Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : Le théorème de Gauss

Cette fiche ne refait pas le cours sur le théorème de Gauss, elle liste ce qui fait perdre des points le jour de l'évaluation. Le théorème a une propriété qui déroute : il est universellement vrai et presque toujours inutilisable. Sa validité ne suppose aucune symétrie, mais il ne donne le champ que si une symétrie fournit une surface sur laquelle le module de $\vec{E}$ est constant et sa direction connue.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature du cours 203-SN2-RE (ancien 203-NYB), aux élèves de Terminale spécialité physique-chimie, et sert aussi de révision en classe préparatoire, où le théorème occupe exactement la même place : le premier outil qui remplace une intégrale par un argument de symétrie.

Mis à jour le 2 novembre 2026

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Le fil du chapitre

Le théorème de Gauss est toujours VRAI, il n'est pas toujours UTILE : c'est la symétrie, et elle seule, qui décide s'il existe une surface sur laquelle on peut sortir $E$ de l'intégrale.

Ce chapitre fait partie de Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB)

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Charge, champ et potentiel électriques Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Théorème de Pythagore et réciproque Secondaire 3, Mathématiques
2 Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle Secondaire 4, Mathématiques
3 Les vecteurs et la géométrie vectorielle Secondaire 5, Mathématiques
4 Cinématique et le MRUA Secondaire 5
5 Dynamique et les lois de Newton Secondaire 5
6 La dérivée et ses règles Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)
7 Cinématique en une et deux dimensions Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
8 Dynamique : lois de Newton et frottement Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
9 Charge, champ et potentiel électriques

Notions couvertes

Flux électrique
Théorème de Gauss
Surface de Gauss
Symétrie sphérique
Symétrie cylindrique
Symétrie plane
Densité volumique de charge
Conducteur en équilibre électrostatique
Blindage électrostatique
Principe de superposition
Pression électrostatique
Angle solide

L'essentiel

Le flux : ce qui traverse une surface

• Champ uniforme à travers une surface plane d'aire $A$ : $\Phi_{E}=EA\cos\theta$ , où $\theta$ est l'angle entre $\vec{E}$ et la normale $\vec{n}$ à la surface.
• Surface fermée : $\vec{n}$ pointe vers l'EXTÉRIEUR ; le flux est positif là où le champ sort, négatif là où il entre.
• Le flux compte les lignes de champ qui traversent : nul si $\vec{E}$ est parallèle à la surface, maximal s'il lui est perpendiculaire.

La normale

\vec{n}

de la surface, vue de profil, fait l'angle

\theta

avec

\vec{E}

: seule la composante de

\vec{E}

le long de

\vec{n}

traverse,

\Phi_{E}=EA\cos\theta

, nul si la surface est parallèle au champ.

L'angle se prend avec la NORMALE, pas avec la surface : confondre les deux échange le cosinus et le sinus.

Le théorème, et les trois seules symétries qui le rendent utile

• $\displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}$ , avec la seule charge ENFERMÉE. Les charges extérieures créent du champ sur la surface mais un flux net nul : ce qui entre ressort.
• Sphérique : $E(4\pi r^{2})=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}$ . Cylindrique infinie : $E(2\pi rL)=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}$ , les deux disques ne contribuant pas. Plane infinie : boîte traversant le plan.
• Sphère PLEINE uniformément chargée : $E=\dfrac{kQr}{R^{3}}$ dedans, $E=\dfrac{kQ}{r^{2}}$ dehors. Le champ croît linéairement, passe par un maximum en $r=R$ , puis décroît.
• Conducteur en équilibre : $E=0$ dans le métal, $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ juste dehors, soit le DOUBLE d'une nappe isolante de même $\sigma$ , parce que le flux ne sort que d'un côté.

Dans la sphère isolante le champ CROÎT avec

r

, parce que la charge enfermée grandit comme

r^{3}

alors que la surface ne grandit que comme

r^{2}

; il culmine à la surface puis décroît.

