Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : l'intégrale indéfinie et les primitives

Q: Pourquoi faut-il ajouter une constante à une primitive ?

Parce que dériver efface les constantes : toutes les fonctions qui diffèrent d'une constante ont la même dérivée. L'intégrale indéfinie désigne donc l'ensemble de ces fonctions, pas l'une d'elles. Sans la constante, on ne peut pas répondre aux questions qui imposent une valeur en un point.

Q: Existe-t-il une règle du produit pour les intégrales ?

Non, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales. La technique qui s'en rapproche est l'intégration par parties, qui vient de la dérivée d'un produit lue à l'envers, mais elle ne se distribue pas et ne s'applique pas mécaniquement.

Q: Comment savoir si une substitution va fonctionner ?

On choisit un bloc intérieur, on calcule sa dérivée, puis on cherche cette dérivée dans l'intégrande. Si elle y figure en facteur, même à une constante près, la substitution aboutit. Si l'écart est une variable et non une constante, il faut changer de technique.

Q: Pourquoi écrit-on la valeur absolue dans la primitive de un sur x ?

Parce que la fonction inverse est définie pour les valeurs négatives aussi, alors que le logarithme népérien ne l'est pas. La valeur absolue étend la primitive aux deux intervalles. Il faut aussi retenir que la constante peut différer d'un intervalle à l'autre, les deux branches étant séparées par une asymptote.

Q: Toutes les fonctions ont-elles une primitive calculable ?

Toute fonction continue admet des primitives, mais certaines ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles. C'est le cas de l'exponentielle de moins x au carré, du sinus divisé par x, et de un sur le logarithme de x. Les reconnaître évite de perdre dix minutes d'examen à chercher une écriture qui n'existe pas.

Cette fiche ne recopie pas la table des primitives : vous l'avez, et la recopier ne fait perdre aucun point. Elle traite ce qui décide de la note au premier examen de 201-NYB, où presque toutes les erreurs sont des règles inventées par symétrie avec la dérivation, et où la vérification par dérivation, gratuite, n'est presque jamais faite.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Mis à jour le 17 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Une primitive se VÉRIFIE en la dérivant : c'est le seul chapitre du cours où l'on contrôle soi-même chaque réponse en dix secondes. Tout ce qui coûte des points ici vient d'avoir inventé une règle qui n'existe pas, ou d'avoir oublié que la réponse est une FAMILLE de fonctions, pas une fonction.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 17 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les dérivées des fonctions trigonométriques et transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions définies par partiesSecondaire 5
2La fonction racine carréeSecondaire 5
3Les fonctions quadratiquesSecondaire 5
4Les paramètres des fonctionsSecondaire 5
5Le cercle trigonométriqueSecondaire 5
6Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5
7Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
8Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
9La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
10Les dérivées des fonctions trigonométriques et transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)

Notions couvertes

Primitive d'une fonction
Intégrale indéfinie
Constante d'intégration
Linéarité de l'intégrale
Table des primitives
Substitution directe
Changement de variable
Primitive du logarithme
Coefficients indéterminés

L'essentiel

Une primitive, une famille, une constante

• $F$ est une primitive de $f$ si $F'=f$ . Si $F$ en est une, $F+C$ aussi, pour tout réel $C$ .
• $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ : le résultat est une FAMILLE de fonctions, jamais une seule.
• Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante SUR UN INTERVALLE, et c'est une conséquence du théorème des accroissements finis.
• Géométriquement : toutes les courbes de la famille se déduisent par translation VERTICALE, et ont donc la même pente en chaque abscisse.

Trois primitives de

f(x)=x

pour

C=-3

0

3

: les courbes sont translatées verticalement et leurs tangentes en une même abscisse sont PARALLÈLES, puisqu'elles ont la même dérivée.

Le $+C$ n'est pas une décoration : il vaut un demi-point par intégrale indéfinie, et une question de conditions initiales est impossible sans lui.

