Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les suites numériques

Q: Quelle est la différence entre une suite et une série ?

Une suite est la liste des termes, une série est la suite de leurs sommes cumulées. Les deux peuvent avoir des comportements opposés sur la même expression : les termes un sur n tendent vers zéro, alors que leurs sommes cumulées croissent sans limite. C'est la confusion la plus coûteuse de la fin de session.

Q: Comment montrer qu'une suite définie par récurrence converge ?

En trois étapes distinctes. On prouve d'abord une borne par récurrence, puis la monotonie, ce qui donne l'existence de la limite par le théorème de convergence monotone. C'est seulement ensuite qu'on passe à la limite dans la relation de récurrence pour trouver sa valeur.

Q: Peut-on trouver la limite en résolvant l'équation du point fixe ?

Seulement après avoir prouvé que la limite existe. L'équation du point fixe suppose l'existence : elle s'obtient en passant à la limite dans la relation de récurrence. Sur une suite qui double à chaque étape, ce raccourci donnerait zéro alors que la suite diverge vers l'infini.

Q: Une suite bornée converge-t-elle toujours ?

Non. La suite qui vaut alternativement plus un et moins un est bornée et ne converge pas. Le théorème demande deux conditions : monotone et bornée. La monotonie force la suite à aller dans un seul sens, la borne l'empêche de partir à l'infini, et les deux ensemble la contraignent à se stabiliser.

Q: Peut-on appliquer la règle de L'Hospital à une suite ?

Pas directement, car une suite n'est pas dérivable. On étudie la fonction réelle associée, on calcule sa limite en plus l'infini, puis on conclut que la suite a la même limite. Cette implication ne fonctionne que dans ce sens : une suite peut converger alors que la fonction n'a pas de limite.

Cette fiche ne redéfinit pas ce qu'est une suite : vous le savez. Elle traite ce qui décide de la note sur ce chapitre et sur les deux suivants, à savoir la distinction entre suite et série, et la méthode complète des suites récurrentes, où l'existence de la limite doit être prouvée AVANT d'être calculée.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une suite converge quand ses termes s'approchent d'un nombre FINI, et ce nombre s'appelle sa limite. Retenir cette définition permet d'éviter la confusion la plus coûteuse de la fin de session : la convergence d'une SUITE ne dit rien de la convergence de la SÉRIE qu'elle engendre.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA) Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Variation inverse et proportionnalitéSecondaire 3
2Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
3Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
4La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
5Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5
6Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
7Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
8Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)

Notions couvertes

Suite numérique
Terme général
Limite d'une suite
Suite monotone
Suite bornée
Théorème de convergence monotone
Suite définie par récurrence
Point fixe
Suite géométrique
Théorème du sandwich

L'essentiel

Converger, diverger, et ce que cela veut dire

• $\left(u_{n}\right)$ CONVERGE vers $L$ si $u_{n}$ se rapproche autant qu'on veut de $L$ pour $n$ assez grand. $L$ doit être FINI.
• Une suite qui tend vers $\pm\infty$ DIVERGE, même si son comportement est parfaitement régulier.
• Une suite qui oscille sans se stabiliser, comme $(-1)^{n}$ , diverge aussi.
• Une suite convergente est nécessairement BORNÉE; la réciproque est fausse.
• Si $u_{n}=f(n)$ et si $f$ a une limite $L$ en $+\infty$ , alors $u_{n}\to L$ . La RÉCIPROQUE est fausse.

Deux suites, deux destins :

\frac{n+1}{n}

se resserre sur la droite

y=1

, tandis que

(-1)^{n}

saute indéfiniment entre

-1

1

sans jamais se fixer.

Le passage à la fonction est ce qui autorise la règle de L'Hospital sur une suite : une suite ne se dérive pas, une fonction oui.

