Exercices corrigés : l'induction électromagnétique (203-SN2-RE, ancien 203-NYB)

a) $\Phi=BA\cos\theta=0{,}400\times(0{,}120)^{2}\times\cos 30{,}0°=0{,}400\times 0{,}0144\times 0{,}8660=4{,}99\times 10^{-3}$ Wb, soit $4{,}99$ mWb. Si l'énoncé avait donné $30{,}0$° entre le champ et le PLAN de la spire, l'angle avec la normale vaudrait $60{,}0$° et le flux tomberait à $0{,}400\times 0{,}0144\times 0{,}500=2{,}88\times 10^{-3}$ Wb, soit près de deux fois moins. C'est le piège le plus rentable de tout le chapitre pour un examinateur, parce qu'il ne se voit pas au relecture : les deux réponses sont plausibles. La parade est mécanique, on souligne le mot « normale » ou le mot « plan » dans l'énoncé avant d'écrire quoi que ce soit.

b) Le champ du fil vaut $B(r)=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}$ : il n'est PAS uniforme sur le cadre, puisqu'il est presque quatre fois plus intense au bord proche qu'au bord lointain. La formule $BA$ est donc inapplicable, et il faut découper le cadre en bandes verticales de largeur $dr$ et d'aire $L\,dr$, toutes à champ constant. $\Phi=\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}L\,dr=\dfrac{\mu_{0}IL}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$. Numériquement : $\dfrac{4\pi\times 10^{-7}\times 15{,}0\times 0{,}300}{2\pi}\times\ln 3{,}50=9{,}00\times 10^{-7}\times 1{,}253=1{,}13\times 10^{-6}$ Wb, soit $1{,}13$ μWb. Le logarithme est la signature de cette géométrie, et il faut savoir le reconnaître : dès qu'un champ en $\dfrac{1}{r}$ traverse une surface plane, un $\ln\dfrac{b}{a}$ apparaît.

c) $B=\mu_{0}nI=4\pi\times 10^{-7}\times 800\times 2{,}50=2{,}51\times 10^{-3}$ T. Flux par spire : $\Phi=BA=2{,}51\times 10^{-3}\times 4{,}00\times 10^{-4}=1{,}01\times 10^{-6}$ Wb. Flux total à travers les $500$ spires : $N\Phi=5{,}03\times 10^{-4}$ Wb. Deux précautions : l'aire à utiliser est celle du SOLÉNOÏDE, pas celle de la bobine extérieure, puisqu'il n'y a de champ qu'à l'intérieur du solénoïde ; et le flux total, souvent noté $\lambda$ et appelé flux totalisé, n'est pas le flux au sens strict, qui reste défini par spire. C'est pourtant lui qui entre dans la loi de Faraday.

d) Dans aucun des trois, mais pour des raisons différentes, et c'est ce qui rend la question intéressante. Cas a) : l'aire quadruple, donc le flux quadruple. Cas c) : la section quadruple aussi, mais attention, si l'on double la longueur du solénoïde en gardant le même nombre total de spires, $n$ est divisé par deux, et le flux ne fait que doubler ; à $n$ constant il quadruple. Cas b) : c'est le seul où l'agrandissement laisse un invariant partiel. Doubler $a$, $b$ ET $L$ multiplie le flux par $\dfrac{2L}{L}=2$, puisque le rapport $\dfrac{b}{a}$, donc le logarithme, ne change pas. Le flux double au lieu de quadrupler. La leçon générale est qu'un champ en $\dfrac{1}{r}$ compense exactement une dimension de l'agrandissement, et c'est pourquoi les grandeurs logarithmiques apparaissent partout où une géométrie n'a pas d'échelle propre.

a) À l'approche, le pôle nord envoie vers la boucle un champ dirigé vers elle, donc le flux à travers elle AUGMENTE. Le courant induit doit s'y opposer : il crée un champ opposé, donc il circule dans le sens ANTIHORAIRE vu de l'aimant, ce qui présente à l'aimant une face nord. Deux nords se repoussent : la boucle est repoussée, et il faut fournir un travail pour approcher l'aimant. À l'éloignement, le flux DIMINUE ; le courant induit s'inverse, il crée un champ dans le même sens que celui de l'aimant pour tenter de maintenir le flux, présente une face sud, et la boucle est ATTIRÉE. Dans les deux cas l'effet freine le mouvement, et cette obligation n'est pas une coïncidence : si c'était l'inverse, l'aimant s'accélérerait tout seul et l'on aurait un mouvement perpétuel.

b) Champ sortant qui augmente : le courant induit crée un champ entrant à l'intérieur de la boucle, il circule donc dans le sens HORAIRE. Dès que l'intensité devient constante, $\dfrac{d\Phi}{dt}=0$ et le courant induit s'annule immédiatement, même si le champ reste très intense. C'est le point le plus important de la question : un champ fort ne produit rien, seule une VARIATION produit quelque chose. Un aimant supraconducteur au repos n'induit rien du tout.

