Séries numériques niveau examen : d'Alembert, alternées et termes transcendants

Le rapport vaut $\dfrac{e^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{e^{n}}=\dfrac{e}{n+1}\to 0<1$ : la série converge. Sa somme est immédiate si l'on reconnaît la série exponentielle $\sum_{n\geq 0}\frac{x^{n}}{n!}=e^{x}$ évaluée en $x=e$ : la somme vaut $e^{e}\approx 15{,}154$.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^{n}}{2^{n}n!}=2\cdot\dfrac{(n+1)\,n^{n}}{(n+1)^{n+1}}=2\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n}=\dfrac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}$. Comme $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\to e$, le rapport tend vers $\dfrac{2}{e}\approx 0{,}736<1$ : la série CONVERGE.

Le calcul est identique et donne $\dfrac{3}{e}\approx 1{,}104>1$ : la série DIVERGE. Le seuil est donc $k=e$ : la série $\sum\frac{k^{n}n!}{n^{n}}$ converge pour $k<e$ et diverge pour $k>e$. Deux séries d'apparence presque identique tombent de part et d'autre parce que $2<e<3$. C'est la question type qui sanctionne ceux qui répondent au jugé.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{(n+1)^{2}}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^{n}}{n^{2}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{2}\to\dfrac{1}{2}<1$ : convergence. Avec la formule fournie en $x=\frac{1}{2}$ : $\dfrac{\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}=\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}}=6$. La somme vaut exactement 6.

Le rapport vaut $\dfrac{\ln(n+1)}{n+1}\cdot\dfrac{n}{\ln n}\to 1$ : le critère de d'Alembert NE CONCLUT PAS. C'est le cas général pour les séries à décroissance polynomiale, sur lesquelles ce critère est aveugle. On conclut autrement : pour $n\geq 3$, $\ln n>1$ donc $\dfrac{\ln n}{n}>\dfrac{1}{n}$, et la série harmonique diverge. Par comparaison directe, la série DIVERGE.

La suite $\frac{1}{n^{2}}$ est positive, décroissante et tend vers 0 : le critère des séries alternées s'applique, la série converge. Le reste après $N$ termes vérifie $|R_{N}|\leq\dfrac{1}{(N+1)^{2}}$. On veut $\dfrac{1}{(N+1)^{2}}<10^{-3}$, soit $(N+1)^{2}>1000$, donc $N+1>31{,}6$ et $N\geq 31$. Vérification : avec 31 termes l'écart réel avec $\frac{\pi^{2}}{12}\approx 0{,}8224670$ vaut $5{,}0\times 10^{-4}$, effectivement sous la borne.

Convergence : $\sin\frac{1}{n}$ est positive pour $n\geq 1$, décroissante (car $\frac{1}{n}$ décroît dans $]0,1]$ où le sinus est croissant) et tend vers $\sin 0=0$. Le critère s'applique, la série converge. Convergence absolue : $\sin\frac{1}{n}\sim\frac{1}{n}$, donc par comparaison par limite $\sum\left|(-1)^{n}\sin\frac{1}{n}\right|$ est de même nature que la série harmonique, qui diverge. La série est donc SEMI-CONVERGENTE.

$\dfrac{n}{n^{2}+1}$ est positive, tend vers 0, et décroît à partir de $n=1$. La série alternée converge. En valeur absolue, $\dfrac{n}{n^{2}+1}\sim\dfrac{1}{n}$, donc la série des valeurs absolues diverge : là encore, SEMI-CONVERGENTE. Le piège serait de conclure à l'absolue convergence en voyant un $n^{2}$ au dénominateur, sans remarquer le $n$ du numérateur.

Ici $\left|a_{n}\right|=1+\frac{1}{n}\to 1\neq 0$. L'hypothèse de limite nulle tombe, donc le critère des séries alternées ne s'applique pas. Mieux : le terme général ne tend pas vers 0, donc par le test du terme général la série DIVERGE grossièrement. L'alternance des signes n'y change rien, elle ne sauve jamais une série dont le terme ne s'annule pas à l'infini.

Absolument convergente signifie que $\sum|a_{n}|$ converge, ce qui entraîne la convergence de $\sum a_{n}$. Semi-convergente signifie que $\sum a_{n}$ converge alors que $\sum|a_{n}|$ diverge. Conséquence pratique majeure : dans une série absolument convergente on peut réordonner les termes librement sans changer la somme, alors que dans une série semi-convergente, réarranger les termes peut donner N'IMPORTE QUELLE somme (théorème de Riemann). La convergence absolue est donc la seule qui autorise à manipuler la somme comme une somme finie.

