Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : séries à termes transcendants (201-NYB)

Un terme général en $\sin\dfrac{1}{n}$ , $e^{1/n}-1$ ou $\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$ ne s'étudie jamais directement : on le remplace par son équivalent, et la série obtenue est presque toujours une série de Riemann dont la nature est connue.

Cette fiche donne les cinq équivalents à savoir par coeur, le critère à choisir selon la forme du terme, les trois conditions du critère des séries alternées, et la distinction entre convergence absolue et semi-convergence, qui vaut souvent la moitié des points de la question.

Le fil du chapitre

Devant un sinus, une exponentielle ou un logarithme d'argument qui tend vers zéro, le premier geste est TOUJOURS le même : remplacer par l'équivalent. Tout le reste du chapitre n'est que le choix du critère à appliquer ensuite.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Séries numériques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
2Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
3Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
4Les suites numériques
5Séries numériques

L'essentiel

Les cinq équivalents, et la comparaison par limite

• En $0$ : $\sin u\sim u$ , $\tan u\sim u$ , $1-\cos u\sim\dfrac{u^{2}}{2}$ , $e^{u}-1\sim u$ , $\ln(1+u)\sim u$ . On les applique avec $u=\dfrac{1}{n}$ , qui tend bien vers $0$ .
• Comparaison par LIMITE : si $\dfrac{a_{n}}{b_{n}}\to L$ finie et NON NULLE, avec $a_{n}$ et $b_{n}$ positifs, les deux séries sont de MÊME NATURE.
• RIEMANN : $\displaystyle\sum\frac{1}{n^{p}}$ converge si et seulement si $p>1$ . Le cas $p=1$ , la série harmonique, DIVERGE.
• La chaîne complète est donc : équivalent, puis comparaison par limite, puis Riemann. Trois lignes suffisent à traiter la moitié des questions d'examen.
• Condition NÉCESSAIRE : si $a_{n}\not\to 0$ , la série diverge. La réciproque est FAUSSE, et c'est toute la difficulté du chapitre.

Un équivalent ne s'applique jamais à une SOMME ou une DIFFÉRENCE dont le premier ordre s'annule : $\ln(1+u)-u$ n'est pas équivalent à $0$ , mais à $-\dfrac{u^{2}}{2}$ . Dans ce cas il faut un développement d'ordre supérieur.

Les critères, et ce qu'ils ne disent pas

• D'ALEMBERT : si $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\to L$ , la série converge si $L<1$ , diverge si $L>1$ , et le critère NE CONCLUT PAS si $L=1$ .
• Il est fait pour les FACTORIELLES et les PUISSANCES $n$ -ièmes; il échoue systématiquement sur les fractions rationnelles, où $L=1$ .
• Limite indispensable : $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\to e$ , d'où $\dfrac{n^{n}}{(n+1)^{n}}\to\dfrac{1}{e}$ . C'est elle qui fait apparaître les seuils en $\dfrac{k}{e}$ .
• SÉRIES ALTERNÉES, critère de Leibniz : trois conditions, le terme doit être ALTERNÉ, $|a_{n}|$ doit DÉCROÎTRE, et $|a_{n}|$ doit TENDRE VERS ZÉRO. Les trois, pas une.
• Sous ces conditions, le reste vérifie $\left|R_{N}\right|\le\left|a_{N+1}\right|$ : le premier terme NÉGLIGÉ, pas le dernier gardé.

La suite monte vers

e

sans jamais l'atteindre : c'est elle qui donne

\dfrac{n^{n}}{(n+1)^{n}}\to\dfrac{1}{e}

, et donc le rapport

\dfrac{1}{e}<1

qui fait converger

\displaystyle\sum\frac{n!}{n^{n}}

Quand d'Alembert renvoie $1$ , il ne dit rien du tout : ni convergence, ni divergence. Il faut alors revenir à un équivalent et à Riemann, ce qui est presque toujours possible.

