Exercices corrigés : la dérivation implicite (201-103)

$2y\,y'=3x^{2}$, donc $y'=\frac{3x^{2}}{2y}$. Le point est sur la courbe : $3^{2}=2^{3}+1$. En $(2\,;3)$ : $y'=\frac{12}{6}=2$. Piège : dériver $y^{2}$ en $2y$ sans le facteur $y'$, ce qui ne laisse plus rien à isoler.

$2x+2y\,y'=0$, donc $y'=-\frac{x}{y}$. En $(2\,;-3)$ : $y'=-\frac{2}{-3}=\frac{2}{3}\approx 0{,}667$. Piège : le signe. L'ordonnée est négative, donc la pente est POSITIVE, ce que confirme le dessin d'un cercle dans sa moitié basse à droite.

$18x+8y\,y'=0$, donc $y'=-\frac{18x}{8y}=-\frac{9x}{4y}$. En $(2\,;3)$ : $y'=-\frac{18}{12}=-\frac{3}{2}=-1{,}5$. Les coefficients de l'ellipse passent dans la pente : $-\frac{9x}{4y}$, et non $-\frac{x}{y}$ comme pour un cercle.

Produit : $1\cdot y+x\,y'=0$, donc $y'=-\frac{y}{x}$. En $(4\,;5)$ : $y'=-\frac{5}{4}=-1{,}25$. Piège : écrire $(xy)'=y'$ en oubliant le terme $y$, ce qui donne $y'=0$.

Produit, avec une puissance de $y$ : $y^{3}+x\cdot 3y^{2}y'=0$, donc $y'=-\frac{y^{3}}{3xy^{2}}=-\frac{y}{3x}$. En $(2\,;2)$ : $y'=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}\approx-0{,}333$. Piège : $(y^{3})'=3y^{2}$, sans le $y'$.

Trois termes, dont un produit : $2x+(y+x\,y')+2y\,y'=0$. On regroupe : $y'(x+2y)=-(2x+y)$, donc $y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$. En $(1\,;2)$ : $y'=-\frac{4}{5}=-0{,}8$. Piège : dériver $xy$ en $y'$ seul, ce qui donne $-\frac{2x}{1+2y}=-0{,}4$.

$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{y'}{2\sqrt{y}}=0$, donc $y'=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$. En $(1\,;16)$ : $y'=-\frac{4}{1}=-4$. Le point vérifie l'équation, $1+4=5$, et la racine de $y$ se dérive comme celle de $x$, avec son $y'$ en plus.

$3y^{2}y'+(y+x\,y')=0$, donc $y'(3y^{2}+x)=-y$ et $y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$. En $(1\,;2)$ : $y'=-\frac{2}{12+1}=-\frac{2}{13}\approx-0{,}154$. Le point vérifie l'équation : $8+2=10$.

On prend le logarithme des deux membres, tous deux positifs au point : $2\ln x+3\ln y=\ln 72$. On dérive : $\frac{2}{x}+\frac{3y'}{y}=0$, donc $y'=-\frac{2y}{3x}$. En $(3\,;2)$ : $y'=-\frac{4}{9}\approx-0{,}444$. La voie directe donne la même chose, $2xy^{3}+3x^{2}y^{2}y'=0$, avec plus d'écriture. Piège : $(\ln y)'=\frac{y'}{y}$, pas $\frac{1}{y}$.

La chaîne sur une DIFFÉRENCE : $3(x-y)^{2}\cdot(1-y')=1$, car la dérivée de $x-y$ est $1-y'$. Donc $1-y'=\frac{1}{3(x-y)^{2}}$ et $y'=1-\frac{1}{3(x-y)^{2}}$. En $(8\,;6)$, $x-y=2$ : $y'=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\approx 0{,}917$. Piège : écrire $3(x-y)^{2}$ sans le facteur $(1-y')$, ce qui ne contient plus aucun $y'$.

Pour $w=10$ : $4\times 10-0{,}1\times 100=40-10=30$. Pour $w=30$ : $4\times 30-0{,}1\times 900=120-90=30$. Les deux couples conviennent, donc l'abscisse $h=30$ porte DEUX ordonnées, $w=10$ et $w=30$. Le test de la droite verticale échoue : la droite $h=30$ coupe la courbe deux fois, donc $w$ n'est pas une fonction de $h$. La figure le montre, la verticale en pointillés traverse la courbe en deux points. Économiquement, la lecture est limpide : trente heures hebdomadaires s'obtiennent aussi bien avec un salaire modeste qu'avec un salaire élevé, pour deux raisons opposées.

On dérive membre à membre par rapport à $h$. À gauche, $\dfrac{dh}{dh}=1$. À droite, chaque $w$ est une fonction inconnue de $h$, donc la règle de chaîne pose un facteur $\dfrac{dw}{dh}$ à chaque fois : $4\dfrac{dw}{dh}-0{,}2w\dfrac{dw}{dh}$. D'où $1=(4-0{,}2w)\dfrac{dw}{dh}$, puis $\dfrac{dw}{dh}=\dfrac{1}{4-0{,}2w}$. Le piège est de dériver $0{,}1w^{2}$ en $0{,}2w$ : cela reviendrait à calculer $\dfrac{dh}{dw}$, un autre nombre, et à rendre l'égalité fausse dès le premier membre.

