Calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : formes indéterminées et règle de L'Hôpital

Cette fiche ne redémontre pas la règle de L'Hôpital : elle tient en une ligne. Elle traite ce qui décide de la note, à savoir la reconnaissance de la forme AVANT de dériver, et la réécriture des cinq indéterminations qui ne sont pas des quotients, seule difficulté réelle du chapitre.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Mis à jour le 31 octobre 2026

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Le fil du chapitre

La règle de L'Hôpital ne s'applique qu'aux formes $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ . Toutes les autres indéterminations doivent d'abord être RÉÉCRITES sous l'une de ces deux formes, et c'est cette réécriture, jamais la dérivation, qui fait la difficulté de la question.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB)

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 11 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Dérivées des fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA) Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Les fonctions définies par parties Secondaire 5
2 La fonction racine carrée Secondaire 5
3 Les fonctions quadratiques Secondaire 5
4 Les paramètres des fonctions Secondaire 5
5 Le cercle trigonométrique Secondaire 5
6 Les fonctions trigonométriques Secondaire 5
7 Fonctions et domaine Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)
8 Limites et continuité Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)
9 La dérivée et ses règles Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)
10 Dérivées des fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)

Notions couvertes

Règle de L'Hôpital
Formes indéterminées
Quotient des dérivées
Réécriture en quotient
Forme exponentielle indéterminée
Passage au logarithme
Croissances comparées
Limite d'une suite
Limites trigonométriques remarquables

L'essentiel

L'énoncé exact, et ses quatre conditions

• Si $\lim\frac{f}{g}$ est de la forme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ , si $f$ et $g$ sont dérivables au voisinage du point, si $g'$ ne s'y annule pas, et si $\lim\frac{f'}{g'}$ existe (finie ou infinie), alors $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ .
• On dérive le NUMÉRATEUR et le DÉNOMINATEUR séparément, jamais le quotient.
• La règle peut se répéter tant que la forme reste indéterminée; il faut REVÉRIFIER la forme à chaque tour.
• Elle ne s'applique à AUCUNE autre forme : $\frac{5}{0^{+}}$ , $\frac{0}{5}$ , $\frac{5}{\infty}$ se lisent directement.

\frac{\sin x}{x}

n'existe pas en

0

, mais la courbe s'y dirige vers

1

des deux côtés : c'est ce que la forme

\frac{0}{0}

cachait, et ce que la règle de L'Hôpital retrouve en une ligne.

Écrire « forme $\frac{0}{0}$ » avant chaque application rapporte un demi-point et empêche l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Les sept formes, et leur réécriture

• $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ : L'Hôpital directement.
• $0\cdot\infty$ : écrire $fg=\frac{f}{1/g}$ , ce qui donne $\frac{0}{0}$ , ou $\frac{g}{1/f}$ , ce qui donne $\frac{\infty}{\infty}$ .
• $\infty-\infty$ : mettre au même dénominateur, factoriser le terme dominant, ou multiplier par le conjugué.
• $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ : poser $y=f^{g}$ , passer au LOGARITHME, $\ln y=g\ln f$ , qui est une forme $0\cdot\infty$ .
• Ne jamais oublier de repasser à l'exponentielle : si $\ln y\to L$ , alors $y\to e^{L}$ .

Les cinq dernières formes ne sont pas plus difficiles, elles demandent seulement une ligne de réécriture avant de pouvoir dériver.

Les croissances comparées, à connaître sans calcul

• $\ln x\ll x^{a}\ll e^{x}$ quand $x\to+\infty$ , pour tout $a>0$ ; pour une suite, la chaîne se prolonge par $e^{n}\ll n!$ .
• $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{a}}=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{a}}{e^{x}}=0$ , quelle que soit la puissance.
• $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ : le logarithme part vers $-\infty$ , mais $x$ gagne.
• $\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$ , la forme $1^{\infty}$ la plus célèbre.

\frac{\ln x}{x}

\frac{x^{2}}{e^{x}}

tendent vers

0

: le logarithme est écrasé par

x

, la puissance par l'exponentielle.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les sept formes, et la réécriture qui rend L'Hôpital applicable

La règle ne s'applique qu'à DEUX formes. Les cinq autres se réécrivent d'abord, et c'est cette réécriture, pas la dérivation, qui est notée.

