puisque la somme de trois constantes arbitraires reste une constante arbitraire.

b) Il suffit de dériver la réponse proposée : $\left(\frac{x^{2}}{2}e^{x}\right)'=xe^{x}+\frac{x^{2}}{2}e^{x}$, par la règle du produit. On voulait $xe^{x}$, on obtient $xe^{x}+\frac{x^{2}}{2}e^{x}$ : le terme parasite $\frac{x^{2}}{2}e^{x}$ n'est nul pour aucun $x\neq 0$, la réponse est donc fausse. La leçon dépasse l'exercice : l'intégrale d'un produit N'EST PAS le produit des intégrales, parce que la dérivation d'un produit fabrique deux termes et non un. Il n'existe aucune règle du produit pour intégrer; il existe l'intégration par parties, qui est le rattrapage de cette absence, et qui donnerait ici $(x-1)e^{x}+C$.

c) Même méthode de réfutation par un cas simple : $\int\frac{x}{x}dx=\int 1\,dx=x+C$, alors que la formule proposée donnerait $\frac{x^{2}/2}{x^{2}/2}=1$, une constante. Une fonction non constante ne peut pas être égale à une constante, la règle est donc fausse. Le calcul correct passe par la SIMPLIFICATION algébrique avant toute intégration : $\frac{x^{2}+3x}{x}=x+3$ pour $x\neq 0$, d'où $\int\frac{x^{2}+3x}{x}dx=\frac{x^{2}}{2}+3x+C$.

d) Premier calcul : on distribue avant d'intégrer, $\sqrt{x}(x^{2}-1)=x^{5/2}-x^{1/2}$, donc $\int=\frac{2}{7}x^{7/2}-\frac{2}{3}x^{3/2}+C$. Second calcul : on sépare la fraction terme à terme, $\frac{x^{3}+2x-5}{x^{2}}=x+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^{2}}$, donc $\int=\frac{x^{2}}{2}+2\ln|x|+\frac{5}{x}+C$. La manœuvre commune est de RÉÉCRIRE l'intégrande en une somme de termes de la table avant d'intégrer quoi que ce soit. Elle est la seule disponible parce que la linéarité ne sait traiter que des sommes : tant qu'un produit ou un quotient reste debout, aucune règle du chapitre ne s'applique. D'où la stratégie d'ouverture pour toute intégrale de ce chapitre : distribuer, séparer, simplifier, et regarder seulement ensuite s'il reste un travail à faire.

a) Pour $x\geq 0$, $|x|=x$ donc une primitive est $\frac{x^{2}}{2}+C_{1}$. Pour $x<0$, $|x|=-x$ donc une primitive est $-\frac{x^{2}}{2}+C_{2}$. Ces deux morceaux doivent se RECOLLER : une primitive est dérivable, donc continue, et la continuité en 0 impose $\frac{0}{2}+C_{1}=-\frac{0}{2}+C_{2}$, c'est-à-dire $C_{1}=C_{2}$. Il n'y a donc qu'une seule constante, et non deux : $F(x)=\frac{x^{2}}{2}+C$ pour $x\geq 0$, $F(x)=-\frac{x^{2}}{2}+C$ pour $x<0$.

b) Les deux morceaux se résument en une seule formule : si $x\geq 0$, $\frac{x|x|}{2}=\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^{2}}{2}$ ✓; si $x<0$, $\frac{x|x|}{2}=\frac{x(-x)}{2}=-\frac{x^{2}}{2}$ ✓. Donc $F(x)=\frac{x|x|}{2}+C$. Dérivabilité en 0 : le taux d'accroissement vaut $\frac{F(h)-F(0)}{h}=\frac{h|h|/2}{h}=\frac{|h|}{2}$, qui tend vers 0 quand $h\to 0$ des DEUX côtés. Donc $F'(0)=0=|0|$ ✓. La primitive est bien dérivable partout, y compris au point anguleux de l'intégrande : intégrer LISSE, alors que dériver casse. C'est une observation générale, et c'est pourquoi une fonction seulement continue admet tout de même des primitives dérivables.

c) NON, pas comme primitive GÉNÉRALE. Il est vrai que $\left(\ln|x|\right)'=\frac{1}{x}$ sur tout $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Mais le domaine est en DEUX morceaux disjoints, $\left]-\infty,0\right[$ et $\left]0,+\infty\right[$, et rien n'oblige la constante à être la même sur les deux. La primitive générale s'écrit donc $F(x)=\ln|x|+C_{1}$ pour $x>0$ et $F(x)=\ln|x|+C_{2}$ pour $x<0$, avec $C_{1}$ et $C_{2}$ INDÉPENDANTES. Par exemple, la fonction valant $\ln x$ pour $x>0$ et $\ln(-x)+7$ pour $x<0$ a bien $\frac{1}{x}$ pour dérivée partout, et elle ne s'écrit pas $\ln|x|+C$. Contrairement au point a), aucune condition de continuité ne vient relier les deux constantes, puisque les morceaux ne se touchent pas.

