Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : la dérivation implicite (201-103)

En sciences humaines, une relation implicite n'est presque jamais une courbe géométrique : c'est une CONTRAINTE D'ÉQUILIBRE entre deux grandeurs qu'aucune des deux ne détermine seule. Une courbe d'indifférence, une isoquante de production, une contrainte budgétaire, une frontière des possibilités, une courbe de Phillips. Le calcul est toujours le même, et il tient en trois temps : dériver les deux membres en traitant $y$ comme une fonction de $x$ , isoler $\dfrac{dy}{dx}$ , puis LIRE le nombre obtenu dans le vocabulaire de l'énoncé.

Cette fiche ne reprend pas le cours : elle liste ce qui fait perdre des points. Le facteur $\dfrac{dy}{dx}$ oublié, qui est la faute mécanique et fatale du chapitre ; la croyance que la pente ne dépend que de $x$ ; la tangente verticale confondue avec une dérivée nulle ; le signe du taux marginal, qui est l'OPPOSÉ de la pente ; et la dérivation logarithmique laissée de côté sur un produit de puissances, ce qui coûte une page de calculs.

Le fil du chapitre

Sur une contrainte d'équilibre, $x$ et $y$ ne se déterminent pas l'un l'autre, ils se COMPENSENT. Chaque $y$ que l'on dérive laisse derrière lui un facteur $\dfrac{dy}{dx}$ , et le nombre obtenu est le taux de ce troc, attaché à un POINT et jamais à une abscisse seule.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La dérivée et les règles de dérivation Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
3La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
4Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
5Les fonctions et leur domaine
6Les limites et la continuité
7La dérivée et les règles de dérivation

Notions couvertes

Dérivation implicite
Règle de chaîne
Règle du produit
Courbe d'indifférence
Isoquante
Taux marginal de substitution
Taux marginal de transformation
Dérivation logarithmique
Fonction de production de Cobb-Douglas
Contrainte budgétaire
Tangente verticale
Optimum du consommateur

L'essentiel

Le geste, en trois temps

• Une contrainte d'équilibre lie $x$ et $y$ sans qu'aucune des deux ne détermine l'autre. On ne cherche donc pas à isoler $y$ : on cherche la PENTE au panier où l'on se trouve.
• Temps 1 : dériver les DEUX membres par rapport à $x$ , en traitant $y$ comme une fonction de $x$ que l'on ne connaît pas. Le membre de droite est une constante, donc sa dérivée vaut $0$ , et c'est ce zéro qui rend l'isolement possible.
• Temps 2 : regrouper d'un côté tous les termes qui portent $\dfrac{dy}{dx}$ , mettre $\dfrac{dy}{dx}$ en facteur, diviser.
• Temps 3 : évaluer au POINT donné, puis lire le nombre avec son signe et les deux unités de l'énoncé. Une pente rendue sans phrase d'interprétation n'est jamais notée entièrement.

La tangente en

(4\,;9)

a une pente NÉGATIVE,

-1{,}125

: le taux marginal de substitution est son opposé,

1{,}125

sortie culturelle cédée pour un repas de plus.

Écrire en toutes lettres « $y$ est une fonction de $x$ » avant la première ligne rapporte souvent un demi-point de rigueur, et surtout vous force à poser le facteur de chaîne au bon endroit.

Le nom du nombre, selon la contrainte

• Sur une courbe d'indifférence : $\text{TMS}=-\dfrac{dy}{dx}$ , le taux marginal de substitution, ce que le ménage accepte de céder du second bien pour une unité du premier.
• Sur une isoquante : $\text{TMST}=-\dfrac{dK}{dL}$ , le taux marginal de substitution technique, les heures-machine qu'un travailleur de plus remplace à production constante.
• Sur une frontière des possibilités de production : $\text{TMT}=-\dfrac{dy}{dx}$ , le taux marginal de transformation, c'est-à-dire le coût d'opportunité.
• Les trois sont POSITIFS parce que la pente est négative. Une contrainte décroissante est un arbitrage : on ne peut pas gagner sur les deux tableaux.
• Sur une contrainte budgétaire $p_{x}x+p_{y}y=R$ , la pente vaut $-\dfrac{p_{x}}{p_{y}}$ . C'est le troc que le MARCHÉ impose, et il est le même en tout point, contrairement au taux marginal.

