Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les critères avancés de convergence (201-NYB)

Quand le terme général tend vers zéro, que d'Alembert renvoie $1$ et qu'aucun équivalent simple ne se dégage, il reste quatre outils : la condensation, le critère de la racine, la règle de Raabe-Duhamel et le critère d'Abel. Chacun répond à une situation précise, et savoir laquelle est l'essentiel du travail.

Cette fiche donne les quatre critères avec leurs hypothèses exactes, et surtout le piège commun à tous : les équivalents et les comparaisons ne valent qu'à signe constant, ce que les énoncés d'examen exploitent systématiquement.

Le fil du chapitre

Un équivalent ne se manipule qu'à SIGNE CONSTANT. Dès que les termes changent de signe, deux suites équivalentes peuvent donner des séries de natures différentes, et c'est l'erreur qui départage les copies à l'examen final.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Séries numériques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
2Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
3Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
4Les suites numériques
5Séries numériques

L'essentiel

Les quatre critères, avec leurs hypothèses exactes

• CONDENSATION : si $(a_{n})$ est POSITIVE et DÉCROISSANTE, alors $\sum a_{n}$ et $\sum 2^{n}a_{2^{n}}$ sont de MÊME NATURE. Les deux hypothèses sont indispensables.
• RACINE : si $\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}\to L$ , la série converge si $L<1$ et diverge si $L>1$ . Elle conclut chaque fois que d'Alembert conclut, et parfois davantage.
• RAABE-DUHAMEL : si $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=1-\dfrac{\alpha}{n}+o\!\left(\dfrac{1}{n}\right)$ avec $a_{n}>0$ , la série converge si $\alpha>1$ et diverge si $\alpha<1$ .
• ABEL : si $(a_{n})$ décroît vers $0$ et si les sommes partielles de $(b_{n})$ sont BORNÉES, alors $\sum a_{n}b_{n}$ converge. Le critère des séries alternées en est le cas $b_{n}=(-1)^{n}$ .
• PRODUIT DE CAUCHY : $c_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$ . Il converge vers le produit des sommes uniquement si les deux séries convergent ABSOLUMENT.

Raabe-Duhamel prend le relais exactement là où d'Alembert échoue : quand le rapport tend vers $1$ , elle regarde à quelle VITESSE il y tend, et c'est le coefficient $\alpha$ de ce développement qui décide.

La condensation, et la famille de Bertrand

• La condensation transforme une série lente en une série géométrique ou de Riemann : elle est faite pour les termes qui contiennent des logarithmes.
• Riemann en une ligne : pour $a_{n}=\dfrac{1}{n^{p}}$ , on obtient $2^{n}a_{2^{n}}=\left(2^{1-p}\right)^{n}$ , série géométrique convergente si et seulement si $p>1$ .
• BERTRAND : pour $a_{n}=\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}}$ , on obtient $2^{n}a_{2^{n}}=\dfrac{1}{(n\ln 2)^{p}}$ , donc convergence si et seulement si $p>1$ .
• En particulier $\displaystyle\sum\frac{1}{n\ln n}$ DIVERGE, alors que ses termes sont plus petits que ceux de la série harmonique.
• Être plus petit qu'une série divergente ne prouve rien : seule une majoration par une série CONVERGENTE conclut.

Regroupés par puissances de deux, les termes de la série harmonique forment des blocs qui pèsent chacun au moins

\dfrac{1}{2}

: la somme croît donc sans limite. C'est exactement l'idée que la condensation généralise.

La condensation exige la décroissance : elle ne s'applique donc jamais telle quelle à une suite qui oscille, ni à une suite dont les premiers termes montent avant de descendre, sauf à décaler le point de départ.

