Calcul intégral 201-NYB • Cégep et complément québécois à Montréal

Fiche de révision : l'intégration trigonométrique (201-NYB)

Q: Comment choisir la substitution trigonométrique ?

On regarde la forme sous la racine. Une différence du type constante moins x au carré appelle un sinus. Une somme appelle une tangente. Une différence du type x au carré moins constante appelle une sécante. Si l'expression est un trinôme, il faut d'abord compléter le carré pour révéler laquelle des trois formes on a réellement.

Q: Que faire quand les deux exposants du sinus et du cosinus sont pairs ?

Il faut linéariser, c'est-à-dire remplacer chaque carré par sa formule de duplication. Aucune substitution ne peut fonctionner dans ce cas, parce que le facteur qu'on détacherait ne serait pas la dérivée de la fonction posée. La linéarisation transforme le produit en une somme de cosinus d'angles multiples, immédiatement intégrable.

Q: Pourquoi faut-il revenir à x après une substitution trigonométrique ?

Parce que l'angle introduit est un outil de calcul qui n'existe pas dans l'énoncé. Une primitive doit s'exprimer dans la variable de la question. Le retour se fait avec le triangle rectangle de référence, sur lequel on lit le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle en fonction de x. Sur une intégrale définie, on peut aussi changer les bornes et éviter ce retour.

Q: Quand la valeur absolue est-elle nécessaire ?

Sur la racine de x au carré moins a au carré, qui devient a fois la valeur absolue de la tangente, et sur la primitive faisant intervenir l'arc sécante. Dans les deux cas, la racine est positive par définition alors que la fonction trigonométrique change de signe selon la branche. Préciser la branche étudiée permet souvent de retirer la valeur absolue.

Q: Comment savoir si une primitive donne un arc sinus ou un arc tangente ?

On regarde s'il y a une racine au dénominateur. Une racine d'une différence donne un arc sinus, sans facteur devant. Une somme sans racine donne un arc tangente, avec un facteur égal à l'inverse de la constante. C'est le seul critère à retenir, et il tranche sans ambiguïté.

Q: Deux primitives différentes peuvent-elles être justes toutes les deux ?

Oui, si elles diffèrent d'une constante. Une primitive n'est jamais unique. Le seul contrôle valable est de dériver les deux expressions et de comparer les dérivées à l'intégrande. Deux réponses qui semblent éloignées peuvent se ramener l'une à l'autre par une identité trigonométrique.

Ce chapitre se divise en trois familles : les puissances de fonctions trigonométriques, qui se traitent par parité des exposants; les substitutions trigonométriques, appelées par une racine carrée; et les fonctions inverses, qui apparaissent comme primitives. Chacune a son critère de reconnaissance, et c'est ce critère, plus que la technique, qu'il faut installer.

Cette fiche donne les trois triangles de référence, le tableau de décision par parité, et la liste des étapes finales que les copies sautent : le retour à $x$ , le changement de bornes et la valeur absolue.

Le fil du chapitre

Une substitution trigonométrique n'est pas finie quand l'intégrale en $\theta$ est calculée : il reste à REVENIR à $x$ , et cela passe toujours par le triangle rectangle. C'est cette dernière étape que les copies oublient.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral, 201-NYB

L'essentiel

Puissances : tout se décide sur la PARITÉ

• $\displaystyle\int\sin^{m}x\cos^{n}x\,dx$ : si un exposant est IMPAIR, on lui détache un facteur et on substitue l'AUTRE fonction.
• Si les DEUX exposants sont pairs, aucune substitution ne marche : il faut LINÉARISER avec $\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ et $\cos^{2}x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ .
• Raccourci utile : $\sin x\cos x=\dfrac{\sin 2x}{2}$ , qui évite une substitution entière.
• Famille tangente-sécante : si la puissance de $\sec$ est PAIRE, détacher $\sec^{2}x$ et poser $u=\tan x$ ; si la puissance de $\tan$ est IMPAIRE, détacher $\sec x\tan x$ et poser $u=\sec x$ .
• Quatre primitives à savoir : $\displaystyle\int\tan x\,dx=-\ln\left|\cos x\right|$ , $\displaystyle\int\cot x\,dx=\ln\left|\sin x\right|$ , $\displaystyle\int\sec x\,dx=\ln\left|\sec x+\tan x\right|$ , $\displaystyle\int\csc x\,dx=-\ln\left|\csc x+\cot x\right|$ .