Les trois outils qui prouvent une convergence

• MONOTONE ET BORNÉE : une suite croissante et majorée converge; décroissante et minorée aussi. Les DEUX conditions sont nécessaires.
• SANDWICH : si $a_{n}\le u_{n}\le b_{n}$ avec $a_{n}$ et $b_{n}$ de même limite $L$ , alors $u_{n}\to L$ .
• FONCTION ASSOCIÉE : calculer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ , éventuellement par L'Hospital, puis conclure sur $u_{n}=f(n)$ .
• Géométrique $u_{n}=r^{n}$ : converge si $-1<r\le 1$ , diverge sinon. Vers $0$ si $\left|r\right|<1$ , vers $1$ si $r=1$ .

Le théorème de convergence monotone donne l'EXISTENCE de la limite sans la calculer : c'est exactement ce dont on a besoin avant de résoudre l'équation du point fixe.

Suite et série : deux objets, deux questions

• La SUITE est la liste des termes $u_{1},u_{2},u_{3},\ldots$
• La SÉRIE est la suite des SOMMES partielles $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$ .
• $u_{n}\to 0$ est NÉCESSAIRE pour que la série converge, mais absolument pas suffisant.
• Contre-exemple à retenir : $u_{n}=\frac{1}{n}$ tend vers $0$ et pourtant $\sum\frac{1}{n}$ diverge.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les suites de référence : converge ou diverge

Cinq familles couvrent la quasi-totalité des questions d'examen. Chacune est donnée avec un terme calculé, parce qu'un terme qui vaut encore $117$ au rang $50$ ne converge pas vers $0$ .

Suite $u_{n}$	Condition	Comportement
$r^{n}$	$\left\|r\right\|<1$	CONVERGE vers $0$
Exemple : $0{,}9^{50}\approx 0{,}0052$ , et $0{,}9^{200}\approx 7{,}1\times 10^{-10}$ : la décroissance est lente au début, puis brutale.
$r^{n}$	$r=1$	CONVERGE vers $1$
Exemple : La suite constante $u_{n}=1$ converge vers $1$ : une suite n'a pas besoin de bouger pour avoir une limite.
$r^{n}$	$r>1$	DIVERGE vers $+\infty$
Exemple : $1{,}1^{50}\approx 117{,}4$ : un taux de $10$ pour cent par période multiplie par plus de cent en cinquante périodes.
$r^{n}$	$r\leq-1$	DIVERGE en oscillant
Exemple : $(-2)^{10}=1024$ et $(-2)^{11}=-2048$ : les termes changent de signe et grossissent, il n'y a aucune limite, pas même infinie.
$\frac{1}{n^{a}}$	$a>0$	CONVERGE vers $0$
Exemple : $\frac{1}{\sqrt{100}}=0{,}1$ : même la plus lente de ces suites finit par tendre vers $0$ .
$n^{a}r^{n}$	$\left\|r\right\|<1$	CONVERGE vers $0$
Exemple : En $n=200$ avec $a=2$ et $r=0{,}9$ , le terme vaut environ $2{,}8\times 10^{-5}$ : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.
$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$	aucune	CONVERGE vers $\mathrm{e}$
Exemple : En $n=1000$ , le terme vaut environ $2{,}717$ , à comparer à $\mathrm{e}\approx 2{,}718$ . La convergence est lente, en $\frac{1}{n}$ .

Une suite qui tend vers $\pm\infty$ DIVERGE, même si son comportement est parfaitement régulier. C'est la confusion de vocabulaire qui coûte le plus cher dans ce chapitre.

Suite ou série : la même expression, deux réponses

Le terme général et la somme de ses termes ne posent pas la même question, et c'est le fil de tout le chapitre. La colonne de droite est celle de la SÉRIE.

