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Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : l'intégrale indéfinie et les primitives

Cette fiche ne recopie pas la table des primitives : vous l'avez, et la recopier ne fait perdre aucun point. Elle traite ce qui décide de la note au premier examen de 201-NYB, où presque toutes les erreurs sont des règles inventées par symétrie avec la dérivation, et où la vérification par dérivation, gratuite, n'est presque jamais faite.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une primitive se VÉRIFIE en la dérivant : c'est le seul chapitre du cours où l'on contrôle soi-même chaque réponse en dix secondes. Tout ce qui coûte des points ici vient d'avoir inventé une règle qui n'existe pas, ou d'avoir oublié que la réponse est une FAMILLE de fonctions, pas une fonction.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (14 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
  2. 2Calculs exponentiels et logarithmiquesSecondaire 5 SN5
  3. 3Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 SN5
  4. 4Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
  5. 5Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
  6. 6La fonction racine carréeSecondaire 5 SN5
  7. 7Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5
  8. 8Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5
  9. 9Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5
  10. 10Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
  11. 11Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
  12. 12Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
  13. 13La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
  14. 14Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)

L'essentiel

Une primitive, une famille, une constante

  • • FF est une primitive de ff si F′=fF'=f. Si FF en est une, F+CF+C aussi, pour tout réel CC.
  • • ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx=F(x)+C : le résultat est une FAMILLE de fonctions, jamais une seule.
  • • Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante SUR UN INTERVALLE, et c'est une conséquence du théorème des accroissements finis.
  • • Géométriquement : toutes les courbes de la famille se déduisent par translation VERTICALE, et ont donc la même pente en chaque abscisse.
-3-2-1123-4-3-2-112345678C = 3C = 0C = -3
Trois primitives de f(x)=xf(x)=x pour C=−3C=-3, 00 et 33 : les courbes sont translatées verticalement et leurs tangentes en une même abscisse sont PARALLÈLES, puisqu'elles ont la même dérivée.

Le +C+C n'est pas une décoration : il vaut un demi-point par intégrale indéfinie, et une question de conditions initiales est impossible sans lui.

Les deux seules règles, et celles qui n'existent pas

  • • Linéarité : ∫(af+bg)=a∫f+b∫g\int\left(af+bg\right)=a\int f+b\int g. C'est tout ce qui se distribue.
  • • ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C pour n≠−1n\neq-1, et ∫dxx=ln⁡∣x∣+C\int\frac{dx}{x}=\ln\left|x\right|+C pour le cas n=−1n=-1.
  • • IL N'EXISTE PAS de règle du produit : ∫fg≠(∫f)(∫g)\int fg\neq\left(\int f\right)\left(\int g\right).
  • • IL N'EXISTE PAS de règle du quotient : ∫fg≠∫f∫g\int\frac{f}{g}\neq\frac{\int f}{\int g}.
  • • IL N'EXISTE PAS de règle de chaîne inverse automatique : ∫f(g(x)) dx\int f(g(x))\,dx demande une substitution, qui n'aboutit que si g′g' est présent.

Contre-exemple à retenir : ∫x⋅x dx=x33\int x\cdot x\,dx=\frac{x^{3}}{3}, alors que (∫x dx)2=x44\left(\int x\,dx\right)^{2}=\frac{x^{4}}{4}.

Les formes composées, celles qui se lisent d'un coup d'œil

  • • ∫u′un dx=un+1n+1+C\int u'u^{n}\,dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C, ∫u′u dx=ln⁡∣u∣+C\int\frac{u'}{u}\,dx=\ln\left|u\right|+C, ∫u′eu dx=eu+C\int u'e^{u}\,dx=e^{u}+C.
  • • ∫u′cos⁡u dx=sin⁡u+C\int u'\cos u\,dx=\sin u+C, ∫u′sin⁡u dx=−cos⁡u+C\int u'\sin u\,dx=-\cos u+C, ∫u′1+u2 dx=arctan⁡u+C\int\frac{u'}{1+u^{2}}\,dx=\arctan u+C.
  • • Toutes disent la même chose : la dérivée intérieure DOIT être présente en facteur, à une constante multiplicative près.
  • • Une constante manquante se rattrape en multipliant et divisant; une variable manquante ne se rattrape JAMAIS.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les primitives usuelles

La table se lit de gauche à droite, et se VÉRIFIE de droite à gauche : dériver la colonne de droite doit redonner celle de gauche. C'est le seul chapitre du cours où la réponse se contrôle en dix secondes.

f(x)f(x)Où c'est valable∫f(x) dx\int f(x)\,dx
xnx^{n}, n≠−1n\neq-1 nn réel quelconque xn+1n+1+C\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Exemple : ∫x3 dx=x44+C\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+C, donc ∫02x3 dx=164=4\int_{0}^{2}x^{3}\,dx=\frac{16}{4}=4.