Comme $\frac{1}{n^{2}}\to 0$ et $\sin u\sim u$, on a $\sin\frac{1}{n^{2}}\sim\frac{1}{n^{2}}$. Les termes sont positifs et la comparaison par limite s'applique : même nature que $\sum\frac{1}{n^{2}}$, série de Riemann avec $p=2>1$. La série CONVERGE.

$1-\cos u\sim\dfrac{u^{2}}{2}$, donc $1-\cos\frac{1}{n}\sim\dfrac{1}{2n^{2}}$. Même nature que $\sum\frac{1}{n^{2}}$ : la série CONVERGE. Le facteur $\frac{1}{2}$ ne change rien, une constante non nulle n'affecte jamais la nature.

$\tan u\sim u$, donc $\tan\frac{1}{n}\sim\frac{1}{n}$. Même nature que la série harmonique : la série DIVERGE. Comparez avec la question a : le carré au dénominateur fait toute la différence, alors que le sinus et la tangente jouent le même rôle.

Il faut voir le déguisement : $\cos(n\pi)=(-1)^{n}$ pour tout entier $n$. La série est donc $\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$, la série harmonique alternée. Elle converge par le critère des séries alternées, mais pas absolument : elle est SEMI-CONVERGENTE, et sa somme vaut $-\ln 2\approx-0{,}693$. Traiter cette série comme une série à termes quelconques compliquée, sans reconnaître le $(-1)^{n}$, fait perdre tout le bénéfice de la question.

On ne cherche pas d'équivalent ici, car $|\sin n|$ oscille sans limite. On majore : $0\leq\dfrac{|\sin n|}{n^{2}}\leq\dfrac{1}{n^{2}}$, et $\sum\frac{1}{n^{2}}$ converge. Par comparaison directe, la série CONVERGE (et même absolument). C'est le réflexe à avoir dès qu'un sinus ou un cosinus d'argument $n$ apparaît : il n'a pas d'équivalent, mais il est borné, ce qui suffit presque toujours.

d'Alembert : $\dfrac{(n+1)^{2}e^{-(n+1)}}{n^{2}e^{-n}}=\dfrac{1}{e}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{2}\to\dfrac{1}{e}\approx 0{,}368<1$ : la série CONVERGE. Avec la formule en $x=e^{-1}$ : $\dfrac{e^{-1}(1+e^{-1})}{(1-e^{-1})^{3}}\approx 1{,}9923$.

d'Alembert donne $e^{-\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}$, et comme $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\to 0$, le rapport tend vers $e^{0}=1$ : le critère ne conclut pas. On utilise le test de l'intégrale, la fonction $x\mapsto e^{-\sqrt{x}}$ étant positive, continue et décroissante. Avec $u=\sqrt{x}$, une primitive est $-2\left(\sqrt{x}+1\right)e^{-\sqrt{x}}$, dont la limite en $+\infty$ est 0. L'intégrale $\int_{1}^{\infty}e^{-\sqrt{x}}dx$ est donc finie et la série CONVERGE. Une exponentielle en $-\sqrt{n}$ décroît beaucoup plus lentement qu'en $-n$, mais encore assez vite pour battre toute puissance.

$e^{u}-1\sim u$ donne $e^{1/n}-1\sim\dfrac{1}{n}$. Par comparaison par limite avec la série harmonique, la série DIVERGE. C'est le contraste avec la question a : ce n'est pas la présence d'une exponentielle qui décide, c'est son argument. Ici l'argument tend vers 0, donc l'exponentielle tend vers 1 et n'écrase rien du tout.

Pour $n$ grand, $e^{n}-n\sim e^{n}$ car $n$ est négligeable devant $e^{n}$. Donc $\dfrac{1}{e^{n}-n}\sim e^{-n}$, terme général d'une série géométrique de raison $\frac{1}{e}<1$, qui converge. Par comparaison par limite, la série CONVERGE. Il faut tout de même noter que $e^{n}-n>0$ pour tout $n\geq 1$, sans quoi la comparaison entre séries à termes positifs serait illégitime.

d'Alembert : $\dfrac{(n+1)e^{-(n+1)^{2}}}{n\,e^{-n^{2}}}=\dfrac{n+1}{n}\,e^{-(2n+1)}\to 0<1$. La série CONVERGE, et très rapidement : ses termes décroissent comme $e^{-n^{2}}$, si bien que quelques termes suffisent à obtenir la somme avec une dizaine de décimales.