Le piège du signe, et le télescopage

• Les équivalents, la comparaison par limite et le critère de comparaison exigent tous un SIGNE CONSTANT, au moins à partir d'un certain rang.
• Contre-exemple à connaître : $a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ et $b_{n}=a_{n}+\dfrac{1}{n}$ sont équivalents, mais $\sum a_{n}$ converge et $\sum b_{n}$ diverge.
• Devant des signes variables, on n'a que trois voies : la convergence ABSOLUE, le critère de LEIBNIZ, ou le critère d'ABEL.
• TÉLESCOPAGE : si $a_{n}=u_{n}-u_{n+1}$ , alors $\displaystyle\sum_{n=1}^{N}a_{n}=u_{1}-u_{N+1}$ . La somme est exacte, pas seulement la nature.
• Il ne reste que DEUX termes de bord : le premier gardé et le premier omis. Les oublier fausse la somme, jamais la nature.

Le télescopage est le seul outil du chapitre qui donne la SOMME et pas seulement la nature. Il se repère à une décomposition en éléments simples dont les deux morceaux ne diffèrent que d'un décalage d'indice.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Manipuler un équivalent sur une série à signes variables

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{n}$ est équivalent à $\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ , dont la série converge : donc la série converge. »

Ce qu'il faut écrire

« L'équivalence n'autorise aucune conclusion à signe variable. Ici la première série converge et la seconde DIVERGE, puisque leur différence est la série harmonique. »

Pourquoi : Deux suites équivalentes ont une différence négligeable devant chacune d'elles, mais la SÉRIE de cette différence peut parfaitement diverger. C'est impossible à signe constant, et courant sinon.

2. Croire qu'une série à termes plus petits qu'une série divergente converge

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{1}{n\ln n}<\dfrac{1}{n}$ , donc la série converge. »

Ce qu'il faut écrire

« Majorer par une série DIVERGENTE ne prouve rien. La condensation montre que $\displaystyle\sum\frac{1}{n\ln n}$ diverge elle aussi. »

La courbe du bas reste toujours sous celle de

\dfrac{1}{n}

, et pourtant sa série diverge aussi : être plus petit qu'une série divergente n'apprend rien du tout.

Pourquoi : Le théorème de comparaison ne fonctionne que dans un sens : plus petit qu'une CONVERGENTE donne la convergence, plus grand qu'une DIVERGENTE donne la divergence. Les deux autres combinaisons ne disent rien.

3. Appliquer la condensation sans vérifier la décroissance

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'applique la condensation à $a_{n}=\dfrac{2+(-1)^{n}}{n}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Cette suite n'est pas DÉCROISSANTE : elle oscille entre $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{3}{n}$ . La condensation ne s'applique pas; ici un encadrement direct par $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{3}{n}$ suffit à conclure à la divergence. »

Pourquoi : La condensation repose sur un encadrement de chaque bloc par son premier et son dernier terme, ce qui exige la monotonie. Sans elle, l'encadrement s'effondre et le théorème est faux.

4. Invoquer Raabe-Duhamel quand le rapport ne tend pas vers un

aucun point perdu, mais un développement inutile de dix minutes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le rapport tend vers $\dfrac{1}{4}$ , j'applique Raabe pour avoir plus de précision. »

Ce qu'il faut écrire

« Raabe ne sert QUE dans le cas indécis de d'Alembert, c'est-à-dire quand le rapport tend vers $1$ . Ici $\dfrac{1}{4}<1$ : d'Alembert conclut déjà, et Raabe n'a pas de sens. »

Pourquoi : Raabe examine la VITESSE à laquelle le rapport approche $1$ . Si le rapport tend vers autre chose, ce développement n'existe pas et l'écriture $1-\dfrac{\alpha}{n}$ n'a aucun sens.

5. Se tromper de sens dans le critère de Raabe

toute la question, 5 points, avec la conclusion inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=1-\dfrac{1}{2n}+o\!\left(\dfrac{1}{n}\right)$ , donc $\alpha=\dfrac{1}{2}$ et la série converge. »

Ce qu'il faut écrire

« $\alpha=\dfrac{1}{2}<1$ : la série DIVERGE. Il faut $\alpha>1$ pour converger, exactement comme l'exposant de Riemann. »

Pourquoi : Le seuil de Raabe est le même que celui de Riemann, et pour la même raison : le développement du rapport encode l'exposant $p$ d'une comparaison avec $\dfrac{1}{n^{\alpha}}$ .

