Exercices corrigés : la relativité restreinte (203-SN3-RE, ancien 203-NYC)

a) Premier postulat : les lois de la physique sont identiques dans tous les référentiels inertiels. Celui-là ne choque personne, c'est déjà le principe de relativité de Galilée, vieux de trois siècles. Second postulat : la lumière se propage à $c$ dans tout référentiel inertiel, indépendamment du mouvement de la source ET de celui de l'observateur. C'est celui-là qui est intolérable, parce qu'il contredit frontalement l'addition galiléenne des vitesses : si je poursuis un rayon lumineux à $0{,}9c$, je devrais le voir s'éloigner à $0{,}1c$, et Einstein affirme que je le vois s'éloigner à $c$. Tout le reste du chapitre, dilatation, contraction, perte de la simultanéité, n'est que la conséquence logique de ce refus.

b) $\gamma=(1-\beta^{2})^{-1/2}$ : $\gamma(0{,}100)=1{,}005$ ; $\gamma(0{,}600)=1{,}250$ exactement, car $\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8$ ; $\gamma(0{,}800)=1{,}667$, car $\sqrt{1-0{,}64}=0{,}6$ ; $\gamma(0{,}950)=3{,}203$ ; $\gamma(0{,}990)=7{,}089$ ; $\gamma(0{,}999)=22{,}37$. La courbe montre l'essentiel : $\gamma$ reste collé à 1 sur les deux premiers tiers de l'axe, puis décolle brutalement. Entre $\beta=0$ et $\beta=0{,}5$, il ne gagne que 15 % ; entre $0{,}99$ et $0{,}999$, il triple. La relativité n'est pas une correction progressive, c'est un mur.

c) $\gamma=1{,}01$ donne $1-\beta^{2}=\dfrac{1}{1{,}01^{2}}=0{,}98030$, donc $\beta^{2}=0{,}019704$ et $\beta=0{,}1404$. En vitesse : $v=0{,}1404\times 3{,}00\times 10^{8}=4{,}21\times 10^{7}$ m/s, soit environ 42 000 km/s. C'est le vrai contenu de la phrase « la mécanique classique suffit aux vitesses ordinaires » : elle suffit jusqu'à 14 % de la vitesse de la lumière, ce qui couvre absolument tout ce qu'un ingénieur rencontrera, et rien de ce qu'un physicien des particules manipule.

d) $\beta=\dfrac{250}{3{,}00\times 10^{8}}=8{,}33\times 10^{-7}$. À cette échelle, le développement limité est obligatoire, une calculatrice affichera $\gamma=1$ tout court : $\gamma-1\approx\dfrac{\beta^{2}}{2}=\dfrac{(8{,}33\times 10^{-7})^{2}}{2}=3{,}47\times 10^{-13}$. Sur $12{,}0$ h $=43\,200$ s, le retard vaut $43\,200\times 3{,}47\times 10^{-13}=1{,}5\times 10^{-8}$ s, soit 15 nanosecondes. Hafele et Keating ont pu le mesurer parce qu'ils embarquaient des horloges atomiques au césium, stables à mieux que la nanoseconde, et surtout parce qu'ils ont fait voler l'avion vers l'est PUIS vers l'ouest : la rotation de la Terre change le signe de la vitesse par rapport au référentiel inertiel, et c'est la DIFFÉRENCE entre les deux vols, bien plus grande que l'incertitude de chaque mesure, qu'ils ont comparée à la prévision. Le piège de calcul, ici, est de taper $1/\sqrt{1-\beta^{2}}$ dans la calculatrice et de lire exactement 1 : à $10^{-13}$ près, la double précision d'une machine de poche ne voit rien.

a) Dans le wagon, l'horloge est immobile : le flash monte de $1{,}50$ m et redescend de $1{,}50$ m, soit $3{,}00$ m à la vitesse $c$. $\Delta t_{0}=\dfrac{2L}{c}=\dfrac{3{,}00}{3{,}00\times 10^{8}}=1{,}00\times 10^{-8}$ s, soit $10{,}0$ ns. C'est le temps propre parce que les deux événements qui bornent le tic, le départ du flash et son retour, se produisent AU MÊME ENDROIT dans ce référentiel, sur le miroir du bas. C'est le seul critère, et il ne parle ni de vitesse ni de préférence : une seule horloge suffit à mesurer $\Delta t_{0}$, alors qu'il en faut deux, synchronisées, pour mesurer $\Delta t$ du quai.