On ne peut pas comparer directement à $\frac{1}{n^{2}}$, car $\frac{\ln n}{n^{2}}$ lui est supérieur. On glisse une puissance intermédiaire : $\ln n$ est négligeable devant $n^{1/2}$, donc à partir d'un certain rang $\dfrac{\ln n}{n^{2}}\leq\dfrac{n^{1/2}}{n^{2}}=\dfrac{1}{n^{3/2}}$, terme d'une série de Riemann convergente ($p=\frac{3}{2}>1$). La série CONVERGE. Le test de l'intégrale donne la même conclusion.

Pour $n\geq 3$ on a $\ln n>1$, donc $\dfrac{\ln n}{n}>\dfrac{1}{n}$. La série harmonique diverge, donc par comparaison directe la série DIVERGE. Ici le logarithme, aussi lent soit-il, aggrave une divergence déjà acquise.

On écrit $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln\dfrac{n+1}{n}=\ln(n+1)-\ln n$ : la somme est télescopique. D'où $S_{N}=\ln(N+1)-\ln 1=\ln(N+1)$, qui tend vers $+\infty$ : la série DIVERGE. On retrouve le résultat par l'équivalent $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim\frac{1}{n}$, mais le calcul télescopique est plus fort : il donne la vitesse de divergence, en $\ln N$, ce qu'aucune comparaison ne fournit.

Le critère de Cauchy est ici le bon, car le terme est une puissance $n$-ième : $\sqrt[n]{a_{n}}=\dfrac{1}{\ln n}\to 0<1$. La série CONVERGE. d'Alembert serait beaucoup plus pénible à cause du rapport $\left(\frac{\ln n}{\ln(n+1)}\right)^{n}$. Règle pratique : dès qu'une puissance $n$-ième apparaît en bloc, on prend la racine, pas le rapport.

Test de l'intégrale, avec le changement de variable $u=\ln x$ : $\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{3/2}}=\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u^{3/2}}$, qui converge car $\frac{3}{2}>1$. La série CONVERGE. La règle générale est que $\sum\frac{1}{n(\ln n)^{p}}$ converge si et seulement si $p>1$ : le logarithme au dénominateur rejoue exactement le critère de Riemann, un cran plus loin. La figure montre le cas limite $p=1$ : les rectangles de $\sum\frac{1}{n\ln n}$ dominent l'aire sous $y=\frac{1}{x\ln x}$, qui est infinie ($\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}=\left[\ln(\ln x)\right]_{2}^{\infty}$ diverge), donc cette série diverge.

Si $\alpha>1$ : on a $\dfrac{1}{n^{\alpha}\ln n}\leq\dfrac{1}{n^{\alpha}}$ dès que $\ln n\geq 1$, et la série de Riemann converge : CONVERGE. Si $\alpha<1$ : on choisit $\beta$ entre $\alpha$ et 1 ; comme $\ln n$ est négligeable devant $n^{\beta-\alpha}$, on a $\dfrac{1}{n^{\alpha}\ln n}\geq\dfrac{1}{n^{\beta}}$ à partir d'un certain rang, et $\sum\frac{1}{n^{\beta}}$ diverge : DIVERGE. Cas frontière $\alpha=1$ : la série devient $\sum\frac{1}{n\ln n}$, dont le test de l'intégrale donne $\int\frac{du}{u}=\ln u\to\infty$ : DIVERGE. Conclusion : converge si et seulement si $\alpha>1$.

Comme $\alpha>0$, $\frac{1}{n^{\alpha}}\to 0$ et $\sin\frac{1}{n^{\alpha}}\sim\frac{1}{n^{\alpha}}$. Par comparaison par limite avec la série de Riemann : converge si et seulement si $\alpha>1$. Noter que l'hypothèse $\alpha>0$ est indispensable pour que l'équivalent soit valable ; si $\alpha\leq 0$, le terme ne tend pas vers 0 et la série diverge grossièrement.

d'Alembert : $\dfrac{(n+1)^{\alpha}e^{-(n+1)}}{n^{\alpha}e^{-n}}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{\alpha}e^{-1}\to\dfrac{1}{e}<1$ pour TOUT $\alpha$ réel. La série converge quel que soit $\alpha$. C'est l'illustration parfaite du fait que l'exponentielle écrase n'importe quelle puissance, même très grande.

