Électricité et magnétisme 203-SN2-RE • Exercices corrigés de cégep à Montréal

Fiche de révision : mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoire (203-SN2-RE)

Q: Comment calcule-t-on l'incertitude d'un multimètre numérique ?

On la lit dans la notice, qui donne un pourcentage de la lecture plus un nombre de digits, et on additionne les deux termes. Un digit vaut une unité du dernier rang affiché sur le calibre utilisé. Pour une lecture de 12,47 volts sur le calibre 20,00 volts avec une spécification de plus ou moins 0,5 pour cent plus 2 digits : un demi pour cent de 12,47 fait 0,062 volt, plus deux fois 0,01 volt qui font 0,02 volt, soit 0,08 volt au total. L'afficheur ne dit rien de l'exactitude : quatre chiffres affichés ne font pas quatre chiffres justes.

Q: Pourquoi répéter une mesure finit-il par ne plus rien apporter ?

Répéter ne réduit que la part aléatoire de l'incertitude, celle que donne l'écart-type divisé par la racine du nombre de mesures. L'incertitude de notice, elle, est présente à chaque lecture et ne bouge pas. Dès que le terme de notice dépasse le terme statistique, multiplier les mesures ne fait plus rien gagner : sur dix lectures d'une alimentation réglée à cinq volts, treize millivolts de dispersion statistique s'ajoutent à quarante-cinq millivolts de notice, et passer à quarante mesures ferait gagner moins de sept millivolts sur un total de cinquante-huit. Il faut alors un meilleur appareil, pas plus de lignes dans le tableau.

Q: Comment savoir si une mesure est compatible avec la valeur attendue ?

On compare les intervalles, jamais les valeurs centrales. La mesure couvre la valeur centrale plus ou moins son incertitude ; si la valeur attendue appartient à cet intervalle, les deux sont compatibles. Quand la valeur attendue porte elle-même une incertitude, comme la tolérance de cinq pour cent d'une résistance, on vérifie que les deux intervalles se recouvrent. Écrire que 226 ohms n'est pas 220 ohms et que la mesure est donc fausse est l'erreur de raisonnement la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle fait déclarer ratée une expérience réussie.

Q: Pourquoi un voltmètre fausse-t-il la mesure, et comment le savoir ?

Parce qu'il se branche en parallèle et laisse passer un petit courant : la résistance vue par le circuit devient celle du montage en parallèle avec celle du voltmètre, donc plus petite, et la tension lue tombe. Sur un diviseur de deux résistances de cent kilohms sous douze volts, un voltmètre d'un mégohm fait lire 5,71 volts au lieu de 6,00 volts, soit près de cinq pour cent de moins. L'erreur est systématique, donc aucune répétition ne la révèle : on la détecte en comparant la résistance du voltmètre à celle du circuit, et on la corrige par le calcul ou en choisissant des résistances mille fois plus petites.

Q: Quand faut-il linéariser plutôt que calculer point par point ?

Dès que la loi n'est pas affine et qu'on dispose de plusieurs points. La linéarisation transforme la loi en droite, par exemple le logarithme de la tension en fonction du temps pour une décharge de condensateur, et elle apporte deux choses qu'un point isolé ne donnera jamais : la preuve que le modèle tient, par l'alignement des points, et un diagnostic quand il ne tient pas, par la forme de la courbure. Un point unique fournit toujours un nombre, y compris quand le phénomène n'est pas celui qu'on croit.

Le rapport de laboratoire d'électricité se note autant sur l'incertitude que sur la valeur. Les règles tiennent en quelques lignes, mais chacune a son piège, et ils ne sont pas les mêmes qu'en mécanique : ici l'instrument n'a pas de graduation à interpoler, il a une NOTICE, et il perturbe le circuit qu'il mesure.

Cette fiche donne ce qui se perd réellement : la règle qu'on applique à la mauvaise forme de formule, l'erreur systématique qu'on prend pour une bonne précision, la conclusion de compatibilité qu'on rédige de travers. Les exercices corrigés du même chapitre font travailler chacun de ces gestes sur un montage réel.

