Calcul intégral 201-NYB • Cégep et complément québécois à Montréal

Fiche de révision : substitution, parties et fractions partielles (201-NYB)

Après les primitives immédiates, tout le calcul intégral du cégep tient dans trois techniques : la substitution, qui défait une dérivée composée; l'intégration par parties, qui défait un produit; et la décomposition en fractions partielles, qui découpe une fraction rationnelle en morceaux intégrables.

Cette fiche ne réexplique pas les trois méthodes, elle donne le critère qui les départage et la liste des erreurs qui coûtent des points alors que la technique choisie était la bonne : bornes, terme de bord, division préalable, forme des numérateurs.

Le fil du chapitre

Une intégrale ne se calcule pas, elle se RECONNAÎT. La question n'est jamais « comment intégrer », mais « à quelle forme cette intégrande ressemble-t-elle », et les trois techniques du chapitre répondent chacune à une forme précise.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Notions couvertes

Intégration par substitution
Changement de bornes
Intégration par parties
Règle LIATE
Méthode tabulaire
Décomposition en fractions partielles
Facteur linéaire répété
Facteur quadratique irréductible
Méthode de couverture
Fonction arc tangente

L'essentiel

La substitution : cinq formes à reconnaître d'un coup d'œil

• $\displaystyle\int\frac{f'}{f}\,dx=\ln\left|f\right|$ ; $\displaystyle\int f'f^{n}\,dx=\frac{f^{n+1}}{n+1}$ ; $\displaystyle\int f'e^{f}\,dx=e^{f}$ ; $\displaystyle\int\frac{f'}{\sqrt{f}}\,dx=2\sqrt{f}$ ; $\displaystyle\int f'\cos f\,dx=\sin f$ .
• Le test : dériver l'expression la plus compliquée et chercher le résultat AILLEURS dans l'intégrande, à une constante près.
• Poser $u$ , calculer $du=u'\,dx$ , et remplacer TOUT, y compris le $dx$ . Un $dx$ qui survit signale une substitution incomplète.
• Intégrale DÉFINIE : soit on change les bornes en même temps que la variable, soit on revient à $x$ avant d'évaluer. Jamais un mélange des deux.
• La substitution doit être MONOTONE sur l'intervalle : $u=x^{2}$ sur $[-1;2]$ est interdite sans découpage en $[-1;0]$ et $[0;2]$ .

Une substitution qui laisse un $x$ debout n'est pas perdue : il suffit d'exprimer ce $x$ en fonction de $u$ . C'est le cas de $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ , où $x=u-1$ .

Les parties : choisir $u$ , et ne plus en changer

• $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du$ . Sur une intégrale définie, le terme de bord $\left[uv\right]_{a}^{b}$ s'évalue aux DEUX bornes.
• Ordre de priorité pour $u$ : LIATE, c'est-à-dire Logarithme, Inverse (trigonométrique), Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle.
• La logique de LIATE : on choisit comme $u$ ce qui se SIMPLIFIE en dérivant, et comme $dv$ ce qui s'intègre sans difficulté.
• Méthode tabulaire dès qu'un facteur polynomial finit par s'annuler en dérivant : deux colonnes, dérivées à gauche, primitives à droite, signes alternés.
• Cas cyclique : $\displaystyle\int e^{ax}\sin(bx)\,dx=\frac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^{2}+b^{2}}$ . Il faut garder le MÊME choix de $u$ aux deux tours.

Plus on est à GAUCHE, plus la fonction se simplifie en dérivant : c'est elle qu'on prend pour

u

. Plus on est à droite, plus elle s'intègre facilement : c'est elle qu'on garde pour

dv

Le facteur $1$ invisible sert plus souvent qu'on ne croit : $\int\ln x\,dx$ , $\int\arctan x\,dx$ et $\int\arcsin x\,dx$ se traitent tous par parties avec $dv=1\,dx$ .

Les fractions partielles : quatre cas, un décompte

• DIVISER d'abord si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur. Sans cette division, la décomposition est impossible.
• Facteur linéaire simple $(x-a)$ : un terme $\dfrac{A}{x-a}$ .
• Facteur linéaire RÉPÉTÉ $(x-a)^{n}$ : $n$ termes, un par puissance, de $\dfrac{A_{1}}{x-a}$ jusqu'à $\dfrac{A_{n}}{(x-a)^{n}}$ .
• Facteur quadratique IRRÉDUCTIBLE $(x^{2}+bx+c)$ : un terme $\dfrac{Bx+C}{x^{2}+bx+c}$ , avec un numérateur de degré $1$ , jamais une constante.
• Le nombre total de constantes égale TOUJOURS le degré du dénominateur : c'est le contrôle qui valide la mise en place avant tout calcul.

