Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : l'aire entre deux courbes

Cette fiche ne redonne pas la formule de l'aire entre deux courbes : elle tient en une ligne. Elle traite ce qui décide de la note, c'est-à-dire la mise en place de l'intégrale, où se joue la totalité des points d'une question dont le calcul final est souvent élémentaire.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

L'aire entre deux courbes est toujours l'intégrale de « dessus moins dessous ». Tout le travail est ailleurs : trouver les bornes que l'énoncé ne donne pas, décider QUI est au-dessus par un point test, et choisir le sens de tranchage qui demande le moins d'intégrales.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Intégrale définie et impropre Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
3La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
4Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)
5Primitives et intégrale indéfinie
6La décomposition des fractions rationnelles
7Techniques d'intégration
8L'Hôpital et formes indéterminées
9Intégrale définie et impropre

L'essentiel

Aire ou intégrale : deux nombres différents

• $\int_{a}^{b}f$ est une aire ALGÉBRIQUE : ce qui est sous l'axe compte négativement.
• $\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\left|f\right|$ , calculée en découpant aux ZÉROS de $f$ et en changeant le signe des morceaux négatifs.
• « Intégrale », « déplacement », « variation nette » appellent l'intégrale signée.
• « Aire », « distance parcourue », « quantité totale » appellent l'intégrale de la valeur absolue.

Sur

\left[-2,2\right]

, la cubique

x^{3}-4x

délimite deux régions égales de part et d'autre de l'axe : l'intégrale vaut

0

par imparité, l'AIRE vaut

8

Une intégrale nulle avec une courbe visiblement écartée de l'axe n'est jamais une aire nulle : c'est le signal d'un découpage manquant.

La formule, dans les deux sens de tranchage

• Tranches VERTICALES : $\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\left(\text{dessus}-\text{dessous}\right)dx$ , avec $a$ et $b$ obtenus en résolvant $f(x)=g(x)$ .
• Tranches HORIZONTALES : $\mathcal{A}=\int_{c}^{d}\left(\text{droite}-\text{gauche}\right)dy$ , avec $c$ et $d$ les ordonnées d'intersection.
• Les deux donnent le MÊME nombre dans la MÊME unité; seul le nombre d'intégrales change.
• Un point test strictement intérieur à chaque sous-intervalle décide qui est au-dessus, ou à droite.

Aucune borne n'est donnée dans un énoncé d'aire : elles se trouvent toujours en résolvant l'équation d'intersection. C'est la première ligne de la copie.

Les symétries qui divisent le travail par deux

• Intégrande PAIR sur un intervalle symétrique : $\int_{-a}^{a}f=2\int_{0}^{a}f$ .
• Intégrande IMPAIR sur un intervalle symétrique : $\int_{-a}^{a}f=0$ , mais l'AIRE ne l'est pas.
• Une région symétrique par rapport à une droite se calcule sur une moitié, puis se double.
• Une région symétrique par rapport à $y=x$ a la même aire que sa réflexion, ce qui permet de changer de sens de tranchage gratuitement.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Rendre l'intégrale quand la question demandait l'aire

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int_{-2}^{2}\left(x^{3}-4x\right)dx=0$ , donc l'aire vaut $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'intégrale vaut $0$ par imparité; l'aire vaut $\int_{-2}^{0}f-\int_{0}^{2}f=4+4=8$ . »

Pourquoi : Une aire nulle sous une courbe qui s'écarte visiblement de l'axe est une contradiction immédiate. Le mot « aire » impose le découpage aux zéros, exactement comme le mot « distance parcourue » impose le découpage aux changements de sens.

2. Chercher les bornes ailleurs que dans l'intersection

toute la question, et souvent deux points à elle seule

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'énoncé ne donne pas de bornes, je prends $\left[-\infty,+\infty\right]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La région est FERMÉE par les courbes elles-mêmes : je résous $x^{2}=x+2$ , ce qui donne $x=-1$ et $x=2$ . »

Pourquoi : Une région bornée par deux courbes a ses bornes inscrites dans l'équation d'intersection. C'est la première ligne de toute question d'aire, et le barème lui réserve presque toujours des points distincts du calcul.

3. Décider du dessus sans point test

toute la question, le résultat sortant négatif

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}$ a un exposant plus grand, donc la parabole est au-dessus. »

Ce qu'il faut écrire

« Point test $x=0$ dans $\left]-1,2\right[$ : la droite vaut $2$ , la parabole vaut $0$ , donc la DROITE est au-dessus. »

Pourquoi : Le degré d'une formule ne dit rien de sa position sur un intervalle borné. Un seul point test, strictement à l'intérieur, suffit et vaut un demi-point sur la copie : c'est l'argument le moins cher du chapitre.