Le fil du chapitre

En électricité, l'incertitude ne vient presque jamais de la main qui lit : elle vient de l'appareil, de sa notice et du montage. Un afficheur à quatre chiffres n'a pas quatre chiffres justes, un voltmètre modifie le circuit qu'il mesure, et une petite différence de deux tensions voisines détruit la précision. On chiffre donc avant de manipuler ce que chaque grandeur apportera, et on améliore la contribution qui domine.

Ce chapitre fait partie de Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoireMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA) Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
2La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
3Différentielle et approximation linéaireCalcul différentiel (201-NYA)
4Mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoireMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Notions couvertes

Incertitude de notice
Digit et calibre
Incertitude absolue
Incertitude relative
Propagation dans un quotient
Méthode des extrêmes
Méthode différentielle
Incertitude sur la moyenne
Erreur systématique
Effet de charge
Tolérance d'un composant
Droites extrêmes

L'essentiel

Lire l'incertitude d'un appareil, puis la propager

• Multimètre numérique : l'incertitude est dans la NOTICE, sous la forme $\pm(a\,\%\ \text{de la lecture}+n\ \text{digits})$ . Un digit vaut une unité du dernier rang affiché, et il change avec le CALIBRE : $0{,}01$ V sur le calibre $20{,}00$ V, $0{,}1$ V sur le calibre $200{,}0$ V.
• Résultat : $x=(\bar x\pm\Delta x)$ unité. L'incertitude à un chiffre significatif, deux si ce chiffre est un $1$ , et la valeur arrondie à la même décimale.
• Somme ou différence : $\Delta(x\pm y)=\Delta x+\Delta y$ , incertitudes ABSOLUES. Produit, quotient, puissance : $\dfrac{\Delta z}{z}=|a|\dfrac{\Delta x}{x}+|b|\dfrac{\Delta y}{y}$ pour $z=kx^{a}y^{b}$ , incertitudes RELATIVES.
• Un facteur EXACT n'apporte rien : un nombre de spires compté, un $2$ de conversion, la constante $\mu_{0}$ . Une grandeur sans incertitude ne contribue pas, même si elle multiplie tout le reste.
• Association parallèle : $R_{p}=\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ n'est NI une somme NI un produit. On propage par les dérivées partielles, $\left|\dfrac{\partial R_{p}}{\partial R_{1}}\right|=\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right)^{2}$ .

La pente de

U

en fonction de

I

EST la résistance,

219{,}8\ \Omega

ici ; le point à

40

mA décroche de

2{,}9\,\%

parce que la résistance a chauffé.

Quand les deux résistances portent la MÊME tolérance relative $t$ , l'association série comme l'association parallèle la conservent : $\dfrac{\Delta R_{p}}{R_{p}}=t$ . C'est ce qui rend la tolérance de $5\,\%$ utilisable directement sur un réseau entier.

Distinguer aléatoire et systématique, puis conclure

• Erreur ALÉATOIRE : change de signe d'une mesure à l'autre. La moyenne la réduit, l'écart-type la mesure, $\dfrac{s}{\sqrt{N}}$ la chiffre. C'est l'incertitude de TYPE A.
• Erreur SYSTÉMATIQUE : garde toujours le même signe. La moyenne la conserve intacte, et un écart-type minuscule donne alors l'ILLUSION d'une excellente mesure. Elle ne se détecte que par l'analyse du montage.
• L'incertitude de notice est de TYPE B : elle est présente même si l'on ne répète jamais, et répéter ne la réduit pas. Dès qu'elle domine le type A, compter plus de mesures ne sert plus à rien.
• Effet de charge : un voltmètre de résistance $R_{V}$ branché sur une résistance $R$ fait lire trop bas. L'erreur est négligeable tant que $R_{V}\gg R$ , typiquement d'un facteur mille. Un ampèremètre, lui, doit avoir une résistance très INFÉRIEURE à celle du circuit.
• Compatibilité : deux valeurs sont compatibles quand leurs INTERVALLES se recouvrent. Comparer les valeurs centrales ne décide de rien.

Ce diviseur fait lire

5{,}71

V au lieu de

6{,}00

V, soit

-4{,}8\,\%

: une erreur systématique que cent répétitions ne révéleraient pas.