Les deux seules règles, et celles qui n'existent pas

• Linéarité : $\int\left(af+bg\right)=a\int f+b\int g$ . C'est tout ce qui se distribue.
• $\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ pour $n\neq-1$ , et $\int\frac{dx}{x}=\ln\left|x\right|+C$ pour le cas $n=-1$ .
• IL N'EXISTE PAS de règle du produit : $\int fg\neq\left(\int f\right)\left(\int g\right)$ .
• IL N'EXISTE PAS de règle du quotient : $\int\frac{f}{g}\neq\frac{\int f}{\int g}$ .
• IL N'EXISTE PAS de règle de chaîne inverse automatique : $\int f(g(x))\,dx$ demande une substitution, qui n'aboutit que si $g'$ est présent.

Contre-exemple à retenir : $\int x\cdot x\,dx=\frac{x^{3}}{3}$ , alors que $\left(\int x\,dx\right)^{2}=\frac{x^{4}}{4}$ .

Les formes composées, celles qui se lisent d'un coup d'œil

• $\int u'u^{n}\,dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$ , $\int\frac{u'}{u}\,dx=\ln\left|u\right|+C$ , $\int u'e^{u}\,dx=e^{u}+C$ .
• $\int u'\cos u\,dx=\sin u+C$ , $\int u'\sin u\,dx=-\cos u+C$ , $\int\frac{u'}{1+u^{2}}\,dx=\arctan u+C$ .
• Toutes disent la même chose : la dérivée intérieure DOIT être présente en facteur, à une constante multiplicative près.
• Une constante manquante se rattrape en multipliant et divisant; une variable manquante ne se rattrape JAMAIS.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les primitives usuelles

La table se lit de gauche à droite, et se VÉRIFIE de droite à gauche : dériver la colonne de droite doit redonner celle de gauche. C'est le seul chapitre du cours où la réponse se contrôle en dix secondes.

$f(x)$	Où c'est valable	$\int f(x)\,dx$
$x^{n}$ , $n\neq-1$	$n$ réel quelconque	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
Exemple : $\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+C$ , donc $\int_{0}^{2}x^{3}\,dx=\frac{16}{4}=4$ .
$\frac{1}{x}$	$x\neq 0$	$\ln\left\|x\right\|+C$
Exemple : C'est le cas $n=-1$ , celui que la ligne précédente ne couvre pas. $\int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{dx}{x}=\ln \mathrm{e}-\ln 1=1$ .
$\mathrm{e}^{x}$	partout	$\mathrm{e}^{x}+C$
Exemple : $\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\,dx=\mathrm{e}-1\approx 1{,}718$ .
$a^{x}$ , $a>0$	partout	$\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
Exemple : $\int_{0}^{1}2^{x}\,dx=\frac{2-1}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\approx 1{,}443$ . Le $\ln a$ est au DÉNOMINATEUR ici, au numérateur dans la dérivée.
$\cos x$	en radians	$\sin x+C$
Exemple : $\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1$ , l'aire sous une arche de cosinus jusqu'à son premier zéro.
$\sin x$	en radians	$-\cos x+C$
Exemple : Le signe moins passe de la dérivée à la primitive : $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=-\cos\pi+\cos 0=2$ .
$\sec^{2}x$	$x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$	$\tan x+C$
Exemple : $\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}x\,dx=\tan\frac{\pi}{4}=1$ .
$\frac{1}{1+x^{2}}$	partout	$\arctan x+C$
Exemple : $\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan 1=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785$ . Aucune substitution ne donne cette ligne, elle se reconnaît.
$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$\left\|x\right\|<1$	$\arcsin x+C$
Exemple : $\int_{0}^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}524$ .

Le $+C$ n'est pas une décoration : sans lui, la réponse est UNE fonction là où l'énoncé en demande une famille, et le demi-point tombe à chaque question.

Les formes composées : le $u'$ doit être là

Les six lignes disent la même chose, et c'est la seule chose à savoir sur la substitution : la dérivée intérieure doit être présente EN FACTEUR, à une constante multiplicative près.

