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Ondes et physique moderne 203-SN3-RE • Exercices corrigés de cégep à Montréal

Fiche de révision : physique quantique, photon, spectres de raies et dualité (203-SN3-RE)

La physique quantique du cégep ne demande pas d'intuition nouvelle : elle demande de savoir quelle relation s'applique à quel objet, et dans quelle unité. Les points se perdent sur une puissance de dix, un carré oublié, un inverse non pris, rarement sur l'idée.

Cette fiche rassemble les pièges des évaluations du cours 203-SN3-RE sur le photon, le modèle de Bohr, les spectres de raies et la dualité onde-particule, l'arbre qui choisit la relation, une rédaction type et un exemple de diffraction d'électrons résolu pas à pas.

Le fil du chapitre

À l'échelle de l'atome, l'énergie ne s'échange que par paquets, et c'est une condition d'onde qui fixe ces paquets : un électron lié est une onde stationnaire, seules certaines longueurs d'onde tiennent, donc seules certaines énergies existent. Les pièges portent sur les unités et les puissances, jamais sur l'idée.

Ce chapitre fait partie de Ondes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (12 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5, Mathématiques
  2. 2Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5, Mathématiques
  3. 3Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
  4. 4La réfraction de la lumièreSecondaire 5 SN5
  5. 5Les lentilles convergentesSecondaire 5 SN5
  6. 6Transformation de l'énergieSecondaire 5 SN5
  7. 7Dynamique : lois de Newton et frottementMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
  8. 8Travail, énergie et puissanceMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
  9. 9Optique géométrique et instruments
  10. 10MHS et ondes mécaniques
  11. 11Le son et les ondes stationnaires
  12. 12L'optique ondulatoire

L'essentiel

Le photon et les niveaux d'énergie

  • • Photon : E=hf=hcλE=hf=\dfrac{hc}{\lambda} et p=hλp=\dfrac{h}{\lambda}. Raccourci : E(eV)=1240λ(nm)E(\mathrm{eV})=\dfrac{1240}{\lambda(\mathrm{nm})} ; 11 eV =1,60×10−19=1{,}60\times 10^{-19} J.
  • • Hydrogène (Bohr) : En=−13,6n2E_{n}=-\dfrac{13{,}6}{n^{2}} eV, rn=n2a0r_{n}=n^{2}a_{0} avec a0=0,0529a_{0}=0{,}0529 nm. Ion à un électron de charge ZZ : En=−13,6 Z2n2E_{n}=-\dfrac{13{,}6\,Z^{2}}{n^{2}}.
  • • Une transition émet ou absorbe un photon d'énergie EXACTEMENT égale à l'écart : hf=∣Ehaut−Ebas∣h f=|E_{haut}-E_{bas}|. Au-delà de l'énergie d'ionisation, toute énergie convient.
  • • Formule de Rydberg : 1λ=RH(1n12−1n22)\dfrac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\dfrac{1}{n_{1}^{2}}-\dfrac{1}{n_{2}^{2}}\right), RH=1,097×107R_{H}=1{,}097\times 10^{7} m⁻¹. Lyman n1=1n_{1}=1, Balmer n1=2n_{1}=2, Paschen n1=3n_{1}=3.
n = 1 : −13,6 eVn = 2 : −3,40n = 3 : −1,51n = ∞ : 010,2 eV émis656 nm12,75 eV absorbé
Une descente émet, une montée absorbe, et chaque flèche a la longueur exacte d'un écart entre deux niveaux : 10,2 eV pour 2 vers 1, 1,89 eV pour 3 vers 2.

Les énergies sont négatives parce que le zéro est l'électron libre, au repos à l'infini : un électron lié doit recevoir de l'énergie pour s'échapper.

Dualité et quantification par les ondes

  • • Toute particule a une longueur d'onde de de Broglie λ=hp\lambda=\dfrac{h}{p} ; électron accéléré sous VV : λ=h2meeV\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2m_{e}eV}}.
  • • Électron dans une boîte de largeur LL : onde stationnaire, L=nλ2L=n\dfrac{\lambda}{2}, d'où En=n2h28mL2E_{n}=\dfrac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}} avec n≥1n\ge 1.
  • • Rayons X : coupure λmin=hceV\lambda_{min}=\dfrac{hc}{eV} ; loi de Moseley EKα≈10,2 (Z−1)2E_{K\alpha}\approx 10{,}2\,(Z-1)^{2} eV.
  • • L'intensité d'une lumière fixe le NOMBRE de photons ; leur énergie ne dépend que de la fréquence.