Deux primitives à ne jamais confondre : $\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|$ alors que $\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$ . Un signe, deux fonctions différentes.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Garder les anciennes bornes après une substitution

toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int_{0}^{2}2x\,e^{x^{2}}dx$ avec $u=x^{2}$ : $\displaystyle\int_{0}^{2}e^{u}du=e^{2}-1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les bornes changent avec la variable : $u$ va de $0$ à $4$ , donc $\displaystyle\int_{0}^{4}e^{u}du=e^{4}-1$ . »

Pourquoi : Une borne est une valeur de la VARIABLE, pas un nombre attaché à l'intégrale. L'alternative parfaitement correcte est de revenir à $x$ avant d'évaluer, mais il faut choisir l'une des deux voies.

2. Oublier le $dx$ dans le changement de variable

2 points, et une primitive fausse d'un facteur constant

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u=3x+1$ , donc $\displaystyle\int\cos(3x+1)\,dx=\int\cos u\,du=\sin(3x+1)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $du=3\,dx$ , donc $dx=\dfrac{du}{3}$ et $\displaystyle\int\cos u\,\frac{du}{3}=\frac{\sin(3x+1)}{3}$ . »

Pourquoi : La substitution remplace TOUT ce qui contient $x$ , y compris la différentielle. Le contrôle est gratuit : dériver le résultat doit redonner l'intégrande.

3. Substituer sur un intervalle où le changement de variable n'est pas monotone

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int_{-1}^{2}x^{2}\,dx$ avec $u=x^{2}$ : $dx=\dfrac{du}{2\sqrt{u}}$ , donc l'intégrale vaut $\displaystyle\int_{1}^{4}\frac{\sqrt{u}}{2}\,du=\frac{7}{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u=x^{2}$ n'est pas monotone sur $[-1;2]$ : elle descend jusqu'à $0$ puis remonte. Le calcul direct donne $\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}=3$ , pas $\dfrac{7}{3}$ . »

Sur

[-1;2]

, la substitution passe par

0

avant de remonter : chaque valeur de

u

entre

0

1

correspond à DEUX valeurs de

x

, ce qui interdit le changement de variable sans découpage.

Pourquoi : L'écriture $dx=\dfrac{du}{2\sqrt{u}}$ suppose $x=+\sqrt{u}$ , ce qui est faux sur $[-1;0]$ où $x$ est négatif. La substitution efface alors une partie de l'intervalle, et l'erreur atteint ici $22\%$ .

4. Choisir $u$ à l'envers de LIATE

pas de points perdus directement, mais une intégrale plus difficile que la première

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int x\ln x\,dx$ : je pose $u=x$ et $dv=\ln x\,dx$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le Logarithme passe avant l'Algébrique : $u=\ln x$ et $dv=x\,dx$ , ce qui donne $\dfrac{x^{2}\ln x}{2}-\dfrac{x^{2}}{4}$ . »

Pourquoi : Prendre $\ln x$ comme $dv$ exige de savoir déjà l'intégrer, ce qui est précisément le problème qu'on cherchait à résoudre. LIATE ordonne les fonctions par facilité de dérivation.

5. Évaluer le terme de bord à une seule borne

2 points de rigueur, et une erreur réelle dès que la borne basse n'est pas nulle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{x}dx=xe^{x}-\int_{0}^{1}e^{x}dx=e-\left[e^{x}\right]_{0}^{1}=e-(e-1)=1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le terme de bord s'évalue aux DEUX bornes : $\left[xe^{x}\right]_{0}^{1}=e-0=e$ , puis on retranche $e-1$ , ce qui donne $1$ . Le résultat est le même ici, mais l'écriture est fausse dès que la borne inférieure ne s'annule pas. »

Pourquoi : L'oubli passe inaperçu quand la borne inférieure est zéro, ce qui est le cas de l'exemple le plus enseigné. Il éclate sur $\displaystyle\int_{1}^{2}xe^{x}dx$ , où le terme de bord vaut $2e^{2}-e$ .

