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Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : bissection, Newton et point fixe (201-SN2-RE, ancien 201-NYA)

Le calcul de ce chapitre est facile : une formule, une calculatrice, quatre lignes de tableau. Ce qui coûte des points est autour, dans la justification de l'existence de la racine, dans le choix du point de départ et dans la phrase qui dit avec quelle précision on répond.

Cette fiche est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal et pour les élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Cette fiche existe aussi en anglais →

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Le fil du chapitre

Une méthode numérique ne donne jamais la racine, elle donne une SUITE qui s'en approche : il faut donc toujours dire jusqu'où on l'a approchée, et pourquoi la suite converge. Les points se perdent sur ces deux phrases, pas sur le calcul.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)
Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 16 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1 Calculs algébriques Secondaire 5
  2. 2 Les fonctions définies par parties Secondaire 5
  3. 3 La fonction rationnelle, dite homographique Secondaire 5
  4. 4 Les opérations sur les fonctions Secondaire 5
  5. 5 Fonctions et domaine
  6. 6 Limites et continuité
  7. 7 La dérivée et ses règles

L'essentiel

Bissection : lente, mais elle ne rate jamais

  • • Hypothèse : ff continue sur [a ;b][a\,;b] avec f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0. On coupe en deux et l'on garde la moitié où le signe change.
  • • Largeur de l'encadrement après nn tours : b−a2n\frac{b-a}{2^{n}}. C'est une GARANTIE, pas une estimation.
  • • Convergence LINÉAIRE de rapport 12\frac{1}{2} : environ 3,323{,}32 itérations par décimale supplémentaire, puisque log⁡210≈3,32\log_{2}10\approx 3{,}32.
  • • Elle ne demande ni dérivée, ni bon point de départ, et elle donne un ENCADREMENT certifié, ce qu'aucune autre méthode du chapitre ne fournit.
−0,250,250,50,7511,25−1,5−1−0,50,511,5f(0) < 0f(1) > 0
Sur x3+x−1x^{3}+x-1, chaque tour garde la moitié où le signe change : [0 ;1][0\,;1], [0,5 ;1][0{,}5\,;1], [0,5 ;0,75][0{,}5\,;0{,}75], [0,625 ;0,75][0{,}625\,;0{,}75]. La largeur est divisée par deux à chaque fois.

Pour obtenir pp décimales sur [a ;b][a\,;b], on résout b−a2n<10−p\frac{b-a}{2^{n}}<10^{-p}, ce qui donne n>ln⁡b−a10−pln⁡2n>\frac{\ln\frac{b-a}{10^{-p}}}{\ln 2}. Cette inégalité est la question de cours la plus fréquente du chapitre.

Newton : la tangente à la place de la courbe

  • • xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}, obtenue en résolvant l'équation de la tangente au point (xn ;f(xn))\left(x_{n}\,;f(x_{n})\right).
  • • Convergence QUADRATIQUE au voisinage d'une racine SIMPLE : le nombre de décimales exactes double à chaque tour, avec en+1≈f′′(r)2f′(r)en2e_{n+1}\approx\frac{f''(r)}{2f'(r)}e_{n}^{2}.
  • • Elle exige f′f', un point de départ assez proche, et f′(xn)≠0f'(x_{n})\neq 0 à chaque tour.
  • • Aucune garantie globale : Newton peut cycler, diverger, ou ne converger que linéairement.
11,522,533,5−22468x₀ = 3x₁ ≈ 1,83√2
Newton remplace la courbe par sa TANGENTE en x0=3x_{0}=3 : elle coupe l'axe en x1≈1,83x_{1}\approx 1{,}83, bien plus près de 2\sqrt{2}. Le prix à payer est qu'il faut connaître f′f'.

