Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : l'optimisation appliquée

Q: Comment reconnaître la contrainte et la fonction à optimiser ?

La fonction à optimiser est celle dont l'énoncé demande le maximum ou le minimum, souvent une aire, un volume, un coût ou un temps. La contrainte est la quantité fixée par l'énoncé, celle qui est disponible ou imposée. Les mots donné, disponible, fixé, imposé signalent presque toujours la contrainte.

Q: Pourquoi faut-il éliminer une variable avant de dériver ?

Parce qu'une dérivée ordinaire ne se calcule que par rapport à une seule variable. Tant que la fonction objectif dépend de deux inconnues, il n'y a rien à résoudre. La contrainte fournit la relation qui permet d'exprimer l'une en fonction de l'autre et de se ramener à une seule variable.

Q: Comment justifier qu'un nombre critique est bien un maximum ?

Trois arguments possibles. Sur un intervalle fermé borné, on compare la fonction aux nombres critiques et aux deux bornes. S'il n'y a qu'un seul nombre critique et que la dérivée y change de signe, le maximum local est absolu. Sinon, on utilise le signe de la dérivée seconde, qui doit être strictement négatif.

Q: Pourquoi le domaine est-il si important en optimisation ?

Parce que la formule algébrique reste calculable en dehors du sens physique et produit souvent une seconde racine parasite. Sur une boîte découpée dans un carton de trente sur quarante, la dérivée s'annule deux fois, et seul le domaine permet d'écarter la valeur qui donnerait des dimensions négatives.

Q: Le profit est-il maximal quand le revenu est maximal ?

Non, presque jamais. Le profit est le revenu moins le coût, donc il est maximal là où le revenu marginal égale le coût marginal. Tant que la prochaine unité vendue rapporte plus qu'elle ne coûte, il faut continuer de produire, et l'on s'arrête avant le maximum du revenu dès que le coût est croissant.

Q: Pourquoi une canette optimale est-elle aussi haute que large ?

Parce qu'à volume fixé, l'aire totale est minimale quand la hauteur vaut deux fois le rayon, c'est-à-dire quand la hauteur égale le diamètre. Le calcul le montre en annulant la dérivée de l'aire exprimée en fonction du rayon seul. C'est un excellent contrôle de cohérence sur ce type de problème.

Cette fiche ne redonne pas la liste des étapes d'un problème d'optimisation : elle est dans vos notes. Elle traite ce que le barème sanctionne réellement, à savoir la traduction de l'énoncé, le domaine, et la justification de l'extremum, trois étapes où une réponse numériquement exacte peut ne rapporter que la moitié des points.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal, et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Dans un problème d'optimisation, la dérivation est la partie facile. Les points se perdent dans les trois étapes qui l'encadrent : traduire l'énoncé en contrainte et fonction objectif, établir le domaine, et JUSTIFIER que le nombre critique est bien l'extremum demandé.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Applications de la dérivée Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
2Fonctions et domaine
3Limites et continuité
4La dérivée et ses règles
5Applications de la dérivée

L'essentiel

La méthode en six étapes, et où chacune se paie

• 1. SCHÉMA et noms de variables. Sans schéma, la contrainte se trompe une fois sur deux.
• 2. Écrire la fonction à OPTIMISER, celle dont l'énoncé demande le maximum ou le minimum.
• 3. Écrire la CONTRAINTE, la relation imposée par l'énoncé (périmètre donné, volume fixé, matériau disponible).
• 4. Utiliser la contrainte pour éliminer une variable : la fonction objectif ne doit plus dépendre que d'UNE inconnue.
• 5. Établir le DOMAINE physiquement admissible, en croisant toutes les contraintes de positivité.
• 6. Dériver, trouver les nombres critiques, et JUSTIFIER que le candidat retenu est bien l'extremum demandé.

La fonction objectif

V(x)=x(30-2x)(40-2x)

s'annule aux deux bornes du domaine et culmine à l'intérieur : c'est cette forme qui rend l'unique nombre critique nécessairement maximal.

