Exercices corrigés : mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoire (203-SN2-RE)

a) Le calibre $20{,}00$ V affiche deux décimales : le dernier chiffre est le centième de volt, donc UN DIGIT VAUT $0{,}01$ V. Le mot « digit » ne désigne jamais un chiffre significatif, il désigne une unité du dernier rang affiché, et il change avec le calibre. C'est la première chose à repérer dans une notice.

b) La notice donne deux termes à ADDITIONNER. Terme proportionnel : $0{,}5\,\%\times 12{,}47=0{,}0624$ V. Terme de digits : $2\times 0{,}01=0{,}02$ V. Total : $\Delta U=0{,}0624+0{,}02=0{,}0824$ V, que l'on arrondit à UN chiffre significatif, $0{,}08$ V. La valeur s'aligne sur la même décimale : $U=(12{,}47\pm 0{,}08)$ V. Écrire $(12{,}4700\pm 0{,}0824)$ V serait faux par excès de précision : les quatre chiffres de l'afficheur ne sont pas quatre chiffres justes.

c) $\dfrac{\Delta U}{U}=\dfrac{0{,}0824}{12{,}47}=0{,}0066$, soit $0{,}66\,\%$. Un multimètre courant se situe entre un demi et deux pour cent : c'est l'ordre de grandeur à avoir en tête pour savoir si une mesure vaut la peine d'être affinée.

d) Sur le calibre $200{,}0$ V, un digit vaut $0{,}1$ V. Terme proportionnel : $0{,}5\,\%\times 12{,}5=0{,}0625$ V, quasi inchangé. Terme de digits : $2\times 0{,}1=0{,}2$ V, soit DIX FOIS plus. Total $0{,}2625$ V, arrondi à $0{,}3$ V, donc $U=(12{,}5\pm 0{,}3)$ V et une incertitude relative de $2{,}1\,\%$. La même tension, le même appareil, et une mesure trois fois moins bonne.

e) La règle : ON DESCEND TOUJOURS AU PLUS PETIT CALIBRE QUI N'AFFICHE PAS LA SATURATION. Le terme de digits est fixé par le calibre, pas par la tension mesurée ; mesurer $12$ V sur un calibre $200$ V, c'est payer l'incertitude d'une mesure de $200$ V. C'est l'erreur la plus fréquente du premier laboratoire, et elle ne laisse aucune trace visible dans le cahier : l'afficheur a l'air tout aussi net.

a) On convertit d'abord le courant en ampères, $I=28{,}4$ mA $=0{,}0284$ A, sinon la résistance sort en kilo-ohms sans qu'on s'en aperçoive. $R=\dfrac{6{,}42}{0{,}0284}=226{,}06$ Ω. On garde provisoirement toutes les décimales : l'arrondi se décide à la fin, quand l'incertitude est connue.

b) Chaque facteur apporte son incertitude relative. Pour la tension : $\dfrac{0{,}05}{6{,}42}=0{,}00779$, soit $0{,}78\,\%$. Pour le courant : $\dfrac{0{,}3}{28{,}4}=0{,}01056$, soit $1{,}06\,\%$. Les deux s'additionnent, que la grandeur soit au numérateur ou au dénominateur : $\dfrac{\Delta R}{R}=0{,}00779+0{,}01056=0{,}01835$, soit $1{,}84\,\%$. Le fait que $I$ soit au dénominateur ne change RIEN au signe : une incertitude ne se soustrait jamais.

c) $\Delta R=226{,}06\times 0{,}01835=4{,}15$ Ω, arrondi à $4$ Ω. La valeur s'aligne sur l'unité : $R=(226\pm 4)$ Ω. Les décimales de $226{,}06$ disparaissent, parce qu'une incertitude de $4$ Ω rend le chiffre des dixièmes dépourvu de sens.

