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Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : formes indéterminées et règle de l'hospital

Cette fiche ne redémontre pas la règle de L'Hospital : elle tient en une ligne. Elle traite ce qui décide de la note, à savoir la reconnaissance de la forme AVANT de dériver, et la réécriture des cinq indéterminations qui ne sont pas des quotients, seule difficulté réelle du chapitre.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

La règle de L'Hospital ne s'applique qu'aux formes 00\frac{0}{0} et ∞∞\frac{\infty}{\infty}. Toutes les autres indéterminations doivent d'abord être RÉÉCRITES sous l'une de ces deux formes, et c'est cette réécriture, jamais la dérivation, qui fait la difficulté de la question.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (14 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
  2. 2Calculs exponentiels et logarithmiquesSecondaire 5 SN5
  3. 3Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 SN5
  4. 4Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
  5. 5Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
  6. 6La fonction racine carréeSecondaire 5 SN5
  7. 7Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5
  8. 8Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5
  9. 9Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5
  10. 10Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
  11. 11Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
  12. 12Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
  13. 13La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
  14. 14Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)

L'essentiel

L'énoncé exact, et ses trois conditions

  • • Si lim⁡fg\lim\frac{f}{g} est de la forme 00\frac{0}{0} ou ∞∞\frac{\infty}{\infty}, si ff et gg sont dérivables au voisinage du point, et si g′g' ne s'annule pas, alors lim⁡fg=lim⁡f′g′\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}.
  • • On dérive le NUMÉRATEUR et le DÉNOMINATEUR séparément, jamais le quotient.
  • • La règle peut se répéter tant que la forme reste indéterminée; il faut REVÉRIFIER la forme à chaque tour.
  • • Elle ne s'applique à AUCUNE autre forme : 50+\frac{5}{0^{+}}, 05\frac{0}{5}, 5∞\frac{5}{\infty} se lisent directement.
-6-5-4-3-2-1123456-0.50.511.5limite 1 en 0
sin⁡xx\frac{\sin x}{x} n'existe pas en 00, mais la courbe s'y dirige vers 11 des deux côtés : c'est ce que la forme 00\frac{0}{0} cachait, et ce que la règle de L'Hospital retrouve en une ligne.

Écrire « forme 00\frac{0}{0} » avant chaque application rapporte un demi-point et empêche l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Les sept formes, et leur réécriture

  • • 00\frac{0}{0} et ∞∞\frac{\infty}{\infty} : L'Hospital directement.
  • • 0⋅∞0\cdot\infty : écrire fg=f1/gfg=\frac{f}{1/g}, ce qui donne 00\frac{0}{0}, ou g1/f\frac{g}{1/f}, ce qui donne ∞∞\frac{\infty}{\infty}.
  • • ∞−∞\infty-\infty : mettre au même dénominateur, factoriser le terme dominant, ou multiplier par le conjugué.
  • • 1∞1^{\infty}, ∞0\infty^{0}, 000^{0} : poser y=fgy=f^{g}, passer au LOGARITHME, ln⁡y=gln⁡f\ln y=g\ln f, qui est une forme 0⋅∞0\cdot\infty.
  • • Ne jamais oublier de repasser à l'exponentielle : si ln⁡y→L\ln y\to L, alors y→eLy\to e^{L}.

Les cinq dernières formes ne sont pas plus difficiles, elles demandent seulement une ligne de réécriture avant de pouvoir dériver.

Les croissances comparées, à connaître sans calcul

  • • ln⁡x≪xa≪ex≪x!\ln x\ll x^{a}\ll e^{x}\ll x! quand x→+∞x\to+\infty, pour tout a>0a>0.
  • • lim⁡x→+∞ln⁡xxa=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{a}}=0 et lim⁡x→+∞xaex=0\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{a}}{e^{x}}=0, quelle que soit la puissance.
  • • lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0 : le logarithme part vers −∞-\infty, mais xx gagne.
  • • lim⁡x→+∞(1+1x)x=e\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, la forme 1∞1^{\infty} la plus célèbre.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les sept formes, et la réécriture qui rend L'Hospital applicable

La règle ne s'applique qu'à DEUX formes. Les cinq autres se réécrivent d'abord, et c'est cette réécriture, pas la dérivation, qui est notée.