Les étapes 2 et 3 sont les plus lourdement notées et les plus vite expédiées. Les intervertir fait tomber tout le reste, même impeccable.

Justifier l'extremum : trois arguments, un seul à choisir

• Intervalle FERMÉ borné : le théorème des valeurs extrêmes garantit l'existence; on compare $f$ aux nombres critiques ET aux deux bornes.
• Un SEUL nombre critique sur l'intervalle, avec changement de signe de $f'$ : l'extremum local est alors ABSOLU. C'est l'argument le plus économique.
• Test de la dérivée seconde : $f''(c)<0$ donne un maximum, $f''(c)>0$ un minimum. Muet si $f''(c)=0$ .
• Intervalle OUVERT : les bornes ne sont pas atteintes. Il faut montrer que $f$ y tend vers une valeur plus faible, ou vers l'infini du bon côté.

Une réponse d'optimisation sans justification vaut la moitié des points, même quand le nombre est exact.

Économie : les trois fonctions et la condition d'optimum

• Coût $C(x)$ , coût MARGINAL $C'(x)$ : le coût de la prochaine unité produite.
• Revenu $R(x)=x\,p(x)$ , où $p(x)$ est le prix unitaire, qui dépend souvent de la quantité.
• Profit $P(x)=R(x)-C(x)$ , maximal là où $P'(x)=0$ , c'est-à-dire où $R'(x)=C'(x)$ .
• Traduction : on produit tant que la prochaine unité rapporte plus qu'elle ne coûte.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre la contrainte et la fonction à optimiser

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On a $200$ m de clôture, donc je maximise $L+2\ell=200$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La contrainte est $L+2\ell=200$ ; la fonction à OPTIMISER est l'aire $A=L\ell$ . »

Pourquoi : La contrainte est une ÉGALITÉ imposée, elle ne s'optimise pas. Le repère infaillible est le verbe de l'énoncé : ce qu'on demande de rendre maximal ou minimal est la fonction objectif, ce qui est « disponible », « donné » ou « imposé » est la contrainte.

2. Dériver une fonction à deux variables

toute la question, il n'y a rien à résoudre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A=L\ell$ , donc $A'=\ell+L$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La contrainte donne $L=200-2\ell$ , donc $A(\ell)=200\ell-2\ell^{2}$ et $A'(\ell)=200-4\ell$ . »

Pourquoi : Une dérivée n'a de sens que par rapport à UNE variable. L'étape 4 existe précisément pour éliminer la seconde à l'aide de la contrainte, et une copie qui la saute écrit une expression sans statut, qu'aucun calcul ne peut exploiter.

3. Oublier le domaine physiquement admissible

2 points, et la réponse entière si le nombre critique trouvé tombe hors du domaine

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V(x)=x(30-2x)(40-2x)$ est un polynôme, j'étudie sur $\mathbb{R}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut $x>0$ , $30-2x>0$ et $40-2x>0$ , donc $x\in\left]0,15\right[$ : la contrainte la plus restrictive l'emporte. »

Pourquoi : Le polynôme reste calculable en dehors et donne des volumes négatifs : $V(16)=-256$ . Ici les deux nombres critiques sont $5{,}66$ et $17{,}68$ , et c'est le domaine, et lui seul, qui écarte le second. Sans lui, la copie a deux candidats et aucune raison de choisir.

4. Annoncer l'extremum sans le justifier

la moitié des points de la question, alors que le nombre est exact

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A'(\ell)=0$ donne $\ell=50$ , donc l'aire maximale vaut $5000$ m $^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ell=50$ est l'unique nombre critique et $A'$ passe du $+$ au $-$ : le maximum local est donc ABSOLU sur $\left]0,100\right[$ , et vaut $5000$ m $^{2}$ . »

Pourquoi : Le barème d'un problème d'optimisation isole toujours un point pour la justification. Un nombre critique est un candidat : il peut être un minimum, ou n'être ni l'un ni l'autre. Une phrase de quinze mots suffit à récupérer ce point.