6. Oublier la condition sur les sommes partielles dans le critère d'Abel

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{1}{n}$ décroît vers $0$ , donc $\displaystyle\sum\frac{b_{n}}{n}$ converge quelle que soit la suite $(b_{n})$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut en plus que les SOMMES PARTIELLES de $(b_{n})$ soient BORNÉES. Avec $b_{n}=1$ pour tout $n$ , elles valent $n$ et ne sont pas bornées : on retrouve la série harmonique, qui diverge. »

Pourquoi : C'est cette condition qui fait tout le travail : elle interdit à $(b_{n})$ de s'accumuler dans une même direction. Pour $b_{n}=(-1)^{n}$ ou $b_{n}=\sin n$ , les sommes partielles restent bornées et le critère s'applique.

7. Former un produit de Cauchy sans convergence absolue

3 points sur la question de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux séries convergent, donc leur produit de Cauchy converge vers le produit des sommes. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut la convergence ABSOLUE d'au moins l'une des deux. Avec deux séries seulement semi-convergentes, le produit de Cauchy peut diverger, et l'exemple classique est $\displaystyle\sum\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ multipliée par elle-même. »

Pourquoi : Le produit réarrange une infinité de termes, ce qui n'est licite que sous convergence absolue. Une série semi-convergente peut au contraire être réordonnée pour converger vers n'importe quel réel.

8. Oublier les termes de bord d'un télescopage

toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=0$ , tout se simplifie. »

Ce qu'il faut écrire

« Il reste DEUX termes : $\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}$ , qui tend vers $1$ . »

Toute la somme se réduit à DEUX nombres : le premier terme et celui qu'on abandonne au rang

N+1

. Les sommes partielles montent donc vers

1

sans jamais l'atteindre.

Pourquoi : Le télescopage annule tous les termes SAUF le premier gardé et le dernier omis. Une somme nulle pour une série à termes strictement positifs est d'ailleurs absurde.

9. Croire que d'Alembert et le critère de la racine sont interchangeables

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le rapport $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$ n'a pas de limite, donc on ne peut rien conclure. »

Ce qu'il faut écrire

« Le critère de la RACINE peut conclure là où d'Alembert échoue. Avec $a_{n}=\dfrac{\left(2+(-1)^{n}\right)^{n}}{4^{n}}$ , le rapport oscille entre $0$ et l'infini, mais $\sqrt[n]{a_{n}}$ vaut $\dfrac{3}{4}$ ou $\dfrac{1}{4}$ , donc la série converge. »

Pourquoi : Quand le rapport a une limite, la racine a la même : le critère de la racine est donc au moins aussi puissant. Il est strictement plus fort dès que le terme général oscille entre deux régimes.

10. Utiliser le critère de comparaison dans le mauvais sens

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a_{n}\ge b_{n}$ et $\sum b_{n}$ converge, donc $\sum a_{n}$ converge. »

Ce qu'il faut écrire

« La comparaison ne conclut que dans un sens : plus PETIT qu'une convergente donne la convergence, plus GRAND qu'une divergente donne la divergence. »

Pourquoi : Une série plus grande qu'une série convergente peut parfaitement diverger. Le sens de l'inégalité et la nature de la série de référence doivent se répondre, sans quoi le théorème ne s'applique pas.

11. Utiliser un équivalent nul

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}$ est équivalent à $0$ , donc la série converge trivialement. »

Ce qu'il faut écrire

« Aucune suite non nulle n'est équivalente à $0$ . Il faut le développement d'ordre supérieur : $\sin u=u-\dfrac{u^{3}}{6}+\ldots$ , donc la différence vaut $\dfrac{1}{6n^{3}}$ , et la série converge par Riemann avec $p=3$ . »

Pourquoi : Écrire qu'une quantité est équivalente à zéro n'a aucun sens, la définition de l'équivalence passant par un quotient. C'est le signal qu'il faut aller un cran plus loin dans le développement.