Test de l'intégrale avec $u=\ln x$ : l'intégrale devient $\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u^{\alpha}}$, qui converge si et seulement si $\alpha>1$. Le cas $\alpha=1$ diverge, ce qui rejoint la frontière trouvée en a. On retiendra que $\sum\frac{1}{n(\ln n)^{\alpha}}$ se comporte exactement comme $\sum\frac{1}{n^{\alpha}}$, avec le logarithme dans le rôle de la variable.

$1-\cos u\sim\frac{u^{2}}{2}$ donne $1-\cos\frac{1}{n^{\alpha}}\sim\dfrac{1}{2n^{2\alpha}}$. Par comparaison par limite, la série converge si et seulement si $2\alpha>1$, c'est-à-dire $\alpha>\frac{1}{2}$. Le seuil est donc à $\frac{1}{2}$ et non à 1 : c'est le carré de l'équivalent qui déplace la frontière, et c'est précisément ce que la question teste.

$\frac{1}{\sqrt{n}}$ décroît vers 0 : la série alternée converge. Mais $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ est une série de Riemann avec $p=\frac{1}{2}\leq 1$, donc elle diverge. SEMI-CONVERGENTE.

En valeur absolue, $\sum\frac{1}{n^{3}}$ converge ($p=3>1$). ABSOLUMENT CONVERGENTE, et donc convergente. Ici l'étude de la série alternée est même inutile : l'absolue convergence suffit.

La série n'est pas alternée au sens strict, le signe de $\sin n$ étant irrégulier. On passe directement aux valeurs absolues : $\left|\frac{\sin n}{n^{2}}\right|\leq\frac{1}{n^{2}}$, série convergente. ABSOLUMENT CONVERGENTE. C'est la seule voie praticable, et elle marche parce que le sinus est borné.

La suite $\frac{\ln n}{n}$ tend vers 0 et décroît pour $n\geq 3$ (sa dérivée $\frac{1-\ln x}{x^{2}}$ est négative dès $x>e$) : la série alternée converge. Mais $\sum\frac{\ln n}{n}$ diverge, comme montré à l'exercice 5. SEMI-CONVERGENTE. Attention, la décroissance n'est acquise qu'à partir du rang 3, ce qu'il faut signaler ; les premiers termes ne changent pas la nature.

$\left|a_{n}\right|=\frac{n}{n+1}\to 1\neq 0$. Le terme général ne tend pas vers 0 : DIVERGENTE, grossièrement. Aucune des deux autres réponses n'est possible, puisque la convergence exige au minimum que le terme s'annule à l'infini.

En valeur absolue, $\sum\frac{1}{n!}$ converge (d'Alembert donne $\frac{1}{n+1}\to 0$). ABSOLUMENT CONVERGENTE. Pour la somme, on reconnaît la série exponentielle en $x=-1$ : $\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^{n}}{n!}=e^{-1}$. En retirant le terme $n=0$, qui vaut 1, la somme demandée vaut $e^{-1}-1\approx-0{,}632$.

Pour $\sum\frac{1}{n}$ : $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{n}{n+1}\to 1$. Pour $\sum\frac{1}{n^{2}}$ : $\dfrac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\to 1$ également.

Or la première diverge et la seconde converge. Deux séries de natures opposées donnent donc la même limite $L=1$ : cette valeur ne contient aucune information, et le critère est réellement indécis, pas seulement muet par prudence. Écrire « $L=1$ donc la série diverge » est une faute grave et fréquente.

Non, Cauchy ne fait pas mieux. $\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=n^{-1/n}=e^{-\frac{\ln n}{n}}\to e^{0}=1$, et de même $\sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}}=e^{-\frac{2\ln n}{n}}\to 1$. Les deux critères échouent ensemble, et ce n'est pas un hasard : ils sont tous deux insensibles aux décroissances polynomiales, car ils ne comparent la série qu'à des géométriques.

d'Alembert et Cauchy sont faits pour les séries dont le terme décroît GÉOMÉTRIQUEMENT, c'est-à-dire contenant des factorielles, des $k^{n}$ ou des puissances $n$-ièmes. Ils sont à éviter d'emblée dès que le terme est une fraction rationnelle en $n$, éventuellement multipliée par un logarithme : dans ce cas le rapport tend toujours vers 1. On passe alors à Riemann, à la comparaison par limite ou au test de l'intégrale.