Intégrande	Ce qu'on pose	Primitive
$u'u^{n}$ , $n\neq-1$	$u$ et son $u'$	$\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$
Exemple : $\int 2x\left(x^{2}+1\right)^{3}dx=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{4}}{4}+C$ , et de $0$ à $1$ cela vaut $\frac{16-1}{4}=3{,}75$ .
$\frac{u'}{u}$	$u$ au dénominateur	$\ln\left\|u\right\|+C$
Exemple : $\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^{2}+1}dx=\ln 2-\ln 1=\ln 2\approx 0{,}693$ .
$u'\mathrm{e}^{u}$	$u$ en exposant	$\mathrm{e}^{u}+C$
Exemple : $\int_{0}^{1}2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}dx=\mathrm{e}^{1}-\mathrm{e}^{0}=\mathrm{e}-1\approx 1{,}718$ .
$u'\cos u$	$u$ dans le cosinus	$\sin u+C$
Exemple : $\int_{0}^{\pi/4}2\cos(2x)\,dx=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1$ : ici $u=2x$ et $u'=2$ , présent tel quel.
$\frac{u'}{1+u^{2}}$	$u$ au carré	$\arctan u+C$
Exemple : $\int_{0}^{1/2}\frac{2\,dx}{1+4x^{2}}=\arctan 1=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785$ , avec $u=2x$ .
Il manque une CONSTANTE	on multiplie et on divise	la même primitive, divisée par cette constante
Exemple : $\int_{0}^{1}x\,\mathrm{e}^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}dx=\frac{\mathrm{e}-1}{2}\approx 0{,}859$ .

Une constante manquante se rattrape, une VARIABLE manquante jamais : $\int \mathrm{e}^{x^{2}}dx$ ne se ramène à aucune de ces lignes, et cette intégrale n'a d'ailleurs aucune primitive élémentaire.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier la constante d'intégration

un demi-point par intégrale, et toute la question de conditions initiales

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int 3x^{2}\,dx=x^{3}$

Ce qu'il faut écrire

$\int 3x^{2}\,dx=x^{3}+C$

Toutes les courbes

x^{3}+C

ont la dérivée

3x^{2}

; une seule passe par

(1\,;5)

, celle de

C=4

. Sans le

+C

, la condition initiale est inatteignable.

Pourquoi : L'intégrale indéfinie désigne l'ensemble des primitives, pas l'une d'elles. Une question du type « trouver $F$ telle que $F(1)=5$ » devient impossible sans le $C$ , et ces questions représentent souvent le tiers du premier examen.

2. Intégrer un produit terme à terme

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int x\cos x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\sin x$

Ce qu'il faut écrire

$\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C$ , obtenue par intégration par parties

Pourquoi : Vérification immédiate : la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}\sin x$ vaut $x\sin x+\frac{x^{2}}{2}\cos x$ , qui n'est pas l'intégrande. La dérivée de $x\sin x+\cos x$ vaut $\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$ ✓. Trente secondes de dérivation éliminent la fausse réponse.

3. Écrire la primitive de un sur x sans valeur absolue

1 point, et toute une question d'intégrale impropre

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int\frac{dx}{x}=\ln x+C$

Ce qu'il faut écrire

$\int\frac{dx}{x}=\ln\left|x\right|+C$ , avec une constante DIFFÉRENTE sur chacun des deux intervalles

\ln\left|x\right|

vit sur DEUX intervalles séparés par une asymptote : rien ne relie les deux branches, donc la constante d'intégration peut y être différente.

Pourquoi : $\ln x$ n'existe que pour $x>0$ , alors que $\frac{1}{x}$ est définie aussi pour $x<0$ . Plus subtil : le domaine étant coupé en deux, la constante peut différer d'un morceau à l'autre, et une condition initiale donnée à gauche ne contraint en rien la branche de droite.