Quelle méthode choisir

Quel critère avancé, et quand

Ce qui a échoué avant, et la forme du terme général

Si le terme contient un LOGARITHME et la suite est positive décroissante → CONDENSATION : $\sum a_{n}$ et $\sum 2^{n}a_{2^{n}}$ ont même nature

Exemple : $\displaystyle\sum\frac{1}{n(\ln n)^{p}}$ converge si et seulement si $p>1$
Si le terme général est une PUISSANCE $n$ -ième, ou oscille entre deux régimes → critère de la RACINE, plus puissant que d'Alembert

Exemple : $a_{n}=\dfrac{\left(2+(-1)^{n}\right)^{n}}{4^{n}}$
Si d'Alembert donne exactement $1$ et le terme contient des factorielles → RAABE-DUHAMEL : développer le rapport en $1-\dfrac{\alpha}{n}$ et comparer $\alpha$ à $1$

Exemple : $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{2n+1}{2n+2}$ donne $\alpha=\dfrac{1}{2}$ , donc divergence
Si le terme est un PRODUIT d'une suite décroissante par une suite oscillante → ABEL, après avoir vérifié que les sommes partielles de la seconde sont bornées

Exemple : $\displaystyle\sum\frac{\sin n}{n}$ converge
Si le terme se décompose en éléments simples décalés d'un indice → TÉLESCOPAGE, qui donne la somme exacte et pas seulement la nature

Exemple : $\displaystyle\sum\frac{1}{n(n+1)}=1$
Si les signes varient sans alternance régulière → convergence ABSOLUE ou critère d'Abel, jamais un équivalent

c'est exactement le cas où la comparaison par limite est illégitime

Ces critères ne remplacent pas les quatre du cours : ils viennent après. La bonne stratégie est de toujours essayer un équivalent et Riemann d'abord, et de ne sortir ces outils que lorsqu'ils échouent.

Ce qu'un critère exige avant d'être appliqué

Les hypothèses à vérifier explicitement, sous peine de perdre le point de rigueur

Si on utilise un ÉQUIVALENT ou une comparaison par limite → vérifier le SIGNE CONSTANT à partir d'un certain rang

Exemple : interdit sur $\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{n}$
Si on utilise la CONDENSATION → vérifier la POSITIVITÉ et la DÉCROISSANCE

Exemple : interdit sur une suite qui oscille entre $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{3}{n}$
Si on utilise RAABE → vérifier que les termes sont positifs ET que le rapport tend vers $1$

Exemple : inutile si le rapport tend vers $\dfrac{1}{4}$
Si on utilise ABEL → vérifier la décroissance vers $0$ de la première suite ET le caractère borné des sommes partielles de la seconde

Exemple : $\left|\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sin k\right|$ est bornée
Si on forme un PRODUIT DE CAUCHY → vérifier la convergence ABSOLUE d'au moins l'une des deux séries

sans elle, le réarrangement d'une infinité de termes n'est pas licite

Chaque hypothèse non vérifiée coûte un point de rigueur, et parfois toute la question quand elle est réellement violée. Les écrire prend trois lignes et rapporte davantage que le calcul lui-même.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Traiter une famille par condensation

Quand l'utiliser : Le terme général contient un logarithme et dépend d'un paramètre, et l'énoncé demande une discussion selon ce paramètre.

1 Vérifier que la suite est POSITIVE et DÉCROISSANTE à partir d'un certain rang, en le justifiant par une étude de fonction.
2 Écrire le terme condensé $2^{n}a_{2^{n}}$ en substituant $n$ par $2^{n}$ , et simplifier complètement.
3 Reconnaître la série obtenue : géométrique, de Riemann, ou à nouveau à condenser.
4 Conclure sur sa nature, puis transférer la conclusion à la série de départ grâce au théorème de condensation.
5 Discuter selon le paramètre, en donnant explicitement la valeur critique.