Forme rencontrée	Ce qu'on écrit	Forme obtenue
$\frac{0}{0}$	rien, la règle s'applique	on dérive haut et bas
Exemple : $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$ . En $x=0{,}001$ , le quotient vaut déjà $0{,}99999983$ .
$\frac{\infty}{\infty}$	rien, la règle s'applique	on dérive haut et bas
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}=0$ . En $x=1000$ , le quotient vaut environ $0{,}0069$ .
$0\cdot\infty$	$fg=\frac{f}{1/g}$	$\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$
Exemple : $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to 0^{+}}(-x)=0$ . En $x=0{,}001$ , le produit vaut environ $-0{,}0069$ .
$\infty-\infty$	même dénominateur, ou conjugué	$\frac{0}{0}$
Exemple : $\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x\sin x}=0$ . En $x=0{,}01$ , la différence vaut environ $0{,}00167$ .
$1^{\infty}$	$y=f^{g}$ , puis $\ln y=g\ln f$	$0\cdot\infty$ , puis $\mathrm{e}^{L}$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}\approx 2{,}718$ : $\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\to 1$ , donc $y\to\mathrm{e}^{1}$ .
$\infty^{0}$	$y=f^{g}$ , puis $\ln y=g\ln f$	$0\cdot\infty$ , puis $\mathrm{e}^{L}$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}=\mathrm{e}^{0}=1$ : $\ln y=\frac{\ln x}{x}\to 0$ . En $x=1000$ , la valeur vaut environ $1{,}0069$ .
$0^{0}$	$y=f^{g}$ , puis $\ln y=g\ln f$	$0\cdot\infty$ , puis $\mathrm{e}^{L}$
Exemple : $\lim_{x\to 0^{+}}x^{x}=\mathrm{e}^{0}=1$ : $\ln y=x\ln x\to 0$ . En $x=0{,}001$ , la valeur vaut environ $0{,}993$ .
Tout le reste	on substitue	la réponse, sans dériver
Exemple : $\frac{5}{0^{+}}=+\infty$ , $\frac{5}{\infty}=0$ , $\frac{0}{5}=0$ : appliquer L'Hôpital à l'une de ces formes donne un résultat faux, et la ligne est comptée comme une faute de méthode.

La dernière ligne de la réécriture par logarithme est celle qu'on oublie : $\ln y\to L$ ne conclut rien, il faut écrire $y\to\mathrm{e}^{L}$ . Un $\ln y$ qui tend vers $0$ signifie que $y$ tend vers $1$ , pas vers $0$ .

Les croissances comparées, avec les nombres qui les prouvent

La hiérarchie $\ln x\ll x^{a}\ll \mathrm{e}^{x}$ , prolongée par $\mathrm{e}^{n}\ll n!$ pour une suite, donne la réponse avant tout calcul, et une seule évaluation numérique suffit à s'en convaincre.

Quotient en $+\infty$	Qui l'emporte	Limite
$\frac{\ln x}{x^{a}}$ , $a>0$	la puissance, toujours	$0$
Exemple : Avec $a=1$ , en $x=10^{6}$ le quotient vaut environ $1{,}4\times 10^{-5}$ .
$\frac{x^{a}}{\mathrm{e}^{x}}$	l'exponentielle, toujours	$0$
Exemple : Avec $a=3$ , en $x=20$ le quotient vaut environ $1{,}6\times 10^{-5}$ , alors que $x^{3}=8000$ semblait grand.
$\frac{\mathrm{e}^{n}}{n!}$	la factorielle	$0$
Exemple : En $n=20$ , le quotient vaut environ $2\times 10^{-10}$ : la factorielle écrase même l'exponentielle.
$x\ln x$ en $0^{+}$	le facteur $x$	$0$
Exemple : En $x=0{,}001$ , le produit vaut environ $-0{,}0069$ : il tend vers $0$ par valeurs négatives.
$\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$	la racine, qui est une puissance	$0$
Exemple : En $x=10^{6}$ , le quotient vaut environ $0{,}0138$ : la convergence est lente, mais elle a lieu.