d) L'hypothèse en cause est celle d'INTERVALLE. Le théorème s'énonce : si $F'=G'$ SUR UN INTERVALLE, alors $F-G$ y est constante. Sa démonstration repose sur le théorème des accroissements finis, lequel exige de pouvoir relier deux points en restant dans le domaine. Sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, qui n'est pas un intervalle, on ne peut pas passer d'un point négatif à un point positif sans franchir 0, où la fonction n'existe pas : le raisonnement se casse, et la conclusion tombe. En pratique au cégep, on écrit tout de même $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$ parce qu'on travaille presque toujours sur un seul des deux morceaux à la fois; mais dès qu'une intégrale définie franchit 0, cette écriture devient fausse et l'intégrale est d'ailleurs divergente. C'est exactement le piège du chapitre des intégrales impropres.

a) Les trois formes, toutes issues de la règle de chaîne lue à l'envers. $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln\left|f(x)\right|+C$. $\int f'(x)\left[f(x)\right]^{n}dx=\frac{\left[f(x)\right]^{n+1}}{n+1}+C$ pour $n\neq-1$. $\int f'(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+C$. Dans les trois cas, la signature est la même : une fonction composée MULTIPLIÉE par la dérivée de son intérieur.

b) Premier cas : $f=x^{2}+1$, $f'=2x$, exactement au numérateur, donc $\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx=\ln\left(x^{2}+1\right)+C$ (la valeur absolue est superflue, $x^{2}+1$ étant toujours positif). Deuxième : $f=e^{x}+3$, $f'=e^{x}$, présent, donc $\int\frac{e^{x}}{e^{x}+3}dx=\ln\left(e^{x}+3\right)+C$. Troisième : on récrit $\frac{1}{x\ln x}=\frac{1/x}{\ln x}$, donc $f=\ln x$ et $f'=\frac{1}{x}$, d'où $\int\frac{dx}{x\ln x}=\ln\left|\ln x\right|+C$. Un logarithme de logarithme, parfaitement légitime.

c) Premier : $f=x^{3}+1$, $f'=3x^{2}$, exactement en facteur, avec $n=4$ : $\int 3x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{4}dx=\frac{\left(x^{3}+1\right)^{5}}{5}+C$. Second : $f=\sin x$, $f'=\cos x$, présent : $\int\cos x\,e^{\sin x}dx=e^{\sin x}+C$. Vérification systématique par dérivation : $\left(e^{\sin x}\right)'=\cos x\,e^{\sin x}$ ✓.

d) La dérivée de $f=x^{2}+1$ est $2x$, or le numérateur ne contient que $x$ : il manque le facteur 2. On l'AJUSTE en écrivant $\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}$, d'où $\int\frac{x}{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C$. L'ajustement est permis parce que $\frac{1}{2}$ est une CONSTANTE, et la linéarité autorise à sortir les constantes de l'intégrale. Ce serait interdit s'il manquait un facteur en $x$ : on ne peut jamais écrire $\int x\,g(x)dx=x\int g(x)dx$. Toute la souplesse de la méthode tient dans cette distinction, et c'est elle qui sépare une substitution correcte d'une faute de raisonnement.

a) On pose $u=x^{2}+5$, donc $du=2x\,dx$ : le facteur $2x\,dx$ présent dans l'intégrale est exactement $du$. L'intégrale devient $\int u^{7}du=\frac{u^{8}}{8}+C$, et le retour en $x$ donne $\frac{(x^{2}+5)^{8}}{8}+C$. Le retour est OBLIGATOIRE pour une intégrale indéfinie : une réponse laissée en $u$ ne répond pas à la question posée, qui portait sur une fonction de $x$. Vérification par dérivation : $\frac{8(x^{2}+5)^{7}\cdot 2x}{8}=2x(x^{2}+5)^{7}$ ✓.

b) Premier cas : $u=x^{3}+4$, $du=3x^{2}dx$, l'intégrale devient $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln\left|x^{3}+4\right|+C$. Second cas : $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$, l'intégrale devient $\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C$. La structure commune est $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx$ : une fonction composée multipliée par la dérivée de son intérieur. C'est la règle de chaîne lue à l'envers, et c'est la seule chose que la substitution sait défaire. Remarquez au passage la forme $\int\frac{g'}{g}dx=\ln|g|+C$, qui revient si souvent qu'elle mérite d'être reconnue directement.