La famille cotangente-cosécante est le miroir exact de la famille tangente-sécante, au signe près : tout nom qui commence par « co » porte un signe moins dans sa dérivée, donc dans sa primitive.

Les trois substitutions et leurs triangles

• $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ appelle $x=a\sin\theta$ , avec $dx=a\cos\theta\,d\theta$ et $\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos\theta$ .
• $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ appelle $x=a\tan\theta$ , avec $dx=a\sec^{2}\theta\,d\theta$ et $\sqrt{a^{2}+x^{2}}=a\sec\theta$ .
• $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ appelle $x=a\sec\theta$ , avec $dx=a\sec\theta\tan\theta\,d\theta$ et $\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\left|\tan\theta\right|$ , la valeur absolue étant obligatoire.
• Le TRIANGLE de référence sert au retour : on y lit $\sin\theta$ , $\cos\theta$ et $\tan\theta$ en fonction de $x$ et de $a$ .
• Un trinôme se ramène toujours à l'une des trois formes par COMPLÉTION DU CARRÉ : $x^{2}-6x+13=(x-3)^{2}+4$ .

Trois racines, trois triangles : la quantité sous la racine occupe à chaque fois le côté qui reste une fois

x

a

placés. C'est ce dessin qui donne le retour à

x

à la fin du calcul.

Le triangle se dessine une fois pour toutes en début de question : il donne à la fois la substitution, la simplification de la racine et le retour à $x$ . Le sauter fait perdre les trois.

Les fonctions inverses, en primitive et en intégrande

• $\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\arcsin\frac{u}{a}$ ; $\displaystyle\int\frac{du}{a^{2}+u^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a}$ ; $\displaystyle\int\frac{du}{u\sqrt{u^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a}\,\mathrm{arcsec}\left|\frac{u}{a}\right|$ .
• La valeur absolue de la troisième n'est pas décorative : sans elle, la primitive est fausse sur la branche négative.
• Une racine au DÉNOMINATEUR sous une somme donne un arc sinus; pas de racine donne un arc tangente. C'est le seul critère à retenir.
• Intégrer une fonction inverse se fait par PARTIES avec le facteur $1$ invisible : $\displaystyle\int\arcsin x\,dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}$ et $\displaystyle\int\arctan x\,dx=x\arctan x-\tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})$ .
• Les versions en $\arccos$ et $\mathrm{arccot}$ ne diffèrent que par un signe : la somme des deux primitives d'un couple vaut toujours $\dfrac{\pi x}{2}$ .

Deux primitives d'apparence différente peuvent être toutes deux justes : elles diffèrent alors d'une CONSTANTE. Le contrôle est de les dériver, pas de les comparer terme à terme.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Ne pas revenir à $x$ après une substitution trigonométrique

3 points, et une réponse dans une variable qui n'existe pas dans l'énoncé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{16-x^{2}}}=\int d\theta=\theta+C$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut revenir à la variable de départ : $x=4\sin\theta$ donne $\sin\theta=\dfrac{x}{4}$ , donc $\theta=\arcsin\dfrac{x}{4}$ et la primitive est $\arcsin\dfrac{x}{4}+C$ . »

Pourquoi : La variable $\theta$ est un outil de calcul introduit par nous : elle n'a aucun sens dans l'énoncé. Une primitive doit s'exprimer dans la variable de la question.

2. Garder les bornes en $x$ après le passage à $\theta$

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{16-x^{2}}}=\int_{0}^{2}16\sin^{2}\theta\,d\theta$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les bornes suivent la variable : $x=0$ donne $\theta=0$ et $x=2$ donne $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ , donc $\displaystyle\int_{0}^{\pi/6}16\sin^{2}\theta\,d\theta$ . »

Pourquoi : Évaluer une primitive en $\theta$ à des bornes exprimées en $x$ n'a aucun sens. L'alternative est de revenir à $x$ avant d'évaluer, mais il faut choisir l'une des deux voies.

3. Écrire $\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\theta$ sans valeur absolue

3 points, et une primitive fausse sur la moitié du domaine

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec $x=a\sec\theta$ : $\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\theta$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\left|\tan\theta\right|$ : la racine est toujours positive, alors que $\tan\theta$ change de signe selon la branche. »

Pourquoi : La fonction $x=a\sec\theta$ a deux branches, $x\ge a$ et $x\le -a$ , et $\tan\theta$ y a des signes opposés. Le cas $x\ge a$ est le seul où l'on peut retirer la valeur absolue, et il faut le dire.