b) Vu du quai, pendant la moitié du tic, le flash parcourt l'hypoténuse $\dfrac{c\,\Delta t}{2}$ tandis que le wagon avance de $\dfrac{v\,\Delta t}{2}$ ; le côté vertical vaut toujours $L$, car la contraction n'agit que dans la direction du mouvement. Pythagore : $\left(\dfrac{c\Delta t}{2}\right)^{2}=L^{2}+\left(\dfrac{v\Delta t}{2}\right)^{2}$. En isolant : $\dfrac{\Delta t^{2}}{4}(c^{2}-v^{2})=L^{2}$, donc $\Delta t=\dfrac{2L}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}=\dfrac{2L}{c}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$. Le premier facteur est exactement $\Delta t_{0}$ : on obtient $\Delta t=\gamma\,\Delta t_{0}$, et le facteur de Lorentz n'a pas été postulé, il est TOMBÉ d'un triangle rectangle. Le seul ingrédient relativiste est d'avoir écrit $c$, et non $c$ plus quelque chose, pour la vitesse du flash vu du quai.

c) $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}64}}=\dfrac{1}{0{,}6}=1{,}667$, donc $\Delta t=1{,}667\times 10{,}0=16{,}7$ ns. Trajet lumineux : $c\,\Delta t=3{,}00\times 10^{8}\times 1{,}667\times 10^{-8}=5{,}00$ m. Déplacement du wagon : $v\,\Delta t=0{,}800\times 5{,}00=4{,}00$ m. Le triangle complet a donc pour côtés $4{,}00$ m, $3{,}00$ m (les deux fois $L$) et $5{,}00$ m : c'est le triangle 3-4-5, ce qui n'est pas un hasard, c'est ce que vaut $\beta=0{,}8$ dans ce chapitre. Retenez-le, il vérifie instantanément tout calcul à $0{,}8c$.

d) Si une montre mécanique et une horloge à lumière posées côte à côte dans le wagon se désaccordaient pour un observateur du quai, alors le voyageur du wagon pourrait, en les comparant, détecter son propre mouvement uniforme : cela violerait le premier postulat. Deux horloges immobiles l'une par rapport à l'autre marquent le même temps pour tout le monde, donc le ralentissement porte sur le TEMPS lui-même et non sur un mécanisme. C'est la raison pour laquelle l'argument de l'horloge à lumière, qui a l'air d'un cas particulier bricolé, démontre en fait le cas général.

a) $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}360}}=\dfrac{1}{0{,}800}=1{,}250$. Longueur vue de la Terre : $L=\dfrac{L_{0}}{\gamma}=\dfrac{120}{1{,}250}=96{,}0$ m. Largeur vue de la Terre : $18{,}0$ m, INCHANGÉE, parce que la contraction n'agit que dans la direction du mouvement. À bord, l'équipage mesure toujours $120$ m sur $18{,}0$ m : dans son propre référentiel, le vaisseau est immobile, donc c'est la longueur propre qu'il lit, et rien n'a changé pour lui. Aucun des deux n'a tort.

b) Depuis la Terre, le vaisseau parcourt $6{,}00$ années-lumière à $0{,}600c$ : $t=\dfrac{6{,}00}{0{,}600}=10{,}0$ ans. Notez qu'on divise une distance en années-lumière par une vitesse en fraction de $c$, ce qui donne directement des années : c'est le système d'unités qui rend ce chapitre calculable de tête.

c) Pour l'équipage, ce n'est pas le vaisseau qui avance, c'est l'étoile qui arrive. La distance Terre-étoile est une longueur propre POUR LA TERRE, puisque les deux extrémités y sont immobiles ; l'équipage, lui, la voit défiler et la mesure contractée : $L'=\dfrac{6{,}00}{1{,}250}=4{,}80$ années-lumière. Comme l'étoile arrive à $0{,}600c$, le voyage dure $t'=\dfrac{4{,}80}{0{,}600}=8{,}00$ ans à bord. Vérification par l'autre route : le temps de bord est un temps propre, les deux événements (départ, arrivée) ayant lieu au même endroit dans le vaisseau, donc $t=\gamma t'$, soit $t'=\dfrac{10{,}0}{1{,}250}=8{,}00$ ans. Les deux méthodes coïncident, et c'est le seul contrôle qui vaille : chaque référentiel n'utilise QU'UN des deux effets. Compter la contraction ET la dilatation dans le même récit divise le temps deux fois par $\gamma$, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

