Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : la dérivation implicite (201-NYA)

La dérivation implicite ne demande aucune règle nouvelle : c'est la règle de chaîne, appliquée à une lettre qu'on avait pris l'habitude de traiter comme une constante. Toute la difficulté est là, et les pertes de points de ce chapitre se comptent en $y'$ manquants.

Cette fiche est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal et pour les élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Dans une équation de courbe, $y$ n'est pas une lettre, c'est une FONCTION de $x$ : chaque fois qu'on la rencontre, la règle de chaîne dépose un $y'$ . Tout le chapitre tient dans ce facteur, puis dans la lecture du quotient obtenu.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La dérivée et ses règles Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
3La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
4Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
5Fonctions et domaine
6Limites et continuité
7La dérivée et ses règles

L'essentiel

Le principe : $y$ est une fonction de $x$ , pas une lettre

• On dérive les DEUX membres de l'équation par rapport à $x$ , en traitant $y$ comme $y(x)$ .
• Chaque terme contenant $y$ produit donc un facteur $y'$ par la règle de chaîne, exactement comme $u'$ dans $\left(u^{3}\right)'=3u^{2}u'$ .
• On regroupe ensuite tous les $y'$ d'un côté, on factorise, on divise : le résultat est un QUOTIENT en $x$ et $y$ .
• Une équation comme $x^{2}+y^{2}=25$ ne définit aucune fonction sur $[-5\,;5]$ , mais elle en définit une AUTOUR de chaque point où $y\neq 0$ . C'est ce qui rend le calcul licite.

La droite

x=3

coupe le cercle en DEUX points : l'équation ne définit pas une fonction, mais elle en définit une autour de chaque point, et les deux pentes

-\frac{3}{4}

+\frac{3}{4}

sont opposées.

Compte de contrôle avant de continuer : autant de $y'$ dans la ligne dérivée que de termes contenant $y$ dans l'équation de départ.

Les cinq structures qui laissent un $y'$

• $\frac{d}{dx}\left(y^{n}\right)=ny^{n-1}y'$ , et de même $\frac{d}{dx}\left(\sqrt{y}\right)=\frac{y'}{2\sqrt{y}}$ .
• $\frac{d}{dx}(\sin y)=\cos y\cdot y'$ , $\frac{d}{dx}\left(e^{y}\right)=e^{y}y'$ , $\frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{y'}{y}$ .
• PRODUIT : $\frac{d}{dx}(xy)=y+xy'$ . Les deux termes, toujours.
• QUOTIENT : $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{y-xy'}{y^{2}}$ .
• Un terme qui ne contient que des $x$ se dérive normalement, et une constante donne $0$ : c'est le seul cas sans $y'$ .

Lire le quotient : trois annulations, trois verdicts

• $y'$ dépend en général de $x$ ET de $y$ , et c'est normal : la pente dépend du POINT, pas de la seule abscisse.
• NUMÉRATEUR seul nul : tangente HORIZONTALE.
• DÉNOMINATEUR seul nul : tangente VERTICALE. La pente n'existe pas, mais la tangente existe et son équation est $x=x_{0}$ .
• Les DEUX nuls ensemble : point SINGULIER, croisement ou rebroussement. Il peut y avoir deux tangentes, ou aucune.

Un point trouvé par l'une de ces conditions doit encore APPARTENIR à la courbe : on substitue toujours dans l'équation de départ pour l'obtenir.

Dérivée seconde et coniques : les deux formules qui font gagner du temps

• $y''$ se calcule en dérivant $y'$ comme n'importe quelle expression, SANS oublier que $y'$ dépend encore de $x$ .
• On substitue l'expression de $y'$ APRÈS avoir dérivé, puis on simplifie avec l'équation de la courbe : sur $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ cela donne $y''=-\frac{r^{2}}{y^{3}}$ .
• Tangente à une conique en forme réduite : pour $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ au point $(x_{0}\,;y_{0})$ , c'est $\frac{xx_{0}}{a^{2}}+\frac{yy_{0}}{b^{2}}=1$ . Le signe moins de l'hyperbole se conserve.
• Cette forme reste valable aux points à tangente verticale, là où le quotient $y'$ ne dit plus rien.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Dériver $y$ comme une lettre inerte

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{d}{dx}\left(y^{3}\right)=3y^{2}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{d}{dx}\left(y^{3}\right)=3y^{2}y'$ , parce que $y$ est une fonction de $x$ et que la règle de chaîne s'applique. »

Pourquoi : C'est l'erreur qui définit le chapitre. Une copie qui l'a faite une fois l'a faite dans chaque terme, et le résultat n'a plus rien à voir avec la courbe.

