Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : les applications de la dérivée

Cette fiche ne réénonce pas les théorèmes : ils tiennent en trois lignes dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note, c'est-à-dire la vérification des hypothèses, la distinction entre ce qu'un théorème donne et ce qu'il ne donne pas, et la rédaction exacte que le correcteur cherche du regard avant de lire le calcul.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Les théorèmes de ce chapitre ne calculent rien, ils GARANTISSENT : Rolle et les accroissements finis affirment qu'un point existe sans jamais le donner. Leurs hypothèses ne sont pas décoratives, et une copie qui applique le théorème sans les vérifier ne vaut rien, même quand sa conclusion est vraie.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La dérivée et ses règles Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
3La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
4Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
5Fonctions et domaine
6Limites et continuité
7La dérivée et ses règles

Notions couvertes

Théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Nombres critiques
Test de la dérivée première
Mouvement rectiligne
Vitesse et accélération
Distance parcourue et déplacement
Méthode de Newton
Règle de L'Hospital
Existence et unicité d'une racine

L'essentiel

Rolle et les accroissements finis : mêmes hypothèses, une conclusion

• Hypothèses communes : $f$ CONTINUE sur $\left[a,b\right]$ fermé, et DÉRIVABLE sur $\left]a,b\right[$ ouvert. Les deux intervalles sont différents, et ce n'est pas un détail.
• Rolle ajoute $f(a)=f(b)$ et conclut : il existe $c\in\left]a,b\right[$ tel que $f'(c)=0$ .
• Accroissements finis (Lagrange) : il existe $c\in\left]a,b\right[$ tel que $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .
• Traduction : il existe un instant où la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne.
• Les deux théorèmes donnent l'EXISTENCE de $c$ , jamais sa valeur. Chercher $c$ est une question distincte.

La corde joint

(0\,;0)

(2\,;2)

et a pour pente

1

; la tangente en

c=\frac{2}{\sqrt{3}}

lui est PARALLÈLE. C'est exactement ce que le théorème des accroissements finis affirme, et il n'affirme rien de plus.

Rolle est le cas particulier de Lagrange où la corde est horizontale. Retenir un seul théorème suffit.

Les conséquences, celles qu'on utilise vraiment

• $f'>0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ strictement croissante. C'est une CONSÉQUENCE de Lagrange, pas une définition.
• $f'=0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ constante sur cet intervalle.
• $f'=g'$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f-g$ est constante. C'est ce qui justifie le $+C$ des primitives.
• Croissance stricte $\Rightarrow$ injectivité $\Rightarrow$ UNICITÉ d'une racine, quand le théorème des valeurs intermédiaires en a déjà donné l'existence.

« Sur un INTERVALLE » est obligatoire : $f(x)=\frac{1}{x}$ a une dérivée strictement négative et n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Mouvement rectiligne : les six mots à ne pas confondre

• Position $s(t)$ , vitesse $v=s'$ , accélération $a=v'=s''$ .
• Le mobile CHANGE DE SENS là où $v$ change de SIGNE, pas là où $v=0$ sans changer de signe.
• Il ACCÉLÈRE quand $v$ et $a$ ont le MÊME signe, il ralentit quand ils sont de signes contraires.
• Déplacement sur $\left[t_{1},t_{2}\right]$ : $s(t_{2})-s(t_{1})$ , une différence signée.
• Distance parcourue : somme des $\left|s(t_{i+1})-s(t_{i})\right|$ entre les instants de changement de sens.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Appliquer Rolle sans vérifier la dérivabilité

toute la question, la conclusion étant d'ailleurs fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=|x|$ sur $\left[-1,1\right]$ est continue et $f(-1)=f(1)$ , donc il existe $c$ tel que $f'(c)=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ n'est pas dérivable en $0$ , qui appartient à $\left]-1,1\right[$ : l'hypothèse de dérivabilité tombe et le théorème ne s'applique pas. »

Pourquoi : $|x|$ a une dérivée valant $-1$ à gauche et $+1$ à droite, jamais $0$ . C'est le contre-exemple qui prouve que l'hypothèse de dérivabilité n'est pas décorative, et c'est celui que le correcteur attend si l'énoncé demande de discuter les hypothèses.