d) Le courant, sans hésitation : il apporte $1{,}06\,\%$ contre $0{,}78\,\%$ pour la tension, donc $58\,\%$ du total. C'est le raisonnement qu'on fait AVANT de retourner au laboratoire : descendre l'ampèremètre d'un calibre, ou augmenter le courant, divisera l'incertitude presque par deux, alors qu'un voltmètre plus fin ne gagnerait presque rien.

e) L'étudiant traite les incertitudes comme si elles étaient elles-mêmes une tension et un courant, et leur applique la loi d'Ohm. Une incertitude n'est pas une grandeur physique du circuit : c'est la largeur d'un intervalle. Elle se propage par une règle sur les incertitudes RELATIVES, jamais en la substituant dans la formule. Le résultat obtenu, $167$ Ω, est d'ailleurs du même ordre que la résistance elle-même, ce qui aurait dû alerter : une incertitude de $74\,\%$ sur une mesure faite au multimètre est physiquement absurde.

a) $R_{s}=100+220=320$ Ω. C'est une SOMME, donc les incertitudes absolues s'additionnent : $\Delta R_{s}=5+11=16$ Ω. Résultat : $R_{s}=(320\pm 16)\ \Omega$, que l'on peut écrire $(3{,}20\pm 0{,}16)\times 10^{2}\ \Omega$ si l'on tient à ne garder que les chiffres utiles.

b) $\dfrac{16}{320}=0{,}050$, soit $5{,}0\,\%$. Les deux résistances ayant la même tolérance relative de $5\,\%$, la somme la conserve : c'est une propriété générale des sommes de grandeurs de MÊME signe.

c) $R_{p}=\dfrac{100\times 220}{100+220}=\dfrac{22000}{320}=68{,}75$ Ω. Contrôle d'ordre de grandeur, à faire systématiquement : une résistance équivalente en parallèle est toujours INFÉRIEURE à la plus petite des deux, donc à $100$ Ω, et elle vaut ici un peu plus des deux tiers de $100$ Ω. C'est cohérent.

d) Les deux dérivées partielles : $\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right)^{2}=\left(\dfrac{220}{320}\right)^{2}=0{,}4727$ et $\left(\dfrac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\right)^{2}=\left(\dfrac{100}{320}\right)^{2}=0{,}0977$. D'où $\Delta R_{p}=0{,}4727\times 5+0{,}0977\times 11=2{,}363+1{,}074=3{,}44$ Ω, et $\dfrac{\Delta R_{p}}{R_{p}}=\dfrac{3{,}44}{68{,}75}=0{,}050$, soit encore $5{,}0\,\%$. On écrit $R_{p}=(69\pm 3)\ \Omega$.

e) Avec $\Delta R_{1}=tR_{1}$ et $\Delta R_{2}=tR_{2}$, on obtient $\Delta R_{p}=\dfrac{R_{2}^{2}}{(R_{1}+R_{2})^{2}}\,tR_{1}+\dfrac{R_{1}^{2}}{(R_{1}+R_{2})^{2}}\,tR_{2}=\dfrac{t\,R_{1}R_{2}(R_{2}+R_{1})}{(R_{1}+R_{2})^{2}}=t\,\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}=t\,R_{p}$. Autrement dit : quand tous les composants d'un montage portent la MÊME tolérance relative, toute association série ou parallèle la conserve. C'est ce qui rend la tolérance de $5\,\%$ utilisable directement sur un réseau entier, sans recalcul. Le piège symétrique : un étudiant qui additionnerait les relatives pour le parallèle trouverait $10\,\%$, soit le double de la vérité.

a) $P=\dfrac{12{,}0^{2}}{47}=\dfrac{144}{47}=3{,}064$ W.

b) La puissance croît avec $U$ et DÉCROÎT avec $R$, qui est au dénominateur. Pour maximiser $P$, on prend donc $U$ maximal ET $R$ MINIMAL : $U_{max}=12{,}2$ V avec $R_{min}=45\ \Omega$. C'est le seul point délicat de la méthode, et c'est celui qu'on rate : prendre les deux bornes hautes donnerait une valeur qui n'est ni le maximum ni le minimum.