2. Oublier la règle du produit sur un terme mixte

2 points, et un quotient faux jusqu'au bout

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{d}{dx}(xy)=xy'$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{d}{dx}(xy)=y+xy'$ : c'est un produit de deux fonctions de $x$ , donc les deux termes. »

Pourquoi : Le terme mixte est celui qu'on lit le plus vite. La parade est de l'entourer dans l'énoncé avant de dériver : partout où $x$ et $y$ se touchent, il y aura deux termes.

3. Isoler $y$ avant de dériver, et perdre une branche

la moitié des points de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}+y^{2}=25$ donne $y=\sqrt{25-x^{2}}$ , donc $y'=\frac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}}$ et la pente en $x=3$ vaut $-\frac{3}{4}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $y'=-\frac{x}{y}$ : en $(3\,;4)$ la pente vaut $-\frac{3}{4}$ , mais en $(3\,;-4)$ elle vaut $+\frac{3}{4}$ . La racine n'a retenu que la moitié du cercle. »

Pourquoi : Isoler $y$ choisit une branche sans le dire. La dérivation implicite traite les deux d'un coup, et c'est exactement pour cela qu'elle existe.

4. Croire qu'un $y$ dans le résultat est le signe d'une faute

du temps perdu, et souvent une bonne réponse effacée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Mon résultat contient encore $y$ , je dois avoir oublié de terminer. »

Ce qu'il faut écrire

« $y'=-\frac{x}{y}$ dépend de $x$ et de $y$ : c'est la forme normale d'une dérivée implicite, la pente dépendant du POINT et non de la seule abscisse. »

Pourquoi : Une courbe implicite passe deux fois par la même abscisse avec deux pentes différentes : aucune expression en $x$ seul ne pourrait les décrire toutes les deux.

5. Annoncer une tangente verticale sans regarder le numérateur

2 points, et une conclusion géométrique fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le dénominateur de $y'$ s'annule à l'origine, donc la tangente y est verticale. »

Ce qu'il faut écrire

« Numérateur ET dénominateur s'annulent à l'origine : le point est SINGULIER. La courbe s'y croise et porte deux tangentes, aucune n'étant donnée par le quotient. »

Sur le folium

x^{3}+y^{3}=6xy

, le numérateur seul s'annule au point à tangente horizontale, le dénominateur seul au point à tangente verticale, et les DEUX à l'origine, où la courbe se croise.

Pourquoi : Le quotient $\frac{0}{0}$ ne décide rien, ici comme ailleurs. Il faut regarder les deux annulations avant de conclure quoi que ce soit sur la tangente.

6. Calculer $y''$ en oubliant que $y'$ dépend encore de $x$

toute la question de concavité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y'=-\frac{x}{y}$ , donc $y''=-\frac{1}{y}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $y''=-\frac{y-xy'}{y^{2}}$ , puis on remplace $y'$ par $-\frac{x}{y}$ : $y''=-\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{3}}=-\frac{25}{y^{3}}$ sur le cercle de rayon $5$ . »

Pourquoi : Le quotient se dérive avec la règle du quotient, et le $y$ du dénominateur produit encore un $y'$ . Substituer avant d'avoir dérivé fait disparaître ce terme.

7. Conclure qu'il n'y a pas de tangente quand la pente n'existe pas

1 point, et souvent la question suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En $(5\,;0)$ , $y'=-\frac{5}{0}$ n'existe pas, donc le cercle n'a pas de tangente en ce point. »

Ce qu'il faut écrire

« La PENTE n'existe pas, la TANGENTE si : c'est la droite verticale $x=5$ . »

Pourquoi : Une droite verticale a une tangente parfaitement définie et pas de coefficient directeur. Confondre les deux revient à confondre l'objet géométrique et son écriture $y=mx+b$ .

