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Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : L'induction électromagnétique

Cette fiche ne refait pas le cours d'induction, elle liste ce qui fait perdre des points le jour de l'évaluation. Deux erreurs dominent tout le chapitre et se paient à chaque question : croire qu'un champ fort induit beaucoup, alors que seule sa VARIATION compte, et croire que le courant induit s'oppose au champ, alors qu'il s'oppose au CHANGEMENT de flux. Un mot de différence, et une réponse fausse une fois sur deux.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature du cours 203-SN2-RE (ancien 203-SN2-RE) et aux élèves de Terminale spécialité physique-chimie, où l'induction précède immédiatement l'étude des circuits RL et du transformateur.

Le fil du chapitre

Rien ne s'induit sans VARIATION de flux : ce n'est jamais la valeur du champ qui produit une fem, c'est sa pente, et le courant induit s'oppose au CHANGEMENT, jamais au champ lui-même.

Ce chapitre fait partie de Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Le théorème de Gauss
  2. 2Le potentiel électrique et les condensateurs
  3. 3Circuits à courant continu
  4. 4Magnétisme et induction

L'essentiel

La fem est une PENTE, pas une valeur

  • • ε=−NdΦdt\varepsilon=-N\dfrac{d\Phi}{dt}, où Φ=BAcos⁡θ\Phi=BA\cos\theta est le flux à travers UNE spire et θ\theta l'angle entre B⃗\vec{B} et la NORMALE, jamais entre B⃗\vec{B} et la surface.
  • • Le flux ne peut varier que de trois façons : dBdt≠0\dfrac{dB}{dt}\ne 0 à circuit fixe, une AIRE variable, ou une ORIENTATION variable. Devant un énoncé, la première question est : laquelle des trois ?
  • • Loi de Lenz, contenue dans le signe moins : le courant induit s'oppose à la VARIATION du flux. Un flux qui décroît fait naître un courant qui RENFORCE le champ existant, ce qui surprend au premier essai.
  • • Fem de mouvement : ε=Bℓv\varepsilon=B\ell v en translation, mais ε=12Bωℓ2\varepsilon=\dfrac{1}{2}B\omega\ell^{2} pour une barre qui TOURNE, car chaque point a sa propre vitesse.
0.511.522.533.54-0.1-0.050.050.10.150.20.250.30.350.4B (T)fem (V)B (T) et fem (V)
La fem s'annule exactement à l'instant où le champ est MAXIMAL, à t=2,00t=2{,}00 s : c'est la définition d'un maximum, une tangente horizontale, donc une dérivée nulle.

Ce qui suit : couplage, champ induit et transformateur

  • • Inductance mutuelle : ε2=−MdI1dt\varepsilon_{2}=-M\dfrac{dI_{1}}{dt} avec M=N2Φ2I1M=\dfrac{N_{2}\Phi_{2}}{I_{1}}. Réciprocité : M12=M21M_{12}=M_{21} toujours, donc on calcule MM dans le sens le plus COMMODE.
  • • Couplage k=ML1L2k=\dfrac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}, entre 0 et 1. Il vaut 1 seulement si les deux bobinages occupent exactement le même volume.
  • • Champ électrique induit : ∮E⃗⋅dℓ⃗=−dΦdt\displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=-\dfrac{d\Phi}{dt}. Ce champ n'est PAS conservatif : la tension entre deux points y dépend du chemin, et le potentiel n'a plus de sens.
  • • Transformateur idéal : U2U1=N2N1\dfrac{U_{2}}{U_{1}}=\dfrac{N_{2}}{N_{1}}, I2I1=N1N2\dfrac{I_{2}}{I_{1}}=\dfrac{N_{1}}{N_{2}}, et une charge ZZ vue du primaire vaut (N1N2)2Z\left(\dfrac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}Z.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Une bobine est placée dans l'entrefer d'un aimant supraconducteur de 1010 teslas, parfaitement stable.

2 points, et l'incompréhension de tout le chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le champ est énorme, donc la fem induite dans la bobine est énorme.

Ce qu'il faut écrire

dΦdt=0\dfrac{d\Phi}{dt}=0, donc ε=0\varepsilon=0 exactement. Aucune fem, quelle que soit l'intensité du champ.

Pourquoi : La loi de Faraday fait intervenir la DÉRIVÉE du flux, jamais le flux. Un champ de 1010 T stable n'induit rien, tandis qu'un champ de 1010 mT coupé en une milliseconde induit bien davantage. C'est exactement pour cela qu'un imageur médical n'induit rien avec son aimant principal, et tout avec ses gradients commutés, mille fois plus faibles.

