Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les taux de variation liés

Q: Comment résoudre un problème de taux de variation liés ?

On fait un schéma, on nomme les grandeurs qui dépendent du temps, on écrit les taux connus et le taux cherché, puis on écrit une relation vraie à tout instant entre ces grandeurs. On dérive cette relation par rapport au temps et on substitue les valeurs numériques seulement à la fin.

Q: Pourquoi ne faut-il pas remplacer les valeurs avant de dériver ?

Parce qu'une valeur numérique décrit un seul instant. En la substituant, on transforme une fonction du temps en constante, et la dérivée d'une constante est nulle. La copie démontre alors que la grandeur ne varie pas, ce que l'énoncé contredit explicitement.

Q: Que faire quand il reste deux inconnues dans l'équation ?

C'est le signe qu'une relation géométrique n'a pas été utilisée. Dans un cône, c'est la similitude qui lie le rayon à la hauteur; sous un lampadaire, ce sont les triangles semblables. On écrit cette relation, on l'utilise pour éliminer une variable, puis on dérive.

Q: Pourquoi le niveau monte-t-il moins vite dans un cône qui se remplit ?

Parce que la surface libre s'élargit à mesure que le niveau monte. Le même volume par minute doit s'étaler sur une section plus grande, donc il fait monter le niveau moins haut. La vitesse de montée est inversement proportionnelle à l'aire de la section, donc au carré de la hauteur dans un cône.

Q: Faut-il convertir les angles en radians ?

Oui, toujours. Les formules de dérivation des fonctions trigonométriques ne sont valables qu'en radians, car elles reposent sur une limite qui vaut un seulement dans cette unité. Un tour vaut deux pi radians, et un degré vaut pi sur cent quatre-vingts radian. Oublier la conversion fausse le résultat d'un facteur cinquante-sept environ.

Cette fiche ne réexplique pas la règle de chaîne : vous la connaissez depuis le chapitre précédent. Elle traite ce qui décide de la note sur les taux liés, où les copies perdent leurs points avant la moindre dérivée, dans la traduction de l'énoncé en relation, dans la similitude qu'on n'a pas vue, et dans la grandeur dont on a calculé le taux sans que ce soit celle qu'on demandait.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Un taux lié est une règle de chaîne dont la variable intermédiaire est le TEMPS : on dérive une relation vraie à tout instant, jamais une valeur numérique. Substituer avant de dériver transforme une fonction en constante, et une constante a une dérivée nulle.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La dérivation implicite Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
2Fonctions et domaine
3Limites et continuité
4La dérivée et ses règles
5La dérivation implicite

Notions couvertes

Taux de variation instantané
Règle de chaîne temporelle
Relation géométrique entre grandeurs
Triangles semblables
Théorème de Pythagore
Loi des cosinus
Volume d'un cône
Angle en radians
Signe d'un taux
Domaine de validité d'un modèle

L'essentiel

Ce qui varie, ce qui ne varie pas

• Une grandeur VARIABLE reçoit un nom de fonction du temps, $x(t)$ , et sera dérivée.
• Une grandeur CONSTANTE reçoit un nombre, et sortira de la dérivée ou disparaîtra.
• La relation à dériver doit être vraie à TOUT instant. « $x=3$ » ne l'est pas : c'est une valeur, elle ne se dérive pas.
• On dérive d'abord la relation LITTÉRALE, on substitue les nombres seulement ensuite.

L'échelle occupe deux positions successives : sa longueur,

5

, est la même aux deux instants, tandis que

x

y

ont tous deux changé. Seule la relation

x^{2}+y^{2}=25

, vraie aux deux instants, se dérive.

Poser cette liste en deux colonnes avant de calculer rapporte le point de méthode et évite l'erreur centrale du chapitre.

La méthode, en six étapes

• 1. Faire un SCHÉMA et nommer les grandeurs.
• 2. Séparer ce qui varie de ce qui reste fixe.
• 3. Écrire les taux connus et le taux cherché avec la notation $\frac{d\,\cdot}{dt}$ .
• 4. Écrire une relation entre les grandeurs, valable à tout instant, et n'y garder qu'une variable si possible.
• 5. Dériver cette relation par rapport à $t$ .
• 6. Substituer alors les valeurs de l'instant considéré, et conclure avec l'unité et le sens.