c) $P_{max}=\dfrac{12{,}2^{2}}{45}=\dfrac{148{,}84}{45}=3{,}3076$ W et $P_{min}=\dfrac{11{,}8^{2}}{49}=\dfrac{139{,}24}{49}=2{,}8416$ W. On vérifie au passage que la valeur centrale $3{,}064$ W est bien comprise entre les deux, et à peu près au milieu : si elle ne l'était pas, ce serait le signe qu'une borne a été mal choisie.

d) $\Delta P=\dfrac{3{,}3076-2{,}8416}{2}=\dfrac{0{,}4660}{2}=0{,}2330$ W, arrondi à $0{,}2$ W. Résultat : $P=(3{,}1\pm 0{,}2)$ W. La valeur centrale s'arrondit au dixième, puisque l'incertitude porte sur le dixième.

e) Pour $P=\dfrac{U^{2}}{R}$, la tension apparaît au CARRÉ, donc son incertitude relative compte DEUX FOIS : $\dfrac{\Delta P}{P}=2\dfrac{\Delta U}{U}+\dfrac{\Delta R}{R}=2\times\dfrac{0{,}2}{12{,}0}+\dfrac{2}{47}=0{,}0333+0{,}0426=0{,}0759$, soit $7{,}59\,\%$. D'où $\Delta P=3{,}064\times 0{,}0759=0{,}233$ W : les deux méthodes donnent le même nombre à trois décimales près. Elles ne sont pas équivalentes en général, la méthode des extrêmes étant exacte et celle des relatives une approximation au premier ordre, mais tant que les incertitudes relatives restent sous quelques pour cent, l'écart est invisible. Oublier le facteur $2$ du carré ferait tomber à $5{,}9\,\%$, soit une sous-estimation d'un quart : c'est le piège numéro un du chapitre.

a) $B=\dfrac{4\pi\times 10^{-7}\times 500\times 2{,}40}{0{,}320}=4\pi\times 10^{-7}\times 3750=4{,}712\times 10^{-3}$ T, soit $4{,}71$ mT. Le calcul intermédiaire $\dfrac{NI}{L}=\dfrac{500\times 2{,}40}{0{,}320}=3750$ A/m est la densité linéique d'ampères-tours : c'est elle qui fixe le champ, pas les trois grandeurs prises séparément.

b) $\dfrac{\partial B}{\partial I}=\dfrac{\mu_{0}N}{L}=\dfrac{4\pi\times 10^{-7}\times 500}{0{,}320}=1{,}9635\times 10^{-3}$ T/A. Contribution : $1{,}9635\times 10^{-3}\times 0{,}05=9{,}82\times 10^{-5}$ T, soit $0{,}098$ mT. Comme $B$ est proportionnel à $I$, on pouvait aussi écrire directement $\dfrac{\Delta I}{I}\times B=\dfrac{0{,}05}{2{,}40}\times 4{,}712=0{,}098$ mT : les deux lectures sont la même.

c) $\dfrac{\partial B}{\partial L}=-\dfrac{\mu_{0}NI}{L^{2}}=-\dfrac{B}{L}$, dont la valeur absolue vaut $\dfrac{4{,}712\times 10^{-3}}{0{,}320}=1{,}4726\times 10^{-2}$ T/m. Contribution : $1{,}4726\times 10^{-2}\times 0{,}002=2{,}95\times 10^{-5}$ T, soit $0{,}029$ mT. Le SIGNE MOINS disparaît : une incertitude ne se soustrait jamais, on additionne les contributions en valeur absolue, parce qu'on cherche le cas le plus défavorable.