c) Aplatir un cercle en ellipse à périmètre constant DIMINUE l'aire, donc le flux entrant diminue. Le courant induit s'oppose à cette diminution en créant lui aussi un champ entrant : il circule dans le sens HORAIRE, vu du lecteur, puisque c'est le sens qui produit un champ entrant. La force qui en résulte tend à faire reprendre à la boucle sa forme circulaire, celle de plus grande aire : là encore le système résiste à ce qu'on lui fait. Un anneau de cuivre placé dans un champ intense et parcouru d'un courant induit se raidit réellement, et c'est un problème de conception dans les bobines d'aimants puissants.

d) Pendant l'établissement du courant, le flux à travers la seconde boucle passe de zéro à sa valeur finale : il augmente. Le courant induit dans la seconde s'y oppose et circule donc en sens INVERSE de celui de la première, c'est-à-dire antihoraire, et les deux boucles se repoussent. Une fois le régime permanent atteint, le courant de la première est constant, le flux ne varie plus, et le courant induit dans la seconde devient RIGOUREUSEMENT NUL : les deux boucles cessent de s'influencer électriquement. C'est exactement le principe du transformateur, et c'est aussi la raison pour laquelle un transformateur ne fonctionne pas en courant continu.

e) À chaque alternance, le flux à travers l'anneau varie, un courant y est induit et, par la loi de Lenz, il s'oppose à cette variation : l'anneau est repoussé pendant les phases de croissance et attiré pendant les phases de décroissance, mais la moyenne temporelle est répulsive parce que le champ de l'électroaimant et le courant induit varient ensemble, de sorte que le produit ne change pas de signe. L'anneau saute donc, et il chauffe. S'il est FENDU, le circuit est ouvert : aucun courant ne peut circuler, aucune force ne naît, et l'anneau reste en place. C'est la démonstration expérimentale la plus nette que l'induction exige un circuit FERMÉ pour produire un courant, même si la fem, elle, existe toujours aux bornes de la fente.

f) Le contre-exemple est la deuxième moitié de a), ou la situation c). Quand l'aimant s'ÉLOIGNE, le courant induit crée un champ de MÊME sens que celui de l'aimant, il le renforce au lieu de s'y opposer. De même en c), le courant induit crée un champ entrant alors que le champ existant est déjà entrant. L'énoncé correct est donc : le courant induit s'oppose à la VARIATION du flux, jamais au flux lui-même. Cette nuance d'un seul mot est ce qui sépare une réponse juste d'une réponse fausse une fois sur deux, et c'est le premier réflexe à installer sur ce chapitre.

a) $\varepsilon=-N A\dfrac{dB}{dt}$ avec $\dfrac{dB}{dt}=0{,}240-0{,}120\,t$. Donc $\varepsilon(t)=-200\times 2{,}50\times 10^{-3}\times(0{,}240-0{,}120t)=-0{,}120+0{,}0600\,t$, en volts. À $t=0$ : $\varepsilon=-0{,}120$ V, de module $120$ mV. À $t=2{,}00$ s : $\varepsilon=0$ exactement. À $t=4{,}00$ s : $\varepsilon=+0{,}120$ V, même module qu'au départ mais signe OPPOSÉ. Remarquez que $NA=0{,}500$ m$^{2}$ ici, ce qui simplifie tous les calculs : la fem vaut simplement la moitié de $\dfrac{dB}{dt}$.

b) $\dfrac{dB}{dt}=0$ donne $t=\dfrac{0{,}240}{0{,}120}=2{,}00$ s, et $B(2{,}00)=0{,}0800+0{,}480-0{,}240=0{,}320$ T. C'est le point marqué sur la courbe. Le rapprochement est le cœur de l'exercice : la fem s'annule exactement à l'instant où le champ est MAXIMAL. Ce n'est pas paradoxal, c'est la définition d'un maximum, une tangente horizontale, donc une dérivée nulle, donc une fem nulle. L'énoncé pourrait tout aussi bien poser un champ de dix teslas parfaitement constant, la fem serait nulle. C'est la formulation la plus concrète de la règle du chapitre : ce n'est jamais la valeur du champ qui induit, c'est sa pente.

c) $I=\dfrac{|\varepsilon|}{R}=\dfrac{0{,}120}{12{,}0}=1{,}00\times 10^{-2}$ A, soit $10{,}0$ mA à $t=0$. Le courant décroît linéairement en module jusqu'à s'annuler à $t=2{,}00$ s, puis il repart en croissant mais dans le sens OPPOSÉ, pour atteindre à nouveau $10{,}0$ mA à $t=4{,}00$ s. Physiquement : pendant les deux premières secondes le flux augmente et le courant induit s'y oppose ; ensuite le flux diminue et le courant induit s'inverse pour tenter de le maintenir. Le renversement du courant est simultané au maximum du champ.

