Exercices corrigés : les techniques d'intégration (201-NYB)

a) Terme à terme : $\int 6x^{2}dx=2x^{3}$, $\int\frac{4}{x}dx=4\ln|x|$, $\int e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}$ (la dérivation interne par 2 se paie d'un facteur $\frac{1}{2}$). Total : $2x^{3}-4\ln|x|+\frac{e^{2x}}{2}+C$. Vérification : $\frac{d}{dx}\left(2x^{3}-4\ln|x|+\frac{e^{2x}}{2}\right)=6x^{2}-\frac{4}{x}+e^{2x}$ ✓. Vérifier par dérivation coûte dix secondes et attrape la moitié des fautes de constante.

b) Premier cas : $u=x^{3}+1$, $du=3x^{2}dx$ : le $x^{2}dx$ présent est $\frac{du}{3}$ : $\frac{1}{3}\int\sqrt{u}\,du=\frac{2}{9}u^{3/2}=\frac{2}{9}(x^{3}+1)^{3/2}+C$. Second cas : $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx$ avec $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$ : $-\int\frac{du}{u}=-\ln|\cos x|+C$. Dans les deux cas, la dérivée de l'intérieur attendait en facteur : c'est LA signature de la substitution.

c) $\int\frac{dx}{x\ln x}=\int\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{dx}{x}$ : la structure est $\frac{1}{u}\,du$ avec $u=\ln x$ (dont la dérivée $\frac{1}{x}$ est là). Résultat : $\ln|\ln x|+C$ : un logarithme de logarithme, parfaitement légitime. Cette intégrale est aussi celle qui décide de la divergence de $\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}$ au chapitre des impropres : les techniques d'aujourd'hui servent partout ensuite.

d) $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$; bornes : $x=1\Rightarrow u=0$, $x=e\Rightarrow u=1$. $\int_{0}^{1}u^{2}du=\frac{1}{3}$. L'erreur classique : écrire $\int_{1}^{e}u^{2}du=\frac{e^{3}-1}{3}$, en gardant les bornes de $x$ sur une intégrale en $u$ : les bornes appartiennent à la VARIABLE, pas au symbole d'intégrale. Deux remèdes : transformer les bornes immédiatement (le plus sûr), ou revenir en $x$ avant d'évaluer : mais jamais l'entre-deux.

a) $u=x$ (le polynôme, qui meurt en dérivant), $dv=\cos x\,dx$, $v=\sin x$ : $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$. Le choix inverse ($u=\cos x$) donnerait $\int\frac{x^{2}}{2}\sin x\,dx$ : PIRE : la règle « on dérive ce qui se simplifie » n'est pas décorative.

b) Premier tour ($u=x^{2}$) : $x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$. Second tour ($u=x$) : $\int xe^{x}dx=xe^{x}-e^{x}$. Assemblage : $\int x^{2}e^{x}dx=e^{x}(x^{2}-2x+2)+C$. Le polynôme descend d'un degré à chaque tour : degré 2, donc exactement deux tours; l'exponentielle, elle, encaisse sans changer. Vérification rapide : dériver $e^{x}(x^{2}-2x+2)$ redonne $x^{2}e^{x}$ ✓.

c) $\ln x$ n'a pas de primitive évidente mais une dérivée très simple : on force les parties avec $u=\ln x$ et $dv=dx$, $v=x$ : $\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln x-x+C$. L'astuce est inévitable car il n'y a qu'UN facteur visible : les parties fabriquent le second ($dv=dx$). Même recette pour $\arctan x$ et $\arcsin x$ : les fonctions « à belle dérivée » se traitent toutes ainsi.

d) Deux tours de parties (en dérivant toujours la trigonométrie, ou toujours l'exponentielle, mais SANS changer de camp) : $I=e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x-I$. L'intégrale est revenue : on RÉSOUT l'équation : $2I=e^{x}(\sin x+\cos x)$, donc $I=\frac{e^{x}(\sin x+\cos x)}{2}+C$. Évaluation : $\int_{0}^{\pi}e^{x}\cos x\,dx=\left[\frac{e^{x}(\sin x+\cos x)}{2}\right]_{0}^{\pi}=\frac{e^{\pi}(0-1)}{2}-\frac{1(0+1)}{2}=-\frac{e^{\pi}+1}{2}\approx-12{,}07$ : négatif, cohérent avec un cosinus surtout négatif sur $[\frac{\pi}{2},\pi]$ où $e^{x}$ pèse le plus lourd.