Phrase de conclusion

« La suite $\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}}$ est positive et décroissante pour $n\ge 3$ ; le terme condensé vaut $\dfrac{2^{n}}{2^{n}(n\ln 2)^{p}}=\dfrac{1}{(\ln 2)^{p}}\cdot\dfrac{1}{n^{p}}$ , série de Riemann convergente si et seulement si $p>1$ : il en va donc de même pour la série de départ. »

Le piège : Substituer $2^{n}$ dans $a_{n}$ sans multiplier par $2^{n}$ . Le théorème porte sur $2^{n}a_{2^{n}}$ , et c'est ce facteur qui compense la raréfaction des indices.

Barème : Typiquement 2 points pour les hypothèses vérifiées, 3 pour le terme condensé simplifié, 2 pour la reconnaissance de la série, 1 pour le transfert et la discussion.

Justifier qu'un équivalent est légitime

Quand l'utiliser : On veut remplacer le terme général par un équivalent pour conclure par comparaison.

1 Déterminer le SIGNE du terme général, et le rang à partir duquel il est constant.
2 Si le signe varie, ne pas utiliser d'équivalent : passer à la convergence absolue, à Leibniz ou à Abel, et le dire.
3 Si le signe est constant, écrire l'équivalent en précisant le voisinage considéré, ici $n\to+\infty$ .
4 Vérifier que le quotient tend vers une limite FINIE et NON NULLE, puis énoncer la comparaison par limite.
5 Conclure par Riemann ou par la série géométrique, selon la forme obtenue.

Phrase de conclusion

« Le terme général est positif à partir de $n=2$ , ce qui autorise la comparaison; il est équivalent à $\dfrac{1}{2n^{2}}$ , dont la série converge par Riemann avec $p=2$ : la série converge. »

Le piège : Écrire « équivalent à $0$ » quand le premier ordre s'annule. Aucune suite non nulle n'est équivalente à zéro : c'est le signal qu'il faut un développement d'un ordre de plus.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le signe avant tout équivalent

Repasser sur la copie et vérifier qu'une phrase justifie le signe constant avant chaque comparaison ou équivalent.

Un équivalent appliqué à un terme contenant un facteur $(-1)^{n}$ : la manipulation est illégitime.
Les hypothèses de chaque critère écrites

Chaque critère avancé a deux ou trois hypothèses. Les compter sur la copie et vérifier qu'aucune n'est passée sous silence.

Une condensation sans mention de la décroissance : une hypothèse manque.
La cohérence du seuil de Raabe avec celui de Riemann

Le seuil est le même, $\alpha>1$ pour converger. Un raisonnement qui fait converger pour $\alpha<1$ contredit la comparaison qui fonde le critère.

Un $\alpha=\dfrac{1}{2}$ annoncé convergent : c'est l'analogue de $\displaystyle\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ , qui diverge.
Les termes de bord d'un télescopage

Après simplification, il doit rester exactement deux termes. Une somme nulle pour une série à termes positifs est impossible.

Une somme partielle annoncée nulle alors que tous les termes sont positifs.
Le sens du théorème de comparaison

Vérifier que le sens de l'inégalité et la nature de la série de référence se répondent : petit et convergente, ou grand et divergente.

Une majoration par une série divergente utilisée pour conclure à la convergence : le théorème ne dit rien dans ce cas.

L'exercice type décortiqué

La famille de Bertrand, traitée par condensation

Discuter, selon le réel $p$ , la nature de la série $\displaystyle\sum_{n\ge 2}\frac{1}{n(\ln n)^{p}}$ .

On traitera en particulier le cas $p=1$ , et l'on expliquera pourquoi la comparaison avec la série harmonique ne permet pas de conclure.