Forme rencontréeCe qu'on écritForme obtenue
00\frac{0}{0} rien, la règle s'applique on dérive haut et bas

Exemple : lim⁡x→0sin⁡xx=lim⁡x→0cos⁡x1=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1. En x=0,001x=0{,}001, le quotient vaut déjà 0,999999830{,}99999983.

∞∞\frac{\infty}{\infty} rien, la règle s'applique on dérive haut et bas

Exemple : lim⁡x→+∞ln⁡xx=lim⁡x→+∞1/x1=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}=0. En x=1000x=1000, le quotient vaut environ 0,00690{,}0069.

0⋅∞0\cdot\infty fg=f1/gfg=\frac{f}{1/g} 00\frac{0}{0} ou ∞∞\frac{\infty}{\infty}

Exemple : lim⁡x→0+xln⁡x=lim⁡x→0+ln⁡x1/x=lim⁡x→0+(−x)=0\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to 0^{+}}(-x)=0. En x=0,001x=0{,}001, le produit vaut environ −0,0069-0{,}0069.

∞−∞\infty-\infty même dénominateur, ou conjugué 00\frac{0}{0}

Exemple : lim⁡x→0(1sin⁡x−1x)=lim⁡x→0x−sin⁡xxsin⁡x=0\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x\sin x}=0. En x=0,01x=0{,}01, la différence vaut environ 0,001670{,}00167.

1∞1^{\infty} y=fgy=f^{g}, puis ln⁡y=gln⁡f\ln y=g\ln f 0⋅∞0\cdot\infty, puis eL\mathrm{e}^{L}

Exemple : lim⁡x→+∞(1+1x)x=e≈2,718\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}\approx 2{,}718 : ln⁡y=xln⁡(1+1x)→1\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\to 1, donc y→e1y\to\mathrm{e}^{1}.

∞0\infty^{0} y=fgy=f^{g}, puis ln⁡y=gln⁡f\ln y=g\ln f 0⋅∞0\cdot\infty, puis eL\mathrm{e}^{L}

Exemple : lim⁡x→+∞x1/x=e0=1\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}=\mathrm{e}^{0}=1 : ln⁡y=ln⁡xx→0\ln y=\frac{\ln x}{x}\to 0. En x=1000x=1000, la valeur vaut environ 1,00691{,}0069.

000^{0} y=fgy=f^{g}, puis ln⁡y=gln⁡f\ln y=g\ln f 0⋅∞0\cdot\infty, puis eL\mathrm{e}^{L}

Exemple : lim⁡x→0+xx=e0=1\lim_{x\to 0^{+}}x^{x}=\mathrm{e}^{0}=1 : ln⁡y=xln⁡x→0\ln y=x\ln x\to 0. En x=0,001x=0{,}001, la valeur vaut environ 0,9930{,}993.

Tout le reste on substitue la réponse, sans dériver

Exemple : 50+=+∞\frac{5}{0^{+}}=+\infty, 5∞=0\frac{5}{\infty}=0, 05=0\frac{0}{5}=0 : appliquer L'Hospital à l'une de ces formes donne un résultat faux, et la ligne est comptée comme une faute de méthode.

La dernière ligne de la réécriture par logarithme est celle qu'on oublie : ln⁡y→L\ln y\to L ne conclut rien, il faut écrire y→eLy\to\mathrm{e}^{L}. Un ln⁡y\ln y qui tend vers 00 signifie que yy tend vers 11, pas vers 00.

Les croissances comparées, avec les nombres qui les prouvent

La hiérarchie ln⁡x≪xa≪ex≪x!\ln x\ll x^{a}\ll \mathrm{e}^{x}\ll x! donne la réponse avant tout calcul, et une seule évaluation numérique suffit à s'en convaincre.