d) $\Delta B=0{,}098+0{,}029=0{,}127$ mT, arrondi à $0{,}13$ mT puisque le premier chiffre significatif est un $1$ et qu'on en garde alors deux. Résultat : $B=(4{,}71\pm 0{,}13)$ mT, et $\dfrac{\Delta B}{B}=\dfrac{0{,}127}{4{,}712}=2{,}7\,\%$. Le courant pèse pour $2{,}1$ points de pourcentage et la longueur pour $0{,}6$ : c'est l'ampèremètre qu'il faudrait améliorer, pas le mètre à ruban.

e) Parce que $\Delta N=0$. Compter $500$ spires donne exactement $500$, pas $500\pm\text{quelque chose}$ : c'est un NOMBRE ENTIER, pas une mesure. Le même raisonnement vaut pour $\mu_{0}$, qui est une constante définie, et pour tout facteur exact, comme le $2$ d'un diamètre converti en rayon. Une grandeur sans incertitude ne contribue pas, même lorsqu'elle multiplie tout le reste. Réciproquement, si les spires étaient bobinées à la main et comptées à $\pm 5$ près, il faudrait ajouter $\dfrac{5}{500}=1\,\%$.

a) La somme vaut $50{,}23$ V, donc $\bar U=\dfrac{50{,}23}{10}=5{,}023$ V. On garde les millièmes provisoirement, la moyenne d'un échantillon ayant légitimement un chiffre de plus que les mesures individuelles.

b) Les écarts à la moyenne sont $+0{,}007$ ; $+0{,}047$ ; $-0{,}043$ ; $-0{,}013$ ; $+0{,}067$ ; $-0{,}063$ ; $+0{,}017$ ; $-0{,}023$ ; $+0{,}037$ ; $-0{,}033$ V. Leur somme est nulle, ce qui est le premier contrôle à faire. La somme des carrés vaut $1{,}601\times 10^{-2}\ \mathrm{V}^{2}$, donc $s=\sqrt{\dfrac{1{,}601\times 10^{-2}}{9}}=\sqrt{1{,}779\times 10^{-3}}=0{,}0422$ V, soit $42$ mV. Le dénominateur est $N-1=9$, pas $10$ : la moyenne a déjà consommé un degré de liberté.

c) $\dfrac{s}{\sqrt{N}}=\dfrac{0{,}0422}{\sqrt{10}}=\dfrac{0{,}0422}{3{,}162}=0{,}0133$ V, soit $13$ mV. C'est l'incertitude de TYPE A, celle qui vient de la dispersion observée, et elle est trois fois plus petite que la dispersion d'une mesure isolée.

d) La résolution de l'afficheur est $0{,}01$ V, donc une lecture isolée est déjà connue à mieux que $\pm 0{,}005$ V de ce seul fait. Or la dispersion réelle vaut $42$ mV, soit HUIT FOIS plus. Les dix lectures ne se répartissent donc pas sur un ou deux digits voisins : elles s'étalent sur treize digits. C'est la SOURCE qui fluctue, pas l'appareil qui hésite. Un étudiant qui aurait écrit $U=(5{,}03\pm 0{,}005)$ V après une seule lecture aurait sous-estimé son incertitude d'un facteur huit.

e) Oui, il faut les combiner : $13$ mV est une incertitude de type A, $45$ mV une incertitude de TYPE B, issue de la notice, et les deux sont présentes simultanément. En les additionnant, $\Delta U=0{,}045+0{,}013=0{,}058$ V, soit $0{,}06$ V ; en les combinant en quadrature, $\sqrt{0{,}045^{2}+0{,}013^{2}}=0{,}047$ V, soit $0{,}05$ V. Dans les deux conventions, le terme d'appareil DOMINE largement. Conclusion pratique : passer de dix à quarante mesures diviserait $13$ mV par deux, donc ferait gagner moins de $7$ mV sur un total de $58$ ; ça ne vaut pas le temps passé. Répéter une mesure ne réduit que la part aléatoire, et cesse d'être utile dès que la part instrumentale la dépasse. Pour gagner vraiment, il faut un meilleur appareil, pas plus de lignes dans le tableau.