Terme $u_{n}$	La SUITE $u_{n}$	La SÉRIE $\sum u_{n}$
$\frac{1}{n}$	converge vers $0$	DIVERGE
Exemple : Le contre-exemple à retenir. La somme des $100$ premiers termes vaut environ $5{,}19$ , celle du premier million environ $14{,}39$ : elle monte encore, sans borne.
$\frac{1}{n^{2}}$	converge vers $0$	CONVERGE vers $\frac{\pi^{2}}{6}$
Exemple : Soit environ $1{,}645$ . La somme des $100$ premiers termes vaut déjà $1{,}635$ : ici l'accumulation s'arrête.
$\frac{1}{\sqrt{n}}$	converge vers $0$	DIVERGE
Exemple : La somme des $10\,000$ premiers termes vaut environ $198{,}5$ . Le terme tend vers $0$ trop lentement pour que la somme s'arrête.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$	converge vers $0$	CONVERGE vers $1$
Exemple : En sommant à partir de $n=1$ : $\frac{1/2}{1-1/2}=1$ . La somme des $20$ premiers termes vaut déjà $0{,}99999905$ .
$(-1)^{n}$	DIVERGE en oscillant	DIVERGE
Exemple : Les sommes partielles valent alternativement $-1$ et $0$ : elles n'ont pas de limite non plus.

$u_{n}\to 0$ est NÉCESSAIRE pour que la série converge, jamais suffisant : les lignes 1 et 3 le prouvent. La réciproque, en revanche, est vraie et sert de test rapide : si $u_{n}$ ne tend pas vers $0$ , la série diverge, et cela s'écrit en une ligne.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre la suite et la série

toute la question, et le même piège se répète sur trois chapitres

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{1}{n}\to 0$ , donc $\sum\frac{1}{n}$ converge. »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{1}{n}\to 0$ est nécessaire mais pas suffisant : la série harmonique DIVERGE. »

Les termes

\frac{1}{n}

descendent vers

0

pendant que leurs sommes partielles montent sans jamais se stabiliser : la suite converge, la série diverge.

Pourquoi : Les sommes partielles de la série harmonique croissent comme $\ln n$ : elles augmentent de plus en plus lentement, mais sans borne. Un terme qui tend vers zéro ne garantit rien, parce qu'on en additionne une infinité.

2. Dériver une suite

1 point de rigueur, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n}=\frac{\ln n}{n}$ , je dérive par rapport à $n$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une suite n'est pas dérivable : j'étudie $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ sur les réels, dont la limite est $0$ , et j'en déduis $u_{n}\to 0$ . »

Pourquoi : L'indice $n$ est un entier, et la dérivation demande une variable continue. Le passage à la fonction associée est licite et se dit en une phrase, qui est précisément le point que le barème réserve. La réciproque, elle, est fausse : $\sin(2\pi n)=0$ converge alors que $\sin(2\pi x)$ n'a pas de limite.

3. Conclure à la convergence par la seule monotonie

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n}=n$ est croissante, donc elle converge. »

Ce qu'il faut écrire

« Croissante ET MAJORÉE donne la convergence. $u_{n}=n$ est croissante mais non majorée : elle diverge vers $+\infty$ . »

Pourquoi : Le théorème a deux hypothèses, et celle qu'on oublie est la borne. Une suite croissante fait toujours l'une de deux choses : ou bien elle bute contre un plafond et converge, ou bien elle monte indéfiniment. C'est la borne, et elle seule, qui tranche.

4. Calculer la limite d'une suite récurrente sans prouver qu'elle existe

la moitié de la question, souvent trois points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$ , donc à la limite $L=\sqrt{2+L}$ , donc $L=2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je montre d'abord que la suite est croissante et majorée par $2$ , DONC qu'elle converge; l'équation du point fixe donne ensuite $L=2$ . »

Pourquoi : L'équation du point fixe suppose l'existence de la limite : c'est en passant à la limite dans la relation de récurrence qu'on l'obtient. Sur $u_{n+1}=2u_{n}$ avec $u_{0}=1$ , la même méthode donnerait $L=2L$ donc $L=0$ , alors que la suite diverge vers l'infini.

5. Prendre un point fixe pour une preuve de convergence

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'équation $L=f(L)$ a une solution, donc la suite converge vers elle. »

Ce qu'il faut écrire

« Un point fixe est un CANDIDAT limite. La convergence se prouve à part, par monotonie et borne, ou par le sandwich. »

Pourquoi : Une équation de point fixe peut avoir une solution sans que la suite s'en approche : $u_{n+1}=-u_{n}$ avec $u_{0}=1$ a le point fixe $0$ et oscille entre $1$ et $-1$ . L'existence de la limite et sa valeur sont deux questions séparées, et l'ordre compte.