8. Recalculer courbe par courbe dans une famille

le temps de l'examen, et la démonstration générale attendue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je dérive $x^{2}+y^{2}=9$ , puis $x^{2}+y^{2}=16$ , puis $x^{2}+y^{2}=25$ ... »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}+y^{2}=c$ donne $y'=-\frac{x}{y}$ pour TOUTE la famille d'un coup : la constante disparaît en dérivant. »

Pourquoi : C'est la vraie force de la méthode : la pente s'exprime en fonction du POINT et non de la courbe choisie, ce qui permet de démontrer l'orthogonalité de deux familles en une ligne.

Quelle méthode choisir

Que faire du quotient, selon ce que l'énoncé demande

Une fois $y'=\frac{N(x,y)}{D(x,y)}$ obtenu, c'est le verbe de l'énoncé qui dit quoi en faire. On ne recommence jamais le calcul.

Si « la pente au point $(x_{0}\,;y_{0})$ » → vérifier d'abord que le point est SUR la courbe, puis substituer les deux coordonnées

Exemple : sur $x^{2}+xy+y^{2}=7$ , le point $(1\,;2)$ donne $y'=-\frac{4}{5}$
Si « les points où la tangente est horizontale » → résoudre $N=0$ EN MÊME TEMPS que l'équation de la courbe, puis vérifier $D\neq 0$

Exemple : $2x+y=0$ avec $x^{2}+xy+y^{2}=7$ donne $3x^{2}=7$

Résoudre $N=0$ seul donne une droite entière, pas des points : le système avec l'équation de la courbe est obligatoire.
Si « les points où la tangente est verticale » → même système avec $D=0$ , puis vérifier $N\neq 0$ ; la tangente s'écrit $x=x_{0}$

Exemple : $x+2y=0$ avec la même conique donne $3y^{2}=7$
Si $N$ et $D$ s'annulent au même point → point singulier : ne rien conclure du quotient, décrire la courbe autrement (paramétrage, symétrie, facteurs de l'équation)

Exemple : l'origine du folium $x^{3}+y^{3}=6xy$
Si « l'équation de la tangente » → la pente, puis $y-y_{0}=m(x-x_{0})$ ; sur une conique en forme réduite, la formule $\frac{xx_{0}}{a^{2}}+\frac{yy_{0}}{b^{2}}=1$ va plus vite

Exemple : $4x+5y=14$ pour la conique ci-dessus au point $(1\,;2)$
Si « la concavité » ou « $y''$ » → dériver le quotient $y'$ par la règle du quotient, puis remplacer $y'$ par son expression et simplifier avec l'équation de la courbe

Si l'énoncé demande une propriété valable pour toute une FAMILLE de courbes, ne pas fixer la constante : elle disparaît en dérivant, et c'est ce qui permet de conclure d'un coup.

Comment dériver chaque structure de l'équation

On balaye l'équation terme par terme et l'on classe chaque terme dans l'une de ces cinq lignes, avant d'écrire quoi que ce soit.

Si le terme ne contient que des $x$ , ou c'est une constante → dérivation ordinaire, aucun $y'$

Exemple : $\frac{d}{dx}\left(3x^{2}-7\right)=6x$
Si le terme est une puissance ou une racine de $y$ → règle de puissance, puis $\times\,y'$

Exemple : $\frac{d}{dx}\left(y^{4}\right)=4y^{3}y'$
Si le terme est une transcendante de $y$ → ligne de la table, puis $\times\,y'$

Exemple : $\frac{d}{dx}\left(\sin y\right)=\cos y\cdot y'$
Si $x$ et $y$ se touchent dans le même terme → règle du produit ou du quotient, ce qui donne DEUX termes

Exemple : $\frac{d}{dx}\left(x^{2}y^{3}\right)=2xy^{3}+3x^{2}y^{2}y'$

C'est la ligne qu'on saute. Repérer ces termes dans l'énoncé avant de commencer coûte cinq secondes et sauve deux points.

Une fois tous les termes dérivés, il ne reste plus qu'un travail d'algèbre : rassembler les $y'$ , factoriser, diviser. Aucune subtilité de calcul différentiel au delà de cette ligne.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

L'équation de la tangente à une courbe implicite

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une équation de courbe et un point, et demande la tangente ou la normale.

