Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : l'étude complète de fonction

Q: Comment savoir si une fonction a une asymptote oblique ?

Pour une fonction rationnelle, il faut que le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur d'exactement un. On effectue alors la division, et la partie polynomiale est l'équation de la droite. Si l'écart de degré vaut deux ou plus, il n'y a pas d'asymptote oblique mais une branche parabolique.

Q: Un dénominateur qui s'annule donne-t-il toujours une asymptote verticale ?

Non. C'est la limite qui décide. Si le facteur se simplifie avec le numérateur, la limite est finie et la courbe présente un simple trou, pas une branche infinie. Il faut donc factoriser et simplifier avant d'étudier les limites, sous peine d'inventer une asymptote qui n'existe pas.

Q: Pourquoi une dérivée nulle ne donne-t-elle pas toujours un extremum ?

Parce qu'un extremum demande que la fonction change de sens de variation, donc que la dérivée change de signe. Le cube de x a une dérivée nulle en zéro, mais cette dérivée reste positive des deux côtés : la courbe continue de monter et forme une inflexion à tangente horizontale, pas un extremum.

Q: Quand le test de la dérivée seconde ne fonctionne-t-il pas ?

Quand la dérivée seconde s'annule au nombre critique. Le test devient muet exactement dans les cas litigieux, puisque la puissance quatrième a un minimum et le cube n'a rien, avec la même dérivée seconde nulle. Il faut alors revenir au tableau de signes de la dérivée première, qui tranche toujours.

Q: Peut-on avoir un point d'inflexion sur une asymptote verticale ?

Non. Un point d'inflexion est un point de la courbe, donc son abscisse doit appartenir au domaine. La concavité change souvent de part et d'autre d'une asymptote verticale, mais aucun point de la courbe ne s'y trouve, donc il n'y a pas d'inflexion. C'est une perte de points très fréquente en fin d'étude.

Cette fiche ne redonne pas la liste des étapes d'une étude de fonction : elle est dans vos notes et personne ne perd de points à la réciter. Elle traite ce qui coûte réellement, c'est-à-dire les conclusions tirées trop vite d'un calcul juste, et le tracé final qu'on ne compare jamais au tableau qu'on vient d'écrire.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une étude de fonction n'est pas une liste de calculs mais une ENQUÊTE : chaque information trouvée, domaine, asymptote, signe de $f'$ , signe de $f''$ , doit se retrouver sur le tracé final. Un tracé qui contredit le tableau signale l'erreur avant le correcteur.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (15 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
2Calculs exponentiels et logarithmiquesSecondaire 5 SN5
3Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 SN5
4Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
5Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
6La fonction racine carréeSecondaire 5 SN5
7Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5
8Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5
9Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5
10Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
11Fonctions et domaine
12Limites et continuité
13La dérivée et ses règles
14Les dérivées des fonctions transcendantes
15Applications de la dérivée

L'essentiel

Les trois asymptotes, et la condition de chacune

• VERTICALE en $x=a$ : une limite unilatérale est infinie en $a$ . Un dénominateur nul est un candidat, pas une preuve.
• HORIZONTALE : $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ fini. Il peut y en avoir DEUX, une de chaque côté.
• OBLIQUE : uniquement si le degré du numérateur dépasse d'EXACTEMENT un celui du dénominateur. On l'obtient par division.
• Horizontale et oblique s'excluent du même côté : une branche ne peut pas avoir les deux.
• Une courbe peut COUPER son asymptote horizontale ou oblique; elle ne coupe jamais une verticale.

\frac{x^{2}+1}{x-1}

porte une asymptote verticale en

x=1

et une asymptote oblique

y=x+1

, obtenue par division; il n'y a AUCUNE asymptote horizontale, les degrés l'interdisant.

Comparer les degrés avant de calculer la moindre limite fait gagner cinq minutes et évite de chercher une oblique qui n'existe pas.