Ces cinq lignes évitent presque toujours une double application de L'Hôpital. Sur une copie, elles se citent par leur nom : « par croissances comparées », suivi de la limite.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Dériver le quotient au lieu du quotient des dérivées

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}$

Ce qu'il faut écrire

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$

Pourquoi : La règle de L'Hôpital n'est PAS la règle du quotient : on dérive le haut, on dérive le bas, et on refait un quotient. La confusion vient de ce que les deux formules portent sur une fraction, mais elles n'ont rien à voir, et la première mène à une expression encore plus indéterminée.

2. Appliquer la règle à une forme déterminée

toute la question, la réponse étant fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x+1}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{1}=0$

Ce qu'il faut écrire

La substitution donne $\frac{1}{1}=1$ : la forme n'est pas indéterminée, la limite vaut $1$ .

Pourquoi : Hors des deux formes autorisées, la règle produit un nombre sans aucun rapport avec la limite. Le geste qui protège tient en trois secondes : substituer d'abord et écrire la forme obtenue, avant de dériver quoi que ce soit.

3. Attaquer une forme $0\cdot\infty$ sans la réécrire

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x$ est de la forme $0\cdot\infty$ , j'applique L'Hôpital. »

Ce qu'il faut écrire

« J'écris $x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}$ , forme $\frac{-\infty}{+\infty}$ , puis L'Hôpital donne $\frac{1/x}{-1/x^{2}}=-x\to 0$ . »

x\ln x

tend vers

0

0^{+}

: le facteur

x

l'emporte sur

\ln x

. La forme

0\cdot\infty

ne disait rien ; le quotient

\frac{\ln x}{1/x}

le montre.

Pourquoi : La règle ne connaît que les quotients. Un produit doit devenir un quotient, et il y a deux façons de le faire : $\frac{f}{1/g}$ ou $\frac{g}{1/f}$ . On choisit celle qui donne les dérivées les plus simples, ici celle qui met le logarithme en haut.

4. Oublier le passage au logarithme sur une forme puissance

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\to 1^{\infty}=1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je pose $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$ , donc $\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\to 1$ , donc $y\to e$ . »

\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}

monte vers

e

et reste loin de

1

: une base qui TEND vers

1

élevée à une puissance infinie ne donne pas

1

Pourquoi : $1^{\infty}$ est une forme INDÉTERMINÉE, pas un calcul : $1^{n}=1$ vaut pour une base exactement égale à $1$ , jamais pour une base qui TEND vers $1$ . Ici la base vaut $1+\frac{1}{x}$ , strictement supérieure à $1$ , et l'exposant l'emporte : la limite est $e\approx 2{,}718$ .

5. Oublier de repasser à l'exponentielle

toute la question, alors que tout le calcul est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln y\to 1$ , donc la limite cherchée vaut $1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln y\to 1$ , donc $y\to e^{1}=e$ . »

Pourquoi : On a calculé la limite du LOGARITHME de la quantité cherchée, pas la quantité elle-même. C'est la dernière ligne, celle que la fatigue fait sauter, et elle transforme une réponse exacte en réponse fausse. Écrire « je pose $y=\ldots$ » au début oblige à conclure sur $y$ .

6. Répéter la règle indéfiniment sur une limite où elle tourne en rond

dix minutes, puis la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ : je dérive, ça redonne une forme $\frac{\infty}{\infty}$ , je recommence... »

Ce qu'il faut écrire

« Je factorise : $\frac{x}{\left|x\right|\sqrt{1+1/x^{2}}}\to 1$ en $+\infty$ . »

\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

monte vers

1

: en divisant par

x

en haut et en bas, l'algèbre conclut là où L'Hôpital tourne en rond.

Pourquoi : L'Hôpital peut boucler : ici chaque dérivation reproduit la même forme. Quand deux applications successives ne simplifient rien, il faut abandonner la règle pour une factorisation du terme dominant, qui est toujours disponible sur une fonction algébrique.

7. Ne pas revérifier la forme entre deux applications

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\lim\frac{e^{x}-1}{2x}=\lim\frac{e^{x}}{2}=\lim\frac{e^{x}}{0}$

Ce qu'il faut écrire

Après deux applications, la forme est $\frac{1}{2}$ , déterminée : on s'ARRÊTE et la limite vaut $\frac{1}{2}$ .

