Exercices corrigés : les techniques d'intégration (201-NYB)

a) Terme à terme : $\int 6x^{2}dx=2x^{3}$, $\int\frac{4}{x}dx=4\ln|x|$, $\int e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}$ (la dérivation interne par 2 se paie d'un facteur $\frac{1}{2}$). Total : $2x^{3}-4\ln|x|+\frac{e^{2x}}{2}+C$. Vérification : $\frac{d}{dx}\left(2x^{3}-4\ln|x|+\frac{e^{2x}}{2}\right)=6x^{2}-\frac{4}{x}+e^{2x}$ ✓. Vérifier par dérivation coûte dix secondes et attrape la moitié des fautes de constante.

b) Premier cas : $u=x^{3}+1$, $du=3x^{2}dx$ : le $x^{2}dx$ présent est $\frac{du}{3}$ : $\frac{1}{3}\int\sqrt{u}\,du=\frac{2}{9}u^{3/2}=\frac{2}{9}(x^{3}+1)^{3/2}+C$. Second cas : $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx$ avec $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$ : $-\int\frac{du}{u}=-\ln|\cos x|+C$. Dans les deux cas, la dérivée de l'intérieur attendait en facteur : c'est LA signature de la substitution.

c) $\int\frac{dx}{x\ln x}=\int\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{dx}{x}$ : la structure est $\frac{1}{u}\,du$ avec $u=\ln x$ (dont la dérivée $\frac{1}{x}$ est là). Résultat : $\ln|\ln x|+C$ : un logarithme de logarithme, parfaitement légitime. Cette intégrale est aussi celle qui décide de la divergence de $\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}$ au chapitre des impropres : les techniques d'aujourd'hui servent partout ensuite.

d) $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$; bornes : $x=1\Rightarrow u=0$, $x=e\Rightarrow u=1$. $\int_{0}^{1}u^{2}du=\frac{1}{3}$. L'erreur classique : écrire $\int_{1}^{e}u^{2}du=\frac{e^{3}-1}{3}$, en gardant les bornes de $x$ sur une intégrale en $u$ : les bornes appartiennent à la VARIABLE, pas au symbole d'intégrale. Deux remèdes : transformer les bornes immédiatement (le plus sûr), ou revenir en $x$ avant d'évaluer : mais jamais l'entre-deux.

a) $u=x$ (le polynôme, qui meurt en dérivant), $dv=\cos x\,dx$, $v=\sin x$ : $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$. Le choix inverse ($u=\cos x$) donnerait $\int\frac{x^{2}}{2}\sin x\,dx$ : PIRE : la règle « on dérive ce qui se simplifie » n'est pas décorative.

b) Premier tour ($u=x^{2}$) : $x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$. Second tour ($u=x$) : $\int xe^{x}dx=xe^{x}-e^{x}$. Assemblage : $\int x^{2}e^{x}dx=e^{x}(x^{2}-2x+2)+C$. Le polynôme descend d'un degré à chaque tour : degré 2, donc exactement deux tours; l'exponentielle, elle, encaisse sans changer. Vérification rapide : dériver $e^{x}(x^{2}-2x+2)$ redonne $x^{2}e^{x}$ ✓.

c) $\ln x$ n'a pas de primitive évidente mais une dérivée très simple : on force les parties avec $u=\ln x$ et $dv=dx$, $v=x$ : $\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln x-x+C$. L'astuce est inévitable car il n'y a qu'UN facteur visible : les parties fabriquent le second ($dv=dx$). Même recette pour $\arctan x$ et $\arcsin x$ : les fonctions « à belle dérivée » se traitent toutes ainsi.

