Exercices corrigés : la dérivation implicite (201-103)

a) Pour $w=10$ : $4\times 10-0{,}1\times 100=40-10=30$. Pour $w=30$ : $4\times 30-0{,}1\times 900=120-90=30$. Les deux couples conviennent, donc l'abscisse $h=30$ porte DEUX ordonnées, $w=10$ et $w=30$. Le test de la droite verticale échoue : la droite $h=30$ coupe la courbe deux fois, donc $w$ n'est pas une fonction de $h$. La figure le montre, la verticale en pointillés traverse la courbe en deux points. Économiquement, la lecture est limpide : trente heures hebdomadaires s'obtiennent aussi bien avec un salaire modeste qu'avec un salaire élevé, pour deux raisons opposées.

b) On dérive membre à membre par rapport à $h$. À gauche, $\dfrac{dh}{dh}=1$. À droite, chaque $w$ est une fonction inconnue de $h$, donc la règle de chaîne pose un facteur $\dfrac{dw}{dh}$ à chaque fois : $4\dfrac{dw}{dh}-0{,}2w\dfrac{dw}{dh}$. D'où $1=(4-0{,}2w)\dfrac{dw}{dh}$, puis $\dfrac{dw}{dh}=\dfrac{1}{4-0{,}2w}$. Le piège est de dériver $0{,}1w^{2}$ en $0{,}2w$ : cela reviendrait à calculer $\dfrac{dh}{dw}$, un autre nombre, et à rendre l'égalité fausse dès le premier membre.

c) En $w=10$ : $\dfrac{dw}{dh}=\dfrac{1}{4-2}=0{,}5$ dollar par heure. En $w=30$ : $\dfrac{dw}{dh}=\dfrac{1}{4-6}=-0{,}5$ dollar par heure. Les deux points ont la MÊME abscisse et des pentes opposées, ce qui est impossible pour une fonction. Le premier signe dit qu'il faut payer cinquante cents de plus pour obtenir une heure de plus, l'effet de substitution habituel. Le second dit l'inverse : à ce niveau de salaire, obtenir une heure de plus demande de BAISSER le salaire de cinquante cents, parce que le ménage, mieux payé, achète du temps libre.

d) La dérivée n'existe pas quand le dénominateur s'annule, soit $4-0{,}2w=0$, donc $w=20$ dollars, et alors $h=4\times 20-0{,}1\times 400=80-40=40$ heures. La tangente y est VERTICALE, et ce n'est pas une curiosité de dessin : c'est le maximum d'heures que ce ménage offrira jamais. Aucune variation de salaire, dans un sens ou dans l'autre, n'achète la quarante-et-unième heure. Attention à ne pas confondre avec une tangente horizontale, qui correspondrait à $\dfrac{dw}{dh}=0$ et n'arrive nulle part ici.

e) Parce que la dérivation implicite ne calcule pas la pente d'une fonction, elle calcule la pente de la COURBE en un POINT. Il faut donc donner le point, et non seulement l'abscisse : en $(30\,;10)$ la réponse est $+0{,}50$ dollar, en $(30\,;30)$ elle est $-0{,}50$ dollar. C'est exactement ce que dit la présence de $w$ dans l'expression $\dfrac{1}{4-0{,}2w}$, et c'est pourquoi une pente implicite qui ne dépendrait que de $h$ serait suspecte.

a) $\dfrac{d}{dx}\bigl(5y^{2}\bigr)=10y\,\dfrac{dy}{dx}$, par la règle de chaîne : on dérive la puissance, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur, qui est $\dfrac{dy}{dx}$. En $y=2$ et $\dfrac{dy}{dx}=3$ : $10\times 2\times 3=60$. Ensuite $\dfrac{d}{dx}(xy)=y+x\,\dfrac{dy}{dx}$, règle du produit ; en $x=4$, $y=2$, $\dfrac{dy}{dx}=3$ : $2+4\times 3=14$. Enfin $\dfrac{d}{dx}\bigl(y^{0{,}4}\bigr)=0{,}4\,y^{-0{,}6}\,\dfrac{dy}{dx}$ ; en $y=32$, comme $32^{0{,}6}=8$, on a $32^{-0{,}6}=0{,}125$, donc $0{,}4\times 0{,}125\times 3=0{,}15$.

