Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : la décomposition des fractions rationnelles

Q: Quand faut-il faire une division avant de décomposer une fraction rationnelle ?

Dès que le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur. La décomposition en éléments simples n'existe que pour une fraction dont le numérateur est de degré strictement plus petit. On effectue donc la division euclidienne, on garde le quotient tel quel dans la réponse finale, et on décompose seulement le reste sur le dénominateur de départ.

Q: Comment savoir combien de termes mettre pour un facteur au carré ?

Un facteur linéaire élevé à la puissance m ouvre exactement m termes, un par puissance de 1 à m. Un facteur au carré donne donc deux termes, un sur le facteur seul et un sur le facteur au carré. Le contrôle est immédiat : le nombre total d'inconnues doit être égal au degré du dénominateur factorisé.

Q: Quand met-on un numérateur de la forme Bx plus C ?

Uniquement sur un facteur du second degré irréductible, c'est-à-dire dont le discriminant est strictement négatif. Si le discriminant est positif ou nul, le trinôme se factorise en facteurs du premier degré et chaque facteur reçoit alors un numérateur constant. Le discriminant se calcule donc avant de poser la moindre case.

Q: Comment marche l'astuce du cache et quand est-elle interdite ?

Pour un pôle simple a, on cache le facteur x moins a au dénominateur et on évalue tout le reste en a : le résultat est directement le coefficient de ce terme. Elle fonctionne aussi sur la puissance la plus haute d'un facteur répété. Elle est interdite sur une puissance intermédiaire et sur un facteur irréductible, où il reste un facteur nul au dénominateur.

Q: Comment vérifier une décomposition en éléments simples ?

En choisissant une valeur entière simple qui n'annule pas le dénominateur, puis en calculant la fraction de départ et la décomposition en cette valeur. Comme la décomposition est unique, une seule valeur bien choisie suffit à détecter presque toutes les erreurs de signe ou de coefficient, sans refaire le moindre calcul.

Q: Pourquoi une fraction avec un facteur en x carré plus 1 donne-t-elle un arctangente ?

Parce que le numérateur de degré 1 se coupe en deux parties. La partie en x est de la forme dérivée sur fonction et donne un logarithme. La partie constante, elle, est la dérivée de l'arctangente à un coefficient près. Une seule case produit donc deux primitives de natures différentes, et oublier la seconde est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

La décomposition en éléments simples n'est pas une technique de calcul, c'est une technique de LECTURE : on regarde le dénominateur factorisé et on écrit la forme, cases vides comprises, avant d'avoir touché à un seul coefficient. C'est la raison pour laquelle les copies perdues le sont dès la première ligne, et pourquoi les relire ne sert à rien.

Le chapitre existe pour une seule raison en 201-NYB : primitiver une fraction rationnelle. Chaque case de la décomposition correspond à une primitive connue, $\frac{A}{x-a}$ à un logarithme, $\frac{A}{(x-a)^m}$ à une puissance, $\frac{Bx+C}{x^2+1}$ à un logarithme PLUS un arctangente. C'est cette dernière ligne qui coûte le plus de points en examen.

Le fil du chapitre

Tout le chapitre se joue AVANT le premier coefficient : la forme se lit sur le dénominateur factorisé, et une forme fausse rend faux tout ce qui suit, si soigneusement calculé soit-il.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Primitives et intégrale indéfinie Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
3Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5
4Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5
5Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
6Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
7La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
8Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)
9Primitives et intégrale indéfinie

Notions couvertes

Fraction rationnelle
Division euclidienne de polynômes
Décomposition en éléments simples
Pôle simple
Facteur linéaire répété
Facteur quadratique irréductible
Discriminant
Méthode du cache
Identification des coefficients
Unicité de la décomposition
Primitive d'une fraction rationnelle

L'essentiel

L'ordre imposé : quatre gestes avant le premier coefficient

• DIVISER D'ABORD. Si $\deg(A)\geq\deg(B)$ , aucune décomposition n'existe sous la forme attendue. On divise, on obtient $\dfrac{A}{B}=Q+\dfrac{R}{B}$ avec $\deg(R)<\deg(B)$ , et c'est $\dfrac{R}{B}$ que l'on décompose.
• FACTORISER LE DÉNOMINATEUR À FOND. Un facteur laissé en $x^2-1$ ou en $x^4-1$ n'est pas factorisé : il reste $(x-1)(x+1)$ et $(x-1)(x+1)(x^2+1)$ .
• OUVRIR LES CASES. Chaque facteur du dénominateur ouvre un nombre de cases fixé par sa nature et par sa puissance, et ces cases s'écrivent AVANT tout calcul.
• COMPTER. Le nombre total d'inconnues doit égaler le degré du dénominateur. C'est la vérification la plus rapide qu'une forme est correcte, et elle prend deux secondes.