S'il reste DEUX variables et un seul taux connu, une relation géométrique n'a pas été utilisée : similitude, Pythagore, proportion.

Les dérivées temporelles à connaître par cœur

• $\frac{d}{dt}\left(x^{2}\right)=2x\frac{dx}{dt}$ et $\frac{d}{dt}\left(x^{3}\right)=3x^{2}\frac{dx}{dt}$ .
• $\frac{d}{dt}(xy)=x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}$ : deux grandeurs variables, donc règle du produit.
• $\frac{d}{dt}\left(\tan\theta\right)=\sec^{2}\theta\cdot\frac{d\theta}{dt}$ , en RADIANS.
• Sphère : $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ donne $\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}$ ; l'aire $S=4\pi r^{2}$ donne $\frac{dS}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}$ .
• Cône de proportion fixe $r=kh$ : $V=\frac{\pi k^{2}h^{3}}{3}$ donne $\frac{dV}{dt}=\pi k^{2}h^{2}\frac{dh}{dt}$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Substituer la valeur numérique avant de dériver

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $r=5$ , donc $V=\frac{4}{3}\pi(5)^{3}=\frac{500\pi}{3}$ , donc $\frac{dV}{dt}=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ , donc $\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}$ ; en substituant $r=5$ et $\frac{dV}{dt}=100$ , on obtient $\frac{dr}{dt}=\frac{1}{\pi}$ . »

Pourquoi : Substituer d'abord remplace une fonction du temps par une constante, dont la dérivée est nulle : la copie démontre alors que le volume ne varie pas, ce que l'énoncé contredit. Une valeur décrit un instant, une relation décrit tous les instants, et seule une relation se dérive.

2. Garder deux variables faute d'avoir vu la similitude

toute la question : une équation à deux inconnues n'a pas de solution

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ , donc $\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{3}\left(2rh\frac{dr}{dt}+r^{2}\frac{dh}{dt}\right)$ , et je bloque. »

Ce qu'il faut écrire

« Les triangles sont semblables, donc $\frac{r}{h}=\frac{3}{6}$ et $r=\frac{h}{2}$ ; alors $V=\frac{\pi h^{3}}{12}$ et $\frac{dV}{dt}=\frac{\pi h^{2}}{4}\frac{dh}{dt}$ . »

À deux hauteurs différentes, le rapport rayon sur hauteur est le MÊME : c'est cette proportion

r=\frac{h}{2}

qui élimine une variable, et son absence est ce qui bloque la copie.

Pourquoi : L'égalité écrite en premier est exacte, mais elle contient deux taux inconnus pour une seule équation. La similitude est la seconde équation, et l'utiliser AVANT de dériver divise le travail par deux. La règle générale : deux inconnues signalent toujours une relation géométrique non utilisée.

3. Calculer le taux d'une autre grandeur que celle demandée

toute la question, alors que le calcul est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La vitesse du bout de l'ombre est $\frac{ds}{dt}=\frac{3}{7}(1{,}5)\approx 0{,}64$ m/s. »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{ds}{dt}\approx 0{,}64$ m/s est la vitesse d'ALLONGEMENT de l'ombre; le bout de l'ombre est à la distance $x+s$ , donc il se déplace à $1{,}5+0{,}64=\frac{15}{7}\approx 2{,}14$ m/s. »

Pourquoi : Deux formulations très proches désignent deux grandeurs différentes. Souligner dans l'énoncé la grandeur exacte dont on demande le taux, avant tout calcul, supprime cette perte à coup sûr. Le même piège existe entre distance directe et distance horizontale, entre volume et hauteur, entre longueur et position.

4. Dériver un angle mesuré en degrés

1 point, et toutes les valeurs numériques qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'angle tourne de $30$ degrés par seconde, donc $\frac{d\theta}{dt}=30$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{d\theta}{dt}=30\times\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$ rad/s. »

Pourquoi : Les formules $\left(\tan\theta\right)'=\sec^{2}\theta$ et $(\sin\theta)'=\cos\theta$ reposent sur $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$ , qui vaut $\frac{\pi}{180}$ en degrés. L'erreur est d'un facteur $57{,}3$ environ, ce qui rend la réponse absurde et facilement repérable à l'ordre de grandeur.