a) On porte le COURANT en abscisse et la TENSION en ordonnée, parce que c'est le courant qu'on impose et la tension qu'on lit. La loi d'Ohm s'écrit alors $U=RI$, de la forme $Y=aX$, et la PENTE EST LA RÉSISTANCE, en volts par ampère, c'est-à-dire en ohms. Attention à convertir les milliampères en ampères avant de calculer la pente : en gardant les mA, on obtiendrait $0{,}22$ et une résistance mille fois trop petite.

b) Avec $\bar I=0{,}015$ A et $\bar U=3{,}304$ V, on forme $\sum(I_{i}-\bar I)(U_{i}-\bar U)=5{,}495\times 10^{-2}$ et $\sum(I_{i}-\bar I)^{2}=2{,}5\times 10^{-4}$, d'où $a=\dfrac{5{,}495\times 10^{-2}}{2{,}5\times 10^{-4}}=219{,}8\ \Omega$. Contrôle rapide sans calculatrice : le dernier point donne $\dfrac{5{,}52}{0{,}025}=220{,}8\ \Omega$, du bon ordre.

c) $b=\bar U-a\bar I=3{,}304-219{,}8\times 0{,}015=3{,}304-3{,}297=0{,}007$ V. Elle DEVRAIT être nulle, puisque sans courant il n'y a pas de tension aux bornes d'une résistance pure. Les $7$ mV trouvés sont du niveau du bruit des mesures, donc compatibles avec zéro. Une ordonnée nettement non nulle, disons $0{,}2$ V, signalerait autre chose dans le circuit : un décalage de zéro du voltmètre, une force électromotrice parasite, ou une diode en série.

d) $\dfrac{|219{,}8-220|}{220}=\dfrac{0{,}2}{220}=0{,}0009$, soit $0{,}09\,\%$. C'est bien en deçà de la tolérance de $5\,\%$ du composant : la mesure confirme le marquage, et elle le confirme cent fois mieux que la tolérance ne l'exigeait.

e) La droite prévoit $U=219{,}8\times 0{,}040+0{,}007=8{,}80$ V. On mesure $9{,}05$ V, soit $0{,}25$ V de plus, un écart de $2{,}9\,\%$, bien au-delà du bruit des cinq premiers points. Le point NE S'ALIGNE PAS. La cause est physique : à $40$ mA, la résistance dissipe $P=UI=0{,}36$ W, elle chauffe, et la résistance d'un conducteur métallique CROÎT avec la température ; le rapport local vaut $\dfrac{9{,}05}{0{,}040}=226\ \Omega$. La leçon est celle du chapitre : une mesure unique aurait donné $226\ \Omega$ sans le moindre signal d'alarme, et on l'aurait écrite comme la valeur de la résistance. C'est le GRAPHIQUE, et lui seul, qui montre le décrochage et permet de dire à partir de quel courant la loi d'Ohm cesse d'être linéaire. Un point isolé ne peut jamais démentir un modèle : il n'a rien à quoi se comparer.

a) FAUX. Le nombre de chiffres affichés est une caractéristique de l'ÉLECTRONIQUE D'AFFICHAGE, pas de l'exactitude. Un appareil spécifié $\pm(0{,}5\,\%+2)$ affichant $12{,}47$ V est connu à $\pm 0{,}08$ V : le dernier chiffre affiché est déjà incertain. Version correcte : « le nombre de chiffres significatifs d'un résultat se décide à partir de l'incertitude, calculée à partir de la notice, et il est presque toujours inférieur au nombre de chiffres affichés ».

