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Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA) • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : Rolle et les accroissements finis (201-SN2-RE, ancien 201-NYA)

Ces théorèmes se retiennent en une ligne et se ratent en trois mots : une hypothèse oubliée, un « unique » de trop, un cc qu'on prétend calculer. Cette fiche traite exactement ces trois pertes, avec les contre-exemples qui rendent chaque hypothèse indiscutable.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature à Montréal et pour les élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Cette fiche existe aussi en anglais →

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Le fil du chapitre

Rolle et les accroissements finis donnent l'EXISTENCE d'un cc, jamais sa valeur ni son unicité. Les points se perdent en sautant une hypothèse, ou en concluant plus fort que ce que le théorème autorise.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)
Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 16 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1 Calculs algébriques Secondaire 5
  2. 2 Les fonctions définies par parties Secondaire 5
  3. 3 La fonction rationnelle, dite homographique Secondaire 5
  4. 4 Les opérations sur les fonctions Secondaire 5
  5. 5 Fonctions et domaine
  6. 6 Limites et continuité
  7. 7 La dérivée et ses règles

L'essentiel

Rolle : trois hypothèses, une conclusion d'existence

  • • 1. ff CONTINUE sur l'intervalle FERMÉ [a ;b][a\,;b].
  • • 2. ff DÉRIVABLE sur l'intervalle OUVERT ]a ;b[\left]a\,;b\right[.
  • • 3. f(a)=f(b)f(a)=f(b).
  • • Conclusion : il existe AU MOINS UN c∈]a ;b[c\in\left]a\,;b\right[ tel que f′(c)=0f'(c)=0.
  • • Le cc est toujours INTÉRIEUR : jamais aa, jamais bb.
1234−2−11234abc
La corde qui joint (a ;f(a))(a\,;f(a)) à (b ;f(b))(b\,;f(b)) est HORIZONTALE, donc il existe au moins un cc intérieur où la tangente l'est aussi. Le théorème dit qu'un tel cc existe, pas où il se trouve.

L'asymétrie fermé pour la continuité, ouvert pour la dérivabilité, est voulue : elle permet d'appliquer le théorème à des fonctions dont la dérivée explose aux bornes, comme 1−x2\sqrt{1-x^{2}} sur [−1 ;1][-1\,;1].

Accroissements finis : la même chose sans l'égalité aux bornes

  • • Mêmes hypothèses 1 et 2, sans l'hypothèse 3. Conclusion : il existe c∈]a ;b[c\in\left]a\,;b\right[ tel que f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
  • • Géométriquement : une tangente est PARALLÈLE à la corde.
  • • Cinématiquement : la vitesse instantanée égale au moins une fois la vitesse moyenne.
  • • Rolle est le cas particulier où la corde est horizontale : les deux théorèmes n'en font qu'un.
0,511,522,533,544,50,511,522,5c = 1corde
Sur [0 ;4][0\,;4], la corde de y=xy=\sqrt{x} a pour pente 2−04=12\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2} ; en c=1c=1, où 12c=12\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2}, la tangente (vert) lui est parallèle.

La démonstration consiste à appliquer Rolle à g(x)=f(x)−[f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)]g(x)=f(x)-\left[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right], l'écart vertical entre la courbe et sa corde, qui s'annule aux deux bornes.

L'inégalité des accroissements finis, et les deux conséquences

  • • Si m≤f′≤Mm\leq f'\leq M sur [a ;b][a\,;b], alors m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a).
  • • Si ∣f′∣≤M\left|f'\right|\leq M, alors ∣f(b)−f(a)∣≤M∣b−a∣\left|f(b)-f(a)\right|\leq M\left|b-a\right|, ce qui donne par exemple ∣sin⁡a−sin⁡b∣≤∣a−b∣\left|\sin a-\sin b\right|\leq\left|a-b\right|.
  • • Sur un INTERVALLE : f′=0f'=0 équivaut à ff constante.
  • • Sur un INTERVALLE : f′=g′f'=g' équivaut à f−gf-g constante. C'est ce qui donnera le « +C+C » du calcul intégral.
12−1,5−1−0,50,511,522,5pente M = 1pente m = cos 2sin x
Sur [0 ;2][0\,;2], cos⁡2≤(sin⁡x)′≤1\cos 2\le(\sin x)'\le 1 : la courbe de sin⁡x\sin x reste dans le cône des deux droites de pentes mm et MM issues de l'origine. C'est l'inégalité m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a).