Les trois premiers gestes ne produisent aucun nombre : ils produisent la FORME. Le calcul des coefficients ne vient qu'après, et il ne rattrape jamais une forme fausse.

La décomposition existe et elle est UNIQUE. Deux formes différentes du même résultat sont donc la même à une réécriture près, et une valeur numérique bien choisie suffit à trancher.

Un facteur du dénominateur, un pôle, un terme

• Chaque facteur $(x-a)$ du dénominateur donne un pôle en $a$ , une branche verticale sur le graphe, et un terme de la décomposition. Les termes ne se mélangent pas : ils s'additionnent.
• $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1/2}{x-1}-\dfrac{1/2}{x+1}$ , et non $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$ : les coefficients ne valent pas $1$ par défaut.
• Un facteur quadratique irréductible ne donne aucun pôle réel, mais il donne quand même son terme, avec un numérateur de degré $1$ : $\dfrac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$ .

Deux facteurs au dénominateur, deux branches verticales :

x-1

donne le pôle en

1

et le terme

\dfrac{1/2}{x-1}

x+1

donne le pôle en

-1

et le terme

-\dfrac{1/2}{x+1}

À quoi chaque case sert, une fois la décomposition écrite

• $\displaystyle\int\dfrac{A}{x-a}\,dx=A\ln|x-a|+K$ . La valeur absolue n'est pas facultative.
• $\displaystyle\int\dfrac{A}{(x-a)^m}\,dx=\dfrac{A}{(1-m)(x-a)^{m-1}}+K$ pour $m\geq 2$ : ce n'est PAS un logarithme.
• $\displaystyle\int\dfrac{Bx+C}{x^2+1}\,dx=\dfrac{B}{2}\ln(x^2+1)+C\arctan(x)+K$ : deux primitives de natures différentes dans un seul terme.

C'est la seule raison d'être du chapitre en calcul intégral : une fraction rationnelle décomposée est une somme de primitives connues, et rien d'autre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Décomposer sans diviser alors que le numérateur est de degré au moins égal

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{x^4+3x^2+2x+4}{x^3-x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x-1}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\deg(A)=4\geq\deg(B)=3$ , donc je divise d'abord : $\dfrac{x^4+3x^2+2x+4}{x^3-x^2}=x+1+\dfrac{4x^2+2x+4}{x^3-x^2}$ , et c'est le reste que je décompose. »

La division s'arrête quand le degré du reste passe sous celui du diviseur : il reste

4x^2+2x+4

, de degré

2

, et le quotient

x+1

se recopie tel quel dans la réponse finale.

Pourquoi : Le système obtenu est incompatible, donc l'élève tourne en rond dix minutes puis invente un coefficient. Comparer les deux degrés prend une seconde et se fait AVANT tout.

2. Poser un numérateur $Bx+C$ sans avoir regardé le discriminant

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{5}{x^2+x-6}=\dfrac{Bx+C}{x^2+x-6}$ , c'est un trinôme donc numérateur de degré $1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\Delta=1+24=25>0$ , donc $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ et la forme est $\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+3}$ , à numérateurs constants. »

Le même trinôme à un signe près : à gauche

\Delta>0

ouvre deux cases à numérateur constant, à droite

\Delta<0

n'en ouvre qu'une, à numérateur de degré

1

Pourquoi : Un trinôme ne garde son numérateur de degré $1$ que s'il est IRRÉDUCTIBLE. Le discriminant est la seule chose qui le dit, et il se calcule de tête.

