Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les circuits RC, RL et RLC (203-SN2-RE, ancien 203-NYB)

Jusqu'ici, les circuits étaient instantanés. Avec un condensateur ou une bobine, ils ont une mémoire : le courant et la tension mettent du temps à s'établir, et ce temps a une valeur, la constante de temps. C'est le seul chapitre du cours où le mot « quand » compte autant que le mot « combien ».

Cette fiche rassemble les erreurs qui coûtent le plus en évaluation : les deux constantes de temps confondues, les deux continuités oubliées, l'énergie perdue qu'on ne veut pas voir, et le régime sinusoïdal traité en additions de nombres alors qu'il est fait d'additions vectorielles.

Le fil du chapitre

Deux grandeurs seulement ne peuvent pas sauter : la tension d'un condensateur et le courant d'une bobine. Tout le chapitre se déduit de ces deux continuités et de deux instants, juste après la fermeture et très longtemps après.

Ce chapitre fait partie de Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

L'induction électromagnétique Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Les deux continuités, et les deux instants qui dispensent d'exponentielle

• $u_{C}$ et $i_{L}$ sont TOUJOURS continues : une énergie, $\dfrac{1}{2}Cu^{2}$ ou $\dfrac{1}{2}Li^{2}$ , ne peut pas sauter. Tout le reste, courants dans les résistances et tension aux bornes d'une bobine, peut être discontinu.
• Juste après la fermeture : un condensateur DÉCHARGÉ se comporte comme un FIL, une bobine sans courant comme un INTERRUPTEUR OUVERT.
• Après un temps long : un condensateur se comporte comme un interrupteur OUVERT, une bobine comme un FIL.
• Ces deux instants se traitent avec la seule loi d'Ohm, sans aucune exponentielle : ce sont les deux questions faciles de tout problème de régime transitoire.
• Trois lectures de $\tau$ : à $t=\tau$ , $63\,\%$ du chemin est fait; la tangente à l'origine coupe l'asymptote en $t=\tau$ ; le régime permanent est atteint à $99\,\%$ après $5\tau$ . Demi-vie d'une décharge : $t_{1/2}=\tau\ln 2\approx 0{,}69\,\tau$ .

La tangente à l'origine coupe l'axe exactement en

t=\tau

, et c'est là que la courbe est retombée à

37\,\%

de sa valeur initiale. Les deux lectures donnent la même constante de temps.

Devant un énoncé de transitoire, écrire d'abord les deux colonnes « $t=0^{+}$ » et « $t\to\infty$ » avant toute équation. La moitié des questions y répond directement, et l'autre moitié s'y contrôle.

RC et RL : mêmes formes, deux constantes différentes

• RC en charge : $u_{C}(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=RC$ . En décharge : $u_{C}(t)=U_{0}e^{-t/\tau}$ .
• RL à la fermeture : $i(t)=\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=\dfrac{L}{R}$ , et non $RL$ .
• La bobine s'oppose aux variations de SON courant : ouvrir brutalement un circuit inductif produit la surtension $|e|=L\dfrac{di}{dt}$ , d'où l'étincelle à l'interrupteur.
• Énergies : $\dfrac{1}{2}Cu^{2}$ pour le condensateur, $\dfrac{1}{2}Li^{2}$ pour la bobine. Inductance d'un solénoïde : $L=\mu_{0}n^{2}A\ell$ , donc proportionnelle au CARRÉ du nombre de spires.
• Transfert de charge entre deux condensateurs : la charge se conserve, l'énergie NON. La perte vaut $\dfrac{1}{2}\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}(\Delta U)^{2}$ et ne dépend pas de la résistance du circuit.

Contrôle dimensionnel systématique : $RC$ est en secondes, $\dfrac{L}{R}$ aussi, mais $RL$ et $\dfrac{C}{R}$ ne le sont pas. Une constante de temps qui sort en ohms fois henrys est fausse avant même d'être calculée.