5. Ne pas tester les bornes d'un intervalle fermé

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le seul nombre critique de $f(x)=x^{3}-3x$ sur $\left[0,3\right]$ est $x=1$ , donc le maximum est $f(1)=-2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Candidats : $f(0)=0$ , $f(1)=-2$ , $f(3)=18$ . Le maximum absolu est $18$ , atteint à la BORNE $x=3$ ; $x=1$ donne le minimum. »

Le nombre critique

x=1

donne le MINIMUM; le maximum de

f

sur

\left[0,3\right]

est atteint à la borne

x=3

, où la dérivée ne s'annule pas du tout.

Pourquoi : Sur un intervalle fermé borné, le théorème des valeurs extrêmes garantit que les extremums existent, mais rien ne dit qu'ils sont à l'intérieur. Comparer les trois valeurs coûte trente secondes et c'est le seul moyen de conclure.

6. Traiter un intervalle ouvert comme s'il était fermé

1 point de rigueur, davantage si l'énoncé demande d'expliquer

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le domaine est $\left]0,15\right[$ , je compare $V$ aux bornes $0$ et $15$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les bornes ne sont pas atteintes. J'utilise plutôt l'argument de l'unique nombre critique, ou je montre que $V\to 0$ quand $x\to 0^{+}$ et $x\to 15^{-}$ . »

Pourquoi : Le théorème des valeurs extrêmes exige un intervalle FERMÉ BORNÉ. Sur un ouvert, l'extremum peut ne pas exister du tout. Ici il existe, mais l'argument qui le prouve n'est pas la comparaison aux bornes : c'est l'unicité du nombre critique avec changement de signe.

7. Répondre par le maximum quand on demande les dimensions

1 à 2 points, alors que tout le calcul est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Question : quelles sont les dimensions de l'enclos ? Réponse : $5000$ m $^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les dimensions sont $100$ m parallèlement au mur et $50$ m perpendiculairement; l'aire correspondante vaut $5000$ m $^{2}$ . »

Pourquoi : La variable optimisée et la quantité demandée sont deux choses différentes. Relire la question au moment de conclure, et donner les DEUX informations quand un doute subsiste, est la protection la plus rentable du chapitre.

8. Chercher un maximum de profit là où le revenu est maximal

toute la question d'économie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le revenu est maximal en $x=40$ , donc le profit aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« Le profit est maximal là où $P'(x)=0$ , c'est-à-dire où $R'(x)=C'(x)$ , ce qui n'est presque jamais le maximum du revenu. »

Pourquoi : Le maximum du revenu ignore le coût. Tant que la prochaine unité rapporte plus qu'elle ne coûte, il faut continuer de produire; on s'arrête quand revenu marginal et coût marginal s'égalisent, ce qui arrive AVANT le maximum du revenu dès que le coût est croissant.

Quelle méthode choisir

Quel argument pour justifier l'extremum

Une fois le nombre critique trouvé, l'argument dépend de la NATURE du domaine, pas du problème.

Si le domaine est un intervalle fermé borné $\left[a,b\right]$ → théorème des valeurs extrêmes : comparer $f$ aux nombres critiques ET aux deux bornes

Exemple : $f(0)=0$ , $f(1)=-2$ , $f(3)=18$ : le maximum est $18$
Si il y a UN SEUL nombre critique sur le domaine et $f'$ y change de signe → l'extremum local est ABSOLU sur ce domaine, et c'est l'argument le plus court

Exemple : $A'(\ell)=200-4\ell$ change de $+$ à $-$ en $\ell=50$
Si le calcul de $f''$ est facile et $f''(c)\neq 0$ → test de la dérivée seconde : $f''(c)<0$ donne un maximum, $f''(c)>0$ un minimum

Exemple : $V''(5{,}66)=-144<0$ , donc maximum
Si le domaine est ouvert et il y a plusieurs nombres critiques → tableau de signes complet de $f'$ , plus les limites aux bornes ouvertes

Exemple : montrer que $V\to 0$ aux deux bornes de $\left]0,15\right[$

Le deuxième argument couvre la grande majorité des problèmes d'examen et tient en une phrase. C'est celui à privilégier quand le temps manque.