1 Vérifier que le point appartient à la courbe et le DIRE : « $1^{2}+1\times 2+2^{2}=7$ , le point $(1\,;2)$ est bien sur la courbe. »
2 Dériver les deux membres par rapport à $x$ , en écrivant $y'$ à chaque terme contenant $y$ : « $2x+y+xy'+2yy'=0$ . »
3 Regrouper et factoriser : « $y'(x+2y)=-(2x+y)$ , donc $y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$ . »
4 Substituer les deux coordonnées, jamais la seule abscisse : « $y'(1\,;2)=-\frac{4}{5}$ . »
5 Écrire l'équation de la tangente et la simplifier : « $y-2=-\frac{4}{5}(x-1)$ , soit $4x+5y=14$ . »

Phrase de conclusion

La tangente à la courbe d'équation $x^{2}+xy+y^{2}=7$ au point $(1\,;2)$ a pour équation $4x+5y=14$ .

Le piège : Substituer $x=1$ dès la deuxième ligne. On perd alors la formule générale de $y'$ , que la question suivante demande presque toujours, et le calcul devient impossible à vérifier.

Barème : En général 1 point pour la dérivation complète avec ses $y'$ , 1 point pour l'isolement de $y'$ , 1 point pour la pente numérique, 1 point pour l'équation finale.

Démontrer que deux familles de courbes sont orthogonales

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux familles dépendant d'un paramètre et demande de montrer qu'elles se coupent à angle droit.

1 Dériver implicitement la première famille SANS fixer le paramètre : « $x^{2}+y^{2}=c$ donne $2x+2yy'=0$ , donc $m_{1}=-\frac{x}{y}$ . »
2 Faire de même pour la seconde : « $y=kx$ donne $k=\frac{y}{x}$ , donc $m_{2}=k=\frac{y}{x}$ . »
3 Constater que les deux pentes ne dépendent que du POINT commun, et non des paramètres $c$ et $k$ .
4 Calculer le produit : « $m_{1}m_{2}=-\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}=-1$ pour tout point avec $x\neq 0$ et $y\neq 0$ . »
5 Conclure en nommant le critère utilisé, et signaler les points exclus.

Phrase de conclusion

En tout point d'intersection distinct de l'origine, le produit des pentes vaut $-1$ : les deux familles se coupent à angle droit, quelles que soient les valeurs des paramètres.

Le piège : Éliminer le paramètre AVANT de dériver, en remplaçant $k$ par sa valeur numérique. La démonstration ne vaut alors que pour une courbe, et l'énoncé en demandait une infinité.

Barème : 1 point par pente obtenue par dérivation implicite, 1 point pour le produit et la conclusion, souvent 1 point pour la mention des points exclus.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier que le point est sur la courbe, avant tout le reste

Substituer les deux coordonnées dans l'équation de DÉPART et comparer les deux membres. Trois secondes, et cela invalide immédiatement un énoncé mal recopié.

Sur $x^{2}+xy+y^{2}=7$ , le point $(1\,;2)$ donne $1+2+4=7$ : c'est bon. Le point $(2\,;1)$ donnerait aussi $7$ , mais $(1\,;3)$ donnerait $13$ , et toute la suite serait à jeter.
Compter les $y'$ avant de factoriser

Compter dans l'équation de départ les termes qui contiennent $y$ , puis compter dans la ligne dérivée les termes qui portent un $y'$ . Les deux nombres doivent coïncider.

$x^{2}+xy+y^{2}=7$ contient deux termes en $y$ , donc la ligne dérivée doit porter deux $y'$ : $2x+y+xy'+2yy'=0$ . Un seul $y'$ signale la règle du produit sautée.
Contrôler le signe de la pente sur un croquis

Placer approximativement le point sur la courbe et regarder si elle monte ou descend. Le signe trouvé doit correspondre, et cette vérification ne coûte pas dix secondes.

Sur le cercle, le point $(3\,;4)$ est en haut à droite, la courbe y descend : une pente positive serait fausse. En $(3\,;-4)$ , en bas à droite, elle monte.
Confirmer la pente par un point voisin de la courbe

Choisir un $x$ proche, résoudre l'équation de la courbe pour le $y$ de la MÊME branche, puis calculer le taux d'accroissement entre les deux points.

Sur le cercle de rayon $5$ , entre $(3\,;4)$ et $(3{,}01\,;3{,}99249)$ , le taux vaut environ $-0{,}751$ , ce qui confirme $-\frac{3}{4}$ .

L'exercice type décortiqué

Une conique : tangente en un point, puis tangentes horizontales

Soit la courbe d'équation $x^{2}+xy+y^{2}=7$ .