5. Prendre un taux négatif pour une erreur de calcul

1 point si l'on change le signe, davantage si l'on modifie le calcul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je trouve $\frac{dy}{dt}=-0{,}45$ , il doit y avoir une faute de signe. »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{dy}{dt}=-0{,}45$ m/s : le haut de l'échelle DESCEND à $0{,}45$ m/s. »

Pourquoi : Le signe est une information, pas une anomalie : il dit que la grandeur diminue. L'erreur symétrique coûte autant, celle d'écrire $\frac{dV}{dt}=20$ quand l'énoncé dit « perd $20$ cm $^{3}$ par minute ». Les verbes « perdre », « fondre », « descendre », « se vider » imposent un taux négatif.

6. Traiter comme constante une grandeur qui varie

1 à 2 points, et un résultat de signe parfois opposé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le cylindre a pour volume $\pi r^{2}h$ , donc $\frac{dV}{dt}=2\pi rh\frac{dr}{dt}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Si $h$ varie aussi, $\frac{dV}{dt}=\pi\left(2rh\frac{dr}{dt}+r^{2}\frac{dh}{dt}\right)$ . »

Pourquoi : Un terme manquant peut renverser la conclusion : avec $r=6$ , $h=10$ , $\frac{dr}{dt}=0{,}3$ et $\frac{dh}{dt}=-0{,}5$ , la formule incomplète annonce $36\pi$ alors que la vraie valeur est $18\pi$ . L'étape 2 de la méthode, séparer variable et constant, existe exactement pour cela.

7. Croire qu'un débit constant donne une montée constante

toute la question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On verse à $2$ m $^{3}$ /min, donc le niveau monte toujours à la même vitesse. »

Ce qu'il faut écrire

« Dans un cône, $\frac{dh}{dt}=\frac{4}{\pi h^{2}}\cdot\frac{dV}{dt}$ : la montée est quatre fois plus lente à $4$ m qu'à $2$ m. »

Pourquoi : La vitesse de montée est inversement proportionnelle à l'AIRE de la section libre. Elle n'est constante que dans un cylindre ou un prisme droit. C'est la question d'interprétation la plus fréquente en fin de problème, et elle se répond par une formule, pas par une impression.

Quelle méthode choisir

Quelle relation écrire, selon la configuration

La géométrie du problème désigne la relation, et il n'y en a que cinq familles au cégep.

Si deux longueurs perpendiculaires et une distance entre leurs extrémités → Pythagore $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ , puis $x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=z\frac{dz}{dt}$

Exemple : l'échelle contre le mur, deux véhicules sur des routes perpendiculaires
Si deux triangles emboîtés partageant un angle → similitude : égaler deux rapports, ce qui donne une relation LINÉAIRE entre les grandeurs

Exemple : le cône qui se remplit, l'ombre sous un lampadaire
Si un angle apparaît dans l'énoncé ou dans la question → trigonométrie du triangle rectangle, presque toujours $\tan\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Exemple : le phare qui balaie une côte, l'angle d'élévation d'un avion
Si un solide se remplit, se vide, gonfle ou fond → formule de volume, après avoir réduit à UNE variable par la similitude

Exemple : ballon sphérique, auge en V, réservoir conique
Si deux trajectoires formant un angle qui n'est pas droit → loi des cosinus $z^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cos\alpha$ , dérivée avec la règle du produit sur $xy$

Exemple : deux véhicules sur des routes à $60$ degrés

Quand les deux mobiles partent du même point à vitesse constante, la vitesse d'éloignement est simplement la norme de la vitesse relative : $\sqrt{60^{2}+80^{2}}=100$ km/h, sans aucune dérivation.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Un problème de taux liés, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : Tout problème où une grandeur varie dans le temps et où l'on demande la vitesse de variation d'une autre.

1 Faire le schéma et nommer : « Soit $x(t)$ la distance du pied au mur et $y(t)$ la hauteur atteinte sur le mur. »
2 Écrire les données et l'inconnue avec la notation de Leibniz : « On donne $\frac{dx}{dt}=0{,}6$ m/s; on cherche $\frac{dy}{dt}$ lorsque $x=3$ . »
3 Écrire la relation et dire pourquoi elle vaut à tout instant : « L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle, donc $x^{2}+y^{2}=25$ à chaque instant. »
4 Dériver la relation par rapport à $t$ , sans aucune valeur numérique.
5 Substituer, puis conclure par une phrase contenant l'unité ET le sens de variation.