4. Oublier de découper quand les rôles s'échangent

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\mathcal{A}=\int_{-1}^{1}\left(x-x^{3}\right)dx=0$

Ce qu'il faut écrire

$\mathcal{A}=\int_{-1}^{0}\left(x^{3}-x\right)dx+\int_{0}^{1}\left(x-x^{3}\right)dx=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

Sur

\left]-1,0\right[

la cubique passe au-dessus de la droite, sur

\left]0,1\right[

c'est l'inverse : une seule intégrale sur

\left[-1,1\right]

soustrait une région au lieu de l'ajouter.

Pourquoi : $x^{3}=x$ a TROIS solutions sur $\left[-1,1\right]$ , et non deux : on perd $x=0$ en divisant par $x$ au lieu de factoriser. Ce zéro intermédiaire est précisément l'endroit où le dessus et le dessous s'échangent, donc où l'intégrale doit être coupée.

5. Trancher verticalement une région qui appelle des tranches horizontales

pas de points perdus, mais dix minutes d'examen et deux fois plus d'erreurs possibles

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x=y^{2}$ et $x=y+2$ : je découpe en $x$ , cela me fait deux intégrales avec une racine. »

Ce qu'il faut écrire

« J'intègre par rapport à $y$ : $\int_{-1}^{2}\left[(y+2)-y^{2}\right]dy=\frac{9}{2}$ , en UNE seule intégrale. »

Pourquoi : Quand le bord INFÉRIEUR change de formule en cours de route, les tranches verticales imposent un découpage. Ici le bord passe de $-\sqrt{x}$ à $x-2$ en $x=1$ . Le critère de choix est simple : on tranche dans le sens qui demande le moins de découpages.

6. Refaire le calcul quand le résultat est négatif

cinq minutes d'examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je trouve $-\frac{9}{2}$ , je recommence tout. »

Ce qu'il faut écrire

« Un signe négatif signale seulement que j'ai écrit dessous moins dessus : je change le signe, l'aire vaut $\frac{9}{2}$ . »

Pourquoi : Une aire ne peut pas être négative, et le seul moyen d'obtenir un nombre négatif avec des bornes en ordre croissant est d'avoir inversé les deux fonctions. La réparation prend trois secondes, à condition d'avoir compris ce que le signe dit.

7. Croire qu'une valeur absolue se primitive telle quelle

toute la question dès qu'il y a plus d'une intersection intérieure

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\left|f-g\right|=\left|\int_{a}^{b}(f-g)\right|$

Ce qu'il faut écrire

On découpe aux intersections, on détermine le signe sur chaque morceau, puis on additionne les intégrales prises dans le bon sens.

Pourquoi : La formule avec valeur absolue est exacte mais n'est pas un mode de calcul : aucune table ne donne la primitive d'une valeur absolue. Sur $\left[-1,1\right]$ avec $x^{3}$ et $x$ , la valeur absolue de l'intégrale vaut $0$ alors que l'aire vaut $\frac{1}{2}$ .

8. Changer d'unité en changeant de sens de tranchage

1 point d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En intégrant selon $y$ , j'obtiens une aire dans une autre unité. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux sens donnent le même nombre dans la même unité : $\frac{9}{2}$ dans les deux cas. »

Pourquoi : Une tranche horizontale a pour aire $\left(\text{droite}-\text{gauche}\right)dy$ , soit une longueur multipliée par une longueur : c'est bien une aire. Le sens de tranchage est un choix de méthode, pas un changement de grandeur.

Quelle méthode choisir

Dans quel sens trancher

On regarde les BORDS de la région et on se demande, pour chaque sens, combien de fois un bord change de formule.

Si les deux courbes sont des fonctions de $x$ et ne se croisent qu'aux extrémités → tranches VERTICALES, une seule intégrale

Exemple : $y=x^{2}$ et $y=x+2$ entre $-1$ et $2$
Si les courbes se croisent à l'intérieur de l'intervalle → tranches verticales avec DÉCOUPAGE à chaque intersection

Exemple : $y=x^{3}$ et $y=x$ sur $\left[-1,1\right]$ , coupées en $0$
Si une courbe est donnée sous la forme $x=g(y)$ → tranches HORIZONTALES, c'est presque toujours le sens économique

Exemple : $x=y^{2}$ et $x=y+2$
Si le bord inférieur ou supérieur change de formule en tranches verticales → essayer les tranches horizontales avant de calculer quoi que ce soit

Exemple : trois intégrales en $x$ deviennent une seule en $y$
Si la région est bornée par trois courbes ou plus → découper à chaque SOMMET, dans le sens qui en produit le moins

Exemple : le triangle de $y=x$ , $y=2x$ et $y=6-x$ demande deux intégrales

Une région polygonale se vérifie gratuitement par la formule du déterminant sur ses sommets : c'est le meilleur contrôle disponible.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une aire entre deux courbes, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute question demandant l'aire d'une région bornée par des courbes.

