Exercice 0.1 : Intégrer avec la table : douze primitives directes

Pour chaque fonction, trouvez une primitive $F$ en lisant la table des dérivées de droite à gauche, sans substitution, puis évaluez au point indiqué la primitive prise avec $C=0$ .

Une seule méthode pour les douze lignes : réécrire d'abord l'intégrande en SOMME de termes que la table sert (puissances de $x$ , développement d'un produit, division d'un quotient terme à terme, identité trigonométrique), puis intégrer terme par terme, et enfin vérifier en dérivant. La calculatrice, en mode radian, ne sert qu'à la valeur finale.

a) $f(x)=5x^{4}-6x^{2}+4x-3$ , puis $F(2)$ .
b) $f(x)=\frac{8}{x^{3}}+\frac{3}{x^{2}}$ , puis $F(2)$ .
c) $f(x)=6\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ , puis $F(4)$ .
d) $f(x)=3x^{2}-\frac{5}{x}$ , puis $F(-2)$ .
e) $f(x)=4e^{x}-7$ , puis $F(1)$ .
f) $f(x)=3\cos x-2\sin x$ , puis $F\left(\frac{\pi}{3}\right)$ .
g) $f(x)=2\sec^{2}x-\sec x\tan x$ , puis $F\left(\frac{\pi}{4}\right)$ .
h) $f(x)=\frac{8}{1+x^{2}}-\frac{5}{\sqrt{1-x^{2}}}$ , puis $F\left(\frac{1}{2}\right)$ .
i) $f(x)=x^{2}(x-3)^{2}$ , puis $F(2)$ .
j) $f(x)=\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)$ , puis $F(4)$ .
k) $f(x)=\frac{2x^{3}+x-6}{x^{2}}$ , puis $F(2)$ .
l) $f(x)=\cot^{2}x$ , puis $F\left(\frac{\pi}{4}\right)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

F(2)

b)

F(2)

c)

F(4)

d)

F(-2)

e)

F(1)

f)

F\left(\frac{\pi}{3}\right)

g)

F\left(\frac{\pi}{4}\right)

h)

F\left(\frac{1}{2}\right)

i)

F(2)

j)

F(4)

k)

F(2)

l)

F\left(\frac{\pi}{4}\right)

Voir la correction

Réponses

a) $F(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x$ ; $F(2)=18$
b) $F(x)=-\frac{4}{x^{2}}-\frac{3}{x}$ ; $F(2)=-\frac{5}{2}$
c) $F(x)=4x^{\frac{3}{2}}-3x^{\frac{2}{3}}$ ; $F(4)\approx 24{,}440$
d) $F(x)=x^{3}-5\ln\left|x\right|$ ; $F(-2)\approx-11{,}466$
e) $F(x)=4e^{x}-7x$ ; $F(1)=4e-7\approx 3{,}873$
f) $F(x)=3\sin x+2\cos x$ ; $F\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}+1\approx 3{,}598$
g) $F(x)=2\tan x-\sec x$ ; $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=2-\sqrt{2}\approx 0{,}586$
h) $F(x)=8\arctan x-5\arcsin x$ ; $F\left(\frac{1}{2}\right)\approx 1{,}091$
i) $F(x)=\frac{x^{5}}{5}-\frac{3x^{4}}{2}+3x^{3}$ ; $F(2)=\frac{32}{5}$
j) $F(x)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x$ ; $F(4)=\frac{16}{3}\approx 5{,}333$
k) $F(x)=x^{2}+\ln\left|x\right|+\frac{6}{x}$ ; $F(2)=7+\ln 2\approx 7{,}693$
l) $F(x)=-\cot x-x$ ; $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=-1-\frac{\pi}{4}\approx-1{,}785$

Le geste qui décide de tout se fait AVANT d'intégrer : écrire l'intégrande comme une somme de lignes de la table. Il n'existe ni règle du produit ni règle du quotient pour les primitives, donc un produit se développe, un quotient se divise, une racine devient une puissance, et $\cot^{2}$ passe par une identité.

a)

Terme à terme, l'exposant monte de un et l'on divise par le nouvel exposant : $F(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x$ . Donc $F(2)=32-16+8-6=18$ .

b)

$f(x)=8x^{-3}+3x^{-2}$ , donc $F(x)=8\cdot\frac{x^{-2}}{-2}+3\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{4}{x^{2}}-\frac{3}{x}$ . Donc $F(2)=-1-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$ . Piège : l'exposant $-3$ MONTE à $-2$ , il ne descend pas à $-4$ , et l'on divise par $-2$ , d'où les signes moins.

c)

$f(x)=6x^{\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{1}{3}}$ , donc $F(x)=6\cdot\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-2\cdot\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}=4x^{\frac{3}{2}}-3x^{\frac{2}{3}}$ . Donc $F(4)=4\times 8-3\sqrt[3]{16}\approx 32-7{,}560=24{,}440$ . Piège : diviser par un exposant fractionnaire, c'est multiplier par son inverse.

d)

La ligne du logarithme sert le terme en $\frac{1}{x}$ , la seule puissance que la règle de puissance refuse : $F(x)=x^{3}-5\ln\left|x\right|$ . Donc $F(-2)=-8-5\ln 2\approx-11{,}466$ . Piège : sans la valeur absolue, $\ln(-2)$ n'existe pas.

e)

$e^{x}$ est sa propre primitive : $F(x)=4e^{x}-7x$ . Donc $F(1)=4e-7\approx 3{,}873$ . Piège : traiter $e^{x}$ comme une puissance de $x$ et écrire $\frac{e^{x+1}}{x+1}$ .

f)

$\int\cos x\,dx=\sin x$ et $\int\sin x\,dx=-\cos x$ : $F(x)=3\sin x+2\cos x$ . Donc $F\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}+1\approx 3{,}598$ . Piège : le signe, $-2\sin x$ a pour primitive $+2\cos x$ .

g)

$\sec^{2}x$ est la dérivée de $\tan x$ , $\sec x\tan x$ celle de $\sec x$ : $F(x)=2\tan x-\sec x$ . Donc $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=2-\sqrt{2}\approx 0{,}586$ .

h)

Les deux lignes réciproques : $F(x)=8\arctan x-5\arcsin x$ , sur $\left]-1\,;1\right[$ . Donc $F\left(\frac{1}{2}\right)=8\arctan\frac{1}{2}-\frac{5\pi}{6}\approx 3{,}709-2{,}618=1{,}091$ .

i)

On développe : $x^{2}(x-3)^{2}=x^{2}\left(x^{2}-6x+9\right)=x^{4}-6x^{3}+9x^{2}$ , donc $F(x)=\frac{x^{5}}{5}-\frac{3x^{4}}{2}+3x^{3}$ . Donc $F(2)=\frac{32}{5}-24+24=\frac{32}{5}=6{,}4$ . Piège : intégrer chaque facteur séparément puis multiplier, ce qui n'a aucun sens.

j)

On développe : $\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=x-\sqrt{x}+2\sqrt{x}-2=x+\sqrt{x}-2$ , donc $F(x)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x$ . Donc $F(4)=8+\frac{16}{3}-8=\frac{16}{3}\approx 5{,}333$ .

k)

On divise terme à terme : $\frac{2x^{3}+x-6}{x^{2}}=2x+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^{2}}$ , donc $F(x)=x^{2}+\ln\left|x\right|+\frac{6}{x}$ . Donc $F(2)=4+\ln 2+3\approx 7{,}693$ . Piège : $\int-6x^{-2}dx=-6\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=+\frac{6}{x}$ , les deux signes moins se compensent.

l)

Aucune ligne ne sert $\cot^{2}$ , mais $1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$ donne $\cot^{2}x=\csc^{2}x-1$ , et $\csc^{2}x$ est l'opposé de la dérivée de $\cot x$ : $F(x)=-\cot x-x$ . Donc $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=-1-\frac{\pi}{4}\approx-1{,}785$ . Piège : oublier le signe moins de $(\cot x)'=-\csc^{2}x$ .

Contrôle : on DÉRIVE chaque $F$ trouvée et l'on doit retomber exactement sur $f$ ; à la machine, le taux $\frac{F(a+0{,}001)-F(a-0{,}001)}{0{,}002}$ doit donner $f(a)$ à un millième près. Un écart d'un facteur constant trahit une division oubliée, un écart de signe une ligne trigonométrique lue dans le mauvais sens.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 0.2 : Intégrer par substitution : dix primitives directes

Pour chaque fonction, trouvez une primitive $F$ par substitution, puis évaluez au point indiqué la primitive prise avec $C=0$ .