Le mot INTERVALLE est l'hypothèse cachée des deux dernières lignes. Sur un domaine en deux morceaux, les deux constantes peuvent différer, et c'est un contre-exemple classique d'examen.

Existence et unicité : deux arguments de natures différentes

  • • Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'EXISTENCE d'une racine, par un changement de signe.
  • • La stricte MONOTONIE, justifiée par le signe de f′f', donne l'UNICITÉ.
  • • Rolle donne aussi l'unicité par l'absurde : deux racines de ff imposeraient une racine de f′f' entre elles.
  • • Une rédaction complète traite les deux en DEUX phrases séparées, jamais en une.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Appliquer Rolle sans vérifier l'égalité aux bornes

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=x2f(x)=x^{2} est continue et dérivable sur [1 ;3][1\,;3], donc par Rolle il existe cc avec f′(c)=0f'(c)=0. »

Ce qu'il faut écrire

« f(1)=1f(1)=1 et f(3)=9f(3)=9 ne sont pas égales : Rolle ne s'applique pas. C'est le théorème des accroissements finis qu'il faut utiliser, et il donne f′(c)=4f'(c)=4. »

0,511,522,533,544,5246810f(1) = 1f(3) = 9pas de tangente horizontale
f(1)≠f(3)f(1)\neq f(3) : la corde monte, et x2x^{2} n'a aucune tangente horizontale dans ]1 ;3[]1\,;3[. Rolle ne dit rien ; les accroissements finis donnent une tangente de pente 44.

Pourquoi : Sur [1 ;3][1\,;3], f′(x)=2xf'(x)=2x ne s'annule jamais : la conclusion de Rolle est ici carrément FAUSSE, ce qui montre que la troisième hypothèse n'est pas décorative.

2. Passer sur la dérivabilité parce que la fonction « a l'air lisse »

toute la question, et la crédibilité de la copie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=∣x∣f(x)=|x| vérifie f(−1)=f(1)=1f(-1)=f(1)=1 et elle est continue, donc Rolle donne un cc avec f′(c)=0f'(c)=0. »

Ce qu'il faut écrire

« ff n'est pas dérivable en 00, qui est intérieur à [−1 ;1][-1\,;1] : l'hypothèse 2 tombe, et de fait f′f' vaut −1-1 ou +1+1 partout où elle existe, jamais 00. »

−2−1,5−1−0,50,511,52−1−0,50,511,52f(−1) = 1f(1) = 1coin : pas dérivable
Toutes les hypothèses de Rolle sauf une : ∣x∣|x| est continue sur [−1 ;1][-1\,;1] et prend la même valeur aux deux bornes, mais elle n'est pas dérivable en 00, et aucun point n'a de tangente horizontale.

Pourquoi : Une seule hypothèse manquante suffit à rendre la conclusion fausse. Ce contre-exemple est le plus demandé en examen, précisément parce qu'il tient en un dessin.

3. Conclure que le cc est unique

1 point, et souvent la question suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Par Rolle, il existe UN SEUL cc tel que f′(c)=0f'(c)=0. »

Ce qu'il faut écrire

« Par Rolle, il existe AU MOINS UN cc tel que f′(c)=0f'(c)=0. » L'unicité, si l'énoncé la demande, se démontre à part, par la stricte monotonie de f′f'.