La tolérance d'un composant et l'incertitude d'une mesure ne s'additionnent JAMAIS : l'une décrit la dispersion d'une population de composants sortis d'usine, l'autre ce que notre mesure ignore de celui-ci. On confronte les deux intervalles, on ne les combine pas.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner des incertitudes absolues dans un quotient

2 points, et une incertitude quatre-vingts fois trop petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $R=\dfrac{U}{I}$ avec $\Delta U=0{,}05$ V et $\Delta I=0{,}3$ mA : $\Delta R=0{,}05+0{,}0003=0{,}05$ Ω. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{\Delta R}{R}=\dfrac{0{,}05}{6{,}42}+\dfrac{0{,}3}{28{,}4}=1{,}84\,\%$ , donc $\Delta R=226\times 0{,}0184=4$ Ω. »

Pourquoi : Additionner des volts et des ampères n'a même pas de sens. Dans un produit ou un quotient, seules les incertitudes RELATIVES, sans unité, s'additionnent. La variante du même piège consiste à écrire $\Delta R=\dfrac{\Delta U}{\Delta I}$ : on obtient $167\ \Omega$ , une incertitude du même ordre que la résistance, ce qui aurait dû alerter.

2. Oublier qu'un carré double l'incertitude relative

1 à 2 points, et une incertitude sous-estimée d'un quart

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P=\dfrac{U^{2}}{R}$ : $\dfrac{\Delta P}{P}=\dfrac{0{,}2}{12{,}0}+\dfrac{2}{47}=5{,}9\,\%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La tension est au CARRÉ : $\dfrac{\Delta P}{P}=2\times\dfrac{0{,}2}{12{,}0}+\dfrac{2}{47}=7{,}6\,\%$ . »

Pourquoi : Dans $z=kx^{a}y^{b}$ , l'EXPOSANT multiplie la relative. Un carré double, un cube triple, une racine carrée divise par deux. C'est le piège le plus fréquent du chapitre, et il touche aussi la section d'un fil, où le diamètre au carré fait souvent $80\,\%$ du budget d'incertitude.

3. Traiter une association parallèle comme un produit

2 points, et une incertitude exactement deux fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $R_{1}$ et $R_{2}$ à $5\,\%$ chacune, donc $R_{p}$ à $10\,\%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\Delta R_{p}=\left(\dfrac{220}{320}\right)^{2}\times 5+\left(\dfrac{100}{320}\right)^{2}\times 11=3{,}44\ \Omega$ , soit $5{,}0\,\%$ . »

Pourquoi : La formule du parallèle contient une SOMME au dénominateur : ni la règle des absolues ni celle des relatives ne s'y applique. On passe par les dérivées partielles. Le résultat mérite d'être retenu : quand les deux tolérances relatives sont égales, l'association les conserve, série comme parallèle.

4. Prendre les deux bornes hautes dans la méthode des extrêmes

2 points : la valeur obtenue n'est ni le maximum ni le minimum

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P_{max}=\dfrac{12{,}2^{2}}{49}$ , avec $U$ et $R$ à leur valeur maximale. »

Ce qu'il faut écrire

« $R$ est au DÉNOMINATEUR : $P_{max}=\dfrac{12{,}2^{2}}{45}$ , avec $R$ MINIMAL. »

Pourquoi : La méthode des extrêmes demande de choisir chaque borne selon le SENS DE VARIATION du résultat. Une grandeur au numérateur se prend au maximum, une grandeur au dénominateur au minimum. Contrôle : la valeur centrale doit tomber entre $z_{min}$ et $z_{max}$ , à peu près au milieu.

5. Croire qu'un petit écart-type prouve une bonne mesure

3 points, et une conclusion fausse sur toute l'expérience

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dix lectures donnent $5{,}71$ V à chaque fois : la mesure est excellente. »

Ce qu'il faut écrire

« L'écart-type est petit, mais le voltmètre charge le diviseur : la lecture est biaisée de $-4{,}8\,\%$ , et aucune répétition ne le montre. »

Pourquoi : L'écart-type ne mesure QUE la part aléatoire. Une erreur systématique, effet de charge, résistance des cordons, zéro décalé, dérive thermique, produit exactement l'inverse du signal d'alarme attendu : elle rend les mesures très reproductibles. Seule l'analyse du montage la révèle.