Les huit étapes, dans l'ordre qui évite les allers-retours

• 1. Domaine. 2. Intersections avec les axes. 3. Symétries : $f(-x)=f(x)$ ou $-f(x)$ , périodicité.
• 4. Limites aux bornes du domaine et à l'infini, d'où les asymptotes.
• 5. $f'$ , nombres critiques, tableau de SIGNES de $f'$ , donc croissance et extremums.
• 6. $f''$ , zéros, tableau de signes de $f''$ , donc concavité et points d'inflexion.
• 7. Tableau de variations regroupant tout.
• 8. Tracé, PUIS relecture du tracé contre le tableau.

L'étape 3 se paie toujours : une fonction paire ou impaire divise le travail par deux, et le repérer coûte dix secondes.

Ce que chaque dérivée décide, et ce qu'elle ne décide pas

• $f'>0$ : croissance. $f'<0$ : décroissance. $f'=0$ : candidat, rien de plus.
• $f''>0$ : convexe, la courbe tourne vers le haut. $f''<0$ : concave.
• Extremum en $c$ : il faut que $f'$ CHANGE de signe en $c$ .
• Point d'inflexion en $c$ : il faut que $f''$ CHANGE de signe en $c$ , et que $c$ soit dans le domaine.
• Test de la dérivée seconde : $f'(c)=0$ et $f''(c)>0$ donne un minimum local, $f''(c)<0$ un maximum. Si $f''(c)=0$ , le test ne conclut PAS.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Chercher une asymptote oblique quand les degrés l'interdisent

2 points, et une droite inventée sur le tracé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\frac{x^{3}+1}{x-1}$ , je fais la division pour trouver l'asymptote oblique. »

Ce qu'il faut écrire

« Le degré du numérateur dépasse de DEUX celui du dénominateur : il n'y a pas d'asymptote oblique, mais une branche parabolique. »

Pourquoi : La condition est un écart de degré d'exactement un. Avec deux, la division donne un polynôme de degré deux, qui n'est pas une droite. Comparer les degrés AVANT de diviser est le réflexe qui règle la question en trois secondes.

2. Conclure à une asymptote verticale dès que le dénominateur s'annule

2 points, et un tracé faux au voisinage du point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}$ a une asymptote verticale en $x=2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le facteur se simplifie : $f(x)=x+2$ pour $x\neq 2$ , donc il y a un TROU en $(2\,;4)$ , pas d'asymptote. »

Pourquoi : Un dénominateur nul est un candidat, jamais une preuve. Ce qui décide est la LIMITE : infinie, c'est une asymptote; finie, c'est un trou. Ne pas simplifier avant d'étudier fait inventer une branche infinie là où la courbe est parfaitement plate.

3. Prendre $f'(c)=0$ pour un extremum

2 points dans le tableau, et un tracé qui rebrousse à tort

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f'(0)=0$ , donc $f$ a un extremum en $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f'$ ne change pas de signe en $0$ : il n'y a pas d'extremum. »

Pourquoi : Le nombre critique est un candidat. Sur $f(x)=x^{3}$ , $f'(x)=3x^{2}$ est positif des deux côtés de $0$ : la courbe continue de monter. Seul le tableau de SIGNES de $f'$ tranche, et il faut l'écrire.

4. Croire que $f''(c)=0$ donne un point d'inflexion

2 points, et une concavité fausse sur tout le tableau

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=x^{4}$ vérifie $f''(0)=0$ , donc $0$ est un point d'inflexion. »

Ce qu'il faut écrire

« $f''(x)=12x^{2}\ge 0$ ne change pas de signe : la courbe reste convexe et il n'y a pas d'inflexion. »

Deux dérivées secondes nulles, deux conclusions opposées :

x^{4}

reste convexe de part et d'autre de

0

et n'a pas d'inflexion, tandis que

(x-3)^{3}

bascule du concave au convexe en

3

Pourquoi : C'est la symétrie exacte du piège précédent, un cran plus haut. Un zéro de $f''$ est un candidat; l'inflexion exige un CHANGEMENT de signe. Le contre-exemple $x^{4}$ est celui que les examens posent, et il vaut d'être retenu tel quel.