12345678910−1,5−1−0,50,511,5trois c
sin⁡0=sin⁡3π=0\sin 0=\sin 3\pi=0 : Rolle promet AU MOINS un cc, et la courbe en a trois, en π2\frac{\pi}{2}, 3π2\frac{3\pi}{2} et 5π2\frac{5\pi}{2}. L'unicité est une autre question.

Pourquoi : Une fonction peut avoir dix tangentes horizontales entre aa et bb : f(x)=sin⁡(4πx)f(x)=\sin(4\pi x) sur [0 ;1][0\,;1] en a quatre. Le théorème compte au moins un cc, jamais exactement un.

4. Prétendre que le théorème donne la valeur de cc

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Par le théorème des accroissements finis, c=a+b2c=\frac{a+b}{2}. »

Ce qu'il faut écrire

« Le théorème garantit l'existence de cc; pour l'obtenir il faut RÉSOUDRE f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, ce qui n'est pas toujours possible. »

−0,50,511,522,5−2−11234567milieu : pente 2c : pente 3
Sur x3−xx^{3}-x, le milieu 11 donne une tangente de pente 22 (rouge), qui n'est pas parallèle à la corde. Le bon c=23c=\frac{2}{\sqrt{3}} (vert) se trouve en résolvant f′(c)=3f'(c)=3.

Pourquoi : Le milieu ne convient que pour un polynôme du second degré, par hasard de symétrie. Sur f(x)=x3−xf(x)=x^{3}-x dans [0 ;2][0\,;2], c=23≈1,15c=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1{,}15 et non 11.

5. Déclarer une fonction constante sur un domaine en deux morceaux

toute la question, et la même erreur reviendra en calcul intégral

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′(x)=0f'(x)=0 pour tout x≠0x\neq 0, donc ff est constante sur R∗\mathbb{R}^{*}. »

Ce qu'il faut écrire

« ff est constante SUR CHAQUE intervalle de son domaine. La fonction qui vaut 11 sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ et −1-1 sur ]−∞ ;0[\left]-\infty\,;0\right[ a une dérivée nulle et n'est pas constante. »

−3−2−1123−2−112f = 1f = −1
f′=0f'=0 partout sur R∗\mathbb{R}^{*}, et pourtant ff vaut 11 à droite et −1-1 à gauche : elle est constante sur CHAQUE intervalle, pas sur le domaine entier.

Pourquoi : La conséquence « f′=0f'=0 donc ff constante » se démontre PAR les accroissements finis, appliqués entre deux points de l'intervalle. Sans intervalle, on ne peut relier les deux points.

6. Confondre la conclusion de Rolle avec celle du TVI

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Par Rolle, il existe cc tel que f(c)=0f(c)=0. »

Ce qu'il faut écrire

« Par Rolle, il existe cc tel que f′(c)=0f'(c)=0. » Le TVI, lui, parle bien de f(c)=0f(c)=0, mais il demande un changement de SIGNE, pas une égalité aux bornes.

Pourquoi : Les deux théorèmes se ressemblent dans leur formulation et diffèrent dans leur objet : le TVI porte sur les valeurs de ff, Rolle sur celles de f′f'. Relire la conclusion écrite avant de tourner la page.

7. Borner f′f' en un seul point pour appliquer l'inégalité

2 points, et une inégalité fausse en général

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′(0)=1f'(0)=1, donc ∣f(b)−f(a)∣≤∣b−a∣\left|f(b)-f(a)\right|\leq\left|b-a\right|. »

Ce qu'il faut écrire

« ∣f′(x)∣≤1\left|f'(x)\right|\leq 1 POUR TOUT xx de [a ;b][a\,;b], donc ∣f(b)−f(a)∣≤∣b−a∣\left|f(b)-f(a)\right|\leq\left|b-a\right|. »

Pourquoi : L'inégalité des accroissements finis majore par le maximum de ∣f′∣\left|f'\right| sur TOUT l'intervalle. Une borne locale ne dit rien de ce que la dérivée fait ailleurs.