d) $q=\displaystyle\int_{0}^{4}I\,dt=\dfrac{N}{R}\displaystyle\int_{0}^{4}\dfrac{dB}{dt}A\,dt=\dfrac{NA\,\Delta B}{R}$, et $\Delta B=B(4{,}00)-B(0)=0{,}0800-0{,}0800=0$. La charge nette est donc RIGOUREUSEMENT NULLE. La surprise est là : un courant a bel et bien circulé pendant quatre secondes, il a chauffé la bobine, et pourtant aucune charge nette n'a traversé la section. L'explication est que le courant a changé de sens à mi-parcours et que les deux moitiés se compensent exactement, comme l'exige la symétrie de la parabole. La leçon générale est que la charge induite ne dépend QUE des états initial et final du flux, jamais du chemin suivi entre les deux, alors que la chaleur, elle, dépend de tout le trajet.

e) $W=\displaystyle\int_{0}^{4}\dfrac{\varepsilon^{2}}{R}dt=\dfrac{1}{12{,}0}\displaystyle\int_{0}^{4}(-0{,}120+0{,}0600t)^{2}dt$. En posant $u=-0{,}120+0{,}0600t$, avec $du=0{,}0600\,dt$, l'intégrale devient $\dfrac{1}{0{,}0600}\displaystyle\int_{-0{,}120}^{0{,}120}u^{2}du=\dfrac{1}{0{,}0600}\times\dfrac{2(0{,}120)^{3}}{3}=\dfrac{3{,}456\times 10^{-3}}{0{,}180}=1{,}92\times 10^{-2}$. Divisée par $R$ : $W=\dfrac{1{,}92\times 10^{-2}}{12{,}0}=1{,}60\times 10^{-3}$ J, soit $1{,}60$ mJ. Cette énergie ne vient pas de nulle part : elle est fournie par le dispositif qui fait varier le champ, lequel doit lutter contre le champ créé par le courant induit. C'est la contrepartie énergétique de la loi de Lenz, et le contraste avec la question d) est le vrai enseignement de l'exercice, la charge est nulle mais la facture énergétique ne l'est pas.

a) La formule $B\ell v$ suppose que TOUS les points du conducteur ont la même vitesse, ce qui est vrai en translation et faux en rotation : le pied de la barre est immobile, l'extrémité va à $\omega\ell$, et chaque point intermédiaire à $\omega r$. On découpe donc la barre en éléments $dr$ situés à la distance $r$ de l'axe, chacun contribuant $d\varepsilon=B(\omega r)\,dr$, puis on somme : $\varepsilon=\displaystyle\int_{0}^{\ell}B\omega r\,dr=\dfrac{1}{2}B\omega\ell^{2}$. Le facteur $\dfrac{1}{2}$ est donc la moyenne des vitesses le long de la barre, et écrire $B\ell(\omega\ell)$ donne exactement le double, c'est-à-dire la réponse fausse la plus fréquente. Contrôle alternatif : en un tour, la barre balaie l'aire $\pi\ell^{2}$ en $\dfrac{2\pi}{\omega}$ secondes, donc $\dfrac{d\Phi}{dt}=B\dfrac{\pi\ell^{2}\omega}{2\pi}=\dfrac{1}{2}B\omega\ell^{2}$. Les deux chemins donnent le même résultat.

b) $\varepsilon=\dfrac{1}{2}\times 0{,}350\times 60{,}0\times(0{,}250)^{2}=0{,}656$ V. Pour le signe, on applique la force de Lorentz à un porteur positif de la barre : $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$. La vitesse est tangentielle, le champ sort de la page, et le produit vectoriel donne une force dirigée VERS L'EXTÉRIEUR, le long de la barre. Les charges positives s'accumulent donc à l'extrémité libre, qui est au potentiel le PLUS ÉLEVÉ, et le pied de la barre au potentiel le plus bas. Le réflexe à garder est de toujours revenir à $q\vec{v}\times\vec{B}$ pour un signe de fem de mouvement : la loi de Lenz donne le sens du courant dans un circuit fermé, mais elle ne dit rien de la polarité d'un conducteur isolé.

c) $\omega=\dfrac{1800\times 2\pi}{60}=188{,}5$ rad/s. Le disque se comporte comme une infinité de barres radiales en parallèle, toutes de même fem : $\varepsilon=\dfrac{1}{2}B\omega R^{2}=\dfrac{1}{2}\times 0{,}500\times 188{,}5\times(0{,}120)^{2}=0{,}679$ V. Notez qu'une conversion en radians par seconde est indispensable avant tout calcul, et qu'oublier le facteur $\dfrac{2\pi}{60}$ produit une erreur d'un facteur dix qui passe rarement inaperçue mais coûte tous les points de la question.

d) $I=\dfrac{\varepsilon}{R}=\dfrac{0{,}679}{0{,}0200}=33{,}9$ A. Puissance électrique : $P=\varepsilon I=0{,}679\times 33{,}9=23{,}0$ W, entièrement dissipée dans la résistance du circuit. Couple : en régime permanent le moteur fournit exactement la puissance électrique produite, donc $\Gamma=\dfrac{P}{\omega}=\dfrac{23{,}0}{188{,}5}=0{,}122$ N·m. Ce couple est la traduction mécanique de la loi de Lenz : le courant induit, circulant radialement dans le champ, subit une force de Laplace tangentielle qui FREINE le disque, et le moteur doit la vaincre. Sans elle, le disque produirait de l'énergie sans en consommer.