6. Confondre tolérance de composant et incertitude de mesure

2 points, et un raisonnement de compatibilité invalide

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Résistance marquée $220\ \Omega$ à $5\,\%$ , mesure $(226\pm 4)\ \Omega$ : incertitude totale $\pm 15\ \Omega$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le fabricant garantit $[209\,;231]$ , la mesure couvre $[222\,;230]$ : les deux se recouvrent, le composant est conforme. »

Pourquoi : La tolérance décrit la dispersion d'une POPULATION de composants ; l'incertitude décrit ce que la mesure ignore de CELUI-CI. On confronte les deux intervalles, on ne les additionne jamais. La seule chose qu'on additionne à une incertitude de mesure, c'est une autre incertitude de mesure, par exemple les $0{,}1\ \Omega$ du zéro de l'ohmmètre.

7. Annoncer une pente de régression sans incertitude

2 points, souvent sur la conclusion de compatibilité qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La calculatrice donne une pente de $219{,}800$ : $\Delta R$ est négligeable. »

Ce qu'il faut écrire

« Les droites extrêmes qui traversent toutes les barres donnent $216$ et $224$ : $R=(220\pm 4)\ \Omega$ . »

Pourquoi : Le nombre de décimales d'une calculatrice est une précision de CALCUL, pas une exactitude de MESURE. La pente hérite de l'incertitude des points, et on l'estime par la demi-étendue des pentes des droites extrêmes. Sans elle, impossible de dire si la pente est compatible avec la valeur attendue.

8. Calculer une petite différence de deux grandeurs voisines

3 points, et une incertitude annoncée quarante fois trop petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $r=\dfrac{1{,}565-1{,}520}{0{,}100}=0{,}450\ \Omega$ , à $0{,}3\,\%$ près comme les tensions. »

Ce qu'il faut écrire

« La différence vaut $0{,}045$ V avec $\Delta=0{,}010$ V, soit $22\,\%$ ; avec le courant, $r=(0{,}45\pm 0{,}12)\ \Omega$ . »

Pourquoi : Une différence additionne les incertitudes absolues, et quand son résultat est PETIT devant les termes, la relative explose : l'incertitude survit intacte pendant que la grandeur s'évanouit. Trois parades : faire grandir la différence, ici en tirant cinq fois plus de courant, la mesurer directement, ou remplacer les deux points par une régression, qui mesure une pente au lieu d'un écart.

Quelle méthode choisir

Quelle règle de propagation selon la forme de la relation

La forme de la formule qui relie le résultat aux grandeurs mesurées

Si une somme ou une différence → additionner les incertitudes ABSOLUES

Exemple : $(12{,}47\pm 0{,}08)+(6{,}42\pm 0{,}05)=(18{,}89\pm 0{,}13)$ V
Si un produit, un quotient ou une puissance → additionner les relatives, chacune multipliée par son EXPOSANT

Exemple : $P=\dfrac{U^{2}}{R}$ : $2\times 1{,}67\,\%+4{,}26\,\%=7{,}59\,\%$
Si une somme au dénominateur, comme le parallèle → passer par les dérivées partielles, méthode différentielle

Exemple : $\left(\dfrac{220}{320}\right)^{2}\times 5+\left(\dfrac{100}{320}\right)^{2}\times 11=3{,}44\ \Omega$
Si une formule compliquée mais monotone en chaque variable → méthode des EXTRÊMES, en choisissant chaque borne selon le sens de variation

Exemple : $\Delta P=\dfrac{P_{max}-P_{min}}{2}=\dfrac{3{,}308-2{,}842}{2}=0{,}23$ W
Si le résultat vient d'une PENTE de régression → tracer les deux droites extrêmes et prendre la demi-étendue de leurs pentes

