Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les sources du champ magnétique (203-SN2-RE, ancien 203-NYB)

Après avoir subi les champs magnétiques, on les fabrique. Le chapitre reprend la structure de l'électrostatique, une loi élémentaire, Biot-Savart, et un théorème global, Ampère, mais la géométrie n'est plus la même : les lignes de champ ne partent pas de la source, elles l'entourent.

Cette fiche rassemble les erreurs qui coûtent le plus en évaluation : le champ dessiné comme un champ électrique, les formules d'arc et de spire confondues, le $n$ du solénoïde pris pour $N$ , le courant enlacé mal compté dans un conducteur composite, et le fil fini traité comme infini.

Le fil du chapitre

Un champ magnétique n'est jamais dirigé vers sa source : il TOURNE autour d'elle. Tant que ce réflexe n'est pas pris, aucune superposition n'est juste, et aucun contour d'Ampère n'est bien choisi.

Ce chapitre fait partie de Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Magnétisme et induction Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Le champ tourne autour du courant

• Fil rectiligne infini : $B=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi d}$ avec $\mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}$ T·m/A, donc $\dfrac{\mu_{0}}{2\pi}=2\times 10^{-7}$ en unités du système international.
• Les lignes de champ sont des CERCLES centrés sur le fil : le champ est tangent à ces cercles, donc PERPENDICULAIRE à la droite qui joint le fil au point, jamais dirigé selon cette droite.
• Main droite : le pouce dans le sens du courant, les doigts se referment dans le sens du champ.
• Biot-Savart : $dB=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{I\,dl\sin\theta}{r^{2}}$ . Un élément de fil dont le PROLONGEMENT passe par le point étudié ne contribue pas, puisque $\sin\theta=0$ .
• Superposition : les champs de plusieurs sources s'additionnent VECTORIELLEMENT, jamais en grandeurs.

Le champ est tangent aux cercles centrés sur le fil : en chaque point il est perpendiculaire à la droite qui rejoint le fil. Un champ électrique, lui, serait porté PAR cette droite.

La différence avec l'électrostatique n'est pas une nuance : un champ électrique fuit ou rejoint sa source, un champ magnétique l'encercle. C'est aussi pourquoi les lignes de champ magnétique se referment toujours sur elles-mêmes.

Le catalogue, avec ses conditions

• Centre d'une spire de rayon $R$ : $B=\dfrac{\mu_{0}I}{2R}$ , et $N$ fois plus pour une bobine plate de $N$ spires.
• Arc de cercle d'angle $\theta$ en radians : $B=\dfrac{\mu_{0}I\theta}{4\pi R}$ , c'est-à-dire la FRACTION $\dfrac{\theta}{2\pi}$ du champ de la spire entière.
• Sur l'axe d'une spire, à la distance $x$ : $B=\dfrac{\mu_{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}$ .
• Solénoïde long : $B=\mu_{0}nI$ à l'intérieur, avec $n=\dfrac{N}{L}$ en spires PAR MÈTRE, et champ quasi nul à l'extérieur. Le rayon n'intervient pas.
• Tore de $N$ spires : $B=\dfrac{\mu_{0}NI}{2\pi r}$ dans le tore, rigoureusement NUL dans le trou central et à l'extérieur. Fil de longueur finie : le résultat du fil infini multiplié par $\sin\theta_{max}$ , donc toujours plus petit.

Chaque formule porte sa géométrie dans son énoncé. Écrire « spire » ou « solénoïde » à côté du résultat, en marge, évite d'appliquer $\mu_{0}nI$ à une bobine plate, ce qui n'a aucun sens.