Pourquoi : Une troisième application dérive un dénominateur constant et le transforme en $0$ , ce qui fabrique une fausse forme infinie. La règle exige de vérifier l'indétermination AVANT chaque usage, y compris le deuxième et le troisième.

8. Appliquer la règle à une suite

1 point de rigueur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n}=\frac{\ln n}{n}$ , je dérive par rapport à $n$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une suite n'est pas dérivable. J'étudie la FONCTION $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ sur les réels, dont la limite est $0$ , et j'en déduis celle de la suite. »

Les termes

u_{n}=\frac{\ln n}{n}

sont les valeurs de

f(x)=\frac{\ln x}{x}

aux entiers : la limite de

f

+\infty

, calculée par L'Hôpital, donne celle de la suite.

Pourquoi : $n$ est un entier, et la dérivation demande une variable continue. Le passage à la fonction associée est licite et se dit en une phrase : si $f$ tend vers $L$ en $+\infty$ et si $u_{n}=f(n)$ , alors $u_{n}$ tend vers $L$ . La réciproque, elle, est fausse.

Quelle méthode choisir

Quelle réécriture pour quelle forme

On substitue d'abord et on NOMME la forme obtenue. C'est elle, et elle seule, qui décide de la suite.

Si forme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ → L'Hôpital directement, en dérivant haut et bas séparément

Exemple : $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim\frac{e^{x}}{1}=1$
Si forme $0\cdot\infty$ → écrire le produit en QUOTIENT, en passant l'un des deux facteurs au dénominateur sous forme d'inverse

Exemple : $x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}$
Si forme $\infty-\infty$ → même dénominateur, factorisation du terme dominant, ou multiplication par le conjugué s'il y a une racine

Exemple : $\sqrt{x^{2}+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}\to\frac{1}{2}$
Si forme $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ ou $0^{0}$ → poser $y$ égal à l'expression, prendre le LOGARITHME, traiter la forme $0\cdot\infty$ obtenue, puis repasser à l'exponentielle

Exemple : $\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\to 1$ , donc $y\to e$
Si la forme n'est pas indéterminée → substituer et conclure, sans aucune dérivation

Exemple : $\frac{\cos 0}{0+1}=1$

Sur une fonction purement algébrique en $\pm\infty$ , la factorisation du terme dominant est souvent plus rapide que L'Hôpital, et elle ne boucle jamais.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une forme exponentielle indéterminée, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute limite de la forme $f(x)^{g(x)}$ donnant $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ ou $0^{0}$ .

1 Nommer la quantité : « Posons $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$ . »
2 Passer au logarithme : « Alors $\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ , de forme $\infty\cdot 0$ . »
3 Réécrire en quotient : « $\ln y=\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{1/x}$ , de forme $\frac{0}{0}$ . »
4 Appliquer L'Hôpital et calculer la limite de $\ln y$ .
5 REPASSER à l'exponentielle et conclure sur $y$ .

Phrase de conclusion

$\ln y\to 1$ quand $x\to+\infty$ , donc par continuité de l'exponentielle $y\to e^{1}=e$ .

Le piège : Conclure sur $\ln y$ . La question portait sur $y$ , et la dernière ligne, celle qui repasse à l'exponentielle, vaut souvent autant que tout le calcul qui précède.

Barème : En général 1 point pour le passage au logarithme, 1 point pour la réécriture en quotient, 1 point pour L'Hôpital, 1 point pour le retour à l'exponentielle.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Substituer avant de dériver, toujours

Remplacer $x$ par la valeur limite et écrire la forme obtenue en toutes lettres. C'est le seul contrôle qui empêche d'appliquer la règle hors de son domaine.

$\frac{\cos x}{x+1}$ en $0$ donne $\frac{1}{1}$ : forme déterminée, aucune dérivation, limite $1$ .
Tester numériquement près du point

Évaluer l'expression en une valeur très proche de la limite, des deux côtés quand c'est possible : le résultat doit s'approcher de la réponse annoncée.