5. Placer un point d'inflexion hors du domaine

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f''$ change de signe en $x=1$ , donc la courbe a un point d'inflexion en $1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $1$ n'appartient pas au domaine de $f$ : la concavité change de part et d'autre de l'asymptote, mais il n'y a AUCUN point d'inflexion. »

Pourquoi : Un point d'inflexion est un POINT de la courbe : il lui faut une abscisse dans le domaine et une ordonnée. Un changement de concavité à travers une asymptote verticale est fréquent et ne produit jamais d'inflexion.

6. Appliquer le test de la dérivée seconde quand il ne conclut pas

toute la question sur ce nombre critique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f'(c)=0$ et $f''(c)=0$ , donc il n'y a pas d'extremum. »

Ce qu'il faut écrire

« $f''(c)=0$ : le test ne conclut pas. Je reviens au test de la dérivée PREMIÈRE, qui tranche toujours. »

Pourquoi : Le test de la dérivée seconde est un raccourci, pas une méthode complète : il est muet exactement dans les cas litigieux. $x^{4}$ a un minimum en $0$ avec $f''(0)=0$ , et $x^{3}$ n'a rien en $0$ avec le même $f''(0)=0$ . Le tableau de signes de $f'$ distingue les deux.

7. Oublier de vérifier que le tracé respecte le tableau

de 2 points à toute la question, selon lequel des deux est faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le tableau dit décroissante sur $\left]1\,;2{,}41\right[$ , mais mon tracé y monte. Ce n'est pas grave. »

Ce qu'il faut écrire

« Mon tracé contredit le tableau : l'un des deux est faux, et je cherche l'erreur avant de rendre. »

Pourquoi : Le tracé est une VÉRIFICATION gratuite du tableau, et c'est la seule dont on dispose sans calculatrice. Une contradiction repérée à temps se répare; la même contradiction rendue au correcteur coûte deux fois, une fois sur le tableau et une fois sur le graphique.

8. Négliger les symétries et faire deux fois le travail

pas de points perdus, mais dix minutes d'examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'étudie $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$ sur $\mathbb{R}$ tout entier, point par point. »

Ce qu'il faut écrire

« $f(-x)=f(x)$ : la fonction est PAIRE, j'étudie sur $\left[0,+\infty\right[$ et je complète par symétrie d'axe l'axe des ordonnées. »

Pourquoi : Une fonction paire ou impaire divise l'étude par deux, et la question longue de l'examen est chronométrée. Tester $f(-x)$ coûte dix secondes et se fait à l'étape 3, avant tout calcul de dérivée.

Quelle méthode choisir

Quelle asymptote chercher, selon les degrés

Pour une fonction rationnelle, on compare le degré $n$ du numérateur au degré $d$ du dénominateur AVANT tout calcul.

Si $n<d$ → asymptote horizontale $y=0$

Exemple : $\frac{x+1}{x^{2}+3}\to 0$
Si $n=d$ → asymptote horizontale $y=\frac{a_{n}}{b_{d}}$ , rapport des coefficients dominants

Exemple : $\frac{3x^{2}-1}{5x^{2}+x}\to\frac{3}{5}$
Si $n=d+1$ → asymptote OBLIQUE, obtenue par division du numérateur par le dénominateur

Exemple : $\frac{x^{2}+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}$ , donc $y=x+1$
Si $n>d+1$ → aucune asymptote de ce type : branche parabolique ou de degré supérieur

Exemple : $\frac{x^{3}+1}{x-1}$ se comporte comme $x^{2}+x+1$

Pour une fonction avec radical ou exponentielle, la comparaison de degrés ne s'applique pas : on calcule les deux limites à l'infini séparément, car elles peuvent différer.

Comment conclure sur un nombre critique

On a résolu $f'(c)=0$ . Ce qui suit décide de ce que $c$ est vraiment.