4. Perdre le $dx$ au moment de substituer

toute la question, l'intégrale obtenue mélangeant deux variables

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je pose $u=x^{2}+1$ , donc $\int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\int x\sqrt{u}\,du$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u=x^{2}+1$ donne $du=2x\,dx$ , donc $x\,dx=\frac{du}{2}$ et l'intégrale devient $\frac{1}{2}\int\sqrt{u}\,du$ . »

Pourquoi : Une intégrale ne peut contenir qu'UNE variable. Laisser un $x$ à côté d'un $du$ produit une expression qui ne veut rien dire, et le correcteur s'arrête là. Le geste sûr : écrire $du$ en entier, isoler ce qui remplace le reste de l'intégrande, et vérifier qu'aucun $x$ ne survit.

5. Forcer une substitution quand la dérivée intérieure est absente

dix minutes d'examen, et souvent toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je pose $u=x^{2}+1$ dans $\int\sqrt{x^{2}+1}\,dx$ , donc $dx=\frac{du}{2x}$ et j'ai fini. »

Ce qu'il faut écrire

« Il n'y a pas de $x$ en facteur : la substitution n'aboutit pas. Cette intégrale demande une substitution TRIGONOMÉTRIQUE, $x=\tan\theta$ . »

Pourquoi : Diviser par $2x$ réintroduit un $x$ que rien n'éliminera : on tourne en rond. La différence entre $\int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx$ , immédiate, et $\int\sqrt{x^{2}+1}\,dx$ , difficile, tient à un seul facteur $x$ . Le repérer avant de commencer économise le temps de l'examen.

6. Ne pas revenir à la variable de départ

1 point systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac{u^{3/2}}{3}+C$

Ce qu'il faut écrire

$\int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}{3}+C$

Pourquoi : La variable $u$ est un outil intermédiaire, elle n'existe pas dans la question. Une réponse en $u$ est incomplète, comme une équation résolue en une inconnue auxiliaire jamais retraduite. Le réflexe : la dernière ligne d'une substitution est toujours le retour en $x$ .

7. Croire que toute fonction élémentaire a une primitive élémentaire

tout le temps passé à chercher

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int e^{-x^{2}}\,dx$ doit bien s'écrire avec des fonctions usuelles, je cherche encore. »

Ce qu'il faut écrire

« $e^{-x^{2}}$ est continue donc elle ADMET des primitives, mais aucune ne s'exprime avec les fonctions usuelles. »

e^{-x^{2}}

est continue : sa primitive nulle en

0

existe, croissante et tracée ici point par point. Elle n'a simplement aucune formule élémentaire.

Pourquoi : Existence et calculabilité sont deux choses différentes : toute fonction continue admet des primitives par le théorème fondamental, mais $e^{-x^{2}}$ , $\frac{\sin x}{x}$ et $\frac{1}{\ln x}$ n'en ont aucune d'élémentaire. En savoir la liste courte évite de s'acharner à l'examen.

8. Simplifier une primitive sans regarder le domaine

1 point de rigueur, davantage sur une intégrale définie traversant le point

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\int\frac{x^{2}-4}{x-2}\,dx=\int(x+2)\,dx=\frac{x^{2}}{2}+2x+C$ sur $\mathbb{R}$

Ce qu'il faut écrire

La simplification n'est valable que pour $x\neq 2$ : la primitive est définie sur $\left]-\infty,2\right[$ et sur $\left]2,+\infty\right[$ , avec deux constantes possibles.

Le quotient coïncide avec

x+2

partout SAUF en

2

, où il n'est pas défini : deux intervalles, donc deux constantes possibles.

Pourquoi : L'intégrande n'est pas défini en $2$ , donc la primitive non plus. Ignorer ce détail conduit ensuite à calculer $\int_{1}^{3}$ comme si de rien n'était, alors que l'intégrale est impropre et le résultat sans valeur.

Quelle méthode choisir

Une substitution va-t-elle marcher

On repère un bloc intérieur $u$ , on calcule $u'$ , puis on cherche $u'$ dans l'intégrande. C'est ce test, et lui seul, qui décide.

