Calcul intégral 201-NYB • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les séries entières et de taylor

Q: Pourquoi faut-il donner l'intervalle de convergence ?

Parce qu'un développement en série est une égalité conditionnelle. En dehors de l'intervalle, la série diverge alors que la fonction reste parfaitement définie, donc l'égalité est fausse. L'intervalle fait partie de la réponse, au même titre que les coefficients.

Q: Pourquoi tester les extrémités de l'intervalle ?

Parce que le critère du quotient ne conclut pas quand la limite vaut exactement un, ce qui est le cas aux deux bouts. Trois séries de même rayon peuvent avoir trois intervalles différents, ouvert, fermé ou semi-ouvert. Seul le test direct, en substituant chaque extrémité, permet de trancher.

Q: Faut-il calculer les dérivées successives pour obtenir une série de Taylor ?

Rarement. Presque tous les développements demandés s'obtiennent en substituant, dérivant ou intégrant l'une des cinq séries de référence. La formule de Taylor sert à établir ces cinq séries, pas à les redécouvrir, et les dérivées successives deviennent vite ingérables.

Q: Le rayon de convergence change-t-il quand on intègre terme à terme ?

Non, le rayon se conserve. En revanche la nature des extrémités peut changer, et elle change souvent. La série de un sur un plus x au carré diverge aux deux bouts, alors que celle de l'arc tangente, obtenue en l'intégrant, y converge.

Q: Comment savoir combien de termes garder pour une précision donnée ?

On majore le reste. Pour une série alternée dont les termes décroissent, l'erreur est inférieure au premier terme négligé, ce qui donne l'ordre en une ligne. Sinon on utilise le reste de Lagrange, en majorant la dérivée d'ordre suivant sur l'intervalle concerné.

Cette fiche ne redémontre pas la formule de Taylor : elle est dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note à l'examen final de 201-NYB, c'est-à-dire l'intervalle de convergence avec ses deux extrémités testées, et la substitution dans une série connue, qui remplace neuf fois sur dix un calcul de dérivées successives.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une série de Taylor n'EST pas la fonction : elle ne la représente que sur son INTERVALLE DE CONVERGENCE. Donner un développement sans donner cet intervalle, c'est affirmer une égalité dont on ignore où elle est vraie.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (16 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
2Calculs exponentiels et logarithmiquesSecondaire 5 SN5
3Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 SN5
4Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
5Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
6La fonction racine carréeSecondaire 5 SN5
7Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5
8Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5
9Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5
10Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
11Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
12Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
13La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
14Les dérivées des fonctions transcendantesCalcul différentiel (201-NYA)
15Les suites numériques
16Séries numériques

L'essentiel

Rayon, intervalle, et ce qu'il faut tester

• Une série entière $\sum a_{n}\left(x-c\right)^{n}$ converge sur un intervalle CENTRÉ en $c$ , de rayon $R$ .
• $R$ s'obtient par le critère du quotient : $\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\left|x-c\right|<1$ .
• Le critère donne l'intervalle OUVERT $\left]c-R,c+R\right[$ ; les deux EXTRÉMITÉS doivent être testées séparément.
• Trois cas : $R=0$ , la série ne converge qu'en $c$ ; $R=+\infty$ , elle converge partout; sinon un intervalle borné.
• Sur $\left]c-R,c+R\right[$ , la série converge ABSOLUMENT; aux extrémités, tout est possible.

Les sommes partielles de

1+x+x^{2}+\cdots

se collent à

\frac{1}{1-x}

tant que

\left|x\right|<1

et s'en écartent brutalement au-delà : l'égalité n'est vraie que sur l'intervalle.

Un intervalle de convergence peut être ouvert, fermé, ou semi-ouvert : c'est le test des extrémités, et lui seul, qui le dit.

Les développements à connaître par cœur

• $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$ pour $\left|x\right|<1$ .
• $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$ pour tout $x$ .
• $\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ et $\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$ , pour tout $x$ .
• $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}$ pour $-1<x\le 1$ .
• $\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}$ pour $-1\le x\le 1$ .