Le mot de l'énoncé décide du nom ; le calcul, lui, est identique dans les quatre cas. Un élève qui écrit « TMS » sur une frontière des possibilités montre qu'il a appris un mot, pas une méthode.

La dérivation logarithmique, pour les produits de puissances

• Dès que la contrainte s'écrit $x^{a}y^{b}=c$ , on prend le logarithme AVANT de dériver : $a\ln x+b\ln y=\ln c$ .
• On dérive alors par rapport à $x$ , sans oublier le facteur de chaîne sur $\ln y$ : $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}\,\dfrac{dy}{dx}=0$ .
• D'où $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{y}{x}$ , et le taux marginal vaut $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{y}{x}$ . Trois lignes, aucun exposant fractionnaire.
• C'est exactement la forme d'une fonction de production de Cobb-Douglas, la plus fréquente de tout le cours d'économie.

Ce n'est pas une autre méthode : c'est la même, divisée à l'avance par $x^{a}y^{b}$ , la quantité qui encombre. Les deux voies donnent le même nombre, et l'une tient en trois lignes.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Chaque terme, sa dérivée, et le facteur qu'il laisse

On dérive par rapport à $x$ , et $y$ est une fonction de $x$ . La colonne de droite est ce qu'on écrit sur la copie. La case rouge n'est pas une réponse : c'est la règle qui n'existe pas.

Terme	Facteur de chaîne	Dérivée par rapport à $x$
$x^{3}$	non	$3x^{2}$
Exemple : En $x=2$ : $3\times 2^{2}=12$ .
$y^{3}$	oui	$3y^{2}\,\dfrac{dy}{dx}$
Exemple : En $y=2$ et $\dfrac{dy}{dx}=5$ : $3\times 4\times 5=60$ .
$xy$	oui, produit	$y+x\,\dfrac{dy}{dx}$
Exemple : En $x=4$ , $y=2$ , $\dfrac{dy}{dx}=3$ : $2+4\times 3=14$ .
$x^{2}y$	oui, produit	$2xy+x^{2}\,\dfrac{dy}{dx}$
Exemple : En $x=3$ , $y=5$ , $\dfrac{dy}{dx}=2$ : $30+18=48$ .
$y^{0{,}4}$	oui	$0{,}4\,y^{-0{,}6}\,\dfrac{dy}{dx}$
Exemple : En $y=32$ et $\dfrac{dy}{dx}=3$ : $0{,}4\times 0{,}125\times 3=0{,}15$ .
$\ln y$	oui	$\dfrac{1}{y}\,\dfrac{dy}{dx}$
Exemple : En $y=4$ et $\dfrac{dy}{dx}=8$ : $\dfrac{8}{4}=2$ .
$48$	non	$0$
Exemple : Le membre de droite de $u^{2}\pi=48$ donne $0$ , et c'est ce zéro qui permet d'isoler la pente.
$4y^{2}$	oublié	$8y$ règle inexistante
Exemple : Sur $x^{2}+4y^{2}=400$ , l'égalité $2x+8y=0$ donnerait $y=-3$ en $x=12$ , une production négative, alors que le point de la frontière est $(12\,;8)$ . Ce qu'il faut faire : Poser $\dfrac{d}{dx}\bigl(4y^{2}\bigr)=8y\,\dfrac{dy}{dx}$ , puis isoler : $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{4y}$ , soit $-0{,}375$ en $(12\,;8)$ .

Une seule question à se poser sur chaque terme : est-ce que $y$ y apparaît ? Si oui, un facteur $\dfrac{dy}{dx}$ en sort, sans exception.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Dériver $y^{2}$ comme si $y$ était un nombre

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{d}{dx}\bigl(4y^{2}\bigr)=8y$ , donc $2x+8y=0$ et $y=-\dfrac{x}{4}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $y$ est une fonction de $x$ , donc $\dfrac{d}{dx}\bigl(4y^{2}\bigr)=8y\,\dfrac{dy}{dx}$ ; l'équation devient $2x+8y\,\dfrac{dy}{dx}=0$ et $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{4y}$ . »

Pourquoi : Le résultat faux reste une expression plausible, donc rien ne vous alerte : en $x=12$ il annonce $y=-3$ , une production négative, alors que le point de la frontière est $(12\,;8)$ . Contrôle immédiat : si le calcul ne laisse aucun $\dfrac{dy}{dx}$ à isoler, le facteur a été oublié.