Exemple : pentes $-0{,}42$ et $-0{,}48$ V/A : $r=(0{,}45\pm 0{,}03)\ \Omega$
Si la loi n'est pas affine, exponentielle par exemple → LINÉARISER d'abord, puis régresser sur la grandeur transformée

Exemple : $u=U_{0}e^{-t/\tau}$ donne $\ln u$ affine en $t$ , de pente $-\dfrac{1}{\tau}$

Une formule mixte se traite en deux temps. Pour la résistance interne obtenue par $\dfrac{U_{1}-U_{2}}{I}$ , on applique d'abord la règle ABSOLUE au numérateur, puis la règle RELATIVE au quotient. Faire l'inverse, ou appliquer une seule règle à toute la formule, est la faute qui revient le plus souvent.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Présenter un résultat de laboratoire d'électricité

Quand l'utiliser : Le rapport demande une grandeur calculée à partir de mesures électriques et sa comparaison avec une valeur nominale ou tabulée.

1 Donner chaque mesure avec son incertitude ET dire d'où elle vient : notice de l'appareil, tolérance du composant, dispersion observée.
2 Écrire la relation, nommer la règle de propagation choisie, et détailler les contributions une par une, en pourcentage.
3 Arrondir l'incertitude à un chiffre significatif, deux si elle commence par $1$ , puis aligner la valeur sur la même décimale.
4 Conclure sur la COMPATIBILITÉ en comparant les intervalles, jamais les valeurs centrales, et dire quelle mesure domine le budget d'incertitude.

Phrase de conclusion

« $R=(226\pm 4)\ \Omega$ . La valeur marquée, $220\ \Omega$ à $\pm 5\,\%$ , garantit $[209\,;231]\ \Omega$ , qui recouvre $[222\,;230]\ \Omega$ : le composant est conforme. Le courant fournit $58\,\%$ de l'incertitude, c'est lui qu'il faudrait mesurer sur un calibre plus fin. »

Le piège : Conclure « la mesure est bonne, l'écart n'est que de $2{,}7\,\%$ » sans parler des intervalles : le correcteur attend un critère, pas une impression. Et déclarer une incompatibilité en oubliant que la valeur marquée porte elle-même une tolérance coûte autant que l'inverse.

Barème : En général 1 point pour les incertitudes des mesures, 2 pour la propagation, 1 pour l'écriture arrondie, 1 pour la conclusion justifiée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'incertitude relative raisonnable

Au laboratoire d'électricité, une incertitude relative se situe le plus souvent entre $0{,}5$ et $10\,\%$ . En dessous de $0{,}2\,\%$ , suspecter une incertitude oubliée, souvent celle de la notice ; au-dessus de $20\,\%$ , chercher une différence de deux grandeurs voisines.

$\Delta R=0{,}05\ \Omega$ sur une mesure au multimètre de $226\ \Omega$ : incertitude inventée.
Le calibre le plus petit qui ne sature pas

Le terme de digits est fixé par le CALIBRE, pas par la valeur mesurée. Mesurer $12$ V sur le calibre $200$ V coûte trois fois plus d'incertitude que sur le calibre $20$ V, sans que l'afficheur ne le signale.

$(12{,}47\pm 0{,}08)$ V sur $20{,}00$ V contre $(12{,}5\pm 0{,}3)$ V sur $200{,}0$ V.
L'ordre de grandeur du résultat

Une résistance équivalente en parallèle est toujours INFÉRIEURE à la plus petite des deux ; une tension aux bornes d'une pile est toujours inférieure à sa force électromotrice ; une puissance dissipée dans un montage de laboratoire dépasse rarement quelques watts.

$R_{p}=68{,}75\ \Omega$ pour $100$ et $220\ \Omega$ : cohérent, car $68{,}75<100$ .
La somme des écarts à la moyenne

Avant de calculer un écart-type, vérifier que la somme des écarts à la moyenne est NULLE. Une somme non nulle signale une erreur de moyenne ou une valeur recopiée de travers, et elle se repère en deux secondes.