1x\frac{1}{x} x≠0x\neq 0 ln⁡∣x∣+C\ln\left|x\right|+C

Exemple : C'est le cas n=−1n=-1, celui que la ligne précédente ne couvre pas. ∫1edxx=ln⁡e−ln⁡1=1\int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{dx}{x}=\ln \mathrm{e}-\ln 1=1.

ex\mathrm{e}^{x} partout ex+C\mathrm{e}^{x}+C

Exemple : ∫01ex dx=e−1≈1,718\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\,dx=\mathrm{e}-1\approx 1{,}718.

axa^{x}, a>0a>0 partout axln⁡a+C\frac{a^{x}}{\ln a}+C

Exemple : ∫012x dx=2−1ln⁡2=1ln⁡2≈1,443\int_{0}^{1}2^{x}\,dx=\frac{2-1}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\approx 1{,}443. Le ln⁡a\ln a est au DÉNOMINATEUR ici, au numérateur dans la dérivée.

cos⁡x\cos x en radians sin⁡x+C\sin x+C

Exemple : ∫0π/2cos⁡x dx=sin⁡π2−sin⁡0=1\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1, l'aire sous une arche de cosinus jusqu'à son premier zéro.

sin⁡x\sin x en radians −cos⁡x+C-\cos x+C

Exemple : Le signe moins passe de la dérivée à la primitive : ∫0πsin⁡x dx=−cos⁡π+cos⁡0=2\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=-\cos\pi+\cos 0=2.

sec⁡2x\sec^{2}x x≠π2+kπx\neq\frac{\pi}{2}+k\pi tan⁡x+C\tan x+C

Exemple : ∫0π/4sec⁡2x dx=tan⁡π4=1\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}x\,dx=\tan\frac{\pi}{4}=1.

11+x2\frac{1}{1+x^{2}} partout arctan⁡x+C\arctan x+C

Exemple : ∫01dx1+x2=arctan⁡1=π4≈0,785\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan 1=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785. Aucune substitution ne donne cette ligne, elle se reconnaît.

11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} ∣x∣<1\left|x\right|<1 arcsin⁡x+C\arcsin x+C

Exemple : ∫01/2dx1−x2=arcsin⁡12=π6≈0,524\int_{0}^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}524.

Le +C+C n'est pas une décoration : sans lui, la réponse est UNE fonction là où l'énoncé en demande une famille, et le demi-point tombe à chaque question.

Les formes composées : le u′u' doit être là

Les six lignes disent la même chose, et c'est la seule chose à savoir sur la substitution : la dérivée intérieure doit être présente EN FACTEUR, à une constante multiplicative près.

IntégrandeCe qu'on posePrimitive
u′unu'u^{n}, n≠−1n\neq-1 uu et son u′u' un+1n+1+C\frac{u^{n+1}}{n+1}+C

Exemple : ∫2x(x2+1)3dx=(x2+1)44+C\int 2x\left(x^{2}+1\right)^{3}dx=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{4}}{4}+C, et de 00 à 11 cela vaut 16−14=3,75\frac{16-1}{4}=3{,}75.

u′u\frac{u'}{u} uu au dénominateur ln⁡∣u∣+C\ln\left|u\right|+C

Exemple : ∫012xx2+1dx=ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2≈0,693\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^{2}+1}dx=\ln 2-\ln 1=\ln 2\approx 0{,}693.

u′euu'\mathrm{e}^{u} uu en exposant eu+C\mathrm{e}^{u}+C

Exemple : ∫012x ex2dx=e1−e0=e−1≈1,718\int_{0}^{1}2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}dx=\mathrm{e}^{1}-\mathrm{e}^{0}=\mathrm{e}-1\approx 1{,}718.

u′cos⁡uu'\cos u uu dans le cosinus sin⁡u+C\sin u+C

Exemple : ∫0π/42cos⁡(2x) dx=sin⁡π2−sin⁡0=1\int_{0}^{\pi/4}2\cos(2x)\,dx=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1 : ici u=2xu=2x et u′=2u'=2, présent tel quel.

u′1+u2\frac{u'}{1+u^{2}} uu au carré arctan⁡u+C\arctan u+C

Exemple : ∫01/22 dx1+4x2=arctan⁡1=π4≈0,785\int_{0}^{1/2}\frac{2\,dx}{1+4x^{2}}=\arctan 1=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785, avec u=2xu=2x.