6. Croire que bornée entraîne convergente

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n}=(-1)^{n}$ est bornée par $1$ , donc elle converge. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle est bornée mais pas monotone : elle oscille entre $-1$ et $1$ et n'a pas de limite. »

Pourquoi : Le théorème demande monotone ET bornée, dans cet ordre logique : la monotonie force la suite à aller dans un seul sens, la borne l'empêche de partir à l'infini. Sans monotonie, une suite bornée peut sauter indéfiniment entre deux valeurs.

7. Utiliser la réciproque du passage à la fonction

1 à 2 points de rigueur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n}=\sin(2\pi n)$ converge vers $0$ , donc $\sin(2\pi x)$ tend vers $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'implication ne va que dans un sens : la fonction n'a pas de limite, alors que la suite, qui n'en voit que les entiers, vaut $0$ partout. »

Pourquoi : La suite ne regarde que les entiers, la fonction regarde tous les réels : la fonction en sait donc PLUS. Ce qui est vrai pour tous les réels l'est pour les entiers, jamais l'inverse. C'est aussi pourquoi L'Hospital sur la fonction conclut sur la suite, et non le contraire.

8. Confondre suite géométrique et suite arithmétique dans la condition de convergence

1 point, et toute la discussion d'une série géométrique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n}=r^{n}$ converge dès que $\left|r\right|\le 1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $r^{n}$ converge pour $-1<r\le 1$ : la valeur $r=-1$ est EXCLUE, la suite y oscille entre $-1$ et $1$ . »

Pourquoi : L'intervalle de convergence n'est pas symétrique : il est fermé à droite en $1$ , où la suite est constante, et ouvert à gauche en $-1$ , où elle oscille. Cette dissymétrie se retrouve exactement dans l'étude des séries entières au chapitre suivant.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode pour la limite d'une suite

On regarde comment la suite est DONNÉE : par une formule explicite ou par une récurrence. Les deux mènent à des méthodes complètement différentes.

Si formule explicite, quotient de polynômes ou de puissances → factoriser le terme dominant, ou passer à la fonction et appliquer L'Hospital

Exemple : $\frac{3n^{2}-1}{5n^{2}+n}\to\frac{3}{5}$
Si formule explicite avec un encadrement naturel → théorème du SANDWICH, en majorant et minorant par deux suites de même limite

Exemple : $-\frac{1}{n}\le\frac{\sin n}{n}\le\frac{1}{n}$ donne $0$
Si formule explicite de la forme $r^{n}$ ou $n^{a}r^{n}$ → croissances comparées : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance

Exemple : $\frac{n^{10}}{2^{n}}\to 0$
Si suite définie par RÉCURRENCE → prouver monotonie et borne par récurrence, conclure à l'existence, PUIS résoudre $L=f(L)$

Exemple : $u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$ donne $L=2$
Si la suite oscille de signe → étudier $\left|u_{n}\right|$ : si elle tend vers $0$ , la suite aussi

Exemple : $\frac{(-1)^{n}}{n}\to 0$ car $\frac{1}{n}\to 0$

Une suite récurrente demande TROIS étapes distinctes, chacune notée : monotonie, borne, puis point fixe. Sauter l'une des deux premières coûte plus que de se tromper dans la troisième.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une suite récurrente, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute suite donnée par $u_{0}$ et une relation $u_{n+1}=f(u_{n})$ .

1 Calculer les trois ou quatre premiers termes, pour deviner le sens de variation et la borne.
2 Prouver la BORNE par récurrence : « Supposons $u_{n}<2$ ; alors $u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}<\sqrt{4}=2$ . »
3 Prouver la MONOTONIE, souvent en étudiant le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ ou en utilisant la borne.
4 Conclure à l'EXISTENCE de la limite par le théorème de convergence monotone.
5 Passer à la limite dans la relation de récurrence, résoudre, et écarter les solutions impossibles.