Ampère : quand il calcule, et quand il se tait

• $\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_{0}I_{int}$ , où $I_{int}$ est le courant total ENLACÉ par le contour fermé choisi.
• Le théorème est toujours vrai, mais il ne permet de CALCULER que si la symétrie permet de sortir $B$ de l'intégrale : fil, câble coaxial, solénoïde, tore, nappe de courant.
• Le courant enlacé se compte avec son SENS : deux courants opposés enlacés par le même contour se soustraient.
• Dans un conducteur massif, seule la fraction du courant traversant le contour compte : $I_{int}=I\dfrac{r^{2}}{a^{2}}$ pour une densité uniforme.
• Dans la matière, $B=\mu_{r}B_{0}$ , avec $\mu_{r}$ de quelques centaines à quelques milliers pour un ferromagnétique, mais qui s'effondre à la saturation, vers $2$ T pour le fer.

Ampère est à $\vec{B}$ ce que Gauss est à $\vec{E}$ , avec la même limite : sans symétrie, l'égalité reste vraie mais muette. Une question qui ne donne aucune symétrie attend donc une réponse sur la CIRCULATION, pas sur le champ.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Dessiner le champ magnétique comme un champ électrique

toute la question de superposition, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le champ créé par le fil au point P est dirigé du fil VERS P, comme pour une charge. »

Ce qu'il faut écrire

« Le champ magnétique est TANGENT au cercle centré sur le fil et passant par P, donc perpendiculaire à la droite fil-P. Sa direction se trouve à la main droite, pouce dans le sens du courant. »

Pourquoi : Une direction fausse rend fausse toute addition vectorielle qui suit, sans que le moindre calcul soit en cause. C'est l'erreur qui distingue les copies qui ont compris la structure du chapitre de celles qui recopient des formules.

2. Appliquer la formule de la spire entière à un arc

3 points, et un facteur 2 sur toute la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le demi-cercle de rayon $5{,}0$ cm parcouru par $2{,}0$ A crée en son centre $B=\dfrac{\mu_{0}I}{2R}=2{,}5\times 10^{-5}$ T. »

Ce qu'il faut écrire

« Un demi-cercle ne crée que la MOITIÉ du champ de la spire complète : $B=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\mu_{0}I}{2R}=1{,}3\times 10^{-5}$ T. Les deux segments radiaux, eux, ne contribuent pas du tout. »

Seul l'arc compte : les deux segments pointent vers

P

, donc leur

\sin\theta

est nul. Le champ au centre ne vaut que la fraction

\dfrac{\theta}{2\pi}

de celui de la spire.

Pourquoi : Biot-Savart s'intègre le long du fil : la contribution est proportionnelle à la longueur d'arc, donc à l'angle. Et un segment dont le prolongement passe par le point a $\sin\theta=0$ , donc une contribution nulle.

3. Prendre le nombre total de spires pour le nombre de spires par mètre

toute la question, ici un facteur 4

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le solénoïde compte $500$ spires et porte $3{,}0$ A : $B=\mu_{0}NI=4\pi\times 10^{-7}\times 500\times 3{,}0=1{,}9\times 10^{-3}$ T. »

Ce qu'il faut écrire

« $n=\dfrac{N}{L}=\dfrac{500}{0{,}25}=2000$ spires par mètre, donc $B=\mu_{0}nI=4\pi\times 10^{-7}\times 2000\times 3{,}0=7{,}5\times 10^{-3}$ T. »

Le champ intérieur ne dépend que du nombre de spires PAR MÈTRE et du courant : ni le rayon du solénoïde ni le nombre total de spires n'y figurent.

Pourquoi : Le facteur d'erreur vaut exactement $\dfrac{1}{L}$ : il passe inaperçu quand la longueur est proche de $1$ m et devient énorme sur un solénoïde court. Le contrôle est dimensionnel, $\mu_{0}NI$ n'a pas les unités d'un champ.

4. Croire que le champ d'un solénoïde dépend de son rayon

2 points, souvent sur une question de discussion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On double le rayon du solénoïde, donc le champ intérieur diminue de moitié. »

Ce qu'il faut écrire

« $B=\mu_{0}nI$ ne contient que la densité de spires et le courant : doubler le rayon ne change RIEN au champ à l'intérieur, tant que le solénoïde reste long devant son diamètre. »

Pourquoi : C'est le théorème d'Ampère qui l'impose : le contour rectangulaire n'enlace qu'un nombre de spires proportionnel à sa longueur, indépendamment de la section. Le raisonnement en $\dfrac{1}{r}$ du fil ne s'applique pas ici.