4. Attaquer deux exposants pairs par une substitution

toute la question, 5 points, et dix minutes dans une impasse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int\sin^{2}x\cos^{2}x\,dx$ : je détache un $\cos x$ et je pose $u=\sin x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Détacher un cosinus laisse $\cos^{1}x$ , dont on ne peut rien faire : il faut LINÉARISER. Avec $\sin x\cos x=\dfrac{\sin 2x}{2}$ , l'intégrale devient $\displaystyle\int\frac{\sin^{2}2x}{4}dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}$ . »

Pourquoi : La substitution ne fonctionne que si le facteur détaché est bien la dérivée de la variable posée. Avec deux exposants pairs, ce facteur n'existe pas, et aucune manipulation ne le fera apparaître.

5. Substituer sur un trinôme sans compléter le carré

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-6x+13}}$ : la forme est $x^{2}-a^{2}$ , donc je pose $x=a\sec\theta$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On complète d'abord : $x^{2}-6x+13=(x-3)^{2}+4$ . C'est donc la forme $u^{2}+a^{2}$ avec $u=x-3$ et $a=2$ , qui appelle $u=2\tan\theta$ . »

Le trinôme ne descend jamais sous

4

: il ne s'annule pas, donc il ne se factorise pas. Sa forme réelle est un CARRÉ PLUS une constante, ce qui impose la substitution par la tangente.

Pourquoi : Le trinôme a un discriminant négatif : il ne se factorise pas et ne peut donc pas être de la forme $x^{2}-a^{2}$ . La complétion du carré révèle la forme réelle, et avec elle la bonne substitution.

6. Oublier le $dx$ de la substitution trigonométrique

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x=4\sin\theta$ , donc $\displaystyle\int\frac{x^{2}dx}{\sqrt{16-x^{2}}}=\int\frac{16\sin^{2}\theta}{4\cos\theta}d\theta$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $dx=4\cos\theta\,d\theta$ : l'intégrale devient $\displaystyle\int\frac{16\sin^{2}\theta}{4\cos\theta}\cdot 4\cos\theta\,d\theta=\int 16\sin^{2}\theta\,d\theta$ . »

Pourquoi : C'est justement le $dx$ qui fait disparaître le cosinus du dénominateur, et donc tout l'intérêt de la substitution. Sans lui, l'intégrale obtenue est plus difficile que celle de départ.

7. Confondre le critère de l'arc sinus et celui de l'arc tangente

3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int\frac{dx}{9+x^{2}}=\arcsin\frac{x}{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sans racine au dénominateur, c'est une arc tangente : $\displaystyle\int\frac{dx}{9+x^{2}}=\frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3}$ . »

Pourquoi : Le seul critère est la présence d'une racine : $\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}$ donne un arc sinus, $\dfrac{1}{a^{2}+u^{2}}$ un arc tangente. Le facteur $\dfrac{1}{a}$ n'apparaît d'ailleurs que dans le second.

8. Croire que deux primitives d'apparence différente ne peuvent pas être toutes deux justes

pas de points perdus, mais du temps et de la confiance

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le corrigé donne $-\dfrac{\cos 2x}{4}$ et j'ai trouvé $\dfrac{\sin^{2}x}{2}$ : l'un des deux est faux. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{\sin^{2}x}{2}=\dfrac{1-\cos 2x}{4}=-\dfrac{\cos 2x}{4}+\dfrac{1}{4}$ : les deux diffèrent d'une CONSTANTE, donc les deux sont justes. »

Pourquoi : Une primitive n'est définie qu'à une constante près. Le seul contrôle valable est de dériver les deux expressions : si les dérivées coïncident, les deux réponses sont correctes.

9. Utiliser une substitution trigonométrique quand une substitution simple suffit

aucun point, mais cinq à dix minutes perdues en examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{16-x^{2}}}$ : je pose $x=4\sin\theta$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La dérivée de $16-x^{2}$ est $-2x$ , qui est déjà là : $u=16-x^{2}$ donne $-\sqrt{16-x^{2}}+C$ en trois lignes. »

Pourquoi : La substitution trigonométrique est le dernier recours, pas le premier réflexe. La présence d'un facteur $x$ devant la racine signale presque toujours une substitution ordinaire.