Phrase de conclusion

La suite étant croissante et majorée par $2$ , elle converge; en passant à la limite dans $u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$ , on obtient $L=\sqrt{2+L}$ , donc $L^{2}-L-2=0$ , donc $L=2$ , la solution $L=-1$ étant écartée car la suite est positive.

Le piège : Écarter la racine négative sans le dire. La phrase « $L=-1$ est impossible car tous les termes sont positifs » vaut un demi-point et prouve qu'on sait que l'équation a deux solutions.

Barème : Typiquement 2 points pour la borne prouvée par récurrence, 2 points pour la monotonie, 1 point pour la conclusion d'existence, 1 point pour le point fixe et le rejet.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Calculer les premiers termes

Trois ou quatre termes à la calculatrice montrent immédiatement si la suite monte, descend ou oscille, et vers quelle valeur elle se dirige.

$u_{0}=1$ donne $1{,}732$ , puis $1{,}932$ , puis $1{,}983$ : croissante et visiblement plafonnée par $2$ ✓.
Vérifier que la limite trouvée est un point fixe

Substituer la limite dans la relation de récurrence : elle doit se reproduire exactement.

$\sqrt{2+2}=2$ ✓. Une valeur qui ne se reproduit pas signale une erreur dans la résolution de l'équation.
Contrôler la cohérence entre la limite et la borne

La limite d'une suite croissante majorée est toujours inférieure ou égale à la borne, et supérieure au premier terme.

$1\le L\le 2$ , et $L=2$ est bien dans cet encadrement ✓. Une limite de $3$ contredirait la majoration prouvée.
Distinguer la question posée : suite ou série

Relire l'énoncé et repérer s'il parle du terme général ou de la somme. Les deux questions ont des réponses différentes sur la même expression.

Pour $\frac{1}{n}$ : la SUITE converge vers $0$ , la SÉRIE diverge. Répondre à la mauvaise question annule la réponse.

L'exercice type décortiqué

Une suite récurrente, des trois étapes à la limite

Soit la suite définie par $u_{0}=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$ pour tout $n\ge 0$ .

Montrer qu'elle converge, puis déterminer sa limite.

La courbe

y=\sqrt{2+x}

coupe la droite

y=x

au seul point

(2\,;2)

: c'est le candidat limite, et la courbe passe au-dessus de la droite à gauche de ce point, ce qui fait monter la suite.

Étape 1

Premiers termes : $u_{0}=1$ , $u_{1}=\sqrt{3}\approx 1{,}732$ , $u_{2}=\sqrt{3{,}732}\approx 1{,}932$ , $u_{3}\approx 1{,}983$ .

Pourquoi

Trois valeurs suffisent à voir la suite monter et plafonner vers $2$ . Elles orientent la démonstration : on va prouver croissante et majorée par $2$ , pas l'inverse.

Étape 2

MAJORATION par récurrence. Initialisation : $u_{0}=1<2$ . Hérédité : si $u_{n}<2$ , alors $2+u_{n}<4$ , donc $u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}<\sqrt{4}=2$ . Donc $u_{n}<2$ pour tout $n$ .

Pourquoi

On prouve la borne AVANT la monotonie, car la borne servira à établir la croissance. La racine carrée étant croissante, elle conserve l'inégalité : c'est l'argument qui fait fonctionner l'hérédité.

Étape 3

CROISSANCE. $u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}=2+u_{n}-u_{n}^{2}=-\left(u_{n}-2\right)\left(u_{n}+1\right)$ . Comme $0<u_{n}<2$ , le premier facteur est négatif et le second positif, donc la différence est POSITIVE. Les termes étant positifs, $u_{n+1}>u_{n}$ .

Pourquoi

On compare les CARRÉS pour éviter la racine, ce qui est licite entre nombres positifs. La factorisation du trinôme rend le signe évident, et l'encadrement prouvé à l'étape précédente est exactement ce qui permet de conclure.

Étape 4

La suite est croissante et majorée par $2$ : par le théorème de convergence monotone, elle CONVERGE vers une limite finie $L$ .

