Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les séries numériques

Cette fiche ne récite pas la liste des critères : elle est dans vos notes, et la connaître ne suffit pas. Elle donne l'ordre dans lequel on les essaie, la forme du terme général qui désigne chacun, et les cas où un critère ne conclut PAS, ce qui est l'information la plus rentable du chapitre.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Un critère de convergence ne se choisit pas au hasard : il se lit sur la FORME du terme général. Et aucun critère, jamais, ne donne la SOMME d'une série : savoir si elle converge et savoir combien elle vaut sont deux questions distinctes, et la seconde n'a de réponse simple que dans deux cas.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les suites numériques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
3La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
4Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
5Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
6Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
7Les suites numériques

L'essentiel

Ce qu'est une série, et ce que converger veut dire

• $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ est la LIMITE des sommes partielles $S_{n}=u_{1}+\cdots+u_{n}$ .
• La série CONVERGE si $\left(S_{n}\right)$ a une limite finie; cette limite est la SOMME.
• Une série qui converge a nécessairement $u_{n}\to 0$ . La réciproque est FAUSSE.
• Deux familles seulement ont une somme calculable simplement : les GÉOMÉTRIQUES et les TÉLESCOPIQUES.
• Partout ailleurs, on décide de la NATURE, jamais de la valeur.

Deux séries dont les termes tendent vers

0

: les sommes partielles de la géométrique se collent à

1

, celles de l'harmonique continuent de monter sans plafond.

Une question qui demande « la nature » attend convergente ou divergente; une question qui demande « la somme » attend un nombre, et elle est presque toujours géométrique ou télescopique.

Les séries de référence, à connaître par cœur

• GÉOMÉTRIQUE $\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}$ : converge si et seulement si $\left|r\right|<1$ , et vaut alors $\frac{a}{1-r}$ , où $a$ est le PREMIER terme écrit.
• RIEMANN $\sum\frac{1}{n^{p}}$ : converge si et seulement si $p>1$ .
• HARMONIQUE $\sum\frac{1}{n}$ : cas $p=1$ , elle DIVERGE.
• ALTERNÉE $\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$ : converge, mais pas absolument.
• TÉLESCOPIQUE $\sum\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ : la somme partielle se réduit à $a_{1}-a_{n+1}$ .

Ces cinq références servent de points de comparaison pour presque toutes les autres séries : c'est à elles qu'on compare, jamais à une série inventée.

Les critères, et ce que chacun ne dit pas

• TERME GÉNÉRAL : si $u_{n}\not\to 0$ , la série DIVERGE. Si $u_{n}\to 0$ , il ne conclut PAS.
• COMPARAISON : pour des séries à termes positifs, plus petit qu'une convergente donne convergente, plus grand qu'une divergente donne divergente.
• INTÉGRALE : si $f$ est continue, positive et DÉCROISSANTE, $\sum f(n)$ et $\int_{1}^{+\infty}f$ ont la même nature.
• QUOTIENT : si $\lim\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=L<1$ elle converge absolument, si $L>1$ elle diverge, si $L=1$ le critère ne conclut PAS.
• SÉRIES ALTERNÉES : converge si $\left|u_{n}\right|$ DÉCROÎT et tend vers $0$ . Les deux conditions.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Conclure à la convergence parce que le terme général tend vers zéro

toute la question, et c'est le piège le plus fréquent du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{1}{n}\to 0$ , donc $\sum\frac{1}{n}$ converge. »

Ce qu'il faut écrire

« Le critère du terme général ne conclut que dans un sens : $u_{n}\to 0$ ne prouve rien, et la série harmonique diverge. »

Les deux suites de termes tendent vers

0

et se ressemblent à l'œil : rien dans ce dessin ne dit que l'une engendre une série divergente et l'autre une série convergente.

Pourquoi : $\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n^{2}}$ tendent toutes deux vers $0$ , la première série diverge et la seconde converge : la limite du terme général ne les distingue pas. Ce critère sert uniquement à prouver une DIVERGENCE.

2. Se tromper de premier terme dans une série géométrique

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$

Ce qu'il faut écrire

Le premier terme écrit est $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$ , donc la somme vaut $\frac{1/9}{1-1/3}=\frac{1}{6}$ .