$\sum\frac{n!}{n^{n}}$ : factorielle et puissance $n$-ième, donc d'Alembert ; le rapport tend vers $\frac{1}{e}<1$, CONVERGE. $\sum\frac{1}{n\sqrt{n}}=\sum\frac{1}{n^{3/2}}$ : puissance pure, donc Riemann directement ; $p=\frac{3}{2}>1$, CONVERGE. $\sum\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}$ : puissance $n$-ième en bloc, donc Cauchy ; la racine vaut $\frac{n}{2n+1}\to\frac{1}{2}<1$, CONVERGE. $\sum\frac{\ln n}{n^{2}}$ : fraction rationnelle avec logarithme, donc comparaison ; on majore par $\frac{1}{n^{3/2}}$ à partir d'un certain rang, CONVERGE. Le choix du critère se fait à la seule lecture de la forme du terme, avant tout calcul.

La fonction $x\mapsto\frac{1}{x^{2}}$ étant positive et décroissante, la comparaison série-intégrale donne $\int_{N+1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}\leq R_{N}\leq\int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{N+1}\leq R_{N}\leq\dfrac{1}{N}$.

$S_{100}\approx 1{,}6349839$. L'encadrement donne $\dfrac{1}{101}\approx 0{,}0099010\leq R_{100}\leq\dfrac{1}{100}=0{,}01$. La valeur exacte est $\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1{,}6449341$, donc $R_{100}\approx 0{,}0099502$ : elle tombe bien dans l'encadrement, et près de son milieu.

On veut $R_{N}<10^{-3}$, et il suffit d'assurer $\dfrac{1}{N}<10^{-3}$, soit $N>1000$. Il faut donc de l'ordre de MILLE termes. La convergence est réelle mais très lente, ce qui est typique des séries de Riemann proches de la frontière.

Pour la série alternée, le reste est majoré par le premier terme négligé : $|R_{N}|\leq\dfrac{1}{(N+1)^{2}}$. On veut $(N+1)^{2}>1000$, donc $N+1>31{,}6$ et $N=31$ suffit. Trente et un termes contre mille : l'écart est d'un facteur trente.

Parce que les sommes partielles d'une série alternée à termes décroissants ENCADRENT la somme : les sommes de rang pair et impair l'approchent par en dessous et par au-dessus, en se resserrant. La somme est donc toujours comprise entre deux sommes partielles consécutives, et l'écart entre elles est exactement le terme suivant. Dans une série à termes positifs, au contraire, toutes les sommes partielles sont du même côté de la limite et le reste additionne tous les termes négligés au lieu de les laisser se compenser : il est ici de l'ordre de un sur N, alors que celui de la série alternée est de l'ordre de un sur N au carré. Les intégrales encadrent ce reste de très près ; c'est le reste lui-même qui est grand.

Comme $\alpha>0$, $\frac{1}{n^{\alpha}}\to 0$, et $\ln(1+u)\sim u$ donne $\left|a_{n}\right|=\ln\left(1+\frac{1}{n^{\alpha}}\right)\sim\frac{1}{n^{\alpha}}$.

Trois vérifications. Signe alterné : le facteur $(-1)^{n}$ le fournit, et $\ln\left(1+\frac{1}{n^{\alpha}}\right)>0$ puisque l'argument dépasse 1. Décroissance : $n\mapsto\frac{1}{n^{\alpha}}$ décroît pour $\alpha>0$, et le logarithme est croissant, donc la composée décroît. Limite nulle : $\ln(1+0)=0$. Les trois hypothèses tiennent pour tout $\alpha>0$, donc $\mathcal{S}(\alpha)$ converge toujours. Noter que la convergence est acquise même pour $\alpha$ très petit, où la décroissance est extrêmement lente.

La convergence absolue équivaut à la convergence de $\sum\ln\left(1+\frac{1}{n^{\alpha}}\right)$, qui par l'équivalent de a est de même nature que $\sum\frac{1}{n^{\alpha}}$ : elle converge si et seulement si $\alpha>1$. Donc $\mathcal{S}(\alpha)$ est absolument convergente pour $\alpha>1$, et SEMI-CONVERGENTE pour $0<\alpha\leq 1$.