Absolue, semi, ou divergente

• ABSOLUMENT convergente : $\sum\left|a_{n}\right|$ converge. C'est le cas le plus fort, et il entraîne la convergence de $\sum a_{n}$ .
• SEMI-convergente : $\sum a_{n}$ converge mais $\sum\left|a_{n}\right|$ DIVERGE. C'est le cas typique des séries alternées à décroissance lente.
• La question « absolument ou semi » se traite en DEUX temps : d'abord la série des valeurs absolues, ensuite, si elle diverge, le critère de Leibniz.
• Une série à termes POSITIFS convergente est automatiquement absolument convergente : la distinction n'a de sens que pour les termes de signe variable.
• Exemple canonique : $\displaystyle\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$ converge, mais $\displaystyle\sum\frac{1}{n}$ diverge : elle est semi-convergente.

Les sommes partielles ENCADRENT la limite en alternant de part et d'autre : c'est exactement pourquoi l'erreur commise en s'arrêtant au rang

N

ne dépasse jamais le premier terme négligé.

L'ordre des deux étapes compte : commencer par les valeurs absolues permet, si elles convergent, de conclure immédiatement sans même regarder les signes.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Conclure à la convergence parce que le terme général tend vers zéro

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{1}{n}\to 0$ , donc $\displaystyle\sum\frac{1}{n}$ converge. »

Ce qu'il faut écrire

« Le terme général qui tend vers zéro est une condition NÉCESSAIRE, pas suffisante. La série harmonique en est le contre-exemple : elle diverge alors que son terme tend vers zéro. »

Pourquoi : C'est l'erreur fondatrice du chapitre. Le critère du terme général ne sert qu'à conclure à la DIVERGENCE quand la limite n'est pas nulle; il ne conclut jamais à la convergence.

2. Conclure malgré une limite égale à un dans le critère de d'Alembert

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\to 1$ , donc la série diverge. »

Ce qu'il faut écrire

« Le critère NE CONCLUT PAS quand $L=1$ : il faut changer de méthode. $\displaystyle\sum\frac{1}{n}$ et $\displaystyle\sum\frac{1}{n^{2}}$ donnent toutes deux $L=1$ , et l'une diverge tandis que l'autre converge. »

Pourquoi : Le cas $L=1$ est exactement celui où le critère est aveugle, et c'est aussi celui de toutes les fractions rationnelles. Sur ces séries, il faut passer par un équivalent et par Riemann.

3. Appliquer un équivalent à une différence dont le premier ordre s'annule

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}\sim\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n}=0$ , donc la série converge trivialement. »

Ce qu'il faut écrire

« Le premier ordre s'annule : il faut le terme suivant. $\ln(1+u)=u-\dfrac{u^{2}}{2}+\ldots$ , donc la différence est équivalente à $-\dfrac{1}{2n^{2}}$ , et la série converge par Riemann avec $p=2$ . »

Pourquoi : Un équivalent ne se soustrait pas : deux quantités équivalentes ont une différence qui peut être de n'importe quel ordre. Dès qu'une soustraction annule le terme dominant, il faut un développement plus poussé.

4. Ne vérifier qu'une seule des trois conditions du critère des séries alternées

2 points de rigueur, et parfois toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le terme tend vers zéro et la série est alternée, donc elle converge. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut AUSSI que $\left|a_{n}\right|$ soit DÉCROISSANTE, au moins à partir d'un certain rang. Sans cette condition, le critère ne s'applique pas. »

Pourquoi : La décroissance est ce qui garantit l'emboîtement des sommes partielles. Sans elle, une suite alternée dont le module tend vers zéro peut parfaitement diverger, et le contre-exemple tombe régulièrement à l'examen.

5. Confondre convergence simple et convergence absolue

3 points, et la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$ converge, donc elle converge absolument. »

Ce qu'il faut écrire

« $\displaystyle\sum\left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|=\sum\frac{1}{n}$ DIVERGE : la série est SEMI-convergente, pas absolument convergente. »

Pourquoi : L'implication ne va que dans un sens : l'absolue entraîne la simple, jamais l'inverse. La question « absolument ou semi » attend donc deux études, pas une.