Pourquoi : Dans $\frac{a}{1-r}$ , $a$ est la valeur du PREMIER terme effectivement sommé, pas le coefficient devant la puissance. Le contrôle est immédiat : la somme d'une série à termes positifs doit être supérieure à son premier terme et du même ordre de grandeur.

3. Utiliser le critère du quotient sur une série de Riemann

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum\frac{1}{n^{2}}$ : le quotient tend vers $1$ , donc la série diverge. »

Ce qu'il faut écrire

« Le quotient tend vers $1$ : le critère NE CONCLUT PAS. J'utilise le critère de Riemann, $p=2>1$ , donc elle converge. »

Pourquoi : $L=1$ est le cas d'échec du critère du quotient, et c'est exactement ce qui arrive à toutes les séries de Riemann. Le critère du quotient est fait pour les factorielles et les puissances $n$ -ièmes, pas pour les fractions rationnelles en $n$ .

4. Comparer dans le mauvais sens

toute la question de nature

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{1}{n^{2}+1}\le\frac{1}{n^{2}}$ et $\sum\frac{1}{n^{2}}$ converge, donc $\sum\frac{1}{n^{2}+1}$ diverge. »

Ce qu'il faut écrire

« Majorée par une convergente, donc CONVERGENTE. »

Pourquoi : Le sens est tout le contenu du critère : plus petit qu'une convergente est convergent, plus grand qu'une divergente est divergent. Le formuler avec ces mots plutôt qu'avec des symboles évite de l'inverser sous la pression de l'examen.

5. Appliquer le critère de l'intégrale sans vérifier la décroissance

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum\frac{\sin^{2}n}{n}$ : j'intègre $\frac{\sin^{2}x}{x}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La fonction n'est pas DÉCROISSANTE : le critère de l'intégrale ne s'applique pas. J'utilise une comparaison. »

Pourquoi : Le critère repose sur un encadrement de la somme par des rectangles inscrits et circonscrits, qui n'a de sens que si la fonction décroît. Sans cette hypothèse, l'aire et la somme n'ont plus aucune raison de se comparer, et le raisonnement s'effondre.

6. Déclarer une série alternée convergente sans vérifier la décroissance

1 à 2 points, et toute la question sur les cas litigieux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les termes alternent et tendent vers $0$ , donc la série converge. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut AUSSI que $\left|u_{n}\right|$ soit décroissante à partir d'un certain rang. »

Pourquoi : Le critère des séries alternées a deux hypothèses, et l'oubli de la décroissance est le plus fréquent. La décroissance se prouve, souvent en dérivant la fonction associée, et ce calcul est précisément ce que le barème attend.

7. Confondre convergence et convergence absolue

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$ converge, donc $\sum\frac{1}{n}$ converge aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle converge, mais pas ABSOLUMENT : la série des valeurs absolues est l'harmonique, qui diverge. »

Pourquoi : La convergence absolue entraîne la convergence, jamais l'inverse. Une série qui converge sans converger absolument est dite semi-convergente, et son comportement est fragile : réordonner ses termes peut changer sa somme, ce qui est impossible pour une série absolument convergente.

8. Répondre par un nombre quand la question demandait la nature

1 à 2 points, et la valeur donnée n'est même pas démontrable au cégep

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum\frac{1}{n^{2}}$ converge et vaut environ $1{,}64$ , donc j'écris $1{,}64$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La question demande la NATURE : je réponds convergente, en citant le critère de Riemann avec $p=2>1$ . »

Pourquoi : Décider de la nature et calculer la somme sont deux questions distinctes, et la seconde n'a de réponse élémentaire que pour les géométriques et les télescopiques. La somme $\frac{\pi^{2}}{6}$ demande des outils qui ne sont pas au programme.

Quelle méthode choisir

Quel critère, selon la forme du terme général

On essaie dans cet ordre, en s'arrêtant au premier critère qui conclut. Le test du terme général passe toujours en premier parce qu'il coûte trois secondes.