Ce que le théorème ne peut pas faire

• Il ne distingue JAMAIS deux distributions de même charge totale vues de l'extérieur : sphère creuse, sphère pleine, conducteur ou charge ponctuelle donnent exactement le même champ pour $r>R$ .
• Il ne donne rien sans symétrie : cavité décentrée, cube chargé, tige finie. On passe alors par la SUPERPOSITION, en écrivant l'objet comme une somme de morceaux symétriques, réels ou fictifs.
• Densité NON uniforme : aucune formule apprise ne s'applique, il faut intégrer $Q_{\text{int}}=\displaystyle\int_{0}^{r}\rho(r')4\pi r'^{2}dr'$ avant d'appliquer le théorème.
• Cavité sphérique décentrée dans une sphère uniforme : le champ intérieur est UNIFORME et vaut $\vec{E}=\dfrac{\rho\vec{d}}{3\varepsilon_{0}}$ , où $\vec{d}$ joint les deux centres. Ni le rayon de la cavité ni celui de la sphère n'y figurent.

Dans la cavité décentrée, le champ est partout le même, parallèle à

\overrightarrow{OO'}

\dfrac{\rho d}{3\varepsilon_{0}}=1{,}58\times 10^{4}

V/m pour

d=7{,}00

cm. Aucun rayon n'intervient.

Conducteur creux : les charges qui apparaissent

• Une surface de Gauss tracée DANS le métal voit $E=0$ , donc un flux nul, donc une charge enfermée nulle : la paroi d'une cavité porte l'opposé de la charge qu'elle entoure.
• La surface extérieure porte le reste, par conservation : la charge totale du conducteur moins celle de la paroi intérieure.
• Vu de l'extérieur, seule compte la charge de la surface extérieure : la position de la charge dans la cavité ne se voit pas.

\Sigma

, tracée dans le métal où

E=0

, enferme une charge nulle : la paroi intérieure porte

-q

(signes bleus), la surface extérieure

+q

(signes rouges). Dehors, tout se passe comme pour

q

seule.

Toujours dans cet ordre : Gauss dans le métal, puis conservation de la charge totale. C'est le raisonnement du seau de Faraday et de la coquille chargée.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Un cube est placé dans un champ électrique uniforme de $350$ N/C. Le flux total à travers sa surface est nul.

3 points, et c'est l'erreur numéro un du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le flux est nul, donc le champ électrique est nul en tout point de la surface du cube.

Ce qu'il faut écrire

Le flux nul signifie seulement que la charge enfermée est nulle : ce qui entre par une face ressort par la face opposée. Le champ vaut $350$ N/C partout.

Autant de lignes de champ entrent par la face gauche qu'il n'en sort par la face droite : le bilan est nul alors que le champ vaut

350

N/C en chaque point. Les normales

\vec{n}

pointent vers l'extérieur.

Pourquoi : Le flux est un BILAN entre ce qui entre et ce qui sort, pas une mesure de ce qui passe. La réciproque, elle, est vraie : si le champ est nul partout sur la surface, le flux l'est aussi. Le contre-exemple minimal à savoir citer est justement ce cube, et il suffit à répondre à toute question de ce type.

2. Une charge de $50$ nC est placée à $1{,}00$ cm à l'extérieur d'une face du cube.

2 points sur la question de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

Cette charge étant à l'extérieur, elle ne crée aucun champ sur la surface du cube, et c'est pourquoi elle n'apparaît pas dans le théorème.

Ce qu'il faut écrire

Elle crée un champ énorme sur cette face, $4{,}49\times 10^{6}$ N/C à un centimètre. Ce qui est nul, c'est sa contribution au FLUX NET : ses lignes traversent la surface de part en part.

La charge est hors du cube, tout près d'une face : ses lignes entrent par cette face et ressortent par les autres. Le flux net est nul, le champ sur la face, lui, est intense.

Pourquoi : La conclusion de l'énoncé faux est correcte, mais sa justification ne l'est pas, et un correcteur sanctionne cela. Le théorème ne dit pas que les charges extérieures sont sans effet, il dit que leur bilan de flux est nul. C'est une différence essentielle dès qu'on demande le champ en un point plutôt que le flux.

3. Une sphère isolante de rayon $R$ porte une densité de charge $\rho(r)=\rho_{0}\dfrac{r}{R}$ , croissante vers l'extérieur. Calculer le champ en $r=\dfrac{R}{2}$ .

Toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

$E=\dfrac{kQr}{R^{3}}$ avec la charge totale, ce qui donne $4{,}24\times 10^{3}$ V/m.

Ce qu'il faut écrire

Je calcule d'abord $Q_{\text{int}}(r)=\displaystyle\int_{0}^{r}\rho_{0}\dfrac{r'}{R}4\pi r'^{2}dr'=\dfrac{\pi\rho_{0}r^{4}}{R}$ , puis $E=\dfrac{k\pi\rho_{0}r^{2}}{R}=2{,}12\times 10^{3}$ V/m.

Pourquoi : La formule $\dfrac{kQr}{R^{3}}$ suppose que la charge enfermée croît comme $r^{3}$ , ce qui n'est vrai que pour une densité UNIFORME. Ici elle croît comme $r^{4}$ , la matière étant concentrée vers l'extérieur, et il y a donc moins de charge que prévu au centre : le résultat est faux d'un facteur exactement 2 en $r=\dfrac{R}{2}$ . Rien à l'extérieur ne trahit la différence, les deux distributions y donnant le même champ.

4. Une plaque conductrice porte $\sigma=8{,}00$ nC/m $^{2}$ sur chacune de ses faces. Calculer le champ juste à l'extérieur.

2 points, avec un facteur 2 qui contamine tout le reste

Ce qu'il ne faut pas écrire

$E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=452$ N/C, comme pour tout plan chargé.

Ce qu'il faut écrire

$E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}=904$ N/C, le double, parce que la boîte de Gauss a un disque DANS le métal où le champ est nul : le flux ne sort que d'un côté.

Nappe : le flux sort par les DEUX disques,

\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=452

N/C. Conducteur : un disque est dans le métal, où

E=0

, tout sort par l'autre,

\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}=904

N/C.

Pourquoi : Les deux formules sont justes, elles ne parlent simplement pas du même objet. Nappe isolante : la boîte dépasse des deux côtés, le flux sort par DEUX disques, d'où le facteur 2 au dénominateur. Conducteur : un seul disque est dans le vide, l'autre est dans le métal à champ nul. Autre lecture équivalente, un conducteur porte $\sigma$ sur ses DEUX faces, et deux nappes superposées donnent bien $\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ .

5. Comparer le champ extérieur d'une sphère creuse et d'une sphère pleine portant la même charge.

2 points, et une occasion manquée de gagner du temps

Ce qu'il ne faut pas écrire

Ils diffèrent, puisque la charge n'est pas répartie de la même façon à l'intérieur.

Ce qu'il faut écrire

Ils sont RIGOUREUSEMENT identiques : une surface de Gauss sphérique extérieure enferme la même charge dans les deux cas, avec la même symétrie, donc $E=\dfrac{kQ}{r^{2}}$ des deux côtés.

Même charge, même surface de Gauss : la sphère creuse (charge en surface) et la sphère pleine (charge dans le volume) donnent le même champ

\dfrac{kQ}{r^{2}}

sur la surface pointillée. Les flèches sont identiques.

Pourquoi : Vue de l'extérieur, toute distribution à symétrie sphérique est indiscernable d'une charge ponctuelle égale placée au centre. C'est la force du théorème, et c'est aussi sa limite : il ne peut pas servir à sonder une structure interne depuis le dehors. C'est pour la version gravitationnelle du même résultat que Newton a dû démontrer qu'une planète attire comme si toute sa masse était en son centre.

6. On demande le champ dans une cavité sphérique creusée hors du centre d'une boule uniformément chargée.

Toute la question, souvent 5 points en fin d'épreuve

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le théorème de Gauss appliqué à une petite sphère dans la cavité donne un champ nul, puisqu'elle n'enferme aucune charge.

Ce qu'il faut écrire

Le champ n'est pas nul : il est UNIFORME et vaut $\dfrac{\rho d}{3\varepsilon_{0}}$ . On l'obtient par superposition d'une boule de densité $+\rho$ et d'une boule de densité $-\rho$ occupant la cavité.

Pourquoi : Le théorème reste vrai, il dit seulement que le FLUX est nul, ce qui n'implique pas que le champ le soit, faute de symétrie sur cette surface. La superposition débloque tout : par Chasles, le point d'observation DISPARAÎT du résultat, ce qui prouve l'uniformité. Ni le rayon de la cavité ni celui de la boule n'apparaissent, seule la distance entre les centres.

