Séries numériques : les critères avancés et les pièges classiques

La série $\sum a_{n}$ converge si et seulement si : pour tout $\varepsilon>0$, il existe un rang $N$ tel que pour tous $q>p\geq N$, $\left|\sum_{n=p+1}^{q}a_{n}\right|<\varepsilon$. Autrement dit, les paquets de termes consécutifs deviennent arbitrairement petits, aussi longs soient-ils.

En prenant $q=p+1$, la somme se réduit au seul terme $a_{p+1}$, et la condition devient $\left|a_{p+1}\right|<\varepsilon$ dès que $p\geq N$ : c'est exactement la définition de $a_{n}\to 0$. Le test du terme général est donc un simple corollaire du critère de Cauchy, ce qui explique qu'il soit nécessaire mais pas suffisant : il n'utilise que les paquets de longueur 1.

Prenons $q=2p$. Chacun des $p$ termes de $\sum_{n=p+1}^{2p}\frac{1}{n}$ est supérieur ou égal à $\frac{1}{2p}$, donc $\sum_{n=p+1}^{2p}\frac{1}{n}\geq p\cdot\frac{1}{2p}=\frac{1}{2}$. Ces paquets ne deviennent jamais petits, quel que soit $p$ : le critère de Cauchy est mis en défaut avec $\varepsilon=\frac{1}{2}$, donc la série harmonique DIVERGE. (Numériquement ces paquets tendent d'ailleurs vers $\ln 2\approx 0{,}693$, bien au-dessus de $\frac{1}{2}$.)

Pour $n\geq 2$, $\frac{1}{n^{2}}\leq\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$. En sommant de $p+1$ à $q$, la somme télescope : $\sum_{n=p+1}^{q}\frac{1}{n^{2}}\leq\frac{1}{p}-\frac{1}{q}<\frac{1}{p}$. Étant donné $\varepsilon>0$, il suffit de prendre $N>\frac{1}{\varepsilon}$ pour que tous les paquets soient plus petits que $\varepsilon$. La série CONVERGE.

Il est précieux parce qu'il caractérise la convergence sans jamais mentionner la valeur de la somme : c'est lui qui permet de démontrer les autres critères, et c'est lui qui fait le lien avec la complétude de $\mathbb{R}$. En pratique on ne l'emploie pas, parce qu'il faut contrôler TOUS les paquets à la fois, ce qui est bien plus difficile que d'appliquer une comparaison. On s'en sert donc surtout comme instrument de preuve, et pour établir des divergences comme en c.

On calcule $2^{n}a_{2^{n}}=2^{n}\cdot\dfrac{1}{\left(2^{n}\right)^{p}}=2^{n(1-p)}=\left(2^{1-p}\right)^{n}$. C'est une série géométrique de raison $r=2^{1-p}$, qui converge si et seulement si $r<1$.

$2^{1-p}<1$ équivaut à $1-p<0$, c'est-à-dire $p>1$. La série de Riemann converge si et seulement si $p>1$. La condensation démontre donc le critère de Riemann en trois lignes, sans aucune intégrale : elle ramène tout à une géométrique, dont la nature est connue depuis le début du chapitre.

$2^{n}a_{2^{n}}=\dfrac{2^{n}}{2^{n}\ln\left(2^{n}\right)}=\dfrac{1}{n\ln 2}$. On obtient la série harmonique à une constante multiplicative près, qui DIVERGE. Donc $\sum\frac{1}{n\ln n}$ diverge, alors même que son terme général est bien plus petit que $\frac{1}{n}$.

$2^{n}a_{2^{n}}=\dfrac{2^{n}}{2^{n}\left(n\ln 2\right)^{\beta}}=\dfrac{1}{(\ln 2)^{\beta}}\cdot\dfrac{1}{n^{\beta}}$. C'est une série de Riemann d'exposant $\beta$, à constante près : elle converge si et seulement si $\beta>1$. On retrouve exactement le critère de Bertrand, et la démonstration explique aussi POURQUOI le logarithme rejoue le rôle de la variable : la condensation transforme $\ln 2^{n}$ en $n\ln 2$.