6. Se tromper d'indice dans la majoration du reste

2 points, et un rang trop petit d'une unité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je m'arrête au rang $N$ , donc $\left|R_{N}\right|\le\left|a_{N}\right|$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\left|R_{N}\right|\le\left|a_{N+1}\right|$ : c'est le premier terme NÉGLIGÉ qui majore l'erreur, pas le dernier terme gardé. »

Pourquoi : Le reste commence au rang $N+1$ : il est encadré par ce premier terme omis. Utiliser $a_{N}$ donne une majoration correcte mais plus faible, et surtout un rang faux quand on cherche le $N$ minimal.

7. Croire qu'une décroissance vers zéro suffit à faire converger une série à termes positifs

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{\ln n}{n}$ décroît vers zéro, donc $\displaystyle\sum\frac{\ln n}{n}$ converge. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{\ln n}{n}\ge\dfrac{1}{n}$ dès que $n\ge 3$ : la série MAJORE la série harmonique, donc elle DIVERGE. »

À partir de

n=3

, la courbe du logarithme divisé par

n

passe AU-DESSUS de celle de

\dfrac{1}{n}

et ne redescend plus jamais en dessous : la série majore l'harmonique, donc elle diverge.

Pourquoi : Le logarithme croît trop lentement pour compenser quoi que ce soit : $\dfrac{\ln n}{n}$ tend vers zéro moins vite que $\dfrac{1}{n}$ , donc la série diverge encore plus sûrement que l'harmonique.

8. Utiliser la comparaison par limite sur des termes de signe variable

toute la question, 5 points, avec une conclusion inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{(-1)^{n}}{n}$ et $\dfrac{1}{n}$ ont un rapport qui vaut $\pm 1$ , donc les deux séries sont de même nature. »

Ce qu'il faut écrire

« La comparaison par limite exige des termes POSITIFS, et le rapport doit avoir une LIMITE, ce qui n'est pas le cas ici. Pour une série alternée, on passe par Leibniz. »

Pourquoi : Sans l'hypothèse de positivité, les compensations entre termes de signes contraires rendent la comparaison caduque : les deux séries de l'exemple sont d'ailleurs de natures différentes.

9. Oublier que d'Alembert échoue sur les fractions rationnelles

aucun point perdu, mais dix minutes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\sum\frac{n^{2}+1}{n^{4}+3}$ : j'applique d'Alembert. »

Ce qu'il faut écrire

« Le rapport tend vers $1$ : le critère est inutile. On passe par l'équivalent $\dfrac{n^{2}}{n^{4}}=\dfrac{1}{n^{2}}$ , série de Riemann convergente. »

Pourquoi : Pour toute fraction rationnelle, le rapport de deux termes consécutifs tend vers $1$ : c'est structurel. D'Alembert n'est utile que devant une factorielle ou une puissance $n$ -ième.

10. Appliquer un équivalent à un argument qui ne tend pas vers zéro

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin n\sim n$ , donc $\displaystyle\sum\frac{\sin n}{n^{2}}\sim\sum\frac{1}{n}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les équivalents usuels valent quand l'argument tend vers ZÉRO. Ici $n$ tend vers l'infini et $\sin n$ oscille : on majore par $\dfrac{1}{n^{2}}$ et l'on conclut à la convergence ABSOLUE. »

Pourquoi : $\sin u\sim u$ est un développement au voisinage de $0$ , et rien d'autre. Devant un argument non borné, la seule voie est la majoration en valeur absolue par une série convergente.

11. Négliger le rang à partir duquel une hypothèse est vraie

2 points de rigueur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{\ln n}{n}$ n'est pas décroissante en $n=2$ , donc le critère de Leibniz ne s'applique pas. »

Ce qu'il faut écrire

« Il suffit qu'elle soit décroissante À PARTIR D'UN CERTAIN RANG : ici $n\ge 3$ , puisque la dérivée de $\dfrac{\ln x}{x}$ est négative dès que $x>e$ . La nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes. »

Pourquoi : Modifier un nombre FINI de termes ne change jamais la nature d'une série. Toutes les hypothèses des critères s'entendent donc à partir d'un certain rang, et il suffit de le préciser.