Phrase de conclusion

Lorsque le pied est à $3$ m du mur, $\frac{dy}{dt}=-0{,}45$ m/s : le haut de l'échelle descend à $0{,}45$ mètre par seconde.

Le piège : Écrire les valeurs numériques dans la relation dès la troisième étape. Le correcteur cherche une relation littérale dérivée, et la substitution en dernier : c'est l'ordre qui est évalué, pas seulement le nombre final.

Barème : En général 1 point pour le schéma et les notations, 1 point pour la relation, 1 point pour la dérivation, 1 point pour la substitution et la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler le signe contre la situation décrite

Se demander si la grandeur cherchée augmente ou diminue physiquement, puis vérifier que le signe obtenu dit la même chose.

Le haut de l'échelle descend, donc $\frac{dy}{dt}$ doit être négatif. Un résultat positif signale une erreur d'isolement, presque toujours un signe perdu en passant un terme de l'autre côté.
Vérifier l'homogénéité des unités

Une vitesse intégrée dans une relation de volume doit produire un volume par unité de temps, pas une longueur. Écrire les unités à côté des nombres au moment de substituer.

$\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}$ : cm $^{2}$ multipliés par cm/s donnent bien des cm $^{3}$ /s ✓.
Tester un instant voisin

Recalculer la grandeur cherchée à un instant légèrement différent et vérifier que la variation observée a le bon ordre de grandeur.

À $x=3$ on trouve $y=4$ ; à $x=3{,}1$ on trouve $y\approx 3{,}92$ , soit une baisse de $0{,}08$ pour un déplacement de $0{,}1$ effectué en $\frac{0{,}1}{0{,}6}$ s, donc environ $-0{,}48$ m/s ✓.
Vérifier qu'il ne reste qu'une inconnue

Avant de substituer, compter les taux inconnus dans l'équation dérivée. S'il y en a deux, une relation géométrique manque.

$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{3}\left(2rh\frac{dr}{dt}+r^{2}\frac{dh}{dt}\right)$ contient deux inconnues : la similitude $r=\frac{h}{2}$ n'a pas été utilisée.

L'exercice type décortiqué

Le lampadaire et l'ombre, comme à l'examen

Un lampadaire mesure $6$ m de haut. Une personne de $1{,}8$ m s'en éloigne en ligne droite à $1{,}5$ m/s.

À quelle vitesse la longueur de son ombre augmente-t-elle, et à quelle vitesse l'extrémité de l'ombre s'éloigne-t-elle du lampadaire ?

Deux grandeurs différentes sont en jeu :

s

, la longueur de l'ombre, et

x+s

, la distance du lampadaire au bout de l'ombre. La question ne demande pas la même chose selon la formulation.

Étape 1

Notons $x(t)$ la distance de la personne au pied du lampadaire et $s(t)$ la longueur de son ombre. Données : $\frac{dx}{dt}=1{,}5$ m/s. Les hauteurs $6$ et $1{,}8$ sont CONSTANTES.

Pourquoi

Séparer variable et constant dès la première ligne : les deux hauteurs ne seront jamais dérivées, et les repérer évite d'introduire des taux fantômes.

Étape 2

Le grand triangle (lampadaire, sol, bout de l'ombre) et le petit (personne, sol, bout de l'ombre) sont semblables. Leur base n'est pas la même : celle du grand vaut $x+s$ , celle du petit vaut $s$ . D'où $\frac{6}{x+s}=\frac{1{,}8}{s}$ .

Pourquoi

C'est ici que se joue la question. Écrire $\frac{6}{x}=\frac{1{,}8}{s}$ revient à placer le lampadaire là où se trouve la personne, et tout le reste du problème devient faux malgré des calculs impeccables.

Étape 3

En croisant : $6s=1{,}8(x+s)$ , donc $4{,}2s=1{,}8x$ et $s=\frac{3}{7}x$ .

Pourquoi

On réduit à UNE variable avant de dériver, exactement comme la similitude du cône élimine le rayon. La relation obtenue est linéaire, ce qui annonce déjà un taux constant.

Étape 4

On dérive par rapport à $t$ : $\frac{ds}{dt}=\frac{3}{7}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{3}{7}(1{,}5)=\frac{4{,}5}{7}\approx 0{,}64$ m/s.

