Exercices corrigés : les fonctions trigonométriques et leurs dérivées (201-103)

$f'(t)=6\cos(3t)\cdot 3=18\cos(3t)$. En $t=\frac{\pi}{3}$, $3t=\pi$ et $\cos\pi=-1$ : $f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=-18$. Piège : oublier le $3$ de l'intérieur et répondre $-6$.

$g'(t)=-\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)\cdot 2=-2\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)$. En $t=\frac{\pi}{12}$, l'angle vaut $\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{2}=1$ : $g'\left(\frac{\pi}{12}\right)=-2$. Le déphasage $\frac{\pi}{3}$ est une constante : il ne laisse aucun facteur.

$h'(t)=\frac{4}{\cos^{2}(4t)}$. En $t=\frac{\pi}{16}$, $4t=\frac{\pi}{4}$ et $\cos^{2}\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}$ : $h'\left(\frac{\pi}{16}\right)=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$. Contrôle par l'autre forme : $4\left(1+\tan^{2}\frac{\pi}{4}\right)=4\times 2=8$.

$f'(t)=2\cos t-3\cdot(-\sin t)=2\cos t+3\sin t$. En $t=\frac{\pi}{6}$ : $f'\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+3\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{3}+1{,}5\approx 3{,}232$. Piège : le signe, $-3\cos t$ se dérive en $+3\sin t$.

Produit : $g'(t)=2t\sin t+t^{2}\cos t$. En $t=\frac{\pi}{2}$, $\sin=1$ et $\cos=0$ : $g'\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi\approx 3{,}142$. Piège : écrire $(t^{2}\sin t)'=2t\cos t$, en multipliant entre elles les dérivées des deux facteurs.

Quotient : $h'(t)=\frac{\cos t\,(1+\cos t)-\sin t\cdot(-\sin t)}{(1+\cos t)^{2}}=\frac{\cos t+\cos^{2}t+\sin^{2}t}{(1+\cos t)^{2}}=\frac{1+\cos t}{(1+\cos t)^{2}}=\frac{1}{1+\cos t}$, grâce à $\sin^{2}t+\cos^{2}t=1$. En $t=\frac{\pi}{3}$ : $h'\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{1{,}5}=\frac{2}{3}\approx 0{,}667$.

Puissance d'abord, $f(t)=(\cos t)^{3}$ : $f'(t)=3\cos^{2}t\cdot(-\sin t)=-3\cos^{2}t\sin t$. En $t=\frac{\pi}{4}$ : $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=-3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{3\sqrt{2}}{4}\approx -1{,}061$. Piège : confondre $\cos^{3}t$ et $\cos(t^{3})$.

$g'(t)=\cos\left(\sqrt{t}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}}$. En $t=\frac{\pi^{2}}{9}$, $\sqrt{t}=\frac{\pi}{3}$ et $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ : $g'\left(\frac{\pi^{2}}{9}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{2\pi}{3}}=\frac{3}{4\pi}\approx 0{,}239$.

Produit de deux compositions : $h'(t)=2\cos(2t)\cos(3t)+\sin(2t)\cdot(-3\sin(3t))=2\cos(2t)\cos(3t)-3\sin(2t)\sin(3t)$. En $t=\frac{\pi}{6}$, $2t=\frac{\pi}{3}$ et $3t=\frac{\pi}{2}$ : le premier terme s'annule avec $\cos\frac{\pi}{2}=0$, et $h'\left(\frac{\pi}{6}\right)=-3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=-\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx -2{,}598$.

$f'(t)=10\cos(2t)$, puis $f''(t)=-20\sin(2t)=-4f(t)$ : la dérivée seconde d'un sinus de pulsation $2$ est $-2^{2}$ fois la fonction. En $t=\frac{\pi}{12}$, $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ : $f''\left(\frac{\pi}{12}\right)=-10$. Piège : un seul facteur $2$ au lieu de deux, ce qui donne $-5$.