Si $f'$ passe de $+$ à $-$ en $c$ → MAXIMUM local en $c$

Exemple : $f'(x)=-2x$ en $c=0$
Si $f'$ passe de $-$ à $+$ en $c$ → MINIMUM local en $c$

Exemple : $f'(x)=2x$ en $c=0$
Si $f'$ garde le même signe de part et d'autre → aucun extremum : c'est un palier, souvent une inflexion à tangente horizontale

Exemple : $f'(x)=3x^{2}$ en $c=0$ pour $f(x)=x^{3}$
Si on préfère le raccourci et que $f''(c)\neq 0$ → $f''(c)>0$ donne un minimum, $f''(c)<0$ un maximum

Exemple : $f''(0)=2>0$ pour $f(x)=x^{2}$
Si $f''(c)=0$ → le test de la dérivée seconde est MUET : revenir au tableau de signes de $f'$

Les extremums ABSOLUS sur un intervalle fermé se cherchent parmi les nombres critiques ET les deux bornes. Sur un intervalle ouvert, les bornes ne sont pas atteintes et il faut un autre argument.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une étude complète, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : La question longue et lourdement pondérée du dernier examen de 201-NYA.

1 Annoncer le domaine et les intersections, en une ligne chacun.
2 Tester la parité, et le DIRE même quand la réponse est non : « $f(-x)\neq\pm f(x)$ , aucune symétrie. »
3 Donner les limites aux bornes du domaine et à l'infini, puis énoncer chaque asymptote avec son équation.
4 Écrire $f'$ SIMPLIFIÉE et factorisée, donner les nombres critiques, puis le tableau de signes.
5 Écrire $f''$ factorisée, donner ses zéros, puis le tableau de signes et les points d'inflexion avec leurs DEUX coordonnées.
6 Tracer en plaçant d'abord les asymptotes en pointillés, puis les points remarquables, puis la courbe.

Phrase de conclusion

La courbe admet l'asymptote verticale $x=1$ et l'asymptote oblique $y=x+1$ ; elle présente un maximum local en $\left(1-\sqrt{2}\,;\,-0{,}83\right)$ et un minimum local en $\left(1+\sqrt{2}\,;\,4{,}83\right)$ .

Le piège : Donner un extremum par son abscisse seule. Un extremum est un POINT : il lui faut ses deux coordonnées, et le barème compte l'ordonnée séparément.

Barème : Typiquement 1 point par asymptote, 2 points pour le tableau de signes de $f'$ , 2 points pour celui de $f''$ , 3 points pour le tracé cohérent.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Confronter le tracé au tableau, ligne par ligne

Reprendre chaque intervalle du tableau et vérifier sur le dessin que la courbe y monte ou y descend comme annoncé, et qu'elle y est concave ou convexe comme annoncé.

Le tableau annonce une décroissance entre $1$ et $1+\sqrt{2}$ ; si la courbe tracée y monte, l'un des deux est faux, et c'est presque toujours un signe perdu dans $f'$ .
Vérifier une asymptote oblique par la limite de la différence

Calculer $\lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-(mx+p)\right]$ : elle doit valoir $0$ . C'est la définition, et c'est le seul contrôle qui prouve la droite trouvée.

$\frac{x^{2}+1}{x-1}-(x+1)=\frac{2}{x-1}\to 0$ ✓. Une différence qui tend vers une constante non nulle signale une erreur de division.
Contrôler $f'$ sur un point où la variation est visible

Évaluer $f'$ en un point où le tracé monte manifestement et vérifier que le signe est positif.

En $x=5$ , la courbe monte visiblement; $f'(5)=\frac{25-10-1}{16}=\frac{14}{16}>0$ ✓.
Compter les changements de signe attendus

Une fonction rationnelle a autant de nombres critiques que le numérateur de $f'$ a de racines réelles. Un tableau qui en oublie un a une colonne manquante.

$f'(x)=\frac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}}$ : le trinôme a deux racines, donc deux nombres critiques, donc un tableau à cinq colonnes en comptant l'asymptote.

L'exercice type décortiqué

Étude complète d'une fonction à asymptote oblique

Étudier $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-1}$ : domaine, asymptotes, variations, concavité, puis tracé.