2. Prendre un nombre critique pour un extremum

2 points, et un tableau de variations faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=x^{3}$ vérifie $f'(0)=0$ , donc $f$ a un extremum en $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f'(x)=3x^{2}\ge 0$ ne change PAS de signe en $0$ : il n'y a pas d'extremum, mais un point d'inflexion à tangente horizontale. »

Deux tangentes horizontales, deux situations opposées : en

0

x^{3}

continue de monter et il n'y a aucun extremum; en

3

, la parabole change de sens et le minimum est réel.

Pourquoi : Un nombre critique est un CANDIDAT, jamais une conclusion. C'est le CHANGEMENT DE SIGNE de $f'$ qui décide, et le test de la dérivée seconde reste muet quand $f''(c)=0$ , comme ici. Le seul test qui tranche toujours est celui de la dérivée première.

3. Confondre déplacement et distance parcourue

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $s(t)=t^{2}-4t$ sur $\left[0,5\right]$ : la distance parcourue est $s(5)-s(0)=5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le mobile change de sens en $t=2$ où $v=2t-4=0$ . Distance $=\left|s(2)-s(0)\right|+\left|s(5)-s(2)\right|=4+9=13$ . »

Pourquoi : Le déplacement vaut bien $5$ , mais le mobile est d'abord parti de $4$ unités dans l'autre sens. Le mot « distance parcourue » impose le découpage aux instants où $v$ change de signe, exactement comme l'aire impose le découpage aux zéros de la fonction.

4. Confondre accélérer et avoir une accélération positive

1 point, et l'interprétation finale du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a(t)>0$ , donc le mobile accélère. »

Ce qu'il faut écrire

« Le mobile accélère quand $v$ et $a$ sont de MÊME signe. Avec $v<0$ et $a>0$ , il ralentit. »

Pourquoi : L'accélération augmente la vitesse ALGÉBRIQUE, pas nécessairement sa valeur absolue. Un mobile qui recule et dont l'accélération est positive freine avant de repartir en avant. C'est la question d'interprétation la plus fréquente en fin de problème de mouvement.

5. Appliquer L'Hospital à une forme qui n'est pas indéterminée

toute la question, la réponse étant fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x+1}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{1}=0$

Ce qu'il faut écrire

La forme vaut $\frac{1}{1}=1$ : elle n'est PAS indéterminée, on substitue et la limite vaut $1$ .

Pourquoi : La règle de L'Hospital n'est valable que pour $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ . L'appliquer ailleurs donne un nombre qui n'a aucun rapport avec la limite. Écrire la forme indéterminée AVANT de dériver, en toutes lettres, est ce qui protège de cette erreur et rapporte un demi-point.

6. Croire que Rolle ou Lagrange donnent la valeur de $c$

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le théorème des accroissements finis donne $c=\frac{a+b}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le théorème garantit l'EXISTENCE d'un tel $c$ ; le trouver demande de résoudre $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ , ce qui est une question distincte. »

Pourquoi : Le milieu ne convient que pour une parabole, par hasard. Sur $f(x)=x^{3}-3x$ et $\left[0,2\right]$ , la pente moyenne vaut $1$ et $c=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1{,}155$ , qui n'est pas $1$ . Un théorème d'existence ne fournit jamais de formule.