Quelle méthode choisir

Quelle surface de Gauss, selon la symétrie

Avant tout calcul, chercher les invariances de la distribution : elles seules disent s'il existe une surface où $E$ est constant.

Les trois surfaces de Gauss utiles, en cyan : sphère concentrique, cylindre coaxial, boîte qui traverse le plan. Sur chacune,

\vec{E}

est perpendiculaire à la surface avec un module constant, ou parallèle à elle.

Si Symétrie SPHÉRIQUE, charge ponctuelle, boule, coquille → Sphère de rayon $r$ concentrique. $E(4\pi r^{2})=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}$ . Traiter séparément $r<R$ et $r>R$ , puis VÉRIFIER que les deux expressions coïncident en $r=R$ .

Exemple : Boule de $45{,}0$ nC et $10{,}0$ cm : $1{,}62\times 10^{4}$ V/m à $4{,}00$ cm, $4{,}04\times 10^{4}$ V/m à la surface.
Si Symétrie CYLINDRIQUE infinie, fil, câble, cylindre chargé → Cylindre coaxial de rayon $r$ et de longueur $L$ . Les deux disques ne contribuent pas, le champ y étant parallèle à leur surface, et $L$ se simplifie.

Exemple : Coaxial de densité $3{,}20$ nC/m : $E=1{,}92\times 10^{4}$ V/m à $3{,}00$ mm, et $50{,}6$ pF/m.
Si Symétrie PLANE infinie, nappe ou plaque → Boîte cylindrique traversant le plan. $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ pour une nappe isolante, $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ à la surface d'un conducteur.

Exemple : Deux plans de signes opposés : $\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ entre eux, zéro à l'extérieur.
Si Densité NON uniforme mais symétrie conservée → Le théorème s'applique encore, mais il faut INTÉGRER la densité pour obtenir $Q_{\text{int}}(r)$ avant de l'employer. Aucune formule mémorisée ne convient.

Exemple : $\rho\propto r$ : $Q_{\text{int}}\propto r^{4}$ et $E\propto r^{2}$ , au lieu de $r^{3}$ et $r$ .
Si AUCUNE symétrie, cavité décentrée, objet fini → Superposition : écrire l'objet comme une somme de morceaux symétriques, éventuellement fictifs et de densité négative. Le théorème sert alors sur chaque morceau, pas sur l'ensemble.

Exemple : Cavité décentrée de $7{,}00$ cm dans $\rho=6{,}00$ μC/m $^{3}$ : champ uniforme de $1{,}58\times 10^{4}$ V/m.

Un CONDUCTEUR simplifie tout : le champ y est nul, donc une surface de Gauss tracée dans le métal enferme toujours une charge nulle. C'est ce raisonnement en deux temps, Gauss dans le métal puis conservation de la charge totale, qui donne les charges des deux surfaces d'une coquille.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Appliquer le théorème de Gauss proprement

Quand l'utiliser : Dès qu'une distribution présente l'une des trois symétries et qu'on demande le champ.

1 Énoncer la symétrie et en déduire la DIRECTION du champ ainsi que les variables dont son module dépend.
2 Choisir la surface de Gauss et dire pourquoi : le module de $\vec{E}$ y est constant, et sa direction est connue en chaque point.
3 Calculer le flux en distinguant les parties de la surface : celles où $\vec{E}$ est perpendiculaire à la surface, celles où il lui est parallèle et qui ne contribuent pas.
4 Calculer la charge ENFERMÉE, en distinguant les régions $r<R$ et $r>R$ .
5 Résoudre, puis VÉRIFIER la continuité au raccord et le comportement à l'infini.

Phrase de conclusion

« La distribution est invariante par rotation autour de l'axe et par translation le long de celui-ci, donc $\vec{E}$ est radial et son module ne dépend que de $r$ : je choisis un cylindre coaxial de rayon $r$ et de longueur $L$ . »

Le piège : Écrire directement $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$ sans avoir justifié la symétrie : le correcteur ne peut pas distinguer une application du théorème d'une formule recopiée, et la moitié des points porte justement sur la justification.