$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$ en $x=10^{6}$ affiche $2{,}71828$ , ce qui confirme $e$ et élimine la réponse $1$ .
Vérifier que la forme s'est simplifiée

Après une application, comparer la nouvelle expression à l'ancienne. Si elle est plus compliquée ou identique en forme, la règle ne mènera nulle part et il faut factoriser.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ redonne la même forme après dérivation : la factorisation du terme dominant est la bonne voie.
Contrôler par les croissances comparées

Avant tout calcul, identifier qui l'emporte : logarithme, puissance ou exponentielle. Le résultat annoncé doit être cohérent avec cette hiérarchie.

$\frac{x^{100}}{e^{x}}\to 0$ en $+\infty$ , quelle que soit la puissance : une réponse infinie serait absurde, et cent applications de L'Hôpital sont inutiles.

L'exercice type décortiqué

Une forme $\infty^{0}$ , de la réécriture à la conclusion

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}$ .

La hiérarchie des croissances : le logarithme est écrasé par toute puissance, elle-même écrasée par l'exponentielle. C'est elle qui rend prévisible la réponse avant tout calcul.

Étape 1

Substitution : la base $x$ tend vers $+\infty$ et l'exposant $\frac{1}{x}$ tend vers $0$ . La forme est $\infty^{0}$ , INDÉTERMINÉE.

Pourquoi

Nommer la forme est la première ligne de la copie. $\infty^{0}$ n'est pas $1$ : la base pousse vers l'infini, l'exposant pousse vers $1$ , et rien ne dit lequel gagne.

Étape 2

On pose $y=x^{1/x}$ , puis $\ln y=\frac{1}{x}\ln x=\frac{\ln x}{x}$ .

Pourquoi

Le logarithme transforme une puissance en produit, donc une forme puissance en forme $0\cdot\infty$ . Ici la réécriture en quotient est même immédiate, l'exposant étant déjà une fraction.

Étape 3

$\frac{\ln x}{x}$ est de la forme $\frac{\infty}{\infty}$ . L'Hôpital donne $\frac{1/x}{1}=\frac{1}{x}\to 0$ .

Pourquoi

Une seule application suffit, et l'on revérifie que la nouvelle forme, $\frac{0^{+}}{1}$ , n'est plus indéterminée. C'est le moment d'arrêter, pas de recommencer.

Étape 4

Donc $\ln y\to 0$ , et par continuité de l'exponentielle, $y\to e^{0}=1$ .

Pourquoi

La dernière ligne est celle qui répond à la question. Sans elle, la copie a calculé la limite du logarithme et s'arrête à mi-chemin, ce qui coûte le point de conclusion.

Étape 5

Contrôle numérique : $1000^{1/1000}=e^{\ln 1000/1000}=e^{0{,}0069}\approx 1{,}0069$ , et $10^{6}$ à la puissance $10^{-6}$ vaut environ $1{,}0000138$ ✓.

Pourquoi

Deux valeurs qui descendent vers $1$ confirment la réponse et éliminent l'erreur inverse, celle qui conclurait à l'infini parce que la base y tend.

Étape 6

Lecture par les croissances comparées : $\ln y=\frac{\ln x}{x}$ , et le logarithme est écrasé par toute puissance de $x$ . On pouvait donc annoncer $\ln y\to 0$ sans dériver.

Pourquoi

Connaître la hiérarchie $\ln x\ll x^{a}\ll e^{x}$ permet de prévoir la réponse, puis de la démontrer proprement par L'Hôpital. Prévoir avant de calculer est ce qui protège des erreurs de signe.

Conclusion rédigée

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}=1$ , obtenue en posant $y=x^{1/x}$ , en montrant que $\ln y=\frac{\ln x}{x}\to 0$ , puis en repassant à l'exponentielle.

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure $+\infty$ « parce que la base tend vers l'infini ». Dans une forme indéterminée, aucun des deux facteurs ne décide seul : c'est tout l'objet du chapitre, et le calcul montre ici que c'est l'exposant qui l'emporte.