e) Le défaut est visible sur la fem : $0{,}679$ V pour un disque tournant à $1800$ tours par minute dans un demi-tesla, c'est-à-dire moins qu'une pile bâton, alors que le courant, lui, atteint $34$ A. Le disque de Faraday est une source de très basse tension et de très fort courant, ce qui est le pire compromis possible pour transporter de l'énergie : les pertes en ligne valent $RI^{2}$, et ce courant énorme les rend prohibitives. La cause structurelle est qu'il n'y a qu'un seul « tour » de circuit, celui du rayon, alors qu'un alternateur enroule $N$ spires et multiplie donc la fem par $N$, plusieurs centaines en pratique. En prime, la sortie du disque est continue, donc non transformable, alors que l'alternatif d'un alternateur se transforme et se transporte à haute tension. C'est pour ces deux raisons, et non par manque d'ingéniosité, que le disque homopolaire est resté une curiosité de laboratoire.

a) Le champ n'existe qu'à l'INTÉRIEUR du solénoïde primaire : $B=\mu_{0}n_{1}I_{1}$, et il est nul à l'extérieur. Le flux qui traverse une spire du secondaire est donc limité à la section du primaire, $A_{1}=\pi(0{,}0200)^{2}=1{,}257\times 10^{-3}$ m$^{2}$, quelle que soit la taille réelle des spires secondaires. C'est le point de méthode de la question, et il se généralise : le flux commun à deux circuits est toujours celui qui passe par le plus PETIT des deux, ou plus exactement par la région où le champ existe. $M=\dfrac{N_{2}\Phi_{2}}{I_{1}}=\mu_{0}n_{1}N_{2}A_{1}=4\pi\times 10^{-7}\times 1200\times 300\times 1{,}257\times 10^{-3}=5{,}68\times 10^{-4}$ H, soit $0{,}568$ mH.

b) $|\varepsilon_{2}|=M\left|\dfrac{dI_{1}}{dt}\right|=5{,}68\times 10^{-4}\times 250=0{,}142$ V, soit $142$ mV. Notez que la fem ne dépend PAS de la valeur du courant primaire, seulement de son taux de variation : un courant de mille ampères parfaitement stable n'induirait rien du tout, tandis qu'un courant de un milliampère coupé en une microseconde induirait des centaines de volts. C'est le principe de la bobine d'allumage d'un moteur, qui produit des dizaines de kilovolts à partir d'une batterie de douze.

c) Primaire : $L_{1}=\mu_{0}n_{1}^{2}A_{1}\ell_{1}=4\pi\times 10^{-7}\times(1200)^{2}\times 1{,}257\times 10^{-3}\times 0{,}400=9{,}10\times 10^{-4}$ H, soit $0{,}910$ mH. Secondaire : sa densité de spires vaut $n_{2}=\dfrac{300}{0{,}0500}=6000$ spires par mètre, cinq fois celle du primaire. $L_{2}=\mu_{0}n_{2}^{2}A_{1}\ell_{2}=4\pi\times 10^{-7}\times(6000)^{2}\times 1{,}257\times 10^{-3}\times 0{,}0500=2{,}84\times 10^{-3}$ H, soit $2{,}84$ mH. Le secondaire, pourtant huit fois plus court, a une inductance trois fois PLUS grande, parce que l'inductance croît comme le carré de la densité de spires.

d) $k=\dfrac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}=\dfrac{5{,}68\times 10^{-4}}{\sqrt{9{,}10\times 10^{-4}\times 2{,}84\times 10^{-3}}}=\dfrac{5{,}68\times 10^{-4}}{1{,}61\times 10^{-3}}=0{,}354$. Et $\sqrt{\dfrac{\ell_{2}}{\ell_{1}}}=\sqrt{\dfrac{0{,}0500}{0{,}400}}=\sqrt{0{,}125}=0{,}354$ : identique. L'affirmation de l'énoncé est piégeuse et il faut la corriger. Il est vrai que tout le flux DU PRIMAIRE traverse le secondaire, mais le couplage se mesure dans les deux sens, et l'inverse est faux : le secondaire, court, crée un champ qui ne remplit qu'un huitième de la longueur du primaire, donc les sept autres huitièmes des spires primaires ne voient presque rien. C'est cette asymétrie géométrique qui fait tomber $k$ à $0{,}354$. Pour approcher $k=1$, il faut que les deux bobinages occupent le même volume, ce qu'on obtient en pratique en les enroulant l'un sur l'autre sur toute la longueur d'un noyau ferromagnétique fermé.

e) $M_{12}=M_{21}$ est un théorème général, conséquence de la symétrie de l'énergie magnétique d'un système de circuits couplés. Sa force pratique est justement celle-ci : on est libre de calculer $M$ dans le sens le plus COMMODE. Ici, le sens facile est primaire vers secondaire, parce que le champ d'un long solénoïde est uniforme, connu et simple, $\mu_{0}n_{1}I_{1}$. Dans l'autre sens, il faudrait calculer le champ créé par une bobine COURTE, qui n'est ni uniforme ni donné par une formule élémentaire, puis intégrer ce champ sur les $480$ spires du primaire, dont la plupart sont dans la zone de fuite où le champ s'évase. Le calcul est faisable mais demande des intégrales elliptiques, alors que le résultat est le même à la dernière décimale. Reconnaître le sens facile est ce que le théorème de réciprocité apporte réellement à un étudiant.