b) FAUX, et doublement. D'abord, la formule $R_{p}=\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ n'est pas un produit : elle contient une somme au dénominateur, donc la règle des relatives ne s'applique pas telle quelle. Ensuite, le résultat est numériquement faux : pour $(100\pm 5)\ \Omega$ et $(220\pm 11)\ \Omega$, l'addition des relatives donnerait $10\,\%$ alors que le calcul exact donne $5\,\%$, soit le DOUBLE de la vérité. Version correcte : « on propage par les dérivées partielles ; quand les deux résistances ont la même tolérance relative, l'association parallèle la conserve ».

c) FAUX. Un ampèremètre réel possède une résistance interne, faible mais non nulle, et l'insérer en série AUGMENTE la résistance totale, donc DIMINUE le courant. L'erreur est d'autant plus grande que le circuit est de faible résistance. Ce n'est pas une erreur aléatoire : elle a toujours le même signe et la répétition ne l'efface pas. Version correcte : « un ampèremètre perturbe le circuit ; on le choisit de résistance très inférieure à celle du circuit, et on corrige quand ce n'est pas possible ».

d) FAUX. Le nombre de décimales que sort une calculatrice n'a aucun rapport avec l'incertitude : c'est une précision de CALCUL, pas une exactitude de MESURE. La pente hérite de l'incertitude des points, et on l'estime par la demi-étendue des pentes des DROITES EXTRÊMES, ou par la formule de l'incertitude sur la pente. Version correcte : « la régression donne la meilleure pente, pas son incertitude ; celle-ci se lit sur la dispersion des points autour de la droite ».

e) FAUX. Deux nombres différents peuvent parfaitement désigner la même grandeur : c'est précisément ce que l'incertitude autorise. Ici, la mesure couvre $[222\,;230]\ \Omega$ et elle n'englobe effectivement pas $220$. Mais la valeur marquée n'est pas une valeur EXACTE : elle porte la tolérance de $5\,\%$ du fabricant, donc $[209\,;231]\ \Omega$. Les deux intervalles se recouvrent largement, donc les valeurs sont COMPATIBLES. Version correcte : « deux valeurs sont compatibles si leurs intervalles se recouvrent ; comparer les nombres centraux ne décide de rien ». C'est l'erreur de raisonnement la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle conduit à déclarer une expérience ratée alors qu'elle a réussi.

a) Le courant traverse aussi l'INTÉRIEUR de la pile, qui possède une résistance $r$ ; il y perd la tension $rI$. Ce qui reste disponible aux bornes vaut donc $\varepsilon-rI$, et diminue linéairement avec le courant. La relation est de la forme $Y=b+aX$ avec $X=I$ et $Y=U$ : la PENTE vaut $-r$, donc la résistance interne est l'OPPOSÉ de la pente, et l'ORDONNÉE À L'ORIGINE vaut $\varepsilon$, la tension qu'on lirait à courant nul, c'est-à-dire la pile débranchée.

b) $\bar I=0{,}30$ A et $\bar U=1{,}428$ V. On forme $\sum(I_{i}-\bar I)(U_{i}-\bar U)=-0{,}045$ et $\sum(I_{i}-\bar I)^{2}=0{,}10$, d'où $a=\dfrac{-0{,}045}{0{,}10}=-0{,}45$ V/A. La résistance interne est $r=-a=0{,}45\ \Omega$. Le signe négatif de la pente n'est PAS une erreur : c'est lui qui porte la physique, et le prendre positif donnerait une pile qui se renforce quand on la tire.

c) $\varepsilon=\bar U-a\bar I=1{,}428-(-0{,}45)\times 0{,}30=1{,}428+0{,}135=1{,}563$ V. Remarquez qu'on ne l'obtient PAS en mesurant la tension à vide au voltmètre : celui-ci tire lui-même un petit courant. L'extrapolation à courant nul est la bonne méthode, et c'est un des rares cas où l'ordonnée à l'origine porte le résultat cherché plutôt qu'un contrôle.