À savoir par cœur

• L'Hôpital : $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ , seulement pour $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ .
• On dérive haut et bas SÉPARÉMENT. Ce n'est pas la règle du quotient.
• Revérifier la forme avant CHAQUE application, y compris la deuxième.
• $0\cdot\infty$ se réécrit en quotient; $\infty-\infty$ par mise au même dénominateur ou conjugué.
• $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ : logarithme, puis retour à l'exponentielle. La dernière ligne compte.
• $\ln x\ll x^{a}\ll e^{x}$ : la hiérarchie qui donne la réponse avant le calcul.
• Une suite ne se dérive pas : passer par la fonction associée, et le dire.
• Si deux applications ne simplifient rien, factoriser le terme dominant.

Questions fréquentes

Quand peut-on utiliser la règle de L'Hôpital ?

Uniquement sur une forme indéterminée zéro sur zéro ou infini sur infini, avec des fonctions dérivables au voisinage du point, un dénominateur dérivé qui ne s'annule pas, et à condition que la limite du quotient des dérivées existe. Sur toute autre forme, la règle donne un nombre sans rapport avec la limite. Il faut donc substituer d'abord et nommer la forme obtenue.

Faut-il dériver le quotient ou dériver le haut et le bas ?

Le haut et le bas, séparément, puis reformer un quotient. La règle de L'Hôpital n'a rien à voir avec la règle du quotient, malgré la ressemblance apparente. Appliquer la règle du quotient conduit à une expression encore plus compliquée et généralement encore indéterminée.

Comment traiter une forme un puissance infini ?

On pose y égal à l'expression, on prend le logarithme, ce qui transforme la puissance en produit, on réécrit ce produit en quotient, on applique la règle, puis on repasse à l'exponentielle. La dernière étape est celle que l'on oublie, et elle transforme une réponse exacte en réponse fausse.

Pourquoi un puissance infini n'est-il pas égal à un ?

Parce que la base tend vers un sans lui être égale. La différence, aussi petite soit-elle, est élevée à une puissance qui explose, et le résultat peut être n'importe quoi. L'exemple classique est un plus un sur x, élevé à la puissance x, dont la limite vaut le nombre e, environ deux virgule sept.

Peut-on appliquer la règle de L'Hôpital à une suite ?

Pas directement, car une suite n'est pas dérivable, son indice étant un entier. On étudie la fonction réelle associée, on calcule sa limite en plus l'infini par la règle, puis on conclut que la suite a la même limite. Ce passage doit être écrit, il vaut un point de rigueur.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'Hôpital et formes indéterminées

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
150 minutes

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Intégrale définie et impropre

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/nyb-lhopital-formes-indeterminees. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : formes indéterminées et règle de L'Hôpital

L'essentiel

L'énoncé exact, et ses quatre conditions

Les sept formes, et leur réécriture

Les croissances comparées, à connaître sans calcul

Les règles de calcul en tableau

Les sept formes, et la réécriture qui rend L'Hôpital applicable

Les croissances comparées, avec les nombres qui les prouvent

Les pièges qui coûtent des points

1. Dériver le quotient au lieu du quotient des dérivées

2. Appliquer la règle à une forme déterminée

3. Attaquer une forme 0⋅∞0\cdot\infty0⋅∞ sans la réécrire

4. Oublier le passage au logarithme sur une forme puissance

5. Oublier de repasser à l'exponentielle

6. Répéter la règle indéfiniment sur une limite où elle tourne en rond

7. Ne pas revérifier la forme entre deux applications

8. Appliquer la règle à une suite

Quelle méthode choisir

Quelle réécriture pour quelle forme

La rédaction attendue

Une forme exponentielle indéterminée, rédigée pour le correcteur

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une forme ∞0\infty^{0}∞0, de la réécriture à la conclusion

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quand peut-on utiliser la règle de L'Hôpital ?

Faut-il dériver le quotient ou dériver le haut et le bas ?

Comment traiter une forme un puissance infini ?

Pourquoi un puissance infini n'est-il pas égal à un ?

Peut-on appliquer la règle de L'Hôpital à une suite ?

Exercices corrigés : L'Hôpital et formes indéterminées

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3. Attaquer une forme $0\cdot\infty$ sans la réécrire

Une forme $\infty^{0}$ , de la réécriture à la conclusion