Étape 1

Terme général : $a_{n}=\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}}$ , défini et strictement POSITIF pour $n\ge 2$ . Il tend vers $0$ , donc le test du terme général ne conclut pas.

Pourquoi

La positivité est la première hypothèse de la condensation et elle conditionne aussi toute comparaison. La mentionner en une ligne est attendu par le barème.

Étape 2

Décroissance : la fonction $x\mapsto x(\ln x)^{p}$ est croissante pour $x\ge 3$ dès que $p\ge 0$ , donc $a_{n}$ décroît. Pour $p<0$ , la série majore l'harmonique et diverge d'emblée.

Pourquoi

On sépare le cas trivial $p<0$ tout de suite : le logarithme y passe au numérateur et la série est alors plus grande que l'harmonique, donc divergente sans autre travail.

Étape 3

Condensation : $2^{n}a_{2^{n}}=2^{n}\cdot\dfrac{1}{2^{n}\left(\ln 2^{n}\right)^{p}}=\dfrac{1}{\left(n\ln 2\right)^{p}}=\dfrac{1}{(\ln 2)^{p}}\cdot\dfrac{1}{n^{p}}$ .

Pourquoi

Le facteur $2^{n}$ du théorème annule exactement le $2^{n}$ du dénominateur : c'est cette simplification qui rend la condensation si efficace sur les termes en $\dfrac{1}{n}$ .

Étape 4

La série condensée est, à la constante $\dfrac{1}{(\ln 2)^{p}}$ près, la série de Riemann $\displaystyle\sum\frac{1}{n^{p}}$ : elle converge si et seulement si $p>1$ .

Pourquoi

Une constante multiplicative non nulle ne change jamais la nature d'une série. On peut donc l'écarter d'un mot et se ramener à un cas parfaitement connu.

Étape 5

Par le théorème de condensation, la série de départ a la MÊME nature : elle converge si et seulement si $p>1$ .

Pourquoi

Le transfert est immédiat une fois les deux hypothèses vérifiées. C'est tout l'intérêt du théorème : il ramène une famille difficile à une famille de référence.

Étape 6

Cas $p=1$ : la série $\displaystyle\sum\frac{1}{n\ln n}$ DIVERGE, puisque la série condensée est alors $\dfrac{1}{\ln 2}\displaystyle\sum\frac{1}{n}$ , harmonique.

Pourquoi

C'est le résultat que l'énoncé vise. Il est contre-intuitif, car les termes sont nettement plus petits que ceux de l'harmonique, et pourtant la somme croît encore sans limite.

Étape 7

Pourquoi la comparaison échoue : $\dfrac{1}{n\ln n}<\dfrac{1}{n}$ , mais être plus PETIT qu'une série DIVERGENTE ne permet aucune conclusion. Le théorème de comparaison ne fonctionne que dans l'autre sens.

Pourquoi

C'est la réponse à la seconde question, et elle vaut autant de points que le calcul. Le sens de l'inégalité et la nature de la référence doivent se répondre.

Étape 8

Vérification numérique : la somme des vingt mille premiers termes pour $p=1$ vaut environ $2{,}95$ , et elle continue de croître comme $\ln\ln n$ , donc sans limite, mais si lentement qu'aucun calcul fini ne le montre.

Pourquoi

Le contrôle numérique illustre la difficulté du chapitre : une série peut diverger si lentement qu'aucune somme partielle ne le révèle. Seule la démonstration tranche.

Conclusion rédigée

« La série de Bertrand $\displaystyle\sum_{n\ge 2}\frac{1}{n(\ln n)^{p}}$ converge si et seulement si $p>1$ . En particulier, pour $p=1$ , elle DIVERGE, bien que ses termes soient strictement plus petits que ceux de la série harmonique : la comparaison ne conclut pas dans ce sens. »

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure à la convergence pour $p=1$ en écrivant $\dfrac{1}{n\ln n}<\dfrac{1}{n}$ . La majoration est vraie, mais elle porte sur une série divergente : elle n'apprend rien. Seule une majoration par une série CONVERGENTE conclut.