7. Lancer Newton depuis n'importe quel point de départ

toute la question, ou une boucle infinie à la calculatrice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x_{0}=0$ pour $f(x)=x^{3}-2x+2$ , la méthode va converger. »

Ce qu'il faut écrire

« En $x_{0}=0$ , la suite oscille entre $0$ et $1$ sans jamais converger : il faut choisir $x_{0}$ dans un intervalle où $f'$ ne s'annule pas et où le signe de $f$ change. »

Pourquoi : $x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$ diverge dès que $f'(x_{n})$ est proche de zéro, et peut entrer en cycle. Le choix du point de départ se justifie par le théorème des valeurs intermédiaires sur un petit intervalle, pas par intuition.

Quelle méthode choisir

Quel théorème, selon le verbe de l'énoncé

Les questions de ce chapitre se ressemblent toutes. Le VERBE désigne l'outil, et il n'y a pas d'ambiguïté.

Si « montrer qu'il existe une solution » sur un intervalle → théorème des valeurs intermédiaires, avec continuité et changement de signe explicités

Exemple : $x^{3}+x-1=0$ a une racine dans $\left[0,1\right]$
Si l'énoncé ajoute « une UNIQUE solution » → valeurs intermédiaires pour l'existence, PUIS stricte monotonie pour l'unicité, en deux phrases séparées

Exemple : $f'(x)=3x^{2}+1>0$ donne l'unicité
Si « montrer qu'il existe $c$ tel que $f'(c)=0$ » avec $f(a)=f(b)$ → théorème de Rolle, hypothèses vérifiées une par une

Exemple : montrer qu'une équation polynomiale a au plus trois racines
Si « montrer qu'il existe un instant où la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne » → théorème des accroissements finis

Exemple : un trajet de $200$ km en $2$ h impose un instant à exactement $100$ km/h
Si « approcher » ou « donner une valeur approchée d'une racine » → méthode de Newton, avec justification du point de départ

Exemple : $x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$ depuis $x_{0}=1$
Si une limite de forme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ → règle de L'Hospital, après avoir ÉCRIT la forme indéterminée

Exemple : $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ redonne $1$

« Montrer qu'il existe » appelle toujours un théorème d'existence; « calculer » appelle un calcul. Confondre les deux fait écrire un calcul là où l'on attendait des hypothèses vérifiées.

Distance ou déplacement, dans un problème de mouvement

Deux questions très proches, deux réponses différentes dès que le mobile change de sens.

Si l'énoncé dit « déplacement », « variation de position » ou « où se trouve-t-il » → calculer $s(t_{2})-s(t_{1})$ , une simple différence signée

Exemple : $s(5)-s(0)=5-0=5$
Si l'énoncé dit « distance parcourue », « chemin total » ou « combien de kilomètres » → trouver les instants où $v$ CHANGE de signe, découper, et sommer les valeurs absolues

Exemple : $\left|s(2)-s(0)\right|+\left|s(5)-s(2)\right|=4+9=13$
Si l'énoncé demande si le mobile accélère → comparer les SIGNES de $v$ et de $a$ : même signe, il accélère

Exemple : $v<0$ et $a>0$ : il ralentit

Le découpage se fait aux changements de SIGNE de $v$ , pas à ses zéros : $v(t)=t^{2}$ s'annule en $0$ sans que le mobile fasse demi-tour.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Vérifier les hypothèses d'un théorème, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : Toute application de Rolle, des accroissements finis ou des valeurs intermédiaires.

1 Nommer la fonction et l'intervalle : « Posons $f(x)=x^{3}-3x$ sur $\left[0,2\right]$ . »
2 Justifier la continuité par sa RAISON : « $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $\left[0,2\right]$ . »
3 Justifier la dérivabilité sur l'intervalle OUVERT, en le nommant : « $f$ est dérivable sur $\left]0,2\right[$ . »
4 Vérifier l'hypothèse spécifique : égalité des valeurs aux bornes pour Rolle, rien de plus pour Lagrange.
5 Conclure en citant le théorème par son nom et en écrivant ce qu'il donne, sans plus.