2. On ÉLOIGNE un aimant d'une bobine, pôle nord en avant. Dans quel sens circule le courant induit ?

3 points, systématiquement, sur toute question de sens

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le courant induit crée toujours un champ opposé à celui de l'aimant, donc il s'oppose au champ nord.

Ce qu'il faut écrire

Le flux DIMINUE, donc le courant induit crée un champ de MÊME sens que celui de l'aimant, pour tenter de le maintenir. La bobine attire l'aimant.

Pourquoi : Il manque un mot à l'énoncé faux, et ce mot change tout : le courant induit s'oppose à la VARIATION du flux, pas au flux. Le contrôle physique qui ne trompe jamais : l'effet freine toujours le mouvement, sinon l'aimant s'accélérerait tout seul et l'on aurait un mouvement perpétuel. À l'approche il est repoussé, à l'éloignement il est attiré.

3. Une bobine en circuit ouvert est placée dans un champ variable.

2 points, et l'incapacité à traiter tout capteur inductif

Ce qu'il ne faut pas écrire

Aucun courant ne peut circuler, donc il n'y a pas de fem : l'induction ne se produit pas.

Ce qu'il faut écrire

La fem −NdΦdt-N\dfrac{d\Phi}{dt} existe et se mesure aux bornes ouvertes. Ce qui exige un circuit fermé, c'est le COURANT, donc aussi la force de Lenz et la dissipation.

Pourquoi : La fem est un travail par unité de charge, produit par le champ électrique induit : elle ne demande aucun conducteur bouclé. C'est le mode de fonctionnement normal de presque tous les capteurs inductifs, dont on lit la tension à vide. L'anneau fendu de la démonstration classique ne saute pas, précisément parce qu'il ne peut porter aucun courant, alors que la fem y est bien présente.

4. Calculer le flux à travers un cadre rectangulaire placé à côté d'un fil rectiligne parcouru par un courant.

3 points, la question entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

Φ=BA\Phi=BA avec B=μ0I2πrB=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r} pris au milieu du cadre.

Ce qu'il faut écrire

Le champ varie en 1r\dfrac{1}{r} sur le cadre, donc il faut intégrer : Φ=μ0IL2πln⁡ba\Phi=\dfrac{\mu_{0}IL}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}.

filaB fortbB faibleil faut integrer
Le champ du fil décroît en 1r\dfrac{1}{r} d'un bord du cadre à l'autre : la formule BABA est inapplicable, et l'intégration fait apparaître ln⁡ba\ln\dfrac{b}{a}.

Pourquoi : La formule BABA suppose le champ UNIFORME sur la surface, ce qui est faux dès que le cadre est proche du fil : à 2,002{,}00 cm et 7,007{,}00 cm, le champ est déjà trois fois et demie plus intense d'un bord à l'autre. La signature de cette géométrie est le logarithme, et il faut savoir le reconnaître : tout champ en 1r\dfrac{1}{r} traversant une surface plane en fait apparaître un.

5. Une boucle entoure une région où le champ magnétique varie, mais le champ est nul sur la boucle elle-même.

3 points sur la question de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le champ magnétique étant nul en tout point de la boucle, le champ électrique induit y est nul aussi.

Ce qu'il faut écrire

La circulation vaut −dΦdt-\dfrac{d\Phi}{dt} avec le flux ENFERMÉ, donc E=R22rdBdtE=\dfrac{R^{2}}{2r}\dfrac{dB}{dt} à l'extérieur : non nul, bien que BB y soit nul.

2.557.51012.51517.5200.511.522.533.544.5r (cm)B nul au-dela de 5E induit (mV/m)
Au-delà de r=5r=5 cm le champ magnétique est nul et le champ électrique induit ne l'est pas : il décroît en 1r\dfrac{1}{r} parce que le contour enferme toujours le même flux variable.

Pourquoi : La loi de Faraday sous forme intégrale est NON LOCALE : elle relie la circulation sur un contour au flux enfermé par ce contour, pas au champ magnétique là où l'on est. C'est le même phénomène qui permet à un transformateur de fonctionner alors que ses enroulements baignent dans un champ de fuite faible. La conséquence la plus déroutante est que le potentiel cesse d'exister : deux voltmètres branchés aux mêmes bornes par des chemins différents affichent des valeurs différentes.

6. Un transformateur abaisseur 24002400 vers 200200 spires alimente une résistance de 5,005{,}00 Ω. Que voit la source au primaire ?