2. Croire que la pente ne dépend que de $x$

2 points, et l'interprétation qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'obtiens $\dfrac{dw}{dh}=\dfrac{1}{4-0{,}2w}$ , mais il reste un $w$ dans ma réponse : je dois m'être trompé. »

Ce qu'il faut écrire

« La pente est attachée à un POINT, donc elle dépend de $x$ ET de $y$ : en $(30\,;10)$ elle vaut $+0{,}50$ dollar par heure, et en $(30\,;30)$ elle vaut $-0{,}50$ . »

Deux points de la MÊME abscisse

h=30

sur la même contrainte : la pente vaut

+0{,}5

en bas et

-0{,}5

en haut. Une pente implicite appartient à un point, jamais à une abscisse.

Pourquoi : Une contrainte n'est pas le graphe d'une fonction : la même abscisse peut porter deux points, donc deux pentes, souvent de signes opposés. Effacer le $y$ du résultat, c'est effacer l'information la plus utile de tout le chapitre.

3. Confondre tangente verticale et dérivée nulle

2 points, et la conclusion économique avec

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La tangente est verticale en ce point, donc $\dfrac{dy}{dx}=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le DÉNOMINATEUR $4y$ s'annule en $(20\,;0)$ , donc $\dfrac{dy}{dx}$ n'existe pas et la tangente est verticale. Elle est horizontale en $(0\,;10)$ , où c'est le NUMÉRATEUR qui s'annule. »

La même frontière porte les deux cas : en

(0\,;10)

le numérateur s'annule et la pente vaut zéro ; en

(20\,;0)

c'est le dénominateur, et la dérivée n'existe pas du tout.

Pourquoi : Les deux cas sont opposés et ils ne disent pas la même chose : tangente horizontale, la première unité ne coûte presque rien ; tangente verticale, l'économie est déjà entièrement spécialisée et aucun sacrifice n'achète l'unité suivante.

4. Oublier la moitié de la règle du produit sur un terme croisé

2 points, et un quotient faux jusqu'à la fin de l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{d}{dx}\bigl(0{,}05xy\bigr)=0{,}05y$ , donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2{,}8}{3}\approx -0{,}933$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{d}{dx}\bigl(0{,}05xy\bigr)=0{,}05y+0{,}05x\,\dfrac{dy}{dx}$ , donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2+0{,}05y}{3+0{,}05x}\approx -0{,}747$ au panier $(15\,;16)$ . »

Pourquoi : L'erreur surestime le sacrifice de 25 pour cent exactement, et le résultat reste négatif et plausible : rien ne la signale. Un terme où $x$ et $y$ se rencontrent donne TOUJOURS deux morceaux.

5. Annoncer un taux marginal de substitution négatif

1 point d'interprétation, à chaque question où le taux est demandé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La pente vaut $-1{,}125$ , donc le taux marginal de substitution vaut $-1{,}125$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La pente vaut $-1{,}125$ , et $\text{TMS}=-\dfrac{dy}{dx}=1{,}125$ : le taux est positif PARCE QUE la pente est négative. »

Pourquoi : Le signe moins de la définition n'est pas décoratif : il transforme un arbitrage en une quantité comparable à un rapport de prix. Un taux annoncé négatif dirait que le ménage gagne sur les deux biens à la fois.

6. Vouloir isoler $y$ avant de dériver

le temps de l'examen, et souvent toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je pars de $3xy+y^{3}=28$ , j'isole $y$ , puis je dérive normalement. »

Ce qu'il faut écrire

« $y$ ne s'isole pas ici, et la méthode ne le demande jamais : je dérive les deux membres, ce qui donne $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x+y^{2}}$ , soit $-0{,}1$ au point $(9\,;1)$ . »

Pourquoi : Isoler $y$ demanderait ici de résoudre une équation du troisième degré pour chaque $x$ . Et même lorsque $y$ s'isole, la voie explicite écrit la pente en fonction de $x$ seul, alors que l'énoncé vous donne toujours un POINT.

