Exercices corrigés : circuits RC, RL et RLC (203-NYB)

a) À $t=0^{+}$, le condensateur est déchargé : $u_{C}=0$, il se comporte comme un FIL, et toute la tension tombe sur $R$ : $i(0)=\frac{E}{R}=\frac{12}{1500}=8{,}0$ mA, le courant est MAXIMAL dès la fermeture. En régime permanent, le condensateur est plein : plus aucune charge ne circule, $i=0$, il se comporte comme un INTERRUPTEUR OUVERT, et $u_{C}=E=12$ V (plus de chute dans $R$).

b) Loi des mailles : $E=Ri+u_{C}$, avec $i=\frac{dq}{dt}=C\frac{du_{C}}{dt}$, d'où $RC\frac{du_{C}}{dt}+u_{C}=E$. En injectant $u_{C}=E(1-e^{-t/\tau})$ : $\frac{du_{C}}{dt}=\frac{E}{\tau}e^{-t/\tau}$, donc $\frac{RC}{\tau}Ee^{-t/\tau}+E-Ee^{-t/\tau}=E$, ce qui exige $\frac{RC}{\tau}=1$ : la solution convient si et seulement si $\tau=RC$. La condition initiale $u_{C}(0)=0$ est bien vérifiée.

c) $\tau=RC=(1500)(20\times 10^{-6})=0{,}030$ s $=30$ ms. Lecture 1 : $u_{C}(\tau)=12(1-e^{-1})\approx 7{,}6$ V, soit 63 % de 12 V, la barre horizontale de la figure. Lecture 2 : la tangente à l'origine, de pente $\frac{E}{\tau}$, atteint l'asymptote $E$ exactement en $t=\tau=30$ ms. Lecture 3 : il reste $e^{-5}\approx 0{,}7$ % à $t=5\tau=150$ ms, le bord droit de la figure : la charge est finie à 99 % et quelques.

d) La pile débite la charge totale $Q=CE$ sous la tension constante $E$ : elle fournit $W=QE=CE^{2}=(20\times 10^{-6})(144)=2{,}88$ mJ. Le condensateur ne stocke que $\frac{1}{2}CE^{2}=1{,}44$ mJ : exactement la MOITIÉ. L'autre moitié est partie en chaleur dans la résistance, et ce partage ne dépend pas de $R$ : une petite résistance dissipe par courants intenses et brefs, une grande par courants faibles et longs, mais la facture est la même. Charger un condensateur à tension constante coûte toujours le double de ce qu'on y range : un rendement de 50 %, incompressible.

a) $W=\frac{1}{2}CU_{0}^{2}=\frac{1}{2}(1200\times 10^{-6})(300)^{2}=54$ J : l'énergie d'un litre d'eau soulevé de cinq mètres et demi, rangée dans un composant de poche.

b) Sans pile, la loi des mailles donne $Ri+u=0$ avec $i=-C\frac{du}{dt}$ (le condensateur se vide) : $RC\frac{du}{dt}+u=0$. Avec $u=U_{0}e^{-t/\tau}$ : $-\frac{RC}{\tau}U_{0}e^{-t/\tau}+U_{0}e^{-t/\tau}=0$, vérifié si $\tau=RC=(10)(1200\times 10^{-6})=12$ ms. Courant initial : $I_{0}=\frac{U_{0}}{R}=\frac{300}{10}=30$ A : trente ampères dans une lampe.

c) $u=\frac{U_{0}}{2}$ quand $e^{-t/\tau}=\frac{1}{2}$, soit $t_{1/2}=\tau\ln 2\approx 8{,}3$ ms. Depuis n'importe quelle tension $u_{1}$ atteinte à l'instant $t_{1}$ : $u(t_{1}+t_{1/2})=u_{1}e^{-t_{1/2}/\tau}=\frac{u_{1}}{2}$ : l'exponentielle divise par deux tous les $8{,}3$ ms, d'où qu'on parte, exactement comme une désintégration radioactive. La barre des 110 V est $\frac{U_{0}}{e}\approx 0{,}37\times 300$ V : la tension à $t=\tau=12$ ms, la lecture des 37 %.

d) $P_{0}=U_{0}I_{0}=\frac{U_{0}^{2}}{R}=\frac{90000}{10}=9000$ W : neuf kilowatts, la puissance de trois bouilloires. En moyenne sur $5\tau=60$ ms : $P_{\text{moy}}=\frac{54}{0{,}060}=900$ W. Or la recharge du même condensateur, à travers une grande résistance et un petit courant, prend plusieurs secondes à quelques watts : le condensateur encaisse lentement et restitue brutalement. Il n'a pas créé un joule, il les a seulement CONCENTRÉS dans le temps : amplificateur de puissance, jamais d'énergie.