2 points, et toute la question d'adaptation d'impédance

Ce qu'il ne faut pas écrire

Elle voit 5,005{,}00 Ω, ou au mieux 1212 fois cette valeur, soit 60,060{,}0 Ω.

Ce qu'il faut écrire

Elle voit (2400200)2×5,00=720\left(\dfrac{2400}{200}\right)^{2}\times 5{,}00=720 Ω. Le rapport des spires intervient au CARRÉ.

Pourquoi : Le transformateur divise la tension par douze ET multiplie le courant par douze, donc il divise l'impédance par cent quarante-quatre. Vérification directe : 1200,167=720\dfrac{120}{0{,}167}=720 Ω. C'est cette propriété qui permet d'attaquer un haut-parleur de huit ohms avec un étage qui veut voir plusieurs kilohms, et c'est aussi pourquoi un transformateur branché en CONTINU grille : sans induction, il ne reste que la résistance ohmique du bobinage.

Quelle méthode choisir

Laquelle des trois causes fait varier le flux

Lire l'énoncé et repérer ce qui bouge : le champ, la surface du circuit, ou son orientation.

  • Si Le CHAMP varie, circuit immobile → ε=−NAdBdt\varepsilon=-NA\dfrac{dB}{dt} : dériver l'expression de B(t)B(t) et multiplier par NANA. La fem s'annule aux extrema de BB, jamais là où BB s'annule.

    Exemple : B(t)=0,0800+0,240t−0,0600t2B(t)=0{,}0800+0{,}240t-0{,}0600t^{2} avec NA=0,500NA=0{,}500 m2^{2} : ε=−0,120+0,0600t\varepsilon=-0{,}120+0{,}0600t.

  • Si L'AIRE varie, par translation d'une barre ou déformation → Fem de mouvement : ε=Bℓv\varepsilon=B\ell v pour une translation, ε=12Bωℓ2\varepsilon=\dfrac{1}{2}B\omega\ell^{2} pour une rotation autour d'une extrémité.

    Exemple : Barre de 25,025{,}0 cm à 60,060{,}0 rad/s dans 0,3500{,}350 T : ε=0,656\varepsilon=0{,}656 V, et non le double.

  • Si L'ORIENTATION varie, spire en rotation dans un champ fixe → Φ=NBAcos⁡(ωt)\Phi=NBA\cos(\omega t), donc ε=NBAωsin⁡(ωt)\varepsilon=NBA\omega\sin(\omega t) : fem sinusoïdale d'amplitude NBAωNBA\omega, et de valeur efficace NBAω2\dfrac{NBA\omega}{\sqrt{2}}.

    Exemple : C'est le principe de l'alternateur, et la raison pour laquelle une prise à 120120 V efficaces atteint 170170 V en crête.

  • Si Deux CIRCUITS sont couplés et l'un voit son courant varier → ε2=−MdI1dt\varepsilon_{2}=-M\dfrac{dI_{1}}{dt}, avec MM calculé dans le sens le plus commode grâce à la réciprocité M12=M21M_{12}=M_{21}.

    Exemple : Solénoïde de 12001200 spires par mètre, secondaire de 300300 spires : M=0,568M=0{,}568 mH, et 250250 A/s donnent 0,1420{,}142 V.

  • Si L'énoncé demande un CHAMP ÉLECTRIQUE plutôt qu'un courant → Forme intégrale : E(2πr)=−dΦenfermeˊdtE(2\pi r)=-\dfrac{d\Phi_{\text{enfermé}}}{dt}. Attention, au-delà de la région où BB varie, c'est le rayon de la RÉGION qui entre dans le flux, pas celui du contour.

    Exemple : Région de 5,005{,}00 cm avec dBdt=0,150\dfrac{dB}{dt}=0{,}150 T/s : E=3,75E=3{,}75 mV/m au bord, 1,8751{,}875 mV/m à 10,010{,}0 cm.

Une fois la cause identifiée, le SIGNE se décide toujours par la loi de Lenz et jamais par le calcul : le courant induit s'oppose à la variation, donc il freine ce qui la produit.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Traiter une question d'induction, de la cause au signe

Quand l'utiliser : Dès qu'un énoncé fait varier quoi que ce soit autour d'un circuit et demande une fem, un courant ou une force.