La décroissance est indispensable pour encadrer chaque bloc par son premier et son dernier terme. Idée : on regroupe les termes en blocs $\left[2^{k},2^{k+1}\right[$, qui contiennent $2^{k}$ termes. Par décroissance, chacun est compris entre $a_{2^{k+1}}$ et $a_{2^{k}}$, donc le bloc est encadré par $2^{k}a_{2^{k+1}}$ et $2^{k}a_{2^{k}}$. En sommant sur $k$, la série entière est encadrée entre $\frac{1}{2}\sum 2^{k+1}a_{2^{k+1}}$ et $\sum 2^{k}a_{2^{k}}$ : les deux séries sont donc de même nature. Sans décroissance l'encadrement s'effondre, et le théorème est faux.

$a_{2}=2^{-3}=\frac{1}{8}=0{,}125$, $a_{3}=2^{-2}=\frac{1}{4}=0{,}25$, $a_{4}=2^{-5}=\frac{1}{32}$, $a_{5}=2^{-4}=\frac{1}{16}$. Les rapports : $\frac{a_{3}}{a_{2}}=2$ et $\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{1}{8}$. La suite n'est même pas décroissante, elle zigzague.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=2^{-(n+1)-(-1)^{n+1}+n+(-1)^{n}}=2^{-1+2(-1)^{n}}$. Pour $n$ pair cela vaut $2^{1}=2$, pour $n$ impair $2^{-3}=\frac{1}{8}$. Le rapport oscille indéfiniment entre 2 et $\frac{1}{8}$ : il n'a pas de limite, et le critère de d'Alembert NE CONCLUT PAS. Il ne conclut même pas à la divergence, bien que le rapport dépasse 1 une fois sur deux.

$\sqrt[n]{a_{n}}=2^{\frac{-n-(-1)^{n}}{n}}=2^{-1-\frac{(-1)^{n}}{n}}$. Comme $\frac{(-1)^{n}}{n}\to 0$, la limite vaut $2^{-1}=\frac{1}{2}<1$ : le critère de Cauchy conclut à la CONVERGENCE. (La somme vaut d'ailleurs exactement $\frac{3}{2}$, en séparant les indices pairs et impairs en deux géométriques.)

Théorème : si $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ admet une limite $L$, alors $\sqrt[n]{|a_{n}|}$ admet la même limite $L$. La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple ci-dessus. Le critère de Cauchy est donc STRICTEMENT PLUS FORT : chaque fois que d'Alembert conclut, Cauchy conclut pareillement, et il conclut parfois quand d'Alembert reste muet. En pratique on garde tout de même d'Alembert en premier réflexe, parce que les rapports de factorielles se simplifient bien plus facilement que leurs racines $n$-ièmes.

La série harmonique $\sum\frac{1}{n}$ : le rapport tend vers 1 et la racine $n$-ième aussi, car $\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=e^{-\frac{\ln n}{n}}\to 1$. Les deux critères échouent ensemble, ce qui n'a rien d'un hasard : tous deux comparent implicitement la série à une géométrique, et aucune géométrique n'approche une décroissance polynomiale. On conclut alors par Riemann, par comparaison ou par l'intégrale.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{p}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-p}=1-\dfrac{p}{n}+o\!\left(\dfrac{1}{n}\right)$ par le développement limité. Donc $\alpha=p$, et la règle donne convergence pour $p>1$ et divergence pour $p<1$ : c'est exactement Riemann. (Le cas $p=1$ échappe à la règle, comme toujours à la frontière.)

$a_{1}=\frac{1}{2}$, $a_{2}=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}=\frac{3}{8}=0{,}375$, $a_{3}=\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{15}{48}=\frac{5}{16}=0{,}3125$. Le rapport se simplifie brutalement, tous les facteurs communs disparaissant : $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2n+1}{2n+2}$.

