Exercices corrigés : effet de serre, albédo et forçage radiatif (203-SN3-RE)

a) La puissance du Soleil se répartit sur une sphère de rayon $d$ : $S=\dfrac{L}{4\pi d^{2}}=\dfrac{3{,}828\times 10^{26}}{4\pi\times(1{,}496\times 10^{11})^{2}}=1361$ W/m².

b) La Terre intercepte le faisceau comme un DISQUE de rayon $R$ : $P=\pi R^{2}S=\pi\times(6{,}371\times 10^{6})^{2}\times 1361=1{,}74\times 10^{17}$ W.

c) Cette puissance se répartit, en moyenne sur un jour et sur tout le globe, sur la SPHÈRE entière : $\dfrac{\pi R^{2}S}{4\pi R^{2}}=\dfrac{S}{4}=340$ W/m².

d) Le rapport entre la surface de la sphère, $4\pi R^{2}$, et celle du disque d'ombre, $\pi R^{2}$. Il combine deux effets : la moitié du globe est dans la nuit, et sur la moitié éclairée les rayons arrivent en moyenne obliquement.

e) $30$ % est réfléchi : $(1-\alpha)\dfrac{S}{4}=0{,}70\times 340=238$ W/m². C'est ce flux que la Terre doit réémettre vers l'espace pour rester à l'équilibre.

a) $\sigma T_{e}^{4}=(1-\alpha)\dfrac{S}{4}$, donc $T_{e}=\left(\dfrac{0{,}70\times 1361}{4\times 5{,}67\times 10^{-8}}\right)^{1/4}=254{,}6$ K, soit environ $-19$ °C.

b) $288-254{,}6=33$ K. Sans ce supplément, la surface serait gelée en moyenne.

c) $T_{e}=\left(\dfrac{S}{4\sigma}\right)^{1/4}(1-\alpha)^{1/4}$, donc $\dfrac{dT_{e}}{d\alpha}=-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{S}{4\sigma}\right)^{1/4}(1-\alpha)^{-3/4}=-\dfrac{T_{e}}{4(1-\alpha)}$. Numériquement : $-\dfrac{254{,}6}{2{,}8}=-90{,}9$ K par unité d'albédo.

d) Au premier ordre : $\Delta T_{e}\approx -90{,}9\times 0{,}01=-0{,}91$ K. Le calcul exact donne $253{,}7$ K, soit $-0{,}91$ K aussi : la linéarisation est excellente pour de si petites variations. Un centième d'albédo, c'est presque un degré.

e) À l'EFFET DE SERRE : l'atmosphère, transparente à l'essentiel du rayonnement solaire, absorbe une grande partie du rayonnement infrarouge émis par la surface et en renvoie une partie vers elle. La surface reçoit donc plus que les $238$ W/m² solaires et doit être plus chaude pour les réémettre.

a) $\lambda_{max}=\dfrac{2{,}898\times 10^{-3}}{5772}=5{,}02\times 10^{-7}$ m $=502$ nm, dans le visible.

b) $\lambda_{max}=\dfrac{2{,}898\times 10^{-3}}{255}=1{,}14\times 10^{-5}$ m $=11{,}4$ µm, dans l'infrarouge thermique.

c) La loi de Wien rend $\lambda_{max}$ inversement proportionnelle à $T$ : le rapport des longueurs d'onde est celui des températures, $\dfrac{5772}{255}=22{,}6$. Les deux spectres, chacun large d'un facteur dix environ autour de son maximum, se recouvrent à peine : on parle de rayonnement « de courte longueur d'onde » et « de grande longueur d'onde ».

d) $E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{1{,}14\times 10^{-5}}=1{,}75\times 10^{-20}$ J $=0{,}109$ eV. Cette énergie correspond aux écarts entre niveaux de VIBRATION des molécules comme CO₂ et H₂O, alors qu'un photon visible, vingt fois plus énergétique, ne les excite pas.

e) L'absorption dépend de la longueur d'onde. Les gaz à effet de serre (H₂O, CO₂, CH₄), transparents dans le visible, absorbent fortement dans l'infrarouge, là où leurs molécules ont des modes de vibration. Comme les deux rayonnements occupent des domaines séparés, l'atmosphère peut être presque transparente à l'un et presque opaque à l'autre.