Quotient en +∞+\inftyQui l'emporteLimite
ln⁡xxa\frac{\ln x}{x^{a}}, a>0a>0 la puissance, toujours 00

Exemple : Avec a=1a=1, en x=106x=10^{6} le quotient vaut environ 1,4×10−51{,}4\times 10^{-5}.

xaex\frac{x^{a}}{\mathrm{e}^{x}} l'exponentielle, toujours 00

Exemple : Avec a=3a=3, en x=20x=20 le quotient vaut environ 1,6×10−51{,}6\times 10^{-5}, alors que x3=8000x^{3}=8000 semblait grand.

enn!\frac{\mathrm{e}^{n}}{n!} la factorielle 00

Exemple : En n=20n=20, le quotient vaut environ 2×10−102\times 10^{-10} : la factorielle écrase même l'exponentielle.

xln⁡xx\ln x en 0+0^{+} le facteur xx 00

Exemple : En x=0,001x=0{,}001, le produit vaut environ −0,0069-0{,}0069 : il tend vers 00 par valeurs négatives.

ln⁡xx\frac{\ln x}{\sqrt{x}} la racine, qui est une puissance 00

Exemple : En x=106x=10^{6}, le quotient vaut environ 0,01380{,}0138 : la convergence est lente, mais elle a lieu.

Ces cinq lignes évitent presque toujours une double application de L'Hospital. Sur une copie, elles se citent par leur nom : « par croissances comparées », suivi de la limite.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Dériver le quotient au lieu du quotient des dérivées

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

lim⁡x→0sin⁡xx=lim⁡x→0xcos⁡x−sin⁡xx2\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}

Ce qu'il faut écrire

lim⁡x→0sin⁡xx=lim⁡x→0cos⁡x1=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1

Pourquoi : La règle de L'Hospital n'est PAS la règle du quotient : on dérive le haut, on dérive le bas, et on refait un quotient. La confusion vient de ce que les deux formules portent sur une fraction, mais elles n'ont rien à voir, et la première mène à une expression encore plus indéterminée.

2. Appliquer la règle à une forme déterminée

toute la question, la réponse étant fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

lim⁡x→0cos⁡xx+1=lim⁡x→0−sin⁡x1=0\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x+1}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{1}=0

Ce qu'il faut écrire

La substitution donne 11=1\frac{1}{1}=1 : la forme n'est pas indéterminée, la limite vaut 11.

Pourquoi : Hors des deux formes autorisées, la règle produit un nombre sans aucun rapport avec la limite. Le geste qui protège tient en trois secondes : substituer d'abord et écrire la forme obtenue, avant de dériver quoi que ce soit.

3. Attaquer une forme 0⋅∞0\cdot\infty sans la réécrire

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x est de la forme 0⋅∞0\cdot\infty, j'applique L'Hospital. »

Ce qu'il faut écrire

« J'écris xln⁡x=ln⁡x1/xx\ln x=\frac{\ln x}{1/x}, forme −∞+∞\frac{-\infty}{+\infty}, puis L'Hospital donne 1/x−1/x2=−x→0\frac{1/x}{-1/x^{2}}=-x\to 0. »

Pourquoi : La règle ne connaît que les quotients. Un produit doit devenir un quotient, et il y a deux façons de le faire : f1/g\frac{f}{1/g} ou g1/f\frac{g}{1/f}. On choisit celle qui donne les dérivées les plus simples, ici celle qui met le logarithme en haut.

4. Oublier le passage au logarithme sur une forme puissance

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« (1+1x)x→1∞=1\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\to 1^{\infty}=1. »

Ce qu'il faut écrire

« Je pose y=(1+1x)xy=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}, donc ln⁡y=xln⁡(1+1x)→1\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\to 1, donc y→ey\to e. »

510152025301.522.53asymptote y = eforme 1 puissance infini
(1+1x)x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} monte vers ee sans jamais atteindre 11 : une base qui TEND vers 11 élevée à une puissance infinie ne donne pas 11.

Pourquoi : 1∞1^{\infty} est une forme INDÉTERMINÉE, pas un calcul : 1n=11^{n}=1 vaut pour une base exactement égale à 11, jamais pour une base qui TEND vers 11. Ici la base vaut 1+1x1+\frac{1}{x}, strictement supérieure à 11, et l'exposant l'emporte : la limite est e≈2,718e\approx 2{,}718.