7. Dériver un produit de puissances sans passer par le logarithme

2 points, et la moitié des erreurs de calcul du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $0{,}3K^{-0{,}7}\,\dfrac{dK}{dL}\,L^{0{,}7}+0{,}7K^{0{,}3}L^{-0{,}3}=0$ », puis trois lignes d'exposants et une erreur de signe.

Ce qu'il faut écrire

« $0{,}3\ln K+0{,}7\ln L=\ln 100$ , donc $\dfrac{0{,}3}{K}\,\dfrac{dK}{dL}+\dfrac{0{,}7}{L}=0$ et $\dfrac{dK}{dL}=-\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{K}{L}$ . »

Pourquoi : La première écriture est juste, mais l'isolement demande de manipuler quatre exposants fractionnaires de signes contraires. Le logarithme change le produit en somme et les exposants en coefficients : le calcul tient alors en trois lignes.

8. Rendre le nombre sans le lire

2 points sur 4, l'interprétation étant toujours notée à part

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{dK}{dL}=-2{,}33$ . » Point final.

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{dK}{dL}=-2{,}33$ : au point $(100\,;100)$ , un travailleur de plus remplace $2{,}33$ heures-machine à production constante. En $(150\,;38{,}8)$ , le même travailleur n'en remplace plus que $0{,}60$ . »

Deux points de la MÊME isoquante : le travailleur supplémentaire remplace

2{,}33

heures-machine en

(100\,;100)

et seulement

0{,}60

(150\,;38{,}8)

Pourquoi : En sciences humaines, le nombre n'est pas le résultat : c'est le troc. Une réponse sans les deux grandeurs nommées et sans le sens du sacrifice ne prouve pas que vous savez de quoi la dérivée parle.

Quelle méthode choisir

Quelle voie de calcul, selon la FORME de la contrainte

Regardez l'écriture de l'équation, pas le thème économique. Quatre formes couvrent tout le cours.

Si produit de puissances $x^{a}y^{b}=c$ → logarithme d'abord, puis $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{y}{x}$

Exemple : $K^{0{,}3}L^{0{,}7}=100$ donne $\dfrac{dK}{dL}=-\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{K}{L}=-2{,}333$ en $(100\,;100)$

c'est la forme d'une Cobb-Douglas, donc de presque toutes les isoquantes du cours
Si terme croisé, $xy$ ou $x^{2}y$ → règle du produit, DEUX morceaux, puis regroupement

Exemple : $x^{2}y=k$ donne $2xy+x^{2}\dfrac{dy}{dx}=0$ , donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2y}{x}$

le morceau oublié est toujours celui qui porte $\dfrac{dy}{dx}$
Si somme de termes séparés, $y$ apparaissant une seule fois → dériver directement, un seul facteur à isoler

Exemple : $2\sqrt{x}+y=20$ donne $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ , soit $-0{,}5$ en $x=4$

ici la pente ne contient pas $y$ , et c'est normal : ce sont les préférences quasi linéaires
Si $y$ s'isole proprement → les deux voies conviennent et donnent le MÊME nombre

Exemple : $xy=36$ donne $-\dfrac{y}{x}$ ou $-\dfrac{36}{x^{2}}$ , soit $-2{,}25$ en $(4\,;9)$

la voie explicite écrit la pente en $x$ seul, l'implicite en fonction du point
Si $y$ ne s'isole pas, degré $3$ ou plus en $y$ → la voie implicite est la seule ouverte

Exemple : $3xy+y^{3}=28$ donne $-\dfrac{y}{x+y^{2}}=-0{,}1$ en $(9\,;1)$

ne perdez pas une minute à chercher une formule explicite, elle n'existe pas en pratique

Si aucune branche ne s'applique, dérivez quand même les deux membres terme à terme : la méthode ne demande jamais d'isoler $y$ , et elle fonctionne sur des courbes qui ne sont le graphe d'aucune fonction.

Quel nom porte le nombre, selon le MOT de l'énoncé

Le calcul est le même partout ; c'est le vocabulaire de l'énoncé qui décide du nom et de la phrase d'interprétation.