10. Se tromper de signe dans la famille cotangente-cosécante

2 points, mais l'erreur se répète sur toute une question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\int\csc^{2}x\,dx=\cot x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\displaystyle\int\csc^{2}x\,dx=-\cot x$ : tout ce qui commence par « co » porte un signe moins dans sa dérivée, donc dans sa primitive. »

Pourquoi : La règle du « co » est systématique : $(\cos)'=-\sin$ , $(\cot)'=-\csc^{2}$ , $(\csc)'=-\csc\cot$ . Elle transforme chaque formule de la famille tangente-sécante en sa jumelle avec un signe.

Quelle méthode choisir

Quelle technique selon la forme trigonométrique

Ce qu'on voit sous l'intégrale

Si un exposant IMPAIR sur $\sin$ ou $\cos$ → détacher un facteur de la fonction à exposant impair et substituer l'autre

Exemple : $\displaystyle\int\sin^{3}x\cos^{2}x\,dx$ avec $u=\cos x$
Si les DEUX exposants pairs → LINÉARISER par les formules de duplication, aucune substitution ne marche

Exemple : $\displaystyle\int\sin^{2}x\cos^{2}x\,dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}$
Si puissance PAIRE de $\sec$ → détacher $\sec^{2}x$ et poser $u=\tan x$

Exemple : $\displaystyle\int\tan^{3}x\sec^{4}x\,dx$
Si puissance IMPAIRE de $\tan$ → détacher $\sec x\tan x$ et poser $u=\sec x$

Exemple : $\displaystyle\int\tan^{3}x\sec^{3}x\,dx$
Si aucun des deux cas ci-dessus → convertir par $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$ et recommencer

c'est le chemin qui mène à $\int\sec^{3}x\,dx$ , le cas cyclique de la famille

La parité se lit sur l'exposant, pas sur la fonction : c'est le seul critère, et il départage les trois cas sans aucune ambiguïté.

Quelle substitution selon la racine

La forme de l'expression sous la racine, APRÈS complétion du carré si c'est un trinôme

Si $\sqrt{a^{2}-u^{2}}$ → $u=a\sin\theta$ , la racine devient $a\cos\theta$

Exemple : $\sqrt{16-x^{2}}$ avec $x=4\sin\theta$
Si $\sqrt{a^{2}+u^{2}}$ → $u=a\tan\theta$ , la racine devient $a\sec\theta$

Exemple : $\sqrt{(x-3)^{2}+4}$ avec $x-3=2\tan\theta$
Si $\sqrt{u^{2}-a^{2}}$ → $u=a\sec\theta$ , la racine devient $a\left|\tan\theta\right|$

Exemple : $\sqrt{x^{2}-9}$ avec $x=3\sec\theta$
Si un facteur $u$ apparaît devant la racine → substitution ORDINAIRE $t=$ contenu de la racine, bien plus rapide

Exemple : $\displaystyle\int x\sqrt{16-x^{2}}\,dx$
Si l'expression sous la racine est un trinôme → compléter le carré D'ABORD, puis appliquer l'une des trois lignes précédentes

le signe du terme constant après complétion décide entre le sinus et la tangente

Avant toute substitution trigonométrique, chercher si la dérivée du contenu de la racine apparaît déjà : dans ce cas une substitution ordinaire fait le travail en trois lignes au lieu de quinze.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Mener une substitution trigonométrique jusqu'au bout

Quand l'utiliser : L'intégrande contient une racine de la forme $\sqrt{a^{2}\pm u^{2}}$ ou $\sqrt{u^{2}-a^{2}}$ , sans que la dérivée du contenu apparaisse.

1 Identifier la forme et poser la substitution correspondante, en écrivant $x$ , $dx$ ET la simplification de la racine sur trois lignes distinctes.
2 DESSINER le triangle de référence tout de suite : il servira au retour, et il évite de chercher les identités plus tard.
3 Si l'intégrale est définie, calculer les nouvelles bornes en $\theta$ et le dire; sinon, prévoir le retour à $x$ .
4 Réécrire l'intégrale entièrement en $\theta$ et vérifier qu'aucun $x$ ne subsiste, puis la calculer.
5 Revenir à $x$ par le triangle, ou évaluer directement aux bornes en $\theta$ si elles ont été changées.
6 Vérifier en dérivant, ou en testant une valeur numérique.