LC, RLC et le régime sinusoïdal

• LC idéal : oscillations de pulsation $\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ et de période $T_{0}=2\pi\sqrt{LC}$ , avec l'analogie mécanique $q\leftrightarrow x$ , $i\leftrightarrow v$ , $L\leftrightarrow m$ , $\dfrac{1}{C}\leftrightarrow k$ .
• RLC série : amortissement en $e^{-Rt/2L}$ , pseudo-pulsation $\omega'=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\left(\dfrac{R}{2L}\right)^{2}}$ . Régime critique pour $R_{c}=2\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ , apériodique au-delà.
• Régime sinusoïdal : $X_{L}=\omega L$ , $X_{C}=\dfrac{1}{\omega C}$ , $Z=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}$ et $\tan\varphi=\dfrac{X_{L}-X_{C}}{R}$ .
• Les tensions s'additionnent VECTORIELLEMENT : $U^{2}=U_{R}^{2}+(U_{L}-U_{C})^{2}$ , si bien que $U_{L}$ ou $U_{C}$ peut dépasser la tension de la source.
• Résonance série en $\omega_{0}$ : $Z$ minimale et égale à $R$ , courant maximal, déphasage nul, et surtension d'un facteur $Q=\dfrac{\omega_{0}L}{R}=\dfrac{U_{L}}{U}$ .

Puissance moyenne : $P=UI\cos\varphi=RI^{2}$ . Une bobine et un condensateur idéaux ne consomment RIEN en moyenne, ils échangent de l'énergie avec la source deux fois par période.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire la constante de temps d'un circuit RL comme un produit

toute la question, ici un facteur 400

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\tau=RL=(20)(0{,}050)=1{,}0$ s. »

Ce qu'il faut écrire

« $\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0{,}050}{20}=2{,}5\times 10^{-3}$ s, soit $2{,}5$ ms. »

Pourquoi : Le contrôle est dimensionnel : un henry divisé par un ohm donne une seconde, un henry multiplié par un ohm ne donne rien de connu. Le réflexe du produit vient du RC, où c'est justement un produit.

2. Faire démarrer le courant d'une bobine à sa valeur finale

toute la question du régime transitoire, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On ferme l'interrupteur : le courant vaut immédiatement $\dfrac{E}{R}$ , la bobine ne change rien en régime établi. »

Ce qu'il faut écrire

« $i_{L}$ est CONTINUE : à $t=0^{+}$ , le courant vaut encore $0$ et la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert. C'est seulement après quelques $\tau$ qu'il atteint $\dfrac{E}{R}$ . »

Le courant de la bobine part de zéro et y reste continu, alors que le courant du circuit RC saute d'un coup à

\dfrac{E}{R}

au moment de la fermeture. C'est la tension du condensateur qui, elle, ne saute pas.

Pourquoi : Un saut de courant dans une bobine demanderait un saut d'énergie magnétique, donc une puissance infinie. C'est la même impossibilité physique que pour la tension d'un condensateur.

3. Faire sauter la tension d'un condensateur

toute la question, 5 points, et le sens de variation inversé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le condensateur est déchargé : à $t=0^{+}$ , il prend toute la tension de la source, donc le courant initial est nul. »

Ce qu'il faut écrire

« $u_{C}$ est CONTINUE et vaut donc encore $0$ à $t=0^{+}$ : le condensateur déchargé se comporte comme un FIL, et le courant initial vaut $\dfrac{E}{R}$ , sa valeur maximale. »

Pourquoi : C'est l'exacte symétrique du piège précédent, et les deux se corrigent avec la même phrase : ce sont les ÉNERGIES stockées qui ne peuvent pas sauter, donc $u_{C}$ et $i_{L}$ .

4. Croire que l'énergie se conserve dans un transfert entre condensateurs

4 points, et la discussion finale du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On relie un condensateur chargé à un condensateur vide : la charge se conserve, donc l'énergie aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« La charge se conserve, l'énergie NON : la moitié disparaît pour deux condensateurs identiques, et la perte vaut $\dfrac{1}{2}\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}(\Delta U)^{2}$ , indépendamment de la résistance du circuit. »

Pourquoi : L'énergie part en chaleur dans la résistance des fils, et en rayonnement s'il n'y en a pas. Diviser la résistance par mille ne change rien à la perte : cela accélère seulement le transfert.

5. Refuser qu'une tension partielle dépasse celle de la source

3 points, et l'intérêt même de la résonance manqué

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La source délivre $12$ V, donc la tension aux bornes de la bobine ne peut pas dépasser $12$ V. »

Ce qu'il faut écrire

« À la résonance, $U_{L}=Q\,U=2{,}5\times 12=30$ V, et $U_{C}$ vaut autant. Ces deux tensions sont OPPOSÉES et se compensent exactement, si bien que leur somme reste $0$ et que la source ne voit que $U_{R}$ . »

Pourquoi : En alternatif, les tensions ne s'additionnent pas en nombres mais en vecteurs déphasés. C'est cette surtension qui permet de sélectionner une station de radio, et qui claque les condensateurs mal dimensionnés.

6. Additionner les tensions alternatives comme des nombres

3 points, et une impédance fausse ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $U=U_{R}+U_{L}-U_{C}=8+10-4=14$ V. »

Ce qu'il faut écrire

« Les tensions sont déphasées : $U=\sqrt{U_{R}^{2}+(U_{L}-U_{C})^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$ V. »

Les trois tensions forment un triangle rectangle, jamais une somme :

8

6

donnent

10

, pas

14

. C'est le même dessin qui donne le déphasage

\varphi

Pourquoi : La tension de la résistance est en phase avec le courant, celle de la bobine en avance d'un quart de période, celle du condensateur en retard d'autant. Seules les deux dernières se retranchent directement, et le reste se compose par Pythagore.

7. Faire consommer de la puissance à une bobine ou à un condensateur

3 points, et un bilan de puissance qui dépasse ce que fournit la source

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La bobine est traversée par $0{,}39$ A sous $25$ V, donc elle consomme $9{,}8$ W. »

Ce qu'il faut écrire

« Une bobine idéale et un condensateur idéal ne consomment AUCUNE puissance moyenne : $P=UI\cos\varphi$ avec $\varphi=\pm 90^{\circ}$ , donc $P=0$ . Seule la résistance dissipe : $P=RI^{2}$ . »

Pourquoi : Ces deux composants stockent puis restituent l'énergie deux fois par période : ils l'empruntent à la source et la lui rendent. C'est pourquoi un mauvais facteur de puissance fait circuler du courant inutile sans rien consommer.

8. Croire que l'inductance est proportionnelle au nombre de spires

2 points, et la constante de temps fausse d'un facteur 4

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On double le nombre de spires du solénoïde, donc son inductance double. »

Ce qu'il faut écrire

« $L=\mu_{0}n^{2}A\ell$ : l'inductance croît comme le CARRÉ du nombre de spires à longueur fixée. Doubler $N$ multiplie $L$ par quatre. »

Pourquoi : Deux fois plus de spires créent deux fois plus de flux, et ce flux traverse deux fois plus de spires : les deux effets se multiplient. Le même raisonnement explique le carré dans l'énergie stockée.

9. Chercher la résonance là où l'impédance est maximale

3 points, et la courbe tracée à l'envers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À la résonance, l'impédance du circuit série est maximale et le courant minimal. »

Ce qu'il faut écrire

« En SÉRIE, $X_{L}$ et $X_{C}$ se compensent à la résonance : $Z=R$ , sa valeur MINIMALE, donc le courant est maximal et le déphasage nul. »

Pourquoi : L'impédance maximale à la résonance est le cas du circuit PARALLÈLE, qui n'est pas au programme de ce cours. En série, la résonance est celle qui laisse passer le courant, comme dans l'étage d'entrée d'un récepteur radio.

Quelle méthode choisir

Quel outil selon l'instant demandé

Le moment que la question désigne, avant toute équation

Si « juste après la fermeture », $t=0^{+}$ → continuités : $u_{C}$ et $i_{L}$ gardent leur valeur d'avant, puis loi d'Ohm

Exemple : condensateur déchargé égale fil, bobine sans courant égale coupure
Si « en régime permanent », « après un temps long » → condensateur ouvert, bobine remplacée par un fil, puis loi d'Ohm

Exemple : le courant final d'un RL vaut $\dfrac{E}{R}$
Si un instant intermédiaire est donné → exponentielle, avec $\tau=RC$ ou $\tau=\dfrac{L}{R}$ selon le circuit

Exemple : $63\,\%$ à $t=\tau$ , $95\,\%$ à $3\tau$
Si on demande une DURÉE pour atteindre une valeur → isoler par logarithme : $t=\tau\ln\left(\dfrac{1}{1-x}\right)$ en charge, $t=\tau\ln\dfrac{U_{0}}{u}$ en décharge

Exemple : demi-vie d'une décharge : $\tau\ln 2$
Si le circuit contient $L$ ET $C$ sans source alternative → oscillations : $\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ , amorties si $R\neq 0$

Exemple : critique pour $R=2\sqrt{\dfrac{L}{C}}$
Si la source est SINUSOÏDALE → impédances : $Z=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}$ , plus aucun régime transitoire à considérer

Exemple : le courant efficace vaut $\dfrac{U}{Z}$

Les deux premières branches ne demandent aucune exponentielle et rapportent pourtant autant de points que les autres. Les traiter en premier, systématiquement, sécurise la moitié de la question.

Régime sinusoïdal : quelle grandeur, quelle formule

Ce que la question demande, une fois $X_{L}$ et $X_{C}$ calculées

Si on demande le COURANT efficace → $I=\dfrac{U}{Z}$ avec $Z=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}$

Exemple : $Z=30{,}5$ $\Omega$ sous $12$ V donne $0{,}393$ A
Si on demande le DÉPHASAGE → $\tan\varphi=\dfrac{X_{L}-X_{C}}{R}$ , positif si le circuit est inductif

Exemple : $\varphi=+49{,}0^{\circ}$ : le courant est en retard sur la tension
Si on demande la PUISSANCE moyenne → $P=UI\cos\varphi=RI^{2}$ , jamais $UI$ seul

Exemple : $3{,}09$ W par les deux chemins
Si on demande la FRÉQUENCE de résonance → $\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ , donc $f_{0}=\dfrac{\omega_{0}}{2\pi}$

Exemple : $50$ mH et $20$ µF donnent $159$ Hz
Si on demande la tension aux bornes de $L$ ou de $C$ → $U_{L}=X_{L}I$ et $U_{C}=X_{C}I$ , qui peuvent dépasser la tension de la source

Exemple : à la résonance, surtension d'un facteur $Q$
Si on demande la SÉLECTIVITÉ ou la bande passante → $Q=\dfrac{\omega_{0}L}{R}=\dfrac{\omega_{0}}{\Delta\omega}$

Exemple : $Q=2{,}5$ donne une bande passante de $400$ rad/s

Toutes ces formules supposent des valeurs EFFICACES, celles que mesure un multimètre. Si l'énoncé donne une amplitude, il faut diviser par $\sqrt{2}$ avant d'entrer dans le tableau.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Le raisonnement « juste avant, juste après »

Quand l'utiliser : Un interrupteur se ferme ou s'ouvre dans un circuit contenant un condensateur ou une bobine.

1 Décrire l'état JUSTE AVANT la commutation, en régime permanent : condensateur ouvert, bobine remplacée par un fil, et noter les valeurs de $u_{C}$ et de $i_{L}$ .
2 Invoquer explicitement les continuités : « $u_{C}$ et $i_{L}$ ne peuvent pas sauter », et reporter ces deux valeurs à $t=0^{+}$ .
3 Redessiner le circuit à $t=0^{+}$ en remplaçant le condensateur par une source de tension $u_{C}(0)$ et la bobine par une source de courant $i_{L}(0)$ , puis appliquer la loi d'Ohm.
4 Déterminer l'état FINAL avec les mêmes équivalences qu'au début, mais dans la nouvelle configuration.
5 Écrire enfin l'exponentielle qui relie les deux états, avec le $\tau$ du circuit vu par le composant après commutation.

Phrase de conclusion

« Juste avant l'ouverture, la bobine est parcourue par $i_{L}=0{,}60$ A. Comme $i_{L}$ est continue, ce courant vaut encore $0{,}60$ A juste après, et il doit désormais passer dans la résistance de $200$ $\Omega$ , d'où une tension instantanée de $120$ V aux bornes de l'interrupteur. »

Le piège : Redessiner le circuit APRÈS commutation en oubliant que la bobine impose son courant. C'est ce courant maintenu de force qui explique l'étincelle, et il n'apparaît nulle part si l'on raisonne en tensions.

Barème : En général 2 points pour l'état initial, 2 pour l'invocation des continuités, 2 pour l'état final, 1 pour la constante de temps.

Étudier un circuit RLC série en régime sinusoïdal

Quand l'utiliser : Une source alternative de fréquence donnée alimente une résistance, une bobine et un condensateur en série.

1 Calculer $\omega=2\pi f$ , puis les deux réactances $X_{L}=\omega L$ et $X_{C}=\dfrac{1}{\omega C}$ , en ohms toutes les deux.
2 Comparer les deux : le circuit est INDUCTIF si $X_{L}>X_{C}$ , capacitif sinon, et le dire avant tout calcul d'impédance.
3 Calculer $Z=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}$ , puis $I=\dfrac{U}{Z}$ .
4 Déterminer le déphasage par $\tan\varphi=\dfrac{X_{L}-X_{C}}{R}$ , avec son SIGNE, et l'interpréter en avance ou en retard.
5 Terminer par la puissance moyenne, calculée deux fois, $UI\cos\varphi$ et $RI^{2}$ , qui doivent coïncider.

Phrase de conclusion

« À $200$ Hz, $X_{L}=62{,}8$ $\Omega$ et $X_{C}=39{,}8$ $\Omega$ : le circuit est inductif. On obtient $Z=30{,}5$ $\Omega$ , $I=0{,}393$ A et $\varphi=+49{,}0^{\circ}$ , le courant étant en retard sur la tension. La puissance moyenne vaut $RI^{2}=3{,}09$ W. »

Le piège : Oublier que $X_{C}$ décroît quand la fréquence augmente. Beaucoup de copies calculent $\dfrac{\omega}{C}$ au lieu de $\dfrac{1}{\omega C}$ , ce qui donne une réactance en milliers d'ohms et une impédance absurde.

Barème : 1 point par réactance, 1 pour la nature du circuit, 2 pour l'impédance et le courant, 1 pour le déphasage signé, 1 pour la puissance.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le contrôle dimensionnel de la constante de temps

$RC$ en ohms fois farads, $\dfrac{L}{R}$ en henrys divisés par ohms : les deux donnent des secondes. Vérifier l'ordre de grandeur attendu, millisecondes pour un RL de laboratoire, millisecondes ou secondes pour un RC.

Un $\tau=1{,}0$ s pour une bobine de $50$ mH et $20$ $\Omega$ : le produit a été fait au lieu du quotient.
Les deux continuités relues sur la copie

Repérer chaque valeur annoncée à $t=0^{+}$ et vérifier que $u_{C}$ et $i_{L}$ y valent bien ce qu'elles valaient juste avant. Tout autre saut est permis, ces deux-là ne le sont pas.

Un courant de bobine qui passe de $0$ à $0{,}60$ A à l'instant de la fermeture : impossible.
L'impédance encadrée

$Z$ est toujours SUPÉRIEURE ou égale à $R$ , avec égalité seulement à la résonance. Une impédance plus petite que la résistance est une erreur de signe sous la racine.

Un $Z=14$ $\Omega$ pour $R=20$ $\Omega$ : les deux réactances ont été soustraites de $R$ au lieu d'être composées.
La puissance calculée deux fois

Comparer $UI\cos\varphi$ et $RI^{2}$ : les deux doivent donner le même nombre. C'est le contrôle le plus rapide de tout le régime sinusoïdal.

$3{,}09$ W des deux côtés : le déphasage et l'impédance sont cohérents entre eux.
Le sens de variation des réactances

Quand la fréquence augmente, $X_{L}$ augmente et $X_{C}$ diminue. Un tableau de valeurs qui montre l'inverse trahit un $\omega C$ écrit au numérateur.

Une $X_{C}$ de $2{,}5\times 10^{-2}$ $\Omega$ à $200$ Hz pour $20$ µF : c'est $\omega C$ , pas son inverse.

L'exercice type décortiqué

Un RLC série, du régime forcé jusqu'à la résonance

Une source sinusoïdale de tension efficace $U=12{,}0$ V et de fréquence $f=200$ Hz alimente en série une résistance $R=20{,}0$ $\Omega$ , une bobine $L=50{,}0$ mH et un condensateur $C=20{,}0$ µF.

Déterminer l'impédance, le courant efficace, le déphasage et la puissance moyenne. Puis trouver la fréquence de résonance et la tension qui apparaît alors aux bornes de la bobine.

Le courant est maximal à

159

Hz, là où les deux réactances se compensent exactement et où l'impédance se réduit à

R

. À

200

Hz, on est déjà redescendu sur le flanc inductif de la courbe.

Étape 1

Pulsation et réactances : $\omega=2\pi(200)=1257$ rad/s, donc $X_{L}=\omega L=1257\times 0{,}0500=62{,}8$ $\Omega$ et $X_{C}=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{1257\times 20{,}0\times 10^{-6}}=39{,}8$ $\Omega$ .

Pourquoi

Les deux réactances s'expriment en ohms et se comparent directement. Les calculer avant toute autre chose évite l'erreur la plus commune, celle qui place $\omega$ au numérateur de $X_{C}$ .

Étape 2

Nature du circuit : $X_{L}>X_{C}$ , le circuit est INDUCTIF, donc le courant sera en retard sur la tension et $\varphi$ sera positif.

Pourquoi

Annoncer la nature avant le calcul permet de contrôler le signe du déphasage sans y réfléchir à nouveau. Cette phrase vaut souvent un point à elle seule.

Étape 3

Impédance et courant : $Z=\sqrt{20{,}0^{2}+(62{,}8-39{,}8)^{2}}=\sqrt{400+530}=30{,}5$ $\Omega$ , donc $I=\dfrac{U}{Z}=\dfrac{12{,}0}{30{,}5}=0{,}393$ A.

Pourquoi

Les deux réactances se retranchent AVANT d'être composées avec la résistance : c'est cette soustraction, et non une somme, qui rend la résonance possible. On vérifie au passage que $Z>R$ .

Étape 4

Déphasage : $\tan\varphi=\dfrac{62{,}8-39{,}8}{20{,}0}=1{,}15$ , donc $\varphi=+49{,}0^{\circ}$ et $\cos\varphi=0{,}655$ .

Pourquoi

Le signe positif confirme le caractère inductif annoncé plus haut. Un $\varphi$ négatif ici signalerait une inversion des deux réactances.

Étape 5

Puissance moyenne, par les deux chemins : $P=UI\cos\varphi=12{,}0\times 0{,}393\times 0{,}655=3{,}09$ W, et $P=RI^{2}=20{,}0\times 0{,}393^{2}=3{,}09$ W.

Pourquoi

Les deux expressions coïncident, ce qui valide d'un coup l'impédance, le courant et le déphasage. La bobine et le condensateur n'apparaissent nulle part : ils ne consomment rien en moyenne.

Étape 6

Résonance : $\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}0500\times 20{,}0\times 10^{-6}}}=1000$ rad/s, soit $f_{0}=159$ Hz. Alors $Z=R=20{,}0$ $\Omega$ et $I_{0}=\dfrac{12{,}0}{20{,}0}=0{,}600$ A.

Pourquoi

La fréquence de travail, $200$ Hz, est au-dessus de la résonance : cela confirme que $X_{L}$ l'emporte et que le circuit est inductif, exactement comme trouvé à la deuxième étape.

Étape 7

Surtension à la résonance : $Q=\dfrac{\omega_{0}L}{R}=\dfrac{1000\times 0{,}0500}{20{,}0}=2{,}50$ , donc $U_{L}=X_{L}I_{0}=1000\times 0{,}0500\times 0{,}600=30{,}0$ V, soit $Q$ fois la tension de la source.

Pourquoi

Trente volts apparaissent aux bornes de la bobine alors que la source n'en délivre que douze. Ce n'est pas une contradiction : $U_{C}$ vaut aussi $30{,}0$ V, en OPPOSITION, et les deux se compensent exactement.

Conclusion rédigée

« À $200$ Hz, le circuit est inductif : $Z=30{,}5$ $\Omega$ , $I=0{,}393$ A, $\varphi=+49{,}0^{\circ}$ et $P=3{,}09$ W. La résonance se produit à $f_{0}=159$ Hz, où l'impédance tombe à $R=20{,}0$ $\Omega$ , le courant monte à $0{,}600$ A et la tension aux bornes de la bobine atteint $30{,}0$ V, soit $2{,}50$ fois celle de la source. »

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure que la tension de $30{,}0$ V est impossible parce qu'elle dépasse celle de la source. C'est justement le phénomène de surtension, et c'est lui qui rend un circuit résonant utile, et parfois dangereux pour ses composants.

À savoir par cœur

• $u_{C}$ et $i_{L}$ sont continues : ce sont des énergies stockées, elles ne sautent pas.
• À $t=0^{+}$ : condensateur déchargé égale fil, bobine sans courant égale coupure. Après un temps long : l'inverse.
• $\tau=RC$ pour un RC, $\tau=\dfrac{L}{R}$ pour un RL, jamais $RL$ .
• $63\,\%$ à $\tau$ , $95\,\%$ à $3\tau$ , $99\,\%$ à $5\tau$ ; demi-vie $\tau\ln 2$ .
• Transfert entre deux condensateurs : la charge se conserve, la moitié de l'énergie part en chaleur.
• $L=\mu_{0}n^{2}A\ell$ : l'inductance croît comme le CARRÉ du nombre de spires.
• $\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ , et en série la résonance donne $Z=R$ , donc le courant MAXIMAL.
• $Z=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}\geq R$ , et $\tan\varphi=\dfrac{X_{L}-X_{C}}{R}$ .
• $U^{2}=U_{R}^{2}+(U_{L}-U_{C})^{2}$ : $U_{L}$ peut dépasser la tension de la source, d'un facteur $Q$ .
• $P=UI\cos\varphi=RI^{2}$ : bobine et condensateur idéaux ne consomment rien en moyenne.

Questions fréquentes

Quelle est la constante de temps d'un circuit RL ?

C'est l'inductance divisée par la résistance, et non leur produit. Une bobine de cinquante millihenrys avec vingt ohms donne deux virgule cinq millisecondes. Le contrôle est dimensionnel : un henry divisé par un ohm donne bien une seconde, alors que leur produit ne donne rien de connu.

Pourquoi le courant d'une bobine ne peut-il pas sauter ?

Parce que l'énergie stockée dans la bobine dépend du carré de ce courant. Un saut de courant demanderait un saut d'énergie en un temps nul, donc une puissance infinie. C'est la même raison qui interdit à la tension d'un condensateur de sauter, tandis que toutes les autres grandeurs du circuit le peuvent.

Où passe l'énergie perdue quand on relie deux condensateurs ?

Elle est dissipée en chaleur dans la résistance des fils, et en rayonnement s'il n'y en a pratiquement pas. Pour deux condensateurs identiques dont un seul est chargé, la moitié de l'énergie disparaît. Diminuer la résistance ne change rien à cette perte, cela accélère seulement le transfert.

La tension aux bornes d'une bobine peut-elle dépasser celle de la source ?

Oui, et c'est fréquent à la résonance. Les tensions alternatives s'additionnent vectoriellement, pas comme des nombres. La tension de la bobine et celle du condensateur sont en opposition et se compensent, si bien que chacune peut valoir plusieurs fois la tension de la source sans rien contredire.

Comment trouver la fréquence de résonance d'un circuit RLC série ?

C'est la fréquence pour laquelle les deux réactances sont égales, ce qui donne une pulsation égale à l'inverse de la racine du produit de l'inductance par la capacité. L'impédance s'y réduit à la seule résistance, le courant y est maximal et le déphasage nul.

Une bobine consomme-t-elle de la puissance ?

Une bobine idéale n'en consomme aucune en moyenne. Elle stocke de l'énergie pendant un quart de période puis la restitue au quart suivant. Seule la résistance dissipe réellement, et la puissance moyenne vaut la résistance multipliée par le carré du courant efficace.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Circuits RC, RL et RLC

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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