5. Compter tout le courant du câble dans un contour d'Ampère extérieur

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À l'extérieur du câble coaxial, le contour enlace le courant $I$ du conducteur central, donc $B=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le contour enlace AUSSI le courant de retour $-I$ de la gaine : $I_{int}=I-I=0$ , donc $B=0$ à l'extérieur du câble. »

Pourquoi : C'est exactement pour cela qu'on utilise un câble coaxial : il ne rayonne pas et ne se laisse pas perturber. Le courant enlacé se compte avec ses signes, comme une somme algébrique, jamais en valeur absolue.

6. Chercher un champ dans le trou central d'un tore

3 points, et une question de discussion perdue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le tore porte $800$ spires, donc le champ au centre du trou est fort. »

Ce qu'il faut écrire

« Un contour circulaire tracé dans le trou n'enlace AUCUN courant : $B=0$ rigoureusement, dans le trou comme à l'extérieur du tore. Le champ n'existe que dans le tore lui-même, où $B=\dfrac{\mu_{0}NI}{2\pi r}$ . »

Pourquoi : Le tore est le seul dispositif du cours dont le champ est PARFAITEMENT confiné, sans fuite. C'est ce qui en fait le circuit magnétique des transformateurs.

7. Traiter un fil de longueur finie comme un fil infini

2 points, davantage si l'énoncé demande de justifier l'approximation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le fil mesure $20$ cm et le point est à $5{,}0$ cm : $B=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi d}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sur la médiatrice d'un fil fini, le résultat du fil infini est multiplié par $\sin\theta_{max}=\dfrac{L}{\sqrt{L^{2}+d^{2}}}=0{,}89$ : le champ vaut donc $89\,\%$ de la valeur du fil infini, et toujours moins. »

Pourquoi : Les portions manquantes du fil infini apporteraient un champ de même sens : les retirer ne peut que diminuer le résultat. Une valeur supérieure à celle du fil infini est donc toujours fausse.

8. Traiter la perméabilité relative comme une constante du matériau

3 points sur la question de discussion, celle qui demande une phrase

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le noyau de fer a $\mu_{r}=2000$ , donc en doublant le courant, on double le champ : $2000$ fois le champ du vide, toujours. »

Ce qu'il faut écrire

« $\mu_{r}$ n'est pas une constante : le fer SATURE vers $2$ T. Au-delà, augmenter le courant n'augmente pratiquement plus le champ, et le facteur multiplicatif s'effondre. »

Pourquoi : Les domaines magnétiques finissent tous alignés : il n'y a plus rien à aligner. C'est la limite physique des électroaimants, et l'aire du cycle d'hystérésis mesure ce que ce va-et-vient coûte en énergie à chaque cycle.

Quelle méthode choisir

Biot-Savart ou Ampère, selon la symétrie

La géométrie du conducteur, avant toute formule

Si fil infini, câble coaxial, solénoïde long, tore, nappe de courant → théorème d'Ampère, avec le contour qui épouse la symétrie

Exemple : cercle autour d'un fil, rectangle à cheval sur un solénoïde
Si spire, arc de cercle, fil de longueur finie → Biot-Savart, ou directement la formule intégrée du catalogue

Exemple : arc d'angle $\theta$ : la fraction $\dfrac{\theta}{2\pi}$ du champ de la spire
Si plusieurs conducteurs → superposition : direction de chaque champ à la main droite, PUIS somme vectorielle

Exemple : deux fils parallèles, bobines de Helmholtz
Si un point à l'INTÉRIEUR d'un conducteur massif → Ampère avec le courant enlacé partiel, $I_{int}=I\dfrac{r^{2}}{a^{2}}$