Étape 1

Domaine : $x-1\neq 0$ , donc $\text{dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ . Le numérateur $x^{2}+1$ ne s'annule jamais, donc la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses; elle coupe l'axe des ordonnées en $f(0)=-1$ .

Pourquoi

Deux lignes qui rapportent deux points et fixent le cadre. Remarquer que le numérateur ne s'annule jamais évite de chercher des racines inexistantes.

Étape 2

Parité : $f(-x)=\frac{x^{2}+1}{-x-1}\neq\pm f(x)$ , aucune symétrie. Degrés : $2$ au numérateur, $1$ au dénominateur, écart de UN, donc asymptote oblique. Division : $\frac{x^{2}+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}$ .

Pourquoi

La comparaison des degrés remplace deux calculs de limite. La division donne à la fois l'asymptote $y=x+1$ et le reste $\frac{2}{x-1}$ , qui indique de quel CÔTÉ la courbe passe : au-dessus pour $x>1$ , en dessous pour $x<1$ .

Étape 3

Limites : $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$ , car le numérateur tend vers $2>0$ et le dénominateur vers $0$ en changeant de signe. Asymptote verticale $x=1$ .

Pourquoi

Les deux limites unilatérales sont demandées séparément parce qu'elles diffèrent. Une seule limite écrite $\pm\infty$ vaut la moitié des points : le signe se lit sur celui du dénominateur.

Étape 4

$f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^{2}+1)}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}}$ . Le dénominateur est toujours positif, donc le SIGNE de $f'$ est celui du trinôme, dont les racines sont $1\pm\sqrt{2}$ , soit $-0{,}414$ et $2{,}414$ .

Pourquoi

Réduire l'étude du signe à celle du numérateur est le geste qui économise le plus de temps sur une fonction rationnelle : un carré au dénominateur ne change jamais le signe.

Étape 5

Tableau : $f'>0$ sur $\left]-\infty\,;1-\sqrt{2}\right[$ , $f'<0$ sur $\left]1-\sqrt{2}\,;1\right[$ et sur $\left]1\,;1+\sqrt{2}\right[$ , $f'>0$ ensuite. Maximum local en $\left(1-\sqrt{2}\,;\,-0{,}83\right)$ , minimum local en $\left(1+\sqrt{2}\,;\,4{,}83\right)$ .

Pourquoi

Le maximum local est PLUS BAS que le minimum local, ce qui est impossible sur un intervalle mais parfaitement normal de part et d'autre d'une asymptote verticale. Le signaler prouve qu'on a lu son propre tableau.

Étape 6

$f''(x)=\frac{4}{(x-1)^{3}}$ : négative pour $x<1$ , positive pour $x>1$ . La courbe est donc concave à gauche de l'asymptote et convexe à droite. AUCUN point d'inflexion, puisque $1$ n'appartient pas au domaine.

Pourquoi

C'est le piège de l'étape 6 : la concavité change bel et bien, mais pas en un point de la courbe. Écrire explicitement « pas de point d'inflexion car $1\notin\text{dom}\,f$ » rapporte le point que la plupart des copies perdent.

Conclusion rédigée

$f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , admet l'asymptote verticale $x=1$ et l'asymptote oblique $y=x+1$ , présente un maximum local en $\left(1-\sqrt{2}\,;\,-0{,}83\right)$ et un minimum local en $\left(1+\sqrt{2}\,;\,4{,}83\right)$ , est concave sur $\left]-\infty\,;1\right[$ et convexe sur $\left]1\,;+\infty\right[$ , sans aucun point d'inflexion.

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer un point d'inflexion en $x=1$ parce que $f''$ y change de signe. Un point d'inflexion appartient à la courbe : il lui faut une abscisse DANS le domaine, et $1$ n'y est pas.