Si $u_{n}$ ne tend pas vers $0$ → la série DIVERGE, c'est fini

Exemple : $\sum\frac{n}{n+1}$ diverge car le terme tend vers $1$
Si $u_{n}=ar^{n}$ → série GÉOMÉTRIQUE : converge si $\left|r\right|<1$ , et la somme vaut $\frac{a}{1-r}$

Exemple : $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n}}=\frac{2/3}{1-1/3}=1$
Si $u_{n}=\frac{1}{n^{p}}$ , ou une fraction rationnelle en $n$ → critère de RIEMANN sur le degré dominant, ou comparaison avec $\frac{1}{n^{p}}$

Exemple : $\frac{n+1}{n^{3}+2}$ se comporte comme $\frac{1}{n^{2}}$ , donc converge
Si $u_{n}$ contient une FACTORIELLE ou une puissance $n$ -ième → critère du QUOTIENT, qui simplifie ces expressions

Exemple : $\sum\frac{2^{n}}{n!}$ : le quotient tend vers $0$ , donc convergence
Si $u_{n}=f(n)$ avec $f$ positive, continue et décroissante, et $\int f$ calculable → critère de l'INTÉGRALE

Exemple : $\sum\frac{1}{n\ln n}$ diverge car $\int\frac{dx}{x\ln x}=\ln\ln x$ diverge
Si les signes ALTERNENT → critère des séries alternées : décroissance de $\left|u_{n}\right|$ ET limite nulle

Exemple : $\sum\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ converge

Quand un critère ne conclut pas, cela ne veut pas dire que la série diverge : cela veut dire qu'il faut en essayer un autre. Écrire « le critère ne conclut pas » vaut un demi-point.

Convergente, absolument convergente, ou semi-convergente

Sur une série à termes de signe variable, on étudie d'abord la série des VALEURS ABSOLUES.

Si $\sum\left|u_{n}\right|$ converge → la série converge ABSOLUMENT, donc elle converge

Exemple : $\sum\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$
Si $\sum\left|u_{n}\right|$ diverge mais le critère des alternées s'applique → la série est SEMI-CONVERGENTE

Exemple : $\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$ , dont la somme vaut $-\ln 2$
Si $\sum\left|u_{n}\right|$ diverge et $u_{n}\not\to 0$ → la série DIVERGE

Exemple : $\sum(-1)^{n}$

Le mot « absolument » change la réponse attendue : une série peut converger sans converger absolument, et l'énoncé distingue toujours les deux.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une nature de série, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute question demandant d'étudier la nature d'une série.

1 Tester le terme général : « $u_{n}\to 0$ , le critère du terme général ne conclut pas. »
2 NOMMER le critère retenu et vérifier explicitement ses hypothèses.
3 Faire le calcul du critère, limite ou intégrale, en entier.
4 Comparer le résultat au seuil du critère.
5 Conclure par le mot CONVERGE ou DIVERGE, en citant le critère.

Phrase de conclusion

La fonction $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ étant continue, positive et décroissante sur $\left[2,+\infty\right[$ , et $\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x\ln x}$ divergeant, le critère de l'intégrale montre que $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$ DIVERGE.

Le piège : Ne pas vérifier les hypothèses du critère. Le critère de l'intégrale demande continue, positive ET décroissante : les trois s'écrivent, et le barème leur réserve souvent un point entier.

Barème : En général 1 point pour le test du terme général, 1 point pour les hypothèses vérifiées, 2 points pour le calcul, 1 point pour la conclusion nommant le critère.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Calculer quelques sommes partielles

Additionner les dix ou vingt premiers termes à la calculatrice : une série convergente montre des sommes qui se stabilisent, une divergente des sommes qui continuent de croître.

$\sum\frac{1}{n^{2}}$ donne $1{,}54$ au dixième terme puis $1{,}63$ au centième : cela se stabilise ✓. L'harmonique passe de $2{,}93$ à $5{,}19$ : cela monte encore.
Comparer au comportement dominant

Remplacer le terme général par son équivalent en $\frac{1}{n^{p}}$ pour $n$ grand, et appliquer le critère de Riemann à cet équivalent.