d) Il n'y a aucune force et aucune contrainte : la coque du vaisseau ne subit strictement rien, et un accéléromètre embarqué ne mesure aucune déformation. Ce qui produit la contraction, c'est l'opération de mesure elle-même : mesurer la longueur d'un objet en mouvement, c'est relever la position de ses deux extrémités AU MÊME INSTANT. Or « au même instant » n'a pas le même sens dans les deux référentiels, précisément parce que la simultanéité est relative. L'observateur terrestre repère les deux extrémités simultanément selon SES horloges ; pour l'équipage, ces deux relevés n'ont pas été faits en même temps, l'arrière ayant été pointé après l'avant, alors que le vaisseau avait avancé. Toute la contraction est là, dans un désaccord sur la simultanéité, jamais dans une compression.

a) $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}9950^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}009975}}=10{,}01$. En physique classique, le muon parcourrait en une vie moyenne $d_{0}=\beta c\,\tau_{0}=0{,}9950\times 3{,}00\times 10^{8}\times 2{,}20\times 10^{-6}=657$ m. Les $15{,}0$ km représentent alors $\dfrac{15\,000}{657}=22{,}8$ vies moyennes, et la fraction survivante vaut $e^{-22{,}8}=1{,}2\times 10^{-10}$ : sur dix milliards de muons créés, un seul arriverait. Le détecteur au niveau de la mer devrait être vide, et il ne l'est pas : c'est l'une des plus anciennes preuves expérimentales directes de la relativité.

b) Dans le référentiel du sol, l'horloge du muon est en mouvement, donc elle bat lentement : sa vie moyenne apparente vaut $\gamma\tau_{0}=10{,}01\times 2{,}20=22{,}0$ μs. La distance de vol moyenne devient $\beta c\gamma\tau_{0}=0{,}9950\times 3{,}00\times 10^{8}\times 2{,}20\times 10^{-5}=6{,}58\times 10^{3}$ m, soit $6{,}58$ km. Les $15{,}0$ km ne font plus que $\dfrac{15\,000}{6\,575}=2{,}28$ vies moyennes, et la fraction survivante vaut $e^{-2{,}28}=0{,}102$, soit environ 10 %. Un muon sur dix arrive au sol, ce qui est parfaitement mesurable.

c) Dans le référentiel du muon, sa vie moyenne vaut $2{,}20$ μs et rien d'autre : c'est SON horloge, elle bat normalement. Ce qui change, c'est l'atmosphère, qui fonce vers lui à $0{,}9950c$ et dont l'épaisseur est contractée : $L'=\dfrac{15\,000}{10{,}01}=1{,}50\times 10^{3}$ m. Le temps propre du trajet vaut $\dfrac{1\,498}{0{,}9950\times 3{,}00\times 10^{8}}=5{,}02$ μs, soit $\dfrac{5{,}02}{2{,}20}=2{,}28$ vies moyennes : le MÊME nombre qu'en b), donc la même fraction de 10 %. C'est le point culminant de l'exercice. Les deux observateurs racontent des histoires incompatibles, l'un parle d'une horloge ralentie, l'autre d'une atmosphère aplatie, et pourtant ils s'accordent sur la seule chose vérifiable : le nombre de muons qui déclenchent le détecteur.

d) Parce que le nombre de vies moyennes écoulées est une grandeur PHYSIQUE, comptable, pas une convention : c'est le nombre de fois que l'horloge interne du muon a fait le tour, et tout le monde doit tomber d'accord dessus. Appliquer les deux effets à la fois le divise deux fois par $\gamma$ et donne $0{,}228$ vie moyenne, soit 80 % de survivants, ce qui contredirait le comptage du détecteur. La règle qui l'évite tient en une ligne et vaut pour tout le chapitre : on choisit UN référentiel, on y reste, et on n'y utilise qu'un seul effet. La dilatation du temps est ce que le sol dit de l'horloge du muon ; la contraction des longueurs est ce que le muon dit de la règle du sol. Ce sont deux descriptions du même désaccord, pas deux désaccords qui s'ajoutent.