Les quatre façons dont Newton échoue

  • • 1. f′(xn)=0f'(x_{n})=0 : la tangente est horizontale, la division est impossible et l'itération s'arrête net.
  • • 2. CYCLE entre deux valeurs, comme sur x3−2x+2x^{3}-2x+2 en partant de 00, où la suite fait 00, 11, 00, 11 sans fin.
  • • 3. DIVERGENCE, comme sur x1/3x^{1/3} où l'itération donne xn+1=−2xnx_{n+1}=-2x_{n} et s'éloigne de la racine à chaque tour.
  • • 4. Convergence seulement LINÉAIRE sur une racine multiple, là où ff et f′f' s'annulent ensemble.
−3−2−112345−2−1,5−1−0,50,511,52x₀ = 1x₁ = −2x₂ = 4
Sur x1/3x^{1/3}, chaque tangente renvoie deux fois plus loin, de l'autre côté : 11, puis −2-2, puis 44. La suite xn+1=−2xnx_{n+1}=-2x_{n} s'éloigne de la racine 00.

La parade habituelle est l'hybride : quelques tours de bissection pour se rapprocher, puis Newton pour finir vite. C'est ce que font les bibliothèques numériques réelles.

Sécante et point fixe, et les trois itérations à connaître

  • • SÉCANTE : xn+1=xn−f(xn)xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}, la tangente remplacée par la corde des deux derniers points. Ordre φ≈1,618\varphi\approx 1{,}618, mais UNE seule évaluation par tour.
  • • POINT FIXE : on réécrit f(x)=0f(x)=0 en x=g(x)x=g(x) et l'on itère xn+1=g(xn)x_{n+1}=g(x_{n}). Convergence si ∣g′(r)∣<1\left|g'(r)\right|<1 au voisinage, en ESCALIER si g′>0g'>0, en SPIRALE si g′<0g'<0.
  • • Newton est le cas particulier du point fixe où g′(r)=0g'(r)=0, ce qui explique sa vitesse.
  • • Trois itérations utiles : a\sqrt{a} par xn+1=12(xn+axn)x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right), 1a\frac{1}{a} sans division par xn+1=xn(2−axn)x_{n+1}=x_{n}(2-ax_{n}), et a3\sqrt[3]{a} par xn+1=13(2xn+axn2)x_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{2}}\right).
0,20,40,60,811,20,20,40,60,811,2y = cos xy = x
xn+1=cos⁡xnx_{n+1}=\cos x_{n} : comme g′=−sin⁡x<0g'=-\sin x<0 près du point fixe, la suite tourne autour de lui en SPIRALE ; ∣g′∣<1|g'|<1, donc la spirale se resserre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lancer Newton sans regarder la dérivée au point de départ

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« x0=0x_{0}=0 pour f(x)=x2−4f(x)=x^{2}-4 : x1=0−−40x_{1}=0-\frac{-4}{0}... »

Ce qu'il faut écrire

« f′(0)=0f'(0)=0 : Newton est indéfini en ce point, il faut changer de x0x_{0}, par exemple x0=3x_{0}=3. »

−3−2−1123−5−4−3−2−112345tangente horizontalex₀ = 3 convient
En x0=0x_{0}=0, la tangente à x2−4x^{2}-4 est horizontale (rouge) : elle ne coupe jamais l'axe, et la formule divise par f′(0)=0f'(0)=0. On repart d'un point où la pente n'est pas nulle.

Pourquoi : La tangente horizontale ne coupe jamais l'axe. Regarder le signe de f′f' sur l'intervalle de départ prend cinq secondes et évite un calcul impossible.

2. Supposer que Newton converge parce qu'il converge d'habitude

2 points, et une conclusion fausse sur un problème entier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La méthode de Newton converge toujours vers la racine, elle est quadratique. »

Ce qu'il faut écrire

« Newton converge quadratiquement AU VOISINAGE d'une racine simple. Sur x3−2x+2x^{3}-2x+2 en partant de 00, la suite vaut 00, 11, 00, 11 et ne converge pas. »

−2,5−2−1,5−1−0,50,511,52−2−1123456x₀ = 0x₁ = 1racine
Parti de x0=0x_{0}=0, Newton envoie en x1=1x_{1}=1, dont la tangente renvoie en 00 : la suite cycle indéfiniment et n'approche jamais la racine, qui se trouve vers −1,77-1{,}77.