6. Changer de choix de $u$ au deuxième tour d'un cas cyclique

toute la question, 5 points, et dix minutes perdues

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Premier tour avec $u=e^{x}$ , deuxième tour avec $u=\sin x$ : je retombe sur $I=I$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut GARDER le même type de $u$ aux deux tours. On obtient alors $I=\ldots-I$ , donc $2I=\ldots$ , et l'intégrale se déduit. »

Pourquoi : Changer de rôle au deuxième tour revient à défaire exactement ce que le premier a fait : l'égalité obtenue est vraie mais vide. Garder le même choix produit au contraire une équation en $I$ .

7. Décomposer une fraction impropre sans diviser d'abord

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{x^{2}}{x^{2}-1}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le degré du numérateur égale celui du dénominateur : on DIVISE d'abord, ce qui donne $1+\dfrac{1}{x^{2}-1}$ , puis on décompose seulement le reste. »

Pourquoi : La décomposition en fractions partielles n'existe que pour une fraction PROPRE. Le système obtenu sans division n'a tout simplement pas de solution, ce qui se voit à l'impossibilité de le résoudre.

8. N'écrire qu'un seul terme pour un facteur répété

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{1}{x(x-2)^{2}}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x-2)^{2}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Un facteur de multiplicité $2$ demande DEUX termes : $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{(x-2)^{2}}$ . Trois constantes pour un dénominateur de degré $3$ . »

Pourquoi : Le décompte des constantes est le contrôle : il doit égaler le degré du dénominateur. Avec deux constantes pour un degré $3$ , le système est sous-déterminé et n'a pas de solution.

9. Poser un numérateur constant sur un facteur quadratique irréductible

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{3x^{2}+2x+5}{(x-1)(x^{2}+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x^{2}+4}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Un quadratique irréductible porte un numérateur de degré $1$ : $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+4}$ . Trois constantes pour un dénominateur de degré $3$ . »

Pourquoi : Sans le terme en $Bx$ , on ne peut pas produire le logarithme $\ln(x^{2}+4)$ qui apparaît dans la primitive. Le décompte des constantes signale l'erreur avant même de résoudre.

10. Appliquer la méthode de couverture là où elle ne fonctionne pas

3 points, et un système résolu de travers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je cache $(x-2)$ dans $\dfrac{1}{x(x-2)^{2}}$ et j'évalue en $2$ pour obtenir $B$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La couverture ne donne que le coefficient de la puissance la PLUS ÉLEVÉE, donc $C$ , et rien sur un quadratique irréductible. Les autres constantes se trouvent par un système ou par des valeurs particulières. »

Pourquoi : La couverture repose sur l'annulation d'un facteur simple. Sur un facteur répété, cacher toute la puissance laisse encore une singularité, et sur un quadratique irréductible il n'y a aucune racine réelle où évaluer.

11. Confondre les primitives de $\dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}$ et de $\dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}$

toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec un PLUS, le dénominateur ne se factorise pas : $\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$ . Le logarithme est réservé au signe MOINS. »

Pourquoi : Un signe moins rend le dénominateur factorisable, donc décomposable en deux fractions à logarithmes. Un signe plus le rend irréductible, et la primitive est une arc tangente.

Quelle méthode choisir

Quelle technique selon la FORME de l'intégrande

Ce qu'on voit dans l'intégrande, dans cet ordre

Si la dérivée d'un morceau apparaît ailleurs, à une constante près → SUBSTITUTION, en posant ce morceau comme $u$

Exemple : $\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx=\ln(x^{2}+1)$
Si un PRODUIT de deux fonctions de natures différentes → PARTIES, avec $u$ choisi par LIATE

Exemple : $\displaystyle\int x\ln x\,dx$ , $\displaystyle\int xe^{x}dx$
Si une FRACTION RATIONNELLE dont le dénominateur se factorise → FRACTIONS PARTIELLES, après division si la fraction est impropre

Exemple : $\dfrac{3x^{2}+2x+5}{(x-1)(x^{2}+4)}$
Si une racine $n$ -ième d'une expression simple → substitution RATIONALISANTE : $x=u^{n}$ , ou $u^{m}$ avec $m$ le PPCM s'il y a plusieurs racines

