Exercices corrigés : l'intégration élémentaire (201-NYA)

a) Première intégrale : la linéarité permet de traiter terme à terme, et la règle de puissance renversée donne $\int 6x^{2}dx=6\cdot\frac{x^{3}}{3}=2x^{3}$, $\int -8x^{3}dx=-8\cdot\frac{x^{4}}{4}=-2x^{4}$ et $\int 5\,dx=5x$. Réponse : $2x^{3}-2x^{4}+5x+C$. Deuxième intégrale : on réécrit $\frac{1}{x^{5}}=x^{-5}$, puis $\int x^{-5}dx=\frac{x^{-4}}{-4}=-\frac{1}{4x^{4}}+C$. L'exposant monte de $-5$ à $-4$ : il AUGMENTE de 1, même s'il reste négatif, et c'est là qu'une copie sur trois écrit $-6$. Troisième intégrale : $\sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}$, donc $\int x^{2/3}dx=\frac{x^{5/3}}{5/3}=\frac{3}{5}x^{5/3}+C$. Diviser par $\frac{5}{3}$, c'est multiplier par $\frac{3}{5}$ : la fraction se retourne, elle ne se recopie pas.

b) Les deux termes ne relèvent surtout PAS de la même ligne. Le premier, $\frac{4}{x}=4x^{-1}$, porte exactement l'exposant que la règle de puissance interdit, puisqu'elle produirait une division par $n+1=0$. C'est la ligne du logarithme qui le sert : $\int\frac{dx}{x}=\ln\left|x\right|+C$, donc $\int\frac{4}{x}dx=4\ln\left|x\right|+C$. Le second, $-\frac{4}{x^{2}}=-4x^{-2}$, porte un exposant ordinaire : $\int -4x^{-2}dx=-4\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=4x^{-1}=\frac{4}{x}$. Réponse : $4\ln\left|x\right|+\frac{4}{x}+C$. Le piège est visuel : deux quotients de même allure, deux formules sans aucun rapport. La valeur absolue dans le logarithme n'est pas une coquetterie, elle rend la formule valable pour $x<0$ aussi.

c) Pour le a) : $\left(\frac{3}{5}x^{5/3}\right)'=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}x^{2/3}=x^{2/3}=\sqrt[3]{x^{2}}$, et l'on retombe sur l'intégrande : c'est la règle de puissance, celle de la première semaine. Pour le b) : $\left(4\ln\left|x\right|+\frac{4}{x}\right)'=\frac{4}{x}-\frac{4}{x^{2}}$, en utilisant $\left(\ln\left|x\right|\right)'=\frac{1}{x}$ et $\left(4x^{-1}\right)'=-4x^{-2}$ ✓. Retenez ce geste : en calcul différentiel, vous ne disposez d'aucun autre moyen de contrôle, ni théorème fondamental ni valeur numérique à comparer. Dériver sa réponse coûte dix secondes et attrape la grande majorité des fautes d'examen.

d) On dérive la réponse proposée : $\left(\ln\left|x^{5}\right|\right)'=\frac{5x^{4}}{x^{5}}=\frac{5}{x}$, par la règle de chaîne. Or l'intégrande était $\frac{1}{x^{5}}$. Les deux ne se ressemblent même pas, donc la réponse est fausse, et il n'a pas fallu connaître la bonne pour le dire. L'étudiant a appliqué la ligne du logarithme parce qu'il a vu un quotient, alors que cette ligne ne sert QUE l'exposant $-1$. La confusion coûte typiquement trois points sur dix à l'examen, et elle se repère toujours par la même vérification.