b) Vérification : $2\times 15+3\times 16+0{,}05\times 15\times 16=30+48+12=90$, le panier est bien sur la contrainte. On dérive : $2+3\dfrac{dy}{dx}+0{,}05\left(y+x\dfrac{dy}{dx}\right)=0$, le dernier terme par la règle du produit. On regroupe : $2+0{,}05y+\left(3+0{,}05x\right)\dfrac{dy}{dx}=0$, d'où $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2+0{,}05y}{3+0{,}05x}$. Le membre de droite valait 90, une constante, donc sa dérivée est nulle : c'est ce zéro qui rend l'isolement possible.

c) En $(15\,;16)$ : le numérateur vaut $2+0{,}8=2{,}8$, le dénominateur $3+0{,}75=3{,}75$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2{,}8}{3{,}75}\approx -0{,}747$. Pour acheter une unité de plus du bien A en restant dans son budget, le ménage doit renoncer à $0{,}747$ unité du bien B. Le signe négatif est le signe d'une contrainte : on ne peut pas augmenter les deux quantités en même temps.

d) En oubliant le second terme de la règle du produit, il écrit $2+0{,}05y+3\dfrac{dy}{dx}=0$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2{,}8}{3}\approx -0{,}933$. Le rapport des deux valeurs vaut $\dfrac{0{,}9333}{0{,}7467}=1{,}25$ : il surestime le sacrifice de 25 pour cent, exactement. Une erreur de ce genre ne se voit pas à l'oeil, parce que le résultat reste négatif et plausible, et c'est ce qui la rend coûteuse en examen.

e) Sans le terme croisé, $2+3\dfrac{dy}{dx}=0$ donne $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2}{3}\approx -0{,}667$ : le troc est le simple rapport des prix. Le terme de manutention ajoute $0{,}05y=0{,}80$ dollar au coût marginal du bien A, soit 40 pour cent de son prix de 2 dollars, et $0{,}05x=0{,}75$ dollar à celui du bien B, soit 25 pour cent de son prix de 3 dollars. Le bien A renchérit proportionnellement plus, donc le troc bascule en sa défaveur, de $0{,}667$ à $0{,}747$.

a) On dérive les deux membres par rapport à $x$. Le terme $xy$ est un produit, donc $y+x\,\dfrac{dy}{dx}$ ; le membre de droite est une constante, donc zéro. D'où $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x}$. En $(4\,;9)$, qui est bien sur la courbe puisque $4\times 9=36$, la pente vaut $-\dfrac{9}{4}=-2{,}25$. Le ménage cède $2{,}25$ unités du second bien pour une unité de plus du premier.

b) Ici $y$ s'isole : $y=\dfrac{36}{x}=36x^{-1}$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-36x^{-2}=-\dfrac{36}{x^{2}}$. En $x=4$ : $-\dfrac{36}{16}=-2{,}25$, le même nombre. Les deux expressions coïncident parce que, SUR LA COURBE, $y=\dfrac{36}{x}$ : en remplaçant dans la forme implicite, $-\dfrac{y}{x}=-\dfrac{36/x}{x}=-\dfrac{36}{x^{2}}$. Elles ne coïncident pas ailleurs, et c'est normal : la forme implicite n'a de sens qu'en un point de la courbe.

c) Vérification : $3\times 9\times 1+1^{3}=27+1=28$. On dérive : $3\left(y+x\dfrac{dy}{dx}\right)+3y^{2}\dfrac{dy}{dx}=0$, le premier crochet par la règle du produit et le second terme par la règle de chaîne. On regroupe : $3y+\left(3x+3y^{2}\right)\dfrac{dy}{dx}=0$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x+y^{2}}$. En $(9\,;1)$ : $-\dfrac{1}{9+1}=-0{,}1$. Ici la voie explicite est fermée : isoler $y$ demanderait de résoudre une équation du troisième degré en $y$ pour chaque $x$, et la formule de Cardan qui existe n'est d'aucun usage en pratique.