a) $T_{s}=2^{1/4}T_{e}=1{,}189\times 254{,}6=302{,}8$ K. Une atmosphère opaque surestime l'effet de serre de $15$ K : l'atmosphère réelle laisse filer une partie de l'infrarouge par la « fenêtre » de $8$ à $13$ µm.

b) $\left(\dfrac{288}{254{,}6}\right)^{4}=\dfrac{2}{2-f}$, donc $1{,}637=\dfrac{2}{2-f}$ et $f=2-\dfrac{2}{1{,}637}=0{,}78$. L'atmosphère du modèle absorbe $78$ % du rayonnement de la surface.

c) $T_{a}=\dfrac{288}{1{,}189}=242$ K. La couche est plus froide que la surface : c'est ce qui la rend capable de retenir de l'énergie, elle rayonne vers l'espace moins que ce que la surface lui envoie.

d) $f\sigma T_{a}^{4}=0{,}779\times 5{,}67\times 10^{-8}\times 242{,}2^{4}=152$ W/m².

e) Reçu : $238+152=390$ W/m². Émis : $\sigma\times 288^{4}=390$ W/m². L'égalité est vérifiée, et elle montre la clé du mécanisme : la surface reçoit PLUS que l'énergie solaire, parce que l'atmosphère lui en renvoie une partie.

a) $\Delta F=5{,}35\,\ln\dfrac{420}{280}=5{,}35\ln 1{,}5=2{,}17$ W/m².

b) $\Delta F_{2\times}=5{,}35\ln 2=3{,}71$ W/m². Remarquez qu'il ne dépend pas de la concentration de départ : chaque doublement ajoute le même forçage.

c) $\dfrac{\ln 1{,}5}{\ln 2}=0{,}585$ : avec seulement la moitié du chemin parcouru en concentration ($+140$ ppm sur $+280$), on a déjà $58{,}5$ % du forçage.

d) $\Delta F=0{,}036\left(\sqrt{1900}-\sqrt{722}\right)=0{,}036\times(43{,}59-26{,}87)=0{,}60$ W/m², un peu plus du quart du CO₂ alors que la concentration est deux cents fois plus faible : molécule pour molécule, le méthane est bien plus efficace.

e) Au centre de la bande d'absorption du CO₂ vers $15$ µm, l'atmosphère est déjà SATURÉE : ajouter du gaz n'y change presque plus rien. Le forçage supplémentaire vient des ailes de la bande, où l'absorption progresse de plus en plus lentement. D'où une croissance lente, logarithmique ; le méthane, moins saturé, suit une loi en racine carrée.

a) $\lambda_{P}=\dfrac{d}{dT}\left(\sigma T^{4}\right)=4\sigma T_{e}^{3}=4\times 5{,}67\times 10^{-8}\times 254{,}6^{3}=3{,}74$ W/(m²·K). Chaque kelvin de plus renvoie $3{,}74$ W/m² vers l'espace.

b) Le réchauffement compense le forçage quand $\lambda_{P}\Delta T_{0}=\Delta F$ : $\Delta T_{0}=\dfrac{3{,}71}{3{,}74}=0{,}99$ K. Sans rétroaction, un doublement du CO₂ réchaufferait la planète d'environ un degré.

c) $\Delta T=\dfrac{0{,}99}{1-0{,}60}=2{,}5$ K. Les rétroactions multiplient la réponse de base par $2{,}5$. La principale est la vapeur d'eau : un air plus chaud en contient davantage, et elle est elle-même un gaz à effet de serre.

d) $1-g=\dfrac{0{,}99}{4{,}5}$, donc $g=0{,}78$. Le passage de $2{,}5$ à $4{,}5$ K ne demande qu'un facteur de rétroaction un peu plus grand : c'est pourquoi l'incertitude sur les rétroactions, surtout celle des nuages, domine l'incertitude sur le réchauffement futur.