a) On dérive les deux candidates. $F'(x)=2\tan x\cdot\sec^{2}x$ par la règle de puissance et la chaîne, puisque $\left(\tan x\right)'=\sec^{2}x$. $G'(x)=2\sec x\cdot\left(\sec x\tan x\right)=2\sec^{2}x\tan x$, puisque $\left(\sec x\right)'=\sec x\tan x$. Les deux dérivées valent $f$, donc les deux fonctions sont bien des primitives de $f$ ✓. Elles ne se ressemblent pourtant pas. L'identité $\sec^{2}x-\tan^{2}x=1$ règle l'affaire : $G-F=1$, la constante qui les sépare vaut exactement $1$. Vérification numérique en $x=\frac{\pi}{4}$ : $F=1$ et $G=2$ ✓. Deux réponses d'allure très différente peuvent donc être justes toutes les deux, et c'est le cas le plus fréquent de dispute autour d'une copie.

b) Théorème : si $F'=G'$ sur un INTERVALLE $I$, alors $F-G$ est constante sur $I$. Il découle du théorème des accroissements finis, vu au milieu de la session : on pose $H=F-G$, on a $H'=0$ partout sur $I$, donc pour deux points $a<b$ de $I$ il existe $c$ entre eux tel que $H(b)-H(a)=H'(c)(b-a)=0$, donc $H(b)=H(a)$ pour tout couple de points, c'est-à-dire $H$ constante. Le mot INTERVALLE porte tout le poids : sur $\mathbb{R}^{*}$, qui est une réunion de deux intervalles, $\ln\left|x\right|+1$ à gauche et $\ln\left|x\right|+5$ à droite ont la même dérivée sans différer d'une seule constante.

c) On intègre terme à terme : $\int 4x^{3}dx=x^{4}$ et $\int -2x^{-2}dx=-2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=\frac{2}{x}$. La famille est $F(x)=x^{4}+\frac{2}{x}+C$. La condition $F(1)=7$ donne $1+2+C=7$, donc $C=4$ et $F(x)=x^{4}+\frac{2}{x}+4$. Vérification par dérivation : $F'(x)=4x^{3}-\frac{2}{x^{2}}$ ✓, et vérification du point : $F(1)=1+2+4=7$ ✓. Les DEUX vérifications comptent : la première contrôle l'intégration, la seconde contrôle la constante, et une erreur de constante laisse la première parfaitement verte. À titre de contrôle supplémentaire, $F(2)=16+1+4=21$.

d) $y'=3\sqrt{x}=3x^{1/2}$ donne $y=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=2x^{3/2}+C$. La condition $y(4)=10$ donne $2\cdot 8+C=10$, donc $C=-6$ et $y=2x^{3/2}-6$. Aucune des trois courbes de la figure n'est solution : elles portent $C=-12$, $C=-3$ et $C=6$, et le point $(4\,;10)$ se lit entre les deux premières, exactement comme le montre la figure. Première vérification, par dérivation : $\left(2x^{3/2}\right)'=2\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=3\sqrt{x}$ ✓. Seconde vérification, par le point : $2\cdot 4^{3/2}-6=16-6=10$ ✓. Contrôle libre : $y(9)=2\cdot 27-6=48$. Une équation de la forme $y'=f(x)$ avec une condition est la plus simple des équations différentielles, et tout le chapitre ne fait que la résoudre.

a) La table ne contient pas $\tan^{2}$, mais elle contient $\sec^{2}$, qui est la dérivée de $\tan$. L'identité $1+\tan^{2}x=\sec^{2}x$ donne $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$, et l'intégrale devient une somme de deux lignes connues : $\int\left(\sec^{2}x-1\right)dx=\tan x-x+C$. Vérification par dérivation : $\left(\tan x-x\right)'=\sec^{2}x-1=\tan^{2}x$ ✓. Contrôle numérique en $x=\frac{\pi}{4}$ : la primitive vaut $1-\frac{\pi}{4}\approx 0{,}21$. Le piège de la question est de vouloir intégrer $\tan^{2}$ comme une puissance, ce qui donnerait $\frac{\tan^{3}x}{3}$ : cette réponse se réfute en une dérivation, car la chaîne ferait apparaître un $\sec^{2}x$ parasite.

b) Un quotient dont le numérateur a le même degré que le dénominateur se divise d'abord. Ici la division est immédiate : $\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{\left(x^{2}+1\right)-1}{x^{2}+1}=1-\frac{1}{x^{2}+1}$. Les deux morceaux sont alors des lignes de la table, la seconde étant celle de l'arc tangente : $\int\frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=x-\arctan x+C$. Vérification : $\left(x-\arctan x\right)'=1-\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$ ✓. En $x=1$ la primitive vaut $1-\frac{\pi}{4}\approx 0{,}21$. Ce qu'il ne faut SURTOUT pas écrire, c'est un quotient d'intégrales : $\int\frac{u}{v}\neq\frac{\int u}{\int v}$, et une dérivation de ce faux résultat le montre en une ligne.

c) On développe le carré avant tout : $\left(\sqrt{x}+1\right)^{2}=x+2\sqrt{x}+1$, puis on divise chaque terme par $x$ : $\frac{x+2\sqrt{x}+1}{x}=1+2x^{-1/2}+\frac{1}{x}$. Chaque morceau est maintenant une ligne de la table : $\int 1\,dx=x$, $\int 2x^{-1/2}dx=2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=4\sqrt{x}$ et $\int\frac{dx}{x}=\ln x$, le logarithme n'ayant pas besoin de valeur absolue puisque $x>0$. Réponse : $x+4\sqrt{x}+\ln x+C$. Vérification : $1+\frac{4}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x}=1+\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}$ ✓, ce qui est bien le développement obtenu. En $x=1$ et avec $C=0$, la primitive vaut $1+4+0=5$.

d) Première façon, développer : $(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$, donc l'intégrale vaut $\frac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x+C$. Seconde façon, renverser la chaîne : l'intérieur $2x-3$ a pour dérivée $2$, donc $\int(2x-3)^{2}dx=\frac{(2x-3)^{3}}{3\cdot 2}+C'=\frac{(2x-3)^{3}}{6}+C'$. Les deux réponses ne se contredisent pas : en développant la seconde, $\frac{8x^{3}-36x^{2}+54x-27}{6}=\frac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x-4{,}5$. Elles diffèrent donc de la constante $-4{,}5$, ce qui est autorisé et attendu, puisque deux primitives d'une même fonction sur un intervalle ne diffèrent que d'une constante. Le correcteur qui voit une réponse inattendue la dérive : c'est l'unique arbitrage.

a) Deux lignes de la table, prises séparément. Pour la première, $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$ est la seule fonction qui soit sa propre dérivée, donc $\int 5e^{x}dx=5e^{x}$. Pour la seconde, $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ est exactement la dérivée de $\arcsin x$, donc $\int-\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-3\arcsin x$. Réponse : $5e^{x}-3\arcsin x+C$, sur $\left]-1\,;1\right[$ où le radical est défini. Vérification : $5e^{x}-\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ✓. Le piège classique est de confondre $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$, qui donne un arc sinus, avec $\frac{1}{1+x^{2}}$, qui donne un arc tangente : le radical et le signe moins sous la racine distinguent les deux en un coup d'oeil.

b) Pour le premier terme, $\int\sin x\,dx=-\cos x$, donc $\int 4\sin x\,dx=-4\cos x$. Pour le second, $\sec^{2}x$ est la dérivée de $\tan x$, donc $\int-\sec^{2}x\,dx=-\tan x$. Réponse : $-4\cos x-\tan x+C$. Vérification par dérivation : $4\sin x-\sec^{2}x$ ✓. En $x=0$ avec $C=0$ : $-4\cdot 1-0=-4$. Cette valeur est un contrôle utile, car une faute de signe sur le cosinus la ferait passer à $+4$ : une seule évaluation en un point bien choisi suffit souvent à séparer une réponse juste d'une réponse de signe opposé.

c) Le premier terme est la ligne de l'arc tangente : $\int\frac{6}{1+x^{2}}dx=6\arctan x$. Le second est la ligne du logarithme : $\int-\frac{2}{x}dx=-2\ln\left|x\right|$. Réponse : $6\arctan x-2\ln\left|x\right|+C$. Vérification par dérivation : $\left(6\arctan x\right)'=\frac{6}{1+x^{2}}$ et $\left(-2\ln\left|x\right|\right)'=-\frac{2}{x}$, donc la somme redonne l'intégrande ✓. Contrôle numérique en $x=1$ : $6\cdot\frac{\pi}{4}-2\ln 1=\frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71$. Le piège ici est d'intégrer $\frac{6}{1+x^{2}}$ en logarithme, sous prétexte qu'il y a un quotient : mais $\ln\left(1+x^{2}\right)$ a pour dérivée $\frac{2x}{1+x^{2}}$, et le $2x$ parasite dénonce l'erreur immédiatement.

d) On dérive la réponse proposée : $\left(4\cos x\right)'=-4\sin x$. On obtient l'opposé de l'intégrande, donc la réponse est fausse, et la bonne est $-4\cos x+C$. L'étudiant a lu la ligne $\left(\sin x\right)'=\cos x$ et l'a renversée mécaniquement en croyant que le sinus donne le cosinus dans les deux sens. La table est dissymétrique : dériver le cosinus produit un signe moins, donc intégrer le sinus le produit aussi. Cette faute vaut en général la moitié des points de la question, alors que la vérification qui l'attrape tient en une ligne et en cinq secondes. En doute sur un signe, évaluez en $x=0$ : $\left(-\cos x\right)$ y vaut $-1$ et croît, ce qui est cohérent avec un intégrande $\sin x$ positif juste après $0$.

a) On pose $u=x^{2}+3$, donc $du=2x\,dx$. Le facteur $8x\,dx$ vaut alors $4\,du$, et l'intégrale devient $\int 4u^{3}du=u^{4}+C$. Retour en $x$ : $\left(x^{2}+3\right)^{4}+C$. Vérification par dérivation : $4\left(x^{2}+3\right)^{3}\cdot 2x=8x\left(x^{2}+3\right)^{3}$ ✓, on retombe exactement sur l'intégrande. Contrôle numérique en $x=1$ avec $C=0$ : $4^{4}=256$. Notez qu'on ne cherche pas $u'$ à l'identique, mais $u'$ À UN FACTEUR CONSTANT PRÈS : ici $8x$ est $4$ fois $2x$, et sortir une constante de l'intégrale est toujours permis.

b) On pose $u=2+\sin x$, donc $du=\cos x\,dx$, et le numérateur EST exactement $du$. L'intégrale devient $\int\frac{du}{u}=\ln\left|u\right|+C$, soit $\ln\left(2+\sin x\right)+C$. La valeur absolue est inutile parce que $\sin x\in\left[-1\,;1\right]$, donc $2+\sin x\in\left[1\,;3\right]$ : l'argument du logarithme est toujours positif, et même minoré par $1$. Vérification : $\left(\ln\left(2+\sin x\right)\right)'=\frac{\cos x}{2+\sin x}$ ✓. Contrôle numérique en $x=0$ : $\ln 2\approx 0{,}69$. Écrire la valeur absolue ne serait pas une faute, seulement une précaution inutile qu'il faut savoir justifier.

c) On pose $u=\sqrt{x}$, donc $du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}$, c'est-à-dire $\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\,du$. L'intégrale devient $\int e^{u}\cdot 2\,du=2e^{u}+C$, et le retour en $x$ donne $2e^{\sqrt{x}}+C$. Vérification par dérivation : $2e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ ✓. Contrôle numérique en $x=1$ : $2e\approx 5{,}44$. C'est le cas le plus instructif du lot : la dérivée de l'intérieur, $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, est cachée dans un DÉNOMINATEUR, et l'on ne la reconnaît qu'en se rappelant la dérivée de la racine. Un intégrande qui contient une fonction et son dénominateur bizarre est presque toujours une substitution déguisée.

d) On pose $u=\arctan x$, donc $du=\frac{dx}{1+x^{2}}$, et là encore le reste de l'intégrande EST exactement $du$. L'intégrale devient $\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+C$, soit $\frac{\left(\arctan x\right)^{2}}{2}+C$. Vérification par dérivation : $\frac{2\arctan x}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{\arctan x}{1+x^{2}}$ ✓. Contrôle numérique en $x=1$ : $\frac{\left(\pi/4\right)^{2}}{2}\approx 0{,}31$. Le réflexe à installer est celui-ci : devant $\frac{1}{1+x^{2}}$ en facteur, on ne pense pas seulement à l'arc tangente comme résultat, on pense à l'arc tangente comme CANDIDAT $u$. La même remarque vaut pour $\frac{1}{x}$, qui appelle $u=\ln x$, et pour $\cos x$, qui appelle $u=\sin x$.

a) On pose $u=4-x^{2}$, donc $du=-2x\,dx$, c'est-à-dire $x\,dx=-\frac{1}{2}du$. L'intégrale devient $-\frac{1}{2}\int u^{1/2}du=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=-\frac{1}{3}u^{3/2}$, et le retour en $x$ donne $-\frac{1}{3}\left(4-x^{2}\right)^{3/2}+C$. Vérification par dérivation : $-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\left(4-x^{2}\right)^{1/2}\cdot(-2x)=x\sqrt{4-x^{2}}$ ✓. Valeur en $x=0$ avec $C=0$ : $-\frac{1}{3}\cdot 4^{3/2}=-\frac{8}{3}\approx -2{,}67$. Le facteur $-\frac{1}{2}$ est une CONSTANTE, donc il traverse l'intégrale sans difficulté : c'est le cas confortable, celui où $u'$ est présent au coefficient près.

b) On pose $u=7x$, donc $du=7\,dx$ et $dx=\frac{du}{7}$. L'intégrale devient $\frac{1}{7}\int\sec^{2}u\,du=\frac{1}{7}\tan u+C$, soit $\frac{1}{7}\tan(7x)+C$. Le coefficient $\frac{1}{7}$ vient de la dérivée de l'intérieur : en dérivant $\tan(7x)$, la chaîne fait sortir un $7$, et le $\frac{1}{7}$ est là pour l'annuler. Vérification : $\frac{1}{7}\cdot 7\sec^{2}(7x)=\sec^{2}(7x)$ ✓. Contrôle numérique : en $x=\frac{\pi}{28}$, $\tan\frac{\pi}{4}=1$ et la primitive vaut $\frac{1}{7}\approx 0{,}1429$. La faute la plus répandue est d'oublier ce coefficient et de répondre $\tan(7x)+C$, ce qui donne un intégrande sept fois trop grand.

c) On dérive : $\left(-\frac{1}{3}\left(4-x^{2}\right)^{3/2}\right)'=-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\left(4-x^{2}\right)^{1/2}\cdot(-2x)=x\sqrt{4-x^{2}}$. On retombe donc sur l'intégrande du a), pas sur celui du c) : il sort un facteur $x$ EN TROP. C'est exactement l'erreur de croire qu'on peut fabriquer le $x$ manquant. Or $\int\sqrt{4-x^{2}}\,dx$ n'a rien à voir : la substitution ne s'y applique pas, faute de $u'$, et sa primitive demande une substitution trigonométrique, technique du cours de calcul intégral qui suit. Retenez la frontière : sans $u'$ présent à une constante près, on ne substitue pas, on s'arrête.

d) On pose $u=x^{2}+9$, donc $du=2x\,dx$ et $x\,dx=\frac{1}{2}du$. L'intégrale devient $\frac{1}{2}\int u^{-1/2}du=\frac{1}{2}\cdot 2u^{1/2}=\sqrt{u}$, soit $\sqrt{x^{2}+9}+C$. Vérification par dérivation : $\left(\sqrt{x^{2}+9}\right)'=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+9}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}$ ✓. Contrôle numérique en $x=4$ avec $C=0$ : $\sqrt{25}=5$. Comparez avec le c) : ici le $x$ du numérateur est précisément ce qui rend la substitution possible, alors que $\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+9}}$, sans ce $x$, sort à nouveau du programme. Un seul facteur $x$ sépare une intégrale de trente secondes d'une intégrale d'une autre session.