Phrase de conclusion

« On pose $x=4\sin\theta$ , donc $dx=4\cos\theta\,d\theta$ et $\sqrt{16-x^{2}}=4\cos\theta$ ; les bornes $x=0$ et $x=2$ deviennent $\theta=0$ et $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ , et l'intégrale se réduit à $\displaystyle\int_{0}^{\pi/6}16\sin^{2}\theta\,d\theta$ . »

Le piège : Sauter le dessin du triangle en se disant qu'on retrouvera les identités de tête. C'est vrai pour $\sin\theta$ , faux pour $\tan\theta$ et $\sec\theta$ , et c'est là que les copies s'arrêtent.

Barème : Typiquement 2 points pour la substitution complète, 1 pour les bornes ou le triangle, 3 pour le calcul en $\theta$ , 2 pour le retour ou l'évaluation, 1 pour la conclusion.

Traiter une puissance de sinus et de cosinus

Quand l'utiliser : L'intégrande est un produit de puissances de $\sin$ et de $\cos$ .

1 Relever les deux exposants et déterminer leur parité, en l'écrivant.
2 Si l'un est impair, détacher UN facteur de cette fonction et convertir le reste par $\sin^{2}+\cos^{2}=1$ .
3 Poser la substitution sur l'AUTRE fonction, et vérifier que le facteur détaché est bien sa dérivée à un signe près.
4 Si les deux sont pairs, remplacer chaque carré par sa formule de duplication et développer, quitte à recommencer une fois.
5 Intégrer terme à terme, puis revenir à $x$ si une substitution a été faite.

Phrase de conclusion

« L'exposant du sinus est impair : on détache $\sin x$ et l'on écrit $\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$ ; la substitution $u=\cos x$ , dont la dérivée $-\sin x$ est exactement le facteur détaché, donne une intégrale polynomiale en $u$ . »

Le piège : Détacher un facteur de la fonction à exposant PAIR. Le reste comporte alors une puissance impaire de l'autre fonction, qu'on ne peut pas convertir en carrés, et la substitution échoue.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Aucun $\theta$ dans la réponse finale

Relire la primitive : si elle contient encore $\theta$ , le retour à $x$ n'a pas été fait. C'est le contrôle le plus rapide de tout le chapitre.

Une réponse « $\theta+C$ » : il fallait écrire $\arcsin\dfrac{x}{4}+C$ .
La cohérence des bornes avec la variable

Vérifier que les bornes de l'intégrale finale sont dans la même variable que l'intégrande. Des bornes en $x$ sur une intégrale en $\theta$ sont une contradiction visible.

Une intégrale $\displaystyle\int_{0}^{2}\sin^{2}\theta\,d\theta$ : la borne $2$ n'est pas un angle du problème.
La dérivée du résultat

Dériver la primitive obtenue et comparer à l'intégrande. Cela valide en une fois la substitution, le retour et les constantes.

Une dérivée qui vaut $4\cos\theta$ fois l'intégrande attendue : le $dx$ de la substitution a été oublié.
La valeur absolue là où elle est requise

Sur $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ et sur l'arc sécante, vérifier la présence de la valeur absolue et préciser la branche étudiée.

Une primitive sans valeur absolue, correcte pour $x>a$ et fausse pour $x<-a$ .
L'ordre de grandeur d'une intégrale définie

Comparer le résultat à l'aire d'un rectangle grossier construit sur l'intervalle et sur une valeur moyenne de l'intégrande.

Un résultat de $0{,}72$ pour une intégrande qui monte de $0$ à $1{,}15$ sur $[0;2]$ : plausible.

L'exercice type décortiqué

Une intégrale définie par substitution trigonométrique

Calculer $\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx$ .

On donnera aussi la primitive exprimée en $x$ , afin de vérifier le résultat par une seconde voie.

Le triangle porte toute la substitution : l'hypotenuse vaut

4

, le côté opposé

x

, et le côté adjacent est exactement la racine qu'on veut simplifier. C'est lui qui donnera le retour à

x

à la dernière étape.

Étape 1

La forme $\sqrt{16-x^{2}}$ est du type $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ avec $a=4$ : on pose $x=4\sin\theta$ , d'où $dx=4\cos\theta\,d\theta$ et $\sqrt{16-x^{2}}=4\cos\theta$ .