Quantifier, c'est imposer à une onde de tenir dans un espace fermé : seules certaines longueurs d'onde conviennent, donc seules certaines énergies existent.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Laisser la longueur d'onde en nanomètres dans hc sur lambda

toute la question, et un photon un milliard de fois trop faible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« E=6,63×10−34×3,00×108550=3,6×10−28E=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{550}=3{,}6\times 10^{-28} J. »

Ce qu'il faut écrire

« λ=550×10−9\lambda=550\times 10^{-9} m : E=3,62×10−19E=3{,}62\times 10^{-19} J, soit 2,252{,}25 eV. »

Pourquoi : Avec hh en J·s et cc en m/s, λ\lambda doit être en mètres. Le raccourci 1240λ(nm)\dfrac{1240}{\lambda(\mathrm{nm})} en eV évite la conversion, mais seulement si l'on garde les deux unités qu'il suppose.

2. Croire qu'une lumière plus intense donne des photons plus énergétiques

2 à 3 points sur la question de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En doublant l'intensité de la lampe, on double l'énergie cinétique des électrons arrachés. »

Ce qu'il faut écrire

« Doubler l'intensité double le nombre de photons, donc le nombre d'électrons et le courant ; l'énergie cinétique maximale ne dépend que de la fréquence. »

Pourquoi : Un photon agit seul : son énergie ne s'additionne pas à celle d'un voisin. C'est précisément l'observation que la théorie ondulatoire ne pouvait pas expliquer et que le photon explique.

3. Oublier d'inverser la formule de Rydberg

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« λ=RH(14−19)=1,52×106\lambda=R_{H}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}\right)=1{,}52\times 10^{6} m. »

Ce qu'il faut écrire

« La formule donne 1λ=1,52×106\dfrac{1}{\lambda}=1{,}52\times 10^{6} m⁻¹, donc λ=6,56×10−7\lambda=6{,}56\times 10^{-7} m =656=656 nm. »

400500600λ (nm)HαHβlimite 365
Les raies de Balmer se resserrent vers la limite de 365 nm : aucune n'est plus courte, et H alpha à 656 nm est la plus longue de la série.

Pourquoi : L'unité de R, des mètres à la puissance moins un, annonce l'inverse d'une longueur. Une longueur d'onde lumineuse de mille kilomètres doit faire relire la ligne.

4. Faire croître le rayon de Bohr comme n

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Orbite n=3n=3 : r3=3a0=0,159r_{3}=3a_{0}=0{,}159 nm. »

Ce qu'il faut écrire

« rn=n2a0r_{n}=n^{2}a_{0} : r3=9×0,0529=0,476r_{3}=9\times 0{,}0529=0{,}476 nm. »

faux : r ∝ njuste : r ∝ n²1, 2, 31, 4, 9
À gauche, des rayons en 1, 2, 3 : faux. À droite, des rayons en 1, 4, 9 : la troisième orbite est neuf fois plus grande que la première.

Pourquoi : La condition mevr=nℏm_{e}vr=n\hbar combinée à la force électrique donne un rayon en n2n^{2} et une vitesse en 1n\dfrac{1}{n}. Les orbites s'écartent de plus en plus vite, alors que les niveaux d'énergie se resserrent.

5. Mettre Z au lieu de Z au carré pour un ion à un électron

2 points, et toutes les raies de l'ion fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« He⁺ : Eion=13,6×2=27,2E_{ion}=13{,}6\times 2=27{,}2 eV. »

Ce qu'il faut écrire

« Eion=13,6 Z2=13,6×4=54,4E_{ion}=13{,}6\,Z^{2}=13{,}6\times 4=54{,}4 eV. »

Pourquoi : Le noyau deux fois plus chargé attire deux fois plus fort ET l'électron est deux fois plus près : les deux effets se multiplient.

6. Doubler la tension pour diviser la longueur d'onde par deux

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour passer de 0,167 à 0,084 nm, on accélère les électrons sous 108 V au lieu de 54 V. »

Ce qu'il faut écrire

« λ∝1V\lambda\propto\dfrac{1}{\sqrt{V}} : il faut 4×54=2164\times 54=216 V. »

Pourquoi : La quantité de mouvement varie comme la racine de l'énergie cinétique, donc comme la racine de la tension. Diviser la longueur d'onde par deux demande une énergie quatre fois plus grande.

7. Oublier l'écrantage dans la loi de Moseley

2 points, et un élément mal identifié

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cuivre, Z=29Z=29 : EKα=10,2×292=8,58E_{K\alpha}=10{,}2\times 29^{2}=8{,}58 keV. »

Ce qu'il faut écrire

« EKα=10,2 (Z−1)2=10,2×282=8,00E_{K\alpha}=10{,}2\,(Z-1)^{2}=10{,}2\times 28^{2}=8{,}00 keV, soit 0,1550{,}155 nm. »

Pourquoi : L'électron qui tombe en couche K voit le noyau à travers l'électron qui y reste : la charge effective vaut Z moins 1. Oublier ce 1 décale l'identification d'un élément.