3. N'ouvrir qu'une case pour un facteur répété

3 points, et un système sans solution

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{3x+1}{x^2(x-1)}=\dfrac{A}{x^2}+\dfrac{B}{x-1}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^2$ est un facteur répété d'exposant $2$ , il ouvre DEUX cases : $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x-1}$ , soit trois inconnues pour un dénominateur de degré $3$ . »

Pourquoi : Le compte des inconnues doit égaler le degré du dénominateur. Avec deux inconnues pour un degré $3$ , la forme est mathématiquement impossible, quel que soit le soin du calcul.

4. Appliquer l'astuce du cache à une puissance intermédiaire

2 points, et une division par zéro écrite sur la copie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $\dfrac{A}{x}$ dans $\dfrac{3x+1}{x^2(x-1)}$ , je cache $x$ et j'évalue en $0$ : $A=\dfrac{3\cdot 0+1}{0\cdot(0-1)}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le cache atteint $\dfrac{B}{x^2}$ , la puissance la PLUS HAUTE, en cachant $x^2$ et en évaluant en $0$ : $B=\dfrac{1}{-1}=-1$ . Pour $A$ , j'identifie les coefficients ou je donne à $x$ une valeur simple. »

Pourquoi : Le cache repose sur une limite finie en $a$ : elle n'existe que pour un pôle simple ou pour la puissance maximale d'un facteur répété. Partout ailleurs il reste un $x-a$ au dénominateur.

5. Croire que les coefficients valent $1$ quand le numérateur vaut $1$

1 point, puis une primitive fausse d'un facteur $2$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1/2}{x-1}-\dfrac{1/2}{x+1}$ : le cache en $1$ donne $\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12$ , et le cache en $-1$ donne $\dfrac{1}{-1-1}=-\dfrac12$ . »

Pourquoi : L'erreur survit à toutes les relectures parce que la forme est juste et que seuls les nombres sont faux. Une évaluation en $x=3$ la débusque en cinq secondes.

6. Mettre un numérateur constant sur un facteur quadratique irréductible

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{2x+5}{(x-1)(x^2+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x^2+4}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^2+4$ est irréductible et de degré $2$ , il porte donc un numérateur de degré $1$ : $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+4}$ , soit trois inconnues pour un dénominateur de degré $3$ . »

Pourquoi : Le numérateur d'une case est toujours de degré strictement inférieur à celui de son facteur. Un facteur de degré $2$ appelle donc $Bx+C$ , et un facteur de degré $1$ une constante.

7. S'arrêter à une factorisation à moitié faite

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{1}{x^4-1}=\dfrac{A}{x^2-1}+\dfrac{B}{x^2+1}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ , donc la forme est $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1}$ : quatre inconnues pour un degré $4$ . »

Pourquoi : Le compte trahit immédiatement l'oubli : la première forme n'a que deux inconnues pour un dénominateur de degré $4$ . Toute différence de carrés se factorise encore.

8. Intégrer $\dfrac{Bx+C}{x^2+1}$ comme un seul logarithme

2 points, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int\dfrac{3x+2}{x^2+1}\,dx=\dfrac32\ln(x^2+1)+K$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je sépare : $\displaystyle\int\dfrac{3x}{x^2+1}\,dx+\int\dfrac{2}{x^2+1}\,dx=\dfrac32\ln(x^2+1)+2\arctan(x)+K$ . »

Pourquoi : Seule la partie en $Bx$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ . La constante $C$ ne rentre dans aucun logarithme et produit toujours un arctangente, c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre en examen.

9. Rendre la copie sans avoir évalué la décomposition en un point

de 2 à 5 points, selon le nombre de cases

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'ai trouvé $A$ , $B$ et $C$ , le système était juste, je passe à l'exercice suivant. »

Ce qu'il faut écrire

« Je vérifie en $x=2$ : la fraction de départ vaut $9$ et ma décomposition $2+1-3-1+10=9$ . Je peux rendre. »

Pourquoi : L'unicité de la décomposition rend le test décisif : une seule valeur bien choisie, hors des pôles, attrape presque toutes les erreurs de signe et de coefficient.

Quelle méthode choisir

Ce que chaque facteur du dénominateur ouvre comme cases

On regarde UNIQUEMENT la forme du facteur, une fois le dénominateur entièrement factorisé.