Phrase de conclusion

$f$ étant continue sur $\left[0,2\right]$ et dérivable sur $\left]0,2\right[$ , le théorème des accroissements finis garantit l'existence d'un réel $c\in\left]0,2\right[$ tel que $f'(c)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=1$ .

Le piège : Écrire « dérivable sur $\left[0,2\right]$ ». L'intervalle fermé pour la continuité, l'intervalle OUVERT pour la dérivabilité : c'est ce qui permet au théorème de s'appliquer à $\sqrt{x}$ sur $\left[0,1\right]$ , dont la dérivée est infinie en $0$ .

Barème : En général 1 point pour la continuité justifiée, 1 point pour la dérivabilité sur l'ouvert, 1 point pour la conclusion nommant le théorème.

Rédiger un problème de mouvement rectiligne

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une position $s(t)$ et pose plusieurs questions sur le mouvement.

1 Dériver une fois pour $v$ , deux fois pour $a$ , et écrire les trois expressions groupées.
2 Résoudre $v(t)=0$ et faire le TABLEAU DE SIGNES de $v$ sur l'intervalle demandé.
3 Lire le tableau : sens du mouvement, instants de demi-tour, positions correspondantes.
4 Répondre à chaque question en citant la ligne du tableau qui la justifie.

Phrase de conclusion

Le mobile recule sur $\left[0,2\right]$ , fait demi-tour en $t=2$ à la position $s(2)=-4$ , puis avance sur $\left[2,5\right]$ : il parcourt donc $4+9=13$ unités pour un déplacement net de $5$ .

Le piège : Répondre aux questions dans l'ordre sans construire le tableau. Le tableau de signes de $v$ répond à lui seul aux quatre questions habituelles, et le construire une fois coûte moins que quatre raisonnements séparés.

Barème : Le tableau de signes vaut souvent autant que toutes les réponses qu'il permet.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier que le $c$ trouvé est dans l'intervalle OUVERT

Rolle et Lagrange garantissent $c\in\left]a,b\right[$ , bornes exclues. Un $c$ égal à $a$ ou à $b$ signale une erreur de résolution.

Sur $\left[0,2\right]$ , $c=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1{,}155$ est bien strictement entre $0$ et $2$ ✓. Une solution $c=2$ aurait été à écarter.
Contrôler un extremum par le tableau de signes, pas par $f'(c)=0$

Évaluer $f'$ juste avant et juste après le nombre critique. Un changement de signe donne un extremum, l'absence de changement n'en donne aucun.

Pour $x^{3}$ en $0$ : $f'(-0{,}1)=0{,}03>0$ et $f'(0{,}1)=0{,}03>0$ . Pas de changement, donc pas d'extremum.
Comparer distance et déplacement

La distance parcourue est toujours SUPÉRIEURE OU ÉGALE à la valeur absolue du déplacement. Une distance plus petite est impossible.

Distance $13$ , déplacement $5$ : cohérent ✓. Une distance de $3$ pour un déplacement de $5$ serait une contradiction immédiate.
Vérifier une racine approchée en substituant

Après Newton, substituer la valeur trouvée dans $f$ : le résultat doit être proche de zéro, et le nombre de décimales exactes doit à peu près doubler à chaque itération.

$f(0{,}6823)=0{,}6823^{3}+0{,}6823-1\approx 0{,}00003$ ✓, ce qui confirme quatre décimales exactes.
Écrire la forme indéterminée avant d'appliquer L'Hospital

Substituer d'abord. Si le résultat n'est ni $\frac{0}{0}$ ni $\frac{\infty}{\infty}$ , la règle est interdite et la limite se lit directement.

$\frac{\cos x}{x+1}$ en $0$ donne $\frac{1}{1}$ : forme déterminée, limite $1$ , aucune dérivation.

L'exercice type décortiqué

Existence, unicité, puis valeur approchée

Soit $f(x)=x^{3}+x-1$ .

Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans $\left[0,1\right]$ , puis en donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près par la méthode de Newton.