Exemple : $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$ avec $x=u^{6}$
Si une fonction seule sans primitive évidente, comme $\ln x$ ou $\arctan x$ → PARTIES avec le facteur $1$ invisible, donc $dv=1\,dx$

Exemple : $\displaystyle\int\arctan x\,dx=x\arctan x-\tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})$
Si aucune forme ne se dégage → essayer une substitution simple pour SIMPLIFIER, puis reprendre l'arbre depuis le début

beaucoup d'intégrales d'examen demandent une substitution PUIS une intégration par parties

L'ordre de lecture compte : on cherche d'abord une substitution, parce qu'elle est la plus rapide, et on ne passe aux parties que si aucune dérivée n'apparaît. Les fractions partielles viennent en dernier, car elles sont les plus longues.

Quelle forme de terme pour chaque facteur du dénominateur

La factorisation complète du dénominateur, après division éventuelle

Si facteur linéaire simple $(x-a)$ → $\dfrac{A}{x-a}$ , une constante, et $A$ se trouve par couverture

Exemple : $\dfrac{2}{x-1}$
Si facteur linéaire répété $(x-a)^{n}$ → $n$ termes, de $\dfrac{A_{1}}{x-a}$ à $\dfrac{A_{n}}{(x-a)^{n}}$

Exemple : $\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{(x-2)^{2}}$
Si facteur quadratique irréductible $(x^{2}+bx+c)$ → $\dfrac{Bx+C}{x^{2}+bx+c}$ , numérateur de degré $1$

Exemple : $\dfrac{x+3}{x^{2}+4}$
Si facteur quadratique irréductible RÉPÉTÉ → un terme $\dfrac{B_{k}x+C_{k}}{(x^{2}+bx+c)^{k}}$ pour chaque puissance

rare au cégep, mais le décompte des constantes reste le même contrôle
Si le degré du numérateur atteint celui du dénominateur → DIVISER avant tout, et ne décomposer que le reste

le quotient s'intègre séparément, en général comme un polynôme

Compter les constantes AVANT de résoudre : leur nombre doit égaler le degré du dénominateur. Ce contrôle attrape à lui seul les deux erreurs de mise en place les plus fréquentes.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Intégrer une fraction rationnelle

Quand l'utiliser : L'intégrande est un quotient de deux polynômes.

1 Comparer les degrés. Si le numérateur atteint le degré du dénominateur, effectuer la DIVISION euclidienne et écrire l'intégrande sous la forme quotient plus reste sur diviseur.
2 Factoriser complètement le dénominateur en facteurs linéaires et quadratiques irréductibles.
3 Poser la décomposition avec la bonne forme pour chaque facteur, et VÉRIFIER que le nombre de constantes égale le degré du dénominateur.
4 Réduire au même dénominateur, identifier les numérateurs, et résoudre par valeurs particulières (méthode de couverture) puis par identification des coefficients restants.
5 Intégrer terme à terme : $\dfrac{A}{x-a}$ donne un logarithme, $\dfrac{Bx}{x^{2}+c}$ un logarithme après substitution, $\dfrac{C}{x^{2}+c}$ une arc tangente.
6 Vérifier en dérivant, ou en évaluant l'identité de décomposition à une valeur simple.

Phrase de conclusion

« La fraction est propre et le dénominateur se factorise en $(x-1)(x^{2}+4)$ : on pose $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+4}$ , soit trois constantes pour un dénominateur de degré trois; l'identification donne $A=2$ , $B=1$ et $C=3$ . »

Le piège : Séparer le terme quadratique en deux morceaux avant d'intégrer. $\dfrac{x+3}{x^{2}+4}$ n'est pas une seule primitive : c'est $\dfrac{x}{x^{2}+4}$ , qui donne un logarithme, PLUS $\dfrac{3}{x^{2}+4}$ , qui donne une arc tangente.

Barème : Typiquement 1 point pour la vérification de propreté, 1 pour la factorisation, 2 pour la forme de la décomposition, 2 pour les constantes, 3 pour les primitives.

Rédiger une substitution sur une intégrale définie

Quand l'utiliser : L'intégrale porte des bornes et l'intégrande contient une composée dont la dérivée apparaît.