Si $u'$ est présent en facteur, exactement → substitution immédiate

Exemple : $\int 2x\,e^{x^{2}}\,dx$ avec $u=x^{2}$ donne $e^{x^{2}}+C$
Si $u'$ est présent à une CONSTANTE près → substitution après ajustement : on multiplie et on divise par cette constante

Exemple : $\int x\,e^{x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int 2x\,e^{x^{2}}\,dx=\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$
Si l'intégrande est de la forme $\frac{u'}{u}$ → primitive $\ln\left|u\right|$ , à reconnaître sans calcul

Exemple : $\int\frac{2x+3}{x^{2}+3x+7}\,dx=\ln\left|x^{2}+3x+7\right|+C$
Si $u'$ est absent et l'écart est une VARIABLE → la substitution simple échoue : passer aux parties, aux fractions partielles ou à une substitution trigonométrique

Exemple : $\int\sqrt{x^{2}+1}\,dx$ demande $x=\tan\theta$
Si l'intégrande est un quotient de polynômes avec un numérateur de degré supérieur ou égal → faire d'abord la DIVISION, puis intégrer le quotient et le reste séparément

Exemple : $\frac{x^{2}}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$

Quand deux substitutions semblent possibles, choisir celle dont la dérivée apparaît le plus visiblement : c'est presque toujours le contenu d'une racine, d'une exponentielle ou d'un dénominateur.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une substitution, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute intégrale où un bloc intérieur et sa dérivée sont présents.

1 Annoncer le changement de variable : « Posons $u=x^{2}+1$ . »
2 Écrire la différentielle complète : « Alors $du=2x\,dx$ , donc $x\,dx=\frac{du}{2}$ . »
3 Réécrire l'intégrale ENTIÈREMENT en $u$ , et vérifier qu'aucun $x$ ne subsiste.
4 Intégrer en $u$ , sans oublier la constante.
5 REVENIR à la variable de départ, et conclure.

Phrase de conclusion

$\int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\int\sqrt{u}\,du=\frac{u^{3/2}}{3}+C=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}{3}+C$ .

Le piège : Écrire $du=2x$ au lieu de $du=2x\,dx$ . La différentielle porte le $dx$ ; sans lui, le remplacement dans l'intégrale est impossible à justifier et le correcteur enlève le point de rigueur.

Barème : Généralement un demi-point pour le changement annoncé, un demi-point pour la différentielle, un point pour l'intégrale en $u$ , un demi-point pour le retour en $x$ .

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Dériver la réponse, toujours

La primitive trouvée se dérive en trente secondes, et sa dérivée doit redonner exactement l'intégrande. C'est le seul chapitre du cours où la vérification est aussi rapide que le calcul.

$\frac{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}{3}$ se dérive en $\frac{3}{2}\cdot\frac{\left(x^{2}+1\right)^{1/2}}{3}\cdot 2x=x\sqrt{x^{2}+1}$ ✓.
Contrôler numériquement en un point

Calculer $\frac{F(a+0{,}001)-F(a-0{,}001)}{0{,}002}$ et comparer à $f(a)$ : les deux doivent coïncider à trois décimales.

En $a=2$ : le taux numérique de $\frac{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}{3}$ donne $4{,}472$ , et $2\sqrt{5}=4{,}472$ ✓.
Vérifier qu'aucun $x$ ne survit dans une intégrale en $u$

Après substitution, relire l'intégrale : si un $x$ y figure encore, la substitution n'a pas abouti et il faut changer de technique plutôt que de continuer.

$\int x\sqrt{u}\,du$ est une expression sans signification : la ligne suivante n'a aucune chance d'être juste.
Contrôler la présence du $+C$

Relire toutes les intégrales indéfinies de la copie avant de rendre et compter les $+C$ : il en faut exactement autant que d'intégrales indéfinies.

Trois intégrales indéfinies, trois $+C$ . Une question de conditions initiales sans $+C$ n'a pas de solution du tout.
Vérifier une condition initiale

Quand l'énoncé impose $F(a)=b$ , substituer et résoudre en $C$ , puis contrôler que la primitive finale redonne bien $b$ en $a$ .