a) $x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$. On pose $\frac{x+5}{(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$, soit $x+5=A(x-1)+B(x+2)$. Méthode des valeurs commodes : $x=1$ : $6=3B$, $B=2$; $x=-2$ : $3=-3A$, $A=-1$. D'où $\int=-\ln|x+2|+2\ln|x-1|+C=\ln\frac{(x-1)^{2}}{|x+2|}+C$.

b) Le degré du numérateur (2) atteint celui du dénominateur (1) : DIVISION euclidienne d'abord, la décomposition n'est définie que pour une fraction propre. $x^{2}=(x-1)(x+1)+1$, donc $\frac{x^{2}}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$ et $\int=\frac{x^{2}}{2}+x+\ln|x-1|+C$. Oublier la division est l'erreur numéro un du chapitre : la décomposition posée sur une fraction impropre mène à un système sans solution, et on perd dix minutes à le découvrir.

c) Facteur répété : $\frac{3x+5}{(x+1)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}$, soit $3x+5=A(x+1)+B$. Par $x=-1$ : $B=2$; par les coefficients de $x$ : $A=3$. D'où $\int=3\ln|x+1|-\frac{2}{x+1}+C$ : le facteur simple donne le logarithme, le facteur carré donne une puissance : chaque étage de la répétition a sa propre contribution.

d) $x^{2}+4$ n'a AUCUNE racine réelle : il est irréductible, on ne peut pas le casser en facteurs du premier degré. Sa primitive est l'arc tangente : $\int\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}+C$ (le $a=2$ apparaît deux fois : dans l'argument ET en facteur). $\int_{0}^{2}\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{2}\arctan 1-0=\frac{\pi}{8}\approx 0{,}393$. Tout quadratique irréductible mène à l'arc tangente (après complétion du carré au besoin) : c'est la troisième et dernière famille de primitives des fractions rationnelles, avec les logarithmes et les puissances.

a) Puissance impaire : on détache un sinus et on convertit le reste : $\sin^{3}x=\sin x(1-\cos^{2}x)$. Avec $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$ : $\int\sin^{3}x\,dx=-\int(1-u^{2})du=-u+\frac{u^{3}}{3}=-\cos x+\frac{\cos^{3}x}{3}+C$.

b) $\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ : $\int\cos^{2}x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$. De même $\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{2}$. Lecture graphique : $\sin^{2}$ oscille SYMÉTRIQUEMENT autour de $\frac{1}{2}$ (la droite pointillée), les bosses au-dessus compensant les creux : son intégrale est celle de la constante $\frac{1}{2}$, soit $\frac{\pi}{2}$ sur $[0,\pi]$. C'est ce $\frac{1}{2}$ moyen qui fait le $\frac{A}{\sqrt{2}}$ des tensions efficaces en électricité.

c) Le cosinus porte la puissance IMPAIRE : c'est lui qu'on casse. $\cos^{3}x=\cos x(1-\sin^{2}x)$, et avec $u=\sin x$ : $\int u^{2}(1-u^{2})du=\frac{\sin^{3}x}{3}-\frac{\sin^{5}x}{5}+C$. Attaquer le sinus (pair) n'aurait rien donné : le facteur détaché doit être la dérivée de l'autre camp.

d) Règles : une puissance IMPAIRE quelque part : détacher un facteur de ce camp, convertir le reste en l'autre via $\sin^{2}+\cos^{2}=1$, substituer. Tout PAIR : linéariser avec les formules de l'angle double, quitte à recommencer. Pourquoi l'impair marche toujours : retirer un facteur d'une puissance impaire laisse une puissance PAIRE, donc entièrement convertible en l'autre fonction; et le facteur détaché est exactement le $du$ de la substitution. La parité n'est pas un hasard de recette : c'est elle qui garantit que la conversion tombe juste.

a) $x=3\sin\theta$, $dx=3\cos\theta\,d\theta$, et $\sqrt{9-9\sin^{2}\theta}=3\cos\theta$ : l'intégrale devient $\int\frac{3\cos\theta}{3\cos\theta}d\theta=\theta+C=\arcsin\frac{x}{3}+C$. C'est d'ailleurs une primitive à connaître directement : $\int\frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$.