a) On applique la forme intégrale de la loi de Faraday, $\displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=-\dfrac{d\Phi}{dt}$, sur un cercle de rayon $r$ centré sur l'axe. Par symétrie, $\vec{E}$ est tangentiel et de module constant sur ce cercle, donc le membre de gauche vaut $E(2\pi r)$. Pour $r<R$, le flux enfermé vaut $B\pi r^{2}$, donc $E(2\pi r)=\pi r^{2}\dfrac{dB}{dt}$ et $E=\dfrac{r}{2}\dfrac{dB}{dt}$ : le champ croît LINÉAIREMENT avec $r$. Pour $r>R$, le flux enfermé ne croît plus, il est plafonné à $B\pi R^{2}$, donc $E(2\pi r)=\pi R^{2}\dfrac{dB}{dt}$ et $E=\dfrac{R^{2}}{2r}\dfrac{dB}{dt}$ : le champ décroît en $\dfrac{1}{r}$. La structure est exactement celle du champ magnétique d'un fil épais, et pour la même raison mathématique.

b) En $r=3{,}00$ cm : $E=\dfrac{0{,}0300}{2}\times 0{,}150=2{,}25\times 10^{-3}$ V/m, soit $2{,}25$ mV/m, le premier point marqué. En $r=R=5{,}00$ cm : $E=\dfrac{0{,}0500}{2}\times 0{,}150=3{,}75$ mV/m, le maximum, atteint sur le bord et visible comme le sommet anguleux de la courbe. En $r=10{,}0$ cm : $E=\dfrac{(0{,}0500)^{2}}{2\times 0{,}100}\times 0{,}150=1{,}875$ mV/m, le second point. Contrôle : les deux expressions donnent la même valeur en $r=R$, ce qui doit toujours être vérifié sur une loi définie par morceaux.

c) Non, et c'est le contenu le plus profond du chapitre. La loi de Faraday sous forme intégrale ne relie pas $\vec{E}$ au champ magnétique LOCAL, elle relie sa circulation sur un contour au flux ENFERMÉ par ce contour. Un cercle de rayon $10{,}0$ cm entoure toute la région où $B$ varie, donc il enferme un flux variable, donc il porte une circulation non nulle, même si en chacun de ses points le champ magnétique est rigoureusement nul. C'est un effet non local, et c'est le même phénomène qui permet à un transformateur de fonctionner alors que ses enroulements sont dans une région où le champ de fuite est faible. La version différentielle, $\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}$, dit d'ailleurs qu'à l'extérieur le rotationnel est nul : le champ y est irrotationnel localement, tout en ayant une circulation non nulle sur un contour qui encercle la région. C'est possible parce que le domaine extérieur n'est pas simplement connexe.

d) Cercle de rayon $3{,}00$ cm. Première méthode, par le champ : $\varepsilon=E\times 2\pi r=2{,}25\times 10^{-3}\times 2\pi\times 0{,}0300=4{,}24\times 10^{-4}$ V. Seconde méthode, par le flux : $\varepsilon=\pi r^{2}\dfrac{dB}{dt}=\pi(0{,}0300)^{2}\times 0{,}150=4{,}24\times 10^{-4}$ V. Identiques. Cercle de rayon $10{,}0$ cm. Par le champ : $1{,}875\times 10^{-3}\times 2\pi\times 0{,}100=1{,}18\times 10^{-3}$ V. Par le flux : $\pi R^{2}\dfrac{dB}{dt}=\pi(0{,}0500)^{2}\times 0{,}150=1{,}18\times 10^{-3}$ V, en utilisant bien $R$ et non $r$, puisque au-delà du cylindre il n'y a plus de flux à ajouter. C'est l'erreur à ne pas commettre : le rayon du contour et le rayon de la région chargée en flux sont deux choses différentes.

e) Les deux voltmètres mesurent réellement des tensions différentes, et aucun des deux n'est défectueux. La raison est que le champ électrique induit n'est PAS conservatif : sa circulation sur une boucle fermée vaut $-\dfrac{d\Phi}{dt}$ et non zéro. Or l'intégrale $\displaystyle\int\vec{E}\cdot d\vec{\ell}$ entre deux points dépend alors du chemin, et les deux voltmètres, dont les fils passent de part et d'autre de la région, empruntent deux chemins qui diffèrent d'une boucle complète : leurs lectures diffèrent exactement de la fem totale, $1{,}18$ mV ici. Ce que cela révèle est important et déstabilisant : la notion même de POTENTIEL n'a plus de sens dans une région où $\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}\ne 0$. On ne peut définir $V$ que si $\displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=0$ pour toute boucle, ce qui est vrai en électrostatique et faux ici. La question « quelle est la tension entre A et B ? » est alors mal posée tant qu'on n'a pas précisé le chemin, et c'est la raison pour laquelle, en électronique de puissance, on soigne autant le TRACÉ des boucles de mesure que le choix des appareils.