Si « courbe d'indifférence », « satisfaction », « utilité » → taux marginal de substitution, $\text{TMS}=-\dfrac{dy}{dx}$

Exemple : sur $\sqrt{x}\,y=18$ , $\text{TMS}=\dfrac{y}{2x}=1{,}125$ en $(4\,;9)$

phrase attendue : ce que le ménage cède du second bien pour une unité du premier
Si « isoquante », « production », capital et travail → taux marginal de substitution technique, $\text{TMST}=-\dfrac{dK}{dL}$

Exemple : sur $K^{0{,}3}L^{0{,}7}=100$ , $\text{TMST}=2{,}333$ en $(100\,;100)$

phrase attendue : les heures-machine qu'un travailleur de plus remplace
Si « frontière des possibilités », « coût d'opportunité » → taux marginal de transformation, $\text{TMT}=-\dfrac{dy}{dx}$

Exemple : sur $x^{2}+4y^{2}=400$ , $\text{TMT}=\dfrac{x}{4y}=0{,}375$ en $(12\,;8)$

il CROÎT le long de la frontière : c'est la loi des coûts d'opportunité croissants
Si des prix et un budget sont donnés → la pente du budget vaut $-\dfrac{p_{x}}{p_{y}}$ , à comparer au taux marginal

Exemple : à 3 dollars et 1 dollar l'unité, la pente du budget vaut $-3$ en tout point

l'optimum est l'égalité $\text{TMS}=\dfrac{p_{x}}{p_{y}}$ , et rien d'autre
Si chômage et inflation → ratio de sacrifice, $\left|\dfrac{du}{d\pi}\right|$

Exemple : sur $u^{2}\pi=48$ , le ratio vaut $\dfrac{u^{3}}{96}$ , soit $0{,}667$ en $u=4$ et $2{,}25$ en $u=6$

un ratio annoncé sans le taux de chômage auquel il a été mesuré ne veut rien dire

Dans les cinq cas le nombre s'annonce POSITIF, parce qu'il est l'opposé d'une pente négative. Et dans les cinq cas il est attaché au point où on l'a calculé : il ne s'extrapole pas, exactement comme un coût marginal ne se multiplie pas par cent unités.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer et interpréter un taux marginal sur une contrainte

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une équation qui lie deux grandeurs, un point, et demande « le taux » ou « de combien faut-il renoncer ».

1 Vérifier que le point satisfait l'équation, et l'écrire : $12^{2}+4\times 8^{2}=144+256=400$ .
2 Annoncer la convention : « $y$ est une fonction de $x$ , je dérive les deux membres par rapport à $x$ . »
3 Dériver terme à terme, en posant un facteur $\dfrac{dy}{dx}$ à chaque $y$ et deux morceaux à chaque terme croisé. Le membre constant donne $0$ : $2x+8y\,\dfrac{dy}{dx}=0$ .
4 Regrouper les termes en $\dfrac{dy}{dx}$ , mettre en facteur, diviser : $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{4y}$ .
5 Évaluer au point, avec le signe : $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{12}{32}=-0{,}375$ .
6 Nommer le taux, le donner en valeur positive, et l'interpréter avec les DEUX unités de l'énoncé.

Phrase de conclusion

« Au point $(12\,;8)$ , $\dfrac{dy}{dx}=-0{,}375$ , donc le taux marginal de transformation vaut $0{,}375$ : pour produire mille tonnes de biens agricoles de plus, cette économie doit renoncer à 375 unités de biens industriels. »

Le piège : Sauter la vérification du point. Une pente calculée en un point qui n'est pas sur la contrainte ne vaut rien, et le correcteur le voit dès la première ligne.

Barème : 1 point la dérivation avec le facteur de chaîne, 1 point l'isolement, 1 point la valeur signée, 1 point l'interprétation avec les unités. L'interprétation se note à part, toujours.

Trouver le panier optimal du consommateur

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une fonction d'utilité, deux prix et un budget, et demande le panier choisi.