a) Toute croissance de $i$ fait croître le flux du champ de la bobine à travers elle-même : par la loi de Lenz, la fem induite $e=-L\frac{di}{dt}$ s'OPPOSE à cette croissance. Un saut instantané de courant exigerait une fem infinie : le courant s'installe donc progressivement. À $t=0^{+}$ : $i=0$, la bobine se comporte comme un INTERRUPTEUR OUVERT (toute la tension est à ses bornes). En régime permanent : $\frac{di}{dt}=0$, plus aucune fem, la bobine idéale est un simple FIL : $I_{\infty}=\frac{E}{R}=\frac{12}{6{,}0}=2{,}0$ A. C'est le miroir exact du condensateur, qui fait fil au départ et coupure à l'arrivée.

b) $[L]=$ V·s/A (une fem par taux de variation du courant) et $[R]=$ V/A : le quotient $\frac{L}{R}$ est en secondes. $\tau=\frac{L}{R}=\frac{0{,}30}{6{,}0}=50$ ms, et $i(t)=I_{\infty}(1-e^{-t/\tau})=2{,}0(1-e^{-t/0{,}050})$ : même exponentielle que la charge du condensateur, mêmes lectures de $\tau$ sur la courbe (63 %, tangente à l'origine).

c) $i(\tau)=2{,}0(1-e^{-1})\approx 1{,}26$ A. Énergie en régime permanent : $W=\frac{1}{2}LI_{\infty}^{2}=\frac{1}{2}(0{,}30)(2{,}0)^{2}=0{,}60$ J, stockée dans le champ magnétique de la bobine.

d) L'ouverture force $i$ de 2,0 A à 0 en $\Delta t\approx 1$ ms : $|e|=L\frac{\Delta i}{\Delta t}\approx(0{,}30)\frac{2{,}0}{0{,}001}=600$ V, cinquante fois la tension de la pile ! Cette surtension claque l'air de l'interrupteur entrouvert : c'est l'étincelle, la vengeance de la bobine qui refuse qu'on coupe son courant. Application : la bobine d'allumage d'une voiture pousse le procédé jusqu'à des dizaines de milliers de volts pour faire jaillir l'étincelle de la bougie. Protection : une diode de roue libre en parallèle offre au courant un chemin de repli et absorbe la surtension (relais, moteurs, électronique).

a) Loi des mailles sur le circuit fermé condensateur-bobine : $u_{C}=L\frac{di}{dt}$ n'est plus compensée par rien d'autre; avec $u_{C}=\frac{q}{C}$ et $i=-\frac{dq}{dt}$ (le condensateur se vide), il vient $\frac{q}{C}=-L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}$, soit $\frac{d^{2}q}{dt^{2}}=-\frac{1}{LC}\,q$ : l'accélération de la charge est proportionnelle à la charge et de signe opposé, la signature exacte de l'oscillateur harmonique, avec $\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}$.

b) $\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{(0{,}050)(20\times 10^{-6})}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-6}}}=1000$ rad/s. Fréquence : $f_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}\approx 159$ Hz. Période : $T_{0}=2\pi\sqrt{LC}\approx 6{,}28$ ms : c'est bien l'abscisse du trait vertical de la figure, où la cosinusoïde boucle son premier tour.

c) L'énergie totale est celle du départ : $W=\frac{1}{2}CU_{0}^{2}=\frac{1}{2}(20\times 10^{-6})(144)=1{,}44$ mJ. Quand le courant est maximal, le condensateur est vide et TOUTE l'énergie est magnétique : $\frac{1}{2}LI_{\max}^{2}=W$, d'où $I_{\max}=U_{0}\sqrt{\frac{C}{L}}=12\sqrt{\frac{20\times 10^{-6}}{0{,}050}}=0{,}24$ A. Cohérence : $Q_{0}=CU_{0}=2{,}4\times 10^{-4}$ C et $\omega_{0}Q_{0}=(1000)(2{,}4\times 10^{-4})=0{,}24$ A, identique. Le courant culmine quand $u_{C}=0$ : aux quarts et trois quarts de période, à chaque passage de la tension par zéro sur la figure.

d) Les correspondances : $q\leftrightarrow x$ (l'élongation), $i\leftrightarrow v$ (la vitesse), $L\leftrightarrow m$ (l'INERTIE : la bobine refuse les variations de courant comme la masse refuse les variations de vitesse), $\frac{1}{C}\leftrightarrow k$ (la RAIDEUR : un petit condensateur se « tend » vite, comme un ressort raide). Les énergies se répondent : $\frac{1}{2}Li^{2}\leftrightarrow\frac{1}{2}mv^{2}$ et $\frac{q^{2}}{2C}\leftrightarrow\frac{1}{2}kx^{2}$, et $\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ décalque $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$. Le circuit LC est un masse-ressort où l'énergie se balance entre champ électrique et champ magnétique deux fois par période.

a) La résistance dissipe en chaleur, par effet Joule, une part de l'énergie à chaque aller-retour de charge : l'énergie totale du circuit décroît, donc l'amplitude aussi. Constante de temps de l'enveloppe : $\frac{2L}{R}=\frac{2(0{,}050)}{20}=5{,}0$ ms. Demi-amplitude : $t=\frac{2L}{R}\ln 2\approx 3{,}5$ ms : sur la figure, l'enveloppe grise passe de 12 V à 6 V en trois millisecondes et demie.