Une seule méthode pour les dix lignes : repérer la fonction intérieure $u$ dont la dérivée $u'$ est présente en facteur, à une constante près ; écrire $du=u'(x)\,dx$ et ajuster la constante ; intégrer en $u$ par une ligne de la table ; revenir en $x$ avant d'évaluer.

a) $f(x)=(4x-1)^{3}$ , puis $F(1)$ .
b) $f(x)=x\left(x^{2}-1\right)^{4}$ , puis $F(2)$ .
c) $f(x)=x^{2}\sqrt{x^{3}+1}$ , puis $F(2)$ .
d) $f(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x+3}$ , puis $F(1)$ .
e) $f(x)=x\,e^{-x^{2}}$ , puis $F(1)$ .
f) $f(x)=\sin(3x+1)$ , puis $F(0)$ .
g) $f(x)=\sin^{4}x\cos x$ , puis $F\left(\frac{\pi}{2}\right)$ .
h) $f(x)=\tan^{2}(2x)\sec^{2}(2x)$ , puis $F\left(\frac{\pi}{8}\right)$ .
i) $f(x)=\frac{x}{1+x^{4}}$ , puis $F(1)$ .
j) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-9x^{2}}}$ , puis $F\left(\frac{1}{6}\right)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

F(1)

b)

F(2)

c)

F(2)

d)

F(1)

e)

F(1)

f)

F(0)

g)

F\left(\frac{\pi}{2}\right)

h)

F\left(\frac{\pi}{8}\right)

i)

F(1)

j)

F\left(\frac{1}{6}\right)

Voir la correction

Réponses

a) $F(x)=\frac{(4x-1)^{4}}{16}$ ; $F(1)=\frac{81}{16}$
b) $F(x)=\frac{\left(x^{2}-1\right)^{5}}{10}$ ; $F(2)=\frac{243}{10}$
c) $F(x)=\frac{2}{9}\left(x^{3}+1\right)^{\frac{3}{2}}$ ; $F(2)=6$
d) $F(x)=\ln\left(x^{2}+x+3\right)$ ; $F(1)=\ln 5\approx 1{,}609$
e) $F(x)=-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}$ ; $F(1)=-\frac{1}{2e}\approx-0{,}184$
f) $F(x)=-\frac{1}{3}\cos(3x+1)$ ; $F(0)=-\frac{\cos 1}{3}\approx-0{,}180$
g) $F(x)=\frac{\sin^{5}x}{5}$ ; $F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{5}$
h) $F(x)=\frac{\tan^{3}(2x)}{6}$ ; $F\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{6}\approx 0{,}167$
i) $F(x)=\frac{1}{2}\arctan\left(x^{2}\right)$ ; $F(1)=\frac{\pi}{8}\approx 0{,}393$
j) $F(x)=\frac{1}{3}\arcsin(3x)$ ; $F\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{\pi}{18}\approx 0{,}175$

Le geste qui décide de tout : trouver $u$ ET sa dérivée dans l'intégrande. Une constante qui manque s'ajuste en divisant ; un $x$ qui manque ne s'ajuste jamais. Et une réponse laissée en $u$ n'est pas une réponse : on revient en $x$ avant d'évaluer.

a)

$u=4x-1$ , $du=4\,dx$ : $\int u^{3}\frac{du}{4}=\frac{u^{4}}{16}$ , donc $F(x)=\frac{(4x-1)^{4}}{16}$ et $F(1)=\frac{81}{16}=5{,}0625$ . Piège : $\frac{(4x-1)^{4}}{4}$ , sans le facteur $\frac{1}{4}$ de l'intérieur.

b)

$u=x^{2}-1$ , $du=2x\,dx$ , donc $x\,dx=\frac{du}{2}$ : $\frac{1}{2}\int u^{4}du=\frac{u^{5}}{10}$ , donc $F(x)=\frac{\left(x^{2}-1\right)^{5}}{10}$ et $F(2)=\frac{243}{10}=24{,}3$ .

c)

$u=x^{3}+1$ , $du=3x^{2}dx$ , donc $x^{2}dx=\frac{du}{3}$ : $\frac{1}{3}\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}$ , donc $F(x)=\frac{2}{9}\left(x^{3}+1\right)^{\frac{3}{2}}$ et $F(2)=\frac{2}{9}\times 27=6$ .

d)

Le numérateur EST la dérivée du dénominateur : $u=x^{2}+x+3$ , $du=(2x+1)dx$ , $\int\frac{du}{u}=\ln\left|u\right|$ . Comme $x^{2}+x+3>0$ (discriminant $1-12<0$ ), $F(x)=\ln\left(x^{2}+x+3\right)$ et $F(1)=\ln 5\approx 1{,}609$ .

e)

$u=-x^{2}$ , $du=-2x\,dx$ , donc $x\,dx=-\frac{du}{2}$ : $-\frac{1}{2}\int e^{u}du$ , donc $F(x)=-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}$ et $F(1)=-\frac{1}{2e}\approx-0{,}184$ . Piège : perdre le signe moins venu de $u'=-2x$ .

f)

$u=3x+1$ , $du=3\,dx$ : $\frac{1}{3}\int\sin u\,du=-\frac{1}{3}\cos u$ , donc $F(x)=-\frac{1}{3}\cos(3x+1)$ et $F(0)=-\frac{\cos 1}{3}\approx-0{,}180$ . Piège : le signe moins de $\int\sin u\,du$ ET le $\frac{1}{3}$ .

g)

$u=\sin x$ , $du=\cos x\,dx$ : $\int u^{4}du=\frac{u^{5}}{5}$ , donc $F(x)=\frac{\sin^{5}x}{5}$ et $F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{5}$ .

h)

$u=\tan(2x)$ , $du=2\sec^{2}(2x)\,dx$ : $\frac{1}{2}\int u^{2}du=\frac{u^{3}}{6}$ , donc $F(x)=\frac{\tan^{3}(2x)}{6}$ et, comme $\tan\frac{\pi}{4}=1$ , $F\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{6}\approx 0{,}167$ . Piège : prendre $u=\sec(2x)$ , dont la dérivée $2\sec(2x)\tan(2x)$ n'est pas en facteur.

i)

$x^{4}=\left(x^{2}\right)^{2}$ : $u=x^{2}$ , $du=2x\,dx$ , donc $\frac{1}{2}\int\frac{du}{1+u^{2}}=\frac{1}{2}\arctan u$ . Donc $F(x)=\frac{1}{2}\arctan\left(x^{2}\right)$ et $F(1)=\frac{\pi}{8}\approx 0{,}393$ . Piège : chercher un logarithme, alors que $u'=2x$ n'est pas la dérivée de $1+x^{4}$ .

j)

$9x^{2}=(3x)^{2}$ : $u=3x$ , $du=3\,dx$ , donc $\frac{1}{3}\int\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=\frac{1}{3}\arcsin u$ . Donc $F(x)=\frac{1}{3}\arcsin(3x)$ et $F\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{18}\approx 0{,}175$ .

Contrôle : on dérive chaque $F$ par la règle de chaîne et l'on doit retrouver $f$ exactement, la dérivée de l'intérieur venant annuler la constante d'ajustement. Si la dérivée donne $f$ multipliée par un nombre, c'est l'ajustement qui manque ; si elle donne un $x$ de trop, la substitution n'était pas permise.

Exercice 1 : La table des dérivées, lue de droite à gauche

Vous avez passé la session à remplir une table : à gauche une fonction, à droite sa dérivée. Ce chapitre ne demande rien de neuf, il demande de lire cette même table DE DROITE À GAUCHE. Une primitive de $f$ est une fonction $F$ telle que $F'=f$ , donc chaque ligne de la table des dérivées fournit gratuitement une formule de primitive.