$\dfrac{2n+1}{2n+2}\to 1$ : d'Alembert ne conclut pas. On développe : $\frac{2n+1}{2n+2}=1-\frac{1}{2n+2}=1-\frac{1}{2n}+o\!\left(\frac{1}{n}\right)$, donc $\alpha=\frac{1}{2}$. Comme $\alpha<1$, la série DIVERGE. Vérification numérique : $n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ vaut 0,490 pour $n=50$ et 0,499 pour $n=500$, confirmant $\alpha=\frac{1}{2}$.

Si $a_{n}\sim\frac{1}{\sqrt{\pi n}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}n^{-1/2}$, alors $\sum a_{n}$ se comporte comme une série de Riemann d'exposant $\frac{1}{2}\leq 1$ : elle diverge, ce qui confirme c. Ensuite $a_{n}^{2}\sim\frac{1}{\pi n}$, exposant 1 : $\sum a_{n}^{2}$ DIVERGE aussi. Enfin $a_{n}^{3}\sim\frac{1}{(\pi n)^{3/2}}$, exposant $\frac{3}{2}>1$ : $\sum a_{n}^{3}$ CONVERGE.

Parce que d'Alembert ne retient que la LIMITE du rapport et jette toute l'information sur la manière dont elle est atteinte. Or entre $1-\frac{1}{2n}$ et $1-\frac{2}{n}$, la limite est la même mais la décroissance de $a_{n}$ est radicalement différente, en $n^{-1/2}$ dans un cas et en $n^{-2}$ dans l'autre. Raabe-Duhamel lit précisément le terme en $\frac{1}{n}$ du développement, c'est-à-dire ce que d'Alembert avait négligé.

$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$. La somme partielle télescope : $S_{N}=1-\frac{1}{N+1}\to 1$. La somme vaut exactement 1.

$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$. Le décalage étant de 2, les termes ne s'annulent qu'un sur deux et il RESTE deux termes au début : $S_{N}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right)\longrightarrow\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$. La règle générale est qu'un décalage de $k$ laisse $k$ termes de chaque côté.

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$. C'est encore un télescopage, sur la suite $u_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$ : la somme vaut $\frac{1}{2}u_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

On met au même dénominateur : $\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}=\frac{(n+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}$, ce qui est bien l'identité annoncée. La somme télescope donc vers $\frac{1}{1^{2}}=1$.

$1-\frac{1}{n^{2}}=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^{2}}$, donc $\ln\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\ln(n-1)+\ln(n+1)-2\ln n=\left[\ln(n+1)-\ln n\right]-\left[\ln n-\ln(n-1)\right]$. C'est la différence de deux termes consécutifs de la suite $v_{n}=\ln(n+1)-\ln n$, donc la somme de $2$ à $N$ vaut $v_{N}-v_{1}=\ln\frac{N+1}{N}-\ln 2\to-\ln 2$. La somme vaut $-\ln 2\approx-0{,}693$. Noter au passage que tous les termes sont négatifs, ce qui est cohérent.

$\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=1+\dfrac{1/n}{(-1)^{n}/\sqrt{n}}=1+\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\longrightarrow 1$. Les deux suites sont donc bien équivalentes au sens usuel.

$\sum a_{n}$ est une série alternée dont la valeur absolue $\frac{1}{\sqrt{n}}$ décroît vers 0 : elle CONVERGE (semi-convergente). En revanche $\sum b_{n}=\sum a_{n}+\sum\frac{1}{n}$, somme d'une série convergente et de la série harmonique divergente : elle DIVERGE. Deux séries de termes équivalents ont donc ici des natures OPPOSÉES, ce qui est impossible pour des termes positifs.

Le théorème de comparaison par limite exige que les termes soient de signe constant, au moins à partir d'un certain rang. Ici $a_{n}$ change de signe à chaque indice. L'équivalence $b_{n}\sim a_{n}$ contrôle le rapport, mais pas la DIFFÉRENCE : $b_{n}-a_{n}=\frac{1}{n}$ est négligeable devant $a_{n}\sim n^{-1/2}$ en valeur absolue, et pourtant sa série diverge. Sur des termes positifs, un tel accident est exclu, car la convergence est alors équivalente à la simple majoration des sommes partielles.