d) Deux tours de parties (en dérivant toujours la trigonométrie, ou toujours l'exponentielle, mais SANS changer de camp) : $I=e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x-I$. L'intégrale est revenue : on RÉSOUT l'équation : $2I=e^{x}(\sin x+\cos x)$, donc $I=\frac{e^{x}(\sin x+\cos x)}{2}+C$. Évaluation : $\int_{0}^{\pi}e^{x}\cos x\,dx=\left[\frac{e^{x}(\sin x+\cos x)}{2}\right]_{0}^{\pi}=\frac{e^{\pi}(0-1)}{2}-\frac{1(0+1)}{2}=-\frac{e^{\pi}+1}{2}\approx-12{,}07$ : négatif, cohérent avec un cosinus surtout négatif sur $[\frac{\pi}{2},\pi]$ où $e^{x}$ pèse le plus lourd.

a) $x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$. On pose $\frac{x+5}{(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$, soit $x+5=A(x-1)+B(x+2)$. Méthode des valeurs commodes : $x=1$ : $6=3B$, $B=2$; $x=-2$ : $3=-3A$, $A=-1$. D'où $\int=-\ln|x+2|+2\ln|x-1|+C=\ln\frac{(x-1)^{2}}{|x+2|}+C$.

b) Le degré du numérateur (2) atteint celui du dénominateur (1) : DIVISION euclidienne d'abord, la décomposition n'est définie que pour une fraction propre. $x^{2}=(x-1)(x+1)+1$, donc $\frac{x^{2}}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$ et $\int=\frac{x^{2}}{2}+x+\ln|x-1|+C$. Oublier la division est l'erreur numéro un du chapitre : la décomposition posée sur une fraction impropre mène à un système sans solution, et on perd dix minutes à le découvrir.

c) Facteur répété : $\frac{3x+5}{(x+1)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}$, soit $3x+5=A(x+1)+B$. Par $x=-1$ : $B=2$; par les coefficients de $x$ : $A=3$. D'où $\int=3\ln|x+1|-\frac{2}{x+1}+C$ : le facteur simple donne le logarithme, le facteur carré donne une puissance : chaque étage de la répétition a sa propre contribution.

d) $x^{2}+4$ n'a AUCUNE racine réelle : il est irréductible, on ne peut pas le casser en facteurs du premier degré. Sa primitive est l'arc tangente : $\int\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}+C$ (le $a=2$ apparaît deux fois : dans l'argument ET en facteur). $\int_{0}^{2}\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{2}\arctan 1-0=\frac{\pi}{8}\approx 0{,}393$. Tout quadratique irréductible mène à l'arc tangente (après complétion du carré au besoin) : c'est la troisième et dernière famille de primitives des fractions rationnelles, avec les logarithmes et les puissances.

a) L'identité $1+\tan^{2}x=\sec^{2}x$ donne $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$, donc $\int\tan^{2}x\,dx=\int\sec^{2}x\,dx-\int dx=\tan x-x+C$, puisque $\sec^{2}$ est la dérivée de $\tan$. Une intégrale sans primitive apparente est devenue immédiate par simple réécriture : les identités trigonométriques sont des techniques d'intégration à part entière.

b) On détache un facteur $\tan x$ et on convertit le reste : $\tan^{3}x=\tan x\cdot\tan^{2}x=\tan x\left(\sec^{2}x-1\right)=\tan x\sec^{2}x-\tan x$. La première intégrale se fait par $u=\tan x$, $du=\sec^{2}x\,dx$ : $\int\tan x\sec^{2}x\,dx=\frac{\tan^{2}x}{2}$. La seconde est connue : $\int\tan x\,dx=-\ln\left|\cos x\right|$. Total : $\int\tan^{3}x\,dx=\frac{\tan^{2}x}{2}+\ln\left|\cos x\right|+C$. Vérification par dérivation : $\tan x\sec^{2}x-\tan x=\tan x\left(\sec^{2}x-1\right)=\tan^{3}x$ ✓.