Il manque une CONSTANTE on multiplie et on divise la même primitive, divisée par cette constante

Exemple : ∫01x ex2dx=12∫012x ex2dx=e−12≈0,859\int_{0}^{1}x\,\mathrm{e}^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}dx=\frac{\mathrm{e}-1}{2}\approx 0{,}859.

Une constante manquante se rattrape, une VARIABLE manquante jamais : ∫ex2dx\int \mathrm{e}^{x^{2}}dx ne se ramène à aucune de ces lignes, et cette intégrale n'a d'ailleurs aucune primitive élémentaire.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier la constante d'intégration

un demi-point par intégrale, et toute la question de conditions initiales

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫3x2 dx=x3\int 3x^{2}\,dx=x^{3}

Ce qu'il faut écrire

∫3x2 dx=x3+C\int 3x^{2}\,dx=x^{3}+C

Pourquoi : L'intégrale indéfinie désigne l'ensemble des primitives, pas l'une d'elles. Une question du type « trouver FF telle que F(1)=5F(1)=5 » devient impossible sans le CC, et ces questions représentent souvent le tiers du premier examen.

2. Intégrer un produit terme à terme

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫xcos⁡x dx=x22sin⁡x\int x\cos x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\sin x

Ce qu'il faut écrire

∫xcos⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C, obtenue par intégration par parties

Pourquoi : Vérification immédiate : la dérivée de x22sin⁡x\frac{x^{2}}{2}\sin x vaut xsin⁡x+x22cos⁡xx\sin x+\frac{x^{2}}{2}\cos x, qui n'est pas l'intégrande. La dérivée de xsin⁡x+cos⁡xx\sin x+\cos x vaut sin⁡x+xcos⁡x−sin⁡x=xcos⁡x\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x ✓. Trente secondes de dérivation éliminent la fausse réponse.

3. Écrire la primitive de un sur x sans valeur absolue

1 point, et toute une question d'intégrale impropre

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫dxx=ln⁡x+C\int\frac{dx}{x}=\ln x+C

Ce qu'il faut écrire

∫dxx=ln⁡∣x∣+C\int\frac{dx}{x}=\ln\left|x\right|+C, avec une constante DIFFÉRENTE sur chacun des deux intervalles

-5-4-3-2-112345-4-3-2-1123constante C1constante C2
ln⁡∣x∣\ln\left|x\right| vit sur DEUX intervalles séparés par une asymptote : rien ne relie les deux branches, donc la constante d'intégration peut y être différente.

Pourquoi : ln⁡x\ln x n'existe que pour x>0x>0, alors que 1x\frac{1}{x} est définie aussi pour x<0x<0. Plus subtil : le domaine étant coupé en deux, la constante peut différer d'un morceau à l'autre, et une condition initiale donnée à gauche ne contraint en rien la branche de droite.

4. Perdre le dxdx au moment de substituer

toute la question, l'intégrale obtenue mélangeant deux variables

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je pose u=x2+1u=x^{2}+1, donc ∫xx2+1 dx=∫xu du\int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\int x\sqrt{u}\,du. »

Ce qu'il faut écrire

« u=x2+1u=x^{2}+1 donne du=2x dxdu=2x\,dx, donc x dx=du2x\,dx=\frac{du}{2} et l'intégrale devient 12∫u du\frac{1}{2}\int\sqrt{u}\,du. »

Pourquoi : Une intégrale ne peut contenir qu'UNE variable. Laisser un xx à côté d'un dudu produit une expression qui ne veut rien dire, et le correcteur s'arrête là. Le geste sûr : écrire dudu en entier, isoler ce qui remplace le reste de l'intégrande, et vérifier qu'aucun xx ne survit.