Ces cinq développements engendrent presque tous les autres par SUBSTITUTION, dérivation ou intégration terme à terme : les recalculer par la formule de Taylor est une perte de temps à l'examen.

La formule de Taylor et son reste

• $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(c)}{n!}\left(x-c\right)^{n}$ , série de TAYLOR centrée en $c$ .
• Centrée en $c=0$ , on parle de série de MACLAURIN.
• Polynôme de Taylor d'ordre $N$ : la somme jusqu'à $n=N$ . Il approche $f$ près de $c$ .
• Reste de Lagrange : $\left|R_{N}(x)\right|\le\frac{M\left|x-c\right|^{N+1}}{(N+1)!}$ , où $M$ majore $\left|f^{(N+1)}\right|$ entre $c$ et $x$ .
• La factorielle au dénominateur écrase tout : c'est pourquoi peu de termes suffisent près du centre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Donner un développement sans son intervalle de convergence

1 à 2 points systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$ pour $\left|x\right|<1$ . »

Pourquoi : En $x=2$ , le membre de gauche vaut $-1$ et le membre de droite diverge : l'égalité est fausse. Un développement est une égalité CONDITIONNELLE, et la condition fait partie de la réponse, pas d'une remarque facultative.

2. Ne pas tester les extrémités de l'intervalle

1 à 2 points, et l'intervalle est faux dans la moitié des cas

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le critère du quotient donne $\left|x\right|<1$ , donc l'intervalle est $\left]-1,1\right[$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le critère donne l'intervalle ouvert; je teste $x=-1$ et $x=1$ SÉPARÉMENT, ce qui peut fermer l'un, l'autre, ou les deux. »

Pourquoi : $\sum x^{n}$ diverge aux deux bouts, $\sum\frac{x^{n}}{n}$ converge en $-1$ et diverge en $1$ , $\sum\frac{x^{n}}{n^{2}}$ converge aux deux. Même rayon, trois intervalles différents : seul le test des extrémités les distingue.

3. Oublier la factorielle au dénominateur

toute la question, et un rayon de convergence faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

$e^{x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots$

Ce qu'il faut écrire

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots$

Pourquoi : Sans les factorielles, la série est géométrique et son rayon vaut $1$ , alors que celui de l'exponentielle est INFINI. Contrôle en $x=1$ : la vraie série donne $2{,}718$ , la fausse diverge. Les factorielles sont ce qui rend l'exponentielle représentable partout.

4. Recalculer un développement par dérivations successives

vingt minutes d'examen, et presque toujours une erreur de dérivée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=e^{-x^{2}}$ : je calcule $f'$ , $f''$ , $f'''$ , $f^{(4)}$ ... »

Ce qu'il faut écrire

« Je substitue $-x^{2}$ dans la série de $e^{u}$ : $e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!}$ , pour tout $x$ . »

Pourquoi : Les dérivées successives de $e^{-x^{2}}$ deviennent monstrueuses dès le troisième ordre, alors que la substitution donne le développement complet en une ligne. La formule de Taylor sert à ÉTABLIR les cinq séries de référence, pas à les redécouvrir à chaque question.

5. Oublier de traduire le rayon après une substitution

toute la question du rayon

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{1}{1-x}$ converge pour $\left|x\right|<1$ , donc $\frac{1}{1-3x}$ aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« On substitue $u=3x$ : la condition $\left|u\right|<1$ devient $\left|3x\right|<1$ , donc $\left|x\right|<\frac{1}{3}$ et $R=\frac{1}{3}$ . »

Pourquoi : La condition porte sur la variable SUBSTITUÉE, et il faut la retraduire en $x$ . Le même raisonnement donne $R=1$ pour $e^{-x^{2}}$ ... non, $R=+\infty$ , car la série de $e^{u}$ converge pour tout $u$ , donc pour tout $x$ . Chaque substitution demande cette traduction explicite.