$+0{,}007-0{,}043+0{,}067-0{,}063+\ldots=0$ : le tableau est bon.
Le contrôle par l'ordonnée à l'origine

Une droite $U=RI$ doit passer par l'origine, une droite $U=\varepsilon-rI$ doit couper l'axe à la force électromotrice, une droite semi-logarithmique doit couper à $\ln U_{0}$ . Quand ce contrôle échoue, le montage porte autre chose que ce qu'on croit.

$b=0{,}007$ V sur la droite d'Ohm : compatible avec zéro, le montage est sain.

L'exercice type décortiqué

La résistance interne d'une pile, des cinq points à la conclusion

Une pile alimente une résistance variable. Pour cinq réglages on relève $I$ (A) : $0{,}10$ ; $0{,}20$ ; $0{,}30$ ; $0{,}40$ ; $0{,}50$ et $U$ (V) : $1{,}52$ ; $1{,}47$ ; $1{,}43$ ; $1{,}38$ ; $1{,}34$ .

Modèle : $U=\varepsilon-rI$ . Les droites extrêmes traversant toutes les barres d'incertitude ont des pentes de $-0{,}42$ et $-0{,}48$ V/A.

L'ordonnée à l'origine donne la force électromotrice, la pente donne l'opposé de la résistance interne, et la demi-étendue des pentes extrêmes donne son incertitude.

Étape 1

Moyennes : $\bar I=0{,}30$ A et $\bar U=1{,}428$ V.

Pourquoi

La droite de régression passe toujours par le point moyen : c'est ce qui permet ensuite de calculer l'ordonnée à l'origine sans autre formule.

Étape 2

Pente : $a=\dfrac{\sum(I_{i}-\bar I)(U_{i}-\bar U)}{\sum(I_{i}-\bar I)^{2}}=\dfrac{-0{,}045}{0{,}10}=-0{,}45$ V/A, donc $r=0{,}45\ \Omega$ .

Pourquoi

La résistance interne est l'OPPOSÉ de la pente. Prendre la pente positive donnerait une pile qui se renforce quand on la tire, ce qui n'a pas de sens physique.

Étape 3

Ordonnée : $\varepsilon=\bar U-a\bar I=1{,}428+0{,}135=1{,}563$ V.

Pourquoi

L'extrapolation à courant nul donne la force électromotrice. La mesurer directement au voltmètre serait faux : le voltmètre tire lui-même un petit courant.

Étape 4

Incertitude : $\Delta r=\dfrac{0{,}48-0{,}42}{2}=0{,}03\ \Omega$ , donc $r=(0{,}45\pm 0{,}03)\ \Omega$ .

Pourquoi

La demi-étendue des pentes extrêmes est la méthode graphique standard. Sans elle, la pente reste un nombre sans statut, et la conclusion suivante est impossible.

Étape 5

Par la méthode rapide, $r=\dfrac{1{,}565-1{,}520}{0{,}100}=0{,}450\ \Omega$ mais $\Delta r=0{,}12\ \Omega$ .

Pourquoi

Même valeur centrale, quatre fois moins bonne, parce qu'une différence de $45$ mV porte encore $10$ mV d'incertitude. La régression vaut le temps qu'elle coûte.

Conclusion rédigée

« $r=(0{,}45\pm 0{,}03)\ \Omega$ et $\varepsilon=(1{,}563\pm 0{,}020)$ V. La valeur nominale $1{,}5$ V n'appartient pas à $[1{,}54\,;1{,}58]$ V, ce qui est normal pour une pile neuve : une valeur nominale n'est pas une valeur attendue au sens métrologique. »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $r=+0{,}45$ à partir de la pente sans changer le signe, ou mesurer la force électromotrice au voltmètre à vide au lieu de l'extrapoler.

À savoir par cœur

• Notice d'un multimètre : $\pm(a\,\%+n$ digits $)$ , et le digit dépend du CALIBRE.
• Somme ou différence : incertitudes absolues additionnées.
• Produit, quotient, puissance : relatives additionnées, chacune fois son exposant.
• Parallèle : ni somme ni produit, dérivées partielles ; tolérances égales, tolérance conservée.
• Un facteur exact n'apporte aucune incertitude.
• Systématique : même signe, la moyenne ne l'enlève pas. Aléatoire : la moyenne la réduit.
• $R_{V}\gg R$ pour un voltmètre, $R_{A}\ll R$ pour un ampèremètre.
• Tolérance et incertitude se comparent, ne s'additionnent jamais.
• Une pente de régression sans incertitude n'est pas un résultat.
• Petite différence de deux grandes : la faire grandir, la mesurer, ou régresser.