Exemple : le champ croît linéairement avec $r$ dans l'âme d'un coaxial
Si aucune symétrie exploitable → Ampère reste vrai mais ne calcule pas : la question porte alors sur la circulation ou le flux

Exemple : champ au voisinage d'un aimant de forme quelconque
Si un noyau de matériau magnétique est présent → calculer $B_{0}$ dans le vide, puis multiplier par $\mu_{r}$ , en vérifiant la saturation

Exemple : un solénoïde à noyau de fer ne dépasse guère $2$ T

Le choix se fait sur la SYMÉTRIE, jamais sur la difficulté apparente. Un énoncé qui parle de solénoïde ou de coaxial annonce Ampère; un énoncé qui parle de spire ou de segment annonce Biot-Savart et le catalogue.

Quelle formule pour quelle géométrie

Le mot exact employé par l'énoncé

Si « fil rectiligne long », « conducteur infini » → $B=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi d}$ , lignes circulaires

Exemple : $2\times 10^{-7}\dfrac{I}{d}$ en unités SI, à retenir sous cette forme
Si « au centre de la spire », « bobine plate de $N$ spires » → $B=\dfrac{N\mu_{0}I}{2R}$

Exemple : $R$ est le rayon, pas le diamètre
Si « sur l'axe, à la distance $x$ » → $B=\dfrac{\mu_{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}$ , qui redonne la formule du centre pour $x=0$

Exemple : bobines de Helmholtz, séparées de leur rayon
Si « solénoïde », « bobine longue » → $B=\mu_{0}nI$ avec $n$ en spires par mètre, indépendant du rayon

Exemple : $500$ spires sur $25$ cm donnent $n=2000$
Si « tore », « anneau bobiné » → $B=\dfrac{\mu_{0}NI}{2\pi r}$ dans le tore, nul partout ailleurs

Exemple : $N$ est ici le nombre TOTAL de spires
Si « arc », « demi-cercle », « quart de cercle » → la fraction correspondante du champ de la spire, et les segments radiaux ne comptent pas

Exemple : un demi-cercle donne la moitié

Deux formules seulement contiennent un $N$ : la bobine plate et le tore, et il s'agit du nombre TOTAL de spires. Partout ailleurs, un $n$ signifie des spires par mètre. Cette distinction vaut plusieurs points par examen.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Appliquer le théorème d'Ampère, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : L'énoncé annonce un fil, un câble coaxial, un solénoïde ou un tore, et demande le champ à une distance donnée.

1 Énoncer la symétrie et en déduire la forme des lignes de champ : « la symétrie cylindrique impose des lignes circulaires centrées sur l'axe, avec $B$ constant sur un tel cercle. »
2 Choisir le contour et le DIRE : cercle de rayon $r$ coaxial, ou rectangle dont un côté est à l'intérieur du solénoïde et l'opposé à l'extérieur.
3 Justifier la sortie de $B$ hors de l'intégrale : $\vec{B}$ est parallèle à $d\vec{l}$ et constant sur le contour, d'où $\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=B\times 2\pi r$ .
4 Compter le courant ENLACÉ avec ses signes, région par région si le conducteur est composite.
5 Isoler $B$ , puis vérifier la continuité aux frontières entre régions et le comportement à l'infini.

Phrase de conclusion

« Par symétrie cylindrique, $\vec{B}$ est tangent au cercle de rayon $r$ et de grandeur constante sur ce cercle. Le théorème d'Ampère donne $B\times 2\pi r=\mu_{0}I_{int}$ , d'où $B=\dfrac{\mu_{0}I_{int}}{2\pi r}$ , avec $I_{int}$ le courant réellement enlacé par ce contour. »

Le piège : Écrire $I_{int}=I$ par réflexe. Dans un conducteur massif, il n'y a qu'une fraction du courant; dans un coaxial vu de l'extérieur, la somme est nulle.

Barème : En général 1 point pour la symétrie énoncée, 1 pour le contour, 2 pour la circulation correctement écrite, 2 pour le courant enlacé, 1 pour le résultat.