$F(x)=x^{3}+C$ avec $F(1)=5$ donne $C=4$ , et $F(1)=1+4=5$ ✓.

L'exercice type décortiqué

Une substitution qui résiste, comme au premier examen

Calculer $\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x+4}}\,dx$ .

Un rappel utile pour ce chapitre :

F(x)=\frac{x\left|x\right|}{2}

est bien une primitive de

\left|x\right|

, dérivable partout y compris en

0

, alors que

\left|x\right|

ne l'est pas.

Étape 1

Test de substitution : avec $u=x+4$ , on a $u'=1$ , présent en facteur puisque $dx$ l'est. La substitution est donc légitime, même si le $x$ du numérateur n'est pas $u'$ .

Pourquoi

Le test porte sur la dérivée du bloc INTÉRIEUR, pas sur la ressemblance globale. Ici $u'=1$ est toujours présent, ce qui rend la substitution possible à condition de traduire aussi le $x$ isolé.

Étape 2

$u=x+4$ donne $du=dx$ et surtout $x=u-4$ . L'intégrale devient $\int\frac{u-4}{\sqrt{u}}\,du$ .

Pourquoi

C'est le geste qui débloque : on exprime le $x$ RESTANT en fonction de $u$ . Une copie qui ne pense pas à retourner la substitution laisse un $x$ à côté d'un $du$ et s'arrête là.

Étape 3

On sépare : $\frac{u-4}{\sqrt{u}}=\frac{u}{u^{1/2}}-\frac{4}{u^{1/2}}=u^{1/2}-4u^{-1/2}$ .

Pourquoi

Écrire en puissances rend l'intégrale immédiate. Tant que la fraction reste écrite avec une racine au dénominateur, aucune formule de la table ne s'applique.

Étape 4

$\int\left(u^{1/2}-4u^{-1/2}\right)du=\frac{2}{3}u^{3/2}-8u^{1/2}+C$ .

Pourquoi

Deux applications de $\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}$ , avec $n=\frac{1}{2}$ puis $n=-\frac{1}{2}$ . Le second exposant donne $\frac{1}{2}$ au dénominateur, d'où le facteur $2$ qui devient $8$ .

Étape 5

Retour en $x$ : $\frac{2}{3}(x+4)^{3/2}-8(x+4)^{1/2}+C$ , que l'on peut factoriser en $\frac{2}{3}\sqrt{x+4}\left(x-8\right)+C$ .

Pourquoi

La forme factorisée n'est pas exigée mais elle facilite la vérification, et c'est elle que le corrigé affichera. Le retour en $x$ , lui, est obligatoire.

Étape 6

Vérification par dérivation en $x=0$ : la primitive vaut $\frac{2}{3}(2)(-8)=-\frac{32}{3}$ , et son taux d'accroissement numérique donne $0$ , ce qui est bien $\frac{0}{\sqrt{4}}$ ✓. En $x=5$ : le taux donne $1{,}667$ , et $\frac{5}{3}=1{,}667$ ✓.

Pourquoi

Deux points de contrôle valent mieux qu'un : le premier teste la valeur $0$ de l'intégrande, le second une valeur quelconque. Ensemble, ils attrapent aussi bien une erreur de signe qu'un facteur oublié.

Conclusion rédigée

$\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x+4}}\,dx=\frac{2}{3}(x+4)^{3/2}-8\sqrt{x+4}+C=\frac{2}{3}\sqrt{x+4}\,(x-8)+C$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Abandonner après $du=dx$ en constatant qu'il reste un $x$ au numérateur. La substitution n'exige pas que l'intégrande soit entièrement de la forme $u'g(u)$ : il suffit de pouvoir tout réécrire en $u$ , ce que $x=u-4$ permet ici.