e) Le dénominateur s'annulerait : une petite perturbation déclencherait un emballement sans limite, jusqu'à ce que $g$ redescende sous $1$. C'est l'« effet de serre galopant » qu'on invoque pour Vénus. Pour la Terre actuelle, $g<1$ : les rétroactions amplifient, mais le système reste stable.

a) Chaque mètre carré qui passe de la glace à l'eau absorbe en plus $(0{,}60-0{,}07)\times 200=106$ W. Sur $4{,}0\times 10^{12}$ m² : $\Delta P=4{,}0\times 10^{12}\times 106=4{,}2\times 10^{14}$ W. Attention aux kilomètres carrés : $1$ km² $=10^{6}$ m².

b) $\dfrac{4{,}24\times 10^{14}}{5{,}10\times 10^{14}}=0{,}83$ W/m².

c) La saison ne dure qu'un tiers de l'année : $\dfrac{0{,}83}{3}=0{,}28$ W/m².

d) $\dfrac{0{,}28}{2{,}17}=0{,}13$ : environ $13$ % du forçage du CO₂, pour une surface qui ne couvre même pas $1$ % du globe. L'estimation est grossière (nuages, angle du soleil, glace de printemps), mais l'ordre de grandeur est juste.

e) Parce que l'effet renforce sa propre cause : le réchauffement fait fondre la glace, la surface devient plus sombre, elle absorbe plus d'énergie, ce qui réchauffe encore et fait fondre davantage. Une rétroaction négative, au contraire, s'opposerait à la perturbation, comme la réponse de Planck.

a) Deux phénomènes distincts. Le trou d'ozone laisse passer davantage d'ULTRAVIOLET jusqu'au sol, un problème sanitaire causé par les CFC. L'effet de serre concerne l'INFRAROUGE émis par la surface. Les CFC sont par ailleurs de puissants gaz à effet de serre, ce qui entretient la confusion, mais le trou lui-même n'est pas la cause du réchauffement.

b) Sans effet de serre, la température moyenne de la surface serait d'environ $255$ K, soit $-18$ °C, au lieu de $15$ °C. Le phénomène naturel rend la Terre habitable ; c'est son RENFORCEMENT par les émissions humaines, de l'ordre de $2$ W/m² de forçage, qui pose problème.

c) Le CO₂ est presque transparent au rayonnement solaire, qui est surtout visible. Il absorbe l'INFRAROUGE émis par la surface et l'atmosphère, en particulier vers $15$ µm, puis le réémet dans toutes les directions, dont vers le sol.

d) La vapeur d'eau est le PRINCIPAL gaz à effet de serre, par sa contribution totale. Mais sa concentration est fixée par la température, pas par nos émissions directes : elle agit comme une RÉTROACTION qui amplifie le réchauffement dû au CO₂. Les nuages, eux, ont un double effet, ils réfléchissent le soleil et retiennent l'infrarouge.

e) Une serre de jardin chauffe surtout parce que sa vitre BLOQUE LA CONVECTION : l'air chauffé au contact du sol ne peut pas s'élever et être remplacé. L'expérience de Wood (1909), avec une vitre transparente à l'infrarouge, l'a montré. L'atmosphère n'a pas de couvercle : elle agit par absorption et réémission du rayonnement infrarouge. Le nom est une analogie, pas une identité.

a) $0{,}70$ kg d'octane, soit $n=\dfrac{700}{114{,}23}=6{,}13$ mol. D'après l'équation, $1$ mol d'octane donne $8$ mol de CO₂ : $49{,}0$ mol, soit $49{,}0\times 44{,}01=2{,}16\times 10^{3}$ g $=2{,}16$ kg.

b) $15\,000$ km à $7{,}5$ L/100 km : $1125$ L, donc $1125\times 2{,}16=2{,}43\times 10^{3}$ kg $=2{,}4$ t de CO₂ par an.

c) $40\times 0{,}45=18$ Gt restent dans l'air, soit $\dfrac{18}{7{,}8}=2{,}3$ ppm/an, l'ordre de grandeur des mesures actuelles.

d) $\dfrac{560-420}{2{,}31}=61$ ans. En pratique les émissions ne sont pas constantes, mais le calcul dit ce qu'implique un statu quo.