Barème : 2 points pour la symétrie et le choix justifié de la surface, 1 point pour le flux, 1 point pour la charge enfermée, 1 point pour le raccord vérifié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le raccord en $r=R$

Évaluer les deux expressions, intérieure et extérieure, exactement en $r=R$ . Elles doivent donner le même nombre : c'est le contrôle obligatoire de tout champ défini par morceaux.

$\dfrac{kQR}{R^{3}}$ et $\dfrac{kQ}{R^{2}}$ donnent tous deux $4{,}04\times 10^{4}$ V/m : le raccord est bon.
Le comportement loin de l'objet

Faire tendre $r$ vers l'infini : le champ doit décroître en $\dfrac{1}{r^{2}}$ pour une distribution bornée, en $\dfrac{1}{r}$ pour un cylindre infini, et rester CONSTANT pour un plan infini.

Un champ qui décroîtrait en $\dfrac{1}{r^{3}}$ loin d'une boule chargée signale une erreur de charge enfermée.
Le champ est nul dans le métal

Sur tout schéma comportant un conducteur, marquer $E=0$ dans son épaisseur avant de commencer, puis en déduire les charges de surface par Gauss.

Coquille neutre autour de $+12{,}0$ nC : $-12{,}0$ nC sur la face intérieure, $+12{,}0$ nC sur la face extérieure.
L'unité et l'ordre de grandeur

Un champ électrostatique de laboratoire va de quelques volts par mètre à quelques mégavolts par mètre, l'air claquant à $3{,}00\times 10^{6}$ V/m. Au-delà, la situation décrite est physiquement impossible.

Un champ de $10^{9}$ V/m annoncé pour une sphère à quelques nanocoulombs signale une erreur de puissance de dix.

L'exercice type décortiqué

La sphère isolante pleine, ses deux régions et son raccord

Une sphère ISOLANTE de rayon $R=10{,}0$ cm porte $Q=45{,}0$ nC uniformément répartie dans son VOLUME. Trouver le champ en $r=4{,}00$ cm, à la surface et en $r=25{,}0$ cm, puis le potentiel au centre. Dire enfin ce qui change si la sphère est conductrice.

La sphère isolante de rayon

R=10{,}0

cm, chargée dans tout son volume, et les deux points où l'on cherche le champ :

P_{1}

4{,}00

cm du centre, dedans, et

P_{2}

25{,}0

cm, dehors. Distances à l'échelle.

Étape 1

Symétrie sphérique : $\vec{E}$ est radial et son module ne dépend que de $r$ . Surface de Gauss : sphère concentrique de rayon $r$ .

Pourquoi

C'est la ligne qui vaut deux points sur cinq. Sans elle, on ne peut pas écrire $\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=E(4\pi r^{2})$ , car sortir $E$ de l'intégrale suppose justement qu'il est constant sur la surface.

Étape 2

Pour $r<R$ : $Q_{\text{int}}=Q\dfrac{r^{3}}{R^{3}}$ , donc $E=\dfrac{kQr}{R^{3}}$ . En $r=4{,}00$ cm : $E=1{,}62\times 10^{4}$ V/m.

Pourquoi

Le mot ISOLANTE de l'énoncé est décisif : dans un conducteur, la charge fuirait toute vers la surface et il n'y aurait aucune charge enfermée. Le champ CROÎT avec $r$ parce que la charge grandit comme $r^{3}$ alors que l'aire ne grandit que comme $r^{2}$ .

Étape 3

En $r=R$ , par l'intérieur : $\dfrac{kQR}{R^{3}}=\dfrac{kQ}{R^{2}}=4{,}04\times 10^{4}$ V/m. Par l'extérieur : $\dfrac{kQ}{R^{2}}$ , identique.

Pourquoi

Le raccord est le contrôle obligatoire. Si les deux branches ne se rejoignent pas, il y a une erreur, et la trouver ici coûte trente secondes contre plusieurs minutes en fin d'épreuve.

Étape 4

Pour $r>R$ : $Q_{\text{int}}=Q$ , donc $E=\dfrac{kQ}{r^{2}}$ . En $r=25{,}0$ cm : $E=6{,}47\times 10^{3}$ V/m.