Pourquoi

Cette phrase est le pivot de la copie. Elle donne l'existence sans donner la valeur, et c'est elle qui autorise l'étape suivante. Sans elle, le passage à la limite serait un calcul sur un objet dont rien ne prouve qu'il existe.

Étape 5

Passage à la limite : $L=\sqrt{2+L}$ , donc $L^{2}=2+L$ , soit $L^{2}-L-2=0$ et $(L-2)(L+1)=0$ . Les candidats sont $L=2$ et $L=-1$ .

Pourquoi

On élève au carré, ce qui peut créer des solutions parasites : c'est précisément pourquoi l'étape suivante existe. Deux racines pour une seule limite : il faut trancher.

Étape 6

Rejet : tous les termes sont positifs, donc $L\ge 0$ et $L=-1$ est impossible. La limite vaut $L=2$ . Contrôle : $\sqrt{2+2}=2$ ✓, et $1\le 2\le 2$ respecte l'encadrement prouvé ✓.

Pourquoi

La phrase de rejet est notée, comme l'était le rejet d'une racine hors domaine en optimisation. Elle prouve qu'on sait d'où vient la seconde solution et pourquoi elle ne convient pas.

Conclusion rédigée

La suite est croissante et majorée par $2$ , donc elle converge; sa limite vérifie $L=\sqrt{2+L}$ , ce qui donne $L=2$ , la racine $L=-1$ étant écartée par la positivité des termes.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire directement $L=\sqrt{2+L}$ donc $L=2$ , sans prouver la convergence. Sur $u_{n+1}=2u_{n}$ avec $u_{0}=1$ , ce raccourci donnerait $L=2L$ , donc $L=0$ , alors que la suite double à chaque étape et diverge vers l'infini.

À savoir par cœur

• Converger veut dire tendre vers un nombre FINI. Tendre vers l'infini, c'est diverger.
• Monotone ET bornée donne la convergence. Les deux conditions, pas une seule.
• Une suite ne se dérive pas : passer par la fonction associée, et le dire.
• L'implication fonction vers suite est vraie; la réciproque est fausse.
• Suite récurrente : monotonie, borne, EXISTENCE, puis point fixe. Dans cet ordre.
• Un point fixe est un candidat limite, jamais une preuve de convergence.
• $r^{n}$ converge pour $-1<r\le 1$ : l'intervalle n'est pas symétrique.
• $u_{n}\to 0$ est nécessaire pour que $\sum u_{n}$ converge, jamais suffisant.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une suite et une série ?

Une suite est la liste des termes, une série est la suite de leurs sommes cumulées. Les deux peuvent avoir des comportements opposés sur la même expression : les termes un sur n tendent vers zéro, alors que leurs sommes cumulées croissent sans limite. C'est la confusion la plus coûteuse de la fin de session.

Comment montrer qu'une suite définie par récurrence converge ?

En trois étapes distinctes. On prouve d'abord une borne par récurrence, puis la monotonie, ce qui donne l'existence de la limite par le théorème de convergence monotone. C'est seulement ensuite qu'on passe à la limite dans la relation de récurrence pour trouver sa valeur.

Peut-on trouver la limite en résolvant l'équation du point fixe ?

Seulement après avoir prouvé que la limite existe. L'équation du point fixe suppose l'existence : elle s'obtient en passant à la limite dans la relation de récurrence. Sur une suite qui double à chaque étape, ce raccourci donnerait zéro alors que la suite diverge vers l'infini.

Une suite bornée converge-t-elle toujours ?

Non. La suite qui vaut alternativement plus un et moins un est bornée et ne converge pas. Le théorème demande deux conditions : monotone et bornée. La monotonie force la suite à aller dans un seul sens, la borne l'empêche de partir à l'infini, et les deux ensemble la contraignent à se stabiliser.

Peut-on appliquer la règle de L'Hospital à une suite ?

Pas directement, car une suite n'est pas dérivable. On étudie la fonction réelle associée, on calcule sa limite en plus l'infini, puis on conclut que la suite a la même limite. Cette implication ne fonctionne que dans ce sens : une suite peut converger alors que la fonction n'a pas de limite.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les suites numériques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Séries numériques

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