Le dictionnaire du chapitre : à gauche ce qu'on voit au dénominateur, au centre ce qu'on écrit, à droite le nombre d'inconnues, dont la somme doit valoir le degré du dénominateur.

Si facteur linéaire simple $(x-a)$ → une case $\dfrac{A}{x-a}$ , une inconnue

Exemple : $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\to\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$
Si facteur linéaire répété $(x-a)^m$ → $m$ cases, de $\dfrac{A_1}{x-a}$ à $\dfrac{A_m}{(x-a)^m}$ , donc $m$ inconnues

Exemple : $x^2(x-1)\to\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x-1}$

la case de plus bas degré est celle qu'on oublie, jamais celle de plus haut degré
Si trinôme $ax^2+bx+c$ avec $\Delta<0$ → une case $\dfrac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$ , deux inconnues

Exemple : $\dfrac{1}{(x-1)(x^2+4)}\to\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+4}$
Si trinôme irréductible répété $(ax^2+bx+c)^m$ → $m$ cases à numérateur de degré $1$ , donc $2m$ inconnues

Exemple : $(x^2+1)^2\to\dfrac{Bx+C}{x^2+1}+\dfrac{Dx+E}{(x^2+1)^2}$
Si trinôme avec $\Delta\geq 0$ → ce n'est pas un cas à part : on le factorise et on retombe sur les facteurs linéaires

Exemple : $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$

Aucune branche ne s'applique tant que $\deg(A)\geq\deg(B)$ : dans ce cas on divise, et on applique l'arbre au reste. Contrôle final : la somme des inconnues vaut le degré du dénominateur.

Comment obtenir chaque coefficient, sans résoudre un système complet

On regarde la case dont on cherche le coefficient, pas la fraction entière.

Si case d'un pôle simple $\dfrac{A}{x-a}$ → cache : on masque $(x-a)$ au dénominateur et on évalue le reste en $a$

Exemple : dans $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ , $A=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac13$
Si case de la puissance la plus haute d'un facteur répété → cache aussi : on masque $(x-a)^m$ en entier et on évalue en $a$

Exemple : dans $\dfrac{3x+1}{x^2(x-1)}$ , $B=\dfrac{1}{-1}=-1$
Si case d'une puissance intermédiaire → le cache est interdit : on identifie un coefficient de même degré, ou on donne à $x$ une valeur simple

Exemple : le coefficient de $x^2$ donne $A$ en une ligne
Si case d'un facteur irréductible → identification : on développe et on égale les coefficients de même degré

les degrés extrêmes, le terme constant et le terme dominant, donnent les équations les plus courtes
Si il ne reste qu'une ou deux inconnues → valeurs particulières : $x=0$ , $x=1$ , $x=-1$ , hors des pôles

Exemple : $x=0$ isole le terme constant en une opération

Le cache est une accélération, jamais une méthode complète : sur une décomposition à quatre cases, il en donne typiquement deux, et les deux autres viennent de l'identification.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Décomposer une fraction rationnelle, du premier au dernier point

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « décomposer en éléments simples », ou demande une primitive dont le dénominateur se factorise.

1 Comparer les degrés et écrire la conclusion : « $\deg(A)<\deg(B)$ , la décomposition existe telle quelle », ou effectuer la division et repartir du reste.
2 Factoriser le dénominateur complètement et justifier l'irréductibilité de chaque trinôme conservé par son discriminant.
3 Poser la forme, toutes cases écrites, puis compter : « $3$ inconnues pour un dénominateur de degré $3$ ».
4 Réduire au même dénominateur et écrire l'égalité des numérateurs, valable pour tout $x$ sauf aux pôles.
5 Obtenir les coefficients accessibles par le cache, puis les autres par identification ou par valeurs particulières.
6 Vérifier en un point simple hors des pôles et l'écrire sur la copie.

Phrase de conclusion

« Pour tout $x\notin\{0\,;1\}$ , $\dfrac{x^4+3x^2+2x+4}{x^3-x^2}=x+1-\dfrac{6}{x}-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{10}{x-1}$ . »

Le piège : Oublier le quotient de la division dans la réponse finale. Il fait partie de l'égalité, il n'est pas un brouillon.