1 Chercher les intersections et les écrire : « $x^{2}=x+2$ donne $x=-1$ et $x=2$ . »
2 Choisir le sens de tranchage et le JUSTIFIER en une phrase.
3 Faire un point test intérieur et annoncer qui est au-dessus : « En $x=0$ , la droite vaut $2$ et la parabole $0$ : la droite est au-dessus. »
4 Écrire l'intégrale complète avec ses bornes, puis la primitive entre crochets.
5 Évaluer et conclure par une phrase donnant l'aire avec son unité.

Phrase de conclusion

L'aire de la région bornée par $y=x^{2}$ et $y=x+2$ vaut $\int_{-1}^{2}\left[(x+2)-x^{2}\right]dx=\frac{9}{2}$ unités d'aire.

Le piège : Écrire l'intégrale sans avoir annoncé le point test. Le correcteur cherche la phrase qui justifie l'ordre « dessus moins dessous »; sans elle, l'intégrale a l'air d'avoir été écrite au hasard, même si elle est juste.

Barème : Généralement 1 point pour les bornes, 1 point pour le point test et l'ordre, 2 points pour l'intégrale posée, 1 point pour le calcul et la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier que le résultat est positif

Avec des bornes en ordre croissant et l'ordre « dessus moins dessous », l'aire est toujours positive. Un résultat négatif signale l'inversion, pas une erreur de calcul.

$-\frac{9}{2}$ se corrige en $\frac{9}{2}$ sans refaire une ligne.
Encadrer par un rectangle

Majorer l'aire par celle du plus petit rectangle contenant la région : le résultat doit être inférieur, et généralement de l'ordre de la moitié.

La région entre $y=x^{2}$ et $y=x+2$ tient dans un rectangle de $3$ par $4$ , soit $12$ ; la réponse $4{,}5$ est plausible, $45$ ne le serait pas.
Recalculer dans l'autre sens de tranchage

Quand le temps le permet, refaire le calcul en tranches horizontales : le nombre doit être identique. C'est la vérification la plus complète du chapitre.

$x=y^{2}$ et $x=y+2$ donnent $\frac{9}{2}$ en une intégrale selon $y$ et $\frac{4}{3}+\frac{19}{6}=\frac{9}{2}$ en deux intégrales selon $x$ ✓.
Compter les intersections avant de conclure

Résoudre l'équation d'intersection par FACTORISATION et compter les solutions. Chaque solution intérieure à l'intervalle impose un découpage.

$x^{3}=x$ donne $x(x-1)(x+1)=0$ , donc trois solutions. Diviser par $x$ en perd une, et le découpage en $0$ disparaît.
Vérifier une région polygonale par le déterminant

Pour un triangle de sommets connus, l'aire vaut la moitié de la valeur absolue du déterminant construit sur les coordonnées. Dix secondes, et c'est indépendant du calcul intégral.

Sommets $(0,0)$ , $(2,4)$ , $(3,3)$ : $\frac{1}{2}\left|2(3)+3(-4)\right|=3$ , ce qui confirme les deux intégrales.

L'exercice type décortiqué

Une région qui appelle des tranches horizontales

Calculer l'aire de la région bornée par la parabole $x=y^{2}$ et la droite $x=y+2$ .

Le bord GAUCHE de la région est la parabole sur toute sa hauteur, mais en tranches verticales le bord inférieur change de formule en

x=1

: c'est ce changement qui impose de trancher horizontalement.

Étape 1

Intersections : on égalise les deux expressions de $x$ , soit $y^{2}=y+2$ , donc $y^{2}-y-2=0$ et $(y-2)(y+1)=0$ . Les ordonnées sont $y=-1$ et $y=2$ , et les points sont $(1\,;-1)$ et $(4\,;2)$ .

Pourquoi

On égalise les $x$ parce que ce sont les $x$ qui sont exprimés en fonction de $y$ . La variable d'intégration est ainsi désignée par l'énoncé lui-même.

Étape 2

Point test à l'intérieur, $y=0$ : la parabole donne $x=0$ , la droite donne $x=2$ . La DROITE est donc à droite sur tout l'intervalle.

Pourquoi

En tranches horizontales, la formule est « droite moins gauche », exactement comme « haut moins bas » en tranches verticales. Le point test décide, et il faut l'écrire.