Quelle méthode choisir

Quel critère selon la forme du terme général

Ce qu'on voit dans $a_{n}$ , dans cet ordre

Si $a_{n}$ ne tend PAS vers $0$ → la série DIVERGE, et c'est fini en une ligne

Exemple : $\displaystyle\sum\frac{n}{n+1}$ diverge grossièrement
Si $a_{n}$ contient une FACTORIELLE ou une puissance $n$ -ième → d'ALEMBERT, en utilisant $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\to e$ si nécessaire

Exemple : $\displaystyle\sum\frac{n!}{n^{n}}$ converge, avec $L=\frac{1}{e}$
Si $a_{n}$ contient $\sin$ , $\tan$ , $\ln(1+\cdot)$ ou $e^{\cdot}-1$ d'argument tendant vers $0$ → ÉQUIVALENT, puis comparaison par limite, puis Riemann

Exemple : $\sin\dfrac{1}{n}\sim\dfrac{1}{n}$ , donc la série diverge
Si $a_{n}$ est une fraction RATIONNELLE → équivalent au rapport des termes dominants, puis Riemann; d'Alembert est inutile

Exemple : $\dfrac{n^{2}+1}{n^{4}+3}\sim\dfrac{1}{n^{2}}$ , convergente
Si $a_{n}$ change de signe régulièrement → étudier D'ABORD $\sum\left|a_{n}\right|$ ; si elle diverge, appliquer LEIBNIZ

Exemple : $\displaystyle\sum\frac{(-1)^{n}\ln n}{n}$ est semi-convergente
Si $a_{n}$ oscille sans être alterné, comme $\sin n$ → MAJORER en valeur absolue par une série convergente

$\left|\dfrac{\sin n}{n^{2}}\right|\le\dfrac{1}{n^{2}}$ donne la convergence absolue

Le premier test coûte cinq secondes et clôt un tiers des questions. On ne passe aux critères qu'après avoir vérifié que le terme général tend bien vers zéro.

Absolument convergente, semi-convergente ou divergente

L'ordre des deux études, qui n'est pas indifférent

Si $\sum\left|a_{n}\right|$ CONVERGE → la série est ABSOLUMENT convergente, et donc convergente. Aucune autre étude nécessaire

Exemple : $\displaystyle\sum\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$
Si $\sum\left|a_{n}\right|$ DIVERGE et la série est alternée avec $|a_{n}|$ décroissant vers $0$ → la série est SEMI-convergente

Exemple : $\displaystyle\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$ , de somme $-\ln 2$
Si $\sum\left|a_{n}\right|$ diverge et $a_{n}\not\to 0$ → la série DIVERGE

Exemple : $\displaystyle\sum(-1)^{n}\frac{n}{n+1}$
Si $\sum\left|a_{n}\right|$ diverge, la série est alternée, mais $|a_{n}|$ ne décroît pas → le critère de Leibniz ne s'applique pas : il faut une étude directe des sommes partielles

cas rare au cégep, mais il figure dans les questions de raisonnement
Si les termes sont tous POSITIFS → la distinction n'a pas lieu d'être : convergente signifie absolument convergente

le dire en une phrase évite une étude inutile

Commencer par les valeurs absolues est toujours le bon ordre : si elles convergent, la question est close, et si elles divergent, on sait déjà que la réponse sera « semi » ou « divergente ».

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Étudier une série alternée de bout en bout

Quand l'utiliser : Le terme général contient un facteur $(-1)^{n}$ ou change de signe régulièrement.

1 Étudier d'abord $\sum\left|a_{n}\right|$ : si elle converge, conclure à la convergence ABSOLUE et s'arrêter là.
2 Si elle diverge, énoncer les TROIS conditions du critère de Leibniz et les vérifier une à une : alternance, décroissance de $|a_{n}|$ , limite nulle.
3 Justifier la décroissance par une étude de fonction, en précisant le rang à partir duquel elle vaut.
4 Conclure à la convergence, et donc à la SEMI-convergence puisque la série des valeurs absolues diverge.
5 Si l'énoncé le demande, majorer le reste par $\left|a_{N+1}\right|$ et résoudre l'inégalité pour trouver le rang.