c) Avec $u=x^{2}$, $du=2x\,dx$, donc $x\,dx=\frac{du}{2}$ : $\int xe^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$. En revanche $\int e^{x^{2}}dx$ n'a AUCUNE primitive élémentaire : aucune combinaison finie de fonctions usuelles ne la donne, et ce n'est pas une question d'habileté mais un théorème. Le facteur $x$ change donc tout : il fournit le $du$ qui rend la substitution possible. C'est la comparaison la plus instructive du chapitre, car elle montre qu'intégrer n'est pas une procédure garantie comme l'est la dérivation. Une fonction élémentaire a toujours une dérivée élémentaire; elle n'a pas toujours une primitive élémentaire.

d) On pose $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$, donc $\sin x\,dx=-du$ : $\int\cos^{3}x\sin x\,dx=-\int u^{3}du=-\frac{u^{4}}{4}+C=-\frac{\cos^{4}x}{4}+C$. Le test, en une phrase : la substitution $u=g(x)$ marche si, après avoir remplacé $g(x)$ par $u$ et $g'(x)dx$ par $du$, il ne reste PLUS AUCUN $x$ dans l'intégrale. C'est le critère opérationnel complet, et il se vérifie en dix secondes avant de s'engager dans le calcul. S'il reste un $x$ isolé, deux issues : l'exprimer en fonction de $u$ (le retour en arrière de l'exercice suivant), ou changer de technique.

a) On pose $u=x^{3}-2$, donc $du=3x^{2}dx$. L'intégrale contient $x^{2}dx$, soit $\frac{du}{3}$ : on écrit $\int x^{2}(x^{3}-2)^{5}dx=\frac{1}{3}\int u^{5}du=\frac{u^{6}}{18}+C=\frac{(x^{3}-2)^{6}}{18}+C$. On a le droit parce que $\frac{1}{3}$ est une CONSTANTE, et la linéarité autorise à sortir les constantes. Ce serait interdit avec un facteur en $x$ : $\int x\,f(x)dx\neq x\int f(x)dx$, jamais. C'est la distinction décisive du chapitre, et elle sépare une substitution correcte de la faute du point d).

b) Arguments affines, donc division par le coefficient de $x$. Premier cas : $u=4x+3$, $du=4dx$, $\int\frac{dx}{(4x+3)^{2}}=\frac{1}{4}\int u^{-2}du=-\frac{1}{4u}+C=-\frac{1}{4(4x+3)}+C$. Second cas : $u=7-2x$, $du=-2dx$, $\int\sqrt{7-2x}\,dx=-\frac{1}{2}\int\sqrt{u}\,du=-\frac{1}{3}u^{3/2}+C=-\frac{(7-2x)^{3/2}}{3}+C$. Le signe négatif vient du coefficient $-2$ et s'oublie très souvent : la vérification par dérivation le rattrape à tous les coups.

c) Avec $u=x+1$ on a $du=dx$ et $\sqrt{x+1}=\sqrt{u}$, mais le facteur $x$ reste. On l'exprime en $u$ : puisque $u=x+1$, alors $x=u-1$. L'intégrale devient $\int(u-1)\sqrt{u}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}+C$, soit $\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C$. La manœuvre est légitime parce qu'un changement de variable est une SUBSTITUTION COMPLÈTE : tout ce qui dépend de $x$ doit être réécrit en $u$, y compris les $x$ qui ne faisaient pas partie du plan initial. La relation $u=x+1$ est inversible, elle fournit donc $x=u-1$ gratuitement. Ce « retour en arrière » est le geste que l'examen distingue le plus sûrement, parce qu'il exige de comprendre la substitution plutôt que de la reconnaître.

d) L'erreur est d'avoir traité $x^{2}$ comme une constante, en « l'intégrant à part » en $\frac{x^{3}}{3}$ tout en intégrant le reste séparément. Aucune règle ne permet cela : l'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales, et sortir un facteur de l'intégrale n'est permis que s'il est CONSTANT. La réfutation immédiate se fait par dérivation : la réponse proposée demande la règle du produit et redonne $\frac{2}{3}x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{3/2}+x^{5}\sqrt{x^{3}+1}$, qui n'est pas l'intégrande $x^{2}\sqrt{x^{3}+1}$ : c'est faux. Le calcul correct est une substitution ordinaire : $u=x^{3}+1$, $du=3x^{2}dx$, d'où $\frac{1}{3}\int\sqrt{u}\,du=\frac{2}{9}\left(x^{3}+1\right)^{3/2}+C$. Ironie de la situation : l'étudiant avait le bon $x^{2}$ sous les yeux, c'était exactement le $du$ dont il avait besoin.