À savoir par cœur

• Asymptote verticale : c'est la LIMITE qui décide, pas le dénominateur nul. Limite finie, c'est un trou.
• Degrés : $n<d$ donne $y=0$ ; $n=d$ donne le rapport des dominants; $n=d+1$ donne une oblique; au-delà, rien.
• Deux asymptotes horizontales sont possibles, une par côté, surtout avec un radical.
• Extremum : $f'$ doit CHANGER de signe. Inflexion : $f''$ doit CHANGER de signe, ET le point doit être dans le domaine.
• Le test de la dérivée seconde est muet quand $f''(c)=0$ : revenir au tableau de signes de $f'$ .
• Un extremum est un POINT : abscisse ET ordonnée.
• Sur une fonction rationnelle, le signe de $f'$ est celui de son NUMÉRATEUR, le carré au dénominateur étant positif.
• Dernière étape obligatoire : relire le tracé contre le tableau.

Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction a une asymptote oblique ?

Pour une fonction rationnelle, il faut que le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur d'exactement un. On effectue alors la division, et la partie polynomiale est l'équation de la droite. Si l'écart de degré vaut deux ou plus, il n'y a pas d'asymptote oblique mais une branche parabolique.

Un dénominateur qui s'annule donne-t-il toujours une asymptote verticale ?

Non. C'est la limite qui décide. Si le facteur se simplifie avec le numérateur, la limite est finie et la courbe présente un simple trou, pas une branche infinie. Il faut donc factoriser et simplifier avant d'étudier les limites, sous peine d'inventer une asymptote qui n'existe pas.

Pourquoi une dérivée nulle ne donne-t-elle pas toujours un extremum ?

Parce qu'un extremum demande que la fonction change de sens de variation, donc que la dérivée change de signe. Le cube de x a une dérivée nulle en zéro, mais cette dérivée reste positive des deux côtés : la courbe continue de monter et forme une inflexion à tangente horizontale, pas un extremum.

Quand le test de la dérivée seconde ne fonctionne-t-il pas ?

Quand la dérivée seconde s'annule au nombre critique. Le test devient muet exactement dans les cas litigieux, puisque la puissance quatrième a un minimum et le cube n'a rien, avec la même dérivée seconde nulle. Il faut alors revenir au tableau de signes de la dérivée première, qui tranche toujours.

Peut-on avoir un point d'inflexion sur une asymptote verticale ?

Non. Un point d'inflexion est un point de la courbe, donc son abscisse doit appartenir au domaine. La concavité change souvent de part et d'autre d'une asymptote verticale, mais aucun point de la courbe ne s'y trouve, donc il n'y a pas d'inflexion. C'est une perte de points très fréquente en fin d'étude.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Étude de fonction et tracé de courbes

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Fiche de révision : l'étude complète de fonction

L'essentiel

Les trois asymptotes, et la condition de chacune

Les huit étapes, dans l'ordre qui évite les allers-retours

Ce que chaque dérivée décide, et ce qu'elle ne décide pas

Les pièges qui coûtent des points

1. Chercher une asymptote oblique quand les degrés l'interdisent

2. Conclure à une asymptote verticale dès que le dénominateur s'annule

3. Prendre f′(c)=0f'(c)=0f′(c)=0 pour un extremum

4. Croire que f′′(c)=0f''(c)=0f′′(c)=0 donne un point d'inflexion

5. Placer un point d'inflexion hors du domaine

6. Appliquer le test de la dérivée seconde quand il ne conclut pas

7. Oublier de vérifier que le tracé respecte le tableau

8. Négliger les symétries et faire deux fois le travail

Quelle méthode choisir

Quelle asymptote chercher, selon les degrés

Comment conclure sur un nombre critique

La rédaction attendue

Une étude complète, rédigée pour le correcteur

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Étude complète d'une fonction à asymptote oblique

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction a une asymptote oblique ?

Un dénominateur qui s'annule donne-t-il toujours une asymptote verticale ?

Pourquoi une dérivée nulle ne donne-t-elle pas toujours un extremum ?

Quand le test de la dérivée seconde ne fonctionne-t-il pas ?

Peut-on avoir un point d'inflexion sur une asymptote verticale ?

Exercices corrigés : Étude de fonction et tracé de courbes

Voir aussi

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3. Prendre $f'(c)=0$ pour un extremum

4. Croire que $f''(c)=0$ donne un point d'inflexion