Pourquoi

Les trois lignes s'écrivent ensemble. Aucun facteur $x$ ne précède la racine, donc la substitution ordinaire est exclue et la substitution trigonométrique est bien la bonne.

Étape 2

Nouvelles bornes : $x=0$ donne $\sin\theta=0$ , donc $\theta=0$ ; $x=2$ donne $\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ , donc $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ .

Pourquoi

On change les bornes tout de suite, ce qui dispensera du retour à $x$ pour la partie numérique. La substitution est croissante sur $\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right]$ , donc légitime.

Étape 3

Substitution complète : $\displaystyle\int_{0}^{\pi/6}\frac{16\sin^{2}\theta}{4\cos\theta}\cdot 4\cos\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi/6}16\sin^{2}\theta\,d\theta$ .

Pourquoi

C'est le $dx=4\cos\theta\,d\theta$ qui annule le cosinus du dénominateur : sans lui, il resterait une fraction, et tout l'intérêt de la substitution disparaîtrait.

Étape 4

Les deux exposants sont pairs : on linéarise. $16\sin^{2}\theta=8(1-\cos 2\theta)$ , donc l'intégrale vaut $\left[8\theta-4\sin 2\theta\right]_{0}^{\pi/6}$ .

Pourquoi

On enchaîne deux techniques du chapitre : la substitution a ramené le problème à une puissance paire, qui relève de la linéarisation. C'est le cas le plus fréquent des examens finaux.

Étape 5

Évaluation : $8\cdot\dfrac{\pi}{6}-4\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}-4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}\approx 0{,}7247$ .

Pourquoi

La borne inférieure annule les deux termes, ce qui rend l'évaluation immédiate. On garde la forme exacte avant de donner la valeur décimale.

Étape 6

Primitive en $x$ , par le triangle : $\sin\theta=\dfrac{x}{4}$ et $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}$ , donc $8\theta-8\sin\theta\cos\theta=8\arcsin\dfrac{x}{4}-\dfrac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2}$ .

Pourquoi

On écrit d'abord $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ pour que le triangle suffise : sans cette identité, il faudrait exprimer un angle double, ce qui n'est pas lisible sur le dessin.

Étape 7

Vérification par la primitive : en $x=2$ , $8\arcsin\dfrac{1}{2}-\dfrac{2\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$ ; en $x=0$ , tout s'annule. Les deux voies concordent.

Pourquoi

Deux chemins indépendants, l'un par changement de bornes et l'autre par retour à $x$ , donnent le même nombre : c'est la meilleure validation possible d'une substitution trigonométrique.

Étape 8

Contrôle numérique : l'intégrande vaut $0$ en $x=0$ et $1{,}15$ en $x=2$ ; un rectangle moyen de hauteur $0{,}36$ sur une base de $2$ donne $0{,}72$ .

Pourquoi

L'ordre de grandeur confirme le résultat sans aucun calcul symbolique. Un résultat négatif ou supérieur à $2{,}3$ aurait été rejeté immédiatement.

Conclusion rédigée

« $\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx=\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}\approx 0{,}725$ , et la primitive s'écrit $8\arcsin\dfrac{x}{4}-\dfrac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2}+C$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : S'arrêter à $\left[8\theta-4\sin 2\theta\right]$ et évaluer entre $0$ et $2$ . Les bornes sont alors des valeurs de $x$ utilisées comme angles, et le résultat obtenu, $16-4\sin 4\approx 19{,}0$ , n'a aucun rapport avec l'aire cherchée.

À savoir par cœur

• Exposant IMPAIR : détacher un facteur et substituer l'autre fonction. Les DEUX pairs : linéariser.
• $\sec$ à puissance paire : $u=\tan x$ . $\tan$ à puissance impaire : $u=\sec x$ .
• $\displaystyle\int\sec x\,dx=\ln\left|\sec x+\tan x\right|$ et $\displaystyle\int\tan x\,dx=-\ln\left|\cos x\right|$ .
• $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ : $x=a\sin\theta$ . $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ : $x=a\tan\theta$ . $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ : $x=a\sec\theta$ .
• $\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\left|\tan\theta\right|$ : la valeur absolue est obligatoire.
• Trinôme sous une racine : COMPLÉTER LE CARRÉ avant de choisir la substitution.
• Racine au dénominateur : arc sinus. Pas de racine : arc tangente, avec un facteur $\dfrac{1}{a}$ .
• Toujours finir par le RETOUR à $x$ , via le triangle, ou par le changement de bornes.