La règle de puissance $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ se renverse en $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ , valable pour tout $n\neq -1$ . Avant d'intégrer quoi que ce soit, réécrivez l'intégrande en PUISSANCES de $x$ : un quotient $\frac{1}{x^{5}}$ et une racine $\sqrt[3]{x^{2}}$ ne se reconnaissent pas tant qu'ils gardent leur forme d'origine.

a) Calculez $\int\left(6x^{2}-8x^{3}+5\right)dx$ , $\int\frac{dx}{x^{5}}$ et $\int\sqrt[3]{x^{2}}\,dx$ , en réécrivant d'abord chaque intégrande en puissance de $x$ .
b) Calculez $\int\left(\frac{4}{x}-\frac{4}{x^{2}}\right)dx$ . Les deux termes se ressemblent : relèvent-ils de la même ligne de la table ?
c) Vérifiez PAR DÉRIVATION la troisième primitive du a) et la réponse du b). Quelle règle de dérivation utilisez-vous à chaque fois ?
d) Un étudiant répond $\int\frac{dx}{x^{5}}=\ln\left|x^{5}\right|+C$ . Réfutez en dix secondes, sans recalculer la vraie primitive.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

a)

\int\left(6x^{2}-8x^{3}+5\right)dx

Exposant obtenu en intégrant

x^{-5}

Coefficient devant

x^{5/3}

b)

\int\left(\frac{4}{x}-\frac{4}{x^{2}}\right)dx

Primitive de

-\frac{4}{x^{2}}

en

x=2

(avec

C=0

)

d)

Dérivée de

\ln\left|x^{5}\right|

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Réponses

a) $2x^{3}-2x^{4}+5x+C$ ; $-\frac{1}{4x^{4}}+C$ ; $\frac{3}{5}x^{5/3}+C$
b) $4\ln\left|x\right|+\frac{4}{x}+C$ , deux lignes différentes de la table
c) Les deux dérivées redonnent l'intégrande : règle de puissance, puis logarithme
d) Faux : $\left(\ln\left|x^{5}\right|\right)'=\frac{5}{x}$ et non $\frac{1}{x^{5}}$

a)

Première intégrale : la linéarité permet de traiter terme à terme, et la règle de puissance renversée donne $\int 6x^{2}dx=6\cdot\frac{x^{3}}{3}=2x^{3}$ , $\int -8x^{3}dx=-8\cdot\frac{x^{4}}{4}=-2x^{4}$ et $\int 5\,dx=5x$ . Réponse : $2x^{3}-2x^{4}+5x+C$ . Deuxième intégrale : on réécrit $\frac{1}{x^{5}}=x^{-5}$ , puis $\int x^{-5}dx=\frac{x^{-4}}{-4}=-\frac{1}{4x^{4}}+C$ . L'exposant monte de $-5$ à $-4$ : il AUGMENTE de 1, même s'il reste négatif, et c'est là qu'une copie sur trois écrit $-6$ . Troisième intégrale : $\sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}$ , donc $\int x^{2/3}dx=\frac{x^{5/3}}{5/3}=\frac{3}{5}x^{5/3}+C$ . Diviser par $\frac{5}{3}$ , c'est multiplier par $\frac{3}{5}$ : la fraction se retourne, elle ne se recopie pas.

b)

Les deux termes ne relèvent surtout PAS de la même ligne. Le premier, $\frac{4}{x}=4x^{-1}$ , porte exactement l'exposant que la règle de puissance interdit, puisqu'elle produirait une division par $n+1=0$ . C'est la ligne du logarithme qui le sert : $\int\frac{dx}{x}=\ln\left|x\right|+C$ , donc $\int\frac{4}{x}dx=4\ln\left|x\right|+C$ . Le second, $-\frac{4}{x^{2}}=-4x^{-2}$ , porte un exposant ordinaire : $\int -4x^{-2}dx=-4\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=4x^{-1}=\frac{4}{x}$ . Réponse : $4\ln\left|x\right|+\frac{4}{x}+C$ . Le piège est visuel : deux quotients de même allure, deux formules sans aucun rapport. La valeur absolue dans le logarithme n'est pas une coquetterie, elle rend la formule valable pour $x<0$ aussi.

c)

Pour le a) : $\left(\frac{3}{5}x^{5/3}\right)'=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}x^{2/3}=x^{2/3}=\sqrt[3]{x^{2}}$ , et l'on retombe sur l'intégrande : c'est la règle de puissance, celle de la première semaine. Pour le b) : $\left(4\ln\left|x\right|+\frac{4}{x}\right)'=\frac{4}{x}-\frac{4}{x^{2}}$ , en utilisant $\left(\ln\left|x\right|\right)'=\frac{1}{x}$ et $\left(4x^{-1}\right)'=-4x^{-2}$ ✓. Retenez ce geste : en calcul différentiel, vous ne disposez d'aucun autre moyen de contrôle, ni théorème fondamental ni valeur numérique à comparer. Dériver sa réponse coûte dix secondes et attrape la grande majorité des fautes d'examen.

d)

On dérive la réponse proposée : $\left(\ln\left|x^{5}\right|\right)'=\frac{5x^{4}}{x^{5}}=\frac{5}{x}$ , par la règle de chaîne. Or l'intégrande était $\frac{1}{x^{5}}$ . Les deux ne se ressemblent même pas, donc la réponse est fausse, et il n'a pas fallu connaître la bonne pour le dire. L'étudiant a appliqué la ligne du logarithme parce qu'il a vu un quotient, alors que cette ligne ne sert QUE l'exposant $-1$ . La confusion coûte typiquement trois points sur dix à l'examen, et elle se repère toujours par la même vérification.

Exercice 2 : La constante C, ce que la dérivation efface

Dériver détruit une information : toutes les fonctions $F(x)+C$ ont la même dérivée. Intégrer doit donc rendre cette information, et personne ne peut deviner laquelle : d'où le $+C$ , qui n'est pas une décoration mais la trace d'une famille entière de courbes parallèles.

La figure montre trois membres de la famille $y=2x^{3/2}+C$ . Elles ont la même pente à chaque abscisse, donc la même dérivée, et une seule d'entre elles passera par un point imposé.

a) Vérifiez que $F(x)=\tan^{2}x$ et $G(x)=\sec^{2}x$ sont toutes deux des primitives de $f(x)=2\sec^{2}x\tan x$ sur $\left]-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right[$ . Quelle constante les sépare ?
b) Énoncez le théorème qui garantit que deux primitives d'une même fonction sur un INTERVALLE diffèrent d'une constante. De quel théorème du cours découle-t-il ?
c) Trouvez la primitive de $f(x)=4x^{3}-\frac{2}{x^{2}}$ qui vaut $7$ en $x=1$ .
d) Résolvez $y'=3\sqrt{x}$ avec $y(4)=10$ . Laquelle des trois courbes de la figure est solution ? Vérifiez votre réponse de deux façons.

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Réponses

a) Les deux sont des primitives de $f$ ; $G-F=1$
b) Sur un INTERVALLE, $F'=G'$ entraîne $F-G$ constante ; conséquence des accroissements finis
c) $F(x)=x^{4}+\frac{2}{x}+4$
d) $y=2x^{3/2}-6$ ; aucune des trois courbes tracées

a)

On dérive les deux candidates. $F'(x)=2\tan x\cdot\sec^{2}x$ par la règle de puissance et la chaîne, puisque $\left(\tan x\right)'=\sec^{2}x$ . $G'(x)=2\sec x\cdot\left(\sec x\tan x\right)=2\sec^{2}x\tan x$ , puisque $\left(\sec x\right)'=\sec x\tan x$ . Les deux dérivées valent $f$ , donc les deux fonctions sont bien des primitives de $f$ ✓. Elles ne se ressemblent pourtant pas. L'identité $\sec^{2}x-\tan^{2}x=1$ règle l'affaire : $G-F=1$ , la constante qui les sépare vaut exactement $1$ . Vérification numérique en $x=\frac{\pi}{4}$ : $F=1$ et $G=2$ ✓. Deux réponses d'allure très différente peuvent donc être justes toutes les deux, et c'est le cas le plus fréquent de dispute autour d'une copie.

b)

Théorème : si $F'=G'$ sur un INTERVALLE $I$ , alors $F-G$ est constante sur $I$ . Il découle du théorème des accroissements finis, vu au milieu de la session : on pose $H=F-G$ , on a $H'=0$ partout sur $I$ , donc pour deux points $a<b$ de $I$ il existe $c$ entre eux tel que $H(b)-H(a)=H'(c)(b-a)=0$ , donc $H(b)=H(a)$ pour tout couple de points, c'est-à-dire $H$ constante. Le mot INTERVALLE porte tout le poids : sur $\mathbb{R}^{*}$ , qui est une réunion de deux intervalles, $\ln\left|x\right|+1$ à gauche et $\ln\left|x\right|+5$ à droite ont la même dérivée sans différer d'une seule constante.

c)

On intègre terme à terme : $\int 4x^{3}dx=x^{4}$ et $\int -2x^{-2}dx=-2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=\frac{2}{x}$ . La famille est $F(x)=x^{4}+\frac{2}{x}+C$ . La condition $F(1)=7$ donne $1+2+C=7$ , donc $C=4$ et $F(x)=x^{4}+\frac{2}{x}+4$ . Vérification par dérivation : $F'(x)=4x^{3}-\frac{2}{x^{2}}$ ✓, et vérification du point : $F(1)=1+2+4=7$ ✓. Les DEUX vérifications comptent : la première contrôle l'intégration, la seconde contrôle la constante, et une erreur de constante laisse la première parfaitement verte. À titre de contrôle supplémentaire, $F(2)=16+1+4=21$ .

d)

$y'=3\sqrt{x}=3x^{1/2}$ donne $y=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=2x^{3/2}+C$ . La condition $y(4)=10$ donne $2\cdot 8+C=10$ , donc $C=-6$ et $y=2x^{3/2}-6$ . Aucune des trois courbes de la figure n'est solution : elles portent $C=-12$ , $C=-3$ et $C=6$ , et le point $(4\,;10)$ se lit entre les deux premières, exactement comme le montre la figure. Première vérification, par dérivation : $\left(2x^{3/2}\right)'=2\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=3\sqrt{x}$ ✓. Seconde vérification, par le point : $2\cdot 4^{3/2}-6=16-6=10$ ✓. Contrôle libre : $y(9)=2\cdot 27-6=48$ . Une équation de la forme $y'=f(x)$ avec une condition est la plus simple des équations différentielles, et tout le chapitre ne fait que la résoudre.

Exercice 3 : Réécrire d'abord, intégrer ensuite

Il n'existe ni règle du produit ni règle du quotient pour l'intégration. Quand l'intégrande est un produit ou un quotient, la seule manoeuvre disponible est de le RÉÉCRIRE en une somme de termes que la table sert directement : développer, diviser, ou remplacer par une identité trigonométrique.

La figure montre l'intégrande du d), la parabole $y=(2x-3)^{2}$ . Cette intégrale se calcule de deux façons parfaitement légitimes, et les deux réponses n'ont pas la même tête.

a) Calculez $\int\tan^{2}x\,dx$ . Aucune ligne de la table ne sert $\tan^{2}$ : quelle identité règle le problème ?
b) Calculez $\int\frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx$ . Le degré du numérateur égale celui du dénominateur : que faut-il faire avant toute chose ?
c) Calculez $\int\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^{2}}{x}dx$ pour $x>0$ .
d) Calculez $\int(2x-3)^{2}dx$ de deux façons, en développant puis en renversant la chaîne. Les deux réponses se contredisent-elles ?

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Réponses

a) $\tan x-x+C$ , par $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$
b) $x-\arctan x+C$ , après division
c) $x+4\sqrt{x}+\ln x+C$
d) $\frac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x+C$ et $\frac{(2x-3)^{3}}{6}+C'$ : elles diffèrent de $-4{,}5$ , les deux sont justes

a)

La table ne contient pas $\tan^{2}$ , mais elle contient $\sec^{2}$ , qui est la dérivée de $\tan$ . L'identité $1+\tan^{2}x=\sec^{2}x$ donne $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$ , et l'intégrale devient une somme de deux lignes connues : $\int\left(\sec^{2}x-1\right)dx=\tan x-x+C$ . Vérification par dérivation : $\left(\tan x-x\right)'=\sec^{2}x-1=\tan^{2}x$ ✓. Contrôle numérique en $x=\frac{\pi}{4}$ : la primitive vaut $1-\frac{\pi}{4}\approx 0{,}21$ . Le piège de la question est de vouloir intégrer $\tan^{2}$ comme une puissance, ce qui donnerait $\frac{\tan^{3}x}{3}$ : cette réponse se réfute en une dérivation, car la chaîne ferait apparaître un $\sec^{2}x$ parasite.

b)

Un quotient dont le numérateur a le même degré que le dénominateur se divise d'abord. Ici la division est immédiate : $\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{\left(x^{2}+1\right)-1}{x^{2}+1}=1-\frac{1}{x^{2}+1}$ . Les deux morceaux sont alors des lignes de la table, la seconde étant celle de l'arc tangente : $\int\frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=x-\arctan x+C$ . Vérification : $\left(x-\arctan x\right)'=1-\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$ ✓. En $x=1$ la primitive vaut $1-\frac{\pi}{4}\approx 0{,}21$ . Ce qu'il ne faut SURTOUT pas écrire, c'est un quotient d'intégrales : $\int\frac{u}{v}\neq\frac{\int u}{\int v}$ , et une dérivation de ce faux résultat le montre en une ligne.

c)

On développe le carré avant tout : $\left(\sqrt{x}+1\right)^{2}=x+2\sqrt{x}+1$ , puis on divise chaque terme par $x$ : $\frac{x+2\sqrt{x}+1}{x}=1+2x^{-1/2}+\frac{1}{x}$ . Chaque morceau est maintenant une ligne de la table : $\int 1\,dx=x$ , $\int 2x^{-1/2}dx=2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=4\sqrt{x}$ et $\int\frac{dx}{x}=\ln x$ , le logarithme n'ayant pas besoin de valeur absolue puisque $x>0$ . Réponse : $x+4\sqrt{x}+\ln x+C$ . Vérification : $1+\frac{4}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x}=1+\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}$ ✓, ce qui est bien le développement obtenu. En $x=1$ et avec $C=0$ , la primitive vaut $1+4+0=5$ .

d)

Première façon, développer : $(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$ , donc l'intégrale vaut $\frac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x+C$ . Seconde façon, renverser la chaîne : l'intérieur $2x-3$ a pour dérivée $2$ , donc $\int(2x-3)^{2}dx=\frac{(2x-3)^{3}}{3\cdot 2}+C'=\frac{(2x-3)^{3}}{6}+C'$ . Les deux réponses ne se contredisent pas : en développant la seconde, $\frac{8x^{3}-36x^{2}+54x-27}{6}=\frac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x-4{,}5$ . Elles diffèrent donc de la constante $-4{,}5$ , ce qui est autorisé et attendu, puisque deux primitives d'une même fonction sur un intervalle ne diffèrent que d'une constante. Le correcteur qui voit une réponse inattendue la dérive : c'est l'unique arbitrage.

Exercice 4 : Les fonctions transcendantes, à l'envers

La seconde moitié de la table des dérivées est transcendante : exponentielle, logarithme, sinus et cosinus, tangente et sécante, arc sinus et arc tangente. Renversée, elle donne autant de formules de primitives, et c'est là que les fautes de SIGNE se concentrent.

Retenez la dissymétrie : $\left(\sin x\right)'=\cos x$ , donc $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ , mais $\left(\cos x\right)'=-\sin x$ , donc $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ . Un signe moins apparaît d'un côté et pas de l'autre.

a) Calculez $\int\left(5e^{x}-\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)dx$ .
b) Calculez $\int\left(4\sin x-\sec^{2}x\right)dx$ , puis donnez la valeur de cette primitive en $x=0$ avec $C=0$ .
c) Calculez $\int\left(\frac{6}{1+x^{2}}-\frac{2}{x}\right)dx$ , puis vérifiez la réponse par dérivation.
d) Un étudiant répond $\int 4\sin x\,dx=4\cos x+C$ . Dérivez sa réponse et dites quelle ligne de la table il a lue dans le mauvais sens.

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Réponses

a) $5e^{x}-3\arcsin x+C$ sur $\left]-1\,;1\right[$
b) $-4\cos x-\tan x+C$ ; la primitive vaut $-4$ en $x=0$
c) $6\arctan x-2\ln\left|x\right|+C$ ; elle vaut $\frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71$ en $x=1$
d) Faux : $\left(4\cos x\right)'=-4\sin x$ , la bonne réponse est $-4\cos x+C$

a)

Deux lignes de la table, prises séparément. Pour la première, $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$ est la seule fonction qui soit sa propre dérivée, donc $\int 5e^{x}dx=5e^{x}$ . Pour la seconde, $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ est exactement la dérivée de $\arcsin x$ , donc $\int-\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-3\arcsin x$ . Réponse : $5e^{x}-3\arcsin x+C$ , sur $\left]-1\,;1\right[$ où le radical est défini. Vérification : $5e^{x}-\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ✓. Le piège classique est de confondre $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ , qui donne un arc sinus, avec $\frac{1}{1+x^{2}}$ , qui donne un arc tangente : le radical et le signe moins sous la racine distinguent les deux en un coup d'oeil.

b)

Pour le premier terme, $\int\sin x\,dx=-\cos x$ , donc $\int 4\sin x\,dx=-4\cos x$ . Pour le second, $\sec^{2}x$ est la dérivée de $\tan x$ , donc $\int-\sec^{2}x\,dx=-\tan x$ . Réponse : $-4\cos x-\tan x+C$ . Vérification par dérivation : $4\sin x-\sec^{2}x$ ✓. En $x=0$ avec $C=0$ : $-4\cdot 1-0=-4$ . Cette valeur est un contrôle utile, car une faute de signe sur le cosinus la ferait passer à $+4$ : une seule évaluation en un point bien choisi suffit souvent à séparer une réponse juste d'une réponse de signe opposé.

c)

Le premier terme est la ligne de l'arc tangente : $\int\frac{6}{1+x^{2}}dx=6\arctan x$ . Le second est la ligne du logarithme : $\int-\frac{2}{x}dx=-2\ln\left|x\right|$ . Réponse : $6\arctan x-2\ln\left|x\right|+C$ . Vérification par dérivation : $\left(6\arctan x\right)'=\frac{6}{1+x^{2}}$ et $\left(-2\ln\left|x\right|\right)'=-\frac{2}{x}$ , donc la somme redonne l'intégrande ✓. Contrôle numérique en $x=1$ : $6\cdot\frac{\pi}{4}-2\ln 1=\frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71$ . Le piège ici est d'intégrer $\frac{6}{1+x^{2}}$ en logarithme, sous prétexte qu'il y a un quotient : mais $\ln\left(1+x^{2}\right)$ a pour dérivée $\frac{2x}{1+x^{2}}$ , et le $2x$ parasite dénonce l'erreur immédiatement.

d)

On dérive la réponse proposée : $\left(4\cos x\right)'=-4\sin x$ . On obtient l'opposé de l'intégrande, donc la réponse est fausse, et la bonne est $-4\cos x+C$ . L'étudiant a lu la ligne $\left(\sin x\right)'=\cos x$ et l'a renversée mécaniquement en croyant que le sinus donne le cosinus dans les deux sens. La table est dissymétrique : dériver le cosinus produit un signe moins, donc intégrer le sinus le produit aussi. Cette faute vaut en général la moitié des points de la question, alors que la vérification qui l'attrape tient en une ligne et en cinq secondes. En doute sur un signe, évaluez en $x=0$ : $\left(-\cos x\right)$ y vaut $-1$ et croît, ce qui est cohérent avec un intégrande $\sin x$ positif juste après $0$ .

Exercice 5 : La règle de chaîne à l'envers, voir u et sa dérivée

Vous avez dérivé des composées pendant six semaines : poser l'intérieur $u$ , dériver l'extérieur, MULTIPLIER par $u'$ . La substitution est exactement ce geste joué à l'envers. On cherche dans l'intégrande une fonction intérieure $u$ ET sa dérivée $u'$ en facteur ; si les deux sont là, l'intégrale se ramène à une ligne de la table.

Le protocole tient en trois lignes : on pose $u=\ldots$ , on écrit $du=u'(x)\,dx$ , on remplace tout, il ne doit plus rester un seul $x$ ; on intègre en $u$ , puis on REVIENT en $x$ . Une réponse laissée en $u$ n'est pas une réponse.

a) Calculez $\int 8x\left(x^{2}+3\right)^{3}dx$ en explicitant $u$ , $du$ et le retour en $x$ .
b) Calculez $\int\frac{\cos x}{2+\sin x}dx$ . Pourquoi la valeur absolue est-elle inutile dans le logarithme ?
c) Calculez $\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$ pour $x>0$ .
d) Calculez $\int\frac{\arctan x}{1+x^{2}}dx$ , puis vérifiez par dérivation.

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Réponses

a) $u=x^{2}+3$ ; $\left(x^{2}+3\right)^{4}+C$
b) $\ln\left(2+\sin x\right)+C$ ; pas de valeur absolue, l'argument vaut au moins $1$
c) $2e^{\sqrt{x}}+C$
d) $\frac{\left(\arctan x\right)^{2}}{2}+C$

a)

On pose $u=x^{2}+3$ , donc $du=2x\,dx$ . Le facteur $8x\,dx$ vaut alors $4\,du$ , et l'intégrale devient $\int 4u^{3}du=u^{4}+C$ . Retour en $x$ : $\left(x^{2}+3\right)^{4}+C$ . Vérification par dérivation : $4\left(x^{2}+3\right)^{3}\cdot 2x=8x\left(x^{2}+3\right)^{3}$ ✓, on retombe exactement sur l'intégrande. Contrôle numérique en $x=1$ avec $C=0$ : $4^{4}=256$ . Notez qu'on ne cherche pas $u'$ à l'identique, mais $u'$ À UN FACTEUR CONSTANT PRÈS : ici $8x$ est $4$ fois $2x$ , et sortir une constante de l'intégrale est toujours permis.

b)

On pose $u=2+\sin x$ , donc $du=\cos x\,dx$ , et le numérateur EST exactement $du$ . L'intégrale devient $\int\frac{du}{u}=\ln\left|u\right|+C$ , soit $\ln\left(2+\sin x\right)+C$ . La valeur absolue est inutile parce que $\sin x\in\left[-1\,;1\right]$ , donc $2+\sin x\in\left[1\,;3\right]$ : l'argument du logarithme est toujours positif, et même minoré par $1$ . Vérification : $\left(\ln\left(2+\sin x\right)\right)'=\frac{\cos x}{2+\sin x}$ ✓. Contrôle numérique en $x=0$ : $\ln 2\approx 0{,}69$ . Écrire la valeur absolue ne serait pas une faute, seulement une précaution inutile qu'il faut savoir justifier.

c)

On pose $u=\sqrt{x}$ , donc $du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}$ , c'est-à-dire $\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\,du$ . L'intégrale devient $\int e^{u}\cdot 2\,du=2e^{u}+C$ , et le retour en $x$ donne $2e^{\sqrt{x}}+C$ . Vérification par dérivation : $2e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ ✓. Contrôle numérique en $x=1$ : $2e\approx 5{,}44$ . C'est le cas le plus instructif du lot : la dérivée de l'intérieur, $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , est cachée dans un DÉNOMINATEUR, et l'on ne la reconnaît qu'en se rappelant la dérivée de la racine. Un intégrande qui contient une fonction et son dénominateur bizarre est presque toujours une substitution déguisée.

d)

On pose $u=\arctan x$ , donc $du=\frac{dx}{1+x^{2}}$ , et là encore le reste de l'intégrande EST exactement $du$ . L'intégrale devient $\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+C$ , soit $\frac{\left(\arctan x\right)^{2}}{2}+C$ . Vérification par dérivation : $\frac{2\arctan x}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{\arctan x}{1+x^{2}}$ ✓. Contrôle numérique en $x=1$ : $\frac{\left(\pi/4\right)^{2}}{2}\approx 0{,}31$ . Le réflexe à installer est celui-ci : devant $\frac{1}{1+x^{2}}$ en facteur, on ne pense pas seulement à l'arc tangente comme résultat, on pense à l'arc tangente comme CANDIDAT $u$ . La même remarque vaut pour $\frac{1}{x}$ , qui appelle $u=\ln x$ , et pour $\cos x$ , qui appelle $u=\sin x$ .

Exercice 6 : Quand il manque un facteur constant, et quand il manque un x

Une constante se sort de l'intégrale, une fonction de $x$ jamais. Toute la difficulté de la substitution tient dans cette frontière : si $u'$ est présent à un facteur CONSTANT près, on ajuste et l'intégrale tombe ; s'il manque un $x$ , l'intégrale change complètement de nature et sort souvent du programme.

La figure montre $y=x\sqrt{4-x^{2}}$ , l'intégrande du a). Son voisin $y=\sqrt{4-x^{2}}$ , sans le facteur $x$ , est un demi-cercle, et il ne se traite pas du tout de la même manière.

a) Calculez $\int x\sqrt{4-x^{2}}\,dx$ en précisant $u$ et $du$ , puis donnez sa valeur en $x=0$ avec $C=0$ .
b) Calculez $\int\sec^{2}(7x)\,dx$ . D'où vient le coefficient devant la tangente ?
c) Un étudiant écrit $\int\sqrt{4-x^{2}}\,dx=-\frac{1}{3}\left(4-x^{2}\right)^{3/2}+C$ . Dérivez sa réponse : qu'obtenez-vous exactement, et que manque-t-il à son intégrande de départ ?
d) Calculez $\int\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}dx$ et vérifiez par dérivation.

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Réponses

a) $-\frac{1}{3}\left(4-x^{2}\right)^{3/2}+C$ ; elle vaut $-\frac{8}{3}\approx -2{,}67$ en $x=0$
b) $\frac{1}{7}\tan(7x)+C$ , le $\frac{1}{7}$ compense la chaîne
c) Sa dérivée vaut $x\sqrt{4-x^{2}}$ : il sort un facteur $x$ en trop, l'intégrale du c) n'est pas au programme du 201-NYA
d) $\sqrt{x^{2}+9}+C$ ; elle vaut $5$ en $x=4$

a)

On pose $u=4-x^{2}$ , donc $du=-2x\,dx$ , c'est-à-dire $x\,dx=-\frac{1}{2}du$ . L'intégrale devient $-\frac{1}{2}\int u^{1/2}du=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=-\frac{1}{3}u^{3/2}$ , et le retour en $x$ donne $-\frac{1}{3}\left(4-x^{2}\right)^{3/2}+C$ . Vérification par dérivation : $-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\left(4-x^{2}\right)^{1/2}\cdot(-2x)=x\sqrt{4-x^{2}}$ ✓. Valeur en $x=0$ avec $C=0$ : $-\frac{1}{3}\cdot 4^{3/2}=-\frac{8}{3}\approx -2{,}67$ . Le facteur $-\frac{1}{2}$ est une CONSTANTE, donc il traverse l'intégrale sans difficulté : c'est le cas confortable, celui où $u'$ est présent au coefficient près.

b)

On pose $u=7x$ , donc $du=7\,dx$ et $dx=\frac{du}{7}$ . L'intégrale devient $\frac{1}{7}\int\sec^{2}u\,du=\frac{1}{7}\tan u+C$ , soit $\frac{1}{7}\tan(7x)+C$ . Le coefficient $\frac{1}{7}$ vient de la dérivée de l'intérieur : en dérivant $\tan(7x)$ , la chaîne fait sortir un $7$ , et le $\frac{1}{7}$ est là pour l'annuler. Vérification : $\frac{1}{7}\cdot 7\sec^{2}(7x)=\sec^{2}(7x)$ ✓. Contrôle numérique : en $x=\frac{\pi}{28}$ , $\tan\frac{\pi}{4}=1$ et la primitive vaut $\frac{1}{7}\approx 0{,}1429$ . La faute la plus répandue est d'oublier ce coefficient et de répondre $\tan(7x)+C$ , ce qui donne un intégrande sept fois trop grand.

c)

On dérive : $\left(-\frac{1}{3}\left(4-x^{2}\right)^{3/2}\right)'=-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\left(4-x^{2}\right)^{1/2}\cdot(-2x)=x\sqrt{4-x^{2}}$ . On retombe donc sur l'intégrande du a), pas sur celui du c) : il sort un facteur $x$ EN TROP. C'est exactement l'erreur de croire qu'on peut fabriquer le $x$ manquant. Or $\int\sqrt{4-x^{2}}\,dx$ n'a rien à voir : la substitution ne s'y applique pas, faute de $u'$ , et sa primitive demande une substitution trigonométrique, technique du cours de calcul intégral qui suit. Retenez la frontière : sans $u'$ présent à une constante près, on ne substitue pas, on s'arrête.

d)

On pose $u=x^{2}+9$ , donc $du=2x\,dx$ et $x\,dx=\frac{1}{2}du$ . L'intégrale devient $\frac{1}{2}\int u^{-1/2}du=\frac{1}{2}\cdot 2u^{1/2}=\sqrt{u}$ , soit $\sqrt{x^{2}+9}+C$ . Vérification par dérivation : $\left(\sqrt{x^{2}+9}\right)'=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+9}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}$ ✓. Contrôle numérique en $x=4$ avec $C=0$ : $\sqrt{25}=5$ . Comparez avec le c) : ici le $x$ du numérateur est précisément ce qui rend la substitution possible, alors que $\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+9}}$ , sans ce $x$ , sort à nouveau du programme. Un seul facteur $x$ sépare une intégrale de trente secondes d'une intégrale d'une autre session.

Exercice 7 : Même numérateur, quatre décisions

Devant une intégrale, la question n'est pas quelle technique appliquer, c'est laquelle des trois décisions du chapitre prendre : lire directement la table, RÉÉCRIRE l'intégrande, ou SUBSTITUER. Les quatre intégrales qui suivent sont bâties sur le même numérateur et le même trinôme, et chacune demande une décision différente.

Le critère de tri est toujours le même : le numérateur est-il, à une constante près, la dérivée du dénominateur ? Si oui, on substitue ; si non, on regarde si une réécriture ramène à la table.

a) Calculez $\int\frac{x+1}{x^{2}}dx$ .
b) Calculez $\int\frac{x+1}{x^{2}+2x+5}dx$ . Pourquoi la valeur absolue est-elle superflue ici ?
c) Calculez $\int(x+1)e^{x^{2}+2x}dx$ .
d) Calculez $\int\frac{dx}{x^{2}+2x+5}$ en écrivant d'abord le dénominateur sous forme canonique. Laquelle des quatre intégrales ne demandait AUCUNE substitution ?

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Réponses

a) $\ln\left|x\right|-\frac{1}{x}+C$
b) $\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+2x+5\right)+C$ ; le trinôme vaut au moins $4$ , donc pas de valeur absolue
c) $\frac{1}{2}e^{x^{2}+2x}+C$
d) $\frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2}+C$ ; seule l'intégrale du a) se passait de substitution

a)

Le dénominateur est $x^{2}$ , dont la dérivée est $2x$ : le numérateur $x+1$ n'en est pas un multiple constant, donc la substitution est écartée. On RÉÉCRIT : $\frac{x+1}{x^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=x^{-1}+x^{-2}$ . Deux lignes de la table suivent : $\int x^{-1}dx=\ln\left|x\right|$ et $\int x^{-2}dx=-\frac{1}{x}$ . Réponse : $\ln\left|x\right|-\frac{1}{x}+C$ . Vérification par dérivation : $\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}$ ✓, ce qui est bien la réécriture de départ. Valeur en $x=1$ avec $C=0$ : $0-1=-1$ . C'est la seule des quatre intégrales qui se règle sans poser aucun $u$ .

b)

Le dénominateur $x^{2}+2x+5$ a pour dérivée $2x+2=2(x+1)$ : le numérateur est donc $u'$ à un facteur $\frac{1}{2}$ près, et la substitution s'impose. On pose $u=x^{2}+2x+5$ , $du=(2x+2)dx$ , donc $(x+1)dx=\frac{1}{2}du$ . L'intégrale devient $\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln\left|u\right|+C$ , soit $\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+2x+5\right)+C$ . La valeur absolue est superflue parce que $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4\geq 4>0$ pour tout $x$ : le trinôme a un discriminant $4-20=-16<0$ , il ne s'annule jamais. Vérification : $\frac{1}{2}\cdot\frac{2x+2}{x^{2}+2x+5}=\frac{x+1}{x^{2}+2x+5}$ ✓. En $x=0$ : $\frac{1}{2}\ln 5\approx 0{,}80$ .

c)

Ici l'exposant est $x^{2}+2x$ , dont la dérivée est $2x+2=2(x+1)$ , et le facteur devant l'exponentielle est justement $x+1$ : même structure qu'au b), même substitution. On pose $u=x^{2}+2x$ , $du=(2x+2)dx$ , donc $(x+1)dx=\frac{1}{2}du$ , et l'intégrale devient $\frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{1}{2}e^{u}+C$ , soit $\frac{1}{2}e^{x^{2}+2x}+C$ . Vérification par dérivation : $\frac{1}{2}e^{x^{2}+2x}\cdot(2x+2)=(x+1)e^{x^{2}+2x}$ ✓. Valeur en $x=0$ avec $C=0$ : $\frac{1}{2}e^{0}=0{,}5$ . Le point de méthode est que $u$ ne se choisit pas d'après la forme de l'intégrande, mais d'après ce dont la dérivée est disponible.

d)

Le numérateur vaut $1$ : il n'est pas la dérivée du dénominateur, donc la substitution précédente est inopérante. On écrit la forme canonique $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4$ , puis on cherche à retrouver la ligne de l'arc tangente, $\int\frac{du}{u^{2}+1}$ . On pose $u=\frac{x+1}{2}$ , donc $x+1=2u$ et $dx=2\,du$ : l'intégrale devient $\int\frac{2\,du}{4u^{2}+4}=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^{2}+1}=\frac{1}{2}\arctan u+C$ , soit $\frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2}+C$ . Vérification : $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4+(x+1)^{2}}=\frac{1}{x^{2}+2x+5}$ ✓. En $x=1$ : $\frac{1}{2}\arctan 1=\frac{\pi}{8}\approx 0{,}39$ . Celle qui ne demandait aucune substitution est l'intégrale du a).

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations ci-dessous a été relevée sur une copie. Pour chacune, dites si elle est vraie ou fausse, corrigez-la, et justifiez la correction PAR UNE DÉRIVATION ou par un contre-exemple chiffré.

1) « $\int f(x)g(x)\,dx=\left(\int f(x)dx\right)\left(\int g(x)dx\right)$ , comme pour la dérivée d'un produit. »
2) « La constante $C$ est un détail de notation : $F(x)=x^{2}$ et $F(x)=x^{2}+7$ sont la même primitive. »
3) « $\int\frac{dx}{x}=\ln x+C$ sur tout $\mathbb{R}^{*}$ . »
4) « $\int(3x+2)^{5}dx=\frac{(3x+2)^{6}}{6}+C$ , par la règle de puissance. »
5) « Dériver puis intégrer, ou intégrer puis dériver, revient au même : on retombe sur $f$ dans les deux cas. »

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

1)

\int x^{2}dx

en

x=3

(avec

C=0

)

\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{2}

en

x=3

2)

x^{2}

et

x^{2}+7

sont

3)

Écriture correcte

4)

Dénominateur correct

5)

Ce qui se perd

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Réponses

1) Faux : $\frac{x^{3}}{3}$ vaut $9$ en $x=3$ , $\frac{x^{4}}{4}$ vaut $20{,}25$
2) Faux : deux primitives différentes d'une même fonction
3) Faux : $\ln\left|x\right|+C$ , et une constante PAR INTERVALLE
4) Faux : $\frac{(3x+2)^{6}}{18}+C$
5) Faux dans un sens : $\int f'(x)dx=f(x)+C$ , la constante est perdue

1)

FAUX, et doublement. D'abord il n'existe aucune règle du produit pour l'intégration, ensuite la règle du produit de la dérivation n'a pas cette forme non plus, puisque $\left(fg\right)'=f'g+fg'$ . Contre-exemple chiffré avec $f(x)=g(x)=x$ : le membre de gauche vaut $\int x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3}$ , qui vaut $9$ en $x=3$ avec $C=0$ ; le membre de droite vaut $\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{2}=\frac{x^{4}}{4}$ , qui vaut $20{,}25$ en $x=3$ . Les deux nombres diffèrent, donc l'affirmation tombe. Correction : devant un produit, il faut RÉÉCRIRE, ou reconnaître une substitution, ou attendre le cours de calcul intégral et l'intégration par parties.

2)

FAUX. Ces deux fonctions ont la même DÉRIVÉE, $2x$ , mais ce ne sont pas la même fonction : leurs graphes sont deux courbes distinctes, décalées verticalement de $7$ , et $F(0)$ vaut $0$ dans un cas et $7$ dans l'autre. Correction : ce sont deux primitives différentes d'une même fonction. L'écriture $x^{2}+C$ ne désigne pas une fonction mais une FAMILLE de fonctions, et une condition supplémentaire, un point imposé, en sélectionne exactement une. Oublier le $+C$ dans une réponse générale coûte un point, se tromper de $C$ dans un problème à condition initiale coûte tout le problème.

3)

FAUX à cause de $\ln x$ , qui n'est défini que pour $x>0$ , et faux aussi dans sa portée. Correction en deux temps. D'abord la valeur absolue : $\int\frac{dx}{x}=\ln\left|x\right|+C$ , et l'on vérifie en dérivant que pour $x<0$ , $\left(\ln(-x)\right)'=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$ ✓. Ensuite la portée : $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas un INTERVALLE mais la réunion de deux intervalles, et le théorème sur les primitives ne s'applique que sur un intervalle. La primitive générale y demande donc DEUX constantes, une par intervalle. En pratique, on travaille sur l'intervalle où vit le problème et une seule constante suffit.

4)

FAUX, il manque un facteur $\frac{1}{3}$ . La vérification le montre en une ligne : $\left(\frac{(3x+2)^{6}}{6}\right)'=\frac{6(3x+2)^{5}\cdot 3}{6}=3(3x+2)^{5}$ , soit trois fois l'intégrande. Correction : $\int(3x+2)^{5}dx=\frac{(3x+2)^{6}}{18}+C$ , le dénominateur correct étant $18=6\times 3$ . C'est la faute la plus fréquente du chapitre, et elle vient d'appliquer la règle de puissance à une composée sans compenser la dérivée de l'intérieur. La substitution $u=3x+2$ , $du=3\,dx$ , la rend impossible : le $\frac{1}{3}$ apparaît de lui-même dès qu'on écrit $dx=\frac{du}{3}$ .

5)

FAUX dans un sens sur deux. Intégrer puis dériver redonne exactement $f$ : $\frac{d}{dx}\left(\int f(x)dx\right)=f(x)$ , la constante disparaît à la dérivation. Mais dériver puis intégrer ne redonne pas $f$ : $\int f'(x)dx=f(x)+C$ , et rien ne dit que ce $C$ soit nul. Exemple : partez de $f(x)=x^{2}+7$ , dérivez pour obtenir $2x$ , intégrez pour obtenir $x^{2}+C$ . L'information $7$ est perdue, et aucun calcul ne la retrouve. Correction : la dérivation EFFACE la constante, et l'intégration ne peut pas deviner laquelle remettre. C'est précisément pour cela qu'un problème de primitive sérieux fournit toujours une condition initiale.

Exercice 9 : Problème : deux constantes, et une condition qui n'est pas à t = 0

Un wagonnet part d'un quai et accélère sur un rail horizontal. Un capteur donne son accélération, $a(t)=\frac{6}{\sqrt{t+1}}$ en mètres par seconde carrée, pour $t\geq 0$ en secondes. Le radar du quai a mesuré $v(3)=30$ mètres par seconde, et l'on prend l'origine des positions au quai, donc $x(0)=0$ .

Remonter de $a$ à $x$ demande DEUX intégrations, donc deux constantes, donc deux conditions. Ici la première condition n'est pas donnée à l'instant zéro, ce qui interdit de la lire directement dans la formule.

a) Trouvez $v(t)$ . Quelle donnée fixe la première constante, et pourquoi ne peut-on pas l'appliquer avant d'avoir intégré ?
b) Trouvez $x(t)$ , puis la position du wagonnet à $t=3$ secondes.
c) Vérifiez votre $x(t)$ par deux dérivations successives, et vérifiez les deux conditions.
d) Un étudiant pose les deux constantes nulles « puisque le wagonnet part du quai ». Que trouve-t-il en $t=3$ , et de combien de mètres se trompe-t-il ?
e) Si l'on ne connaissait que $a(t)$ et $x(0)$ , pourrait-on trouver $x(t)$ ? Expliquez en comptant les constantes.

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Réponses

a) $v(t)=12\sqrt{t+1}+6$ , avec $C_{1}=6$ fixée par $v(3)=30$
b) $x(t)=8(t+1)^{3/2}+6t-8$ ; $x(3)=74$ m
c) $x'=v$ et $v'=a$ ✓, avec $x(0)=0$ et $v(3)=30$ ✓
d) Il trouve $64$ m, soit $10$ m de moins, et son $v(3)=24$ contredit le radar
e) Non : deux intégrations, deux constantes, donc deux conditions nécessaires

a)

On écrit $a(t)=6(t+1)^{-1/2}$ et l'on intègre par la règle de puissance renversée : $\int 6(t+1)^{-1/2}dt=6\cdot\frac{(t+1)^{1/2}}{1/2}=12\sqrt{t+1}$ , l'intérieur $t+1$ ayant pour dérivée $1$ , ce qui n'ajoute aucun coefficient. Donc $v(t)=12\sqrt{t+1}+C_{1}$ . La donnée $v(3)=30$ fixe $C_{1}$ : $12\sqrt{4}+C_{1}=24+C_{1}=30$ , donc $C_{1}=6$ et $v(t)=12\sqrt{t+1}+6$ . On ne peut pas appliquer la condition avant d'avoir intégré, parce que $C_{1}$ n'existe qu'après l'intégration : la condition ne dit rien sur $a$ , elle dit une valeur de $v$ , et $v$ n'est connue qu'une fois la primitive écrite. Contrôle : $v(0)=12+6=18$ mètres par seconde.

b)

On intègre $v$ : $\int 12(t+1)^{1/2}dt=12\cdot\frac{(t+1)^{3/2}}{3/2}=8(t+1)^{3/2}$ , et $\int 6\,dt=6t$ . Donc $x(t)=8(t+1)^{3/2}+6t+C_{2}$ . La condition $x(0)=0$ donne $8\cdot 1+0+C_{2}=0$ , donc $C_{2}=-8$ et $x(t)=8(t+1)^{3/2}+6t-8$ . Position à $t=3$ : $8\cdot 4^{3/2}+18-8=8\cdot 8+10=74$ mètres. Remarquez que $C_{2}$ n'est pas nulle alors que la position initiale l'est : le terme $8(t+1)^{3/2}$ vaut déjà $8$ en $t=0$ , et c'est lui que la constante doit compenser. Confondre « position initiale nulle » et « constante nulle » est l'erreur du d).

c)

Première dérivation : $x'(t)=8\cdot\frac{3}{2}(t+1)^{1/2}+6=12\sqrt{t+1}+6=v(t)$ ✓. Seconde dérivation : $v'(t)=12\cdot\frac{1}{2\sqrt{t+1}}=\frac{6}{\sqrt{t+1}}=a(t)$ ✓. On retrouve l'accélération de départ, donc les deux intégrations sont justes. Restent les conditions, qui sont un contrôle SÉPARÉ : $x(0)=8+0-8=0$ ✓ et $v(3)=12\cdot 2+6=30$ ✓. Les deux vérifications sont indépendantes, et c'est ce qui les rend utiles : une erreur de primitive fait échouer la première, une erreur de constante fait échouer la seconde seulement.

d)

Avec $C_{1}=C_{2}=0$ , il obtient $v(t)=12\sqrt{t+1}$ et $x(t)=8(t+1)^{3/2}$ , donc $x(3)=8\cdot 8=64$ mètres au lieu de $74$ : il se trompe de $10$ mètres. Son erreur se détecte sans même connaître la bonne réponse, puisque son $v(3)=12\cdot 2=24$ contredit la mesure du radar, qui annonçait $30$ . C'est le contrôle à faire systématiquement : une fois les constantes posées, on réinjecte CHAQUE donnée de l'énoncé dans la formule obtenue. Une constante fausse laisse la vérification par dérivation parfaitement verte, c'est pourquoi elle passe si souvent inaperçue.

e)

Non. Chaque intégration introduit une constante, donc remonter de $a$ à $x$ en introduit deux, et il faut exactement DEUX conditions pour les fixer. Avec la seule donnée $x(0)=0$ , on obtient $x(t)=8(t+1)^{3/2}+C_{1}t+C_{2}$ avec $C_{2}=-8-0$ , soit $x(t)=8(t+1)^{3/2}+C_{1}t-8$ : une famille de trajectoires indexée par $C_{1}$ , c'est-à-dire par la vitesse initiale inconnue. Physiquement, c'est évident : un accéléromètre ne sait pas si le wagonnet roulait déjà. La même remarque vaut pour un téléphone, qui mesure son accélération sans jamais pouvoir en déduire seul où il est ni à quelle vitesse il va.

Exercice 10 : Problème : le drone, une substitution et un C oublié

Un drone décolle du sol et monte verticalement. Sa vitesse de montée est $v(t)=\frac{20t}{t^{2}+4}$ en mètres par seconde, pour $t\geq 0$ en secondes, et son altitude au décollage est nulle, $z(0)=0$ .

La figure donne l'allure de cette vitesse, sans graduations. Elle part de zéro, passe par un maximum, puis décroît lentement : le drone monte de moins en moins vite, ce qui ne veut pas dire qu'il s'arrête de monter.

a) Trouvez $z(t)$ par une substitution que vous préciserez, puis fixez la constante.
b) À quelle altitude le drone se trouve-t-il à $t=6$ secondes ?
c) À quel instant la vitesse de montée est-elle maximale, et que vaut-elle alors ?
d) Vérifiez $z(t)$ par dérivation. Le drone finit-il par atteindre une altitude limite ?
e) Un étudiant oublie la constante et annonce $z(6)=10\ln 40$ . Quelle altitude annonce-t-il, de combien se trompe-t-il, et qu'affirme-t-il sans le vouloir sur l'instant du décollage ?

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Réponses

a) $u=t^{2}+4$ ; $z(t)=10\ln\frac{t^{2}+4}{4}$ , avec $C=-10\ln 4\approx -13{,}86$
b) $z(6)=10\ln 10\approx 23{,}03$ m
c) $t=2$ s, avec $v(2)=5$ m/s
d) $z'=v$ ✓ ; pas d'altitude limite, $z(t)\to+\infty$
e) Il annonce $36{,}89$ m, soit $13{,}86$ m de trop, et il place le décollage à $13{,}86$ m d'altitude

a)

Le dénominateur $t^{2}+4$ a pour dérivée $2t$ , et le numérateur $20t$ en est le multiple constant $10\times 2t$ : la substitution s'impose. On pose $u=t^{2}+4$ , donc $du=2t\,dt$ et $20t\,dt=10\,du$ . L'intégrale devient $10\int\frac{du}{u}=10\ln\left|u\right|+C$ , soit $10\ln\left(t^{2}+4\right)+C$ , la valeur absolue étant inutile puisque $t^{2}+4\geq 4>0$ . La condition $z(0)=0$ donne $10\ln 4+C=0$ , donc $C=-10\ln 4$ et $z(t)=10\ln\left(t^{2}+4\right)-10\ln 4=10\ln\frac{t^{2}+4}{4}$ . Écrire la réponse sous cette forme condensée est un vrai gain : la condition initiale y est lisible, puisque le logarithme vaut $\ln 1=0$ en $t=0$ .

b)

$z(6)=10\ln\frac{36+4}{4}=10\ln 10\approx 23{,}03$ mètres. On peut contrôler l'ordre de grandeur sans calculatrice : la vitesse dépasse $4$ mètres par seconde entre la première et la quatrième seconde environ, puis redescend vers $2$ , donc une vingtaine de mètres en six secondes est plausible. Ce contrôle de vraisemblance vaut autant que le calcul : une réponse de $200$ mètres ou de $2$ mètres aurait dû alerter. Notez aussi la coïncidence agréable, $\frac{40}{4}=10$ , qui fait tomber un logarithme népérien de dix.

c)

La vitesse est maximale là où $v'(t)=0$ . On dérive par la règle du quotient : $v'(t)=20\cdot\frac{\left(t^{2}+4\right)-t\cdot 2t}{\left(t^{2}+4\right)^{2}}=\frac{20\left(4-t^{2}\right)}{\left(t^{2}+4\right)^{2}}$ . Le dénominateur est toujours positif, donc le signe est celui de $4-t^{2}$ : positif pour $t<2$ , négatif pour $t>2$ . La vitesse croît puis décroît, donc $t=2$ secondes est un MAXIMUM, et il est absolu sur $\left[0\,;+\infty\right[$ puisque c'est le seul nombre critique. Valeur : $v(2)=\frac{40}{8}=5$ mètres par seconde. Cette question est du calcul différentiel pur, posée au milieu d'un problème d'intégration : les deux moitiés du cours se répondent.

d)

Vérification : $z'(t)=10\cdot\frac{2t}{t^{2}+4}=\frac{20t}{t^{2}+4}=v(t)$ ✓, en dérivant $\ln\left(t^{2}+4\right)$ par la règle de chaîne, le $-10\ln 4$ étant une constante de dérivée nulle. Il n'y a PAS d'altitude limite : $t^{2}+4\to+\infty$ , donc $z(t)\to+\infty$ . Le drone monte indéfiniment, de plus en plus lentement, mais sans jamais se stabiliser. Une vitesse qui tend vers zéro n'entraîne pas une altitude bornée, et c'est un contresens courant. Ordre de grandeur : il faudrait environ $148$ secondes pour dépasser $80$ mètres, le logarithme étant d'une lenteur redoutable.

e)

Il annonce $10\ln 40\approx 36{,}89$ mètres, au lieu de $23{,}03$ : il se trompe de $10\ln 4\approx 13{,}86$ mètres, en trop. Et il affirme sans le vouloir que le drone se trouvait déjà à $10\ln 4\approx 13{,}86$ mètres d'altitude AU MOMENT DU DÉCOLLAGE, puisque sa formule donne $z(0)=10\ln 4$ . C'est ainsi que se repère un $C$ oublié : on évalue sa propre réponse à l'instant où l'énoncé donne la condition, et l'on regarde si elle dit ce que l'énoncé dit. Le contrôle prend cinq secondes, et il sauve les cinq points que ce genre de problème met sur la constante.

La vitesse de montée est maximale en

t=2

s, seul nombre critique de

v

sur

\left[0\,;+\infty\right[

, où elle vaut

v(2)=5

m/s.

Exercices corrigés : l'intégration élémentaire (201-NYA)

Rappel de cours

Calculs : les primitives à lire dans la table

Exercice 0.1 : Intégrer avec la table : douze primitives directes

Calculs : les primitives par substitution

Exercice 0.2 : Intégrer par substitution : dix primitives directes

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : La table des dérivées, lue de droite à gauche

Exercice 2 : La constante C, ce que la dérivation efface

Exercice 3 : Réécrire d'abord, intégrer ensuite

Exercice 4 : Les fonctions transcendantes, à l'envers

Exercice 5 : La règle de chaîne à l'envers, voir u et sa dérivée

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Quand il manque un facteur constant, et quand il manque un x

Exercice 7 : Même numérateur, quatre décisions

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : deux constantes, et une condition qui n'est pas à t = 0

Exercice 10 : Problème : le drone, une substitution et un C oublié

Voir aussi

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