a) $\gamma=1{,}250$ à $0{,}600c$, donc le quai mesure $L=\dfrac{300}{1{,}250}=240$ m : c'est bien la cote de la figure. Attention à ne pas intervertir : $300$ m est la longueur PROPRE, mesurée dans le train où le train est immobile, et c'est toujours la plus grande.

b) Vu du quai, les deux flashes partent au même instant des deux extrémités et se propagent tous deux à $c$. Pendant qu'ils voyagent, la voyageuse, assise au milieu, AVANCE vers l'avant du train : elle va donc à la rencontre du flash avant et fuit le flash arrière. Elle reçoit le flash avant en premier, c'est un fait sur lequel tout le monde s'accorde, puisqu'il s'agit d'un seul événement, la réception. Or dans SON référentiel, elle est immobile et se trouve à égale distance des deux extrémités, la lumière mettant donc le même temps à lui parvenir des deux côtés. Si elle reçoit l'avant en premier alors que les trajets ont duré autant, c'est que l'éclair AVANT est parti le premier. Dans le train, les deux impacts ne sont pas simultanés, et c'est celui de l'avant qui précède.

c) Prenons $S$ le quai et $S'$ le train, qui se déplace à $+v$. Les deux impacts ont lieu en $t=0$, aux abscisses $x_{\text{arr}}$ et $x_{\text{av}}=x_{\text{arr}}+240$. La transformation $t'=\gamma\left(t-\dfrac{vx}{c^{2}}\right)$ donne $\Delta t'=t'_{\text{av}}-t'_{\text{arr}}=-\gamma\dfrac{v\,\Delta x}{c^{2}}$, négatif : l'avant est bien frappé le premier, ce qui confirme b). Numériquement : $|\Delta t'|=1{,}250\times\dfrac{0{,}600\times 3{,}00\times 10^{8}\times 240}{9{,}00\times 10^{16}}=6{,}00\times 10^{-7}$ s, soit $600$ ns. Forme remarquable : puisque $\Delta x=\dfrac{L_{0}}{\gamma}$, le $\gamma$ se simplifie et $|\Delta t'|=\dfrac{v L_{0}}{c^{2}}$, où $L_{0}$ est la longueur propre du train. Le $\gamma$ disparaît, ce qui est le meilleur contrôle de tout l'exercice : $\dfrac{0{,}600\times 3{,}00\times 10^{8}\times 300}{9{,}00\times 10^{16}}=6{,}00\times 10^{-7}$ s.

d) Sur le quai : $\Delta t=0$ et $\Delta x=240$ m, donc $s^{2}=(c\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}=0-240^{2}=-5{,}76\times 10^{4}$ m$^{2}$. Dans le train : $\Delta t'=6{,}00\times 10^{-7}$ s et $\Delta x'=300$ m, donc $c\Delta t'=180$ m et $s^{2}=180^{2}-300^{2}=32\,400-90\,000=-5{,}76\times 10^{4}$ m$^{2}$. Identique : l'intervalle est un INVARIANT, et c'est le seul contrôle numérique fiable dont on dispose quand on a manipulé des transformations de Lorentz. Sa valeur est négative, l'intervalle est du genre espace : les deux éclairs sont trop éloignés pour que la lumière ait le temps d'aller de l'un à l'autre, aucun ne peut donc être la cause de l'autre. Leur ordre n'a pas de sens absolu, et il peut effectivement s'inverser selon le référentiel, sans qu'aucun effet ne précède jamais sa cause. La causalité n'est protégée que pour les paires d'événements du genre temps, celles que la lumière peut relier, et pour celles-là l'ordre est le même dans tous les référentiels.

a) Avec $S'$ se déplaçant à $+v$ le long de $x$ : $x'=\gamma(x-vt)$, $t'=\gamma\left(t-\dfrac{vx}{c^{2}}\right)$, $y'=y$, $z'=z$. Les transformations inverses s'obtiennent en échangeant les rôles des deux référentiels, ce qui revient à changer $v$ en $-v$ et à permuter primé et non primé : $x=\gamma(x'+vt')$, $t=\gamma\left(t'+\dfrac{vx'}{c^{2}}\right)$. Le principe de relativité l'exige : aucun des deux référentiels n'étant privilégié, la forme des lois doit être la même dans les deux sens, au signe de la vitesse près.