6. Confondre le centre du développement avec zéro

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Série de Taylor de $\ln x$ centrée en $1$ : $\ln x=x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots$ »

Ce qu'il faut écrire

« Les puissances sont celles de $(x-1)$ : $\ln x=(x-1)-\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(x-1)^{3}}{3}-\cdots$ »

Pourquoi : Une série centrée en $c$ est écrite en puissances de $(x-c)$ , jamais de $x$ . Contrôle immédiat : en $x=c$ , tous les termes sauf le premier doivent s'annuler, et la somme doit valoir $f(c)$ . Ici $\ln 1=0$ ✓ avec la bonne écriture, et $1-\frac{1}{2}+\cdots$ avec la mauvaise.

7. Utiliser un polynôme de Taylor loin de son centre

toute la question, avec une réponse hors de $\left[-1,1\right]$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin x\approx x-\frac{x^{3}}{6}$ , donc $\sin 5\approx 5-\frac{125}{6}=-15{,}83$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le polynôme d'ordre $3$ n'est fiable que près de $0$ ; en $x=5$ , l'erreur dépasse $16$ , et $\sin 5=-0{,}959$ . »

Chaque polynôme de Taylor colle au sinus sur un intervalle plus large que le précédent, puis décroche brutalement : la qualité de l'approximation dépend de la DISTANCE au centre.

Pourquoi : Un polynôme de Taylor approche la fonction PRÈS du centre, et l'erreur croît comme $\left|x-c\right|^{N+1}$ . Le contrôle qui sauve : un sinus supérieur à $1$ en valeur absolue est impossible, quel que soit le calcul qui l'a produit.

8. Ne pas majorer le reste quand une précision est demandée

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je prends quatre termes, ça devrait suffire. »

Ce qu'il faut écrire

« Je majore $\left|R_{N}\right|\le\frac{M\left|x\right|^{N+1}}{(N+1)!}$ et je résous pour trouver le $N$ qui garantit la précision. »

Pourquoi : « Ça devrait suffire » n'est pas une justification. Pour une série ALTERNÉE, il y a plus simple encore : l'erreur est majorée par le premier terme NÉGLIGÉ, ce qui donne l'ordre nécessaire en une ligne et sans calculer de dérivée.

Quelle méthode choisir

Comment obtenir un développement sans dériver

On part toujours de l'une des cinq séries de référence et on la transforme. La formule de Taylor est le dernier recours, pas le premier.

Si la fonction est une série connue avec un argument modifié → SUBSTITUTION, puis traduction de la condition de convergence

Exemple : $e^{-x^{2}}$ s'obtient en posant $u=-x^{2}$ dans $e^{u}$
Si la fonction est la DÉRIVÉE d'une série connue → dériver terme à terme; le rayon ne change pas

Exemple : $\frac{1}{(1-x)^{2}}$ est la dérivée de $\frac{1}{1-x}$
Si la fonction est une PRIMITIVE d'une série connue → intégrer terme à terme; le rayon ne change pas, mais les extrémités peuvent changer de nature

Exemple : $\arctan x$ s'obtient en intégrant $\frac{1}{1+x^{2}}$
Si la fonction est un PRODUIT ou une somme de séries connues → multiplier ou additionner terme à terme, en gardant le plus petit des deux rayons

Exemple : $e^{x}\sin x$ se développe en multipliant les deux séries
Si aucune série connue n'apparaît → formule de Taylor, avec les dérivées successives en $c$

Exemple : une fonction définie par morceaux ou par une intégrale

Dériver ou intégrer terme à terme conserve le RAYON mais pas toujours l'intervalle : les extrémités se retestent à chaque fois.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Un intervalle de convergence, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute question demandant le rayon ou l'intervalle de convergence d'une série entière.

1 Appliquer le critère du quotient au terme général, en gardant $\left|x-c\right|$ en facteur.
2 Écrire la condition $L\left|x-c\right|<1$ et en déduire $R$ .
3 Annoncer l'intervalle OUVERT obtenu.
4 Tester l'extrémité GAUCHE en substituant, ce qui donne une série numérique dont on détermine la nature.
5 Tester l'extrémité DROITE de la même façon, puis conclure avec les bons crochets.