La courbe passe du négatif au positif entre

0

1

et ne remonte jamais : c'est le dessin des deux arguments, changement de signe pour l'existence, monotonie pour l'unicité.

Étape 1

$f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $\left[0,1\right]$ . De plus $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ .

Pourquoi

La continuité se justifie par sa RAISON, jamais par « c'est évident ». C'est l'hypothèse la plus importante du théorème des valeurs intermédiaires et celle qui rapporte le premier point.

Étape 2

$0$ est compris entre $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ , donc le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un réel $\alpha\in\left]0,1\right[$ tel que $f(\alpha)=0$ .

Pourquoi

Le théorème donne l'EXISTENCE et rien d'autre. S'arrêter ici serait incomplet si l'énoncé dit « unique », et le mot « unique » est presque toujours là.

Étape 3

$f'(x)=3x^{2}+1$ , strictement positif pour tout réel. Donc $f$ est strictement croissante sur $\left[0,1\right]$ , donc injective, donc la solution est UNIQUE.

Pourquoi

L'unicité est une phrase SÉPARÉE, appuyée sur la monotonie et non sur le théorème précédent. C'est la conséquence des accroissements finis rappelée dans l'essentiel, et le correcteur la compte à part.

Étape 4

Méthode de Newton : $x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{3}+x_{n}-1}{3x_{n}^{2}+1}$ . On part de $x_{0}=1$ , où $f'(1)=4$ est loin de zéro.

Pourquoi

Le point de départ se justifie : $f'$ ne s'annule pas sur $\left[0,1\right]$ , donc aucun risque de division par un nombre proche de zéro. Une copie qui part au hasard perd le point de justification même si le calcul converge.

Étape 5

$x_{1}=1-\frac{1}{4}=0{,}75$ ; $x_{2}=0{,}75-\frac{0{,}171875}{2{,}6875}\approx 0{,}68605$ ; $x_{3}\approx 0{,}68233$ ; $x_{4}\approx 0{,}68233$ .

Pourquoi

On s'arrête quand deux itérations coïncident sur les décimales demandées. Le nombre de décimales exactes double à peu près à chaque tour, ce qui explique qu'il en faille si peu.

Étape 6

Contrôle : $f(0{,}682)\approx-0{,}0007$ et $f(0{,}683)\approx 0{,}0016$ , donc $\alpha\in\left]0{,}682\,;0{,}683\right[$ ✓, ce qui confirme l'arrondi à $10^{-3}$ .

Pourquoi

Encadrer par un changement de signe est le seul contrôle qui prouve la précision annoncée. Substituer une seule valeur montre que le résultat est petit, pas qu'il est assez précis.

Conclusion rédigée

L'équation $x^{3}+x-1=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\left]0,1\right[$ , et $\alpha\approx 0{,}682$ à $10^{-3}$ près.

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure à l'unicité par le théorème des valeurs intermédiaires. Ce théorème ne donne QUE l'existence; l'unicité vient de la stricte monotonie, et elle doit faire l'objet d'une phrase distincte avec sa propre justification.

À savoir par cœur

• Rolle et Lagrange : CONTINUE sur le fermé, DÉRIVABLE sur l'ouvert. Deux intervalles différents.
• Les deux théorèmes donnent l'EXISTENCE de $c$ , jamais sa valeur.
• $f'>0$ sur un INTERVALLE donne la croissance stricte, donc l'unicité d'une racine.
• Un nombre critique est un candidat : c'est le changement de SIGNE de $f'$ qui décide.
• Mouvement : $v$ et $a$ de même signe, le mobile accélère; de signes contraires, il ralentit.
• Distance parcourue : découper aux changements de signe de $v$ et sommer les valeurs absolues.
• L'Hospital ne s'applique qu'à $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ : écrire la forme avant de dériver.
• Newton : $x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$ , avec un $x_{0}$ où $f'$ ne s'annule pas.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le théorème de Rolle et celui des accroissements finis ?