Pourquoi : La convergence de Newton est LOCALE : c'est une propriété du voisinage de la racine, pas de la méthode. Un point de départ mal choisi suffit à tout casser.

3. Confondre le nombre d'itérations et le nombre de décimales

2 points, et une précision annoncée fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Après 1010 itérations de bissection, j'ai 1010 décimales exactes. »

Ce qu'il faut écrire

« Après 1010 itérations sur [0 ;1][0\,;1], l'encadrement mesure 1210≈10−3\frac{1}{2^{10}}\approx 10^{-3} : trois décimales, pas dix. Il en faut environ 3,323{,}32 par décimale. »

Pourquoi : La bissection divise l'erreur par 22, pas par 1010. Le facteur de conversion est log⁡210≈3,32\log_{2}10\approx 3{,}32, et c'est le seul nombre à retenir du chapitre.

4. Réécrire f(x)=0f(x)=0 en x=g(x)x=g(x) sans regarder g′g'

toute la question, et un tableau de valeurs qui part à l'infini

Ce qu'il ne faut pas écrire

« x2−x−2=0x^{2}-x-2=0 se réécrit x=x2−2x=x^{2}-2, j'itère à partir de x0=1,9x_{0}=1{,}9. »

Ce qu'il faut écrire

« Au point fixe r=2r=2, g′(2)=4g'(2)=4 et ∣g′∣>1\left|g'\right|>1 : la suite DIVERGE. La réécriture x=x+2x=\sqrt{x+2} donne g′(2)=14g'(2)=\frac{1}{4} et converge. »

−2−1,5−1−0,50,511,522,53−2−1,5−1−0,50,511,522,53r = 2x² − 2√(x + 2)
Même équation, deux réécritures : partie de 1,91{,}9, la suite xn+1=xn2−2x_{n+1}=x_{n}^{2}-2 (rouge) s'éloigne de 22, où ∣g′(2)∣=4|g'(2)|=4 ; la suite xn+1=xn+2x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+2} (vert) s'y resserre, ∣g′(2)∣=14|g'(2)|=\frac{1}{4}.

Pourquoi : Une même équation admet une infinité de réécritures et seules certaines convergent. Le critère ∣g′(r)∣<1\left|g'(r)\right|<1 se vérifie AVANT d'itérer, sinon on découvre l'échec au bout de six lignes de calcul.

5. Découper un intervalle où le signe ne change pas

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(0)=1f(0)=1 et f(2)=3f(2)=3, je coupe en 11 et je continue la bissection. »

Ce qu'il faut écrire

« f(0)f(2)>0f(0)f(2)>0 : la bissection ne s'applique pas. Il n'y a peut-être aucune racine sur [0 ;2][0\,;2], ou bien un nombre PAIR de racines. »

−0,50,511,522,5−11234f(0) = 1f(2) = 3deux racines cachées
f(0)f(0) et f(2)f(2) sont tous deux positifs, et pourtant ff s'annule deux fois entre eux. Sans changement de signe aux bornes, la bissection n'a rien à couper.

Pourquoi : Le changement de signe est l'hypothèse qui fait fonctionner la méthode, par le théorème des valeurs intermédiaires. Sans lui, la moitié conservée peut ne contenir aucune racine.

6. Arrêter les itérations sur la seule valeur de ff

1 à 2 points, et une précision annoncée sans preuve

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∣f(x5)∣<10−6\left|f(x_{5})\right|<10^{-6}, donc x5x_{5} approche la racine à 10−610^{-6} près. »

Ce qu'il faut écrire

« ∣f(x5)∣\left|f(x_{5})\right| petit ne garantit rien si ff est PLATE : il faut un encadrement, ou le critère ∣xn+1−xn∣<ε\left|x_{n+1}-x_{n}\right|<\varepsilon, et de préférence les deux. »

Pourquoi : Sur f(x)=(x−1)5f(x)=(x-1)^{5}, la valeur f(1,1)f(1{,}1) vaut 10−510^{-5} alors que l'erreur sur la racine est 0,10{,}1. Un critère sur ff seul mesure la hauteur, pas la distance horizontale.