d) La pente annonce $\Delta y\approx -0{,}1\times 0{,}1=-0{,}010$. L'accroissement réel vaut $0{,}9901-1=-0{,}0099$. L'écart entre les deux est de $0{,}0001$, soit un pour cent de l'accroissement : la pente est confirmée. Cette vérification est la seule façon honnête de contrôler une dérivée implicite quand aucune formule explicite ne permet de recalculer.

e) La règle : si $y$ s'isole proprement, les deux voies conviennent et l'explicite donne une pente écrite en fonction de $x$ SEUL ; sinon, l'implicite est la seule voie. Ce que l'implicite donne de plus, c'est qu'elle fonctionne sur des courbes qui ne sont le graphe d'aucune fonction, et qu'elle livre la pente en fonction du POINT, ce qui est la forme utile en économie où l'on connaît toujours le panier courant.

a) Vérification : $12^{2}+4\times 8^{2}=144+256=400$. On dérive les deux membres par rapport à $x$ : $2x+8y\,\dfrac{dy}{dx}=0$, le second terme par la règle de chaîne appliquée à $4y^{2}$. D'où $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{8y}=-\dfrac{x}{4y}$. Écrire $2x+8y=0$ serait l'erreur classique, et elle donnerait ici $y=-3$, une production négative : l'absurdité du résultat trahit l'oubli du facteur.

b) $\text{TMT}=-\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{12}{4\times 8}=\dfrac{12}{32}=0{,}375$. Pour produire mille tonnes d'agricole de plus, cette économie doit renoncer à 375 unités de biens industriels. Le TMT est positif parce que la pente est négative : c'est un sacrifice, et on l'énonce toujours en valeur positive.

c) En $(16\,;6)$ : $\text{TMT}=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$, soit presque le double du précédent. En $(0\,;10)$ : $\text{TMT}=0$, la tangente est horizontale, et cela se lit bien, puisque la première tonne d'agricole ne coûte presque rien quand l'économie n'en produit aucune. En $(20\,;0)$ le dénominateur $4y$ s'annule : la dérivée n'existe pas, la tangente est VERTICALE. Aucune quantité de biens industriels ne paie la tonne supplémentaire, l'économie est déjà entièrement spécialisée.

d) Sur la partie utile, $y=\dfrac{\sqrt{400-x^{2}}}{2}$, donc $\text{TMT}=\dfrac{x}{4y}=\dfrac{x}{2\sqrt{400-x^{2}}}$. Quand $x$ croît de 0 à 20, le numérateur croît et le dénominateur décroît, donc le quotient croît strictement. C'est la LOI DES COÛTS D'OPPORTUNITÉ CROISSANTS, démontrée et pas seulement affirmée : plus une économie se spécialise, plus chaque unité supplémentaire lui coûte cher, parce qu'elle déplace vers l'agriculture des ressources de moins en moins adaptées.

e) La tangente passe par $(12\,;8)$ avec la pente $-0{,}375$ : $y-8=-0{,}375(x-12)$, donc $y=12{,}5-0{,}375x$. Son ordonnée à l'origine vaut $12{,}5$, alors que la production industrielle maximale est $y=10$, atteinte en $x=0$. La tangente promet donc $12{,}5$ milliers d'unités là où la frontière n'en donne que 10. Le TMT est un taux LOCAL : il vaut au voisinage du point et ne s'extrapole pas, exactement comme un coût marginal ne se multiplie pas par cent unités.

a) En dérivant $K^{0{,}3}L^{0{,}7}=100$ par rapport à $L$, avec la règle du produit puis la règle de chaîne sur $K^{0{,}3}$ : $0{,}3K^{-0{,}7}\dfrac{dK}{dL}\,L^{0{,}7}+0{,}7K^{0{,}3}L^{-0{,}3}=0$. C'est juste, mais lourd : quatre exposants fractionnaires, deux règles emboîtées, et l'isolement de $\dfrac{dK}{dL}$ demande encore de manipuler des puissances de signes contraires. La moitié des erreurs de ce chapitre se font ici.