Le pont entre les deux unités est $180^{\circ}=\pi$ rad. Donc $150^{\circ}=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\approx 2{,}618$ rad. Dans l'autre sens, $\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{7}{6}\times 180^{\circ}=210^{\circ}$. Vérification de bon sens : $150^{\circ}$ dépasse l'angle droit sans atteindre l'angle plat, donc sa mesure en radians doit tomber entre $\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ et $\pi\approx 3{,}142$, ce que $2{,}618$ respecte. Le piège classique est de multiplier par $\dfrac{180}{\pi}$ quand il faut diviser : on s'en sort toujours en vérifiant que le résultat reste dans le bon intervalle. Une conversion ratée ne coûte pas un point, elle fausse tout le modèle qui suit.

$\dfrac{2\pi}{3}=120^{\circ}$ est dans le deuxième quadrant, où le cosinus est NÉGATIF ; son angle de référence vaut $\dfrac{\pi}{3}$, donc $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5$. $\dfrac{5\pi}{4}=225^{\circ}$ est dans le troisième quadrant, où le sinus est négatif, avec $\dfrac{\pi}{4}$ pour référence : $\sin\dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}7071$. Enfin $\tan\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sin(\pi/3)}{\cos(\pi/3)}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\approx 1{,}7321$. La méthode tient en deux gestes, et un seul des deux est un calcul : on trouve l'angle de référence, puis on pose le signe du quadrant.

L'identité de Pythagore $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ donne $\cos^{2}\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$, donc $\cos\theta=\pm\dfrac{4}{5}$. C'est le quadrant qui tranche : dans le deuxième, le cosinus est négatif, donc $\cos\theta=-\dfrac{4}{5}=-0{,}8$. Puis $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac{3}{4}=-0{,}75$. Le piège coûte cher : oublier le signe revient à placer le point image dans le premier quadrant, donc à répondre $0{,}8$ et $0{,}75$, deux valeurs justes en apparence et fausses toutes les deux. L'identité donne le CARRÉ, jamais le signe.

Ces trois identités se lisent sur la figure sans rien calculer. $\pi-x$ est le symétrique de $x$ par rapport à l'axe vertical : l'ordonnée ne bouge pas, l'abscisse change de signe, donc $\sin(\pi-x)=\sin x$. $\pi+x$ est le symétrique par rapport au centre : les deux coordonnées changent de signe, donc $\cos(\pi+x)=-\cos x$. Enfin $-x$ est le symétrique par rapport à l'axe horizontal, donc $\sin(-x)=-\sin x$ : le sinus est impair, le cosinus est pair. Ces trois égalités reviendront à l'exercice 5, où elles servent à démontrer une dérivée.

Le logiciel a lu 30 RADIANS, pas 30 degrés. On le vérifie : $30-4\times 2\pi\approx 30-25{,}133=4{,}867$ rad, un angle du quatrième quadrant, où le sinus est négatif ; et effectivement $\sin(4{,}867)\approx -0{,}988$. Pour obtenir $\sin(30^{\circ})$, il faut taper $\sin\left(30\times\dfrac{\pi}{180}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=0{,}5$. Retenez la règle d'alerte : tout logiciel de calcul, tout tableur et tout langage de programmation travaillent en radians par défaut. Un rapport qui annonce un indice en baisse là où le phénomène monte vient presque toujours de cette confusion d'unité.