b) $u=\dfrac{u'+v}{1+\dfrac{u'v}{c^{2}}}=\dfrac{0{,}700+0{,}800}{1+0{,}560}=\dfrac{1{,}500}{1{,}560}=0{,}9615c$. La prévision galiléenne donnerait $1{,}500c$, soit une vitesse supraluminique, physiquement impossible. Le dénominateur $1+\dfrac{u'v}{c^{2}}$ est tout le contenu de la relativité ici : il vaut pratiquement 1 tant que l'un des deux mouvements est lent, ce qui explique pourquoi la loi galiléenne a tenu trois siècles, et il freine brutalement dès que les deux vitesses sont comparables à $c$. Sur la figure, la courbe et la droite se séparent visiblement dès $u'=0{,}2c$ et la courbe rejoint l'asymptote $u=c$ sans jamais la franchir.

c) Avec $u'=c$ : $u=\dfrac{c+0{,}800c}{1+\dfrac{0{,}800c\cdot c}{c^{2}}}=\dfrac{1{,}800c}{1{,}800}=c$. La lumière émise par une source qui fuit à $0{,}800c$ arrive quand même à $c$ : c'est exactement le second postulat, et le fait que la loi d'addition le respecte automatiquement n'est pas une coïncidence, elle a été construite pour cela. Remarquez que $u'=c$ donne $u=c$ quelle que soit $v$ : $c$ est un point fixe de la loi d'addition.

d) Plaçons-nous dans la première fusée. La Terre s'éloigne d'elle à $0{,}900c$, et la seconde fusée s'éloigne de la Terre à $0{,}900c$ dans le même sens (vu depuis la première). $u=\dfrac{0{,}900+0{,}900}{1+0{,}810}=\dfrac{1{,}800}{1{,}810}=0{,}9945c$. La réponse galiléenne, $1{,}800c$, est fausse en tant que vitesse relative propre. Attention cependant à la nuance qui fait perdre des points : dans le référentiel de la Terre, l'écart entre les deux fusées croît bel et bien au rythme de $1{,}800c$ par seconde, et cela n'est interdit par rien, car ce taux de séparation n'est la vitesse d'aucun objet. Ce qui est interdit, c'est qu'un objet dépasse $c$ dans un référentiel donné, et aucune des deux fusées ne le fait.

e) Posons $\beta_{1}=\dfrac{u'}{c}$ et $\beta_{2}=\dfrac{v}{c}$, tous deux dans $]-1;1[$, et supposons-les positifs pour fixer les idées. Calculons l'écart à la barrière : $c-u=c-\dfrac{c(\beta_{1}+\beta_{2})}{1+\beta_{1}\beta_{2}}=c\cdot\dfrac{1+\beta_{1}\beta_{2}-\beta_{1}-\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}}=c\cdot\dfrac{(1-\beta_{1})(1-\beta_{2})}{1+\beta_{1}\beta_{2}}$. La factorisation du numérateur est toute l'astuce. Chaque facteur $(1-\beta_{i})$ est strictement positif puisque $\beta_{i}<1$, et le dénominateur l'est aussi, donc $c-u>0$ strictement : la loi ne peut ni atteindre ni dépasser $c$. Le calcul montre en prime comment elle s'en approche : si les deux vitesses valent $0{,}99c$, le numérateur contient $(0{,}01)^{2}$, et l'écart à $c$ tombe à $5\times 10^{-5}c$. Plus on pousse, plus la barrière résiste.

a) Une charge élémentaire accélérée sous $2{,}00$ MV acquiert par définition $K=2{,}00$ MeV : c'est tout l'intérêt de l'électronvolt comme unité. De $K=(\gamma-1)mc^{2}$ on tire $\gamma=1+\dfrac{K}{mc^{2}}=1+\dfrac{2{,}00}{0{,}511}=1+3{,}914=4{,}914$. Puis $\beta=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{24{,}15}}=\sqrt{0{,}9586}=0{,}9791$, soit $v=2{,}937\times 10^{8}$ m/s. Notez la voie suivie : énergie, puis $\gamma$, puis $\beta$. Passer par la vitesse en premier est le réflexe classique, et c'est le plus sûr moyen de s'embourber.