Pourquoi

À l'extérieur, tout se passe comme si la charge était ponctuelle et placée au centre : c'est vrai pour n'importe quelle distribution à symétrie sphérique, creuse, pleine ou de densité variable.

Étape 5

Potentiel : $V(r)=\dfrac{kQ}{2R^{3}}(3R^{2}-r^{2})$ pour $r\le R$ , donc $V(0)=\dfrac{3}{2}\dfrac{kQ}{R}=6{,}07\times 10^{3}$ V, contre $4{,}04\times 10^{3}$ V à la surface.

Pourquoi

Le potentiel est MAXIMAL au centre alors que le champ y est nul, et c'est cohérent : $E=-\dfrac{dV}{dr}$ , et une fonction maximale a une dérivée nulle. C'est le meilleur exemple du chapitre que la valeur de $V$ ne dit rien de celle de $E$ .

Étape 6

Sphère CONDUCTRICE : $E=0$ pour tout $r<R$ , $E$ inchangé pour $r>R$ , et $V=4{,}04\times 10^{3}$ V constant dans tout le volume.

Pourquoi

Le champ extérieur ne permet absolument pas de distinguer les deux cas : c'est la limite du théorème. Ce qui change, et qui change complètement, c'est l'intérieur, où la charge a migré en surface.

Conclusion rédigée

Isolante : $1{,}62\times 10^{4}$ V/m à $4{,}00$ cm, $4{,}04\times 10^{4}$ V/m à la surface, $6{,}47\times 10^{3}$ V/m à $25{,}0$ cm, et $6{,}07$ kV au centre. Conductrice : champ nul à l'intérieur, potentiel uniforme à $4{,}04$ kV, extérieur identique.

L'erreur classique sur cet exercice : Appliquer la formule extérieure à l'intérieur, ou l'inverse, sans jamais vérifier le raccord. L'autre erreur classique est d'oublier le mot isolante et de conclure trop vite que le champ intérieur est nul.

À savoir par cœur

• $\displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}$ : seule la charge ENFERMÉE compte, et $\varepsilon_{0}=8{,}854\times 10^{-12}$ F/m.
• Trois symétries et trois seulement : sphérique, cylindrique infinie, plane infinie. Ailleurs, le théorème est vrai mais inutilisable.
• Boule uniforme : $E=\dfrac{kQr}{R^{3}}$ dedans, $\dfrac{kQ}{r^{2}}$ dehors. Fil : $\dfrac{2k\lambda}{r}$ . Nappe : $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ . Conducteur : $\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ .
• Un flux nul ne signifie pas un champ nul ; un champ nul partout sur la surface, lui, donne bien un flux nul.
• Densité non uniforme : intégrer $Q_{\text{int}}=\displaystyle\int_{0}^{r}\rho(r')4\pi r'^{2}dr'$ AVANT d'appliquer le théorème.
• Cavité décentrée : champ uniforme $\dfrac{\rho\vec{d}}{3\varepsilon_{0}}$ , indépendant des deux rayons.
• Potentiel d'une boule uniforme : $\dfrac{3}{2}\dfrac{kQ}{R}$ au centre, une fois et demie celui de la surface.

Questions fréquentes

Un flux nul signifie-t-il que le champ électrique est nul ?

Non. Le flux est un bilan entre ce qui entre et ce qui sort de la surface fermée : un cube placé dans un champ uniforme a un flux nul alors que le champ vaut la même valeur en chacun de ses points. Un flux nul indique seulement que la charge enfermée est nulle. La réciproque est vraie : un champ nul partout sur la surface donne bien un flux nul.

Quand le théorème de Gauss permet-il vraiment de calculer le champ ?

Seulement quand une symétrie fournit une surface sur laquelle le module du champ est constant et sa direction connue : symétrie sphérique, cylindrique infinie, ou plane infinie. Le théorème reste vrai partout ailleurs, mais on ne peut plus sortir le champ de l'intégrale, et il faut alors passer par la superposition ou par un calcul direct.

Les charges extérieures à la surface de Gauss créent-elles un champ dessus ?