Quelle contrainte, selon le type de problème

L'énoncé donne toujours une quantité FIXÉE : c'est elle, et elle seule, qui fournit la contrainte.

Si l'énoncé fixe une longueur de matériau (clôture, fil, bordure) → la contrainte est un PÉRIMÈTRE, et l'objectif est presque toujours une aire

Exemple : $L+2\ell=200$ pour un enclos adossé à un mur
Si l'énoncé fixe une aire de matériau (carton, tôle, verre) → la contrainte est une AIRE, et l'objectif est un volume

Exemple : $2\pi r^{2}+2\pi rh=S$ pour une boîte cylindrique
Si l'énoncé fixe un volume (contenance d'une canette, d'une citerne) → la contrainte est le VOLUME, et l'objectif est l'aire à minimiser

Exemple : $\pi r^{2}h=355$ donne $h=\frac{355}{\pi r^{2}}$ , puis $h=2r$ à l'optimum
Si l'énoncé fixe une figure de départ que l'on découpe ou plie → il n'y a pas de contrainte séparée : la géométrie du pliage donne directement une fonction d'une seule variable

Exemple : $V(x)=x(30-2x)(40-2x)$ pour une boîte découpée dans un carton
Si l'énoncé parle de trajet, de temps ou de coût de déplacement → l'objectif est un temps ou un coût total, et la contrainte est la position fixe des extrémités

Exemple : le temps de parcours minimal redonne la loi de Snell-Descartes

Un problème où la contrainte n'apparaît pas est un problème du quatrième type : le pliage a déjà fait le travail d'élimination.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Un problème d'optimisation, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : Le problème long de l'examen final, généralement noté sur dix à quinze points.

1 Faire le schéma, nommer les variables et le DIRE : « Soit $x$ le côté du carré découpé, en centimètres. »
2 Écrire séparément la fonction à optimiser et la contrainte, en les étiquetant comme telles.
3 Éliminer une variable et donner la fonction objectif à une seule inconnue.
4 Établir le domaine en listant chaque condition de positivité, puis donner l'intervalle.
5 Dériver, résoudre $f'(x)=0$ , et écarter explicitement les solutions hors du domaine.
6 JUSTIFIER l'extremum par l'un des trois arguments, puis répondre à la question posée avec les unités.

Phrase de conclusion

La découpe optimale est $x=\frac{35-\sqrt{325}}{3}\approx 5{,}66$ cm, qui donne une boîte de $28{,}7$ cm sur $18{,}7$ cm et $5{,}66$ cm de haut, de volume maximal $3032$ cm $^{3}$ .

Le piège : Écarter la seconde racine sans le dire. Le correcteur veut voir la phrase « $17{,}68\notin\left]0,15\right[$ , cette solution est rejetée » : c'est elle qui prouve que le domaine a servi à quelque chose.

Barème : Typiquement 2 points pour la mise en équation, 1 point pour le domaine, 2 points pour la dérivation et la résolution, 1 point pour le rejet de la racine hors domaine, 2 points pour la justification, 1 point pour la réponse avec unités.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier que la réponse a un sens physique

Substituer la valeur trouvée dans toutes les dimensions du problème et contrôler qu'aucune n'est négative ou nulle.

$x=5{,}66$ donne $30-2x=18{,}7>0$ et $40-2x=28{,}7>0$ ✓. Une largeur négative signale une racine hors domaine acceptée par erreur.
Comparer à deux valeurs voisines

Évaluer la fonction objectif un peu avant et un peu après le point trouvé : les deux valeurs doivent être inférieures pour un maximum, supérieures pour un minimum.

$V(5)=3000$ et $V(6)=3024$ sont bien inférieurs à $V(5{,}66)=3032$ ✓.
Contrôler l'ordre de grandeur par un encadrement grossier

Majorer la quantité optimisée par un calcul immédiat, et vérifier que la réponse reste en dessous.

Le volume de la boîte est inférieur à $15\times 30\times 40=18000$ cm $^{3}$ , et très inférieur en pratique : $3032$ est plausible, $30320$ ne le serait pas.
Relire la question avant d'écrire la conclusion

Souligner dans l'énoncé ce qui est demandé, dimensions ou valeur optimale, et vérifier que la phrase finale y répond.

« Quelles dimensions ? » appelle trois longueurs, pas un volume. Donner les deux ne coûte rien et sécurise le point.
Vérifier le cas particulier connu

Beaucoup de problèmes classiques ont une réponse remarquable : le carré pour un enclos à quatre côtés, $h=2r$ pour une canette de volume donné, $h=r$ pour la fenêtre de Norman.

Une canette optimale doit être aussi haute que large : $r\approx 3{,}84$ cm et $h\approx 7{,}67$ cm ✓. Un résultat très éloigné de ce rapport signale une erreur de contrainte.

L'exercice type décortiqué

La boîte découpée dans un carton, comme à l'examen final

On découpe un carré de côté $x$ à chacun des quatre coins d'un carton de $30$ cm sur $40$ cm, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle.

Déterminer $x$ pour que le volume soit maximal, et donner ce volume.

Chaque dimension perd DEUX fois

x

, une à chaque extrémité : c'est de là que viennent les facteurs

30-2x

40-2x

, et l'oubli du facteur

2

est l'erreur de mise en équation la plus fréquente.

Étape 1

Après pliage, la hauteur vaut $x$ , la longueur $40-2x$ et la largeur $30-2x$ . La fonction à optimiser est donc $V(x)=x(30-2x)(40-2x)$ .

Pourquoi

Il n'y a pas de contrainte séparée ici : la géométrie du pliage a déjà réduit le problème à une seule variable. Reconnaître ce type évite de chercher une contrainte qui n'existe pas.

Étape 2

Domaine : $x>0$ pour avoir une hauteur, $30-2x>0$ soit $x<15$ , et $40-2x>0$ soit $x<20$ . La plus restrictive l'emporte : $\text{dom}=\left]0,15\right[$ .

Pourquoi

Les trois conditions s'écrivent avant d'être croisées. C'est le domaine, et lui seul, qui écartera tout à l'heure la seconde racine de la dérivée.

Étape 3

En développant, $V(x)=4x^{3}-140x^{2}+1200x$ , donc $V'(x)=12x^{2}-280x+1200=4\left(3x^{2}-70x+300\right)$ .

Pourquoi

Développer avant de dériver est plus rapide ici que d'appliquer deux fois la règle du produit, et le facteur $4$ mis en évidence simplifie la résolution.

Étape 4

$3x^{2}-70x+300=0$ donne $x=\frac{70\pm\sqrt{4900-3600}}{6}=\frac{70\pm\sqrt{1300}}{6}$ , soit $x\approx 5{,}66$ ou $x\approx 17{,}68$ . Or $17{,}68\notin\left]0,15\right[$ : cette solution est REJETÉE.

Pourquoi

La phrase de rejet est notée. Elle prouve que le domaine établi à l'étape précédente a servi, et c'est exactement ce que le correcteur cherche à cet endroit de la copie.

Étape 5

Justification : $V'$ est un trinôme de coefficient dominant positif, donc positif avant $5{,}66$ et négatif après, sur tout le domaine. $V'$ change de $+$ à $-$ en l'UNIQUE nombre critique du domaine : le maximum local y est donc ABSOLU.

Pourquoi

C'est l'argument le plus court des trois. On aurait aussi pu invoquer $V''(x)=24x-280$ , valant $-144$ en $5{,}66$ , donc négatif, donc maximum. Un seul argument suffit, à condition qu'il soit écrit.

Étape 6

$V(5{,}66)=5{,}66\times 18{,}69\times 28{,}69\approx 3032$ cm $^{3}$ . Contrôle : $V(5)=3000$ et $V(6)=3024$ , tous deux inférieurs ✓.

Pourquoi

Deux évaluations de dix secondes qui confirment le maximum sans redériver. Elles attrapent aussi les erreurs d'arithmétique dans le développement du produit triple.

Conclusion rédigée

En découpant des carrés de $x=\frac{35-\sqrt{325}}{3}\approx 5{,}66$ cm, on obtient une boîte de $28{,}7$ cm sur $18{,}7$ cm et $5{,}66$ cm de haut, dont le volume $3032$ cm $^{3}$ est maximal sur tout le domaine admissible $\left]0,15\right[$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $V(x)=x(30-x)(40-x)$ en oubliant que chaque dimension perd $x$ à CHAQUE extrémité. Le nombre critique devient alors $x\approx 5{,}66$ remplacé par une autre valeur, et tout le problème est faux malgré une méthode impeccable.

À savoir par cœur

• Fonction objectif : ce que l'énoncé demande d'optimiser. Contrainte : ce qui est donné, fixé, disponible.
• La contrainte sert à ÉLIMINER une variable. On ne dérive jamais une expression à deux inconnues.
• Domaine physique : croiser toutes les conditions de positivité, la plus restrictive l'emporte.
• Écarter explicitement les racines hors du domaine : cette phrase est notée.
• Justification la plus courte : unique nombre critique du domaine, avec changement de signe de $f'$ .
• Intervalle FERMÉ : comparer aussi aux deux bornes. Intervalle OUVERT : les bornes ne sont pas atteintes.
• Économie : profit maximal là où revenu marginal égale coût marginal, jamais au maximum du revenu.
• Réponses remarquables à connaître : le carré, $h=2r$ pour une canette, $h=r$ pour la fenêtre de Norman.

Questions fréquentes

Comment reconnaître la contrainte et la fonction à optimiser ?

La fonction à optimiser est celle dont l'énoncé demande le maximum ou le minimum, souvent une aire, un volume, un coût ou un temps. La contrainte est la quantité fixée par l'énoncé, celle qui est disponible ou imposée. Les mots donné, disponible, fixé, imposé signalent presque toujours la contrainte.

Pourquoi faut-il éliminer une variable avant de dériver ?

Parce qu'une dérivée ordinaire ne se calcule que par rapport à une seule variable. Tant que la fonction objectif dépend de deux inconnues, il n'y a rien à résoudre. La contrainte fournit la relation qui permet d'exprimer l'une en fonction de l'autre et de se ramener à une seule variable.

Comment justifier qu'un nombre critique est bien un maximum ?

Trois arguments possibles. Sur un intervalle fermé borné, on compare la fonction aux nombres critiques et aux deux bornes. S'il n'y a qu'un seul nombre critique et que la dérivée y change de signe, le maximum local est absolu. Sinon, on utilise le signe de la dérivée seconde, qui doit être strictement négatif.

Pourquoi le domaine est-il si important en optimisation ?

Parce que la formule algébrique reste calculable en dehors du sens physique et produit souvent une seconde racine parasite. Sur une boîte découpée dans un carton de trente sur quarante, la dérivée s'annule deux fois, et seul le domaine permet d'écarter la valeur qui donnerait des dimensions négatives.

Le profit est-il maximal quand le revenu est maximal ?

Non, presque jamais. Le profit est le revenu moins le coût, donc il est maximal là où le revenu marginal égale le coût marginal. Tant que la prochaine unité vendue rapporte plus qu'elle ne coûte, il faut continuer de produire, et l'on s'arrête avant le maximum du revenu dès que le coût est croissant.

Pourquoi une canette optimale est-elle aussi haute que large ?

Parce qu'à volume fixé, l'aire totale est minimale quand la hauteur vaut deux fois le rayon, c'est-à-dire quand la hauteur égale le diamètre. Le calcul le montre en annulant la dérivée de l'aire exprimée en fonction du rayon seul. C'est un excellent contrôle de cohérence sur ce type de problème.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Optimisation appliquée

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Voir aussi

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