1 Poser $u$ et écrire $du$ en fonction de $dx$ , puis isoler $dx$ si nécessaire.
2 CHANGER LES BORNES : calculer $u(a)$ et $u(b)$ , et l'écrire explicitement.
3 Vérifier que la substitution est MONOTONE sur l'intervalle, et le dire; sinon, découper l'intervalle.
4 Réécrire l'intégrale entièrement en $u$ , sans qu'aucun $x$ ne subsiste, et l'évaluer entre les nouvelles bornes.
5 Conclure sans revenir à $x$ , puisque les bornes ont été changées.

Phrase de conclusion

« On pose $u=x^{2}$ , donc $du=2x\,dx$ ; les bornes deviennent $u(0)=0$ et $u(2)=4$ , et la substitution est croissante sur $[0;2]$ ; l'intégrale vaut alors $\displaystyle\int_{0}^{4}e^{u}du=e^{4}-1$ . »

Le piège : Changer les bornes ET revenir à $x$ à la fin. Les deux méthodes sont correctes séparément, leur mélange évalue la primitive en $x$ à des bornes exprimées en $u$ .

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Dériver le résultat

Toute primitive se vérifie en la dérivant : on doit retomber exactement sur l'intégrande. C'est le contrôle universel du chapitre et il ne coûte que trente secondes.

Une primitive $\sin(3x+1)$ dérivée donne $3\cos(3x+1)$ au lieu de $\cos(3x+1)$ : le facteur $\tfrac{1}{3}$ manque.
Le décompte des constantes contre le degré

Avant de résoudre une décomposition, compter les constantes posées et comparer au degré du dénominateur. Les deux nombres doivent coïncider.

Deux constantes pour un dénominateur de degré $3$ : un facteur répété n'a été écrit qu'une fois.
L'identité de décomposition testée en un point

Substituer une valeur simple, comme $0$ ou $2$ , dans la fraction de départ et dans la décomposition obtenue : les deux doivent donner le même nombre.

$-1{,}25$ des deux côtés en $x=0$ : la décomposition est bonne.
La cohérence des bornes après substitution

Relire les bornes de l'intégrale finale et vérifier qu'elles sont exprimées dans la MÊME variable que l'intégrande.

Une intégrale en $u$ évaluée entre $0$ et $2$ alors que $u(2)=4$ : les bornes n'ont pas suivi.
Le signe et l'ordre de grandeur d'une intégrale définie

Une intégrande positive sur l'intervalle doit donner une intégrale positive. Comparer le résultat à l'aire d'un rectangle grossier donne un ordre de grandeur.

Un résultat négatif pour $\displaystyle\int_{0}^{2}2xe^{x^{2}}dx$ , dont l'intégrande est positive : un signe a été perdu.

L'exercice type décortiqué

Une fraction rationnelle avec un quadratique irréductible

Calculer $\displaystyle\int\frac{3x^{2}+2x+5}{(x-1)(x^{2}+4)}\,dx$ .

On détaillera la mise en place de la décomposition, la détermination des constantes et l'intégration de chaque terme.

L'asymptote verticale en

x=1

annonce le terme

\dfrac{2}{x-1}

, donc un logarithme. Le dénominateur

x^{2}+4

, lui, ne s'annule jamais : il n'ajoute aucune asymptote et donnera une arc tangente.

Étape 1

Degré du numérateur : $2$ . Degré du dénominateur : $3$ . La fraction est PROPRE, aucune division n'est nécessaire.

Pourquoi

C'est la première vérification, et elle prend deux secondes. L'omettre sur une fraction impropre rend le système suivant insoluble, sans que rien ne le signale avant la fin.

Étape 2

Le dénominateur est déjà factorisé : un facteur linéaire $(x-1)$ et un quadratique $x^{2}+4$ , irréductible puisque son discriminant vaut $-16$ .

Pourquoi

Justifier l'irréductibilité en une ligne évite de chercher une factorisation qui n'existe pas, et surtout impose la forme du numérateur à l'étape suivante.

Étape 3

Décomposition : $\dfrac{3x^{2}+2x+5}{(x-1)(x^{2}+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+4}$ . Trois constantes pour un dénominateur de degré $3$ : le décompte est cohérent.

Pourquoi

Le numérateur du terme quadratique est de degré $1$ , pas une constante. C'est ce terme en $Bx$ qui produira le logarithme $\ln(x^{2}+4)$ , impossible à obtenir autrement.