1 Poser la courbe d'indifférence $U(x\,;y)=k$ et calculer sa pente par dérivation implicite.
2 En déduire le taux marginal de substitution, opposé de cette pente.
3 Écrire la contrainte budgétaire $p_{x}x+p_{y}y=R$ et sa pente, $-\dfrac{p_{x}}{p_{y}}$ .
4 Poser la condition de tangence $\text{TMS}=\dfrac{p_{x}}{p_{y}}$ et en tirer une relation entre $x$ et $y$ .
5 Reporter cette relation dans la contrainte budgétaire, obtenir le panier, puis calculer l'utilité atteinte.

Phrase de conclusion

« À l'optimum, $\text{TMS}=\dfrac{p_{x}}{p_{y}}$ , soit $\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{y}{x}=3$ , donc $y=2x$ ; reporté dans $3x+y=120$ , cela donne le panier $(24\,;48)$ , qui épuise exactement le budget de 120 dollars. »

Le piège : Rendre la relation $y=2x$ comme réponse. Elle donne une DIRECTION, pas un panier : c'est le report dans le budget qui fixe le point.

Barème : 2 points la pente implicite, 1 point la pente du budget, 1 point la condition de tangence, 2 points le report et le panier.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le point est-il vraiment sur la contrainte ?

Avant toute dérivation, remplacez $x$ et $y$ par les valeurs du point dans l'équation de départ. Dix secondes, et cela conditionne tout le reste.

Sur $x^{2}+4y^{2}=400$ , le point $(12\,;8)$ donne $144+256=400$ : il y est. Un point qui donnerait $398$ n'est pas sur la frontière, et toute la question sera fausse.
Reste-t-il un $\dfrac{dy}{dx}$ à isoler ?

Comptez les $\dfrac{dy}{dx}$ posés après la dérivation. S'il n'y en a aucun, le facteur de chaîne a été oublié quelque part et il n'y a plus rien à isoler.

$2x+8y=0$ ne contient aucune inconnue de pente : c'est le symptôme de l'oubli, pas une équation à résoudre.
Le taux marginal est-il positif ?

Sur une contrainte décroissante, la pente est négative et le taux marginal est son opposé, donc POSITIF. Un taux négatif annoncé est une faute de signe, jamais un résultat.

Une pente de $-1{,}125$ donne un taux de $1{,}125$ . Un $-1{,}125$ rendu comme taux dirait que le ménage gagne sur les deux biens à la fois.
La pente contient-elle encore $y$ ?

Sur un produit de puissances ou un terme croisé, la pente contient toujours $y$ . Un résultat en $x$ seul signale un facteur perdu, sauf dans le cas quasi linéaire, où $y$ n'apparaît qu'une fois et au premier degré.

$-\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{y}{x}$ garde $y$ ; en revanche $2\sqrt{x}+y=20$ donne $-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ , soit $-0{,}5$ en $x=4$ , sans $y$ , et c'est normal.
Un point voisin confirme-t-il la pente ?

Prenez un point voisin de la contrainte et comparez l'accroissement réel à celui qu'annonce la pente, $\Delta y\approx\dfrac{dy}{dx}\times\Delta x$ . C'est le seul contrôle possible quand $y$ ne s'isole pas.

Sur $3xy+y^{3}=28$ , la pente en $(9\,;1)$ vaut $-0{,}1$ , donc $\Delta y\approx -0{,}0100$ pour $\Delta x=0{,}1$ . L'ordonnée exacte en $x=9{,}1$ vaut $0{,}9901$ , soit $\Delta y=-0{,}0099$ : confirmé.

L'exercice type décortiqué

Le panier optimal d'un ménage, avec une utilité de Cobb-Douglas

Un ménage consacre 120 dollars par mois à deux dépenses : $x$ , le nombre de repas livrés, à 3 dollars l'unité, et $y$ , le nombre de trajets en transport collectif, à 1 dollar l'unité. Sa satisfaction est mesurée par $U=x^{0{,}6}y^{0{,}4}$ .

Trouver le panier qu'il choisit, puis vérifier le résultat. La figure montre la droite de budget et deux niveaux de satisfaction : l'un traverse le budget, l'autre est hors de portée.

La courbe

U=28

TRAVERSE la droite de budget, donc un meilleur panier existe ; la courbe

U=40

ne la touche nulle part, donc elle est hors de portée. L'optimum est entre les deux.