Barème : Typiquement $1$ point pour la forme complète, $1$ point par coefficient, $1$ point pour la conclusion avec son domaine.

Enchaîner sur la primitive une fois la décomposition écrite

Quand l'utiliser : L'énoncé demande $\displaystyle\int\dfrac{A(x)}{B(x)}\,dx$ et le dénominateur se factorise.

1 Décomposer d'abord, entièrement, et annoncer que l'intégrale se calcule terme à terme par linéarité.
2 Primitiver chaque case avec sa règle propre : logarithme en valeur absolue pour un pôle simple, puissance pour une puissance supérieure, logarithme PLUS arctangente pour un facteur irréductible.
3 Regrouper les logarithmes en un seul si l'énoncé le demande, jamais autrement.
4 Ajouter la constante et, sur une intégrale définie, vérifier qu'aucun pôle n'appartient à l'intervalle avant d'évaluer les bornes.

Phrase de conclusion

« $\displaystyle\int\dfrac{3x+2}{x^2+1}\,dx=\dfrac32\ln(x^2+1)+2\arctan(x)+K$ . »

Le piège : Évaluer une intégrale définie dont l'intervalle contient un pôle. L'intégrale est alors impropre et le calcul direct donne un nombre faux.

Barème : $1$ point par primitive de case, $1$ point pour la valeur absolue, $1$ point pour l'arctangente.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Compter les inconnues contre le degré du dénominateur

Avant tout calcul, additionner les inconnues posées et comparer au degré du dénominateur factorisé. Les deux nombres doivent être égaux.

$\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x-1}$ pose $3$ inconnues pour $x^2(x-1)$ de degré $3$ : la forme est possible. Deux inconnues auraient suffi à la déclarer fausse.
Évaluer en un point simple, hors des pôles

Choisir un $x$ entier qui n'annule pas le dénominateur, calculer la fraction de départ et la décomposition, et comparer. Une seule valeur suffit presque toujours.

En $x=2$ : la fraction vaut $\dfrac{36}{4}=9$ et la décomposition $2+1-3-1+10=9$ . Un écart de $2$ signale un coefficient, un écart de signe une erreur de cache.
Comparer les comportements à l'infini

Quand $x\to\infty$ , chaque case tend vers $0$ et il ne reste que le quotient de la division. La fraction de départ doit se comporter comme ce quotient.

$\dfrac{x^4+3x^2+2x+4}{x^3-x^2}$ se comporte comme $x$ , et la décomposition laisse $x+1$ : cohérent. Une décomposition sans quotient aurait tendu vers $0$ , ce qui est visiblement faux.
Dériver la primitive trouvée

Sur une question d'intégration, dériver mentalement le résultat et vérifier qu'on retombe sur l'intégrande. C'est plus rapide que de refaire le calcul.

Dériver $\dfrac32\ln(x^2+1)$ donne $\dfrac{3x}{x^2+1}$ , et non $\dfrac{3x+2}{x^2+1}$ : il manque l'arctangente, et l'erreur se voit sans rien recalculer.

L'exercice type décortiqué

Une fraction qui concentre les quatre pièges du chapitre

Décomposer $\dfrac{x^4+3x^2+2x+4}{x^3-x^2}$ en éléments simples, puis vérifier le résultat.

Cette fraction cumule les trois difficultés : un numérateur de degré supérieur, un dénominateur à factoriser, et un facteur répété.

Étape 1

$\deg(A)=4$ et $\deg(B)=3$ , donc $\deg(A)\geq\deg(B)$ : la décomposition n'existe pas sous la forme attendue. Division euclidienne : $x^4+3x^2+2x+4=(x+1)(x^3-x^2)+4x^2+2x+4$ , donc $\dfrac{x^4+3x^2+2x+4}{x^3-x^2}=x+1+\dfrac{4x^2+2x+4}{x^3-x^2}$ .

Pourquoi

La comparaison des degrés est le tout premier geste, avant même de regarder le dénominateur. Sans elle, le système posé plus bas serait incompatible et l'exercice serait perdu sans qu'aucun calcul soit faux.