En $w=10$ : $\dfrac{dw}{dh}=\dfrac{1}{4-2}=0{,}5$ dollar par heure. En $w=30$ : $\dfrac{dw}{dh}=\dfrac{1}{4-6}=-0{,}5$ dollar par heure. Les deux points ont la MÊME abscisse et des pentes opposées, ce qui est impossible pour une fonction. Le premier signe dit qu'il faut payer cinquante cents de plus pour obtenir une heure de plus, l'effet de substitution habituel. Le second dit l'inverse : à ce niveau de salaire, obtenir une heure de plus demande de BAISSER le salaire de cinquante cents, parce que le ménage, mieux payé, achète du temps libre.

La dérivée n'existe pas quand le dénominateur s'annule, soit $4-0{,}2w=0$, donc $w=20$ dollars, et alors $h=4\times 20-0{,}1\times 400=80-40=40$ heures. La tangente y est VERTICALE, et ce n'est pas une curiosité de dessin : c'est le maximum d'heures que ce ménage offrira jamais. Aucune variation de salaire, dans un sens ou dans l'autre, n'achète la quarante-et-unième heure. Attention à ne pas confondre avec une tangente horizontale, qui correspondrait à $\dfrac{dw}{dh}=0$ et n'arrive nulle part ici.

Parce que la dérivation implicite ne calcule pas la pente d'une fonction, elle calcule la pente de la COURBE en un POINT. Il faut donc donner le point, et non seulement l'abscisse : en $(30\,;10)$ la réponse est $+0{,}50$ dollar, en $(30\,;30)$ elle est $-0{,}50$ dollar. C'est exactement ce que dit la présence de $w$ dans l'expression $\dfrac{1}{4-0{,}2w}$, et c'est pourquoi une pente implicite qui ne dépendrait que de $h$ serait suspecte.

$\dfrac{d}{dx}\bigl(5y^{2}\bigr)=10y\,\dfrac{dy}{dx}$, par la règle de chaîne : on dérive la puissance, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur, qui est $\dfrac{dy}{dx}$. En $y=2$ et $\dfrac{dy}{dx}=3$ : $10\times 2\times 3=60$. Ensuite $\dfrac{d}{dx}(xy)=y+x\,\dfrac{dy}{dx}$, règle du produit ; en $x=4$, $y=2$, $\dfrac{dy}{dx}=3$ : $2+4\times 3=14$. Enfin $\dfrac{d}{dx}\bigl(y^{0{,}4}\bigr)=0{,}4\,y^{-0{,}6}\,\dfrac{dy}{dx}$ ; en $y=32$, comme $32^{0{,}6}=8$, on a $32^{-0{,}6}=0{,}125$, donc $0{,}4\times 0{,}125\times 3=0{,}15$.

Vérification : $2\times 15+3\times 16+0{,}05\times 15\times 16=30+48+12=90$, le panier est bien sur la contrainte. On dérive : $2+3\dfrac{dy}{dx}+0{,}05\left(y+x\dfrac{dy}{dx}\right)=0$, le dernier terme par la règle du produit. On regroupe : $2+0{,}05y+\left(3+0{,}05x\right)\dfrac{dy}{dx}=0$, d'où $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2+0{,}05y}{3+0{,}05x}$. Le membre de droite valait 90, une constante, donc sa dérivée est nulle : c'est ce zéro qui rend l'isolement possible.

En $(15\,;16)$ : le numérateur vaut $2+0{,}8=2{,}8$, le dénominateur $3+0{,}75=3{,}75$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2{,}8}{3{,}75}\approx -0{,}747$. Pour acheter une unité de plus du bien A en restant dans son budget, le ménage doit renoncer à $0{,}747$ unité du bien B. Le signe négatif est le signe d'une contrainte : on ne peut pas augmenter les deux quantités en même temps.

En oubliant le second terme de la règle du produit, il écrit $2+0{,}05y+3\dfrac{dy}{dx}=0$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2{,}8}{3}\approx -0{,}933$. Le rapport des deux valeurs vaut $\dfrac{0{,}9333}{0{,}7467}=1{,}25$ : il surestime le sacrifice de 25 pour cent, exactement. Une erreur de ce genre ne se voit pas à l'oeil, parce que le résultat reste négatif et plausible, et c'est ce qui la rend coûteuse en examen.

Sans le terme croisé, $2+3\dfrac{dy}{dx}=0$ donne $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2}{3}\approx -0{,}667$ : le troc est le simple rapport des prix. Le terme de manutention ajoute $0{,}05y=0{,}80$ dollar au coût marginal du bien A, soit 40 pour cent de son prix de 2 dollars, et $0{,}05x=0{,}75$ dollar à celui du bien B, soit 25 pour cent de son prix de 3 dollars. Le bien A renchérit proportionnellement plus, donc le troc bascule en sa défaveur, de $0{,}667$ à $0{,}747$.