Étape 1

Le ménage est indifférent le long de la courbe $x^{0{,}6}y^{0{,}4}=k$ . Comme $y$ y est une fonction inconnue de $x$ , on ne cherche pas à l'isoler.

Pourquoi

Poser d'emblée que la courbe est une contrainte évite les dix minutes perdues à isoler $y$ , et c'est la phrase qui rapporte le point de méthode.

Étape 2

On prend le logarithme des deux membres : $0{,}6\ln x+0{,}4\ln y=\ln k$ .

Pourquoi

La contrainte est un produit de puissances, la forme exacte où le logarithme change le calcul en une ligne. Sans lui, quatre exposants fractionnaires à isoler.

Étape 3

On dérive par rapport à $x$ , avec le facteur de chaîne sur $\ln y$ : $\dfrac{0{,}6}{x}+\dfrac{0{,}4}{y}\,\dfrac{dy}{dx}=0$ .

Pourquoi

C'est ici que le chapitre se joue : sans ce facteur, l'égalité n'a plus d'inconnue et le calcul s'arrête sur une impossibilité.

Étape 4

On isole : $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{0{,}6}{0{,}4}\cdot\dfrac{y}{x}=-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{y}{x}$ , donc $\text{TMS}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{y}{x}$ .

Pourquoi

Le taux est l'OPPOSÉ de la pente, donc positif. Il dépend du rapport $\dfrac{y}{x}$ , c'est-à-dire du panier, et non de la seule abscisse.

Étape 5

La contrainte budgétaire s'écrit $3x+y=120$ , donc $y=120-3x$ : la droite a pour pente $-3$ , opposé du rapport des prix $\dfrac{p_{x}}{p_{y}}=\dfrac{3}{1}=3$ .

Pourquoi

Cette pente est le troc que le marché impose, et elle est la même en tout point : c'est le seul objet du problème qui ne dépende pas du panier.

Étape 6

À l'optimum les deux pentes coïncident : $\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{y}{x}=3$ , donc $y=2x$ .

Pourquoi

Tant que les deux trocs diffèrent, il existe un échange qui améliore le ménage sans sortir du budget. L'égalité est donc la condition, et elle s'écrit avant tout calcul numérique.

Étape 7

On reporte dans le budget : $3x+2x=120$ , d'où $x=24$ et $y=2\times 24=48$ . L'utilité atteinte vaut $24^{0{,}6}\times 48^{0{,}4}\approx 31{,}67$ .

Pourquoi

Le report dans la contrainte est ce qui transforme une condition en panier. La condition seule ne vaut jamais tous les points.

Étape 8

Vérification : $3\times 24+48=120$ , le panier est bien sur le budget, et $\text{TMS}=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{48}{24}=3$ , égal au rapport des prix. Le panier voisin $(25\,;45)$ coûte lui aussi 120 dollars et ne donne que $31{,}63$ .

Pourquoi

Deux contrôles indépendants en dix secondes : le budget, et un voisin qui doit faire MOINS bien. Un voisin meilleur prouverait que la condition a été mal posée.

Conclusion rédigée

Le ménage choisit 24 repas livrés et 48 trajets, ce qui épuise ses 120 dollars et porte sa satisfaction à $U\approx 31{,}67$ . En ce panier, il accepte de céder 3 trajets pour un repas de plus, exactement ce que le marché lui demande, puisque $\text{TMS}=\dfrac{p_{x}}{p_{y}}=3$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Poser l'égalité $\text{TMS}=\dfrac{p_{x}}{p_{y}}$ , obtenir $y=2x$ et rendre cette relation comme réponse. La condition de tangence donne une direction, pas un panier : seul le report dans la contrainte budgétaire fixe le point.