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on l'incertitude d'un multimètre numérique ?

On la lit dans la notice, qui donne un pourcentage de la lecture plus un nombre de digits, et on additionne les deux termes. Un digit vaut une unité du dernier rang affiché sur le calibre utilisé. Pour une lecture de 12,47 volts sur le calibre 20,00 volts avec une spécification de plus ou moins 0,5 pour cent plus 2 digits : un demi pour cent de 12,47 fait 0,062 volt, plus deux fois 0,01 volt qui font 0,02 volt, soit 0,08 volt au total. L'afficheur ne dit rien de l'exactitude : quatre chiffres affichés ne font pas quatre chiffres justes.

Pourquoi répéter une mesure finit-il par ne plus rien apporter ?

Répéter ne réduit que la part aléatoire de l'incertitude, celle que donne l'écart-type divisé par la racine du nombre de mesures. L'incertitude de notice, elle, est présente à chaque lecture et ne bouge pas. Dès que le terme de notice dépasse le terme statistique, multiplier les mesures ne fait plus rien gagner : sur dix lectures d'une alimentation réglée à cinq volts, treize millivolts de dispersion statistique s'ajoutent à quarante-cinq millivolts de notice, et passer à quarante mesures ferait gagner moins de sept millivolts sur un total de cinquante-huit. Il faut alors un meilleur appareil, pas plus de lignes dans le tableau.

Comment savoir si une mesure est compatible avec la valeur attendue ?

On compare les intervalles, jamais les valeurs centrales. La mesure couvre la valeur centrale plus ou moins son incertitude ; si la valeur attendue appartient à cet intervalle, les deux sont compatibles. Quand la valeur attendue porte elle-même une incertitude, comme la tolérance de cinq pour cent d'une résistance, on vérifie que les deux intervalles se recouvrent. Écrire que 226 ohms n'est pas 220 ohms et que la mesure est donc fausse est l'erreur de raisonnement la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle fait déclarer ratée une expérience réussie.

Pourquoi un voltmètre fausse-t-il la mesure, et comment le savoir ?

Parce qu'il se branche en parallèle et laisse passer un petit courant : la résistance vue par le circuit devient celle du montage en parallèle avec celle du voltmètre, donc plus petite, et la tension lue tombe. Sur un diviseur de deux résistances de cent kilohms sous douze volts, un voltmètre d'un mégohm fait lire 5,71 volts au lieu de 6,00 volts, soit près de cinq pour cent de moins. L'erreur est systématique, donc aucune répétition ne la révèle : on la détecte en comparant la résistance du voltmètre à celle du circuit, et on la corrige par le calcul ou en choisissant des résistances mille fois plus petites.

Quand faut-il linéariser plutôt que calculer point par point ?

Dès que la loi n'est pas affine et qu'on dispose de plusieurs points. La linéarisation transforme la loi en droite, par exemple le logarithme de la tension en fonction du temps pour une décharge de condensateur, et elle apporte deux choses qu'un point isolé ne donnera jamais : la preuve que le modèle tient, par l'alignement des points, et un diagnostic quand il ne tient pas, par la forme de la courbure. Un point unique fournit toujours un nombre, y compris quand le phénomène n'est pas celui qu'on croit.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoire

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche suivante Charge, champ et potentiel électriques

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Exercices : mesures, incertitudes et analyse graphique (203-SN2-RE)Circuits à courant continu (203-SN2-RE)Les circuits RC (203-SN2-RE)Les mêmes méthodes en mécanique (203-SN1-RE)Tous les chapitres du 203-SN2-RE

Vous cherchez un tuteur en physique 203-SN2-RE à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On travaille les incertitudes et les rapports de laboratoire en même temps que la théorie de l'électricité, pour que les points de la démarche ne se perdent plus.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli