Électricité et magnétisme 203-SN2-RE • Exercices corrigés de cégep à Montréal

Fiche de révision : les circuits RC en courant continu (203-SN2-RE)

Un circuit RC tient en une exponentielle, et c'est justement pour cela qu'il piège : tout se joue sur les valeurs qu'on met dedans. La tension de départ, la tension d'arrivée, la bonne constante de temps, et l'origine du temps.

Cette fiche rassemble les pièges des évaluations du cours 203-SN2-RE sur les circuits RC, l'arbre qui choisit l'expression selon l'instant demandé, une méthode rédigée en quatre étapes et un exemple complet de charge suivie d'une décharge.

Le fil du chapitre

Un condensateur ne peut pas changer de tension d'un coup : juste après une manœuvre il garde sa tension, longtemps après il ne laisse plus passer de courant, et entre les deux tout est exponentiel en unités de τ = RC. Chaque piège met une mauvaise valeur dans cette exponentielle.

Ce chapitre fait partie de Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Circuits à courant continu Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Charge, décharge et constante de temps

• Constante de temps : $\tau=RC$ , en secondes si $R$ est en ohms et $C$ en farads.
• Charge sous $\mathcal{E}$ : $v_{C}=\mathcal{E}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ et $i=\dfrac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/\tau}$ .
• Décharge depuis $V_{0}$ : $v_{C}=V_{0}e^{-t/\tau}$ , et le courant décroît de la même façon.
• Repères : $63$ % de la variation à $\tau$ , $86$ % à $2\tau$ , $99$ % à $4{,}6\tau$ ; demi-vie $\tau\ln 2$ .

À t = τ, la charge est à 63 % de sa valeur finale et la décharge à 37 % de sa valeur initiale : les deux courbes se répondent en miroir.

Ce qui varie en exponentielle, c'est toujours l'ÉCART à la valeur finale : en charge, ce qui manque ; en décharge, ce qui reste.

Les deux régimes limites et la loi des mailles

• Juste après une manœuvre, la tension du condensateur n'a pas bougé : déchargé, il se comporte comme un FIL.
• En régime permanent, $i_{C}=0$ : chargé, il se comporte comme un circuit OUVERT.
• Loi des mailles pour la décharge : $R\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{C}=0$ ; pour la charge : $\mathcal{E}=Ri+\dfrac{q}{C}$ avec $i=\dfrac{dq}{dt}$ .
• Plusieurs résistances : $\tau=R_{eq}C$ , où $R_{eq}$ est la résistance vue par le condensateur, sources éteintes. Énergie stockée : $U=\dfrac{1}{2}Cv_{C}^{2}$ .

Les deux régimes limites se calculent sans exponentielle, avec les lois de Kirchhoff seules : c'est souvent la moitié des points d'un exercice.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Multiplier des kilohms par des microfarads sans convertir

toute la question, et toutes les tensions qui en dépendent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\tau=4{,}7\times 220=1034$ s. »

Ce qu'il faut écrire

« $\tau=4{,}7\times 10^{3}\ \Omega\times 220\times 10^{-6}\ \mathrm{F}=1{,}03$ s. »

Pourquoi : Le kilo et le micro valent ensemble un millième. Un condensateur de quelques centaines de microfarads qui mettrait un quart d'heure à se charger dans quelques kilohms doit faire relire la ligne.

2. Donner au condensateur la tension de la source juste après la fermeture

2 à 3 points, et le courant initial faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À $t=0^{+}$ , $v_{C}=\mathcal{E}=12$ V et le courant est nul. »

Ce qu'il faut écrire

« À $t=0^{+}$ , $v_{C}=0$ : toute la tension est aux bornes de la résistance et $i_{0}=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{12}{4700}=2{,}55$ mA. »

Pourquoi : $v_{C}=\dfrac{q}{C}$ : la tension ne peut changer que si la charge a eu le temps de s'accumuler. C'est le courant, lui, qui saute instantanément.

3. Prendre la résistance en série avec la source pour calculer tau

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Source, $R_{1}=6$ kΩ, puis $R_{2}=3$ kΩ en parallèle avec $C=100$ µF : $\tau=R_{1}C=0{,}60$ s. »

Ce qu'il faut écrire

« Vu du condensateur, source éteinte, $R_{1}$ et $R_{2}$ sont en parallèle : $R_{eq}=2$ kΩ et $\tau=0{,}20$ s. »

Pour trouver τ, on éteint la source (fil) et on regarde depuis les bornes de C : R₁ et R₂ relient les deux mêmes nœuds, elles sont en parallèle.

Pourquoi : La constante de temps dépend du chemin par lequel le condensateur se charge ET se décharge. Une partie du courant fourni part dans R₂, qui accélère la charge et abaisse la tension finale.

4. Utiliser la formule de charge pour une décharge

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Condensateur chargé à $12$ V qui se décharge : à $t=\tau$ , $v_{C}=12\left(1-e^{-1}\right)=7{,}6$ V. »

Ce qu'il faut écrire

« En décharge, $v_{C}=12\,e^{-1}=4{,}4$ V : il reste $37$ %. »

Pourquoi : Une décharge part de la tension initiale et tend vers zéro. La formule de charge fait croître la tension, ce qu'aucun condensateur débranché de sa source ne peut faire.

5. Déclarer le condensateur chargé au bout de deux constantes de temps

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À $t=2\tau$ , le condensateur est pratiquement chargé. »

Ce qu'il faut écrire

« À $2\tau$ , il n'est qu'à $1-e^{-2}=86{,}5$ % ; il faut $\tau\ln 100=4{,}6\tau$ pour atteindre $99$ %. »

Pourquoi : La règle pratique des 5τ vient du fait qu'il reste moins de 1 % à gagner. En dessous de 4τ, l'écart à la valeur finale reste mesurable.

6. Faire décroître l'énergie comme la tension

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $90$ % de l'énergie est dissipée quand $e^{-t/\tau}=0{,}10$ , soit $t=\tau\ln 10=0{,}253$ s pour $\tau=0{,}110$ s. »

Ce qu'il faut écrire

« $U\propto v_{C}^{2}\propto e^{-2t/\tau}$ : $e^{-2t/\tau}=0{,}10$ donne $t=\dfrac{\tau\ln 10}{2}=0{,}127$ s. »

La courbe rouge de l'énergie croise la ligne de 10 % à 1,15 τ ; la tension, en bleu, n'y arrive qu'à 2,3 τ.

Pourquoi : L'énergie est proportionnelle au CARRÉ de la tension : elle décroît deux fois plus vite. Quand l'énergie est à 10 %, la tension est encore à 32 %.

7. Compter le temps depuis le début après une bascule

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Chargé $1{,}5$ s puis déchargé dans $3$ kΩ ( $\tau_{2}=3$ s) : à $t=4{,}5$ s, $v=6{,}99\,e^{-4{,}5/3}=1{,}56$ V. »

Ce qu'il faut écrire

« La décharge ne dure que $4{,}5-1{,}5=3{,}0$ s : $v=6{,}99\,e^{-1}=2{,}57$ V. »

Pourquoi : L'exponentielle de décharge démarre à l'instant de la bascule, avec la tension atteinte à ce moment-là. On repart d'une nouvelle origine des temps.

Quelle méthode choisir

Quelle expression selon l'instant demandé

Le moment où l'énoncé demande une tension ou un courant

Si juste après la fermeture ou l'ouverture → tension du condensateur inchangée ; Kirchhoff avec C remplacé par une source de cette tension (un fil s'il est déchargé)

Exemple : déchargé : $i_{0}=\dfrac{\mathcal{E}}{R}$
Si longtemps après (plus de 5 τ) → $i_{C}=0$ : C remplacé par un circuit ouvert, Kirchhoff sans exponentielle

Exemple : diviseur : $v_{C}=\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\mathcal{E}$
Si à un instant t pendant une charge → $v_{C}=V_{f}+(V_{i}-V_{f})e^{-t/\tau}$

Exemple : $12(1-e^{-2/1{,}034})=10{,}3$ V
Si à un instant t pendant une décharge → $v_{C}=V_{0}e^{-t/\tau}$ , $t$ compté depuis le début de la décharge

Exemple : $9\,e^{-10/4{,}7}=1{,}07$ V
Si le temps pour atteindre une tension donnée → isoler l'exponentielle puis prendre le logarithme

Exemple : $t=\tau\ln\dfrac{9{,}0}{1{,}0}=10{,}3$ s

La forme générale $V_{f}+(V_{i}-V_{f})e^{-t/\tau}$ couvre la charge ( $V_{i}=0$ , $V_{f}=\mathcal{E}$ ) et la décharge ( $V_{f}=0$ ) : une seule formule à retenir, trois valeurs à lire.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Étudier un circuit RC à plusieurs résistances

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une source, deux ou trois résistances et un condensateur, et demande tensions et courants à plusieurs instants.

1 Instant initial : remplacer le condensateur par sa tension d'avant (un fil s'il est déchargé) et résoudre par Kirchhoff.
2 Régime permanent : remplacer le condensateur par un circuit ouvert et résoudre par Kirchhoff ; en déduire la tension finale.
3 Constante de temps : éteindre la source, calculer la résistance vue par le condensateur, $\tau=R_{eq}C$ .
4 Écrire $v_{C}(t)=V_{f}+(V_{i}-V_{f})e^{-t/\tau}$ et répondre aux questions intermédiaires.

Phrase de conclusion

« À $t=0^{+}$ , le condensateur déchargé se comporte comme un fil ; en régime permanent, comme un circuit ouvert, d'où $v_{C}=3{,}33$ V. Vu de C, $R_{eq}=R_{1}\parallel R_{2}=2{,}0$ kΩ, donc $\tau=0{,}20$ s et $v_{C}(t)=3{,}33\left(1-e^{-t/0{,}20}\right)$ . »

Le piège : Écrire directement la formule de charge avec E et R₁, sans passer par les deux régimes limites : la tension finale et la constante de temps sortent toutes les deux fausses.

Barème : En général 1 point par régime limite, 1 pour la constante de temps, 1 pour l'expression, 1 pour chaque valeur demandée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'ordre de grandeur de tau

Des kilohms et des microfarads donnent des millisecondes à quelques secondes ; des mégohms et des microfarads, des secondes à des minutes.

$\tau=1034$ s pour $4{,}7$ kΩ et $220$ µF : conversion oubliée.
Les valeurs aux deux bouts

Remplacer t par 0 puis par l'infini dans l'expression trouvée : on doit retrouver les deux régimes limites calculés par Kirchhoff.

$v_{C}(0)=0$ et $v_{C}(\infty)=\mathcal{E}$ en charge ; $V_{0}$ et $0$ en décharge.
Le sens de variation

En charge, la tension monte et le courant descend ; en décharge, les deux descendent. Une tension de décharge qui augmente trahit la mauvaise formule.

$7{,}6$ V après $\tau$ pour une décharge depuis $12$ V : impossible.
L'énergie conservée

L'énergie dissipée dans les résistances pendant une décharge complète doit valoir l'énergie initialement stockée, ½CV₀².

$470$ µF sous $20$ V : $94$ mJ au total, partagés entre les résistances.

L'exercice type décortiqué

Charge, bascule, puis décharge dans une autre résistance

Un condensateur de $1000$ µF, déchargé, se charge sous $9{,}0$ V à travers $1{,}0$ kΩ. À $t=1{,}5$ s, on le bascule sur une résistance de $3{,}0$ kΩ, dans laquelle il se décharge.

Calculer la tension à la bascule, le courant juste après, la tension à $t=4{,}5$ s et l'énergie finalement dissipée dans la résistance de $3{,}0$ kΩ.

Étape 1

Charge : $\tau_{1}=1{,}0\times 10^{3}\times 1000\times 10^{-6}=1{,}0$ s, et $v(1{,}5)=9{,}0\left(1-e^{-1{,}5}\right)=6{,}99$ V.

Pourquoi

On calcule la constante de temps propre à chaque phase : elle change avec la résistance traversée.

Étape 2

Juste après la bascule : $v_{C}=6{,}99$ V, donc $i=\dfrac{6{,}99}{3000}=2{,}33$ mA.

Pourquoi

La tension du condensateur ne saute pas : elle impose le courant initial de la nouvelle maille.

Étape 3

Décharge : $\tau_{2}=3{,}0\times 10^{3}\times 1000\times 10^{-6}=3{,}0$ s.

Pourquoi

Nouvelle résistance, nouvelle constante de temps : réutiliser τ₁ est la deuxième erreur classique de ce type d'exercice.

Étape 4

À $t=4{,}5$ s, la décharge dure $3{,}0$ s : $v=6{,}99\,e^{-3{,}0/3{,}0}=2{,}57$ V.

Pourquoi

L'origine des temps de la décharge est l'instant de la bascule.

Étape 5

Énergie dissipée : $U=\dfrac{1}{2}\times 1000\times 10^{-6}\times 6{,}99^{2}=24{,}4$ mJ.

Pourquoi

Toute l'énergie présente à la bascule finit en chaleur dans la résistance, quelle que soit sa valeur.

Conclusion rédigée

« À la bascule, $v_{C}=6{,}99$ V et $i=2{,}33$ mA ; à $4{,}5$ s, il reste $2{,}57$ V ; la résistance de $3{,}0$ kΩ dissipe au total $24{,}4$ mJ. »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire la décharge avec e puissance moins t sur trois secondes en prenant t = 4,5 s : on obtient 1,56 V au lieu de 2,57 V.

À savoir par cœur

• $\tau=RC$ en secondes : ohms et farads, jamais kilohms et microfarads bruts.
• $v_{C}(t)=V_{f}+(V_{i}-V_{f})e^{-t/\tau}$ : charge et décharge dans une seule formule.
• Juste après une manœuvre : tension de C inchangée. Longtemps après : courant de C nul.
• $63$ % à $\tau$ , $86$ % à $2\tau$ , $99$ % à $4{,}6\tau$ ; $t_{1/2}=\tau\ln 2$ .
• Plusieurs résistances : $\tau=R_{eq}C$ , source éteinte, vue de C.
• $U=\dfrac{1}{2}CV^{2}$ décroît en $e^{-2t/\tau}$ .
• Condensateurs : en série $\dfrac{1}{C_{s}}=\sum\dfrac{1}{C_{i}}$ , en parallèle $C_{p}=\sum C_{i}$ .

Questions fréquentes

Que vaut la tension d'un condensateur juste après la fermeture de l'interrupteur ?

Elle vaut la même chose que juste avant, parce que la tension d'un condensateur est proportionnelle à sa charge et qu'une charge ne s'accumule pas instantanément. Un condensateur déchargé se comporte donc comme un simple fil au moment de la fermeture, et toute la tension de la source se retrouve aux bornes de la résistance.

Comment calculer la constante de temps d'un circuit RC avec plusieurs résistances ?

On éteint la source, en la remplaçant par un fil pour une source de tension, puis on calcule la résistance équivalente vue depuis les deux bornes du condensateur. La constante de temps est le produit de cette résistance équivalente par la capacité. Ce n'est pas forcément la résistance placée en série avec la source.

Au bout de combien de temps un condensateur est-il chargé ?

Mathématiquement jamais complètement, mais il atteint 63 pour cent de sa tension finale après une constante de temps, 86 pour cent après deux, et 99 pour cent après environ 4,6 constantes de temps. En pratique, on le considère chargé au bout de cinq constantes de temps, quand il reste moins de un pour cent à gagner.

Où passe l'énergie d'un condensateur qui se décharge dans une résistance ?

Elle est entièrement dissipée en chaleur dans la résistance, par effet Joule. Le calcul de l'intégrale du produit de la résistance par le carré du courant redonne exactement la moitié de la capacité multipliée par le carré de la tension initiale, quelle que soit la valeur de la résistance, qui ne fixe que la durée de la décharge.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les circuits RC en courant continu

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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