  1. 1 Nommer la cause de la variation du flux parmi les trois possibles, en une phrase.
  2. 2 Écrire le flux Φ(t)\Phi(t) à travers UNE spire, avec l'angle pris par rapport à la normale.
  3. 3 Dériver et multiplier par NN pour obtenir ∣ε∣|\varepsilon|, en donnant la valeur numérique.
  4. 4 Déterminer le SENS du courant induit par la loi de Lenz, en disant explicitement à quelle variation il s'oppose.
  5. 5 Si l'on demande une force ou une puissance, vérifier qu'elle FREINE le mouvement imposé : c'est la conservation de l'énergie.

Phrase de conclusion

« Le flux à travers la bobine augmente, donc le courant induit circule dans le sens qui crée un champ opposé à l'intérieur de la spire, c'est-à-dire dans le sens horaire vu du lecteur. »

Le piège : Donner le sens du courant sans jamais nommer la variation à laquelle il s'oppose : le correcteur ne peut pas distinguer une réponse raisonnée d'une réponse tirée au sort, et la moitié des copies tombe juste par hasard.

Barème : 1 point pour la cause identifiée, 1 point pour le flux, 1 point pour la dérivation, 1 point pour le sens justifié, 1 point pour le contrôle énergétique.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Une bobine dans un champ qui monte puis redescend

Une bobine plate de N=200N=200 spires, d'aire A=25,0A=25{,}0 cm2^{2} et de résistance R=12,0R=12{,}0 Ω, est perpendiculaire à un champ B(t)=0,0800+0,240 t−0,0600 t2B(t)=0{,}0800+0{,}240\,t-0{,}0600\,t^{2} en teslas, tt en secondes. Trouver la fem, le courant, la charge totale et la chaleur dissipée entre t=0t=0 et t=4,00t=4{,}00 s.

Étape 1

NA=200×25,0×10−4=0,500NA=200\times 25{,}0\times 10^{-4}=0{,}500 m2^{2} et dBdt=0,240−0,120 t\dfrac{dB}{dt}=0{,}240-0{,}120\,t

Pourquoi

On sort le produit NANA une fois pour toutes : il est constant, et le garder groupé évite de le perdre en route. Ici il vaut exactement 0,5000{,}500, ce qui simplifie tous les calculs suivants.

Étape 2

ε(t)=−NAdBdt=−0,120+0,0600 t\varepsilon(t)=-NA\dfrac{dB}{dt}=-0{,}120+0{,}0600\,t, donc ε(0)=−0,120\varepsilon(0)=-0{,}120 V, ε(2,00)=0\varepsilon(2{,}00)=0, ε(4,00)=+0,120\varepsilon(4{,}00)=+0{,}120 V

Pourquoi

La fem est une fonction AFFINE du temps parce que BB est un polynôme du second degré. Elle s'annule à t=2,00t=2{,}00 s et change de signe : le courant induit s'inverse à cet instant.

Étape 3

BB est maximal quand dBdt=0\dfrac{dB}{dt}=0, soit t=0,2400,120=2,00t=\dfrac{0{,}240}{0{,}120}=2{,}00 s, où B=0,320B=0{,}320 T

Pourquoi

C'est le rapprochement qui fait tout l'exercice : la fem s'annule exactement au maximum du champ. Un énoncé peut aussi bien proposer un champ constant de dix teslas, la fem serait nulle. Ce n'est jamais la valeur qui induit, c'est la pente.

Étape 4

I(0)=0,12012,0=1,00×10−2I(0)=\dfrac{0{,}120}{12{,}0}=1{,}00\times 10^{-2} A, soit 10,010{,}0 mA, décroissant jusqu'à zéro puis repartant en sens inverse

Pourquoi

Pendant les deux premières secondes le flux augmente et le courant s'y oppose ; ensuite le flux diminue et le courant s'inverse pour tenter de le maintenir. Le renversement est simultané au maximum du champ.

Étape 5

q=NA ΔBRq=\dfrac{NA\,\Delta B}{R} avec ΔB=B(4,00)−B(0)=0,0800−0,0800=0\Delta B=B(4{,}00)-B(0)=0{,}0800-0{,}0800=0, donc q=0q=0

Pourquoi

La charge nette est rigoureusement nulle alors qu'un courant a circulé pendant quatre secondes : les deux moitiés se compensent exactement. La charge induite ne dépend que des états initial et final du flux, jamais du chemin.

Étape 6

W=∫04ε2Rdt=112,0⋅2(0,120)33×0,0600=1,60×10−3W=\displaystyle\int_{0}^{4}\dfrac{\varepsilon^{2}}{R}dt=\dfrac{1}{12{,}0}\cdot\dfrac{2(0{,}120)^{3}}{3\times 0{,}0600}=1{,}60\times 10^{-3} J

Pourquoi

La chaleur, elle, dépend de TOUT le trajet : le carré ne se compense jamais. Le contraste avec la charge nulle est l'enseignement de l'exercice, et cette énergie est fournie par le dispositif qui fait varier le champ, contre le champ du courant induit.