Ce sont les mêmes hypothèses, continuité sur l'intervalle fermé et dérivabilité sur l'ouvert. Rolle ajoute que la fonction prend la même valeur aux deux bornes et conclut qu'une dérivée s'annule quelque part. Les accroissements finis suppriment cette égalité et concluent qu'une dérivée égale la pente de la corde. Rolle est donc le cas particulier à corde horizontale.

Pourquoi faut-il la dérivabilité sur l'intervalle ouvert seulement ?

Parce que le théorème doit rester applicable à des fonctions dont la dérivée est infinie aux bornes. La racine carrée sur zéro un est continue partout et dérivable seulement sur l'ouvert, et le théorème s'y applique parfaitement. Écrire dérivable sur le fermé exclut inutilement ce cas et coûte un point.

Comment montrer qu'une équation a une solution unique ?

En deux phrases séparées. La première utilise le théorème des valeurs intermédiaires, avec la continuité justifiée et le changement de signe entre les bornes, pour obtenir l'existence. La seconde utilise la stricte monotonie, prouvée par le signe de la dérivée, pour obtenir l'unicité. Le théorème des valeurs intermédiaires ne donne jamais l'unicité à lui seul.

Quelle est la différence entre distance parcourue et déplacement ?

Le déplacement est la différence entre la position finale et la position initiale, et il peut être négatif. La distance parcourue compte tout le chemin, y compris les allers-retours. Dès que la vitesse change de signe, il faut découper à cet instant et additionner les valeurs absolues des variations de position.

Quand un mobile accélère-t-il vraiment ?

Quand la vitesse et l'accélération ont le même signe. Une accélération positive sur un mobile qui recule le fait freiner, pas accélérer, car elle ramène sa vitesse algébrique vers zéro. C'est la valeur absolue de la vitesse qui doit augmenter pour que l'on parle d'accélération au sens courant.

Quand peut-on appliquer la règle de L'Hospital ?

Uniquement sur une forme indéterminée zéro sur zéro ou infini sur infini. Sur toute autre forme, la règle donne un nombre sans rapport avec la limite cherchée. Le réflexe qui protège est de substituer d'abord et d'écrire la forme obtenue en toutes lettres avant de dériver quoi que ce soit.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Applications de la dérivée

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Étude de fonction et tracé de courbes Optimisation appliquée

Voir aussi

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Fiche de révision : les applications de la dérivée

L'essentiel

Rolle et les accroissements finis : mêmes hypothèses, une conclusion

Les conséquences, celles qu'on utilise vraiment

Mouvement rectiligne : les six mots à ne pas confondre

Les pièges qui coûtent des points

1. Appliquer Rolle sans vérifier la dérivabilité

2. Prendre un nombre critique pour un extremum

3. Confondre déplacement et distance parcourue

4. Confondre accélérer et avoir une accélération positive

5. Appliquer L'Hospital à une forme qui n'est pas indéterminée

6. Croire que Rolle ou Lagrange donnent la valeur de ccc

7. Lancer Newton depuis n'importe quel point de départ

Quelle méthode choisir

Quel théorème, selon le verbe de l'énoncé

Distance ou déplacement, dans un problème de mouvement

La rédaction attendue

Vérifier les hypothèses d'un théorème, rédigé pour le correcteur

Rédiger un problème de mouvement rectiligne

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Existence, unicité, puis valeur approchée

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le théorème de Rolle et celui des accroissements finis ?

Pourquoi faut-il la dérivabilité sur l'intervalle ouvert seulement ?

Comment montrer qu'une équation a une solution unique ?

Quelle est la différence entre distance parcourue et déplacement ?

Quand un mobile accélère-t-il vraiment ?

Quand peut-on appliquer la règle de L'Hospital ?

Exercices corrigés : Applications de la dérivée

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6. Croire que Rolle ou Lagrange donnent la valeur de $c$