5. Forcer une substitution quand la dérivée intérieure est absente

dix minutes d'examen, et souvent toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je pose u=x2+1u=x^{2}+1 dans ∫x2+1 dx\int\sqrt{x^{2}+1}\,dx, donc dx=du2xdx=\frac{du}{2x} et j'ai fini. »

Ce qu'il faut écrire

« Il n'y a pas de xx en facteur : la substitution n'aboutit pas. Cette intégrale demande une substitution TRIGONOMÉTRIQUE, x=tan⁡θx=\tan\theta. »

Pourquoi : Diviser par 2x2x réintroduit un xx que rien n'éliminera : on tourne en rond. La différence entre ∫xx2+1 dx\int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx, immédiate, et ∫x2+1 dx\int\sqrt{x^{2}+1}\,dx, difficile, tient à un seul facteur xx. Le repérer avant de commencer économise le temps de l'examen.

6. Ne pas revenir à la variable de départ

1 point systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫xx2+1 dx=u3/23+C\int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac{u^{3/2}}{3}+C

Ce qu'il faut écrire

∫xx2+1 dx=(x2+1)3/23+C\int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}{3}+C

Pourquoi : La variable uu est un outil intermédiaire, elle n'existe pas dans la question. Une réponse en uu est incomplète, comme une équation résolue en une inconnue auxiliaire jamais retraduite. Le réflexe : la dernière ligne d'une substitution est toujours le retour en xx.

7. Croire que toute fonction élémentaire a une primitive élémentaire

tout le temps passé à chercher

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫e−x2 dx\int e^{-x^{2}}\,dx doit bien s'écrire avec des fonctions usuelles, je cherche encore. »

Ce qu'il faut écrire

« e−x2e^{-x^{2}} est continue donc elle ADMET des primitives, mais aucune ne s'exprime avec les fonctions usuelles. »

Pourquoi : Existence et calculabilité sont deux choses différentes : toute fonction continue admet des primitives par le théorème fondamental, mais e−x2e^{-x^{2}}, sin⁡xx\frac{\sin x}{x} et 1ln⁡x\frac{1}{\ln x} n'en ont aucune d'élémentaire. En savoir la liste courte évite de s'acharner à l'examen.

8. Simplifier une primitive sans regarder le domaine

1 point de rigueur, davantage sur une intégrale définie traversant le point

Ce qu'il ne faut pas écrire

∫x2−4x−2 dx=∫(x+2) dx=x22+2x+C\int\frac{x^{2}-4}{x-2}\,dx=\int(x+2)\,dx=\frac{x^{2}}{2}+2x+C sur R\mathbb{R}

Ce qu'il faut écrire

La simplification n'est valable que pour x≠2x\neq 2 : la primitive est définie sur ]−∞,2[\left]-\infty,2\right[ et sur ]2,+∞[\left]2,+\infty\right[, avec deux constantes possibles.

Pourquoi : L'intégrande n'est pas défini en 22, donc la primitive non plus. Ignorer ce détail conduit ensuite à calculer ∫13\int_{1}^{3} comme si de rien n'était, alors que l'intégrale est impropre et le résultat sans valeur.

Quelle méthode choisir

Une substitution va-t-elle marcher

On repère un bloc intérieur uu, on calcule u′u', puis on cherche u′u' dans l'intégrande. C'est ce test, et lui seul, qui décide.

  • Si u′u' est présent en facteur, exactement → substitution immédiate

    Exemple : ∫2x ex2 dx\int 2x\,e^{x^{2}}\,dx avec u=x2u=x^{2} donne ex2+Ce^{x^{2}}+C

  • Si u′u' est présent à une CONSTANTE près → substitution après ajustement : on multiplie et on divise par cette constante

    Exemple : ∫x ex2 dx=12∫2x ex2 dx=ex22+C\int x\,e^{x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int 2x\,e^{x^{2}}\,dx=\frac{e^{x^{2}}}{2}+C

  • Si l'intégrande est de la forme u′u\frac{u'}{u} → primitive ln⁡∣u∣\ln\left|u\right|, à reconnaître sans calcul

    Exemple : ∫2x+3x2+3x+7 dx=ln⁡∣x2+3x+7∣+C\int\frac{2x+3}{x^{2}+3x+7}\,dx=\ln\left|x^{2}+3x+7\right|+C

  • Si u′u' est absent et l'écart est une VARIABLE → la substitution simple échoue : passer aux parties, aux fractions partielles ou à une substitution trigonométrique