Phrase de conclusion

« La série des valeurs absolues, $\displaystyle\sum\frac{\ln n}{n}$ , majore l'harmonique donc diverge; le critère de Leibniz s'applique car $\dfrac{\ln n}{n}$ décroît vers $0$ pour $n\ge 3$ : la série est SEMI-CONVERGENTE. »

Le piège : Sauter l'étude des valeurs absolues et conclure directement par Leibniz. On obtient alors la convergence, mais pas la réponse à la question posée, qui porte presque toujours sur la NATURE de cette convergence.

Barème : Typiquement 2 points pour l'étude des valeurs absolues, 3 pour les trois conditions vérifiées, 1 pour la conclusion sur la semi-convergence, 2 pour la majoration du reste.

Conclure par équivalent et comparaison

Quand l'utiliser : Le terme général contient une fonction transcendante dont l'argument tend vers zéro.

1 Vérifier que l'argument tend bien vers $0$ , et le dire : c'est la condition d'emploi des équivalents.
2 Remplacer par l'équivalent usuel, en écrivant explicitement lequel est utilisé.
3 Vérifier que les termes sont POSITIFS, au moins à partir d'un certain rang, ce qui autorise la comparaison par limite.
4 Énoncer la comparaison : le rapport tend vers une limite finie non nulle, donc les deux séries sont de même nature.
5 Conclure par le critère de Riemann, en donnant explicitement la valeur de $p$ .

Phrase de conclusion

« Comme $\dfrac{1}{n}\to 0$ , on a $1-\cos\dfrac{1}{n}\sim\dfrac{1}{2n^{2}}$ ; les termes étant positifs, la comparaison par limite s'applique, et la série de Riemann d'exposant $2$ converge : la série converge. »

Le piège : Utiliser un équivalent sans vérifier la positivité. La comparaison par limite est un théorème sur les séries à termes positifs, et l'oubli de cette hypothèse coûte le point de rigueur à chaque fois.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le terme général tend-il vers zéro

Avant tout critère, calculer la limite du terme général. Si elle n'est pas nulle, la série diverge et la question est finie.

Un terme en $\dfrac{n}{n+1}$ qui tend vers $1$ : inutile d'aller plus loin.
L'exposant de Riemann annoncé explicitement

Après un équivalent, écrire la valeur de $p$ et conclure. Un $p$ égal à $1$ signifie divergence, un $p$ strictement supérieur à $1$ signifie convergence.

Un équivalent en $\dfrac{1}{n}$ suivi d'une conclusion de convergence : $p=1$ diverge.
Les trois conditions de Leibniz écrites une à une

Relire la copie et compter : alternance, décroissance, limite nulle. Trois lignes, pas une.

Une conclusion de convergence sans mention de la décroissance : le critère n'a pas été appliqué.
L'indice du reste

Vérifier que la majoration utilise $a_{N+1}$ , le premier terme négligé, et non $a_{N}$ .

Un rang trouvé égal à $646$ au lieu de $647$ : l'indice du reste est décalé d'une unité.
La cohérence entre les deux études

Une série ne peut pas être à la fois absolument convergente et semi-convergente. Vérifier que les deux conclusions se répondent.

Une série des valeurs absolues déclarée convergente et une conclusion de semi-convergence : les deux affirmations se contredisent.

L'exercice type décortiqué

Une série alternée à logarithme, de la nature au rang du reste

Étudier la nature de $\displaystyle\sum_{n\ge 2}\frac{(-1)^{n}\ln n}{n}$ : convergente ou divergente, et si elle converge, absolument ou seulement.

Déterminer ensuite le rang $N$ à partir duquel la somme partielle approche la somme de la série à moins de $0{,}01$ près.