1. Donner l'équation de la tangente au point $(1\,;2)$ .

2. Déterminer les points de la courbe où la tangente est horizontale.

La courbe n'est le graphe d'aucune fonction, mais autour de

(1\,;2)

elle en définit une : la tangente y a pour pente

-\frac{4}{5}

, donnée par le quotient

-\frac{2x+y}{x+2y}

Étape 1

$1^{2}+1\times 2+2^{2}=1+2+4=7$ : le point $(1\,;2)$ appartient bien à la courbe.

Pourquoi

Cette ligne vaut souvent un demi-point et surtout elle protège : une tangente calculée en un point extérieur à la courbe est fausse quel que soit le reste du calcul.

Étape 2

On dérive membre à membre par rapport à $x$ : $2x+\left(y+xy'\right)+2yy'=0$ .

Pourquoi

Le terme $xy$ est un PRODUIT de deux fonctions de $x$ , donc il donne deux termes. Le terme $y^{2}$ donne $2yy'$ , jamais $2y$ . Deux termes en $y$ à gauche, deux $y'$ à droite : le compte est bon.

Étape 3

On regroupe : $y'(x+2y)=-(2x+y)$ , donc $y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$ .

Pourquoi

À partir d'ici il n'y a plus de calcul différentiel, seulement de l'algèbre. C'est cette expression générale qui servira aux deux questions, et la garder évite de tout refaire.

Étape 4

En $(1\,;2)$ : $y'=-\dfrac{2+2}{1+4}=-\dfrac{4}{5}$ , d'où $y-2=-\dfrac{4}{5}(x-1)$ , soit $4x+5y=14$ .

Pourquoi

On substitue les DEUX coordonnées. Substituer la seule abscisse laisserait un $y$ dans la pente, et l'autre point de la courbe d'abscisse $1$ a une pente différente.

Étape 5

Tangente horizontale : $2x+y=0$ , soit $y=-2x$ . En reportant dans l'équation : $x^{2}-2x^{2}+4x^{2}=3x^{2}=7$ , donc $x=\pm\sqrt{\dfrac{7}{3}}$ .

Pourquoi

On résout $N=0$ EN SYSTÈME avec l'équation de la courbe. Résoudre $2x+y=0$ tout seul donnerait une droite entière, dont presque aucun point n'est sur la courbe.

Étape 6

Les deux points sont $\left(\sqrt{\dfrac{7}{3}}\,;-2\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right)\approx(1{,}53\,;-3{,}06)$ et son symétrique $(-1{,}53\,;3{,}06)$ . En chacun, $x+2y=-3\sqrt{\dfrac{7}{3}}\neq 0$ .

Pourquoi

La vérification $D\neq 0$ est obligatoire : si le dénominateur s'annulait au même endroit, le point serait singulier et la conclusion « tangente horizontale » serait fausse.

Étape 7

Contrôle : $\left(\pm 1{,}53\right)^{2}+(1{,}53)(-3{,}06)+(3{,}06)^{2}\approx 2{,}33-4{,}67+9{,}33=6{,}99\approx 7$ .

Pourquoi

Réinjecter les points trouvés dans l'équation de départ est la vérification la plus rentable du chapitre : elle attrape aussi bien une erreur de signe qu'une racine mal extraite.

Conclusion rédigée

La tangente au point $(1\,;2)$ a pour équation $4x+5y=14$ , et la tangente est horizontale aux deux points $\left(\pm\sqrt{\frac{7}{3}}\,;\mp 2\sqrt{\frac{7}{3}}\right)$ , soit environ $(1{,}53\,;-3{,}06)$ et $(-1{,}53\,;3{,}06)$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Dériver $xy$ en $xy'$ seulement. On obtient alors $y'=-\frac{2x}{x+2y}$ , donc $-\frac{2}{5}$ au point $(1\,;2)$ au lieu de $-\frac{4}{5}$ : la tangente est deux fois trop plate, et la question 2 donne des points qui ne sont pas sur la courbe.