b) $\tfrac{1}{2}mv^{2}=K$ donne $\dfrac{v}{c}=\sqrt{\dfrac{2K}{mc^{2}}}=\sqrt{2\times 3{,}914}=\sqrt{7{,}828}=2{,}798$, c'est-à-dire $2{,}80c$. Une vitesse presque triple de celle de la lumière : la formule classique ne se contente pas d'être imprécise, elle produit une absurdité. C'est la lecture physique de la courbe en pointillés, qui monte tout droit et traverse toutes les valeurs sans obstacle, alors que la courbe relativiste diverge en $\beta=1$ : il faut une énergie INFINIE pour atteindre $c$, et c'est la vraie raison pour laquelle rien de massif n'y arrive.

c) Énergie totale : $E=\gamma mc^{2}=4{,}914\times 0{,}511=2{,}511$ MeV, ce qui est bien $K+mc^{2}=2{,}00+0{,}511$, un contrôle immédiat. Par la relation énergie-impulsion : $(pc)^{2}=E^{2}-(mc^{2})^{2}=2{,}511^{2}-0{,}511^{2}=6{,}305-0{,}261=6{,}044$, donc $pc=2{,}459$ MeV et $p=2{,}459$ MeV/c. Vérification par la définition : $pc=\gamma\beta mc^{2}=4{,}914\times 0{,}9791\times 0{,}511=2{,}459$ MeV. Les deux chemins coïncident. L'unité MeV/c déconcerte au début, mais elle évite de traîner des $10^{-22}$ kg·m/s pendant tout un problème.

d) Proton : $\gamma=1+\dfrac{2{,}00}{938{,}3}=1{,}002132$, donc $\beta=\sqrt{1-\dfrac{1}{1{,}002132^{2}}}=0{,}06519$, soit $1{,}956\times 10^{7}$ m/s. Formule classique : $\beta=\sqrt{\dfrac{2\times 2{,}00}{938{,}3}}=0{,}06529$. L'écart est de $0{,}16$ %, négligeable dans presque toute évaluation. La même énergie de $2{,}00$ MeV rend donc un électron ultra-relativiste et laisse un proton en régime classique, parce que ce qui compte n'est jamais l'énergie absolue mais le RAPPORT $\dfrac{K}{mc^{2}}$ : $3{,}91$ pour l'électron, $0{,}0021$ pour le proton. Avant tout calcul, formez ce rapport : s'il est très petit devant 1, la mécanique classique suffit, s'il vaut 1 ou plus, elle est disqualifiée.

e) $E$ et $p$ changent tous deux quand on change de référentiel, mais la combinaison $E^{2}-(pc)^{2}$ garde la même valeur pour tout le monde, à savoir $(mc^{2})^{2}$, qui ne dépend que de la particule. C'est le pendant exact de l'invariance de l'intervalle $(c\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}$ pour l'espace-temps. Concrètement, dans un problème de collision, on écrit la conservation de $E$ et de $p$ dans le référentiel du laboratoire, où les données sont fournies, puis on calcule l'invariant du système entier ; comme il vaut la même chose dans le référentiel du centre de masse, où la quantité de mouvement totale est nulle, on obtient d'un coup l'énergie disponible pour créer de nouvelles particules, sans jamais transformer une seule vitesse. C'est la méthode standard pour trouver un seuil de réaction, et elle épargne des pages de calcul.

a) Faux dans son vocabulaire et dans sa conclusion. La masse $m$ est un INVARIANT relativiste : elle a la même valeur dans tous les référentiels, c'est une propriété de la particule au même titre que sa charge. La notion de « masse relativiste » $\gamma m$ a été abandonnée par la physique moderne précisément parce qu'elle produit cette confusion. Ce qui augmente sans limite, ce sont l'énergie $E=\gamma mc^{2}$ et la quantité de mouvement $p=\gamma mv$. Énoncé correct : on ne peut pas atteindre $c$ parce qu'il faudrait fournir une énergie infinie, $\gamma$ divergeant quand $\beta\to 1$, et non parce qu'un objet deviendrait lourd.

b) Faux, et l'erreur est classique parce qu'un tel retard existe bel et bien. Mais il porte un autre nom, c'est l'effet Doppler, et il est DÉJÀ CORRIGÉ dans toute mesure sérieuse : on compare des horloges en tenant compte du temps de vol des signaux, ou on utilise deux horloges synchronisées sur place, comme dans l'expérience du muon où le détecteur est au sol, sans aucun signal à propager. La dilatation subsiste après cette correction. Énoncé correct : la dilatation du temps est une propriété des intervalles de temps eux-mêmes, indépendante de la façon dont l'information nous parvient, et elle est symétrique alors que le Doppler ne l'est pas, puisqu'il change de signe selon qu'on s'approche ou qu'on s'éloigne.

c) La première moitié est vraie, la seconde est fausse, et c'est la seconde qui compte. Tant que les deux jumeaux restent inertiels, chacun voit effectivement l'horloge de l'autre battre lentement, sans contradiction, car ils n'utilisent pas la même définition de la simultanéité. La symétrie est rompue au moment du DEMI-TOUR : le voyageur change de référentiel inertiel, il subit une accélération que son jumeau ne subit pas, et l'expérience le prouve, il est le seul des deux à être plaqué contre sa couchette. Énoncé correct : le voyageur revient effectivement plus jeune, d'un facteur $\gamma$ sur la durée du voyage, et il n'y a pas de paradoxe parce que les deux situations ne sont pas interchangeables.

d) L'affirmation confond deux choses différentes. Dans le référentiel de la Terre, la distance entre les deux fusées croît bien au rythme de $1{,}800c$ par unité de temps, et cela ne viole rien : ce taux de séparation n'est la vitesse d'aucun objet, aucune information ne le parcourt, et rien ne peut être transporté à ce rythme. Ce qu'interdit la relativité, c'est qu'un OBJET dépasse $c$ dans un référentiel donné, et chacune des deux fusées y va à $0{,}900c$. Énoncé correct : la vitesse d'une fusée mesurée dans le référentiel de l'autre, qui est la seule vitesse relative au sens propre, vaut $\dfrac{1{,}800}{1{,}810}c=0{,}9945c$, bien en dessous de $c$.

e) Faux. Aucune force ne s'exerce, aucune contrainte n'apparaît dans la règle, et un observateur qui voyage avec elle ne mesure strictement aucun changement, ni de longueur, ni de distance interatomique. La contraction vient de l'opération de mesure : mesurer la longueur d'un objet en mouvement suppose de relever ses deux extrémités au même instant, et « au même instant » n'a pas le même sens dans les deux référentiels. Énoncé correct : la contraction des longueurs est une conséquence de la relativité de la simultanéité, elle est réciproque, chacun voyant la règle de l'autre plus courte, ce qui serait impossible pour une déformation matérielle.

a) $\beta=\dfrac{3{,}87\times 10^{3}}{3{,}00\times 10^{8}}=1{,}29\times 10^{-5}$. En tapant $\gamma=(1-\beta^{2})^{-1/2}$ dans une calculatrice, on lit exactement 1 : l'écart cherché vaut $10^{-10}$, très en dessous des dix chiffres significatifs affichés. Le développement limité n'est donc pas une commodité, c'est le seul moyen d'obtenir le résultat : $\gamma-1\approx\dfrac{\beta^{2}}{2}=\dfrac{(1{,}29\times 10^{-5})^{2}}{2}=8{,}32\times 10^{-11}$.

b) L'horloge du satellite est en mouvement par rapport au sol, donc elle bat lentement : elle prend du retard, au rythme relatif $\dfrac{\beta^{2}}{2}$. Sur $86\,400$ s : $\Delta t=86\,400\times 8{,}32\times 10^{-11}=7{,}19\times 10^{-6}$ s, soit un retard de $7{,}19$ μs par jour. Le signe est la moitié de la réponse : la relativité restreinte fait toujours RETARDER l'horloge en mouvement.

c) Les deux effets sont de signes opposés : la gravitation fait avancer de $45{,}9$ μs, la vitesse fait retarder de $7{,}19$ μs. Décalage net : $45{,}9-7{,}19=+38{,}7$ μs par jour, en avance. C'est la relativité générale qui l'emporte, d'un facteur six environ, parce que le satellite est très haut, à trois rayons terrestres, alors que sa vitesse orbitale reste modeste. Un satellite en orbite basse, plus rapide et moins haut, verrait le rapport s'inverser.

d) Une erreur de datation $\Delta t$ se traduit par une erreur de distance $c\,\Delta t=3{,}00\times 10^{8}\times 38{,}7\times 10^{-6}=1{,}16\times 10^{4}$ m, soit environ $11{,}6$ km après une seule journée. C'est le chiffre qui rend l'argument imparable : sans les deux corrections relativistes, la navigation par satellite dériverait de plus de dix kilomètres par jour et serait inutilisable en quelques heures. Le GPS n'est pas une confirmation de laboratoire de la relativité, c'est une infrastructure civile qui ne fonctionnerait pas sans elle.

e) Puisque l'horloge du satellite va prendre de l'avance une fois en orbite, on la fait battre un peu trop LENTEMENT au départ, de façon qu'elle se retrouve juste une fois là-haut ; corriger au sol après coup obligerait chacun des récepteurs à refaire ce calcul en permanence, alors qu'un décalage de fabrication est gratuit et définitif. Vérification : l'écart relatif vaut $\dfrac{10{,}23-10{,}229\,999\,995\,4}{10{,}23}=\dfrac{4{,}6\times 10^{-9}}{10{,}23}=4{,}5\times 10^{-10}$. Et le décalage net rapporté à une journée vaut $\dfrac{38{,}7\times 10^{-6}}{86\,400}=4{,}5\times 10^{-10}$ : les deux nombres coïncident, l'horloge a bien été désaccordée d'exactement ce que la relativité lui fera gagner.

a) $\gamma=\dfrac{E}{mc^{2}}=\dfrac{1\,500}{139{,}6}=10{,}74$. Puis $\beta=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{115{,}5}}=\sqrt{0{,}99134}=0{,}99566$. Le raccourci $\gamma=\dfrac{E}{mc^{2}}$ mérite d'être retenu : dès qu'on donne une énergie TOTALE, $\gamma$ s'obtient d'une seule division, sans passer par l'énergie cinétique.

b) Distance de vol moyenne au laboratoire : $\ell=\beta c\,\gamma\tau_{0}=0{,}99566\times 3{,}00\times 10^{8}\times 10{,}74\times 26{,}0\times 10^{-9}=83{,}4$ m. Sans relativité, on écrirait $\beta c\,\tau_{0}=7{,}77$ m. Le rapport est exactement $\gamma=10{,}74$, ce qui est le contrôle attendu : la dilatation du temps multiplie la portée du faisceau par le facteur de Lorentz, ni plus ni moins. C'est pour cette raison qu'un faisceau de particules instables devient utilisable dès qu'on l'accélère assez, et c'est un argument de conception d'accélérateur, pas une curiosité théorique.

c) $N/N_{0}=e^{-50{,}0/83{,}4}=e^{-0{,}599}=0{,}549$ : environ $54{,}9$ % du faisceau arrive sur la cible. Sans dilatation : $e^{-50{,}0/7{,}77}=e^{-6{,}44}=1{,}60\times 10^{-3}$, soit $0{,}16$ %. Le facteur de gain vaut $\dfrac{0{,}549}{0{,}00160}=343$ : la relativité fait gagner un facteur trois cents sur l'intensité disponible. Une expérience dimensionnée sur le calcul classique conclurait qu'il faut trois cents fois plus de faisceau et serait abandonnée.

d) On cherche $L$ tel que $e^{-L/\ell}=0{,}0100$, soit $L=\ell\ln 100=83{,}4\times 4{,}605=384$ m. Une ligne de près de quatre cents mètres reste donc exploitable avec un pour cent du faisceau, ce qui correspond aux ordres de grandeur réels des lignes de faisceaux secondaires dans les grands laboratoires.

e) Parce que la décroissance d'une particule instable se fait en TEMPS PROPRE, et que le temps propre ne dépend ni de la forme de la trajectoire ni du fait qu'elle soit courbe : une seconde propre est une seconde propre. Faire tourner les pions dans un anneau ne ralentit pas leur horloge interne davantage qu'une ligne droite à la même vitesse, et pendant qu'ils tournent ils continuent à disparaître au même rythme par mètre parcouru, sans se rapprocher de la cible. La seule façon d'allonger la ligne utile est d'augmenter $\gamma$, c'est-à-dire l'énergie du faisceau : à $3{,}00$ GeV, $\gamma$ double, la distance de vol moyenne passe à $167$ m et la fraction survivante sur $50{,}0$ m grimpe à $e^{-0{,}300}=0{,}741$. Un accélérateur plus puissant achète littéralement de la longueur de ligne, et c'est un des arguments de conception les moins intuitifs du métier.