5. Oublier de repasser à l'exponentielle

toute la question, alors que tout le calcul est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ln⁡y→1\ln y\to 1, donc la limite cherchée vaut 11. »

Ce qu'il faut écrire

« ln⁡y→1\ln y\to 1, donc y→e1=ey\to e^{1}=e. »

Pourquoi : On a calculé la limite du LOGARITHME de la quantité cherchée, pas la quantité elle-même. C'est la dernière ligne, celle que la fatigue fait sauter, et elle transforme une réponse exacte en réponse fausse. Écrire « je pose y=…y=\ldots » au début oblige à conclure sur yy.

6. Répéter la règle indéfiniment sur une limite qui ne converge pas

dix minutes, puis la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« lim⁡x→+∞xx2+1\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} : je dérive, ça redonne une forme ∞∞\frac{\infty}{\infty}, je recommence... »

Ce qu'il faut écrire

« Je factorise : x∣x∣1+1/x2→1\frac{x}{\left|x\right|\sqrt{1+1/x^{2}}}\to 1 en +∞+\infty. »

Pourquoi : L'Hospital peut boucler : ici chaque dérivation reproduit la même forme. Quand deux applications successives ne simplifient rien, il faut abandonner la règle pour une factorisation du terme dominant, qui est toujours disponible sur une fonction algébrique.

7. Ne pas revérifier la forme entre deux applications

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

lim⁡x→0ex−1−xx2=lim⁡ex−12x=lim⁡ex2=lim⁡ex0\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\lim\frac{e^{x}-1}{2x}=\lim\frac{e^{x}}{2}=\lim\frac{e^{x}}{0}

Ce qu'il faut écrire

Après deux applications, la forme est 12\frac{1}{2}, déterminée : on s'ARRÊTE et la limite vaut 12\frac{1}{2}.

Pourquoi : Une troisième application dérive un dénominateur constant et le transforme en 00, ce qui fabrique une fausse forme infinie. La règle exige de vérifier l'indétermination AVANT chaque usage, y compris le deuxième et le troisième.

8. Appliquer la règle à une suite

1 point de rigueur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« un=ln⁡nnu_{n}=\frac{\ln n}{n}, je dérive par rapport à nn. »

Ce qu'il faut écrire

« Une suite n'est pas dérivable. J'étudie la FONCTION f(x)=ln⁡xxf(x)=\frac{\ln x}{x} sur les réels, dont la limite est 00, et j'en déduis celle de la suite. »

Pourquoi : nn est un entier, et la dérivation demande une variable continue. Le passage à la fonction associée est licite et se dit en une phrase : si ff tend vers LL en +∞+\infty et si un=f(n)u_{n}=f(n), alors unu_{n} tend vers LL. La réciproque, elle, est fausse.

Quelle méthode choisir

Quelle réécriture pour quelle forme

On substitue d'abord et on NOMME la forme obtenue. C'est elle, et elle seule, qui décide de la suite.

  • Si forme 00\frac{0}{0} ou ∞∞\frac{\infty}{\infty} → L'Hospital directement, en dérivant haut et bas séparément

    Exemple : lim⁡x→0ex−1x=lim⁡ex1=1\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim\frac{e^{x}}{1}=1

  • Si forme 0⋅∞0\cdot\infty → écrire le produit en QUOTIENT, en passant l'un des deux facteurs au dénominateur sous forme d'inverse

    Exemple : xln⁡x=ln⁡x1/xx\ln x=\frac{\ln x}{1/x}

  • Si forme ∞−∞\infty-\infty → même dénominateur, factorisation du terme dominant, ou multiplication par le conjugué s'il y a une racine

    Exemple : x2+x−x=xx2+x+x→12\sqrt{x^{2}+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}\to\frac{1}{2}

  • Si forme 1∞1^{\infty}, ∞0\infty^{0} ou 000^{0} → poser yy égal à l'expression, prendre le LOGARITHME, traiter la forme 0⋅∞0\cdot\infty obtenue, puis repasser à l'exponentielle

    Exemple : ln⁡y=xln⁡(1+1x)→1\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\to 1, donc y→ey\to e

  • Si la forme n'est pas indéterminée → substituer et conclure, sans aucune dérivation

    Exemple : cos⁡00+1=1\frac{\cos 0}{0+1}=1

Sur une fonction purement algébrique en ±∞\pm\infty, la factorisation du terme dominant est souvent plus rapide que L'Hospital, et elle ne boucle jamais.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une forme exponentielle indéterminée, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute limite de la forme f(x)g(x)f(x)^{g(x)} donnant 1∞1^{\infty}, ∞0\infty^{0} ou 000^{0}.