a) $U_{2}=U_{1}\dfrac{N_{2}}{N_{1}}=120\times\dfrac{200}{2400}=10{,}0$ V. Courant dans la charge : $I_{2}=\dfrac{10{,}0}{5{,}00}=2{,}00$ A. Puissance : $P=U_{2}I_{2}=20{,}0$ W. Le transformateur est abaisseur d'un facteur douze : il divise la tension par douze et, en contrepartie, multiplie le courant disponible par douze.

b) Première méthode, par la conservation de la puissance, qui est la définition même d'un transformateur idéal : $I_{1}=\dfrac{P}{U_{1}}=\dfrac{20{,}0}{120}=0{,}167$ A. Seconde méthode, par le rapport des spires : $I_{1}=I_{2}\dfrac{N_{2}}{N_{1}}=2{,}00\times\dfrac{1}{12}=0{,}167$ A. Identiques. Le point de vigilance est le SENS du rapport : les tensions suivent $\dfrac{N_{2}}{N_{1}}$ et les courants suivent l'inverse. Le contrôle qui ne trompe jamais est de vérifier que le produit $UI$ est le même des deux côtés.

c) Impédance ramenée : $Z_{1}=\left(\dfrac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}Z_{2}=(12{,}0)^{2}\times 5{,}00=720$ Ω. Vérification directe : $\dfrac{U_{1}}{I_{1}}=\dfrac{120}{0{,}167}=720$ Ω. La source ne voit donc pas du tout une résistance de cinq ohms, elle voit sept cent vingt ohms. C'est la propriété la plus utile du transformateur après le changement de tension, et elle explique son rôle historique en audio : un haut-parleur de huit ohms ne peut pas être attaqué directement par un tube à vide qui veut voir plusieurs kilohms, et le transformateur de sortie fait exactement cette adaptation. Le carré du rapport est essentiel : diviser la tension par douze et multiplier le courant par douze divise l'impédance par cent quarante-quatre.

d) $\Phi_{\max}=\dfrac{U_{\text{eff}}}{4{,}44\,N_{1}f}=\dfrac{120}{4{,}44\times 2400\times 60{,}0}=\dfrac{120}{6{,}394\times 10^{5}}=1{,}88\times 10^{-4}$ Wb. Le coefficient $4{,}44$ vaut $\sqrt{2}\pi$ et vient du passage de la valeur maximale à la valeur efficace d'une sinusoïde dérivée. La formule dit une chose importante pour la conception : à tension donnée, le flux nécessaire est inversement proportionnel à la FRÉQUENCE. C'est pourquoi un transformateur d'avion à $400$ Hz est six fois plus petit qu'un transformateur de réseau à $60$ Hz pour la même puissance, et pourquoi l'électronique moderne travaille à des dizaines de kilohertz.

e) Rendement : $\eta=\dfrac{20{,}0}{20{,}0+1{,}20}=\dfrac{20{,}0}{21{,}2}=0{,}943$, soit $94{,}3$ %. En courant continu, le flux dans le noyau est CONSTANT, donc $\dfrac{d\Phi}{dt}=0$, donc la fem induite au secondaire est nulle : le transformateur ne transmet rigoureusement rien, quelle que soit la tension appliquée. Pire, le primaire ne présente plus alors que sa résistance ohmique de bobinage, quelques ohms au lieu des $720$ Ω calculés en c), car cette impédance venait entièrement de l'induction. Le courant appelé exploserait, et l'enroulement grillerait en quelques secondes. C'est un accident classique, et c'est la meilleure démonstration pratique que ce qui limite le courant dans un transformateur n'est pas sa résistance mais sa réaction inductive, c'est-à-dire la loi de Lenz.

a) Faux, et c'est l'erreur numéro un du chapitre. La loi de Faraday fait intervenir $\dfrac{d\Phi}{dt}$, jamais $\Phi$ : un champ de dix teslas parfaitement stable induit exactement zéro, tandis qu'un champ de dix millitesla coupé en une milliseconde induit bien davantage. Énoncé correct : c'est le TAUX DE VARIATION du flux qui produit la fem, et un champ intense mais constant ne produit rien du tout. L'exemple à donner est l'imageur par résonance magnétique, dont l'aimant principal, pourtant à plusieurs teslas, n'induit rien tant qu'il est stable : ce sont les gradients commutés, bien plus faibles, qui induisent des courants dans le patient.

b) Faux, et il manque un seul mot pour que ce soit vrai. Le courant induit s'oppose à la VARIATION du flux, pas au flux. Quand le flux DIMINUE, le courant induit crée un champ de MÊME sens que le champ appliqué, pour tenter de le maintenir : il le renforce au lieu de s'y opposer. Énoncé correct : le courant induit circule dans le sens tel que son propre champ s'oppose au CHANGEMENT du flux qui lui donne naissance. Un aimant qu'on éloigne d'une bobine est attiré par elle, et c'est le contre-exemple le plus court à donner en examen.