Quelle méthode choisir

Quelle relation selon ce que l'énoncé met en jeu

L'objet décrit par l'énoncé

  • Si une longueur d'onde ou une fréquence de lumière, une énergie de photon → E=hcλE=\dfrac{hc}{\lambda}, ou 1240λ(nm)\dfrac{1240}{\lambda(\mathrm{nm})} en eV

    Exemple : 1240656=1,89\dfrac{1240}{656}=1{,}89 eV

  • Si des raies de l'hydrogène, des niveaux n → En=−13,6n2E_{n}=-\dfrac{13{,}6}{n^{2}} eV ou Rydberg

    Exemple : 3→23\to 2 : 13,6(14−19)=1,8913{,}6\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}\right)=1{,}89 eV

  • Si un ion à un seul électron (He⁺, Li²⁺) → même modèle avec Z2Z^{2} dans les énergies, 1Z\dfrac{1}{Z} dans les rayons

    Exemple : Li²⁺ : 13,6×9=122,413{,}6\times 9=122{,}4 eV

  • Si un électron ou un neutron qui diffracte → λ=hp=h2mE\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{\sqrt{2mE}}

    Exemple : 5454 V : 0,1670{,}167 nm

  • Si une particule confinée entre deux parois → onde stationnaire : En=n2h28mL2E_{n}=\dfrac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}

    Exemple : L=1L=1 nm : E1=0,377E_{1}=0{,}377 eV

  • Si un tube à rayons X → λmin=hceV\lambda_{min}=\dfrac{hc}{eV} et Moseley 10,2(Z−1)210{,}2(Z-1)^{2} eV

    Exemple : 3030 kV : 0,04130{,}0413 nm

Avant tout calcul, choisir l'unité d'énergie de tout l'exercice : les électronvolts pour les atomes et les photons, les joules dès qu'une masse ou une quantité de mouvement apparaît.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Exploiter une transition, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un photon absorbé ou émis par un atome d'hydrogène et demande le niveau atteint ou la raie produite.

  1. 1 Convertir la longueur d'onde en énergie, en eV : E=1240λ(nm)E=\dfrac{1240}{\lambda(\mathrm{nm})}.
  2. 2 Écrire le bilan : En=Edeˊpart+EphotonE_{n}=E_{départ}+E_{photon} pour une absorption, Ephoton=Ehaut−EbasE_{photon}=E_{haut}-E_{bas} pour une émission.
  3. 3 Résoudre −13,6n2=En-\dfrac{13{,}6}{n^{2}}=E_{n} et vérifier que nn est entier ; sinon, le photon n'est pas absorbé.
  4. 4 Conclure par une phrase qui nomme la transition et le domaine du rayonnement.

Phrase de conclusion

« Le photon de 97,397{,}3 nm porte 12,7412{,}74 eV ; −13,6+12,74=−0,86-13{,}6+12{,}74=-0{,}86 eV correspond à n=4n=4 : l'électron passe du niveau 1 au niveau 4. »

Le piège : Arrondir un n non entier au plus proche : un photon de 11,0 eV donnerait n environ 2,3 et n'est tout simplement pas absorbé.

Barème : En général 1 point pour la conversion, 1 pour le bilan, 1 pour le n entier, 1 pour la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Un faisceau d'électrons diffracté par un cristal

Des électrons partent du repos et sont accélérés sous 150150 V, puis frappent un cristal dont les rangées d'atomes sont espacées de d=0,215d=0{,}215 nm. h=6,63×10−34h=6{,}63\times 10^{-34} J·s, me=9,11×10−31m_{e}=9{,}11\times 10^{-31} kg, e=1,60×10−19e=1{,}60\times 10^{-19} C.

Calculer la longueur d'onde des électrons et l'angle du premier maximum, donné par dsin⁡θ=λd\sin\theta=\lambda.

Étape 1

Énergie cinétique : E=eV=1,60×10−19×150=2,40×10−17E=eV=1{,}60\times 10^{-19}\times 150=2{,}40\times 10^{-17} J.

Pourquoi

On passe en joules parce que la suite fait intervenir une masse : les électronvolts ne se mélangent pas avec les kilogrammes.

Étape 2

Quantité de mouvement : p=2meE=2×9,11×10−31×2,40×10−17=6,61×10−24p=\sqrt{2m_{e}E}=\sqrt{2\times 9{,}11\times 10^{-31}\times 2{,}40\times 10^{-17}}=6{,}61\times 10^{-24} kg·m/s.