  1. 1 Nommer la quantité : « Posons y=(1+1x)xy=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}. »
  2. 2 Passer au logarithme : « Alors ln⁡y=xln⁡(1+1x)\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right), de forme ∞⋅0\infty\cdot 0. »
  3. 3 Réécrire en quotient : « ln⁡y=ln⁡(1+1x)1/x\ln y=\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{1/x}, de forme 00\frac{0}{0}. »
  4. 4 Appliquer L'Hospital et calculer la limite de ln⁡y\ln y.
  5. 5 REPASSER à l'exponentielle et conclure sur yy.

Phrase de conclusion

ln⁡y→1\ln y\to 1 quand x→+∞x\to+\infty, donc par continuité de l'exponentielle y→e1=ey\to e^{1}=e.

Le piège : Conclure sur ln⁡y\ln y. La question portait sur yy, et la dernière ligne, celle qui repasse à l'exponentielle, vaut souvent autant que tout le calcul qui précède.

Barème : En général 1 point pour le passage au logarithme, 1 point pour la réécriture en quotient, 1 point pour L'Hospital, 1 point pour le retour à l'exponentielle.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Une forme ∞0\infty^{0}, de la réécriture à la conclusion

Calculer lim⁡x→+∞x1/x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}.

123456-22468101214161820exp dominex^2log domine par tout
La hiérarchie des croissances : le logarithme est écrasé par toute puissance, elle-même écrasée par l'exponentielle. C'est elle qui rend prévisible la réponse avant tout calcul.

Étape 1

Substitution : la base xx tend vers +∞+\infty et l'exposant 1x\frac{1}{x} tend vers 00. La forme est ∞0\infty^{0}, INDÉTERMINÉE.

Pourquoi

Nommer la forme est la première ligne de la copie. ∞0\infty^{0} n'est pas 11 : la base pousse vers l'infini, l'exposant pousse vers 11, et rien ne dit lequel gagne.

Étape 2

On pose y=x1/xy=x^{1/x}, puis ln⁡y=1xln⁡x=ln⁡xx\ln y=\frac{1}{x}\ln x=\frac{\ln x}{x}.

Pourquoi

Le logarithme transforme une puissance en produit, donc une forme puissance en forme 0⋅∞0\cdot\infty. Ici la réécriture en quotient est même immédiate, l'exposant étant déjà une fraction.

Étape 3

ln⁡xx\frac{\ln x}{x} est de la forme ∞∞\frac{\infty}{\infty}. L'Hospital donne 1/x1=1x→0\frac{1/x}{1}=\frac{1}{x}\to 0.

Pourquoi

Une seule application suffit, et l'on revérifie que la nouvelle forme, 0+1\frac{0^{+}}{1}, n'est plus indéterminée. C'est le moment d'arrêter, pas de recommencer.

Étape 4

Donc ln⁡y→0\ln y\to 0, et par continuité de l'exponentielle, y→e0=1y\to e^{0}=1.

Pourquoi

La dernière ligne est celle qui répond à la question. Sans elle, la copie a calculé la limite du logarithme et s'arrête à mi-chemin, ce qui coûte le point de conclusion.

Étape 5

Contrôle numérique : 10001/1000=eln⁡1000/1000=e0,0069≈1,00691000^{1/1000}=e^{\ln 1000/1000}=e^{0{,}0069}\approx 1{,}0069, et 10610^{6} à la puissance 10−610^{-6} vaut environ 1,00001381{,}0000138 ✓.