c) On écrit $\sec^{3}x=\sec x\cdot\sec^{2}x$ et on pose $u=\sec x$ (donc $du=\sec x\tan x\,dx$) et $dv=\sec^{2}x\,dx$ (donc $v=\tan x$). Alors $I=\int\sec^{3}x\,dx=\sec x\tan x-\int\sec x\tan^{2}x\,dx$. En convertissant $\tan^{2}=\sec^{2}-1$ : $I=\sec x\tan x-\int\sec^{3}x\,dx+\int\sec x\,dx=\sec x\tan x-I+\ln\left|\sec x+\tan x\right|$. L'intégrale de départ est REVENUE : c'est le cas cyclique. On RÉSOUT alors l'équation en $I$ : $2I=\sec x\tan x+\ln\left|\sec x+\tan x\right|$, d'où $I=\frac{\sec x\tan x+\ln\left|\sec x+\tan x\right|}{2}+C$. Le mécanisme est identique à celui de $\int e^{x}\cos x\,dx$ : quand l'intégrale se reproduit, on la traite comme une inconnue algébrique.

d) Deux règles. PUISSANCE PAIRE DE SÉCANTE : on détache $\sec^{2}x$, qui est le $du$ de $u=\tan x$, et on convertit le reste en tangentes avec $\sec^{2}=1+\tan^{2}$. PUISSANCE IMPAIRE DE TANGENTE : on détache $\sec x\tan x$, qui est le $du$ de $u=\sec x$, et on convertit le reste en sécantes avec $\tan^{2}=\sec^{2}-1$. C'est donc tantôt $\sec^{2}x$, tantôt $\sec x\tan x$ qui joue le rôle du $du$, selon la parité rencontrée. Quand aucune des deux configurations ne se présente, comme pour $\int\sec^{3}x\,dx$ où la sécante est impaire et la tangente absente, il faut passer par les parties, comme au point c). La logique est la même que pour sinus et cosinus : on cherche d'abord quel facteur peut servir de $du$, et la parité décide.

a) Les trois formules : $\sin A\cos B=\frac{1}{2}\left[\sin(A+B)+\sin(A-B)\right]$; $\sin A\sin B=\frac{1}{2}\left[\cos(A-B)-\cos(A+B)\right]$; $\cos A\cos B=\frac{1}{2}\left[\cos(A-B)+\cos(A+B)\right]$. Elles se retrouvent en additionnant ou soustrayant les formules d'addition, et elles transforment un PRODUIT (qu'on ne sait pas intégrer) en SOMME (qu'on intègre terme à terme).

b) Avec $A=3x$ et $B=5x$ : $\sin 3x\cos 5x=\frac{1}{2}\left[\sin(8x)+\sin(-2x)\right]=\frac{1}{2}\left[\sin 8x-\sin 2x\right]$, en utilisant l'imparité du sinus. D'où $\int\sin 3x\cos 5x\,dx=\frac{1}{2}\left[-\frac{\cos 8x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}\right]+C=-\frac{\cos 8x}{16}+\frac{\cos 2x}{4}+C$. Vérification par dérivation : $\frac{8\sin 8x}{16}-\frac{2\sin 2x}{4}=\frac{\sin 8x-\sin 2x}{2}$ ✓, ce qui est bien l'intégrande transformé.

c) Premier calcul : $\sin 2x\sin 3x=\frac{1}{2}\left[\cos(-x)-\cos(5x)\right]=\frac{1}{2}\left[\cos x-\cos 5x\right]$. Sur $\left[0,2\pi\right]$, chaque cosinus effectue un nombre entier de périodes complètes et son intégrale est NULLE, donc $\int_{0}^{2\pi}\sin 2x\sin 3x\,dx=0$. Second calcul : $\sin^{2}(3x)=\frac{1-\cos 6x}{2}$, donc $\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(3x)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos 6x\,dx=\frac{2\pi}{2}-0=\pi$. Constat : le produit de deux sinus de fréquences DIFFÉRENTES s'intègre à zéro, alors que le carré d'un même sinus donne $\pi$.