Étape 4

En réduisant au même dénominateur : $3x^{2}+2x+5=A(x^{2}+4)+(Bx+C)(x-1)$ . En $x=1$ : $10=5A$ , donc $A=2$ .

Pourquoi

La méthode de couverture donne $A$ immédiatement, parce que $x=1$ annule le second terme. C'est la seule constante qu'elle puisse fournir ici, le quadratique n'ayant pas de racine réelle.

Étape 5

Identification des coefficients : en $x^{2}$ , $3=A+B$ , donc $B=1$ ; en $x^{0}$ , $5=4A-C$ , donc $C=8-5=3$ . Vérification en $x^{1}$ : $2=C-B=3-1=2$ , cohérent.

Pourquoi

On utilise deux coefficients pour trouver les inconnues et le troisième pour VÉRIFIER. C'est gratuit, et cela remplace un contrôle qu'il faudrait faire de toute façon.

Étape 6

Donc $\dfrac{3x^{2}+2x+5}{(x-1)(x^{2}+4)}=\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{x+3}{x^{2}+4}$ . Contrôle en $x=0$ : la fraction vaut $\dfrac{5}{-4}=-1{,}25$ , et la décomposition $-2+\dfrac{3}{4}=-1{,}25$ .

Pourquoi

Un point de contrôle suffit à valider toute la décomposition, et $x=0$ est presque toujours le plus rapide à évaluer des deux côtés.

Étape 7

SÉPARER le terme quadratique : $\dfrac{x+3}{x^{2}+4}=\dfrac{x}{x^{2}+4}+\dfrac{3}{x^{2}+4}$ , parce que ces deux morceaux n'ont pas la même primitive.

Pourquoi

C'est l'étape que les copies sautent. Le premier morceau appelle une substitution $u=x^{2}+4$ , le second une arc tangente : les traiter ensemble est impossible.

Étape 8

Intégration : $\displaystyle\int\frac{2\,dx}{x-1}=2\ln\left|x-1\right|$ ; $\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^{2}+4}=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+4)$ ; $\displaystyle\int\frac{3\,dx}{x^{2}+4}=\tfrac{3}{2}\arctan\dfrac{x}{2}$ .

Pourquoi

Le deuxième morceau n'a pas de valeur absolue, $x^{2}+4$ étant toujours positif. Le troisième utilise $\int\dfrac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}$ avec $a=2$ , d'où le $\tfrac{1}{2}$ multiplié par $3$ .

Étape 9

Vérification par dérivation en $x=0$ : la dérivée de $2\ln\left|x-1\right|+\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+4)+\tfrac{3}{2}\arctan\dfrac{x}{2}$ vaut $\dfrac{2}{-1}+0+\dfrac{3}{4}=-1{,}25$ , égal à l'intégrande.

Pourquoi

Un seul point de dérivation valide les trois primitives à la fois. C'est le contrôle le plus rentable de tout le calcul intégral, et il ne demande aucun outil.

Conclusion rédigée

« $\displaystyle\int\frac{3x^{2}+2x+5}{(x-1)(x^{2}+4)}\,dx=2\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)+\frac{3}{2}\arctan\frac{x}{2}+C$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Poser $\dfrac{B}{x^{2}+4}$ avec un numérateur constant. Le système devient alors incompatible, et si on le force, la primitive obtenue ne contient aucun logarithme du quadratique : sa dérivée ne redonne pas l'intégrande.

À savoir par cœur

• Substitution : remplacer TOUT, $dx$ compris, et changer les bornes OU revenir à $x$ , jamais les deux.
• Une substitution doit être MONOTONE sur l'intervalle, sinon on découpe.
• Parties : $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du$ , avec $u$ choisi par LIATE et le terme de bord évalué aux DEUX bornes.
• Cas cyclique : garder le même choix de $u$ aux deux tours pour obtenir une équation en $I$ .
• Fractions partielles : DIVISER si la fraction est impropre, puis un terme par facteur.
• Facteur répété de multiplicité $n$ : $n$ termes. Quadratique irréductible : numérateur $Bx+C$ .
• Le nombre de constantes égale le DEGRÉ du dénominateur : contrôle avant tout calcul.
• $\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$ , alors que $\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}-a^{2}}$ donne un logarithme.

Questions fréquentes

Faut-il changer les bornes après une substitution ?