c) L'affirmation confond la fem et le courant. La fem existe dès qu'il y a variation de flux, indépendamment de tout circuit : c'est le travail par unité de charge qu'exerce le champ électrique induit, et il se manifeste par une tension mesurable aux bornes ouvertes de la bobine. Ce qui exige un circuit fermé, c'est le COURANT, donc aussi la force de Lenz et la dissipation. Énoncé correct : une bobine ouverte développe bien une fem $-N\dfrac{d\Phi}{dt}$ à ses bornes, simplement elle ne débite aucun courant, ne subit aucune force et ne dissipe aucune énergie. C'est d'ailleurs le mode de fonctionnement de la plupart des capteurs inductifs, dont on lit la tension à vide.

d) Faux. La loi de Lenz n'est rien d'autre que la conservation de l'énergie appliquée à l'induction. Si le courant induit renforçait la variation au lieu de s'y opposer, chaque perturbation s'amplifierait elle-même : un aimant approché d'une bobine serait aspiré, accélérerait, produirait un courant plus fort qui l'aspirerait davantage, et l'on disposerait d'une source d'énergie inépuisable. Énoncé correct : la loi de Lenz est le signe moins de la loi de Faraday, et ce signe est imposé par la conservation de l'énergie. C'est aussi pourquoi elle est parfois présentée comme le principe de modération, sous lequel tout système résiste à ce qu'on lui impose.

e) Faux, et c'est le contenu de l'exercice 6. Le potentiel n'est définissable que si le champ électrique est CONSERVATIF, c'est-à-dire si sa circulation sur toute boucle fermée est nulle. Or la loi de Faraday dit exactement le contraire dès que le flux varie : $\displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=-\dfrac{d\Phi}{dt}\ne 0$. Énoncé correct : dans une telle région, l'intégrale de $\vec{E}$ entre deux points dépend du chemin suivi, deux voltmètres branchés aux mêmes bornes par des chemins différents affichent des valeurs différentes, et la notion de différence de potentiel perd son sens. Elle ne le retrouve qu'en régime statique, ou en pratique quand la boucle de mesure n'enferme aucun flux variable.

a) $v=\dfrac{90{,}0}{3{,}6}=25{,}0$ m/s. Vitesse angulaire : $\omega=\dfrac{v}{R}=\dfrac{25{,}0}{0{,}320}=78{,}1$ rad/s, soit $\dfrac{78{,}1}{2\pi}=12{,}4$ tours par seconde. Chaque tour fait défiler $48$ dents, donc la fréquence du signal vaut $f=48\times 12{,}4=597$ Hz. La denture est ici un MULTIPLICATEUR de fréquence : elle transforme douze tours par seconde en six cents impulsions, ce qui donne au calculateur une mesure de vitesse quarante-huit fois plus fine dans le temps. C'est la raison d'être de la couronne.

b) $\varepsilon=-N\dfrac{d\Phi}{dt}=-N\Delta\Phi\,(2\pi f)\cos(2\pi ft)$, donc l'amplitude vaut $\varepsilon_{\max}=N\Delta\Phi\,2\pi f=250\times 1{,}50\times 10^{-6}\times 2\pi\times 597=3{,}75\times 10^{-4}\times 3750=1{,}41$ V. Le fait crucial est que l'amplitude est PROPORTIONNELLE à la fréquence, donc à la vitesse du véhicule : ce capteur mesure une vitesse par sa fréquence, mais son amplitude en dépend aussi, et c'est là que le problème va se poser.

c) À $10{,}0$ km/h, la fréquence est neuf fois plus faible : $f=\dfrac{597}{9}=66{,}3$ Hz. Et l'amplitude aussi : $\varepsilon_{\max}=\dfrac{1{,}41}{9}=0{,}156$ V. La difficulté est là : un capteur inductif ne délivre rien quand rien ne bouge. À l'arrêt complet, la fem est rigoureusement NULLE, et le capteur ne peut pas distinguer une roue immobile d'un capteur débranché. La chute est proportionnelle à la vitesse, donc brutale précisément dans le domaine où l'on a besoin de la mesure.

d) L'amplitude est proportionnelle à la vitesse, donc $\varepsilon_{\max}=1{,}41\times\dfrac{v}{90{,}0}$ avec $v$ en km/h. Le seuil $0{,}100$ V est atteint pour $v=90{,}0\times\dfrac{0{,}100}{1{,}41}=6{,}40$ km/h. En dessous de $6{,}4$ km/h, soit à peine plus qu'un pas de marche rapide, le capteur devient inexploitable. Pour un système de contrôle de traction ou d'aide au démarrage en côte, c'est rédhibitoire.