Étape 3

$\mathcal{A}=\int_{-1}^{2}\left[(y+2)-y^{2}\right]dy=\left[\frac{y^{2}}{2}+2y-\frac{y^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}$ .

Pourquoi

Une seule intégrale, sans racine et sans découpage. C'est le gain du bon sens de tranchage, et il se voit dès l'écriture.

Étape 4

En $2$ : $2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$ . En $-1$ : $\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$ . Donc $\mathcal{A}=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$ .

Pourquoi

On évalue séparément aux deux bornes avant de soustraire : c'est là que se logent les erreurs de signe, et les écrire l'une sous l'autre les rend visibles.

Étape 5

Contre-épreuve en tranches verticales : de $0$ à $1$ , la région va de $-\sqrt{x}$ à $\sqrt{x}$ ; de $1$ à $4$ , elle va de $x-2$ à $\sqrt{x}$ . Cela donne $\int_{0}^{1}2\sqrt{x}\,dx+\int_{1}^{4}\left(\sqrt{x}-x+2\right)dx=\frac{4}{3}+\frac{19}{6}=\frac{9}{2}$ ✓.

Pourquoi

Deux intégrales au lieu d'une, avec des racines : la comparaison montre concrètement ce que le bon sens de tranchage économise, et elle vérifie le résultat.

Étape 6

Contrôle d'ordre de grandeur : la région tient dans le rectangle $\left[0,4\right]\times\left[-1,2\right]$ , d'aire $12$ ; $\frac{9}{2}$ en occupe un peu plus du tiers, ce qui correspond au dessin ✓.

Pourquoi

Un encadrement grossier attrape les erreurs d'un facteur $10$ , celles que la relecture algébrique ne voit jamais.

Conclusion rédigée

L'aire de la région bornée par $x=y^{2}$ et $x=y+2$ vaut $\frac{9}{2}$ unités d'aire, obtenue en une seule intégrale par tranches horizontales.

L'erreur classique sur cet exercice : Égaler $y^{2}$ et $y+2$ puis intégrer selon $x$ avec ces bornes-là. Les nombres $-1$ et $2$ sont des ORDONNÉES : les utiliser comme bornes d'une intégrale en $x$ donne un nombre sans rapport avec la région.

À savoir par cœur

• Bornes : elles ne sont jamais données, elles se trouvent en résolvant $f=g$ .
• Verticales : $\int\left(\text{dessus}-\text{dessous}\right)dx$ . Horizontales : $\int\left(\text{droite}-\text{gauche}\right)dy$ .
• Un point test STRICTEMENT intérieur décide de l'ordre, sur chaque sous-intervalle.
• Chaque intersection intérieure impose un DÉCOUPAGE.
• Résultat négatif : ordre inversé. On change le signe, on ne refait pas le calcul.
• Le sens de tranchage ne change ni la valeur ni l'unité, seulement le nombre d'intégrales.
• Intégrande impair sur un intervalle symétrique : intégrale nulle, aire non nulle.
• Aire d'un triangle de sommets connus : la moitié de la valeur absolue du déterminant.

Questions fréquentes

Comment trouver les bornes d'une aire entre deux courbes ?

En résolvant l'équation d'intersection, c'est-à-dire en égalant les deux expressions. Les solutions obtenues sont les bornes de l'intégrale. Un énoncé d'aire ne donne presque jamais les bornes explicitement, parce que la région est fermée par les courbes elles-mêmes.

Comment savoir quelle courbe est au-dessus ?

En choisissant un point strictement à l'intérieur de l'intervalle et en évaluant les deux fonctions. Celle qui donne la plus grande valeur est au-dessus, et elle le reste tant que les courbes ne se recoupent pas. Le degré ou la forme de la formule ne dit rien de la position.

Quand faut-il intégrer par rapport à y ?

Quand le bord inférieur ou supérieur de la région change de formule en tranches verticales, ce qui obligerait à découper. C'est presque toujours le cas lorsque l'une des courbes est donnée sous la forme x égale une fonction de y, par exemple une parabole couchée.

Pourquoi mon aire est-elle négative ?

Parce que les deux fonctions ont été écrites dans le mauvais ordre : vous avez intégré dessous moins dessus. Il suffit de changer le signe du résultat, sans refaire le calcul. C'est le seul moyen d'obtenir un nombre négatif quand les bornes sont dans l'ordre croissant.

L'intégrale et l'aire sont-elles la même chose ?

Seulement si la fonction garde un signe constant sur l'intervalle. Sinon l'intégrale compte négativement ce qui est sous l'axe, et elle peut même être nulle alors que l'aire ne l'est pas. Pour une aire, on découpe aux zéros et on change le signe des morceaux négatifs.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Aire entre deux courbes

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Applications de l'intégrale

Voir aussi

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