b) Mêmes ingrédients : $\int_{0}^{3}\sqrt{9-x^{2}}\,dx=\int_{0}^{\pi/2}3\cos\theta\cdot 3\cos\theta\,d\theta=9\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta=9\cdot\frac{\pi}{4}$ (linéarisation de l'exercice 4 : sur un quart de période, $\cos^{2}$ vaut $\frac{1}{2}$ en moyenne). Résultat : $\frac{9\pi}{4}\approx 7{,}07$. Géométrie : la courbe est le quart de cercle de rayon 3, d'aire $\frac{\pi r^{2}}{4}=\frac{9\pi}{4}$ ✓ : le calcul et la figure se valident mutuellement, et c'est très exactement ainsi qu'on démontre la formule de l'aire du disque.

c) Vérification de la primitive : $\frac{d}{dx}\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+9}\right)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}}{x+\sqrt{x^{2}+9}}=\frac{\frac{\sqrt{x^{2}+9}+x}{\sqrt{x^{2}+9}}}{x+\sqrt{x^{2}+9}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}}$ ✓ (elle sort de la substitution $x=3\tan\theta$). Évaluation : $\ln(3+\sqrt{18})-\ln 3=\ln\frac{3+3\sqrt{2}}{3}=\ln(1+\sqrt{2})\approx 0{,}881$.

d) $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ : poser $x=a\sin\theta$ (le triangle a pour hypoténuse $a$ et côté opposé $x$ : la racine est le côté adjacent). $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ : poser $x=a\tan\theta$ (côtés $a$ et $x$ : la racine est l'hypoténuse). $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ : poser $x=a\sec\theta$ (hypoténuse $x$, côté $a$ : la racine est l'autre côté). Dans les trois cas, l'identité $\sin^{2}+\cos^{2}=1$ (ou ses variantes) fait ÉVAPORER la racine, et le triangle sert au voyage retour : lire $\sin\theta$, $\tan\theta$, $\sec\theta$ sur les côtés pour réécrire la réponse en $x$.

a) $\int xe^{x^{2}}dx$ : le $x$ est (à un facteur 2 près) la dérivée de $x^{2}$ : SUBSTITUTION $u=x^{2}$, résultat $\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$. $\int xe^{x}dx$ : aucune substitution ne marche ($x$ n'est pas la dérivée de $x$... si, mais $e^{x}$ ne s'en sert pas) : PARTIES, résultat $(x-1)e^{x}+C$. La paire est le test de diagnostic parfait : chercher d'abord « la dérivée de l'intérieur est-elle en facteur ? »; les parties ne viennent qu'après ce constat d'échec. (Et $\int e^{x^{2}}dx$, sans le $x$, n'a aucune primitive élémentaire : le facteur $x$ fait toute la différence.)

b) $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ se factorise : FRACTIONS PARTIELLES, $\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$, d'où $\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$. $x^{2}+1$ ne se factorise PAS : arc tangente direct, $\arctan x+C$. Un simple signe décide entre logarithmes et arc tangente : toujours tester la factorisation du dénominateur avant tout.

c) $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$ (l'identité $1+\tan^{2}=\sec^{2}$ réarrangée) : $\int\tan^{2}x\,dx=\tan x-x+C$, puisque $\sec^{2}$ est la dérivée de $\tan$. Les identités trigonométriques sont des techniques d'intégration à part entière : elles remplacent un intégrande sans primitive apparente par un autre, égal, qui en a une.

d) La liste, dans l'ordre : 1) Est-ce une forme DIRECTE de la table (y compris $\arctan$, $\arcsin$) ? 2) Une fonction et sa dérivée cohabitent-elles ? SUBSTITUTION ($xe^{x^{2}}$, $\frac{\ln x}{x}$, $\tan x$). 3) Un produit de familles différentes (polynôme, exponentielle, trigonométrie, logarithme) ? PARTIES ($xe^{x}$, $x\cos x$, $\ln x$ seul). 4) Une fraction rationnelle ? Division si nécessaire, puis FRACTIONS PARTIELLES. 5) Des puissances trigonométriques ? Parité : détacher ou linéariser. 6) Une racine $\sqrt{a^{2}\pm x^{2}}$ ou $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ ? SUBSTITUTION TRIGONOMÉTRIQUE. Six questions, trente secondes : le diagnostic avant le traitement, comme en médecine.