d) Ce contraste s'appelle l'ORTHOGONALITÉ des fonctions trigonométriques. Résultat général : pour $m$ et $n$ entiers strictement positifs, $\int_{0}^{2\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx=0$ si $m\neq n$ et $=\pi$ si $m=n$; les mêmes relations valent pour les cosinus, et $\int_{0}^{2\pi}\sin(mx)\cos(nx)\,dx=0$ toujours. À quoi cela sert : c'est le mécanisme qui permet d'EXTRAIRE les coefficients d'une série de Fourier. Si une fonction s'écrit comme une somme infinie $\sum a_{n}\sin(nx)$, alors multiplier par $\sin(mx)$ et intégrer sur une période annule TOUS les termes sauf celui d'indice $m$, dont il ne reste que $a_{m}\pi$ : on isole ainsi chaque coefficient un par un. C'est exactement l'idée d'une base orthogonale en algèbre linéaire, où l'on récupère une coordonnée par produit scalaire; l'intégrale joue ici le rôle du produit scalaire. Ce résultat, obtenu avec les seules formules du point a), fonde le traitement du signal, la compression audio et l'analyse spectrale.

a) Puissance impaire : on détache un sinus et on convertit le reste : $\sin^{3}x=\sin x(1-\cos^{2}x)$. Avec $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$ : $\int\sin^{3}x\,dx=-\int(1-u^{2})du=-u+\frac{u^{3}}{3}=-\cos x+\frac{\cos^{3}x}{3}+C$.

b) $\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ : $\int\cos^{2}x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$. De même $\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{2}$. Lecture graphique : $\sin^{2}$ oscille SYMÉTRIQUEMENT autour de $\frac{1}{2}$ (la droite pointillée), les bosses au-dessus compensant les creux : son intégrale est celle de la constante $\frac{1}{2}$, soit $\frac{\pi}{2}$ sur $[0,\pi]$. C'est ce $\frac{1}{2}$ moyen qui fait le $\frac{A}{\sqrt{2}}$ des tensions efficaces en électricité.

c) Le cosinus porte la puissance IMPAIRE : c'est lui qu'on casse. $\cos^{3}x=\cos x(1-\sin^{2}x)$, et avec $u=\sin x$ : $\int u^{2}(1-u^{2})du=\frac{\sin^{3}x}{3}-\frac{\sin^{5}x}{5}+C$. Attaquer le sinus (pair) n'aurait rien donné : le facteur détaché doit être la dérivée de l'autre camp.

d) Règles : une puissance IMPAIRE quelque part : détacher un facteur de ce camp, convertir le reste en l'autre via $\sin^{2}+\cos^{2}=1$, substituer. Tout PAIR : linéariser avec les formules de l'angle double, quitte à recommencer. Pourquoi l'impair marche toujours : retirer un facteur d'une puissance impaire laisse une puissance PAIRE, donc entièrement convertible en l'autre fonction; et le facteur détaché est exactement le $du$ de la substitution. La parité n'est pas un hasard de recette : c'est elle qui garantit que la conversion tombe juste.

a) $x=3\sin\theta$, $dx=3\cos\theta\,d\theta$, et $\sqrt{9-9\sin^{2}\theta}=3\cos\theta$ : l'intégrale devient $\int\frac{3\cos\theta}{3\cos\theta}d\theta=\theta+C=\arcsin\frac{x}{3}+C$. C'est d'ailleurs une primitive à connaître directement : $\int\frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$.

b) Mêmes ingrédients : $\int_{0}^{3}\sqrt{9-x^{2}}\,dx=\int_{0}^{\pi/2}3\cos\theta\cdot 3\cos\theta\,d\theta=9\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta=9\cdot\frac{\pi}{4}$ (linéarisation de l'exercice 6 : sur un quart de période, $\cos^{2}$ vaut $\frac{1}{2}$ en moyenne). Résultat : $\frac{9\pi}{4}\approx 7{,}07$. Géométrie : la courbe est le quart de cercle de rayon 3, d'aire $\frac{\pi r^{2}}{4}=\frac{9\pi}{4}$ ✓ : le calcul et la figure se valident mutuellement, et c'est très exactement ainsi qu'on démontre la formule de l'aire du disque.