e) L'industrie est passée aux capteurs ACTIFS, à effet Hall ou magnétorésistifs, qui mesurent le champ magnétique lui-même et non sa variation : leur signal ne dépend pas de la vitesse et reste parfaitement lisible jusqu'à l'arrêt complet, ce qui permet en prime de connaître le SENS de rotation, information qu'un capteur inductif ne donne pas. Le capteur inductif conserve pourtant une place, pour trois raisons solides. Il est entièrement passif, donc il n'exige aucune alimentation et ne peut pas tomber en panne électroniquement. Il tolère des températures et des vibrations qui détruiraient un circuit intégré, ce qui compte sous un capot ou près d'un frein. Et il coûte quelques dizaines de cents contre plusieurs dollars. Il reste donc la solution de référence partout où la mesure à très basse vitesse n'est pas nécessaire, notamment sur les régimes moteur et les arbres de transmission.

a) Amplitude du flux : $\Phi_{\max}=B_{0}\pi a^{2}=3{,}00\times 10^{-3}\times\pi\times(0{,}0800)^{2}=6{,}03\times 10^{-5}$ Wb. La fem est la dérivée d'une sinusoïde, donc son amplitude vaut $\varepsilon_{\max}=2\pi f\,\Phi_{\max}=2\pi\times 2{,}50\times 10^{4}\times 6{,}03\times 10^{-5}=9{,}47$ V. Valeur efficace : $\varepsilon_{\text{eff}}=\dfrac{9{,}47}{\sqrt{2}}=6{,}70$ V. Notez la disproportion : un champ de trois millitesla, cent fois plus faible que celui d'un aimant de laboratoire, produit près de dix volts, uniquement parce qu'on le fait varier vingt-cinq mille fois par seconde.

b) $P=\dfrac{\varepsilon_{\text{eff}}^{2}}{R}=\dfrac{(6{,}70)^{2}}{20{,}0\times 10^{-3}}=\dfrac{44{,}9}{0{,}0200}=2{,}24\times 10^{3}$ W, soit $2{,}24$ kW. L'ordre de grandeur est parfaitement crédible : les plaques à induction domestiques annoncent couramment $2$ à $3$ kW par foyer, et c'est bien ce qui leur permet de porter un litre d'eau à ébullition en deux ou trois minutes. Insistons sur le fait que ce sont des valeurs EFFICACES qu'il faut utiliser dans $\dfrac{U^{2}}{R}$ : passer par l'amplitude donnerait le double, une erreur d'un facteur deux qui se glisse facilement.

c) La fem est proportionnelle à $f$, donc la puissance, qui va comme le carré de la fem, est proportionnelle à $f^{2}$. En divisant la fréquence par cinq, on divise la puissance par vingt-cinq : $P=\dfrac{2{,}24\times 10^{3}}{25{,}0}=89{,}8$ W. La loi d'échelle est donc $P\propto f^{2}B_{0}^{2}a^{4}$, en tenant compte de ce que le flux va comme $a^{2}$. Elle explique tous les choix de conception : on monte la fréquence aussi haut que l'électronique le permet, et on limite la valeur retenue à environ vingt à trente kilohertz pour rester juste au-dessus de la bande audible, faute de quoi la casserole sifflerait de façon audible par magnétostriction.

d) Deux raisons se combinent, et il faut les donner toutes les deux. La première tient à l'effet de peau : la profondeur de pénétration du champ décroît quand la perméabilité magnétique augmente, et l'acier ferromagnétique a une perméabilité relative de plusieurs centaines, ce qui confine les courants induits dans une couche très mince, quelques dixièmes de millimètre. Une section réduite signifie une RÉSISTANCE plus grande, donc une meilleure dissipation. Dans l'aluminium, amagnétique, le champ pénètre profondément et les courants se répartissent dans toute l'épaisseur. La seconde raison est que l'aluminium conduit trop bien : sa faible résistivité fait chuter $\dfrac{\varepsilon^{2}}{R}$ pour une fem donnée, exactement comme un court-circuit franc dissipe moins qu'une résistance adaptée. Le bon matériau pour l'induction n'est donc pas le meilleur conducteur, c'est un conducteur MÉDIOCRE et ferromagnétique, ce qui est précisément la définition de l'acier inoxydable ferritique dont on fait les fonds de casseroles compatibles. S'y ajoute un troisième effet, l'hystérésis magnétique, qui dissipe elle aussi dans un matériau ferromagnétique et pas du tout dans l'aluminium.

e) L'énergie part de l'alimentation électrique, passe dans la bobine, y est convertie en énergie du champ magnétique alternatif, puis ce champ induit une fem dans le fond de la casserole où elle se dissipe par effet Joule. Le fond de la casserole EST le résistor chauffant, et c'est pourquoi la plaque elle-même reste tiède : elle ne s'échauffe que par conduction depuis la casserole posée dessus, et par les pertes modestes de sa propre bobine. La propriété qui rend cela possible est celle de tout l'exercice 6 : l'induction est une action à distance qui ne demande aucun contact électrique. Le champ magnétique traverse la vitrocéramique, isolante et amagnétique, sans y déposer d'énergie, et ne rencontre le premier conducteur qu'à la surface de la casserole. C'est le même principe que le transformateur de l'exercice 7, à ceci près qu'ici le secondaire est la charge elle-même et qu'il est en court-circuit sur lui-même, ce qui est exactement ce qu'on veut quand le but est de chauffer plutôt que de transmettre.