Pourquoi

On passe par pp plutôt que par vv : c'est pp qui entre dans la relation de de Broglie.

Étape 3

λ=hp=6,63×10−346,61×10−24=1,00×10−10\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}}{6{,}61\times 10^{-24}}=1{,}00\times 10^{-10} m =0,100=0{,}100 nm.

Pourquoi

Le résultat est de l'ordre des distances interatomiques : c'est ce qui rend la diffraction observable.

Étape 4

sin⁡θ=0,1000,215=0,466\sin\theta=\dfrac{0{,}100}{0{,}215}=0{,}466, donc θ=27,8°\theta=27{,}8°.

Pourquoi

Le cristal se comporte comme un réseau : la même relation qu'en optique, avec la longueur d'onde de la matière.

Étape 5

Contrôle : v=pme=7,26×106v=\dfrac{p}{m_{e}}=7{,}26\times 10^{6} m/s, 2,42{,}4 % de cc.

Pourquoi

Sous 5 à 10 % de la vitesse de la lumière, le calcul non relativiste est justifié ; un correcteur apprécie qu'on le vérifie.

Conclusion rédigée

« Les électrons de 150150 eV ont une longueur d'onde de 0,1000{,}100 nm et donnent un premier maximum à 27,8°27{,}8° : la matière diffracte comme la lumière. »

L'erreur classique sur cet exercice : Mettre la tension de 150 V directement à la place de l'énergie dans la racine, sans la multiplier par la charge de l'électron.

À savoir par cœur

  • • E=hcλE=\dfrac{hc}{\lambda}, p=hλp=\dfrac{h}{\lambda} ; E(eV)=1240λ(nm)E(\mathrm{eV})=\dfrac{1240}{\lambda(\mathrm{nm})}.
  • • Hydrogène : En=−13,6n2E_{n}=-\dfrac{13{,}6}{n^{2}} eV, rn=n2a0r_{n}=n^{2}a_{0} ; ion : Z2Z^{2} dans l'énergie.
  • • Rydberg donne 1λ\dfrac{1}{\lambda} : inverser à la fin.
  • • Une transition n'absorbe que l'écart exact ; au-delà de 13,613{,}6 eV, ionisation.
  • • De Broglie : λ=h2meV\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2meV}}, λ∝1V\lambda\propto\dfrac{1}{\sqrt{V}}.
  • • Boîte : En=n2h28mL2E_{n}=\dfrac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}, jamais n=0n=0.
  • • Rayons X : λmin=hceV\lambda_{min}=\dfrac{hc}{eV} ; Moseley 10,2(Z−1)210{,}2(Z-1)^{2} eV.
  • • Intensité : nombre de photons. Fréquence : énergie de chacun.

Questions fréquentes

Pourquoi les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène sont-ils négatifs ?

Parce que l'on fixe le zéro d'énergie pour un électron libre, immobile et infiniment loin du noyau. Un électron lié à l'atome a moins d'énergie que cet électron libre : il faut lui fournir de l'énergie pour l'arracher. L'énergie de l'état fondamental, moins 13,6 électronvolts, signifie qu'il faut 13,6 électronvolts pour ioniser l'atome.

Comment savoir si un photon est absorbé par un atome d'hydrogène ?

On ajoute l'énergie du photon à celle du niveau de départ et on cherche si le résultat correspond exactement à un niveau permis, c'est-à-dire si le nombre quantique obtenu est un entier. Si ce n'est pas le cas, le photon traverse le gaz sans être absorbé, sauf s'il dépasse l'énergie d'ionisation, auquel cas il peut arracher l'électron.

Qu'est-ce que la longueur d'onde de de Broglie ?

C'est la longueur d'onde associée à toute particule en mouvement, égale à la constante de Planck divisée par sa quantité de mouvement. Elle est mesurable pour des électrons, qui diffractent sur les cristaux comme des rayons X, mais elle est infime pour un objet macroscopique, ce qui explique qu'on n'observe jamais une balle diffracter.

Pourquoi la formule de Rydberg donne-t-elle un inverse de longueur d'onde ?

Parce qu'elle est proportionnelle à l'écart d'énergie entre deux niveaux, et que l'énergie d'un photon est inversement proportionnelle à sa longueur d'onde. La constante de Rydberg s'exprime donc en mètres à la puissance moins un, et il faut prendre l'inverse du résultat pour obtenir la longueur d'onde elle-même.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Physique quantique : photon, spectres de raies et dualité

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
  • 150 points
  • 225 minutes
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