Trouver le point où le champ de deux fils s'annule

Quand l'utiliser : Deux fils parallèles portent des courants donnés, et l'énoncé demande où le champ résultant est nul.

1 Déterminer à la main droite le SENS du champ de chaque fil dans les trois régions : à gauche, entre les deux, à droite.
2 Éliminer les régions où les deux champs ont le même sens : ils ne peuvent pas s'y annuler, et le dire rapporte le point de raisonnement.
3 Dans la région restante, écrire l'égalité des GRANDEURS : $\dfrac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi x}=\dfrac{\mu_{0}I_{2}}{2\pi(d-x)}$ , où $\mu_{0}$ et $2\pi$ se simplifient.
4 Résoudre, puis vérifier que la solution tombe bien dans la région annoncée : sinon, c'est la région qui était mal choisie.

Phrase de conclusion

« Les deux courants étant de même sens, leurs champs sont opposés uniquement ENTRE les deux fils. L'égalité $\dfrac{6{,}0}{x}=\dfrac{2{,}0}{0{,}20-x}$ donne $x=0{,}15$ m du premier fil, valeur bien comprise entre $0$ et $0{,}20$ m. »

Le piège : Résoudre l'équation avant d'avoir déterminé la région. L'algèbre fournit toujours une solution, y compris dans une région où le champ ne peut physiquement pas s'annuler.

Barème : 2 points pour la discussion des sens et le choix de la région, 2 pour l'équation, 1 pour la résolution, 1 pour la vérification de l'appartenance.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La direction du champ, redessinée à la main droite

Sur chaque figure, vérifier que le champ dessiné est PERPENDICULAIRE à la droite qui joint la source au point. Un champ aligné sur cette droite est une erreur de nature, pas de calcul.

Une flèche pointant du fil vers le point : c'est un champ électrique qui a été dessiné.
Le facteur $2\times 10^{-7}$

$\dfrac{\mu_{0}}{2\pi}=2\times 10^{-7}$ exactement : le champ d'un fil se calcule de tête en multipliant $2\times 10^{-7}$ par $\dfrac{I}{d}$ . Un ordre de grandeur qui s'en écarte trahit une erreur de puissance de dix.

$5{,}0$ A à $2{,}5$ mm donnent $4{,}0\times 10^{-4}$ T, soit huit fois le champ terrestre : plausible.
Les unités du solénoïde

Vérifier que le nombre utilisé dans $\mu_{0}nI$ est bien en spires par mètre. Une valeur inférieure à mille pour un solénoïde de laboratoire est suspecte.

Un $n=500$ pour $500$ spires sur $25$ cm : la division par la longueur a été oubliée.
La continuité aux frontières

Dans un conducteur composite, les expressions des régions voisines doivent donner la MÊME valeur à leur frontière commune.

$\dfrac{\mu_{0}Ir}{2\pi a^{2}}$ et $\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}$ coïncident bien en $r=a$ : le calcul est cohérent.
L'ordre de grandeur comparé au champ terrestre

Le champ terrestre vaut environ $5\times 10^{-5}$ T. Un résultat de laboratoire se compte en dixièmes ou en centièmes de tesla, jamais en teslas pour un simple fil.

Un champ de $3$ T calculé pour un fil à $5$ cm : quatre ordres de grandeur de trop.

L'exercice type décortiqué

Le câble coaxial, région par région

Un câble coaxial est formé d'une âme cylindrique pleine de rayon $a=1{,}0$ mm parcourue par un courant $I=5{,}0$ A uniformément réparti, et d'une gaine conductrice comprise entre $b=3{,}0$ mm et $c=4{,}0$ mm, parcourue par le même courant en sens INVERSE.

Déterminer le champ magnétique dans les quatre régions : $r<a$ , $a<r<b$ , $b<r<c$ et $r>c$ .

Le champ croît avec

r

dans l'âme, décroît en

\dfrac{1}{r}

dans l'isolant, s'annule progressivement dans la gaine, et reste rigoureusement nul au-delà : le câble ne rayonne pas.

Étape 1

Symétrie et contour : la symétrie cylindrique impose des lignes de champ circulaires centrées sur l'axe, avec $B$ constant sur chacune. On prend donc pour contour un cercle de rayon $r$ , et $\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=B\times 2\pi r$ dans toutes les régions.

Pourquoi

La même phrase sert quatre fois : seule la valeur de $I_{int}$ change d'une région à l'autre. L'écrire une fois pour toutes en tête de copie fait gagner du temps et rapporte le point de méthode.

Étape 2

Région $r<a$ : le contour n'enlace qu'une fraction du courant, $I_{int}=I\dfrac{r^{2}}{a^{2}}$ , d'où $B=\dfrac{\mu_{0}Ir}{2\pi a^{2}}$ . En $r=0{,}50$ mm : $I_{int}=1{,}25$ A et $B=5{,}0\times 10^{-4}$ T.

Pourquoi

La densité de courant étant uniforme, le courant enlacé est proportionnel à l'AIRE, donc au carré du rayon. Le champ croît alors linéairement, ce qui est le contraire du comportement extérieur.

Étape 3

Région $a<r<b$ : tout le courant de l'âme est enlacé, $I_{int}=I=5{,}0$ A, d'où $B=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}$ . En $r=2{,}5$ mm : $B=2\times 10^{-7}\times\dfrac{5{,}0}{2{,}5\times 10^{-3}}=4{,}0\times 10^{-4}$ T.

Pourquoi

C'est le résultat du fil infini : vu de l'extérieur, un conducteur cylindrique se comporte exactement comme un fil placé sur son axe, comme une sphère chargée se comporte comme une charge ponctuelle.

Étape 4

Région $b<r<c$ : le contour enlace l'âme ENTIÈRE et une partie de la gaine, de sens opposé : $I_{int}=I-I\dfrac{r^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}$ . En $r=3{,}5$ mm : $I_{int}=5{,}0-2{,}32=2{,}68$ A et $B=1{,}5\times 10^{-4}$ T.

Pourquoi

Les deux courants se soustraient parce qu'ils sont de sens opposés : c'est là que se joue le point de la question. Le champ décroît donc plus vite qu'en $\dfrac{1}{r}$ et atteint zéro exactement en $r=c$ .

Étape 5

Région $r>c$ : $I_{int}=I-I=0$ , donc $B=0$ , quelle que soit la distance.

Pourquoi

C'est la propriété qui justifie l'emploi d'un câble coaxial : il ne rayonne rien à l'extérieur et n'est pas perturbé par ce qui l'entoure. Aucun calcul n'est nécessaire, seulement le bon décompte.

Étape 6

Vérification de continuité : en $r=a$ , la première expression donne $\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi a}$ et la deuxième aussi. En $r=b$ et $r=c$ , les expressions voisines coïncident également, la dernière donnant bien $0$ .

Pourquoi

Les quatre morceaux doivent se raccorder : c'est le seul contrôle disponible ici, et il attrape une erreur de fraction dans $I_{int}$ sans refaire le moindre calcul.

Étape 7

Contrôle de plausibilité : $4{,}0\times 10^{-4}$ T, c'est environ huit fois le champ terrestre. Ordre de grandeur cohérent pour quelques ampères à quelques millimètres.

Pourquoi

Le facteur $2\times 10^{-7}$ rend ce contrôle instantané : $\dfrac{I}{d}$ vaut ici $2000$ , donc $B$ vaut $4\times 10^{-4}$ T, de tête, sans calculatrice.