    Exemple : ∫x2+1 dx\int\sqrt{x^{2}+1}\,dx demande x=tan⁡θx=\tan\theta

  • Si l'intégrande est un quotient de polynômes avec un numérateur de degré supérieur ou égal → faire d'abord la DIVISION, puis intégrer le quotient et le reste séparément

    Exemple : x2x+1=x−1+1x+1\frac{x^{2}}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}

Quand deux substitutions semblent possibles, choisir celle dont la dérivée apparaît le plus visiblement : c'est presque toujours le contenu d'une racine, d'une exponentielle ou d'un dénominateur.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une substitution, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute intégrale où un bloc intérieur et sa dérivée sont présents.

  1. 1 Annoncer le changement de variable : « Posons u=x2+1u=x^{2}+1. »
  2. 2 Écrire la différentielle complète : « Alors du=2x dxdu=2x\,dx, donc x dx=du2x\,dx=\frac{du}{2}. »
  3. 3 Réécrire l'intégrale ENTIÈREMENT en uu, et vérifier qu'aucun xx ne subsiste.
  4. 4 Intégrer en uu, sans oublier la constante.
  5. 5 REVENIR à la variable de départ, et conclure.

Phrase de conclusion

∫xx2+1 dx=12∫u du=u3/23+C=(x2+1)3/23+C\int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\int\sqrt{u}\,du=\frac{u^{3/2}}{3}+C=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}{3}+C.

Le piège : Écrire du=2xdu=2x au lieu de du=2x dxdu=2x\,dx. La différentielle porte le dxdx; sans lui, le remplacement dans l'intégrale est impossible à justifier et le correcteur enlève le point de rigueur.

Barème : Généralement un demi-point pour le changement annoncé, un demi-point pour la différentielle, un point pour l'intégrale en uu, un demi-point pour le retour en xx.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Une substitution qui résiste, comme au premier examen

Calculer ∫xx+4 dx\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x+4}}\,dx.

-3-2-1123-4-3-2-11234f = |x|F = x|x|/2
Un rappel utile pour ce chapitre : F(x)=x∣x∣2F(x)=\frac{x\left|x\right|}{2} est bien une primitive de ∣x∣\left|x\right|, dérivable partout y compris en 00, alors que ∣x∣\left|x\right| ne l'est pas.

Étape 1

Test de substitution : avec u=x+4u=x+4, on a u′=1u'=1, présent en facteur puisque dxdx l'est. La substitution est donc légitime, même si le xx du numérateur n'est pas u′u'.

Pourquoi

Le test porte sur la dérivée du bloc INTÉRIEUR, pas sur la ressemblance globale. Ici u′=1u'=1 est toujours présent, ce qui rend la substitution possible à condition de traduire aussi le xx isolé.

Étape 2

u=x+4u=x+4 donne du=dxdu=dx et surtout x=u−4x=u-4. L'intégrale devient ∫u−4u du\int\frac{u-4}{\sqrt{u}}\,du.

Pourquoi

C'est le geste qui débloque : on exprime le xx RESTANT en fonction de uu. Une copie qui ne pense pas à retourner la substitution laisse un xx à côté d'un dudu et s'arrête là.

Étape 3

On sépare : u−4u=uu1/2−4u1/2=u1/2−4u−1/2\frac{u-4}{\sqrt{u}}=\frac{u}{u^{1/2}}-\frac{4}{u^{1/2}}=u^{1/2}-4u^{-1/2}.

Pourquoi

Écrire en puissances rend l'intégrale immédiate. Tant que la fraction reste écrite avec une racine au dénominateur, aucune formule de la table ne s'applique.

Étape 4

∫(u1/2−4u−1/2)du=23u3/2−8u1/2+C\int\left(u^{1/2}-4u^{-1/2}\right)du=\frac{2}{3}u^{3/2}-8u^{1/2}+C.

Pourquoi

Deux applications de ∫un du=un+1n+1\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}, avec n=12n=\frac{1}{2} puis n=−12n=-\frac{1}{2}. Le second exposant donne 12\frac{1}{2} au dénominateur, d'où le facteur 22 qui devient 88.

Étape 5

Retour en xx : 23(x+4)3/2−8(x+4)1/2+C\frac{2}{3}(x+4)^{3/2}-8(x+4)^{1/2}+C, que l'on peut factoriser en 23x+4(x−8)+C\frac{2}{3}\sqrt{x+4}\left(x-8\right)+C.