b) $R<R_{c}$ : régime PSEUDO-PÉRIODIQUE, le circuit oscille sous une enveloppe décroissante (la figure). $R=R_{c}$ : régime CRITIQUE, retour à zéro le plus rapide possible sans osciller. $R>R_{c}$ : régime APÉRIODIQUE, retour lent sans oscillation. Ici $R_{c}=2\sqrt{\frac{0{,}050}{20\times 10^{-6}}}=2\sqrt{2500}=100$ Ω.

c) $\frac{R}{2L}=\frac{20}{0{,}10}=200$ s$^{-1}$, donc $\omega'=\sqrt{1000^{2}-200^{2}}=\sqrt{9{,}6\times 10^{5}}\approx 980$ rad/s et $T'=\frac{2\pi}{\omega'}\approx 6{,}41$ ms, contre $T_{0}=6{,}28$ ms : un allongement d'à peine 2 %. Pendant ce temps, l'amplitude a été divisée par deux TOUS les 3,5 ms : l'amortissement tue l'amplitude bien avant de toucher au rythme. C'est pourquoi un pendule qui s'épuise bat quasiment la même seconde jusqu'au bout.

d) Le régime critique est celui du retour au repos le plus rapide sans rebond : amortisseurs d'automobile (la caisse revient sans pomper), ferme-portes (la porte se ferme vite mais ne claque pas), aiguilles des instruments de mesure (le galvanomètre se pose sur la valeur sans osciller autour). Moins d'amortissement : on oscille, la voiture rebondit, l'aiguille dépasse et revient. Plus d'amortissement : plus de rebond mais un retour paresseux, la porte met dix secondes à se fermer. Le critique est l'optimum exact entre les deux défauts.

a) La continuité de $i_{L}$ impose $i_{L}(0^{+})=i_{L}(0^{-})=0$ : à cet instant la bobine est un interrupteur ouvert et TOUT le courant passe par $R_{2}$. Le circuit vu de la pile est $R_{1}$ en série avec $R_{2}$ : $i=\frac{E}{R_{1}+R_{2}}=\frac{12}{12}=1{,}0$ A. Tension du groupement parallèle : $u=R_{2}i=8{,}0$ V, qui est aussi la tension aux bornes de la bobine (c'est elle qui va faire croître $i_{L}$).

b) En régime permanent, $\frac{di_{L}}{dt}=0$ : la bobine idéale est un fil, elle COURT-CIRCUITE $R_{2}$. La tension du parallèle tombe à 0, donc $i_{R_{2}}=0$, et la pile ne voit plus que $R_{1}$ : $i_{L}=\frac{E}{R_{1}}=\frac{12}{4{,}0}=3{,}0$ A. Le courant de la pile a TRIPLÉ entre la fermeture et le régime permanent.

c) À l'ouverture, la maille pile-$R_{1}$ disparaît, mais $i_{L}$ est continue : les 3,0 A de la bobine doivent se refermer quelque part, et le seul chemin restant est $R_{2}$. Juste après l'ouverture : $u_{R_{2}}=R_{2}i_{L}=(8{,}0)(3{,}0)=24$ V, le DOUBLE de la fem de la pile, et de polarité inversée ! La bobine, pour sauver son courant, fabrique la tension qu'il faut, comme l'étincelle de l'exercice 3, en version apprivoisée : $R_{2}$ joue le rôle de la diode de roue libre. Le courant s'éteint ensuite dans la boucle $L$-$R_{2}$ avec $\tau=\frac{L}{R_{2}}=\frac{0{,}20}{8{,}0}=25$ ms.

d) Avec le condensateur déchargé : la continuité de $u_{C}$ impose $u_{C}(0^{+})=0$ : le parallèle est court-circuité par le condensateur-fil, $i=\frac{E}{R_{1}}=3{,}0$ A, tout dans le condensateur, rien dans $R_{2}$. En régime permanent : plus de courant dans le condensateur plein, la pile débite dans $R_{1}+R_{2}$ : $i=1{,}0$ A et $u_{C}=R_{2}i=8{,}0$ V. Règle générale : $u_{C}$ et $i_{L}$ sont continues, car elles portent les énergies $\frac{1}{2}Cu^{2}$ et $\frac{1}{2}Li^{2}$, qu'aucune puissance finie ne peut faire sauter; TOUT le reste (courants des résistances, tension d'une bobine) peut être discontinu. Et la dualité saute aux yeux : mêmes nombres, 1,0 A / 8,0 V et 3,0 A, mais aux instants ÉCHANGÉS. La bobine commence en interrupteur ouvert et finit en fil; le condensateur commence en fil et finit en interrupteur ouvert : chacun est le miroir temporel de l'autre.