Non. Le développement limité donne $\ln\left(1+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right)=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}-\frac{1}{2n}+O\!\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$. Le premier terme donne une série convergente et le troisième aussi (Riemann d'exposant $\frac{3}{2}$), mais le terme du milieu, $-\frac{1}{2n}$, engendre une série divergente. La série DIVERGE donc, et ses sommes partielles se comportent comme $-\frac{1}{2}\ln N$. C'est le contre-exemple type : l'équivalent était juste, la conclusion tirée de l'équivalent était fausse.

Sur une série à signes variables, on ne raisonne JAMAIS par équivalent. On procède dans cet ordre : d'abord tester la convergence absolue, qui règle le cas si $\sum|a_{n}|$ converge ; sinon, effectuer un développement limité du terme général à un ordre suffisant pour séparer une partie alternée traitable par Leibniz et un reste de signe constant traitable par Riemann ; conclure sur la SOMME de ces morceaux. C'est exactement la démarche de la question d.

Au premier ordre, $\sin\frac{1}{n}\sim\frac{1}{n}$, donc la différence est équivalente à $0$ : l'information est perdue, un équivalent nul ne dit rien. On pousse le développement : $\sin u=u-\frac{u^{3}}{6}+O(u^{5})$ avec $u=\frac{1}{n}$, d'où $\sin\frac{1}{n}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{6n^{3}}+O\!\left(\frac{1}{n^{5}}\right)\sim-\frac{1}{6n^{3}}$. Les termes sont de signe constant (négatifs) et comparables à $n^{-3}$ : la série CONVERGE absolument. Vérification en $n=100$ : la différence vaut $-1{,}6667\times 10^{-7}$, et $-\frac{1}{6\cdot 10^{6}}$ vaut $-1{,}6667\times 10^{-7}$.

$\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+O(u^{3})$, donc $\frac{1}{n}-\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim\frac{1}{2n^{2}}$. Termes positifs, exposant $2>1$ : la série CONVERGE. En $n=100$ la différence vaut $4{,}967\times 10^{-5}$, proche de $\frac{1}{2\cdot 10^{4}}=5\times 10^{-5}$.

$e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+O(u^{3})$, donc $e^{1/n}-1-\frac{1}{n}\sim\frac{1}{2n^{2}}$ : la série CONVERGE, pour la même raison qu'en b. En $n=100$ : $5{,}017\times 10^{-5}$.

Non, cela ne suffit pas : un terme qui tend vers 0 est nécessaire mais jamais suffisant. On développe : $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\exp\left(n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=\exp\left(1-\frac{1}{2n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)=e\left(1-\frac{1}{2n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)$, donc le terme vaut $-\frac{e}{2n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\sim-\frac{e}{2n}$. Termes de signe constant équivalents à un multiple de $\frac{1}{n}$ : la série DIVERGE. En $n=1000$ le terme vaut $-1{,}3579\times 10^{-3}$ contre $-\frac{e}{2000}=-1{,}3591\times 10^{-3}$.

Il faut développer jusqu'au PREMIER TERME NON NUL. Celui-ci fournit l'équivalent cherché, et c'est lui seul qui décide de la nature ; tout le reste est négligeable devant lui. Sur une série à signes variables, il faut aller un cran plus loin encore, jusqu'à avoir isolé tous les termes dont la série diverge, comme à l'exercice précédent.

Critère d'Abel : si $(a_{n})$ est une suite positive DÉCROISSANTE tendant vers 0, et si les sommes partielles $B_{n}=\sum_{k=1}^{n}b_{k}$ sont BORNÉES, alors $\sum a_{n}b_{n}$ converge. Cas particulier : avec $b_{n}=(-1)^{n}$, les sommes partielles valent alternativement $-1$ et $0$, donc elles sont bornées par 1 ; on retrouve exactement le critère des séries alternées. Leibniz n'est donc qu'un Abel où la partie oscillante est la plus simple possible.