Conclusion rédigée

ε(t)=−0,120+0,0600 t\varepsilon(t)=-0{,}120+0{,}0600\,t volts, courant initial 10,010{,}0 mA qui s'inverse à t=2,00t=2{,}00 s, charge nette nulle, et 1,601{,}60 mJ dissipés. La fem s'annule exactement au maximum du champ.

L'erreur classique sur cet exercice : Chercher l'instant où le champ s'annule au lieu de l'instant où sa DÉRIVÉE s'annule, ou conclure d'une charge nulle qu'aucun courant n'a circulé : ce sont les deux confusions que cet exercice est fait pour révéler.

À savoir par cœur

  • • ε=−NdΦdt\varepsilon=-N\dfrac{d\Phi}{dt} et Φ=BAcos⁡θ\Phi=BA\cos\theta, l'angle étant pris avec la NORMALE à la surface.
  • • Loi de Lenz : le courant induit s'oppose à la VARIATION du flux, jamais au flux. Un flux qui décroît fait naître un courant qui renforce le champ.
  • • Trois causes possibles, jamais quatre : BB varie, l'aire varie, l'orientation varie.
  • • Fem de mouvement : BℓvB\ell v en translation, 12Bωℓ2\dfrac{1}{2}B\omega\ell^{2} en rotation autour d'une extrémité.
  • • Champ d'un fil : B=μ0I2πrB=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r} avec μ0=4π×10−7\mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}. Solénoïde : B=μ0nIB=\mu_{0}nI.
  • • Charge induite : q=N ΔΦRq=\dfrac{N\,\Delta\Phi}{R}, indépendante du chemin. La chaleur, elle, dépend de tout le trajet.
  • • Transformateur : les tensions suivent N2N1\dfrac{N_{2}}{N_{1}}, les courants l'inverse, et l'impédance le CARRÉ du rapport.

Questions fréquentes

Un champ magnétique intense produit-il toujours une fem importante ?

Non. La loi de Faraday fait intervenir la dérivée du flux par rapport au temps, pas le flux lui-même. Un champ de dix teslas parfaitement stable induit exactement zéro, alors qu'un champ mille fois plus faible coupé en une milliseconde induit bien davantage. Seule la variation compte, jamais l'intensité.

Le courant induit s'oppose-t-il au champ magnétique ?

Non, il s'oppose à la VARIATION du flux, et c'est très différent. Quand le flux diminue, le courant induit crée un champ de même sens que le champ existant, pour tenter de le maintenir : il le renforce au lieu de s'y opposer. C'est pourquoi un aimant qu'on éloigne d'une bobine est attiré par elle, alors qu'un aimant qu'on approche est repoussé.

Y a-t-il une fem dans une bobine en circuit ouvert ?

Oui. La fem existe dès qu'il y a variation de flux, et elle se mesure aux bornes ouvertes. Ce qui exige un circuit fermé, c'est le courant, donc aussi la force de Lenz et l'échauffement. La plupart des capteurs inductifs fonctionnent justement ainsi, en lisant une tension à vide sans laisser circuler de courant.

Pourquoi un transformateur ne fonctionne-t-il pas en courant continu ?

Parce qu'un courant continu produit un flux constant dans le noyau, donc une dérivée nulle, donc aucune fem au secondaire. Pire, le primaire ne présente plus alors que sa résistance ohmique de bobinage, quelques ohms au lieu de plusieurs centaines : le courant appelé explose et l'enroulement grille en quelques secondes.

Comment calculer le flux quand le champ n'est pas uniforme ?

Il faut intégrer, en découpant la surface en bandes sur lesquelles le champ est constant. Pour un cadre rectangulaire placé à côté d'un fil rectiligne, le champ décroît comme l'inverse de la distance, et l'intégration fait apparaître un logarithme du rapport des deux distances. La formule champ fois aire est alors inapplicable.

Peut-on avoir un champ électrique induit là où le champ magnétique est nul ?

Oui, et c'est l'un des résultats les plus déroutants du chapitre. La loi de Faraday relie la circulation du champ électrique sur un contour au flux magnétique ENFERMÉ par ce contour, pas au champ magnétique local. Un contour qui entoure une région de champ variable porte donc une circulation non nulle, même si le champ y est nul partout.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'induction électromagnétique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 10 exercices corrigés
  • 100 points
  • 150 minutes
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