On dérive les deux membres par rapport à $x$. Le terme $xy$ est un produit, donc $y+x\,\dfrac{dy}{dx}$ ; le membre de droite est une constante, donc zéro. D'où $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x}$. En $(4\,;9)$, qui est bien sur la courbe puisque $4\times 9=36$, la pente vaut $-\dfrac{9}{4}=-2{,}25$. Le ménage cède $2{,}25$ unités du second bien pour une unité de plus du premier.

Ici $y$ s'isole : $y=\dfrac{36}{x}=36x^{-1}$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-36x^{-2}=-\dfrac{36}{x^{2}}$. En $x=4$ : $-\dfrac{36}{16}=-2{,}25$, le même nombre. Les deux expressions coïncident parce que, SUR LA COURBE, $y=\dfrac{36}{x}$ : en remplaçant dans la forme implicite, $-\dfrac{y}{x}=-\dfrac{36/x}{x}=-\dfrac{36}{x^{2}}$. Elles ne coïncident pas ailleurs, et c'est normal : la forme implicite n'a de sens qu'en un point de la courbe.

Vérification : $3\times 9\times 1+1^{3}=27+1=28$. On dérive : $3\left(y+x\dfrac{dy}{dx}\right)+3y^{2}\dfrac{dy}{dx}=0$, le premier crochet par la règle du produit et le second terme par la règle de chaîne. On regroupe : $3y+\left(3x+3y^{2}\right)\dfrac{dy}{dx}=0$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x+y^{2}}$. En $(9\,;1)$ : $-\dfrac{1}{9+1}=-0{,}1$. Ici la voie explicite est fermée : isoler $y$ demanderait de résoudre une équation du troisième degré en $y$ pour chaque $x$, et la formule de Cardan qui existe n'est d'aucun usage en pratique.

La pente annonce $\Delta y\approx -0{,}1\times 0{,}1=-0{,}010$. L'accroissement réel vaut $0{,}9901-1=-0{,}0099$. L'écart entre les deux est de $0{,}0001$, soit un pour cent de l'accroissement : la pente est confirmée. Cette vérification est la seule façon honnête de contrôler une dérivée implicite quand aucune formule explicite ne permet de recalculer.

La règle : si $y$ s'isole proprement, les deux voies conviennent et l'explicite donne une pente écrite en fonction de $x$ SEUL ; sinon, l'implicite est la seule voie. Ce que l'implicite donne de plus, c'est qu'elle fonctionne sur des courbes qui ne sont le graphe d'aucune fonction, et qu'elle livre la pente en fonction du POINT, ce qui est la forme utile en économie où l'on connaît toujours le panier courant.

Vérification : $12^{2}+4\times 8^{2}=144+256=400$. On dérive les deux membres par rapport à $x$ : $2x+8y\,\dfrac{dy}{dx}=0$, le second terme par la règle de chaîne appliquée à $4y^{2}$. D'où $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{8y}=-\dfrac{x}{4y}$. Écrire $2x+8y=0$ serait l'erreur classique, et elle donnerait ici $y=-3$, une production négative : l'absurdité du résultat trahit l'oubli du facteur.

$\text{TMT}=-\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{12}{4\times 8}=\dfrac{12}{32}=0{,}375$. Pour produire mille tonnes d'agricole de plus, cette économie doit renoncer à 375 unités de biens industriels. Le TMT est positif parce que la pente est négative : c'est un sacrifice, et on l'énonce toujours en valeur positive.

En $(16\,;6)$ : $\text{TMT}=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$, soit presque le double du précédent. En $(0\,;10)$ : $\text{TMT}=0$, la tangente est horizontale, et cela se lit bien, puisque la première tonne d'agricole ne coûte presque rien quand l'économie n'en produit aucune. En $(20\,;0)$ le dénominateur $4y$ s'annule : la dérivée n'existe pas, la tangente est VERTICALE. Aucune quantité de biens industriels ne paie la tonne supplémentaire, l'économie est déjà entièrement spécialisée.

Sur la partie utile, $y=\dfrac{\sqrt{400-x^{2}}}{2}$, donc $\text{TMT}=\dfrac{x}{4y}=\dfrac{x}{2\sqrt{400-x^{2}}}$. Quand $x$ croît de 0 à 20, le numérateur croît et le dénominateur décroît, donc le quotient croît strictement. C'est la LOI DES COÛTS D'OPPORTUNITÉ CROISSANTS, démontrée et pas seulement affirmée : plus une économie se spécialise, plus chaque unité supplémentaire lui coûte cher, parce qu'elle déplace vers l'agriculture des ressources de moins en moins adaptées.

La tangente passe par $(12\,;8)$ avec la pente $-0{,}375$ : $y-8=-0{,}375(x-12)$, donc $y=12{,}5-0{,}375x$. Son ordonnée à l'origine vaut $12{,}5$, alors que la production industrielle maximale est $y=10$, atteinte en $x=0$. La tangente promet donc $12{,}5$ milliers d'unités là où la frontière n'en donne que 10. Le TMT est un taux LOCAL : il vaut au voisinage du point et ne s'extrapole pas, exactement comme un coût marginal ne se multiplie pas par cent unités.