c) Vérification de la primitive : $\frac{d}{dx}\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+9}\right)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}}{x+\sqrt{x^{2}+9}}=\frac{\frac{\sqrt{x^{2}+9}+x}{\sqrt{x^{2}+9}}}{x+\sqrt{x^{2}+9}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}}$ ✓ (elle sort de la substitution $x=3\tan\theta$). Évaluation : $\ln(3+\sqrt{18})-\ln 3=\ln\frac{3+3\sqrt{2}}{3}=\ln(1+\sqrt{2})\approx 0{,}881$.

d) $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ : poser $x=a\sin\theta$ (le triangle a pour hypoténuse $a$ et côté opposé $x$ : la racine est le côté adjacent). $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ : poser $x=a\tan\theta$ (côtés $a$ et $x$ : la racine est l'hypoténuse). $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ : poser $x=a\sec\theta$ (hypoténuse $x$, côté $a$ : la racine est l'autre côté). Dans les trois cas, l'identité $\sin^{2}+\cos^{2}=1$ (ou ses variantes) fait ÉVAPORER la racine, et le triangle sert au voyage retour : lire $\sin\theta$, $\tan\theta$, $\sec\theta$ sur les côtés pour réécrire la réponse en $x$.

a) $\int xe^{x^{2}}dx$ : le $x$ est (à un facteur 2 près) la dérivée de $x^{2}$ : SUBSTITUTION $u=x^{2}$, résultat $\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$. $\int xe^{x}dx$ : aucune substitution ne marche (la dérivée de l'exposant $x$ vaut $1$, et le facteur $x$ reste sur les bras) : PARTIES, résultat $(x-1)e^{x}+C$. La paire est le test de diagnostic parfait : chercher d'abord « la dérivée de l'intérieur est-elle en facteur ? »; les parties ne viennent qu'après ce constat d'échec. (Et $\int e^{x^{2}}dx$, sans le $x$, n'a aucune primitive élémentaire : le facteur $x$ fait toute la différence.)

b) $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ se factorise : FRACTIONS PARTIELLES, $\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$, d'où $\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$. $x^{2}+1$ ne se factorise PAS : arc tangente direct, $\arctan x+C$. Un simple signe décide entre logarithmes et arc tangente : toujours tester la factorisation du dénominateur avant tout.

c) $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$ (l'identité $1+\tan^{2}=\sec^{2}$ réarrangée) : $\int\tan^{2}x\,dx=\tan x-x+C$, puisque $\sec^{2}$ est la dérivée de $\tan$. Les identités trigonométriques sont des techniques d'intégration à part entière : elles remplacent un intégrande sans primitive apparente par un autre, égal, qui en a une.

d) La liste, dans l'ordre : 1) Est-ce une forme DIRECTE de la table (y compris $\arctan$, $\arcsin$) ? 2) Une fonction et sa dérivée cohabitent-elles ? SUBSTITUTION ($xe^{x^{2}}$, $\frac{\ln x}{x}$, $\tan x$). 3) Un produit de familles différentes (polynôme, exponentielle, trigonométrie, logarithme) ? PARTIES ($xe^{x}$, $x\cos x$, $\ln x$ seul). 4) Une fraction rationnelle ? Division si nécessaire, puis FRACTIONS PARTIELLES. 5) Des puissances trigonométriques ? Parité : détacher ou linéariser. 6) Une racine $\sqrt{a^{2}\pm x^{2}}$ ou $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ ? SUBSTITUTION TRIGONOMÉTRIQUE. Six questions, trente secondes : le diagnostic avant le traitement, comme en médecine.