À savoir par cœur

• Autant de $y'$ dans la ligne dérivée que de termes contenant $y$ dans l'équation.
• $\frac{d}{dx}(xy)=y+xy'$ : le terme mixte donne TOUJOURS deux termes.
• $y'$ dépend de $x$ ET de $y$ , et c'est la forme normale du résultat.
• Numérateur seul nul : tangente horizontale. Dénominateur seul nul : tangente verticale, d'équation $x=x_{0}$ .
• Les deux nuls ensemble : point singulier, le quotient ne dit plus rien.
• Un point candidat se cherche EN SYSTÈME avec l'équation de la courbe, jamais seul.
• Pour $y''$ , on dérive le quotient puis on remplace $y'$ : sur $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ , $y''=-\frac{r^{2}}{y^{3}}$ .
• Une famille se dérive sans fixer son paramètre : la constante disparaît et la pente ne dépend que du point.

Questions fréquentes

Pourquoi ajoute-t-on y prime quand on dérive y ?

Parce que y n'est pas une constante : l'équation définit y comme une fonction de x, même si on ne sait pas l'écrire. Dériver y au carré revient donc à dériver u au carré avec u fonction de x, ce qui donne deux u fois u prime par la règle de chaîne. Le y prime est exactement ce u prime.

Comment trouver les points où la tangente est horizontale ?

On annule le numérateur de y prime, mais on résout cette condition en système avec l'équation de la courbe : sinon on obtient une droite entière, pas des points. On vérifie ensuite que le dénominateur ne s'annule pas au même endroit, faute de quoi le point serait singulier et non à tangente horizontale.

Est-il normal que la dérivée contienne encore y ?

Oui, et c'est même la règle. Une courbe implicite passe souvent deux fois par la même abscisse, avec deux pentes différentes : aucune expression en x seul ne pourrait décrire les deux. La pente dépend du point complet, donc de x et de y, et on substitue les deux coordonnées à la fin.

Que faire quand le dénominateur de y prime s'annule ?

On regarde le numérateur au même point. S'il n'est pas nul, la tangente est verticale et son équation est x égale l'abscisse du point : la pente n'existe pas mais la tangente si. Si le numérateur s'annule aussi, le point est singulier, la courbe s'y croise ou rebrousse, et le quotient ne décide plus rien.

Peut-on isoler y avant de dériver ?

Quand c'est possible, oui, mais on choisit alors une seule branche sans s'en apercevoir. Sur un cercle, écrire y égale racine de vingt-cinq moins x au carré ne garde que la moitié haute, et toutes les pentes de la moitié basse sortent avec le mauvais signe. La dérivation implicite traite les deux branches d'un coup.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La dérivation implicite

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Taux de variation liés

Voir aussi

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Fiche de révision : la dérivation implicite (201-NYA)

L'essentiel

Le principe : yyy est une fonction de xxx, pas une lettre

Les cinq structures qui laissent un y′y'y′

Lire le quotient : trois annulations, trois verdicts

Dérivée seconde et coniques : les deux formules qui font gagner du temps

Les pièges qui coûtent des points

1. Dériver yyy comme une lettre inerte

2. Oublier la règle du produit sur un terme mixte

3. Isoler yyy avant de dériver, et perdre une branche

4. Croire qu'un yyy dans le résultat est le signe d'une faute

5. Annoncer une tangente verticale sans regarder le numérateur

6. Calculer y′′y''y′′ en oubliant que y′y'y′ dépend encore de xxx

7. Conclure qu'il n'y a pas de tangente quand la pente n'existe pas

8. Recalculer courbe par courbe dans une famille

Quelle méthode choisir

Que faire du quotient, selon ce que l'énoncé demande

Comment dériver chaque structure de l'équation

La rédaction attendue

L'équation de la tangente à une courbe implicite

Démontrer que deux familles de courbes sont orthogonales

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une conique : tangente en un point, puis tangentes horizontales

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi ajoute-t-on y prime quand on dérive y ?

Comment trouver les points où la tangente est horizontale ?

Est-il normal que la dérivée contienne encore y ?

Que faire quand le dénominateur de y prime s'annule ?

Peut-on isoler y avant de dériver ?

Exercices corrigés : La dérivation implicite

Ce chapitre resservira dans

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Le principe : $y$ est une fonction de $x$ , pas une lettre

Les cinq structures qui laissent un $y'$

1. Dériver $y$ comme une lettre inerte

3. Isoler $y$ avant de dériver, et perdre une branche

4. Croire qu'un $y$ dans le résultat est le signe d'une faute

6. Calculer $y''$ en oubliant que $y'$ dépend encore de $x$