Oui, si l'on veut évaluer directement dans la nouvelle variable. Une borne est une valeur de la variable d'intégration : quand celle-ci change, les bornes doivent suivre. L'alternative correcte est de calculer la primitive, de revenir à la variable de départ, puis d'évaluer aux bornes d'origine. Ce qu'il ne faut jamais faire, c'est mélanger les deux.

Comment choisir u dans une intégration par parties ?

En suivant la règle LIATE : logarithme, inverse trigonométrique, algébrique, trigonométrique, exponentielle. On choisit comme u la fonction qui apparaît le plus à gauche de cette liste, parce que c'est celle qui se simplifie le plus en dérivant. Le reste devient dv, et il doit pouvoir s'intégrer sans difficulté.

Pourquoi faut-il diviser avant de décomposer une fraction rationnelle ?

Parce que la décomposition en fractions partielles n'existe que pour une fraction propre, c'est-à-dire dont le numérateur est de degré strictement inférieur au dénominateur. Si ce n'est pas le cas, le système d'équations obtenu n'a tout simplement pas de solution. La division euclidienne sépare un polynôme, facile à intégrer, et un reste propre.

Quel numérateur mettre sur un facteur quadratique irréductible ?

Un numérateur de degré un, de la forme B fois x plus C, jamais une simple constante. Le terme en x est indispensable : c'est lui qui produit le logarithme du trinôme dans la primitive. Sans lui, la décomposition ne peut pas reproduire la fraction de départ et le système devient incompatible.

Comment vérifier une primitive rapidement ?

En la dérivant. On doit retomber exactement sur l'intégrande. C'est le seul contrôle universel du calcul intégral, il ne demande aucun outil et il attrape aussi bien un facteur constant oublié qu'un signe inversé. Sur une décomposition, on peut aussi évaluer les deux membres en un point simple comme zéro.

Quand une substitution est-elle interdite ?

Quand elle n'est pas monotone sur l'intervalle d'intégration. Poser u égal à x au carré sur un intervalle qui contient zéro fait correspondre deux valeurs de x à chaque valeur de u, ce qui fausse le changement de variable. Il faut alors découper l'intervalle aux points où la substitution change de sens.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Substitution, parties et fractions partielles : 20 exercices

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

20 exercices corrigés
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Fiche de révision : substitution, parties et fractions partielles (201-NYB)

L'essentiel

La substitution : cinq formes à reconnaître d'un coup d'œil

Les parties : choisir uuu, et ne plus en changer

Les fractions partielles : quatre cas, un décompte

Les pièges qui coûtent des points

1. Garder les anciennes bornes après une substitution

2. Oublier le dxdxdx dans le changement de variable

3. Substituer sur un intervalle où le changement de variable n'est pas monotone

4. Choisir uuu à l'envers de LIATE

5. Évaluer le terme de bord à une seule borne

6. Changer de choix de uuu au deuxième tour d'un cas cyclique

7. Décomposer une fraction impropre sans diviser d'abord

8. N'écrire qu'un seul terme pour un facteur répété

9. Poser un numérateur constant sur un facteur quadratique irréductible

10. Appliquer la méthode de couverture là où elle ne fonctionne pas

11. Confondre les primitives de 1x2−a2\dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}x2−a21​ et de 1x2+a2\dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}x2+a21​

Quelle méthode choisir

Quelle technique selon la FORME de l'intégrande

Quelle forme de terme pour chaque facteur du dénominateur

La rédaction attendue

Intégrer une fraction rationnelle

Rédiger une substitution sur une intégrale définie

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une fraction rationnelle avec un quadratique irréductible

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Faut-il changer les bornes après une substitution ?

Comment choisir u dans une intégration par parties ?

Pourquoi faut-il diviser avant de décomposer une fraction rationnelle ?

Quel numérateur mettre sur un facteur quadratique irréductible ?

Comment vérifier une primitive rapidement ?

Quand une substitution est-elle interdite ?

Exercices corrigés : Substitution, parties et fractions partielles : 20 exercices

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Les parties : choisir $u$ , et ne plus en changer

2. Oublier le $dx$ dans le changement de variable

4. Choisir $u$ à l'envers de LIATE

6. Changer de choix de $u$ au deuxième tour d'un cas cyclique

11. Confondre les primitives de $\dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}$ et de $\dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}$