La somme géométrique de raison $e^{i}\neq 1$ vaut $\sum_{k=1}^{n}e^{ik}=e^{i}\,\frac{e^{in}-1}{e^{i}-1}$, dont le module est majoré par $\dfrac{|e^{in}-1|}{|e^{i}-1|}\leq\dfrac{2}{|e^{i}-1|}=\dfrac{2}{2\left|\sin\frac{1}{2}\right|}=\dfrac{1}{\left|\sin\frac{1}{2}\right|}\approx 2{,}086$. Comme $\sum_{k=1}^{n}\sin k$ est la partie imaginaire de cette somme, elle est bornée par la même constante. (Numériquement, le maximum observé jusqu'à $n=3000$ vaut environ 1,958 : la borne est correcte et assez serrée.)

On applique Abel avec $a_{n}=\frac{1}{n}$, positive, décroissante et de limite nulle, et $b_{n}=\sin n$, dont les sommes partielles sont bornées d'après b. Le critère donne la CONVERGENCE de $\sum\frac{\sin n}{n}$. Sa somme vaut d'ailleurs $\frac{\pi-1}{2}\approx 1{,}0708$.

Non. On a $|\sin n|\geq\sin^{2}n=\frac{1-\cos 2n}{2}$, donc $\frac{|\sin n|}{n}\geq\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos 2n}{n}$. La série $\sum\frac{\cos 2n}{n}$ converge par le même argument d'Abel, tandis que $\sum\frac{1}{n}$ diverge. La minoration est donc la différence d'une série divergente et d'une série convergente : elle diverge, et par comparaison $\sum\frac{|\sin n|}{n}$ DIVERGE. La série est SEMI-CONVERGENTE.

Pour $\sum\frac{\sin n}{\sqrt{n}}$ : oui, $\frac{1}{\sqrt{n}}$ décroît encore vers 0 et la partie oscillante est inchangée, donc la série converge (toujours semi-convergente). Pour $\sum\sin n$ : non, car il n'y a plus de facteur décroissant, $a_{n}=1$ ne tend pas vers 0. Et de fait la série diverge, puisque son terme général $\sin n$ ne tend pas vers 0.

$c_{0}=a_{0}b_{0}$ ; $c_{1}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}$ ; $c_{2}=a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}$. On reconnaît la règle de multiplication des polynômes, où le coefficient de $x^{n}$ rassemble tous les produits d'indices de somme $n$.

Si $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ convergent ABSOLUMENT, alors $\sum c_{n}$ converge absolument et sa somme est le produit des deux sommes. (Le théorème de Mertens affaiblit l'hypothèse : il suffit qu'une des deux converge absolument et l'autre simplement.)

Les deux séries exponentielles convergent absolument pour tous $x$ et $y$, l'hypothèse est donc satisfaite. On calcule $c_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\cdot\frac{y^{n-k}}{(n-k)!}=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}=\frac{(x+y)^{n}}{n!}$ par la formule du binôme. En sommant : $e^{x}e^{y}=\sum\frac{(x+y)^{n}}{n!}=e^{x+y}$. Vérification numérique avec $x=0{,}7$ et $y=0{,}4$ : les deux membres valent 3,0041660239.

Ces séries convergent (alternées) mais pas absolument, puisque $\sum\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ est une série de Riemann d'exposant $\frac{1}{2}$. Tous les produits $a_{k}a_{n-k}$ ont le même signe $(-1)^{n}$, donc aucune compensation n'a lieu et $\left|c_{n}\right|=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$. Or $(k+1)(n-k+1)\leq\left(\frac{n}{2}+1\right)^{2}$ par l'inégalité entre moyennes, donc chaque terme est minoré par $\frac{1}{\frac{n}{2}+1}$ et $\left|c_{n}\right|\geq\frac{n+1}{\frac{n}{2}+1}\to 2$. Le terme général ne tend pas vers 0 : le produit de Cauchy DIVERGE. Numériquement $\left|c_{200}\right|\approx 2{,}94$ et $\left|c_{800}\right|\approx 3{,}04$.