b) Le logarithme transforme le produit en somme et les exposants en coefficients : $0{,}3\ln K+0{,}7\ln L=\ln 100$. On dérive par rapport à $L$, en se souvenant que $K$ est une fonction de $L$, donc que $\ln K$ laisse un facteur de chaîne : $0{,}3\times\dfrac{1}{K}\times\dfrac{dK}{dL}+0{,}7\times\dfrac{1}{L}=0$. D'où $\dfrac{dK}{dL}=-\dfrac{0{,}7}{0{,}3}\times\dfrac{K}{L}=-\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{K}{L}$. Trois lignes, aucun exposant.

c) On divise l'égalité de a) par $K^{0{,}3}L^{0{,}7}$, qui n'est jamais nul : le premier terme devient $0{,}3\dfrac{1}{K}\dfrac{dK}{dL}$ et le second $0{,}7\dfrac{1}{L}$. On retrouve exactement l'égalité de b). Autrement dit, la dérivation logarithmique n'est pas une autre méthode : c'est la même, divisée à l'avance par la quantité qui encombre.

d) $100^{0{,}3}\times 100^{0{,}7}=100^{1}=100$, le point est bien sur l'isoquante. En $(100\,;100)$ : $\dfrac{dK}{dL}=-\dfrac{7}{3}\times 1\approx -2{,}333$, donc un travailleur de plus permet d'économiser $2{,}333$ heures-machine. Pour $L=150$, on tire $K$ de l'isoquante : $0{,}3\ln K=\ln 100-0{,}7\ln 150$, soit $\ln K=\dfrac{10}{3}\ln 100-\dfrac{7}{3}\ln 150\approx 3{,}659$, donc $K\approx 38{,}83$ heures-machine. Alors $\dfrac{dK}{dL}=-\dfrac{7}{3}\times\dfrac{38{,}83}{150}\approx -0{,}604$ : le même travailleur supplémentaire ne fait plus économiser que six dixièmes d'heure machine. Une entreprise déjà riche en travail tire beaucoup moins d'un travailleur de plus.

e) Pour $K^{a}L^{b}=c$, la même démarche donne $a\ln K+b\ln L=\ln c$, puis $\dfrac{dK}{dL}=-\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{K}{L}$. Le taux marginal de substitution technique est l'opposé de cette pente, $\text{TMST}=\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{K}{L}$. Quand $K=L$, il se réduit au rapport des exposants, ici $\dfrac{0{,}7}{0{,}3}=\dfrac{7}{3}\approx 2{,}333$. Ce rapport est celui des parts du revenu qui vont au travail et au capital dans le modèle : la dérivation implicite vient de démontrer un résultat que le cours de microéconomie énoncera sans preuve.

a) On écrit la courbe $x^{1/2}y=18$ et on dérive les deux membres par rapport à $x$, avec la règle du produit : $\dfrac{1}{2}x^{-1/2}\,y+x^{1/2}\,\dfrac{dy}{dx}=0$. On isole : $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{2x^{1/2}\times x^{1/2}}=-\dfrac{y}{2x}$. Le facteur $\dfrac{dy}{dx}$ vient de la règle de chaîne appliquée au $y$ du produit ; sans lui, l'égalité n'aurait plus d'inconnue et le calcul s'arrêterait sur une impossibilité.

b) Les quatre points conviennent : $\sqrt{1}\times 18=18$, $\sqrt{4}\times 9=2\times 9=18$, $\sqrt{9}\times 6=3\times 6=18$ et $\sqrt{36}\times 3=6\times 3=18$. Le TMS vaut $\dfrac{y}{2x}$, donc $\dfrac{18}{2}=9$ en $(1\,;18)$, $\dfrac{9}{8}=1{,}125$ en $(4\,;9)$, $\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333$ en $(9\,;6)$ et $\dfrac{3}{72}=\dfrac{1}{24}\approx 0{,}042$ en $(36\,;3)$. Quatre points de la MÊME courbe, quatre trocs différents : la pente dépend du point, jamais de la seule abscisse.

c) Cela signifie que, partant de ce panier, le ménage est prêt à céder $1{,}125$ sortie culturelle pour obtenir un repas de plus au restaurant, sans se sentir ni gagnant ni perdant. Le nombre est positif parce que le TMS est l'OPPOSÉ de la pente ; la pente, elle, vaut $-1{,}125$, et c'est elle qui dit qu'on ne peut pas gagner sur les deux tableaux.

d) Sur la courbe, $y=\dfrac{18}{\sqrt{x}}$, donc $\text{TMS}=\dfrac{y}{2x}=\dfrac{18}{2x\sqrt{x}}=9\,x^{-3/2}$, qui décroît strictement quand $x$ augmente. Les quatre valeurs de b) le confirment, de 9 à $0{,}042$. Ce résultat traduit la CONVEXITÉ de la courbe : plus le ménage a déjà de repas au restaurant, moins il est prêt à sacrifier de sorties pour un repas de plus. C'est l'hypothèse standard de la microéconomie, et la dérivation implicite vient de la démontrer sur un cas précis au lieu de l'énoncer.

e) L'échange proposé demande 2 sorties pour 1 repas, alors que le ménage n'en accepterait que $1{,}125$ : l'offre est plus chère que son troc, donc il REFUSE, car il tomberait sous sa courbe d'indifférence. Il accepterait tout échange demandant moins de $1{,}125$ sortie par repas, et il serait strictement gagnant en dessous. Le TMS n'est donc pas une mesure abstraite : c'est le prix maximal, exprimé en sorties, qu'il consent à payer pour un repas de plus.

a) En dérivant $2x+y=40$ par rapport à $x$ : $2+\dfrac{dy}{dx}=0$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-2$ et $\text{TMS}=2$. Le point n'apparaît nulle part : le TMS est CONSTANT sur toute la courbe. C'est cohérent avec le sens économique, puisqu'un grand format vaut deux petits quel que soit le panier de départ ; les deux biens sont parfaitement interchangeables à un taux fixe, et la courbe d'indifférence est une droite.

b) On écrit $2x^{1/2}+y=20$ et on dérive : $x^{-1/2}+\dfrac{dy}{dx}=0$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ et $\text{TMS}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$. En $x=4$ : $0{,}5$ ; en $x=16$ : $0{,}25$ ; en $x=25$ : $0{,}2$. Le TMS décroît, mais il ne dépend PAS de $y$ : deux courbes d'indifférence différentes ont la même pente au-dessus d'une même abscisse. C'est la signature des préférences quasi linéaires, et c'est pourquoi on les emploie quand un des deux biens représente « tout le reste du budget ».

c) De $x^{a}y^{b}=c$ on tire $a\ln x+b\ln y=\ln c$, puis, en dérivant par rapport à $x$ et en gardant le facteur de chaîne sur $\ln y$ : $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}\,\dfrac{dy}{dx}=0$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{y}{x}$ et $\text{TMS}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{y}{x}$. L'exercice 6 portait sur $x^{1/2}y=18$, donc $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=1$ : la formule donne $\dfrac{1/2}{1}\times\dfrac{y}{x}=\dfrac{y}{2x}$, ce qui est exactement le résultat trouvé là-bas.

d) Substituts parfaits : le TMS ne dépend d'AUCUNE des deux variables, il est constant. Quasi linéaire : il dépend de $x$ SEUL. Cobb-Douglas : il dépend des DEUX, par le rapport $\dfrac{y}{x}$. Ce classement est le meilleur contrôle de copie du chapitre : si un TMS de Cobb-Douglas sort sans $y$, le facteur de chaîne a été oublié quelque part.

e) Les substituts parfaits y dérogent, puisque leur TMS est constant. La conséquence est directe : avec des courbes d'indifférence rectilignes, il n'existe pas de point où la courbe est tangente à la droite de budget, et le ménage achète TOUT d'un seul bien, celui dont le rapport qualité-prix est le meilleur. C'est une solution en coin. Le TMS décroissant, au contraire, garantit un panier intérieur unique, celui que l'exercice 10 calcule.

a) FAUX. La dérivée de $y^{2}$ PAR RAPPORT À $y$ vaut $2y$ ; par rapport à $x$, la règle de chaîne impose un facteur de plus : $\dfrac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\,\dfrac{dy}{dx}$. C'est l'erreur qui annule tout un exercice, parce que le résultat reste une expression plausible. Contrôle rapide : si le calcul ne laisse aucun $\dfrac{dy}{dx}$ à isoler, c'est qu'on a oublié de le poser.