Pourquoi

La forme factorisée n'est pas exigée mais elle facilite la vérification, et c'est elle que le corrigé affichera. Le retour en xx, lui, est obligatoire.

Étape 6

Vérification par dérivation en x=0x=0 : la primitive vaut 23(2)(−8)=−323\frac{2}{3}(2)(-8)=-\frac{32}{3}, et son taux d'accroissement numérique donne 00, ce qui est bien 04\frac{0}{\sqrt{4}} ✓. En x=5x=5 : le taux donne 1,6671{,}667, et 53=1,667\frac{5}{3}=1{,}667 ✓.

Pourquoi

Deux points de contrôle valent mieux qu'un : le premier teste la valeur 00 de l'intégrande, le second une valeur quelconque. Ensemble, ils attrapent aussi bien une erreur de signe qu'un facteur oublié.

Conclusion rédigée

∫xx+4 dx=23(x+4)3/2−8x+4+C=23x+4 (x−8)+C\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x+4}}\,dx=\frac{2}{3}(x+4)^{3/2}-8\sqrt{x+4}+C=\frac{2}{3}\sqrt{x+4}\,(x-8)+C.

L'erreur classique sur cet exercice : Abandonner après du=dxdu=dx en constatant qu'il reste un xx au numérateur. La substitution n'exige pas que l'intégrande soit entièrement de la forme u′g(u)u'g(u) : il suffit de pouvoir tout réécrire en uu, ce que x=u−4x=u-4 permet ici.

À savoir par cœur

  • • ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx=F(x)+C : le résultat est une FAMILLE. Le +C+C vaut un demi-point à chaque fois.
  • • Seule la LINÉARITÉ se distribue. Aucune règle du produit, aucune règle du quotient.
  • • ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C sauf pour n=−1n=-1, où c'est ln⁡∣x∣+C\ln\left|x\right|+C.
  • • Les formes composées exigent u′u' EN FACTEUR : ∫u′un\int u'u^{n}, ∫u′u\int\frac{u'}{u}, ∫u′eu\int u'e^{u}.
  • • Une constante manquante se rattrape, une variable manquante jamais.
  • • Substitution : écrire dudu avec son dxdx, tout réécrire en uu, puis REVENIR en xx.
  • • Toute fonction continue a des primitives; e−x2e^{-x^{2}} et sin⁡xx\frac{\sin x}{x} n'en ont aucune élémentaire.
  • • Vérification gratuite : dériver la réponse doit redonner l'intégrande.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il ajouter une constante à une primitive ?

Parce que dériver efface les constantes : toutes les fonctions qui diffèrent d'une constante ont la même dérivée. L'intégrale indéfinie désigne donc l'ensemble de ces fonctions, pas l'une d'elles. Sans la constante, on ne peut pas répondre aux questions qui imposent une valeur en un point.

Existe-t-il une règle du produit pour les intégrales ?

Non, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales. La technique qui s'en rapproche est l'intégration par parties, qui vient de la dérivée d'un produit lue à l'envers, mais elle ne se distribue pas et ne s'applique pas mécaniquement.

Comment savoir si une substitution va fonctionner ?

On choisit un bloc intérieur, on calcule sa dérivée, puis on cherche cette dérivée dans l'intégrande. Si elle y figure en facteur, même à une constante près, la substitution aboutit. Si l'écart est une variable et non une constante, il faut changer de technique.

Pourquoi écrit-on la valeur absolue dans la primitive de un sur x ?

Parce que la fonction inverse est définie pour les valeurs négatives aussi, alors que le logarithme népérien ne l'est pas. La valeur absolue étend la primitive aux deux intervalles. Il faut aussi retenir que la constante peut différer d'un intervalle à l'autre, les deux branches étant séparées par une asymptote.

Toutes les fonctions ont-elles une primitive calculable ?

Toute fonction continue admet des primitives, mais certaines ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles. C'est le cas de l'exponentielle de moins x au carré, du sinus divisé par x, et de un sur le logarithme de x. Les reconnaître évite de perdre dix minutes d'examen à chercher une écriture qui n'existe pas.

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Exercices corrigés : Primitives et intégrale indéfinie

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
  • 150 points
  • 225 minutes
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La décomposition des fractions rationnelles

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