Phrase de conclusion

La série converge pour $-1\le x<1$ : le rayon vaut $1$ , elle converge en $x=-1$ par le critère des séries alternées et diverge en $x=1$ où elle devient la série harmonique.

Le piège : S'arrêter à l'intervalle ouvert. Les deux tests d'extrémité valent souvent un point chacun, et ils sont indépendants : l'un peut converger et l'autre non.

Barème : Généralement 2 points pour le critère du quotient et le rayon, 1 point par extrémité testée, 1 point pour la conclusion avec les bons crochets.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester le développement en un point simple

Substituer une valeur intérieure à l'intervalle dans la série tronquée et dans la fonction : les deux doivent coïncider aux premières décimales.

$e^{x}$ en $x=1$ : quatre termes donnent $2{,}667$ , sept termes $2{,}718$ , et $e=2{,}718$ ✓.
Vérifier la valeur au centre

En $x=c$ , tous les termes sauf le premier s'annulent : la somme doit valoir exactement $f(c)$ . C'est le contrôle qui attrape un centre mal placé.

La série de $\ln x$ centrée en $1$ doit donner $0$ en $x=1$ ✓; écrite en puissances de $x$ , elle donnerait autre chose.
Contrôler que le résultat est dans l'image de la fonction

Un sinus hors de $\left[-1,1\right]$ , une exponentielle négative, un logarithme d'un nombre négatif signalent un polynôme de Taylor utilisé trop loin de son centre.

$-15{,}83$ pour $\sin 5$ est impossible : l'ordre $3$ ne vaut rien à cette distance.
Majorer l'erreur par le premier terme négligé

Pour une série ALTERNÉE dont les termes décroissent, l'erreur de troncature est inférieure au premier terme non retenu. C'est le majorant le plus rapide du chapitre.

$\arctan\frac{1}{2}$ tronqué après $\frac{x^{5}}{5}$ a une erreur inférieure à $\frac{(1/2)^{7}}{7}=0{,}0011$ .

L'exercice type décortiqué

Un développement par substitution, puis par intégration

Déterminer la série de Maclaurin de $\dfrac{1}{1+x^{2}}$ et son intervalle de convergence, puis en déduire celle de $\arctan x$ .

La série de

\arctan x

épouse la courbe entre

-1

1

et s'en écarte aussitôt au-delà : l'intégration terme à terme conserve le rayon, pas la validité globale.

Étape 1

On part de $\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n}$ , valable pour $\left|u\right|<1$ , et on substitue $u=-x^{2}$ .

Pourquoi

La substitution est le premier réflexe : elle évite quatre dérivations successives dont la troisième est déjà pénible. On note bien $u=-x^{2}$ et non $x^{2}$ , le signe étant ce qui produira l'alternance.

Étape 2

$\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-\left(-x^{2}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-x^{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots$

Pourquoi

$\left(-x^{2}\right)^{n}$ se sépare en $(-1)^{n}x^{2n}$ : c'est là que naissent les signes alternés et les puissances paires. Écrire les quatre premiers termes permet de vérifier l'alternance d'un coup d'œil.

Étape 3

Condition : $\left|u\right|<1$ devient $\left|-x^{2}\right|<1$ , soit $x^{2}<1$ , soit $\left|x\right|<1$ . Le rayon vaut $R=1$ . Aux extrémités $x=\pm 1$ , le terme général vaut $(-1)^{n}$ , qui ne tend pas vers $0$ : la série DIVERGE aux deux bouts.

Pourquoi

La traduction de la condition est obligatoire, et le test des extrémités se fait ici par le critère du terme général, le plus rapide des cinq. L'intervalle est donc $\left]-1,1\right[$ , ouvert des deux côtés.

Étape 4

Comme $\arctan x=\int_{0}^{x}\frac{dt}{1+t^{2}}$ , on intègre terme à terme : $\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots$

Pourquoi

L'intégration terme à terme est licite à l'intérieur du rayon de convergence, et la constante d'intégration est nulle car $\arctan 0=0$ . Vérifier cette valeur au centre est le contrôle le plus rapide du calcul.