Pourquoi

Deux valeurs qui descendent vers 11 confirment la réponse et éliminent l'erreur inverse, celle qui conclurait à l'infini parce que la base y tend.

Étape 6

Lecture par les croissances comparées : ln⁡y=ln⁡xx\ln y=\frac{\ln x}{x}, et le logarithme est écrasé par toute puissance de xx. On pouvait donc annoncer ln⁡y→0\ln y\to 0 sans dériver.

Pourquoi

Connaître la hiérarchie ln⁡x≪xa≪ex\ln x\ll x^{a}\ll e^{x} permet de prévoir la réponse, puis de la démontrer proprement par L'Hospital. Prévoir avant de calculer est ce qui protège des erreurs de signe.

Conclusion rédigée

lim⁡x→+∞x1/x=1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}=1, obtenue en posant y=x1/xy=x^{1/x}, en montrant que ln⁡y=ln⁡xx→0\ln y=\frac{\ln x}{x}\to 0, puis en repassant à l'exponentielle.

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure +∞+\infty « parce que la base tend vers l'infini ». Dans une forme indéterminée, aucun des deux facteurs ne décide seul : c'est tout l'objet du chapitre, et le calcul montre ici que c'est l'exposant qui l'emporte.

À savoir par cœur

  • • L'Hospital : lim⁡fg=lim⁡f′g′\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}, seulement pour 00\frac{0}{0} et ∞∞\frac{\infty}{\infty}.
  • • On dérive haut et bas SÉPARÉMENT. Ce n'est pas la règle du quotient.
  • • Revérifier la forme avant CHAQUE application, y compris la deuxième.
  • • 0⋅∞0\cdot\infty se réécrit en quotient; ∞−∞\infty-\infty par mise au même dénominateur ou conjugué.
  • • 1∞1^{\infty}, ∞0\infty^{0}, 000^{0} : logarithme, puis retour à l'exponentielle. La dernière ligne compte.
  • • ln⁡x≪xa≪ex\ln x\ll x^{a}\ll e^{x} : la hiérarchie qui donne la réponse avant le calcul.
  • • Une suite ne se dérive pas : passer par la fonction associée, et le dire.
  • • Si deux applications ne simplifient rien, factoriser le terme dominant.

Questions fréquentes

Quand peut-on utiliser la règle de L'Hospital ?

Uniquement sur une forme indéterminée zéro sur zéro ou infini sur infini, avec des fonctions dérivables au voisinage du point et un dénominateur dérivé qui ne s'annule pas. Sur toute autre forme, la règle donne un nombre sans rapport avec la limite. Il faut donc substituer d'abord et nommer la forme obtenue.

Faut-il dériver le quotient ou dériver le haut et le bas ?

Le haut et le bas, séparément, puis reformer un quotient. La règle de L'Hospital n'a rien à voir avec la règle du quotient, malgré la ressemblance apparente. Appliquer la règle du quotient conduit à une expression encore plus compliquée et généralement encore indéterminée.

Comment traiter une forme un puissance infini ?

On pose y égal à l'expression, on prend le logarithme, ce qui transforme la puissance en produit, on réécrit ce produit en quotient, on applique la règle, puis on repasse à l'exponentielle. La dernière étape est celle que l'on oublie, et elle transforme une réponse exacte en réponse fausse.

Pourquoi un puissance infini n'est-il pas égal à un ?

Parce que la base tend vers un sans lui être égale. La différence, aussi petite soit-elle, est élevée à une puissance qui explose, et le résultat peut être n'importe quoi. L'exemple classique est un plus un sur x, élevé à la puissance x, dont la limite vaut le nombre e, environ deux virgule sept.

Peut-on appliquer la règle de L'Hospital à une suite ?

Pas directement, car une suite n'est pas dérivable, son indice étant un entier. On étudie la fonction réelle associée, on calcule sa limite en plus l'infini par la règle, puis on conclut que la suite a la même limite. Ce passage doit être écrit, il vaut un point de rigueur.

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Exercices corrigés : L'Hôpital et formes indéterminées

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 10 exercices corrigés
  • 100 points
  • 150 minutes
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Intégrale définie et impropre

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