$\frac{n+1}{n^{3}+2}$ se comporte comme $\frac{n}{n^{3}}=\frac{1}{n^{2}}$ : $p=2>1$ , donc convergence, ce que le calcul détaillé doit confirmer.
Vérifier une somme géométrique sur son premier terme

La somme d'une série géométrique à termes positifs est supérieure à son premier terme et du même ordre de grandeur. Un rapport de plus de dix signale une erreur sur $a$ .

Premier terme $\frac{1}{9}$ et somme $\frac{1}{6}$ : cohérent ✓. Une somme de $\frac{3}{2}$ pour un premier terme de $\frac{1}{9}$ ne l'est pas.
Contrôler que le critère utilisé peut conclure

Avant d'écrire la conclusion, vérifier que le critère n'est pas dans son cas d'échec : quotient égal à $1$ , terme général tendant vers $0$ , fonction non décroissante.

Sur toute série de Riemann, le quotient tend vers $1$ : ce critère est inutilisable, et l'écrire évite de conclure à tort.
Relire la question : nature ou somme

Repérer le mot de l'énoncé. « Nature », « étudier la convergence » attendent un mot; « calculer la somme » attend un nombre, et alors la série est presque toujours géométrique ou télescopique.

Répondre $1{,}64$ à une question de nature ne rapporte rien, même si le nombre est exact.

L'exercice type décortiqué

Le critère de l'intégrale sur une série litigieuse

Étudier la nature de $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$ .

Les rectangles de hauteur

f(n)

posés à droite de chaque entier dépassent la courbe décroissante : c'est cette comparaison, et elle seule, qui autorise à remplacer la somme par une intégrale.

Étape 1

Terme général : $\frac{1}{n\ln n}\to 0$ quand $n\to+\infty$ . Le critère du terme général NE CONCLUT PAS.

Pourquoi

On l'écrit quand même, parce qu'il coûte trois secondes et qu'un demi-point y est attaché. Surtout, il évite de conclure à la convergence sur cette seule base, ce qui est l'erreur du chapitre.

Étape 2

Riemann ne s'applique pas directement : $\frac{1}{n\ln n}$ est plus petit que $\frac{1}{n}$ mais plus grand que $\frac{1}{n^{p}}$ pour tout $p>1$ , dès que $n$ est assez grand. La comparaison est donc indécise.

Pourquoi

Constater qu'un critère échoue fait partie de la copie. Ici la série est coincée strictement entre la divergente $\frac{1}{n}$ et toutes les convergentes $\frac{1}{n^{p}}$ : c'est le cas litigieux typique.

Étape 3

Hypothèses du critère de l'intégrale : $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ est CONTINUE sur $\left[2,+\infty\right[$ , POSITIVE car $x>0$ et $\ln x>0$ pour $x\ge 2$ , et DÉCROISSANTE car $x\ln x$ est croissante.

Pourquoi

Les trois hypothèses s'écrivent une par une, avec leur raison. C'est ce bloc que le barème note, et c'est aussi ce qui distingue une application légitime d'une application mécanique.

Étape 4

$\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x\ln x}$ : on pose $u=\ln x$ , donc $du=\frac{dx}{x}$ , et l'intégrale devient $\int_{\ln 2}^{+\infty}\frac{du}{u}=\lim_{T\to+\infty}\left[\ln u\right]_{\ln 2}^{T}=+\infty$ .

Pourquoi

La substitution $u=\ln x$ est celle que la forme $\frac{u'}{u}$ appelle. La limite s'écrit avec une borne variable, comme toute intégrale impropre : cette ligne est notée séparément.

Étape 5

L'intégrale DIVERGE, donc la série $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$ diverge également.

Pourquoi

Le critère transmet la nature dans les deux sens : même nature pour la somme et pour l'intégrale. Il ne donne en revanche AUCUNE information sur la valeur, ce qui est normal puisqu'il n'y en a pas ici.

Étape 6

Contrôle numérique : les sommes partielles valent environ $2{,}32$ à $n=100$ , $2{,}73$ à $n=1000$ et $3{,}02$ à $n=10\,000$ . Elles montent encore, très lentement, comme $\ln\ln n$ ✓.