Pourquoi

La relation étant linéaire, aucune substitution de position n'est nécessaire : le taux ne dépend pas de $x$ . C'est ce qui distingue ce problème du cône, où la relation était cubique.

Étape 5

L'extrémité de l'ombre est à la distance $x+s$ du lampadaire, donc sa vitesse est $\frac{d}{dt}(x+s)=1{,}5+0{,}64=\frac{15}{7}\approx 2{,}14$ m/s.

Pourquoi

Deuxième grandeur, deuxième taux. Lire la question mot à mot au moment de conclure est la seule protection contre l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Étape 6

Contrôle : les deux vitesses sont dans le rapport $\frac{15/7}{4{,}5/7}=\frac{10}{3}$ , et le bout de l'ombre va nécessairement plus vite que la personne, elle-même plus rapide que l'allongement de l'ombre. L'ordre $0{,}64<1{,}5<2{,}14$ est cohérent ✓.

Pourquoi

Un contrôle qualitatif attrape les inversions : une ombre qui s'allongerait plus vite que le bout de l'ombre ne se déplace serait géométriquement impossible.

Conclusion rédigée

L'ombre s'allonge à $\frac{4{,}5}{7}\approx 0{,}64$ m/s, et son extrémité s'éloigne du lampadaire à $\frac{15}{7}\approx 2{,}14$ m/s. Ces deux vitesses sont constantes et ne dépendent pas de la position de la personne.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $0{,}64$ m/s à la question « à quelle vitesse le bout de l'ombre se déplace-t-il ». Le calcul est juste, la grandeur ne l'est pas, et la question entière tombe.

À savoir par cœur

• On dérive une RELATION vraie à tout instant, jamais une valeur. Substituer se fait en dernier.
• $\frac{d}{dt}\left(x^{2}\right)=2x\frac{dx}{dt}$ : le facteur $\frac{dx}{dt}$ vient de la règle de chaîne et ne s'oublie pas.
• Deux inconnues dans l'équation dérivée : une similitude ou un Pythagore n'a pas été utilisé.
• Les angles se dérivent en RADIANS. Un tour vaut $2\pi$ , et $1°=\frac{\pi}{180}$ .
• Un taux négatif signifie que la grandeur diminue : c'est une information, pas une faute.
• Longueur de l'ombre et position de son bout, distance directe et distance horizontale : lire la grandeur demandée.
• Débit constant ne veut pas dire montée constante, sauf à section constante.

Questions fréquentes

Comment résoudre un problème de taux de variation liés ?

On fait un schéma, on nomme les grandeurs qui dépendent du temps, on écrit les taux connus et le taux cherché, puis on écrit une relation vraie à tout instant entre ces grandeurs. On dérive cette relation par rapport au temps et on substitue les valeurs numériques seulement à la fin.

Pourquoi ne faut-il pas remplacer les valeurs avant de dériver ?

Parce qu'une valeur numérique décrit un seul instant. En la substituant, on transforme une fonction du temps en constante, et la dérivée d'une constante est nulle. La copie démontre alors que la grandeur ne varie pas, ce que l'énoncé contredit explicitement.

Que faire quand il reste deux inconnues dans l'équation ?

C'est le signe qu'une relation géométrique n'a pas été utilisée. Dans un cône, c'est la similitude qui lie le rayon à la hauteur; sous un lampadaire, ce sont les triangles semblables. On écrit cette relation, on l'utilise pour éliminer une variable, puis on dérive.

Pourquoi le niveau monte-t-il moins vite dans un cône qui se remplit ?

Parce que la surface libre s'élargit à mesure que le niveau monte. Le même volume par minute doit s'étaler sur une section plus grande, donc il fait monter le niveau moins haut. La vitesse de montée est inversement proportionnelle à l'aire de la section, donc au carré de la hauteur dans un cône.

Faut-il convertir les angles en radians ?

Oui, toujours. Les formules de dérivation des fonctions trigonométriques ne sont valables qu'en radians, car elles reposent sur une limite qui vaut un seulement dans cette unité. Un tour vaut deux pi radians, et un degré vaut pi sur cent quatre-vingts radian. Oublier la conversion fausse le résultat d'un facteur cinquante-sept environ.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Taux de variation liés

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Fiche : la dérivée et ses règles Exercices : optimisation appliquée Exercices corrigés : Les taux de variation liés Tutorat cégep

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