Questions fréquentes

Comment choisir la substitution trigonométrique ?

On regarde la forme sous la racine. Une différence du type constante moins x au carré appelle un sinus. Une somme appelle une tangente. Une différence du type x au carré moins constante appelle une sécante. Si l'expression est un trinôme, il faut d'abord compléter le carré pour révéler laquelle des trois formes on a réellement.

Que faire quand les deux exposants du sinus et du cosinus sont pairs ?

Il faut linéariser, c'est-à-dire remplacer chaque carré par sa formule de duplication. Aucune substitution ne peut fonctionner dans ce cas, parce que le facteur qu'on détacherait ne serait pas la dérivée de la fonction posée. La linéarisation transforme le produit en une somme de cosinus d'angles multiples, immédiatement intégrable.

Pourquoi faut-il revenir à x après une substitution trigonométrique ?

Parce que l'angle introduit est un outil de calcul qui n'existe pas dans l'énoncé. Une primitive doit s'exprimer dans la variable de la question. Le retour se fait avec le triangle rectangle de référence, sur lequel on lit le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle en fonction de x. Sur une intégrale définie, on peut aussi changer les bornes et éviter ce retour.

Quand la valeur absolue est-elle nécessaire ?

Sur la racine de x au carré moins a au carré, qui devient a fois la valeur absolue de la tangente, et sur la primitive faisant intervenir l'arc sécante. Dans les deux cas, la racine est positive par définition alors que la fonction trigonométrique change de signe selon la branche. Préciser la branche étudiée permet souvent de retirer la valeur absolue.

Comment savoir si une primitive donne un arc sinus ou un arc tangente ?

On regarde s'il y a une racine au dénominateur. Une racine d'une différence donne un arc sinus, sans facteur devant. Une somme sans racine donne un arc tangente, avec un facteur égal à l'inverse de la constante. C'est le seul critère à retenir, et il tranche sans ambiguïté.

Deux primitives différentes peuvent-elles être justes toutes les deux ?

Oui, si elles diffèrent d'une constante. Une primitive n'est jamais unique. Le seul contrôle valable est de dériver les deux expressions et de comparer les dérivées à l'intégrande. Deux réponses qui semblent éloignées peuvent se ramener l'une à l'autre par une identité trigonométrique.

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Exercices corrigés : Intégration trigonométrique : 20 exercices

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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Fiche de révision : l'intégration trigonométrique (201-NYB)

L'essentiel

Puissances : tout se décide sur la PARITÉ

Les trois substitutions et leurs triangles

Les fonctions inverses, en primitive et en intégrande

Les pièges qui coûtent des points

1. Ne pas revenir à xxx après une substitution trigonométrique

2. Garder les bornes en xxx après le passage à θ\thetaθ

3. Écrire x2−a2=atan⁡θ\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\thetax2−a2​=atanθ sans valeur absolue

4. Attaquer deux exposants pairs par une substitution

5. Substituer sur un trinôme sans compléter le carré

6. Oublier le dxdxdx de la substitution trigonométrique

7. Confondre le critère de l'arc sinus et celui de l'arc tangente

8. Croire que deux primitives d'apparence différente ne peuvent pas être toutes deux justes

9. Utiliser une substitution trigonométrique quand une substitution simple suffit

10. Se tromper de signe dans la famille cotangente-cosécante

Quelle méthode choisir

Quelle technique selon la forme trigonométrique

Quelle substitution selon la racine

La rédaction attendue

Mener une substitution trigonométrique jusqu'au bout

Traiter une puissance de sinus et de cosinus

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une intégrale définie par substitution trigonométrique

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment choisir la substitution trigonométrique ?

Que faire quand les deux exposants du sinus et du cosinus sont pairs ?

Pourquoi faut-il revenir à x après une substitution trigonométrique ?

Quand la valeur absolue est-elle nécessaire ?

Comment savoir si une primitive donne un arc sinus ou un arc tangente ?

Deux primitives différentes peuvent-elles être justes toutes les deux ?

Exercices corrigés : Intégration trigonométrique : 20 exercices

Voir aussi

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1. Ne pas revenir à $x$ après une substitution trigonométrique

2. Garder les bornes en $x$ après le passage à $\theta$

3. Écrire $\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\theta$ sans valeur absolue

6. Oublier le $dx$ de la substitution trigonométrique