7. Ne pas soupçonner une racine multiple devant une convergence lente

1 à 2 points, et beaucoup de temps

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Newton met vingt itérations, ma calculatrice doit être imprécise. »

Ce qu'il faut écrire

« ff et f′f' s'annulent ensemble : la racine est MULTIPLE et Newton n'y est plus que linéaire. On gagne le facteur perdu avec xn+1=xn−mf(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_{n}-m\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}, où mm est la multiplicité. »

Pourquoi : Le doublement des décimales est le signe distinctif d'une racine simple. Quand il n'a pas lieu, c'est un diagnostic, pas une panne de calculatrice.

8. Arrondir les itérés en cours de route

1 à 2 points, et la convergence annoncée devient invérifiable

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'arrondis xnx_{n} à trois décimales à chaque tour pour alléger le tableau. »

Ce qu'il faut écrire

« On garde toutes les décimales de la calculatrice d'un tour à l'autre, et l'on n'arrondit QUE la réponse finale. »

Pourquoi : Newton double les décimales exactes à chaque tour : arrondir à trois décimales plafonne définitivement la précision à trois décimales, et la méthode perd exactement ce qui fait sa valeur.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon ce dont on dispose

Le choix ne dépend pas du goût mais de trois données : a-t-on f′f', a-t-on un bon point de départ, et l'énoncé demande-t-il une garantie ou de la vitesse.

  • Si l'énoncé demande un ENCADREMENT certifié, ou dit « avec certitude » → bissection, seule méthode qui garantit sa précision à chaque tour

    Exemple : b−a2n<10−4\frac{b-a}{2^{n}}<10^{-4} fixe le nombre de tours à l'avance

  • Si f′f' est simple à écrire et l'on a un point de départ proche → Newton, pour sa convergence quadratique

    Exemple : x3+x−1=0x^{3}+x-1=0 à partir de x0=1x_{0}=1 donne huit décimales en quatre tours

  • Si f′f' est compliquée, inconnue, ou coûteuse à évaluer → méthode de la sécante, qui remplace la tangente par la corde

    Exemple : ordre φ≈1,618\varphi\approx 1{,}618 mais une seule évaluation par tour

    À coût égal la sécante bat souvent Newton, puisque φ2≈2,618>2\varphi^{2}\approx 2{,}618>2 : deux tours de sécante valent mieux qu'un tour de Newton.

  • Si l'équation est déjà donnée sous la forme x=g(x)x=g(x) → point fixe, APRÈS avoir vérifié ∣g′∣<1\left|g'\right|<1 au voisinage de la racine

    Exemple : x=cos⁡xx=\cos x converge en spirale vers 0,7390{,}739

  • Si ff et f′f' s'annulent au même point → racine multiple : bissection, ou Newton modifié par le facteur mm

    Exemple : (x−1)3(x-1)^{3} en x=1x=1

  • Si on ne sait rien du tout de la position de la racine → hybride : quelques bissections pour localiser, puis Newton pour finir

    Exemple : c'est ce que font les bibliothèques numériques réelles

Avant toute méthode, il faut avoir montré que la racine EXISTE et l'avoir localisée. C'est le théorème des valeurs intermédiaires qui fait ce travail, et son oubli coûte plus cher que le choix de la méthode.

Que faire quand la suite ne converge pas

Une suite qui ne converge pas est un diagnostic à poser, pas une panne. Trois symptômes, trois causes.