Étape 2

$x^3-x^2=x^2(x-1)$ . Le facteur $x$ est répété d'exposant $2$ , le facteur $x-1$ est simple. La forme est donc $\dfrac{4x^2+2x+4}{x^2(x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x-1}$ , soit $3$ inconnues pour un dénominateur de degré $3$ .

Pourquoi

On écrit toutes les cases avant de chercher un seul coefficient, et on annonce le compte. C'est cette ligne que le correcteur cherche en premier, et c'est elle qui vaut le plus de points au rapport travail sur points.

Étape 3

En réduisant au même dénominateur : $4x^2+2x+4=Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2$ , égalité valable pour tout $x\neq 0$ et $x\neq 1$ , donc pour tout $x$ par continuité des polynômes.

Pourquoi

L'égalité des numérateurs est ce qui autorise à substituer $x=0$ et $x=1$ , pourtant exclus du domaine de départ. Le dire en une phrase évite la remarque du correcteur.

Étape 4

$x=0$ : $4=-B$ , donc $B=-4$ . $x=1$ : $4+2+4=C$ , donc $C=10$ . Coefficient de $x^2$ : $4=A+C$ , donc $A=4-10=-6$ .

Pourquoi

Les deux valeurs particulières font tomber deux coefficients sans aucun système, et l'identification du terme dominant donne le troisième en une ligne. Résoudre un système $3\times 3$ ici serait une perte de temps pure.

Étape 5

Vérification en $x=2$ : la fraction de départ vaut $\dfrac{16+12+4+4}{8-4}=\dfrac{36}{4}=9$ , et la décomposition vaut $2+1-\dfrac{6}{2}-\dfrac{4}{4}+\dfrac{10}{1}=3-3-1+10=9$ .

Pourquoi

Une seule évaluation couvre les quatre termes à la fois, quotient compris. C'est le contrôle le plus rentable du chapitre, et il tient sur une ligne de copie.

Étape 6

Primitive, par linéarité : $\displaystyle\int\dfrac{x^4+3x^2+2x+4}{x^3-x^2}\,dx=\dfrac{x^2}{2}+x-6\ln|x|+\dfrac{4}{x}+10\ln|x-1|+K$ .

Pourquoi

Chaque case donne sa primitive propre : $\dfrac{-4}{x^2}$ donne $\dfrac{4}{x}$ et surtout PAS un logarithme, et les deux logarithmes gardent leur valeur absolue. C'est là que la décomposition sert enfin à quelque chose.

Conclusion rédigée

« Pour tout $x\notin\{0\,;1\}$ , $\dfrac{x^4+3x^2+2x+4}{x^3-x^2}=x+1-\dfrac{6}{x}-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{10}{x-1}$ , résultat vérifié en $x=2$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique sur cet exercice est d'écrire la décomposition sans le quotient $x+1$ , soit parce que la division a été oubliée, soit parce qu'elle a été faite au brouillon et jamais recopiée. La vérification en $x=2$ la détecte immédiatement : sans le quotient, on obtient $6$ au lieu de $9$ .

À savoir par cœur

• Si $\deg(A)\geq\deg(B)$ , on DIVISE avant de décomposer, et le quotient fait partie de la réponse.
• Un trinôme ne garde son numérateur $Bx+C$ que si $\Delta<0$ . Sinon on le factorise.
• $(x-a)^m$ ouvre $m$ cases, de $\dfrac{A_1}{x-a}$ à $\dfrac{A_m}{(x-a)^m}$ .
• Le nombre total d'inconnues égale le DEGRÉ du dénominateur, toujours.
• Le cache atteint un pôle simple et la puissance la plus haute d'un facteur répété, jamais une puissance intermédiaire ni un facteur irréductible.
• $\displaystyle\int\dfrac{Bx+C}{x^2+1}\,dx=\dfrac{B}{2}\ln(x^2+1)+C\arctan(x)+K$ : un logarithme ET un arctangente.
• La décomposition est UNIQUE, donc une évaluation en un point hors des pôles suffit à la valider.

Questions fréquentes

Quand faut-il faire une division avant de décomposer une fraction rationnelle ?

Dès que le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur. La décomposition en éléments simples n'existe que pour une fraction dont le numérateur est de degré strictement plus petit. On effectue donc la division euclidienne, on garde le quotient tel quel dans la réponse finale, et on décompose seulement le reste sur le dénominateur de départ.