Étape 5

Le rayon reste $R=1$ , mais les extrémités CHANGENT de nature : en $x=1$ , la série devient $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots$ , alternée à termes décroissants tendant vers $0$ , donc CONVERGENTE; idem en $x=-1$ . L'intervalle est $\left[-1,1\right]$ , FERMÉ.

Pourquoi

C'est le point qui distingue une bonne copie : l'intégration a divisé chaque terme par $2n+1$ , ce qui suffit à faire converger les extrémités qui divergeaient. Le rayon se conserve, l'intervalle non.

Étape 6

Contrôle numérique : en $x=1$ , la série donne $\frac{\pi}{4}=0{,}7854$ ; trois termes donnent $0{,}8667$ , dix termes $0{,}7605$ , cent termes $0{,}7829$ : la convergence est lente mais réelle ✓.

Pourquoi

La lenteur est le signe d'une série semi-convergente : elle converge, mais sans convergence absolue, exactement comme la série alternée des inverses. Le contrôle confirme l'intervalle fermé.

Conclusion rédigée

$\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}$ sur $\left]-1,1\right[$ , et par intégration terme à terme $\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}$ sur $\left[-1,1\right]$ , intervalle FERMÉ cette fois.

L'erreur classique sur cet exercice : Recopier l'intervalle de la première série pour la seconde. L'intégration terme à terme conserve le rayon, jamais automatiquement les extrémités : elles se retestent, et ici elles changent toutes les deux de nature.

À savoir par cœur

• Une série entière converge sur un intervalle CENTRÉ en $c$ , de rayon $R$ .
• Le critère du quotient donne l'intervalle OUVERT : les deux extrémités se testent à part.
• Cinq références : $\frac{1}{1-x}$ , $e^{x}$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $\ln(1+x)$ et $\arctan x$ .
• Substituer, dériver ou intégrer une série connue est presque toujours plus rapide que Taylor.
• Après substitution, TRADUIRE la condition de convergence en la variable de départ.
• Série centrée en $c$ : puissances de $(x-c)$ , jamais de $x$ .
• Dériver ou intégrer terme à terme conserve le rayon, pas la nature des extrémités.
• Série alternée : l'erreur de troncature est majorée par le premier terme NÉGLIGÉ.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il donner l'intervalle de convergence ?

Parce qu'un développement en série est une égalité conditionnelle. En dehors de l'intervalle, la série diverge alors que la fonction reste parfaitement définie, donc l'égalité est fausse. L'intervalle fait partie de la réponse, au même titre que les coefficients.

Pourquoi tester les extrémités de l'intervalle ?

Parce que le critère du quotient ne conclut pas quand la limite vaut exactement un, ce qui est le cas aux deux bouts. Trois séries de même rayon peuvent avoir trois intervalles différents, ouvert, fermé ou semi-ouvert. Seul le test direct, en substituant chaque extrémité, permet de trancher.

Faut-il calculer les dérivées successives pour obtenir une série de Taylor ?

Rarement. Presque tous les développements demandés s'obtiennent en substituant, dérivant ou intégrant l'une des cinq séries de référence. La formule de Taylor sert à établir ces cinq séries, pas à les redécouvrir, et les dérivées successives deviennent vite ingérables.

Le rayon de convergence change-t-il quand on intègre terme à terme ?

Non, le rayon se conserve. En revanche la nature des extrémités peut changer, et elle change souvent. La série de un sur un plus x au carré diverge aux deux bouts, alors que celle de l'arc tangente, obtenue en l'intégrant, y converge.

Comment savoir combien de termes garder pour une précision donnée ?

On majore le reste. Pour une série alternée dont les termes décroissent, l'erreur est inférieure au premier terme négligé, ce qui donne l'ordre en une ligne. Sinon on utilise le reste de Lagrange, en majorant la dérivée d'ordre suivant sur l'intervalle concerné.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Séries entières et Taylor

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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