  • Si la division est impossible à un tour → f′(xn)=0f'(x_{n})=0 : changer de point de départ, ou faire d'abord une bissection

    Exemple : x0=0x_{0}=0 sur f(x)=x2−4f(x)=x^{2}-4

  • Si la suite revient périodiquement aux mêmes valeurs → cycle : changer de x0x_{0}, il n'y a rien d'autre à faire

    Exemple : 00, 11, 00, 11 sur x3−2x+2x^{3}-2x+2

  • Si les valeurs grandissent tour après tour → divergence : le point de départ est hors du bassin d'attraction, se rapprocher par bissection

    Exemple : x1/3x^{1/3}, où xn+1=−2xnx_{n+1}=-2x_{n}

  • Si la suite converge mais gagne ses décimales lentement, à rythme régulier → racine multiple, ou point fixe à ∣g′∣\left|g'\right| proche de 11 : diagnostiquer avant d'insister

    Exemple : vingt tours pour quatre décimales sur (x−1)3(x-1)^{3}

Dans tous les cas, on ÉCRIT le diagnostic sur la copie. « La suite cycle, donc je change de point de départ » vaut des points; un tableau abandonné en cours de route n'en vaut aucun.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Localiser une racine avant de l'approcher

Quand l'utiliser : Toute question de résolution numérique commence par là, même quand l'énoncé ne le demande pas explicitement.

  1. 1 Nommer la fonction : « Posons f(x)=x3+x−1f(x)=x^{3}+x-1, définie sur R\mathbb{R}. »
  2. 2 Justifier la continuité par sa RAISON : « ff est un polynôme, donc continue sur R\mathbb{R}. »
  3. 3 Trouver un changement de signe et l'écrire : « f(0)=−1<0f(0)=-1<0 et f(1)=1>0f(1)=1>0. »
  4. 4 Conclure à l'existence par le théorème des valeurs intermédiaires, puis à l'unicité par la stricte monotonie : « f′(x)=3x2+1>0f'(x)=3x^{2}+1>0, donc ff est strictement croissante. »
  5. 5 Annoncer alors seulement la méthode retenue et le point de départ.

Phrase de conclusion

ff étant continue et strictement croissante sur [0 ;1][0\,;1] avec f(0)<0<f(1)f(0)<0<f(1), l'équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution rr dans ]0 ;1[\left]0\,;1\right[.

Le piège : Enchaîner directement sur le calcul en supposant la racine acquise. Le tableau d'itérations peut être parfait, il ne vaut rien tant que l'existence de la limite n'est pas établie.

Barème : En général 1 point pour la continuité justifiée, 1 point pour le changement de signe, 1 point pour l'unicité par la monotonie.

Rédiger une itération de Newton avec son contrôle de précision

Quand l'utiliser : L'énoncé demande une valeur approchée à 10−p10^{-p} près par la méthode de Newton.

  1. 1 Écrire la formule d'itération EXPLICITEMENT, avec le ff de l'énoncé : « xn+1=xn−xn3+xn−13xn2+1x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{3}+x_{n}-1}{3x_{n}^{2}+1}. »
  2. 2 Annoncer le point de départ et le justifier : « Prenons x0=1x_{0}=1, situé dans l'intervalle où la racine a été localisée. »
  3. 3 Présenter les itérés dans un tableau, avec toutes les décimales de la calculatrice, sans arrondir en cours de route.
  4. 4 S'arrêter quand deux itérés successifs coïncident sur les décimales demandées, et le DIRE : « x3x_{3} et x4x_{4} coïncident jusqu'à la sixième décimale. »
  5. 5 Certifier par un changement de signe : « f(0,68232)<0<f(0,68233)f(0{,}68232)<0<f(0{,}68233), donc 0,68232<r<0,682330{,}68232<r<0{,}68233. »

Phrase de conclusion

La méthode de Newton donne r≈0,682328r\approx 0{,}682328, et l'encadrement f(0,68232)<0<f(0,68233)f(0{,}68232)<0<f(0{,}68233) certifie cette valeur à 10−510^{-5} près.

Le piège : Annoncer la précision d'après le nombre de décimales affichées par la calculatrice. Seul un encadrement par changement de signe, ou une majoration d'erreur, prouve quoi que ce soit.

Barème : 1 point pour la formule explicite, 1 point pour le tableau des itérés, 1 point pour le critère d'arrêt annoncé, 1 point pour la certification par encadrement.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Résoudre x3+x−1=0x^{3}+x-1=0 par Newton, avec certification

Soit l'équation x3+x−1=0x^{3}+x-1=0.

1. Montrer qu'elle admet une unique solution réelle et la localiser.

2. En donner une valeur approchée à 10−510^{-5} près par la méthode de Newton, puis certifier le résultat.

Étape 1

f(x)=x3+x−1f(x)=x^{3}+x-1 est un polynôme, donc continue sur R\mathbb{R}. f(0)=−1<0f(0)=-1<0 et f(1)=1>0f(1)=1>0, donc par le théorème des valeurs intermédiaires il existe r∈]0 ;1[r\in\left]0\,;1\right[ tel que f(r)=0f(r)=0.

Pourquoi

Cette ligne vaut le premier point et rend le reste légitime : sans elle, le tableau d'itérations approche une limite dont rien ne dit qu'elle existe.

Étape 2

f′(x)=3x2+1>0f'(x)=3x^{2}+1>0 pour tout xx, donc ff est strictement croissante sur R\mathbb{R} : la solution rr est UNIQUE.

Pourquoi

L'unicité est une deuxième phrase, avec un deuxième argument. Le théorème des valeurs intermédiaires ne l'a jamais donnée, et la confondre avec l'existence coûte un point à chaque copie.

Étape 3

La formule de Newton s'écrit ici xn+1=xn−xn3+xn−13xn2+1x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{x_{n}^{3}+x_{n}-1}{3x_{n}^{2}+1}, avec x0=1x_{0}=1, choisi dans l'intervalle localisé.

Pourquoi

On écrit la formule DÉVELOPPÉE avec le ff de l'énoncé, pas la formule générale. C'est ce qui prouve que la dérivée a été calculée, et cela évite l'erreur de recopie au tour suivant.

Étape 4

x1=1−14=0,75x_{1}=1-\dfrac{1}{4}=0{,}75; x2=0,686046…x_{2}=0{,}686046\ldots; x3=0,682339…x_{3}=0{,}682339\ldots; x4=0,6823278…x_{4}=0{,}6823278\ldots

0,250,50,7511,251,5−1,5−1−0,50,511,5x₀ = 1x₁ = 0,75

Pourquoi

On garde toutes les décimales d'un tour à l'autre. Arrondir ici plafonnerait la précision et ferait perdre exactement ce que Newton apporte, à savoir le doublement des décimales exactes.

Étape 5

x3x_{3} et x4x_{4} coïncident jusqu'à la cinquième décimale : on retient r≈0,68233r\approx 0{,}68233, soit 0,6823280{,}682328 à 10−610^{-6} près.

Pourquoi

Le critère d'arrêt s'annonce, il ne se devine pas. Deux itérés qui coïncident sur pp décimales est le critère usuel, et il se justifie ici par la convergence quadratique.

Étape 6

Certification : f(0,68232)≈−1,9×10−5<0f(0{,}68232)\approx-1{,}9\times 10^{-5}<0 et f(0,68233)≈5,3×10−6>0f(0{,}68233)\approx 5{,}3\times 10^{-6}>0, donc 0,68232<r<0,682330{,}68232<r<0{,}68233.

Pourquoi

C'est la seule preuve acceptable de la précision annoncée. Un changement de signe encadre la racine avec certitude, alors que l'affichage de la calculatrice ne certifie rien du tout.

Étape 7

Comparaison : pour le même encadrement de largeur 10−510^{-5} en partant de [0 ;1][0\,;1], la bissection demanderait nn tel que 12n<10−5\dfrac{1}{2^{n}}<10^{-5}, soit n≥17n\geq 17 itérations contre 44.

Pourquoi

Ce calcul est souvent la dernière question de l'exercice, et il se traite en une ligne avec log⁡2\log_{2}. Il chiffre l'avantage de Newton, qui n'est acquis que parce que la racine est simple.

Conclusion rédigée

L'équation x3+x−1=0x^{3}+x-1=0 admet une unique solution réelle rr, et la méthode de Newton partant de x0=1x_{0}=1 donne r≈0,68233r\approx 0{,}68233, valeur certifiée par l'encadrement 0,68232<r<0,682330{,}68232<r<0{,}68233.

L'erreur classique sur cet exercice : S'arrêter à x2=0,686x_{2}=0{,}686 en annonçant trois décimales exactes, parce que trois décimales sont affichées. Or x3=0,68234x_{3}=0{,}68234 : la troisième décimale n'était pas encore stabilisée, et seule la comparaison de deux itérés successifs, ou un changement de signe, permet de le savoir.

À savoir par cœur

  • • Bissection : largeur b−a2n\frac{b-a}{2^{n}} après nn tours, environ 3,323{,}32 itérations par décimale.
  • • Bissection : il FAUT f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0, sinon la méthode ne dit rien.
  • • Newton : xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}, quadratique seulement au voisinage d'une racine SIMPLE.
  • • Les quatre échecs de Newton : f′=0f'=0, cycle, divergence, racine multiple.
  • • Point fixe : la suite xn+1=g(xn)x_{n+1}=g(x_{n}) converge si ∣g′(r)∣<1\left|g'(r)\right|<1, et ce critère se vérifie AVANT d'itérer.
  • • Sécante : ordre φ≈1,618\varphi\approx 1{,}618, une seule évaluation par tour, souvent plus efficace que Newton à coût égal.
  • • Aucune précision ne s'annonce sans preuve : un encadrement par changement de signe, ou rien.
  • • On n'arrondit qu'à la toute fin : arrondir en cours de route plafonne la précision.

Questions fréquentes

Combien d'itérations de bissection faut-il pour avoir quatre décimales ?

On résout la longueur de l'intervalle divisée par deux puissance n, inférieure à dix puissance moins quatre. En partant d'un intervalle de longueur un, il faut au moins quatorze itérations. La règle générale est d'environ trois virgule trois deux itérations par décimale supplémentaire, parce que la bissection divise l'erreur par deux et non par dix.

Pourquoi la méthode de Newton ne converge-t-elle pas toujours ?

Parce que sa convergence est locale : elle est garantie seulement au voisinage d'une racine simple. Loin de la racine, la tangente peut renvoyer n'importe où. Trois échecs classiques existent : une dérivée nulle qui rend la division impossible, un cycle entre deux valeurs, et une divergence pure. La parade est de localiser d'abord la racine par bissection.

Comment savoir si la réécriture x égale g de x va converger ?

On calcule la dérivée de g au voisinage du point fixe. Si sa valeur absolue est strictement inférieure à un, la suite converge; si elle dépasse un, elle diverge. Le signe donne l'allure : une dérivée positive fait converger en escalier, une dérivée négative en spirale. Ce critère se vérifie avant d'itérer, pas après.

Quand faut-il s'arrêter d'itérer ?

Quand deux itérés successifs coïncident sur les décimales demandées, et seulement après avoir certifié le résultat par un encadrement. Un critère posé sur la seule valeur de f est trompeur : sur une fonction très plate, f peut être minuscule assez loin de la racine. Il faut donc mesurer la distance horizontale, pas la hauteur.

Pourquoi Newton devient-il lent sur certaines équations ?

Parce que la racine est multiple, c'est à dire que la fonction et sa dérivée s'y annulent ensemble. La convergence n'est alors plus quadratique mais linéaire, et le nombre de décimales exactes augmente d'une quantité fixe par tour, souvent moins d'une, au lieu de doubler. On retrouve la vitesse en multipliant la correction par la multiplicité de la racine.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Bissection, Newton et point fixe

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 16 exercices corrigés
  • 160 points
  • 225 minutes
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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/nya-methodes-numeriques. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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