Enfin, montrer par le critère de d'Alembert que $\displaystyle\sum\frac{n!}{n^{n}}$ converge.

Étape 1

Terme général : $\left|a_{n}\right|=\dfrac{\ln n}{n}$ , qui tend vers $0$ puisque le logarithme croît moins vite que $n$ . La condition nécessaire est donc remplie et l'on peut continuer.

Pourquoi

Ce premier test ne prouve rien sur la convergence, mais son échec aurait tout arrêté. Le mentionner en une ligne est attendu par le barème.

Étape 2

Valeurs absolues : pour $n\ge 3$ , $\ln n\ge 1$ , donc $\dfrac{\ln n}{n}\ge\dfrac{1}{n}$ . La série $\displaystyle\sum\frac{\ln n}{n}$ MAJORE la série harmonique, qui diverge : elle diverge donc aussi.

Pourquoi

On commence toujours par les valeurs absolues : si elles convergeaient, la question serait close ici. Leur divergence annonce déjà que la réponse finale sera « semi-convergente » ou « divergente ».

Étape 3

Critère de Leibniz, condition 1 : la série est bien ALTERNÉE, grâce au facteur $(-1)^{n}$ .

Pourquoi

Les trois conditions s'écrivent séparément et se numérotent. Le barème attribue un point par condition, et une conclusion sans les trois n'en vaut aucun.

Étape 4

Condition 2, décroissance : la dérivée de $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ vaut $\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$ , négative dès que $x>e$ . Donc $\left|a_{n}\right|$ décroît pour $n\ge 3$ .

Pourquoi

La décroissance se démontre par une étude de fonction, pas par une impression. Le rang $3$ suffit : modifier un nombre fini de termes ne change pas la nature d'une série.

Étape 5

Condition 3, limite nulle : $\dfrac{\ln n}{n}\to 0$ , déjà établie. Les trois conditions étant remplies, la série CONVERGE.

Pourquoi

Les trois conditions sont indépendantes et toutes nécessaires. C'est la deuxième, la décroissance, qui est presque toujours oubliée.

Étape 6

Conclusion sur la nature : la série converge mais celle des valeurs absolues diverge, donc elle est SEMI-CONVERGENTE.

Pourquoi

C'est la réponse à la question posée. Une copie qui s'arrête à « converge » perd la moitié des points, la question portant explicitement sur le type de convergence.

Étape 7

Reste : $\left|R_{N}\right|\le\left|a_{N+1}\right|=\dfrac{\ln(N+1)}{N+1}$ . On cherche $\dfrac{\ln(N+1)}{N+1}<0{,}01$ . La fonction $\dfrac{\ln x}{x}$ passe sous $0{,}01$ à partir de $x=648$ , donc $N=647$ convient.

Pourquoi

C'est le premier terme NÉGLIGÉ qui majore l'erreur, d'où l'indice $N+1$ . Utiliser $a_{N}$ donnerait $N=648$ , une unité de trop, ce qui est précisément le piège de l'exercice.

Étape 8

Seconde partie, d'Alembert sur $\displaystyle\sum\frac{n!}{n^{n}}$ : $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^{n}}{n!}=\dfrac{n^{n}}{(n+1)^{n}}=\dfrac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\to\dfrac{1}{e}$ .

Pourquoi

La présence d'une factorielle ET d'une puissance $n$ -ième désigne d'Alembert sans hésitation. La limite $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\to e$ est celle qu'il faut connaître pour aboutir.

Étape 9

Comme $\dfrac{1}{e}\approx 0{,}368<1$ , la série CONVERGE. Vérification numérique : les dix premiers termes donnent déjà $1{,}879$ , et la somme complète vaut environ $1{,}88$ .

Pourquoi

La conclusion se lit directement sur la comparaison à $1$ . La vérification numérique confirme que la série converge vite, ce qui est cohérent avec un rapport nettement inférieur à $1$ .