À savoir par cœur

• Un ÉQUIVALENT ne se manipule qu'à SIGNE CONSTANT. Sinon : absolue, Leibniz ou Abel.
• CONDENSATION : suite POSITIVE et DÉCROISSANTE; alors $\sum a_{n}$ et $\sum 2^{n}a_{2^{n}}$ ont même nature.
• BERTRAND : $\displaystyle\sum\frac{1}{n(\ln n)^{p}}$ converge si et seulement si $p>1$ ; en particulier $\displaystyle\sum\frac{1}{n\ln n}$ DIVERGE.
• RACINE : conclut chaque fois que d'Alembert conclut, et en plus quand le terme oscille entre deux régimes.
• RAABE : rapport $=1-\dfrac{\alpha}{n}+o\!\left(\dfrac{1}{n}\right)$ ; converge si $\alpha>1$ , exactement comme Riemann.
• ABEL : $(a_{n})$ décroît vers $0$ ET sommes partielles de $(b_{n})$ BORNÉES.
• TÉLESCOPAGE : il reste DEUX termes de bord, jamais zéro.
• Comparaison : plus PETIT qu'une CONVERGENTE, ou plus GRAND qu'une DIVERGENTE. Les deux autres cas ne disent rien.

Questions fréquentes

Pourquoi un équivalent ne suffit-il pas quand les signes varient ?

Parce que deux suites équivalentes ont une différence négligeable devant chacune d'elles, mais la série de cette différence peut diverger. À signe constant, c'est impossible. Avec des signes variables, l'exemple classique est la somme d'une série alternée convergente et de la série harmonique : les deux termes généraux sont équivalents, et pourtant les natures diffèrent.

À quoi sert la condensation de Cauchy ?

À transformer une série lente, typiquement avec un logarithme, en une série connue. Elle exige que la suite soit positive et décroissante. On remplace alors la série par celle des termes d'indice puissance de deux, multipliés par deux puissance n. Elle donne le critère de Riemann en une ligne et toute la famille de Bertrand aussi vite.

La série de un sur n fois logarithme de n converge-t-elle ?

Non, elle diverge, bien que ses termes soient nettement plus petits que ceux de la série harmonique. La condensation la ramène exactement à la série harmonique, à une constante près. C'est le contre-exemple qui rappelle qu'une majoration par une série divergente n'apprend rien.

Quand utiliser la règle de Raabe-Duhamel ?

Uniquement quand le critère de d'Alembert échoue, c'est-à-dire quand le rapport de deux termes consécutifs tend vers un. On développe alors ce rapport sous la forme un moins alpha sur n, et le coefficient alpha décide : convergence s'il dépasse un, divergence sinon. C'est exactement le seuil de Riemann.

Le critère de la racine est-il plus puissant que celui du rapport ?

Oui. Quand le rapport a une limite, la racine a la même, donc tout ce que le premier conclut, le second le conclut aussi. Mais la racine conclut en plus lorsque le terme général oscille entre deux régimes, cas où le rapport n'a aucune limite. Elle n'est jamais moins forte.

Que reste-t-il après un télescopage ?

Exactement deux termes : le premier terme gardé et le premier terme abandonné. Tout le reste s'annule deux à deux. Une somme partielle nulle pour une série à termes strictement positifs est donc impossible, et c'est le contrôle le plus rapide de ce type de calcul.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Critères avancés : Cauchy, condensation, Raabe, Abel

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Séries à termes en sin, cos, exp et ln Fiche suivante Séries entières et Taylor

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Exercices : critères avancés (201-NYB)Séries numériques et critères (201-NYB)Séries à termes transcendants (201-NYB)Tutorat cégep Tuteur de mathématiques

Vous préparez un examen difficile sur les séries à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. Les questions qui départagent portent presque toujours sur les critères d'Abel et de Raabe ou sur le piège des équivalents : ce sont exactement les points travaillés ici.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli