Ondes et physique moderne 203-SN3-RE • Exercices corrigés de cégep à Montréal

Fiche de révision : chaleur, température et transferts thermiques (203-SN3-RE)

Le chapitre des transferts thermiques demande peu de formules et beaucoup de rigueur sur ce qu'elles désignent : une température ou un écart, un flux ou une résistance, une chaleur sensible ou latente. C'est presque toujours là, et non dans le calcul, que se perdent les points.

Cette fiche rassemble les pièges des évaluations du cours 203-SN3-RE, l'arbre qui choisit la loi selon la forme de l'énoncé, deux rédactions types et un mur composite résolu étape par étape.

Le fil du chapitre

La température est un état, la chaleur est un transfert : on ne contient pas de chaleur, on la fait passer, du chaud vers le froid, à un débit fixé par une résistance. Chaque piège du chapitre confond un état avec un transfert, ou un écart avec une température.

Ce chapitre fait partie de Ondes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (11 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Cinématique et le MRUASecondaire 5 SN5
2Dynamique et les lois de NewtonSecondaire 5 SN5
3Transformation de l'énergieSecondaire 5 SN5
4La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
5Primitives et intégrale indéfinieCalcul intégral (201-NYB)
6La décomposition des fractions rationnellesCalcul intégral (201-NYB)
7Techniques d'intégrationCalcul intégral (201-NYB)
8Équations différentiellesCalcul intégral (201-NYB)
9Cinématique en une et deux dimensionsMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
10Dynamique : lois de Newton et frottementMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
11Travail, énergie et puissanceMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

L'essentiel

Température, énergie thermique et chaleur

• La TEMPÉRATURE est un état : elle mesure l'agitation moyenne des particules. Un écart de $1$ °C vaut un écart de $1$ K ; une température absolue vaut $T=\theta+273{,}15$ .
• La CHALEUR $Q$ est une énergie en transit, échangée parce que deux corps n'ont pas la même température. On ne « contient » pas de chaleur.
• Chaleur sensible : $Q=mc\,\Delta T$ , la température change. Chaleur latente : $Q=mL$ , l'état change et la température reste constante.
• Calorimétrie dans une enceinte isolée : $\sum m_{i}c_{i}(T_{f}-T_{i})+\sum m_{j}L_{j}=0$ , chaque terme avec son signe.

Les deux paliers horizontaux : l'énergie reçue sert à fondre puis à vaporiser, la température ne bouge pas. Ailleurs, la pente dépend de la capacité thermique de chaque état.

Sur une courbe de chauffe, les paliers sont les moments où l'énergie reçue ne change pas la température : elle rompt des liaisons. Un calcul qui traverse un palier sans terme mL est faux.

Les trois modes et leur loi

• Conduction (dans un solide ou un fluide immobile) : $\Phi=\dfrac{kA\,\Delta T}{e}=\dfrac{\Delta T}{R}$ , avec $R=\dfrac{e}{kA}$ en K/W. Couches successives : résistances en série, $R_{t}=\sum R_{i}$ .
• Convection (surface baignée par un fluide) : $\Phi=hA\,(T_{s}-T_{f})$ . Un corps qui refroidit : $T(t)=T_{a}+(T_{0}-T_{a})e^{-kt}$ .
• Rayonnement (même dans le vide) : $P=\varepsilon\sigma AT^{4}$ , échange net $P=\varepsilon\sigma A\left(T^{4}-T_{e}^{4}\right)$ , $\sigma=5{,}67\times 10^{-8}$ W/(m²·K⁴).
• Loi de Wien : $\lambda_{max}T=2{,}898\times 10^{-3}$ m·K. Cylindre isolé : $R=\dfrac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi kL}$ .

Le vocabulaire des résistances est le même qu'en électricité : l'écart de température joue le rôle de la tension, le flux celui du courant.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Mettre des degrés Celsius dans une loi en T puissance 4

toute la question, et un résultat trois fois trop petit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Élément à $800$ °C : $P=0{,}90\times\sigma\times 0{,}018\times 800^{4}=376$ W. »

Ce qu'il faut écrire

« $T=800+273=1073$ K, donc $P=0{,}90\times\sigma\times 0{,}018\times 1073^{4}=1{,}22\times 10^{3}$ W. »

Pourquoi : La loi de Stefan-Boltzmann est écrite pour la température ABSOLUE. Pour un écart $\Delta T$ (Fourier, Newton, $mc\Delta T$ ), Celsius et kelvins donnent le même nombre ; pour $T^{4}$ , jamais.

2. Calculer le flux de chaque couche d'un mur avec l'écart total

toute la question, et un flux vingt fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Brique : $\dfrac{30}{0{,}0139}=2160$ W ; isolant : $\dfrac{30}{0{,}25}=120$ W ; flux total $2280$ W. »

Ce qu'il faut écrire

« Couches traversées l'une après l'autre : $R_{t}=0{,}0139+0{,}25=0{,}264$ K/W, et $\Phi=\dfrac{30}{0{,}264}=114$ W, le même dans chaque couche. »

Pourquoi : En série, c'est le FLUX qui est commun et l'écart de température qui se partage entre les couches. Additionner des flux n'a de sens que pour des parois côte à côte, en parallèle, comme un mur et une fenêtre.

3. Oublier la chaleur latente quand de la glace fond

toute la question, avec une température finale absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $50$ g de glace à $0$ °C dans $250$ g d'eau à $25$ °C : $T=\dfrac{0{,}25\times 25+0{,}05\times 0}{0{,}30}=20{,}8$ °C. »

Ce qu'il faut écrire

« $0{,}25\times 4186\times(25-T)=0{,}05\times 3{,}33\times 10^{5}+0{,}05\times 4186\times T$ , donc $T=7{,}6$ °C. »

Pourquoi : Fondre la glace coûte $16{,}7$ kJ avant même de la réchauffer, soit plus de la moitié de ce que l'eau peut céder en revenant à $0$ °C. Toujours vérifier d'abord si toute la glace fond.

4. Faire décroître la température au lieu de l'écart

toute la question, et un modèle qui tend vers 0 °C

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Café à $90$ °C, $k=0{,}05$ min⁻¹ : après $30$ min, $T=90\,e^{-1{,}5}=20{,}1$ °C. »

Ce qu'il faut écrire

« C'est l'écart à la pièce qui décroît : $T=20+70\,e^{-1{,}5}=35{,}6$ °C. »

La courbe juste se couche sur la droite de 20 °C ; la courbe fausse, en pointillés, traverse la température de la pièce et continue vers 0 °C, ce qu'aucun café ne fait.

Pourquoi : La loi de Newton porte sur $T-T_{a}$ : le corps tend vers la température ambiante, pas vers zéro. Le modèle faux prédit un café qui finirait plus froid que la pièce.

5. Laisser l'épaisseur en centimètres dans la loi de Fourier

2 points, et un résultat cent fois trop petit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Glacière : $\Phi=\dfrac{0{,}033\times 0{,}80\times 30}{3}=0{,}26$ W. »

Ce qu'il faut écrire

« $e=3{,}0$ cm $=0{,}030$ m : $\Phi=\dfrac{0{,}033\times 0{,}80\times 30}{0{,}030}=26{,}4$ W. »

Pourquoi : La conductivité est en W/(m·K) : l'épaisseur doit être en mètres, l'aire en mètres carrés. Une glacière qui ne laisserait entrer qu'un quart de watt garderait la glace pendant des mois.

6. Oublier ce que le corps reçoit de son environnement

3 points, et une personne qui mourrait de froid en une heure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le corps humain ( $1{,}8$ m², $\varepsilon=0{,}97$ , peau à $306$ K) perd $\varepsilon\sigma AT^{4}=868$ W par rayonnement. »

Ce qu'il faut écrire

« Dans une pièce à $293$ K, il perd $\varepsilon\sigma A\left(306^{4}-293^{4}\right)=138$ W : il reçoit presque autant qu'il émet. »

Pourquoi : Tout corps rayonne ET absorbe. Quand les deux températures sont voisines, l'échange net est une petite différence entre deux grands nombres, et c'est lui seul qui compte dans un bilan.

7. Croire que doubler l'isolant d'un tuyau divise le flux par deux

2 points sur une question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'isolant passe de $2{,}5$ à $5{,}0$ cm d'épaisseur : le flux perdu est divisé par deux. »

Ce qu'il faut écrire

« $R=\dfrac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi kL}$ : le flux n'est divisé que par $\dfrac{\ln(6{,}1/1{,}1)}{\ln(3{,}6/1{,}1)}=1{,}44$ . »

Pourquoi : La couche ajoutée est plus loin de l'axe, sa surface est plus grande : elle résiste moins que la première. La proportionnalité à l'épaisseur ne vaut que pour une paroi plane.

Quelle méthode choisir

Quelle loi selon la forme de l'énoncé

Ce que l'énoncé donne pour décrire le transfert

Si une épaisseur, une conductivité k, un matériau solide → conduction : $\Phi=\dfrac{kA\Delta T}{e}$ , résistances en série pour plusieurs couches

Exemple : $\dfrac{0{,}033\times 0{,}80\times 30}{0{,}030}=26{,}4$ W
Si un coefficient h, un fluide au contact d'une surface → convection : $\Phi=hA\Delta T$

Exemple : $25\times 0{,}054\times 40=54$ W
Si une émissivité, une température élevée, du vide → rayonnement : $\varepsilon\sigma A\left(T^{4}-T_{e}^{4}\right)$ , en kelvins

Exemple : $0{,}97\sigma\times 1{,}8\times(306^{4}-293^{4})=138$ W
Si une température qui évolue dans le temps vers celle du milieu → loi de Newton : $T=T_{a}+(T_{0}-T_{a})e^{-kt}$

Exemple : $20+70e^{-1{,}5}=35{,}6$ °C
Si de la glace, de la vapeur, un palier → chaleur latente $Q=mL$ avant tout $mc\Delta T$

Exemple : $0{,}050\times 3{,}33\times 10^{5}=16{,}7$ kJ

Un même problème combine souvent deux branches : la glacière est une conduction qui alimente une fusion, le thermos une conduction par le bouchon plus un rayonnement entre les parois.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une calorimétrie avec de la glace, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : L'énoncé mélange de la glace (ou de la vapeur) avec un liquide et demande une température finale.

1 Calculer l'énergie que le corps chaud peut céder en descendant jusqu'à $0$ °C, et celle qu'il faut pour amener la glace à $0$ °C puis la fondre entièrement.
2 Comparer : si le corps chaud peut fournir plus que nécessaire, toute la glace fond et la température finale est au-dessus de 0 °C ; sinon, l'état final est un mélange à 0 °C.
3 Écrire le bilan complet, chaque terme avec son signe : $m_{e}c_{e}(T_{f}-T_{e})+m_{g}L_{f}+m_{g}c_{e}(T_{f}-0)=0$ .
4 Résoudre, puis vérifier que $T_{f}$ est entre $0$ °C et la température initiale du corps chaud.

Phrase de conclusion

« L'eau peut céder $26{,}2$ kJ en revenant à $0$ °C, la fusion n'en demande que $16{,}7$ : toute la glace fond, et le bilan donne $T_{f}=7{,}6$ °C. »

Le piège : Écrire directement le bilan en supposant que toute la glace fond, sans vérifier : si l'eau est trop peu chaude, on obtient une température négative, signe qu'il reste de la glace.

Barème : En général 1 point pour la comparaison des énergies, 2 pour le bilan complet, 1 pour la résolution, 1 pour la vérification.

Trouver la constante k de la loi de Newton

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux mesures de température à deux instants et la température ambiante.

1 Écrire les deux ÉCARTS à l'ambiante, jamais les températures elles-mêmes.
2 Former leur rapport : $\dfrac{T_{2}-T_{a}}{T_{1}-T_{a}}=e^{-k(t_{2}-t_{1})}$ .
3 Isoler $k=\dfrac{1}{t_{2}-t_{1}}\ln\dfrac{T_{1}-T_{a}}{T_{2}-T_{a}}$ , avec son unité (s⁻¹, min⁻¹ ou h⁻¹).
4 Réutiliser le même rapport pour remonter ou descendre dans le temps.

Phrase de conclusion

« Entre les deux mesures, l'écart passe de $11{,}0$ à $8{,}5$ K en $2$ h, donc $k=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{11{,}0}{8{,}5}=0{,}129$ h⁻¹. »

Le piège : Écrire le rapport des températures 29,0 sur 26,5 au lieu du rapport des écarts : on obtient une constante quatre fois trop petite.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La température finale encadrée

Après une calorimétrie, la température d'équilibre est toujours comprise entre la plus basse et la plus haute des températures initiales, et plus proche de celle du corps de plus grande capacité thermique.

Aluminium à $95$ °C dans l'eau à $18$ °C : $27$ °C, près de l'eau, sept fois plus « capacitive ». Un résultat à $60$ °C trahit une erreur.
Les kelvins sous la puissance 4

Chaque fois qu'un T apparaît à la puissance 4, relire la valeur numérique : elle doit dépasser 200.

$800^{4}$ au lieu de $1073^{4}$ divise la puissance par $3{,}2$ .
Le flux commun à toutes les couches

Après un calcul de mur, recalculer la chute de température de chaque couche avec le flux trouvé : leur somme doit redonner l'écart total.

$0{,}66+27{,}5+1{,}83=30$ K pour le mur de l'exemple.
Le sens physique de la limite

Une température qui évolue doit tendre vers celle du milieu, jamais la dépasser ni tendre vers 0 °C.

Un café « à $15$ °C » dans une pièce à $20$ °C après une heure : modèle faux.

L'exercice type décortiqué

Un mur à trois couches : flux et température d'interface

Un mur de $10$ m² est fait, de l'intérieur vers l'extérieur, de $1{,}5$ cm de plâtre ( $k=0{,}25$ W/(m·K)), de $10$ cm de laine minérale ( $k=0{,}040$ ) et de $2{,}0$ cm de bois ( $k=0{,}12$ ). Il fait $20$ °C dedans et $-10$ °C dehors.

Calculer le flux thermique, puis la température entre la laine et le bois.

Le profil de température est une droite dans chaque couche, de pente d'autant plus forte que la couche résiste : presque toute la chute a lieu dans la laine.

Étape 1

Résistances : $R_{p}=\dfrac{0{,}015}{0{,}25\times 10}=0{,}0060$ ; $R_{l}=\dfrac{0{,}10}{0{,}040\times 10}=0{,}25$ ; $R_{b}=\dfrac{0{,}020}{0{,}12\times 10}=0{,}0167$ K/W.

Pourquoi

On convertit toutes les épaisseurs en mètres avant de diviser : c'est l'erreur du facteur cent qu'on supprime dès la première ligne.

Étape 2

En série : $R_{t}=0{,}0060+0{,}25+0{,}0167=0{,}273$ K/W.

Pourquoi

Les trois couches sont traversées l'une après l'autre par la même chaleur : ce sont les résistances qui s'additionnent, pas les flux.

Étape 3

$\Phi=\dfrac{20-(-10)}{0{,}273}=110$ W.

Pourquoi

L'écart vaut 30 K, le double signe est le deuxième piège de la question.

Étape 4

Chute dans le plâtre : $110\times 0{,}0060=0{,}66$ K ; dans la laine : $110\times 0{,}25=27{,}5$ K. Interface laine-bois : $20-0{,}66-27{,}5=-8{,}2$ °C.

Pourquoi

Chaque couche consomme un écart $\Phi R$ , comme une résistance consomme une tension : on descend couche par couche depuis l'intérieur.

Étape 5

Contrôle : il reste $-8{,}2-(-10)=1{,}8$ K pour le bois, et $110\times 0{,}0167=1{,}8$ K.

Pourquoi

La somme des chutes redonne l'écart total : la vérification coûte une ligne et confirme tout le calcul.

Conclusion rédigée

« Le mur perd $110$ W. La laine porte $92$ % de la résistance : l'interface laine-bois est déjà à $-8{,}2$ °C, à moins de deux degrés de l'extérieur. »

L'erreur classique sur cet exercice : Calculer un flux par couche avec l'écart total de 30 K et les additionner, ce qui donne plusieurs kilowatts pour un mur isolé.

À savoir par cœur

• Température : un état. Chaleur : un transfert, du chaud vers le froid.
• $Q=mc\Delta T$ sans changement d'état ; $Q=mL$ pendant un palier, à température constante.
• Fourier : $\Phi=\dfrac{\Delta T}{R}$ avec $R=\dfrac{e}{kA}$ , épaisseur en mètres ; en série, $R_{t}=\sum R_{i}$ .
• Newton : c'est l'écart $T-T_{a}$ qui décroît en $e^{-kt}$ .
• Stefan-Boltzmann : $P=\varepsilon\sigma AT^{4}$ , $T$ en kelvins ; bilan net $\varepsilon\sigma A(T^{4}-T_{e}^{4})$ .
• Wien : $\lambda_{max}T=2{,}898\times 10^{-3}$ m·K.
• Tuyau : $R=\dfrac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi kL}$ , doubler l'isolant ne divise pas le flux par deux.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre chaleur et température ?

La température décrit l'état d'un corps, l'agitation moyenne de ses particules. La chaleur est une énergie qui passe d'un corps à un autre parce que leurs températures diffèrent. Un corps possède une énergie thermique et une température, mais jamais une quantité de chaleur : la chaleur n'existe que pendant le transfert.

Pourquoi la température reste-t-elle constante pendant que la glace fond ?

Parce que l'énergie reçue sert à rompre les liaisons qui tiennent les molécules dans le cristal, et non à augmenter leur agitation. Tant qu'il reste de la glace, le mélange eau et glace reste à zéro degré Celsius. On calcule cette énergie avec la chaleur latente de fusion, multipliée par la masse qui fond.

Comment calculer le flux de chaleur à travers un mur de plusieurs couches ?

On calcule la résistance thermique de chaque couche, épaisseur divisée par le produit de la conductivité et de l'aire, puis on additionne ces résistances parce que la chaleur traverse les couches l'une après l'autre. Le flux vaut l'écart total de température divisé par la résistance totale, et il est le même dans toutes les couches.

Faut-il mettre les températures en kelvins dans les calculs de transfert thermique ?

Pour un écart de température, dans la loi de Fourier, la loi de Newton ou le calcul de la chaleur sensible, les degrés Celsius et les kelvins donnent le même nombre. Pour le rayonnement, où la température est élevée à la puissance quatre, il faut obligatoirement la température absolue en kelvins.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Chaleur, température et transferts thermiques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Effet de serre, albédo et forçage radiatif

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