d) $\Delta r=\dfrac{|{-0{,}48}|-|{-0{,}42}|}{2}=\dfrac{0{,}48-0{,}42}{2}=0{,}03\ \Omega$. Donc $r=(0{,}45\pm 0{,}03)\ \Omega$, soit une incertitude relative de $6{,}7\,\%$. Les droites extrêmes sont l'outil graphique standard : on trace les deux droites les plus et les moins inclinées qui traversent encore toutes les barres d'incertitude, et la demi-étendue de leurs pentes donne l'incertitude.

e) L'intervalle de la mesure est $[1{,}54\,;1{,}58]$ V, et $1{,}5$ V n'y appartient pas : au sens strict, la mesure et l'étiquette sont INCOMPATIBLES. Cela ne signifie pas que l'expérience est ratée. Une valeur nominale de pile n'est pas une valeur attendue au sens métrologique : c'est un nom de catégorie, comme le $220\ \Omega$ d'une résistance, et une pile alcaline neuve délivre couramment $1{,}55$ à $1{,}60$ V, la valeur descendant vers $1{,}5$ V puis en dessous à mesure qu'elle se décharge. La conclusion correcte est donc : « la force électromotrice mesurée, $(1{,}563\pm 0{,}020)$ V, est celle d'une pile neuve, au-dessus de sa valeur nominale, ce qui est attendu ». Comparer une mesure à une étiquette commerciale sans savoir ce que l'étiquette garantit est la faute de jugement la plus courante des rapports de laboratoire.

a) En prenant le logarithme népérien des deux membres de $u=U_{0}e^{-t/\tau}$ : $\ln u=\ln U_{0}+\ln\left(e^{-t/\tau}\right)=\ln U_{0}-\dfrac{t}{\tau}$. C'est bien de la forme $Y=b+aX$ avec $Y=\ln u$ et $X=t$ : la PENTE vaut $-\dfrac{1}{\tau}$ et l'ORDONNÉE À L'ORIGINE vaut $\ln U_{0}$. On ne trace donc pas $u$ en fonction de $t$, qui donnerait une courbe d'où l'on ne peut rien lire de précis, mais $\ln u$ en fonction de $t$.

b) Les logarithmes valent $2{,}1972$ ; $1{,}7951$ ; $1{,}3962$ ; $0{,}9932$ ; $0{,}5933$. Les écarts successifs, $-0{,}402$ ; $-0{,}399$ ; $-0{,}403$ ; $-0{,}400$, sont quasi identiques : c'est la signature d'une vraie exponentielle, et c'est un contrôle à faire avant tout calcul. La régression donne $\bar t=10$ s, $\overline{\ln u}=1{,}3950$, $\sum(t_{i}-\bar t)(\ln u_{i}-\overline{\ln u})=-20{,}048$, $\sum(t_{i}-\bar t)^{2}=250$, d'où $a=\dfrac{-20{,}048}{250}=-0{,}0802$ s$^{-1}$.

c) $\tau=-\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{0{,}0802}=12{,}47$ s, soit environ $12{,}5$ s. Contrôle par l'ordonnée à l'origine : $b=1{,}3950+0{,}0802\times 10=2{,}197$, et $e^{2{,}197}=9{,}00$ V, exactement la tension initiale annoncée. Quand ce contrôle échoue, c'est que la tension initiale a été mal relevée ou que le chronomètre n'a pas démarré avec la décharge.

d) $C=\dfrac{\tau}{R}=\dfrac{12{,}47}{47\,000}=2{,}653\times 10^{-4}$ F, soit $265$ µF. Avec $5\,\%$ sur la résistance et environ $2{,}4\,\%$ sur la constante de temps, l'incertitude relative sur $C$ atteint $7{,}4\,\%$, donc $C=(265\pm 20)$ µF. Le marquage $270$ µF à $\pm 20\,\%$ couvre $[216\,;324]$ µF, qui contient largement la mesure : COMPATIBLE. Les condensateurs électrolytiques ont des tolérances très larges, souvent $-20\,\%$ à $+50\,\%$ : trouver $265$ au lieu de $270$ n'a rien d'un exploit, et un écart de $15\,\%$ n'aurait rien eu d'alarmant non plus.