Pourquoi

La croissance en $\ln\ln n$ est si lente qu'aucune somme partielle ne peut prouver la divergence : c'est exactement pourquoi le critère théorique est indispensable, et pourquoi une conclusion prise sur les premières sommes serait fausse.

Conclusion rédigée

$f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ étant continue, positive et décroissante sur $\left[2,+\infty\right[$ , et son intégrale de $2$ à l'infini divergeant, le critère de l'intégrale montre que $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$ DIVERGE.

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure à la convergence parce que $\frac{1}{n\ln n}$ est plus petit que $\frac{1}{n}$ . Être plus petit qu'une série DIVERGENTE ne prouve rien : la comparaison ne transmet la convergence que vers le bas, depuis une convergente.

À savoir par cœur

• $u_{n}\to 0$ est NÉCESSAIRE, jamais suffisant. Ce critère ne sert qu'à prouver une divergence.
• Géométrique : converge si $\left|r\right|<1$ , somme $\frac{a}{1-r}$ où $a$ est le PREMIER terme sommé.
• Riemann : $\sum\frac{1}{n^{p}}$ converge si et seulement si $p>1$ . L'harmonique diverge.
• Quotient : $L<1$ converge, $L>1$ diverge, $L=1$ NE CONCLUT PAS. Inutile sur les Riemann.
• Intégrale : continue, positive, DÉCROISSANTE. Les trois hypothèses s'écrivent.
• Alternée : décroissance de $\left|u_{n}\right|$ ET limite nulle. Les deux.
• Comparaison : plus petit qu'une convergente converge, plus grand qu'une divergente diverge.
• Nature et somme sont deux questions : la somme n'est calculable que sur les géométriques et les télescopiques.

Questions fréquentes

Une série dont les termes tendent vers zéro converge-t-elle ?

Non, pas nécessairement. C'est une condition nécessaire mais pas suffisante. La série harmonique en est le contre-exemple : ses termes tendent vers zéro et ses sommes partielles croissent sans limite. Le critère du terme général ne sert qu'à prouver une divergence, quand le terme ne tend pas vers zéro.

Comment choisir le bon critère de convergence ?

On lit la forme du terme général. Une puissance constante donne une géométrique, une fraction rationnelle appelle Riemann ou une comparaison, une factorielle appelle le critère du quotient, une fonction décroissante intégrable appelle le critère de l'intégrale, et des signes alternés appellent le critère des séries alternées.

Pourquoi le critère du quotient ne conclut-il pas sur un sur n au carré ?

Parce que le rapport de deux termes consécutifs tend vers un, ce qui est exactement le cas d'échec du critère. Cela arrive à toutes les séries de Riemann, dont les termes décroissent trop lentement pour que le rapport s'écarte de un. Il faut alors passer au critère de Riemann lui-même.

Quelle est la différence entre convergence et convergence absolue ?

Une série converge absolument si la série de ses valeurs absolues converge. Cela entraîne la convergence, mais pas l'inverse. La série alternée des inverses des entiers converge sans converger absolument : on dit qu'elle est semi-convergente, et sa somme peut changer si l'on réordonne ses termes.

Comment calculer la somme d'une série ?

Ce n'est possible simplement que dans deux cas. Une série géométrique vaut son premier terme divisé par un moins la raison. Une série télescopique se réduit parce que les termes s'annulent deux à deux dans la somme partielle. Partout ailleurs, on décide seulement de la nature, pas de la valeur.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Séries numériques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Les suites numériques Fiche suivante Séries à termes en sin, cos, exp et ln

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Séries à termes en sin, cos, exp et ln Critères avancés : Cauchy, condensation, Raabe, Abel Séries entières et Taylor

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Fiche : les suites numériques Exercices : séries entières et de Taylor Exercices : critères avancés Exercices corrigés : Les séries numériques Tutorat cégep

Vous cherchez un tuteur en calcul intégral 201-NYB à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On reprend les gestes qui coûtent des points à l'examen de calcul intégral, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel des évaluations de cégep.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli