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Calcul différentiel 201-NYA • Complément québécois de Terminale et cégep à Montréal

Fiche de révision : l'intégration élémentaire (201-NYA)

Cette fiche ne recopie pas la table des primitives : vous la possédez déjà deux fois, puisque c'est la table des dérivées de la session lue de droite à gauche. Elle traite ce qui décide de la note à la dernière évaluation de calcul différentiel 201-NYA, où presque tous les points perdus tiennent à la constante CC et à un u′u' absent qu'on essaie de fabriquer. À ce stade du cours, vous n'avez ni intégrale définie, ni aire sous une courbe, ni théorème fondamental : la vérification par dérivation est le seul contrôle dont vous disposez, et il est gratuit.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep en Sciences de la nature et aux élèves de Terminale des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve, de la table renversée jusqu'aux problèmes à deux constantes.

Le fil du chapitre

À ce moment du cours, une primitive n'est rien d'autre que la table des dérivées lue de droite à gauche, et la seule vérification dont vous disposez est de dériver votre réponse. Tout ce qui coûte des points tient à la constante CC, que la dérivation efface et qu'aucun calcul ne devine, ou à un u′u' absent qu'on essaie de fabriquer.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel, 201-NYA

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (14 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
  2. 2Calculs exponentiels et logarithmiquesSecondaire 5 SN5
  3. 3Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 SN5
  4. 4Les fonctions logarithmiquesSecondaire 5 SN5
  5. 5Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
  6. 6La fonction racine carréeSecondaire 5 SN5
  7. 7Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5
  8. 8Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5
  9. 9Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5
  10. 10Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5
  11. 11Fonctions et domaine
  12. 12Limites et continuité
  13. 13La dérivée et ses règles
  14. 14Les dérivées des fonctions transcendantes

L'essentiel

Ce dont vous disposez à ce stade du cours

  • • DÉFINITION : FF est une primitive de ff sur un intervalle si F′=fF'=f. Toute la table des primitives est la table des dérivées de la session, lue de droite à gauche.
  • • Vous n'avez PAS encore l'intégrale définie, les bornes, l'aire sous une courbe, la somme de Riemann ni le théorème fondamental. Aucune de ces notions n'a à figurer sur votre copie.
  • • Vous n'avez donc aucun moyen numérique de contrôle. Le seul contrôle disponible est de dériver votre réponse et de retomber sur l'intégrande : dix secondes, et il attrape la grande majorité des fautes.
  • • Une seule règle se distribue, la LINÉARITÉ : ∫(af+bg)dx=a∫f dx+b∫g dx\int\left(af+bg\right)dx=a\int f\,dx+b\int g\,dx pour aa et bb CONSTANTS. Il n'existe ni règle du produit, ni règle du quotient.

Écrire la vérification sur la copie, et pas seulement la faire de tête, rapporte souvent un demi-point : le correcteur voit que la réponse a été contrôlée.

La constante CC : une famille, pas une fonction

  • • Dériver EFFACE une information : FF et F+7F+7 ont la même dérivée. Intégrer doit la rendre, et rien ne dit laquelle : d'où le +C+C, qui désigne une FAMILLE de courbes parallèles.
  • • THÉORÈME : si F′=G′F'=G' sur un INTERVALLE, alors F−GF-G est constante. C'est une conséquence du théorème des accroissements finis, vu au milieu de la session, et le mot intervalle porte tout le poids.
  • • Conséquence pratique : deux réponses d'allure très différente peuvent être justes toutes les deux. 43x3−6x2+9x\frac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x et (2x−3)36\frac{(2x-3)^{3}}{6} diffèrent de −4,5-4{,}5 et ont la même dérivée (2x−3)2(2x-3)^{2}.
  • • Une condition imposée, un point ou une mesure, sélectionne exactement UN membre de la famille. Sans condition, la réponse reste la famille, et le +C+C EST la réponse.
1234551015202530354045C = 20C = 12C = 488xy
Trois primitives de f(x)=3xf(x)=3\sqrt{x} : l'écart vertical vaut 88 en x=1x=1 comme en x=4x=4, donc les trois courbes ont la même pente partout. La dérivation les ramène à la même ff : elle EFFACE CC.

La substitution, la chaîne jouée à l'envers

  • • On cherche dans l'intégrande une fonction intérieure uu ET sa dérivée u′u' en facteur, à une CONSTANTE multiplicative près.
  • • Protocole en quatre temps : poser uu, écrire du=u′(x) dxdu=u'(x)\,dx, tout remplacer de sorte qu'il ne reste AUCUN xx, intégrer en uu, puis REVENIR en xx.
  • • LA FRONTIÈRE : une constante se sort de l'intégrale, une fonction de xx jamais. ∫x4−x2 dx\int x\sqrt{4-x^{2}}\,dx se calcule en trente secondes ; ∫4−x2 dx\int\sqrt{4-x^{2}}\,dx n'est pas au programme du 201-NYA.
  • • Les uu qui reviennent : 1x\frac{1}{x} appelle u=ln⁡xu=\ln x, 11+x2\frac{1}{1+x^{2}} appelle u=arctan⁡xu=\arctan x, cos⁡x\cos x appelle u=sin⁡xu=\sin x, et un dénominateur en x\sqrt{x} appelle u=xu=\sqrt{x}.

Une réponse laissée en uu n'est pas une réponse : le correcteur ne sait pas ce que uu vaut, et la question tombe à zéro alors que le calcul était juste.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

La table des dérivées, lue de droite à gauche

On ne mémorise pas une seconde table. On lit celle de la session dans l'autre sens : la colonne du milieu est la ligne de dérivée qui sert, la colonne de droite est la primitive. Une case rouge signale une ligne qui N'EXISTE PAS.

f(x)f(x) à intégrerLa dérivée qui la produit∫f(x) dx\int f(x)\,dx
xnx^{n}, n≠−1n\neq -1 (xn+1n+1)′=xn\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)'=x^{n} xn+1n+1+C\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Exemple : ∫x23 dx=∫x2/3dx=35x5/3+C\int\sqrt[3]{x^{2}}\,dx=\int x^{2/3}dx=\frac{3}{5}x^{5/3}+C, qui vaut 0,60{,}6 en x=1x=1.

x−1x^{-1}, par la puissance (x00)′\left(\frac{x^{0}}{0}\right)' x00\frac{x^{0}}{0} règle de puissance exclue

Exemple : ∫dxx5=−14x4+C\int\frac{dx}{x^{5}}=-\frac{1}{4x^{4}}+C marche, mais n=−1n=-1 donnerait une division par 00.

Ce qu'il faut faire : Passer à la ligne du logarithme : ∫dxx=ln⁡∣x∣+C\int\frac{dx}{x}=\ln\left|x\right|+C, valeur absolue comprise.

1x\frac{1}{x} (ln⁡∣x∣)′=1x\left(\ln\left|x\right|\right)'=\frac{1}{x} ln⁡∣x∣+C\ln\left|x\right|+C

Exemple : ∫4xdx=4ln⁡∣x∣+C\int\frac{4}{x}dx=4\ln\left|x\right|+C, alors que ∫4x2dx=4x+C\int\frac{4}{x^{2}}dx=\frac{4}{x}+C.

sin⁡x\sin x (cos⁡x)′=−sin⁡x\left(\cos x\right)'=-\sin x −cos⁡x+C-\cos x+C

Exemple : ∫4sin⁡x dx=−4cos⁡x+C\int 4\sin x\,dx=-4\cos x+C, qui vaut −4-4 en x=0x=0.

cos⁡x\cos x (sin⁡x)′=cos⁡x\left(\sin x\right)'=\cos x sin⁡x+C\sin x+C

Exemple : ∫2cos⁡x dx=2sin⁡x+C\int 2\cos x\,dx=2\sin x+C, qui vaut 22 en x=π2x=\frac{\pi}{2}.

sec⁡2x\sec^{2}x (tan⁡x)′=sec⁡2x\left(\tan x\right)'=\sec^{2}x tan⁡x+C\tan x+C

Exemple : ∫sec⁡2(7x) dx=17tan⁡(7x)+C\int\sec^{2}(7x)\,dx=\frac{1}{7}\tan(7x)+C, qui vaut 17\frac{1}{7} en x=π28x=\frac{\pi}{28}.

11+x2\frac{1}{1+x^{2}} (arctan⁡x)′=11+x2\left(\arctan x\right)'=\frac{1}{1+x^{2}} arctan⁡x+C\arctan x+C

Exemple : ∫61+x2dx=6arctan⁡x+C\int\frac{6}{1+x^{2}}dx=6\arctan x+C, qui vaut 3π2≈4,71\frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71 en x=1x=1.

11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} (arcsin⁡x)′=11−x2\left(\arcsin x\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} arcsin⁡x+C\arcsin x+C

Exemple : ∫3 dx1−x2=3arcsin⁡x+C\int\frac{3\,dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=3\arcsin x+C, qui vaut π2\frac{\pi}{2} en x=12x=\frac{1}{2}.

exe^{x} (ex)′=ex\left(e^{x}\right)'=e^{x} ex+Ce^{x}+C

Exemple : ∫5exdx=5ex+C\int 5e^{x}dx=5e^{x}+C, qui vaut 55 en x=0x=0.

Aucune ligne ne sert tan⁡2x\tan^{2}x, sin⁡2x\sin^{2}x ni un produit : ces intégrandes se RÉÉCRIVENT d'abord, par une identité ou par un développement.

Le u′u' est-il là ? Trois décisions et une sortie

Devant un produit ou un quotient, une seule question tranche : un morceau est-il, à une constante près, la dérivée de l'autre ? La case rouge est la sortie du chapitre, pas une réponse.

IntégrandeCandidat uu et son u′u'Décision et résultat
8x(x2+3)38x\left(x^{2}+3\right)^{3} u=x2+3u=x^{2}+3, u′=2xu'=2x (x2+3)4+C\left(x^{2}+3\right)^{4}+C

Exemple : 8x=4⋅2x8x=4\cdot 2x, donc l'intégrale vaut (x2+3)4+C\left(x^{2}+3\right)^{4}+C, soit 256256 en x=1x=1 avec C=0C=0.

x4−x2x\sqrt{4-x^{2}} u=4−x2u=4-x^{2}, u′=−2xu'=-2x −13(4−x2)3/2+C-\frac{1}{3}\left(4-x^{2}\right)^{3/2}+C

Exemple : x dx=−12dux\,dx=-\frac{1}{2}du, et la primitive vaut −83≈−2,67-\frac{8}{3}\approx -2{,}67 en x=0x=0.

4−x2\sqrt{4-x^{2}} u=4−x2u=4-x^{2}, mais pas de xx on s'arrête hors programme 201-NYA

Exemple : Dériver le candidat −13(4−x2)3/2-\frac{1}{3}\left(4-x^{2}\right)^{3/2} rend x4−x2x\sqrt{4-x^{2}}, avec un facteur xx de trop.

Ce qu'il faut faire : Sans u′u' en facteur, on ne substitue pas. Cette intégrale demande une substitution trigonométrique, technique du cours de calcul intégral qui suit.

x+1x2\frac{x+1}{x^{2}} u=x2u=x^{2}, u′=2xu'=2x absent réécrire : ln⁡∣x∣−1x+C\ln\left|x\right|-\frac{1}{x}+C

Exemple : x+1x2=1x+1x2\frac{x+1}{x^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}, et la primitive vaut −1-1 en x=1x=1 avec C=0C=0.

x+1x2+2x+5\frac{x+1}{x^{2}+2x+5} u=x2+2x+5u=x^{2}+2x+5, u′=2(x+1)u'=2(x+1) 12ln⁡(x2+2x+5)+C\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+2x+5\right)+C

Exemple : (x+1)dx=12du(x+1)dx=\frac{1}{2}du, et la primitive vaut 12ln⁡5≈0,80\frac{1}{2}\ln 5\approx 0{,}80 en x=0x=0.

Les deux dernières lignes ont le MÊME numérateur x+1x+1 : c'est le dénominateur qui décide, pas l'allure de la fraction.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier la constante d'intégration

0,5 point par intégrale, donc 2 à 3 points sur une copie entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫(6x2−8x3+5)dx=2x3−2x4+5x\int\left(6x^{2}-8x^{3}+5\right)dx=2x^{3}-2x^{4}+5x. »

Ce qu'il faut écrire

« ∫(6x2−8x3+5)dx=2x3−2x4+5x+C\int\left(6x^{2}-8x^{3}+5\right)dx=2x^{3}-2x^{4}+5x+C. »

Pourquoi : Le résultat d'une intégrale indéfinie n'est pas une fonction mais une FAMILLE de fonctions. Sans le +C+C, la réponse désigne une seule courbe et affirme donc quelque chose de faux.

2. Poser la constante à zéro parce que la valeur initiale est nulle

tout le problème, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« x(0)=0x(0)=0, donc C2=0C_{2}=0 et x(t)=8(t+1)3/2x(t)=8(t+1)^{3/2}. »

Ce qu'il faut écrire

« x(0)=8⋅13/2+0+C2=0x(0)=8\cdot 1^{3/2}+0+C_{2}=0, donc C2=−8C_{2}=-8 et x(t)=8(t+1)3/2+6t−8x(t)=8(t+1)^{3/2}+6t-8. »

Pourquoi : La constante n'est pas la valeur initiale : c'est ce qu'il faut AJOUTER pour que la formule redonne la valeur initiale. Ici le terme 8(t+1)3/28(t+1)^{3/2} vaut déjà 88 en t=0t=0.

3. Fabriquer le facteur manquant en le sortant de l'intégrale

toute la question, et souvent la question suivante avec

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫4−x2 dx=1x∫x4−x2 dx=−13x(4−x2)3/2+C\int\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{1}{x}\int x\sqrt{4-x^{2}}\,dx=-\frac{1}{3x}\left(4-x^{2}\right)^{3/2}+C. »

Ce qu'il faut écrire

« Le facteur xx manque et il DÉPEND de xx : il ne sort pas de l'intégrale. Sans u′u' en facteur, on ne substitue pas, et ∫4−x2 dx\int\sqrt{4-x^{2}}\,dx n'est pas au programme de ce cours. »

0.511.520.511.522.5sans le facteur xavec le facteur xxy
Deux intégrandes voisines, deux mondes. Sur celle qui part de l'origine, le facteur xx est u′u' à une constante près et la primitive tombe. La courbe du haut, 4−x2\sqrt{4-x^{2}}, est un arc de cercle et sort du 201-NYA.

Pourquoi : Seule une CONSTANTE traverse le signe intégral. Un 1x\frac{1}{x} sorti puis rentré change la fonction intégrée, et la dérivation de la fausse réponse le montre en une ligne.

4. Oublier le coefficient que la chaîne fait sortir

3 points sur 10

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫(3x+2)5dx=(3x+2)66+C\int(3x+2)^{5}dx=\frac{(3x+2)^{6}}{6}+C, par la règle de puissance. »

Ce qu'il faut écrire

« u=3x+2u=3x+2 donne du=3 dxdu=3\,dx, donc ∫(3x+2)5dx=(3x+2)618+C\int(3x+2)^{5}dx=\frac{(3x+2)^{6}}{18}+C, le dénominateur étant 6×36\times 3. »

Pourquoi : En dérivant la fausse réponse, la chaîne fait sortir un 33 : on obtient 3(3x+2)53(3x+2)^{5}, soit trois fois l'intégrande. C'est la faute la plus fréquente du chapitre et la plus facile à attraper.

5. Descendre l'exposant au lieu de le monter

2 points, et la vérification par dérivation le montre en cinq secondes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫dxx5=∫x−5dx=x−6−6+C\int\frac{dx}{x^{5}}=\int x^{-5}dx=\frac{x^{-6}}{-6}+C. »

Ce qu'il faut écrire

« ∫x−5dx=x−4−4+C=−14x4+C\int x^{-5}dx=\frac{x^{-4}}{-4}+C=-\frac{1}{4x^{4}}+C : l'exposant AUGMENTE de 11, même lorsqu'il reste négatif. »

Pourquoi : La dérivation descend l'exposant, la primitive le monte : ce sont deux gestes opposés, et une copie sur trois applique le geste de la session précédente par réflexe.

6. Appliquer la ligne du logarithme à tout quotient

3 points sur 10

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫dxx5=ln⁡∣x5∣+C\int\frac{dx}{x^{5}}=\ln\left|x^{5}\right|+C, puisqu'il y a un quotient. »

Ce qu'il faut écrire

« La ligne du logarithme ne sert QUE l'exposant −1-1. Ici ∫dxx5=−14x4+C\int\frac{dx}{x^{5}}=-\frac{1}{4x^{4}}+C, et l'on réfute la fausse réponse en dérivant : (ln⁡∣x5∣)′=5x\left(\ln\left|x^{5}\right|\right)'=\frac{5}{x}. »

Pourquoi : Le logarithme n'est pas la primitive des quotients, c'est la primitive de 1x\frac{1}{x}. La réfutation ne demande même pas de connaître la bonne réponse, seulement de dériver la mauvaise.

7. Perdre la valeur absolue, et oublier le mot intervalle

1 point de rigueur, systématiquement retiré

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫dxx=ln⁡x+C\int\frac{dx}{x}=\ln x+C sur R∗\mathbb{R}^{*}. »

Ce qu'il faut écrire

« ∫dxx=ln⁡∣x∣+C\int\frac{dx}{x}=\ln\left|x\right|+C, et sur un INTERVALLE seulement : R∗\mathbb{R}^{*} est la réunion de deux intervalles, donc il y faut deux constantes. »

Pourquoi : Sans valeur absolue la formule est fausse pour x<0x<0, alors que (ln⁡(−x))′=−1−x=1x\left(\ln(-x)\right)'=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x} y est parfaitement défini. Et le théorème sur les primitives ne vaut que sur un intervalle.

8. Renverser le sinus et le cosinus sans le signe

la moitié des points de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫4sin⁡x dx=4cos⁡x+C\int 4\sin x\,dx=4\cos x+C, puisque le sinus donne le cosinus. »

Ce qu'il faut écrire

« ∫4sin⁡x dx=−4cos⁡x+C\int 4\sin x\,dx=-4\cos x+C, puisque (cos⁡x)′=−sin⁡x\left(\cos x\right)'=-\sin x. La table est dissymétrique : le signe moins apparaît d'un côté et pas de l'autre. »

0.511.522.53-1.5-1-0.50.511.5sin xcos x-cos x
sin⁡x\sin x est positive entre 00 et π\pi, donc sa primitive doit y MONTER : c'est −cos⁡x-\cos x, qui part de −1-1 et croît. Le candidat cos⁡x\cos x, en pointillé, descend : le graphe le condamne.

Pourquoi : Une réponse de signe opposé se repère en évaluant en un point : −4cos⁡x-4\cos x vaut −4-4 en x=0x=0. Un seul nombre sépare la bonne réponse de son opposée.

9. Rendre une réponse encore écrite en u

1 point, parfois la question entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫cos⁡x2+sin⁡xdx=ln⁡∣u∣+C\int\frac{\cos x}{2+\sin x}dx=\ln\left|u\right|+C. »

Ce qu'il faut écrire

« Avec u=2+sin⁡xu=2+\sin x, on obtient ln⁡∣u∣+C\ln\left|u\right|+C, donc ∫cos⁡x2+sin⁡xdx=ln⁡(2+sin⁡x)+C\int\frac{\cos x}{2+\sin x}dx=\ln\left(2+\sin x\right)+C, sans valeur absolue car 2+sin⁡x≥12+\sin x\geq 1. »

Pourquoi : La variable uu est un outil de calcul, pas une variable de l'énoncé. Une réponse en uu ne définit aucune fonction de xx, et le correcteur n'a pas à reconstituer la substitution.

10. Inventer une règle du produit pour les intégrales

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫f(x)g(x) dx=(∫f(x)dx)(∫g(x)dx)\int f(x)g(x)\,dx=\left(\int f(x)dx\right)\left(\int g(x)dx\right), comme pour la dérivée d'un produit. »

Ce qu'il faut écrire

« Il n'existe aucune règle du produit. Devant un produit, on développe, on divise, ou on reconnaît une substitution. Avec f=g=xf=g=x : à gauche x33\frac{x^{3}}{3}, qui vaut 99 en x=3x=3 ; à droite x44\frac{x^{4}}{4}, qui vaut 20,2520{,}25. »

Pourquoi : La règle invoquée n'existe même pas pour la dérivation, où (fg)′=f′g+fg′\left(fg\right)'=f'g+fg'. Deux nombres suffisent à la réfuter, et un contre-exemple chiffré vaut mieux qu'une protestation.

Quelle méthode choisir

Devant une intégrale : lire, réécrire ou substituer

On ne choisit pas d'après le thème du chapitre, mais d'après la FORME de l'intégrande. Trois décisions, et une sortie.

  • Si une somme de puissances de xx, éventuellement déguisées en racines ou en quotients → réécrire en xnx^{n}, puis lire la table terme à terme

    Exemple : ∫x23 dx=∫x2/3dx=35x5/3+C\int\sqrt[3]{x^{2}}\,dx=\int x^{2/3}dx=\frac{3}{5}x^{5/3}+C

    Le seul exposant qui résiste est −1-1, servi par le logarithme.

  • Si un produit ou un quotient dont un morceau est, à une constante près, la dérivée de l'autre → substituer : poser uu égal au morceau dont la dérivée est disponible

    Exemple : ∫x+1x2+2x+5dx=12ln⁡(x2+2x+5)+C\int\frac{x+1}{x^{2}+2x+5}dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+2x+5\right)+C

    uu se choisit d'après ce dont la dérivée est LÀ, jamais d'après ce qui a l'air compliqué.

  • Si une puissance ou une transcendante d'un binôme ax+bax+b → chaîne à l'envers : intégrer comme si l'intérieur était xx, puis diviser par aa

    Exemple : ∫(3x+2)5dx=(3x+2)618+C\int(3x+2)^{5}dx=\frac{(3x+2)^{6}}{18}+C et ∫sec⁡2(7x)dx=17tan⁡(7x)+C\int\sec^{2}(7x)dx=\frac{1}{7}\tan(7x)+C

    Ne marche QUE si l'intérieur est de degré 1, où u′=au'=a est constant.

  • Si un carré développable, un quotient de degrés égaux, une puissance de tangente → réécrire : développer, diviser, ou appliquer une identité

    Exemple : ∫tan⁡2x dx=∫(sec⁡2x−1)dx=tan⁡x−x+C\int\tan^{2}x\,dx=\int\left(\sec^{2}x-1\right)dx=\tan x-x+C

    Un quotient dont le numérateur a un degré supérieur ou égal au dénominateur se divise d'abord.

  • Si aucun facteur ne ressemble à la dérivée d'un autre et rien ne se réécrit → s'arrêter : l'intégrale n'est pas au programme du 201-NYA

    Exemple : ∫4−x2 dx\int\sqrt{4-x^{2}}\,dx, ∫dxx2+9\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+9}}, ∫xexdx\int xe^{x}dx

    Ces trois-là demandent des techniques du cours de calcul intégral qui suit.

Si aucune branche ne s'applique, relisez l'énoncé : à ce niveau, une intégrale d'examen tombe toujours dans l'une des quatre premières. L'intégration par parties, les fractions partielles et les substitutions trigonométriques ne sont pas encore à votre disposition.

Combien de constantes, et où les fixer

Sur un problème de mouvement, on compte les constantes AVANT de calculer : c'est ce décompte qui dit si le problème est soluble.

  • Si l'énoncé donne y′y' et une valeur de yy → une intégration, une constante, une condition : le problème est déterminé

    Exemple : y′=3xy'=3\sqrt{x} avec y(4)=10y(4)=10 donne y=2x3/2−6y=2x^{3/2}-6

  • Si l'énoncé donne a(t)a(t) et demande la position → deux intégrations, deux constantes, donc DEUX conditions nécessaires

    Exemple : a(t)=6t+1a(t)=\frac{6}{\sqrt{t+1}}, v(3)=30v(3)=30 et x(0)=0x(0)=0 donnent x(t)=8(t+1)3/2+6t−8x(t)=8(t+1)^{3/2}+6t-8

  • Si la condition n'est pas donnée à l'instant 00 → intégrer d'abord, puis remplacer tt par la valeur donnée et résoudre en CC

    Exemple : v(3)=30v(3)=30 donne 124+C1=3012\sqrt{4}+C_{1}=30, donc C1=6C_{1}=6

    La constante ne se lit à l'oeil que si la condition est en t=0t=0 ET que le reste s'y annule.

  • Si il manque une condition → conclure que la famille reste indexée, et le DIRE plutôt que de poser la constante nulle

    Exemple : Avec x(0)=0x(0)=0 seul, x(t)=8(t+1)3/2+C1t−8x(t)=8(t+1)^{3/2}+C_{1}t-8 : la vitesse initiale reste inconnue

Une constante fausse laisse la vérification par dérivation parfaitement verte. C'est pour cela qu'elle passe inaperçue, et que le contrôle des constantes est un contrôle SÉPARÉ.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une primitive, et la vérifier sur la copie

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé dit « calculez ∫…dx\int\ldots dx » ou « trouvez une primitive de ».

  1. 1 Réécrire l'intégrande en lignes de la table : 1x5=x−5\frac{1}{x^{5}}=x^{-5}, x23=x2/3\sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}, (x+1)2x=1+2x−1/2+1x\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^{2}}{x}=1+2x^{-1/2}+\frac{1}{x}. Aucune intégration tant que cette ligne n'est pas écrite.
  2. 2 Décider : table directe, réécriture ou substitution. Si vous substituez, annoncer « posons u=…u=\ldots, donc du=…dxdu=\ldots dx » : le correcteur cherche cette ligne.
  3. 3 Intégrer terme à terme par linéarité, en sortant les constantes et seulement les constantes.
  4. 4 Revenir en xx s'il y a eu substitution, puis écrire +C+C à la fin de la ligne, pas dans la tête.
  5. 5 Écrire la vérification : « (F(x))′=…\left(F(x)\right)'=\ldots, qui est bien l'intégrande. » Elle coûte une ligne et se paie.

Phrase de conclusion

« Donc ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx=F(x)+C, et l'on vérifie que F′(x)=f(x)F'(x)=f(x). »

Le piège : Sauter la première étape et attaquer un produit ou un quotient directement : c'est là que naissent les règles qui n'existent pas.

Barème : Sur 4 points : 1 pour la réécriture ou le uu annoncé, 2 pour la primitive, 0,5 pour le +C+C, 0,5 pour la vérification écrite.

Remonter d'une accélération à une position

Quand l'utiliser : L'énoncé donne a(t)a(t) ou v(t)v(t) et demande la vitesse ou la position, avec une ou deux données chiffrées.

  1. 1 Compter les intégrations AVANT de calculer, et l'écrire : de aa à vv, une constante ; de aa à xx, deux. Il faut autant de conditions que de constantes.
  2. 2 Intégrer une fois et écrire v(t)=…+C1v(t)=\ldots+C_{1}, la constante visible.
  3. 3 Fixer C1C_{1} en réinjectant la donnée de vitesse à l'instant où elle est donnée, qui n'est pas forcément t=0t=0.
  4. 4 Intégrer la formule COMPLÈTE de vv, constante comprise, pour obtenir x(t)=…+C2x(t)=\ldots+C_{2}.
  5. 5 Fixer C2C_{2} avec la donnée de position, en calculant d'abord ce que vaut le reste à cet instant : une position initiale nulle ne donne pas une constante nulle.
  6. 6 Vérifier en dérivant deux fois, puis réinjecter CHAQUE donnée de l'énoncé dans la formule finale.

Phrase de conclusion

« Deux intégrations demandent deux conditions : v(3)=30v(3)=30 fixe C1=6C_{1}=6 et x(0)=0x(0)=0 fixe C2=−8C_{2}=-8, donc x(t)=8(t+1)3/2+6t−8x(t)=8(t+1)^{3/2}+6t-8. »

Le piège : Intégrer vv en laissant C1C_{1} de côté : le terme 6t6t disparaît et la position est fausse partout, alors que la dérivation de vv reste verte.

Barème : Sur 10 points : 3 par intégration, 2 par constante correctement fixée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Un wagonnet, deux intégrations, deux constantes

Un wagonnet part d'un quai et accélère sur un rail horizontal. Un capteur donne son accélération a(t)=6t+1a(t)=\frac{6}{\sqrt{t+1}} en mètres par seconde carrée, pour t≥0t\geq 0 en secondes.

Le radar du quai a mesuré v(3)=30v(3)=30 mètres par seconde, et l'origine des positions est prise au quai, donc x(0)=0x(0)=0. Trouvez x(t)x(t), puis la position à t=3t=3 secondes.

1234561234567t (s)a (m/s^2)
La donnée de l'énoncé : l'accélération décroît mais reste positive, donc le wagonnet accélère de moins en moins sans jamais ralentir. Ce graphe ne dit RIEN de la vitesse, d'où la mesure v(3)=30v(3)=30.

Étape 1

a(t)=6(t+1)−1/2a(t)=6(t+1)^{-1/2}, donc v(t)=∫6(t+1)−1/2dt=6⋅(t+1)1/21/2+C1=12t+1+C1v(t)=\int 6(t+1)^{-1/2}dt=6\cdot\frac{(t+1)^{1/2}}{1/2}+C_{1}=12\sqrt{t+1}+C_{1}.

Pourquoi

On réécrit en puissance AVANT d'intégrer, sinon la règle de puissance ne se reconnaît pas sous le radical. L'intérieur t+1t+1 a pour dérivée 11 : aucun coefficient à compenser, ce qui ne serait pas le cas avec 2t+12t+1.

Étape 2

La donnée est v(3)=30v(3)=30 : 124+C1=24+C1=3012\sqrt{4}+C_{1}=24+C_{1}=30, donc C1=6C_{1}=6 et v(t)=12t+1+6v(t)=12\sqrt{t+1}+6.

123456510152025303540C = 6C = 0C = -6v(3) = 30t (s)v (m/s)

Pourquoi

On fixe la constante APRÈS avoir intégré, jamais avant : C1C_{1} n'existe pas tant que la primitive n'est pas écrite. Et la donnée n'est pas à t=0t=0, donc on remplace tt par 33 dans la formule, on ne lit pas la constante à l'oeil.

Étape 3

x(t)=∫(12(t+1)1/2+6)dt=12⋅(t+1)3/23/2+6t+C2=8(t+1)3/2+6t+C2x(t)=\int\left(12(t+1)^{1/2}+6\right)dt=12\cdot\frac{(t+1)^{3/2}}{3/2}+6t+C_{2}=8(t+1)^{3/2}+6t+C_{2}.

Pourquoi

Seconde intégration, seconde constante, et la formule COMPLÈTE de vv passe dans l'intégrale : c'est C1=6C_{1}=6 qui produit le terme 6t6t. L'oublier fausse la position partout sans rien casser dans la vérification de vv.

Étape 4

x(0)=0x(0)=0 donne 8⋅13/2+0+C2=08\cdot 1^{3/2}+0+C_{2}=0, donc C2=−8C_{2}=-8 et x(t)=8(t+1)3/2+6t−8x(t)=8(t+1)^{3/2}+6t-8.

Pourquoi

Position initiale nulle ne veut PAS dire constante nulle : le terme 8(t+1)3/28(t+1)^{3/2} vaut déjà 88 en t=0t=0, et la constante est là pour l'annuler. C'est la ligne qui rapporte le plus de points du problème.

Étape 5

x(3)=8⋅43/2+6⋅3−8=8⋅8+18−8=74x(3)=8\cdot 4^{3/2}+6\cdot 3-8=8\cdot 8+18-8=74 mètres.

Pourquoi

On répond à la question posée, avec son unité. L'ordre de grandeur se contrôle au passage : une vitesse qui monte de 1818 à 3030 mètres par seconde en trois secondes place la position vers 7070 mètres.

Étape 6

Vérification : x′(t)=8⋅32t+1+6=12t+1+6=v(t)x'(t)=8\cdot\frac{3}{2}\sqrt{t+1}+6=12\sqrt{t+1}+6=v(t), puis v′(t)=12⋅12t+1=6t+1=a(t)v'(t)=12\cdot\frac{1}{2\sqrt{t+1}}=\frac{6}{\sqrt{t+1}}=a(t). Conditions : x(0)=8+0−8=0x(0)=8+0-8=0 et v(3)=24+6=30v(3)=24+6=30.

Pourquoi

Les deux contrôles sont INDÉPENDANTS. La double dérivation valide les primitives et resterait verte avec des constantes fausses ; ce sont les conditions réinjectées qui valident les constantes.

Conclusion rédigée

« La position du wagonnet est x(t)=8(t+1)3/2+6t−8x(t)=8(t+1)^{3/2}+6t-8 mètres, et x(3)=74x(3)=74 mètres. Les deux dérivations redonnent bien vv puis aa, et les deux conditions x(0)=0x(0)=0 et v(3)=30v(3)=30 sont vérifiées. »

L'erreur classique sur cet exercice : Poser C1=C2=0C_{1}=C_{2}=0 « puisque le wagonnet part du quai » : on trouve alors x(3)=64x(3)=64 mètres au lieu de 7474, et surtout v(3)=24v(3)=24, qui contredit le radar. Dix mètres d'écart, et la contradiction se voit sans connaître la bonne réponse.

À savoir par cœur

  • • Une primitive est la table des dérivées lue de droite à gauche : F′=fF'=f, et rien d'autre.
  • • ∫xndx=xn+1n+1+C\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C pour n≠−1n\neq -1 ; le cas n=−1n=-1 donne ln⁡∣x∣+C\ln\left|x\right|+C, valeur absolue COMPRISE.
  • • L'exposant MONTE de 11 : x−5x^{-5} donne x−4x^{-4}, jamais x−6x^{-6}.
  • • Aucune règle du produit, aucune règle du quotient. Devant un produit, on réécrit ou on substitue.
  • • Substitution : uu ET u′u' en facteur, à une CONSTANTE près. Une constante manquante se compense, un xx manquant jamais.
  • • Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante SUR UN INTERVALLE : conséquence du théorème des accroissements finis.
  • • Chaque intégration ajoute une constante : de aa à xx, deux constantes, donc deux conditions.
  • • Vérification gratuite : dériver la réponse doit redonner l'intégrande, et réinjecter la donnée doit redonner la donnée.

Questions fréquentes

A quoi sert la constante si on ne me donne aucune condition initiale ?

Sans condition, la constante EST la réponse : elle dit que toutes les courbes parallèles obtenues conviennent, puisque la dérivation les ramène toutes à la même fonction. L'omettre revient à affirmer qu'une seule d'entre elles est la bonne, ce qui est faux, et cela coûte un demi-point à chaque intégrale.

Pourquoi étudie-t-on les primitives dans un cours de calcul différentiel ?

Parce que le plan-cadre du cours de calcul différentiel 201-NYA demande de calculer des intégrales élémentaires, et que la dernière semaine de session y est consacrée. On les rencontre donc avant l'intégrale définie : ici une primitive n'est que la table des dérivées lue dans l'autre sens, sans aucune aire ni borne.

Comment reconnaitre qu'une intégrale se fait par changement de variable ?

On cherche dans l'intégrande une fonction intérieure et sa dérivée en facteur, à une constante multiplicative près. Si le facteur manquant est un nombre, on l'ajuste et l'intégrale tombe. S'il manque une puissance de x, on ne substitue pas : l'intégrale change de nature et sort du programme de ce cours.

Comment trouver la constante quand la donnée n'est pas au temps zéro ?

On intègre d'abord et on garde la constante visible dans la formule. Ensuite on remplace le temps par la valeur donnée, par exemple trois secondes, on égale au nombre mesuré, et on résout en C. La constante ne se lit directement que si la donnée est au temps zéro et que le reste de la formule s'y annule.

Comment vérifier une primitive quand on n'a pas de corrigé ?

On dérive sa propre réponse. Si on retombe exactement sur la fonction de départ, la primitive est juste, quelle que soit son allure. Ce contrôle prend dix secondes et ne demande aucun théorème du cours suivant. Il ne valide pas la constante : pour elle, on réinjecte la donnée chiffrée de l'énoncé dans la formule finale.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'intégration élémentaire

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 10 exercices corrigés
  • 100 points
  • 150 minutes
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Voir aussi

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