e) Le temps de demi-décharge vaut $t_{1/2}=\tau\ln 2=12{,}47\times 0{,}693=8{,}64$ s. La mesure est plus rapide, et pour une simple estimation elle suffit. Ce qu'elle ne donne pas : la PREUVE que la décroissance est bien exponentielle. Un seul chronométrage donnerait un nombre quel que soit le phénomène, y compris si le condensateur fuit, si la résistance chauffe ou si le voltmètre draine du courant ; l'alignement des cinq points sur la droite semi-logarithmique, lui, le vérifie. C'est le même argument qu'à l'exercice 7 : un point isolé ne peut jamais démentir un modèle. On ajoute qu'une courbure vers le haut du tracé semi-logarithmique signale une fuite parallèle, et qu'une courbure vers le bas signale une résistance qui augmente.

a) Deux résistances égales en série se partagent la tension à parts égales : $U=\dfrac{12{,}0}{2}=6{,}00$ V. C'est la valeur qu'on cherche à mesurer, et celle qu'un voltmètre idéal, de résistance infinie, afficherait.

b) Le voltmètre se branche en PARALLÈLE sur la seconde résistance, donc le diviseur ne voit plus $100$ kΩ mais $\dfrac{100\times 1000}{100+1000}=\dfrac{100\,000}{1100}=90{,}9$ kΩ. La tension lue devient $12{,}0\times\dfrac{90{,}9}{100+90{,}9}=12{,}0\times 0{,}4762=5{,}71$ V. Le voltmètre n'a pas mesuré la tension du circuit : il a mesuré la tension du circuit MODIFIÉ PAR LUI.

c) Erreur absolue : $5{,}71-6{,}00=-0{,}29$ V. Erreur relative : $\dfrac{-0{,}29}{6{,}00}=-4{,}8\,\%$. Répéter cent fois ne changerait RIEN : chaque mesure donnerait la même valeur basse, la moyenne vaudrait encore $5{,}71$ V, et l'écart-type serait minuscule, ce qui donnerait l'illusion d'une excellente mesure. C'est exactement le danger d'une erreur systématique : elle se déguise en précision. Aucun traitement statistique ne la détecte ; seule l'analyse du MONTAGE la révèle.

d) Avec $R=1{,}0$ kΩ, le parallèle vaut $\dfrac{1000\times 10^{6}}{1000+10^{6}}=999{,}0\ \Omega$, et la tension lue $12{,}0\times\dfrac{999{,}0}{1999{,}0}=5{,}997$ V, soit une erreur de $-0{,}05\,\%$, cent fois plus petite. La règle : l'effet de charge est négligeable tant que $R_{V}\gg R$, typiquement d'un facteur mille. Symétriquement, un ampèremètre doit avoir une résistance très INFÉRIEURE à celle du circuit. Quand ce n'est pas possible, comme ici avec des résistances de $100$ kΩ, on ne change pas d'appareil : on CORRIGE le résultat par le calcul de b).

e) Le bruit du secteur à $60$ Hz est ALÉATOIRE : il fait fluctuer la lecture de part et d'autre, et la moyenne le réduit. L'arrondi au dernier digit est ALÉATOIRE aussi, tant que la valeur vraie ne tombe pas systématiquement au même endroit entre deux digits. La résistance des cordons de mesure est SYSTÉMATIQUE : elle s'ajoute toujours dans le même sens, et elle se corrige en court-circuitant les pointes pour lire le décalage, puis en le soustrayant. La dérive thermique d'une résistance étalon est SYSTÉMATIQUE sur la durée d'une séance : la résistance monte régulièrement pendant que le montage chauffe, ce qui biaise toutes les mesures dans le même sens ; on la combat en laissant le montage se stabiliser, ou en alternant l'ordre des mesures.