Conclusion rédigée

« Le champ vaut $\dfrac{\mu_{0}Ir}{2\pi a^{2}}$ dans l'âme, où il croît linéairement jusqu'à $1{,}0\times 10^{-3}$ T en $r=a$ ; $\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}$ dans l'isolant, où il décroît jusqu'à $3{,}3\times 10^{-4}$ T en $r=b$ ; il s'annule progressivement dans la gaine puisque le courant de retour se soustrait; et il est rigoureusement NUL au-delà du câble, où $I_{int}=0$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $B=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}$ à l'extérieur du câble, en oubliant le courant de retour. Le résultat est un champ décroissant mais non nul, ce qui contredit la raison d'être même du câble coaxial.

À savoir par cœur

• $\dfrac{\mu_{0}}{2\pi}=2\times 10^{-7}$ : le champ d'un fil vaut $2\times 10^{-7}\dfrac{I}{d}$ , de tête.
• Les lignes de champ magnétique sont des CERCLES autour du courant : le champ est tangent, jamais radial.
• Centre d'une spire : $\dfrac{\mu_{0}I}{2R}$ . Arc d'angle $\theta$ : la fraction $\dfrac{\theta}{2\pi}$ de ce champ.
• Un segment dont le prolongement passe par le point ne contribue pas.
• Solénoïde : $B=\mu_{0}nI$ avec $n$ en spires PAR MÈTRE, indépendant du rayon.
• Tore : $B=\dfrac{\mu_{0}NI}{2\pi r}$ dedans, nul dans le trou et à l'extérieur.
• Ampère : $I_{int}$ est le courant ENLACÉ, compté avec ses signes; il est nul autour d'un coaxial complet.
• Fil fini : le fil infini multiplié par $\sin\theta_{max}$ , donc toujours moins.
• Champ terrestre $\approx 5\times 10^{-5}$ T, saturation du fer vers $2$ T.

Questions fréquentes

Dans quelle direction pointe le champ magnétique d'un fil ?

Il est tangent aux cercles centrés sur le fil, donc perpendiculaire à la droite qui joint le fil au point considéré. On le trouve avec la main droite : le pouce dans le sens du courant, les doigts se referment dans le sens du champ. Contrairement au champ électrique, il ne pointe jamais vers sa source ni à l'opposé.

Quelle est la différence entre le théorème d'Ampère et la loi de Biot-Savart ?

Biot-Savart donne la contribution de chaque petit morceau de circuit et s'utilise pour les spires, les arcs et les fils de longueur finie. Le théorème d'Ampère relie la circulation du champ sur un contour fermé au courant enlacé : il est toujours vrai mais ne permet de calculer que dans les géométries très symétriques.

Le champ d'un solénoïde dépend-il de son rayon ?

Non. Le champ à l'intérieur vaut la perméabilité du vide multipliée par le nombre de spires par mètre et par le courant. Ni le rayon ni le nombre total de spires n'y figurent, tant que le solénoïde reste long devant son diamètre. Un solénoïde plus large donne le même champ, sur un plus grand volume.

Pourquoi le champ est-il nul à l'extérieur d'un câble coaxial ?

Parce qu'un contour tracé à l'extérieur enlace à la fois le courant aller de l'âme et le courant retour de la gaine, qui sont égaux et opposés. Le courant enlacé total est donc nul, et le champ aussi. C'est exactement ce qui rend ce câble insensible aux perturbations et incapable d'en produire.

Combien vaut le champ au centre d'un demi-cercle de courant ?

La moitié du champ d'une spire complète de même rayon, donc la perméabilité du vide fois le courant, divisée par quatre fois le rayon. Les portions rectilignes qui amènent le courant, si elles pointent vers le centre, ne contribuent pas du tout, car l'angle entre l'élément de courant et la direction du point y est nul.

Pourquoi un noyau de fer finit-il par saturer ?

Parce que le fer amplifie le champ en alignant ses domaines magnétiques. Quand ils sont tous alignés, vers deux teslas environ, il n'y a plus rien à aligner et augmenter le courant n'augmente presque plus le champ. La perméabilité relative n'est donc pas une constante du matériau, mais une valeur qui dépend du champ appliqué.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Sources du champ magnétique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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