À savoir par cœur

• Chaque $y$ dérivé laisse un facteur : $\dfrac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\,\dfrac{dy}{dx}$ , JAMAIS $2y$ .
• Un terme où $x$ et $y$ se rencontrent donne deux morceaux : $\dfrac{d}{dx}(xy)=y+x\,\dfrac{dy}{dx}$ .
• Le membre de droite d'une contrainte est une CONSTANTE, donc sa dérivée vaut $0$ , et c'est ce zéro qui permet d'isoler.
• Pour $x^{a}y^{b}=c$ : $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{y}{x}$ , donc le taux marginal vaut $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{y}{x}$ .
• $\text{TMS}=-\dfrac{dy}{dx}$ : le taux est POSITIF parce que la pente est NÉGATIVE.
• Tangente horizontale : le NUMÉRATEUR s'annule. Tangente verticale : le DÉNOMINATEUR s'annule et la dérivée n'existe pas.
• Optimum du consommateur : $\text{TMS}=\dfrac{p_{x}}{p_{y}}$ , le troc accepté égale le troc imposé.
• Une pente implicite appartient à un POINT : deux points de même abscisse peuvent porter des pentes opposées.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il ajouter dy sur dx quand on dérive y ?

Parce que y n'est pas une lettre inerte : sur une contrainte, y est une fonction de x que l'on ne connaît pas. La règle de chaîne impose donc de dériver l'expression, puis de multiplier par la dérivée de l'intérieur, qui est justement dy sur dx. La dérivée de y au carré par rapport à x vaut deux y fois dy sur dx, jamais deux y.

Comment calculer un taux marginal de substitution ?

On dérive les deux membres de la courbe d'indifférence par rapport à x, en traitant y comme une fonction de x, on isole dy sur dx, puis on l'évalue au panier donné. Le taux marginal de substitution est l'opposé de cette pente. Sur un produit de puissances x puissance a fois y puissance b, il vaut a sur b multiplié par y sur x.

Pourquoi le taux marginal de substitution est-il positif ?

Parce qu'il est défini comme l'opposé de la pente, et que la pente d'une courbe d'indifférence est négative. Ce signe négatif dit qu'on ne peut pas augmenter les deux quantités en restant aussi satisfait : il faut céder de l'un pour obtenir de l'autre. Le taux mesure ce sacrifice, et un sacrifice s'annonce en nombre positif.

Quand faut-il prendre le logarithme avant de dériver ?

Dès que la contrainte est un produit de puissances, comme une fonction de production de Cobb-Douglas. On écrit a fois logarithme de x plus b fois logarithme de y égale logarithme de la constante, puis on dérive : le produit devient une somme et les exposants deviennent des coefficients. Trois lignes au lieu d'une page d'exposants fractionnaires.

Que signifie une tangente verticale sur une courbe d'économie ?

Elle apparaît là où le dénominateur de la dérivée s'annule, donc là où la dérivée n'existe pas. Ce n'est pas une dérivée nulle, qui donnerait au contraire une tangente horizontale. En économie, la tangente verticale marque un plafond : aucune variation de l'autre grandeur n'achète une unité de plus.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La dérivation implicite

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Les taux de variation liés

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Fiche de révision : la dérivation implicite (201-103)

L'essentiel

Le geste, en trois temps

Le nom du nombre, selon la contrainte

La dérivation logarithmique, pour les produits de puissances

Les règles de calcul en tableau

Chaque terme, sa dérivée, et le facteur qu'il laisse

Les pièges qui coûtent des points

1. Dériver y2y^{2}y2 comme si yyy était un nombre

2. Croire que la pente ne dépend que de xxx

3. Confondre tangente verticale et dérivée nulle

4. Oublier la moitié de la règle du produit sur un terme croisé

5. Annoncer un taux marginal de substitution négatif

6. Vouloir isoler yyy avant de dériver

7. Dériver un produit de puissances sans passer par le logarithme

8. Rendre le nombre sans le lire

Quelle méthode choisir

Quelle voie de calcul, selon la FORME de la contrainte

Quel nom porte le nombre, selon le MOT de l'énoncé

La rédaction attendue

Calculer et interpréter un taux marginal sur une contrainte

Trouver le panier optimal du consommateur

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le panier optimal d'un ménage, avec une utilité de Cobb-Douglas

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il ajouter dy sur dx quand on dérive y ?

Comment calculer un taux marginal de substitution ?

Pourquoi le taux marginal de substitution est-il positif ?

Quand faut-il prendre le logarithme avant de dériver ?

Que signifie une tangente verticale sur une courbe d'économie ?

Exercices corrigés : La dérivation implicite

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1. Dériver $y^{2}$ comme si $y$ était un nombre

2. Croire que la pente ne dépend que de $x$

6. Vouloir isoler $y$ avant de dériver