Oui, et il peut être très intense : une charge de 50 nanocoulombs à un centimètre produit plus de quatre millions de volts par mètre. Ce qui est nul, c'est leur contribution au flux net, car leurs lignes de champ entrent d'un côté de la surface fermée et ressortent de l'autre. C'est pourquoi seule la charge enfermée figure dans le théorème.

Comment varie le champ à l'intérieur d'une sphère isolante uniformément chargée ?

Il croît linéairement avec le rayon : il diminue donc quand on s'approche du centre, où il s'annule. La charge enfermée par la surface de Gauss grandit comme le cube du rayon alors que l'aire de cette surface ne grandit que comme le carré : le quotient croît donc comme le rayon.

Pourquoi le champ à la surface d'un conducteur est-il le double de celui d'une nappe chargée ?

Parce que la boîte de Gauss n'est pas placée de la même façon. Pour une nappe isolante, elle dépasse des deux côtés et le flux sort par ses deux disques, d'où le facteur deux au dénominateur. Pour un conducteur, un disque est dans le métal où le champ est nul : tout le flux sort par un seul disque, et le facteur deux disparaît.

Comment calculer le champ quand la densité de charge n'est pas uniforme ?

Il faut d'abord calculer la charge enfermée en intégrant la densité sur le volume de la sphère de rayon considéré, puis seulement appliquer le théorème. Aucune formule apprise pour une densité uniforme ne s'applique : si la densité croît comme le rayon, la charge enfermée croît comme sa puissance quatrième et le champ comme son carré, pas comme le rayon.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Le théorème de Gauss

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Le potentiel électrique et les condensateurs

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/physique-nyb-theoreme-gauss. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : Le théorème de Gauss

L'essentiel

Le flux : ce qui traverse une surface

Le théorème, et les trois seules symétries qui le rendent utile

Ce que le théorème ne peut pas faire

Conducteur creux : les charges qui apparaissent

Les pièges qui coûtent des points

1. Un cube est placé dans un champ électrique uniforme de 350350350 N/C. Le flux total à travers sa surface est nul.

2. Une charge de 505050 nC est placée à 1,001{,}001,00 cm à l'extérieur d'une face du cube.

3. Une sphère isolante de rayon RRR porte une densité de charge ρ(r)=ρ0rR\rho(r)=\rho_{0}\dfrac{r}{R}ρ(r)=ρ0​Rr​, croissante vers l'extérieur. Calculer le champ en r=R2r=\dfrac{R}{2}r=2R​.

4. Une plaque conductrice porte σ=8,00\sigma=8{,}00σ=8,00 nC/m2^{2}2 sur chacune de ses faces. Calculer le champ juste à l'extérieur.

5. Comparer le champ extérieur d'une sphère creuse et d'une sphère pleine portant la même charge.

6. On demande le champ dans une cavité sphérique creusée hors du centre d'une boule uniformément chargée.

Quelle méthode choisir

Quelle surface de Gauss, selon la symétrie

La rédaction attendue

Appliquer le théorème de Gauss proprement

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

La sphère isolante pleine, ses deux régions et son raccord

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Un flux nul signifie-t-il que le champ électrique est nul ?

Quand le théorème de Gauss permet-il vraiment de calculer le champ ?

Les charges extérieures à la surface de Gauss créent-elles un champ dessus ?

Comment varie le champ à l'intérieur d'une sphère isolante uniformément chargée ?

Pourquoi le champ à la surface d'un conducteur est-il le double de celui d'une nappe chargée ?

Comment calculer le champ quand la densité de charge n'est pas uniforme ?

Exercices corrigés : Le théorème de Gauss

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1. Un cube est placé dans un champ électrique uniforme de $350$ N/C. Le flux total à travers sa surface est nul.

2. Une charge de $50$ nC est placée à $1{,}00$ cm à l'extérieur d'une face du cube.

3. Une sphère isolante de rayon $R$ porte une densité de charge $\rho(r)=\rho_{0}\dfrac{r}{R}$ , croissante vers l'extérieur. Calculer le champ en $r=\dfrac{R}{2}$ .

4. Une plaque conductrice porte $\sigma=8{,}00$ nC/m $^{2}$ sur chacune de ses faces. Calculer le champ juste à l'extérieur.