e) Le carbone de l'essence se combine à l'oxygène de l'AIR : chaque atome de carbone ($12$ g/mol) sort dans une molécule de CO₂ de $44$ g/mol. La masse de dioxygène consommée s'ajoute, la conservation de la masse est respectée.

a) Le flux décroît en $\dfrac{1}{d^{2}}$ : $S_{V}=\dfrac{1361}{0{,}723^{2}}=2604$ W/m².

b) $T_{e}=\left(\dfrac{0{,}23\times 2604}{4\sigma}\right)^{1/4}=227$ K. La surface est à $737$ K : l'effet de serre vénusien vaut plus de $500$ K.

c) $S_{M}=\dfrac{1361}{1{,}524^{2}}=586$ W/m² et $T_{e}=\left(\dfrac{0{,}75\times 586}{4\sigma}\right)^{1/4}=210$ K, exactement la température observée : l'atmosphère martienne, très ténue, n'a pratiquement pas d'effet de serre.

d) $(n+1)=\left(\dfrac{737}{226{,}7}\right)^{4}=112$, donc $n\approx 111$ couches. L'atmosphère de Vénus, $93$ fois plus massive que celle de la Terre et presque entièrement faite de CO₂, est opaque à l'infrarouge sur une énorme épaisseur : le chiffre dit l'ordre de grandeur, pas un nombre de couches réel.

e) Son albédo de $0{,}77$ : ses nuages d'acide sulfurique renvoient plus des trois quarts du rayonnement. Vénus n'absorbe que $0{,}23\times\dfrac{2604}{4}=150$ W/m², moins que les $238$ W/m² de la Terre. Sa surface brûlante ne vient pas du flux reçu mais de l'effet de serre.

a) $T_{e}=\left(\dfrac{0{,}40\times 1361}{4\times 5{,}67\times 10^{-8}}\right)^{1/4}=221$ K.

b) $\left(\dfrac{2}{1{,}22}\right)^{1/4}=1{,}1315$, donc $T_{s}=221{,}3\times 1{,}1315=250$ K, soit $-23$ °C.

c) Non : à $250$ K la glace ne fond pas, l'albédo reste à $0{,}60$ et la planète reste froide. L'état englacé est STABLE. Dans la réalité, c'est l'accumulation lente de CO₂ volcanique, qui n'est plus absorbé par l'altération des roches sous la glace, qui a fini par augmenter $f$ et libérer la planète.

d) Il faut $T_{e}=\dfrac{273}{1{,}1315}=241{,}3$ K, donc $1-\alpha=\dfrac{4\sigma T_{e}^{4}}{S}=0{,}565$ et $\alpha=0{,}44$. Il faudrait que l'albédo tombe de $0{,}60$ à $0{,}44$, ce qu'une surface gelée ne peut pas faire seule.

e) Pour le MÊME ensoleillement, le système a deux états d'équilibre, l'un chaud et sombre, l'autre froid et clair : c'est une hystérésis. L'état dans lequel on se trouve dépend de l'histoire, et passer de l'un à l'autre demande une perturbation forte. La rétroaction glace-albédo est ce qui crée ces deux états.

a) $C=1025\times 3990\times 70=2{,}86\times 10^{8}$ J/(m²·K). Il faut près de trois cents mégajoules pour réchauffer d'un kelvin la colonne d'eau sous chaque mètre carré.

b) $\tau=\dfrac{2{,}863\times 10^{8}}{1{,}2}=2{,}39\times 10^{8}$ s, soit $\dfrac{2{,}39\times 10^{8}}{3{,}156\times 10^{7}}=7{,}6$ ans. On vérifie la solution : $T(0)=0$, et $C\dfrac{dT}{dt}=\dfrac{C\Delta F}{\lambda\tau}e^{-t/\tau}=\Delta F-\lambda T$.

c) Quand $\dfrac{dT}{dt}=0$ : $T_{eq}=\dfrac{\Delta F}{\lambda}=\dfrac{3{,}7}{1{,}2}=3{,}1$ K.

d) $T(10)=3{,}08\times\left(1-e^{-10/7{,}56}\right)=3{,}08\times 0{,}734=2{,}26$ K.

e) $1-e^{-t/\tau}=\dfrac{1}{2}$, donc $t=\tau\ln 2=7{,}56\times 0{,}693=5{,}2$ ans. Le climat « court après » le forçage : une partie du réchauffement dû aux émissions passées n'est pas encore visible. Avec l'océan profond, bien plus lent, une partie arrive sur des siècles.

a) $T=\left(\dfrac{240}{5{,}67\times 10^{-8}}\right)^{1/4}=255{,}1$ K.

b) La température baisse de $288-255{,}1=32{,}9$ K entre la surface et l'altitude d'émission : $z=\dfrac{32{,}9}{6{,}5}=5{,}07$ km. C'est vers $5$ km, et non depuis le sol, que la Terre se refroidit vers l'espace.

c) Monter de $150$ m fait perdre $6{,}5\times 0{,}150=0{,}98$ K : $T=254{,}1$ K.

d) $\Delta F=\sigma\left(255{,}07^{4}-254{,}09^{4}\right)=3{,}65$ W/m², du même ordre que le forçage d'un doublement du CO₂. L'approximation linéaire $4\sigma T^{3}\Delta T$ donne $3{,}67$ W/m².

e) La Terre reçoit toujours $240$ W/m² mais n'en émet plus que $236$ : elle accumule de l'énergie et se réchauffe. Le profil entier se décale vers les températures plus chaudes jusqu'à ce que la NOUVELLE altitude d'émission retrouve $255$ K ; la surface, $5{,}2$ km plus bas, a alors gagné environ un kelvin, avant rétroactions.

a) $\Delta\alpha=\dfrac{3{,}71}{340}=0{,}0109$, environ un centième.

b) $\dfrac{0{,}0109}{0{,}30}=3{,}6$ %. Il suffirait de renvoyer un peu plus d'un pour cent de la lumière solaire incidente, ce qui explique l'intérêt, et les risques, des projets d'injection d'aérosols dans la stratosphère.

c) $T_{eq}=\dfrac{-3{,}0}{1{,}2}=-2{,}5$ K.

d) $T(1)=-2{,}5\times\left(1-e^{-1/7{,}6}\right)=-2{,}5\times 0{,}123=-0{,}31$ K. On a mesuré un refroidissement global de l'ordre de $0{,}3$ à $0{,}5$ K : l'inertie de l'océan empêche un forçage bref de produire son plein effet, ce qui explique aussi pourquoi le refroidissement a disparu en deux ou trois ans.

e) Les aérosols retombent en un ou deux ans : il faudrait les réinjecter sans interruption pendant des siècles, sous peine d'un réchauffement brutal si l'on arrête. Surtout, ils ne retirent pas le CO₂ : l'acidification des océans continue, et l'effet de serre et l'écran d'aérosols ne se compensent qu'en moyenne, pas région par région ni saison par saison.

a) Reçu : $161+333=494$. Perdu : $396+17+80=493$. Flux net : $+1$ W/m². Le bilan n'est pas nul : la surface, surtout l'océan, se réchauffe lentement.

b) $T=\left(\dfrac{396}{5{,}67\times 10^{-8}}\right)^{1/4}=289$ K, soit $16$ °C, cohérent avec la température moyenne observée.

c) Masse évaporée par mètre carré en un an : $\dfrac{80\times 3{,}156\times 10^{7}}{2{,}45\times 10^{6}}=1{,}03\times 10^{3}$ kg, soit $1{,}03$ m³ d'eau. Il tombe donc en moyenne $1{,}03$ m de précipitations par an : le flux latent pilote le cycle de l'eau.

d) $E=0{,}9\times 3{,}156\times 10^{7}\times 5{,}10\times 10^{14}=1{,}4\times 10^{22}$ J par an, dont plus de $90$ % finit dans l'océan.

e) Le rayonnement infrarouge renvoyé par l'atmosphère, $333$ W/m², plus du double du solaire absorbé. C'est la mesure directe de l'effet de serre : la surface est chauffée davantage par l'atmosphère que par le Soleil directement.