8. Justifier la continuité par « c'est évident »

1 point de rigueur, à chaque application

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ff est évidemment continue et dérivable, donc Rolle s'applique. »

Ce qu'il faut écrire

« ff est un polynôme, donc continue et dérivable sur R\mathbb{R}, en particulier sur [a ;b][a\,;b] et sur ]a ;b[\left]a\,;b\right[. »

Pourquoi : Le correcteur cherche la RAISON, pas l'affirmation : polynôme, quotient dont le dénominateur ne s'annule pas, composée de fonctions continues. C'est le point le plus facile du chapitre et le plus souvent perdu.

Quelle méthode choisir

Quel théorème selon le verbe de l'énoncé

Les quatre théorèmes de ce bloc se ressemblent. C'est l'expression exacte de l'énoncé qui désigne celui qu'il faut, et le choix se fait avant tout calcul.

  • Si « montrer que l'équation admet une solution », « qu'il existe une racine » → théorème des valeurs intermédiaires, avec le changement de signe explicite

    Exemple : x3+x−1=0x^{3}+x-1=0 sur [0 ;1][0\,;1], car f(0)=−1f(0)=-1 et f(1)=1f(1)=1

  • Si « montrer qu'il existe cc tel que f′(c)=0f'(c)=0 », avec f(a)=f(b)f(a)=f(b) → théorème de Rolle, ses trois hypothèses vérifiées une par une

    Exemple : f(x)=x2−4x+3f(x)=x^{2}-4x+3 sur [1 ;3][1\,;3], où f(1)=f(3)=0f(1)=f(3)=0

  • Si « il existe un instant où la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne », ou « une tangente parallèle à la corde » → théorème des accroissements finis

    Exemple : le radar tronçon : une vitesse moyenne de 115115 prouve un dépassement

  • Si « encadrer », « majorer ∣f(b)−f(a)∣\left|f(b)-f(a)\right| », « montrer une inégalité » → inégalité des accroissements finis, avec une borne valable sur TOUT l'intervalle

    Exemple : ∣sin⁡a−sin⁡b∣≤∣a−b∣\left|\sin a-\sin b\right|\leq\left|a-b\right| car ∣cos⁡∣≤1\left|\cos\right|\leq 1

  • Si « montrer que ff est constante » ou « que f=g+Cf=g+C » → montrer f′=0f'=0, ou f′=g′f'=g', SUR UN INTERVALLE

    Exemple : arctan⁡x+arctan⁡1x\arctan x+\arctan\frac{1}{x} est constante sur chacun des deux intervalles, avec deux constantes différentes

    Vérifier que le domaine est bien un intervalle fait partie de la démonstration : c'est là que le point se joue.

  • Si « une UNIQUE solution » → TVI pour l'existence, puis stricte monotonie pour l'unicité, en deux phrases séparées

Si l'énoncé mélange les deux, par exemple « montrer que f′f' s'annule au moins deux fois », on applique Rolle DEUX fois, sur deux sous-intervalles délimités par trois points où ff prend la même valeur.

Que faire quand une hypothèse manque

Avant de conclure qu'un théorème ne s'applique pas, on regarde LAQUELLE des hypothèses tombe : certaines se réparent, d'autres non.

  • Si f(a)≠f(b)f(a)\neq f(b) → Rolle tombe, mais les accroissements finis s'appliquent : la conclusion devient f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

    Exemple : x2x^{2} sur [1 ;3][1\,;3] donne f′(c)=4f'(c)=4, donc c=2c=2

  • Si ff n'est pas dérivable en un point INTÉRIEUR → rien à faire, la conclusion peut être fausse; c'est le contre-exemple ∣x∣|x|

    Exemple : ∣x∣|x| sur [−1 ;1][-1\,;1] n'a aucune tangente horizontale

  • Si ff n'est pas dérivable seulement AUX BORNES → aucun problème, l'hypothèse 2 ne porte que sur l'intervalle ouvert

    Exemple : 1−x2\sqrt{1-x^{2}} sur [−1 ;1][-1\,;1], dont la dérivée explose en ±1\pm 1

    C'est exactement la raison pour laquelle l'énoncé du théorème distingue fermé et ouvert.

  • Si ff n'est pas continue en une borne → le théorème tombe : une fonction qui saute à l'arrivée peut n'avoir aucune tangente horizontale

    Exemple : f(x)=xf(x)=x sur [0 ;1[[0\,;1[ prolongée par f(1)=0f(1)=0

  • Si l'intervalle n'est pas borné → on applique le théorème sur un sous-intervalle fermé, puis on passe à la limite

    Exemple : montrer qu'une fonction de dérivée nulle sur R\mathbb{R} est constante

Une hypothèse est vérifiée en la NOMMANT et en donnant sa raison. « ff est continue car c'est un quotient de polynômes dont le dénominateur ne s'annule pas sur [a ;b][a\,;b] » vaut le point; « ff est continue » ne le vaut pas.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Appliquer les accroissements finis, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de montrer qu'il existe un instant, une abscisse ou un point où la dérivée prend une valeur donnée.

  1. 1 Nommer la fonction et l'intervalle : « Posons f(x)=x3−xf(x)=x^{3}-x sur [0 ;2][0\,;2]. »
  2. 2 Justifier la continuité PAR SA RAISON : « ff est un polynôme, donc continue sur [0 ;2][0\,;2]. »
  3. 3 Justifier la dérivabilité sur l'intervalle OUVERT : « ff est dérivable sur ]0 ;2[\left]0\,;2\right[, de dérivée f′(x)=3x2−1f'(x)=3x^{2}-1. »
  4. 4 Calculer le taux d'accroissement et l'écrire : « f(2)−f(0)2−0=6−02=3\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{6-0}{2}=3. »
  5. 5 Conclure avec la phrase type, en nommant le théorème et en plaçant cc dans l'intervalle OUVERT.

Phrase de conclusion

ff étant continue sur [0 ;2][0\,;2] et dérivable sur ]0 ;2[\left]0\,;2\right[, le théorème des accroissements finis garantit l'existence d'au moins un c∈]0 ;2[c\in\left]0\,;2\right[ tel que f′(c)=3f'(c)=3.

Le piège : Écrire c∈[0 ;2]c\in[0\,;2] au lieu de c∈]0 ;2[c\in\left]0\,;2\right[. Le cc est toujours intérieur, et c'est le détail que le correcteur relève systématiquement parce qu'il prouve que l'énoncé a été lu.

Barème : En général 1 point pour la continuité justifiée, 1 point pour la dérivabilité sur l'ouvert, 1 point pour le taux d'accroissement, 1 point pour la conclusion nommant le théorème.

Démontrer une inégalité par l'inégalité des accroissements finis

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de majorer un écart, d'encadrer une valeur approchée, ou de montrer une inégalité du type ∣f(a)−f(b)∣≤k∣a−b∣|f(a)-f(b)|\leq k|a-b|.

  1. 1 Identifier la fonction ff et les deux points, même quand l'énoncé ne les nomme pas : « Posons f(t)=sin⁡tf(t)=\sin t, et soient a<ba<b deux réels. »
  2. 2 Vérifier les hypothèses sur [a ;b][a\,;b] : « sin⁡\sin est continue et dérivable sur R\mathbb{R}. »
  3. 3 Majorer ∣f′∣\left|f'\right| sur TOUT l'intervalle, avec la raison : « ∣f′(t)∣=∣cos⁡t∣≤1\left|f'(t)\right|=\left|\cos t\right|\leq 1 pour tout tt. »
  4. 4 Appliquer l'inégalité et écrire le résultat : « donc ∣sin⁡b−sin⁡a∣≤1×∣b−a∣\left|\sin b-\sin a\right|\leq 1\times\left|b-a\right|. »
  5. 5 Conclure en revenant aux notations de l'énoncé, et signaler le cas d'égalité s'il y en a un.

Phrase de conclusion

Pour tous réels aa et bb, ∣sin⁡a−sin⁡b∣≤∣a−b∣\left|\sin a-\sin b\right|\leq\left|a-b\right|, l'égalité n'étant atteinte que pour a=ba=b.

Le piège : Majorer ∣f′∣\left|f'\right| par sa valeur en un point particulier. La borne doit valoir sur l'intervalle entier, sinon l'inégalité obtenue est fausse dès que la dérivée dépasse cette valeur ailleurs.

Barème : 1 point pour les hypothèses, 1 point pour la majoration de la dérivée sur tout l'intervalle, 1 point pour la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Les accroissements finis sur f(x)=x3−xf(x)=x^{3}-x, jusqu'à la valeur exacte de cc

Soit f(x)=x3−xf(x)=x^{3}-x sur l'intervalle [0 ;2][0\,;2].

1. Vérifier les hypothèses du théorème des accroissements finis.

2. Déterminer toutes les valeurs de cc dont le théorème garantit l'existence.

−0,50,511,522,5−2−11234567(2 ; 6)corde, pente 3
La corde de (0 ;0)(0\,;0) à (2 ;6)(2\,;6) a pour pente 33 : le théorème garantit au moins un point de ]0 ;2[]0\,;2[ où la tangente lui est PARALLÈLE. Il ne dit pas lequel.

Étape 1

ff est un polynôme, donc continue sur [0 ;2][0\,;2] et dérivable sur ]0 ;2[\left]0\,;2\right[, avec f′(x)=3x2−1f'(x)=3x^{2}-1.

Pourquoi

Une seule phrase, mais elle porte deux points du barème et donne la RAISON. « Polynôme » est le mot que le correcteur cherche : il justifie les deux hypothèses d'un coup.

Étape 2

f(0)=0f(0)=0 et f(2)=8−2=6f(2)=8-2=6, donc le taux d'accroissement vaut f(2)−f(0)2−0=62=3\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}=\dfrac{6}{2}=3.

Pourquoi

On écrit le quotient AVANT de le simplifier : c'est lui qui sera égalé à f′(c)f'(c), et l'oubli de la division par b−ab-a est l'erreur numéro un de la question.

Étape 3

Le théorème des accroissements finis garantit donc l'existence d'au moins un c∈]0 ;2[c\in\left]0\,;2\right[ tel que f′(c)=3f'(c)=3.

Pourquoi

On énonce la conclusion AVANT de chercher cc. Le point du théorème est acquis même si la résolution qui suit échoue, et c'est une garantie que beaucoup de copies perdent en inversant l'ordre.

Étape 4

3c2−1=33c^{2}-1=3 donne c2=43c^{2}=\dfrac{4}{3}, donc c=±23c=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}. Seule la racine positive c=23=233≈1,155c=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}155 appartient à ]0 ;2[\left]0\,;2\right[.

−0,50,511,522,5−2−11234567c ≈ 1,155

Pourquoi

L'équation du second degré donne deux racines et l'intervalle en élimine une. Écarter la racine négative EXPLICITEMENT vaut un point : c'est la seule trace que l'intervalle a été relu.

Étape 5

Vérification : f′ ⁣(23)=3×43−1=4−1=3f'\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=3\times\dfrac{4}{3}-1=4-1=3, et 0<1,155<20<1{,}155<2.

Pourquoi

Deux contrôles indépendants et immédiats : la valeur de la dérivée, puis l'appartenance à l'intervalle ouvert. Ils attrapent aussi bien une erreur de calcul qu'une racine mal choisie.

Étape 6

Remarque : le milieu 0+22=1\dfrac{0+2}{2}=1 ne convient pas, car f′(1)=2≠3f'(1)=2\neq 3.

Pourquoi

Le milieu ne fonctionne que pour un polynôme du second degré. Le noter ici désamorce l'erreur la plus répandue du chapitre, qui consiste à croire le théorème plus généreux qu'il n'est.

Conclusion rédigée

ff étant continue sur [0 ;2][0\,;2] et dérivable sur ]0 ;2[\left]0\,;2\right[, le théorème des accroissements finis garantit l'existence d'un c∈]0 ;2[c\in\left]0\,;2\right[ tel que f′(c)=3f'(c)=3; ici ce cc est unique et vaut 233≈1,155\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}155.

L'erreur classique sur cet exercice : Résoudre f′(c)=6f'(c)=6 au lieu de f′(c)=3f'(c)=3, en prenant la différence f(2)−f(0)f(2)-f(0) pour le taux d'accroissement. On obtient alors c=73≈1,53c=\sqrt{\frac{7}{3}}\approx 1{,}53, qui appartient bien à l'intervalle : rien ne signale l'erreur, sauf le contrôle de la pente de la corde.

À savoir par cœur

  • • Rolle : continue sur le FERMÉ, dérivable sur l'OUVERT, f(a)=f(b)f(a)=f(b). Conclusion : f′(c)=0f'(c)=0 pour au moins un cc INTÉRIEUR.
  • • Accroissements finis : mêmes hypothèses sans la troisième, conclusion f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
  • • Les deux théorèmes donnent l'EXISTENCE, jamais l'unicité et jamais la valeur de cc.
  • • Une hypothèse se justifie par sa RAISON : « polynôme, donc continue », pas « évidemment continue ».
  • • m≤f′≤Mm\leq f'\leq M sur [a ;b][a\,;b] donne m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a), avec une borne valable PARTOUT.
  • • f′=0f'=0 sur un INTERVALLE équivaut à ff constante. Sur un domaine en deux morceaux, c'est faux.
  • • Le TVI parle de f(c)f(c), Rolle parle de f′(c)f'(c) : relire la conclusion écrite avant de rendre.
  • • Existence par le TVI, unicité par la stricte monotonie : deux phrases, jamais une.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le théorème de Rolle et celui des accroissements finis ?

Rolle demande en plus que la fonction prenne la même valeur aux deux bornes, et sa conclusion est que la dérivée s'annule quelque part. Le théorème des accroissements finis supprime cette condition et conclut que la dérivée égale la pente de la corde. Rolle est donc le cas particulier où la corde est horizontale.

Pourquoi l'intervalle est-il fermé pour la continuité et ouvert pour la dérivabilité ?

Parce que la conclusion ne concerne qu'un point intérieur, et que la démonstration n'a besoin de la dérivée qu'à l'intérieur. Cette asymétrie permet d'appliquer le théorème à des fonctions dont la dérivée devient infinie aux bornes, comme la racine de un moins x au carré sur moins un, un.

Le théorème de Rolle donne-t-il un seul point c ?

Non. Il garantit l'existence d'au moins un point où la dérivée s'annule, et il peut y en avoir plusieurs, voire une infinité. Écrire un seul c coûte un point à chaque application. Si l'énoncé demande l'unicité, elle se démontre séparément, par la stricte monotonie de la dérivée.

Comment trouver la valeur de c dans le théorème des accroissements finis ?

En résolvant l'équation qui égale la dérivée au taux d'accroissement, c'est à dire à la différence des valeurs aux bornes divisée par la longueur de l'intervalle. On garde ensuite les seules racines situées dans l'intervalle ouvert. Le théorème lui-même ne fournit jamais cette valeur, et le milieu de l'intervalle ne convient qu'exceptionnellement.

Une dérivée nulle prouve-t-elle que la fonction est constante ?

Seulement sur un intervalle. Si le domaine est formé de plusieurs morceaux disjoints, la fonction est constante sur chacun mais les constantes peuvent différer : la fonction qui vaut un sur les réels positifs et moins un sur les négatifs a une dérivée nulle partout où elle est définie, et elle n'est pas constante.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Rolle et les accroissements finis

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 16 exercices corrigés
  • 160 points
  • 225 minutes
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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/nya-theoremes-valeurs-moyennes. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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