Comment savoir combien de termes mettre pour un facteur au carré ?

Un facteur linéaire élevé à la puissance m ouvre exactement m termes, un par puissance de 1 à m. Un facteur au carré donne donc deux termes, un sur le facteur seul et un sur le facteur au carré. Le contrôle est immédiat : le nombre total d'inconnues doit être égal au degré du dénominateur factorisé.

Quand met-on un numérateur de la forme Bx plus C ?

Uniquement sur un facteur du second degré irréductible, c'est-à-dire dont le discriminant est strictement négatif. Si le discriminant est positif ou nul, le trinôme se factorise en facteurs du premier degré et chaque facteur reçoit alors un numérateur constant. Le discriminant se calcule donc avant de poser la moindre case.

Comment marche l'astuce du cache et quand est-elle interdite ?

Pour un pôle simple a, on cache le facteur x moins a au dénominateur et on évalue tout le reste en a : le résultat est directement le coefficient de ce terme. Elle fonctionne aussi sur la puissance la plus haute d'un facteur répété. Elle est interdite sur une puissance intermédiaire et sur un facteur irréductible, où il reste un facteur nul au dénominateur.

Comment vérifier une décomposition en éléments simples ?

En choisissant une valeur entière simple qui n'annule pas le dénominateur, puis en calculant la fraction de départ et la décomposition en cette valeur. Comme la décomposition est unique, une seule valeur bien choisie suffit à détecter presque toutes les erreurs de signe ou de coefficient, sans refaire le moindre calcul.

Pourquoi une fraction avec un facteur en x carré plus 1 donne-t-elle un arctangente ?

Parce que le numérateur de degré 1 se coupe en deux parties. La partie en x est de la forme dérivée sur fonction et donne un logarithme. La partie constante, elle, est la dérivée de l'arctangente à un coefficient près. Une seule case produit donc deux primitives de natures différentes, et oublier la seconde est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

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Exercices corrigés : La décomposition des fractions rationnelles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

16 exercices corrigés
160 points
240 minutes

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Fiche de révision : la décomposition des fractions rationnelles

L'essentiel

L'ordre imposé : quatre gestes avant le premier coefficient

Un facteur du dénominateur, un pôle, un terme

À quoi chaque case sert, une fois la décomposition écrite

Les pièges qui coûtent des points

1. Décomposer sans diviser alors que le numérateur est de degré au moins égal

2. Poser un numérateur Bx+CBx+CBx+C sans avoir regardé le discriminant

3. N'ouvrir qu'une case pour un facteur répété

4. Appliquer l'astuce du cache à une puissance intermédiaire

5. Croire que les coefficients valent 111 quand le numérateur vaut 111

6. Mettre un numérateur constant sur un facteur quadratique irréductible

7. S'arrêter à une factorisation à moitié faite

8. Intégrer Bx+Cx2+1\dfrac{Bx+C}{x^2+1}x2+1Bx+C​ comme un seul logarithme

9. Rendre la copie sans avoir évalué la décomposition en un point

Quelle méthode choisir

Ce que chaque facteur du dénominateur ouvre comme cases

Comment obtenir chaque coefficient, sans résoudre un système complet

La rédaction attendue

Décomposer une fraction rationnelle, du premier au dernier point

Enchaîner sur la primitive une fois la décomposition écrite

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une fraction qui concentre les quatre pièges du chapitre

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quand faut-il faire une division avant de décomposer une fraction rationnelle ?

Comment savoir combien de termes mettre pour un facteur au carré ?

Quand met-on un numérateur de la forme Bx plus C ?

Comment marche l'astuce du cache et quand est-elle interdite ?

Comment vérifier une décomposition en éléments simples ?

Pourquoi une fraction avec un facteur en x carré plus 1 donne-t-elle un arctangente ?

Exercices corrigés : La décomposition des fractions rationnelles

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2. Poser un numérateur $Bx+C$ sans avoir regardé le discriminant

5. Croire que les coefficients valent $1$ quand le numérateur vaut $1$

8. Intégrer $\dfrac{Bx+C}{x^2+1}$ comme un seul logarithme