Conclusion rédigée

« La série $\displaystyle\sum_{n\ge 2}\frac{(-1)^{n}\ln n}{n}$ est SEMI-CONVERGENTE : elle converge par le critère des séries alternées alors que la série de ses valeurs absolues majore l'harmonique et diverge. Il faut aller jusqu'au rang $N=647$ pour garantir une erreur inférieure à $0{,}01$ . Enfin, $\displaystyle\sum\frac{n!}{n^{n}}$ converge, son rapport tendant vers $\frac{1}{e}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure que la série converge absolument parce que $\dfrac{\ln n}{n}$ tend vers zéro. La décroissance vers zéro ne dit rien de la convergence d'une série à termes positifs : $\dfrac{1}{n}$ en est le contre-exemple universel, et $\dfrac{\ln n}{n}$ est encore plus grand.

À savoir par cœur

• $a_{n}\to 0$ est NÉCESSAIRE, jamais suffisant : la série harmonique en est le contre-exemple.
• Équivalents en $0$ : $\sin u\sim u$ , $\tan u\sim u$ , $1-\cos u\sim\dfrac{u^{2}}{2}$ , $e^{u}-1\sim u$ , $\ln(1+u)\sim u$ .
• Riemann : $\displaystyle\sum\frac{1}{n^{p}}$ converge si et seulement si $p>1$ ; $p=1$ DIVERGE.
• D'Alembert : $L<1$ converge, $L>1$ diverge, $L=1$ NE CONCLUT PAS. Inutile sur une fraction rationnelle.
• $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\to e$ , d'où les seuils en $\dfrac{k}{e}$ .
• Leibniz : TROIS conditions, alternance, décroissance de $|a_{n}|$ , limite nulle.
• Reste d'une série alternée : $\left|R_{N}\right|\le\left|a_{N+1}\right|$ , le premier terme NÉGLIGÉ.
• Semi-convergente : la série converge, celle des valeurs absolues diverge. Étudier les valeurs absolues EN PREMIER.

Questions fréquentes

Si le terme général tend vers zéro, la série converge-t-elle ?

Non. C'est une condition nécessaire mais pas suffisante. La série harmonique, dont le terme général est un sur n, en est le contre-exemple : son terme tend bien vers zéro et pourtant elle diverge. Le critère du terme général ne sert qu'à conclure à la divergence quand la limite n'est pas nulle.

Que faire quand le critère de d'Alembert donne un ?

Il faut changer de méthode, car le critère ne conclut ni dans un sens ni dans l'autre. C'est systématiquement le cas des fractions rationnelles. On passe alors par un équivalent du terme général, puis par une comparaison avec une série de Riemann, dont la nature dépend de l'exposant.

Quelles sont les conditions du critère des séries alternées ?

Il y en a trois : la série doit être alternée, la valeur absolue du terme général doit décroître, et elle doit tendre vers zéro. Les trois sont nécessaires. La décroissance, souvent oubliée, se démontre par une étude de fonction, et il suffit qu'elle soit vraie à partir d'un certain rang.

Quelle différence entre convergence absolue et semi-convergence ?

Une série est absolument convergente si la série de ses valeurs absolues converge; elle est alors convergente. Elle est semi-convergente si elle converge alors que la série de ses valeurs absolues diverge. La bonne méthode est d'étudier d'abord les valeurs absolues : si elles convergent, la question est close.

Comment majorer le reste d'une série alternée ?

Par la valeur absolue du premier terme négligé, c'est-à-dire du terme d'indice N plus un si l'on s'arrête au rang N. C'est une conséquence directe de l'emboîtement des sommes partielles, qui encadrent la limite en alternant de part et d'autre. Utiliser le terme d'indice N donne un rang faux d'une unité.

Peut-on utiliser un équivalent sur une différence ?

Pas si le premier ordre s'annule. Deux quantités équivalentes ont une différence qui peut être de n'importe quel ordre, donc l'équivalent ne dit plus rien. Il faut alors un développement limité poussé d'un cran, ce qui fait apparaître le terme suivant et donne le véritable ordre de grandeur.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Séries à termes en sin, cos, exp et ln

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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