À savoir par cœur

• $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ : le résultat est une FAMILLE. Le $+C$ vaut un demi-point à chaque fois.
• Seule la LINÉARITÉ se distribue. Aucune règle du produit, aucune règle du quotient.
• $\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ sauf pour $n=-1$ , où c'est $\ln\left|x\right|+C$ .
• Les formes composées exigent $u'$ EN FACTEUR : $\int u'u^{n}$ , $\int\frac{u'}{u}$ , $\int u'e^{u}$ .
• Une constante manquante se rattrape, une variable manquante jamais.
• Substitution : écrire $du$ avec son $dx$ , tout réécrire en $u$ , puis REVENIR en $x$ .
• Toute fonction continue a des primitives; $e^{-x^{2}}$ et $\frac{\sin x}{x}$ n'en ont aucune élémentaire.
• Vérification gratuite : dériver la réponse doit redonner l'intégrande.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il ajouter une constante à une primitive ?

Parce que dériver efface les constantes : toutes les fonctions qui diffèrent d'une constante ont la même dérivée. L'intégrale indéfinie désigne donc l'ensemble de ces fonctions, pas l'une d'elles. Sans la constante, on ne peut pas répondre aux questions qui imposent une valeur en un point.

Existe-t-il une règle du produit pour les intégrales ?

Non, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales. La technique qui s'en rapproche est l'intégration par parties, qui vient de la dérivée d'un produit lue à l'envers, mais elle ne se distribue pas et ne s'applique pas mécaniquement.

Comment savoir si une substitution va fonctionner ?

On choisit un bloc intérieur, on calcule sa dérivée, puis on cherche cette dérivée dans l'intégrande. Si elle y figure en facteur, même à une constante près, la substitution aboutit. Si l'écart est une variable et non une constante, il faut changer de technique.

Pourquoi écrit-on la valeur absolue dans la primitive de un sur x ?

Parce que la fonction inverse est définie pour les valeurs négatives aussi, alors que le logarithme népérien ne l'est pas. La valeur absolue étend la primitive aux deux intervalles. Il faut aussi retenir que la constante peut différer d'un intervalle à l'autre, les deux branches étant séparées par une asymptote.

Toutes les fonctions ont-elles une primitive calculable ?

Toute fonction continue admet des primitives, mais certaines ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles. C'est le cas de l'exponentielle de moins x au carré, du sinus divisé par x, et de un sur le logarithme de x. Les reconnaître évite de perdre dix minutes d'examen à chercher une écriture qui n'existe pas.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Primitives et intégrale indéfinie

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

17 exercices corrigés
170 points
225 minutes

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La décomposition des fractions rationnelles

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/nyb-primitives-integrale-indefinie. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : l'intégrale indéfinie et les primitives

L'essentiel

Une primitive, une famille, une constante

Les deux seules règles, et celles qui n'existent pas

Les formes composées, celles qui se lisent d'un coup d'œil

Les règles de calcul en tableau

Les primitives usuelles

Les formes composées : le u′u'u′ doit être là

Les pièges qui coûtent des points

1. Oublier la constante d'intégration

2. Intégrer un produit terme à terme

3. Écrire la primitive de un sur x sans valeur absolue

4. Perdre le dxdxdx au moment de substituer

5. Forcer une substitution quand la dérivée intérieure est absente

6. Ne pas revenir à la variable de départ

7. Croire que toute fonction élémentaire a une primitive élémentaire

8. Simplifier une primitive sans regarder le domaine

Quelle méthode choisir

Une substitution va-t-elle marcher

La rédaction attendue

Une substitution, rédigée pour le correcteur

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une substitution qui résiste, comme au premier examen

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il ajouter une constante à une primitive ?

Existe-t-il une règle du produit pour les intégrales ?

Comment savoir si une substitution va fonctionner ?

Pourquoi écrit-on la valeur absolue dans la primitive de un sur x ?

Toutes les fonctions ont-elles une primitive calculable ?

Exercices corrigés : Primitives et intégrale indéfinie

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Les formes composées : le $u'$ doit être là

4. Perdre le $dx$ au moment de substituer