$\sin(0{,}2)=0{,}198669$, donc $\dfrac{\sin(0{,}2)}{0{,}2}=0{,}993347\approx 0{,}9933$. Puis $\sin(0{,}05)=0{,}0499792$, donc $\dfrac{\sin(0{,}05)}{0{,}05}=0{,}999583\approx 0{,}9996$. La tendance est nette : en divisant l'entrée par 4, on a divisé l'ÉCART À 1 par environ 16. C'est la signature d'une convergence en $x^{2}$, et l'approximation $\sin x\approx x-\dfrac{x^{3}}{6}$ le confirme, puisqu'elle donne $\dfrac{\sin x}{x}\approx 1-\dfrac{x^{2}}{6}$. Attention : la calculatrice doit être en radians, sinon ces deux nombres valent environ $0{,}0175$ et rien ne converge vers 1.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$. Sur la figure, la droite $y=x$ et la courbe $y=\sin x$ se séparent visiblement dès $x=1$, mais restent collées entre $-0{,}3$ et $0{,}3$ : dire que le quotient tend vers 1, c'est dire que le sinus et son argument deviennent proportionnels avec un rapport de 1, autrement dit que $\sin x\approx x$ près de zéro. Géométriquement, c'est l'arc qui se confond avec sa corde quand l'angle devient petit, et ce n'est vrai QUE si l'angle est mesuré en radians, c'est-à-dire par une longueur d'arc.

On multiplie en haut et en bas par le conjugué $1+\cos x$ : $\dfrac{1-\cos x}{x}=\dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x(1+\cos x)}=\dfrac{1-\cos^{2}x}{x(1+\cos x)}=\dfrac{\sin^{2}x}{x(1+\cos x)}=\dfrac{\sin x}{x}\times\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$. Le premier facteur tend vers 1, le second vers $\dfrac{0}{2}=0$, donc le produit tend vers 0. Vérification en $x=0{,}01$ : $1-\cos(0{,}01)=0{,}0000499996$, divisé par $0{,}01$ cela donne $0{,}0050$. La méthode du conjugué est celle du chapitre des limites algébriques ; seule l'identité de Pythagore change.

Pour la première, on force le même argument en haut et en bas : $\dfrac{\sin 5x}{3x}=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{\sin 5x}{5x}$, et comme $5x\to 0$, le second facteur tend vers 1 : la limite vaut $\dfrac{5}{3}\approx 1{,}6667$. Pour la seconde, on fabrique deux quotients de référence : $\dfrac{\sin 5x}{\sin 3x}=\dfrac{\sin 5x}{5x}\times\dfrac{3x}{\sin 3x}\times\dfrac{5}{3}$, ce qui donne $1\times 1\times\dfrac{5}{3}\approx 1{,}6667$. Retenez la règle : quand les deux sinus portent des coefficients différents, la limite est le RAPPORT de ces coefficients, jamais 1. Répondre 1 par réflexe est l'erreur la plus fréquente de cette page.

$0{,}1^{\circ}=0{,}1\times\dfrac{\pi}{180}=0{,}0017453$ rad, dont le sinus vaut $0{,}0017453$. Le quotient vaut donc $\dfrac{0{,}0017453}{0{,}1}=0{,}017453$, et la limite est $\dfrac{\pi}{180}\approx 0{,}01745$, pas 1. Conséquence directe : en degrés, la dérivée du sinus n'est plus le cosinus mais $\dfrac{\pi}{180}\cos x$, et ce facteur parasite contaminerait chaque formule du chapitre, chaque règle de chaîne et chaque problème d'optimisation. Le radian n'est pas une convention de professeur : c'est la seule unité qui rende la table des dérivées propre.

On lit directement : $A=8$, donc l'amplitude vaut 8 unités. $\omega=\dfrac{\pi}{6}$, donc la période vaut $T=\dfrac{2\pi}{\pi/6}=12$ unités de temps, ce qui en fait le modèle annuel standard quand $t$ compte les mois. L'axe d'oscillation est la droite $y=k=30$. Le maximum vaut $k+A=38$, le minimum $k-A=22$. Vérification : la moyenne des deux vaut bien $\dfrac{38+22}{2}=30$, et leur demi-écart vaut $\dfrac{38-22}{2}=8$. Ces deux formules, $k=\dfrac{\max+\min}{2}$ et $A=\dfrac{\max-\min}{2}$, serviront en sens inverse à l'exercice 4, où ce sont les données qui donnent le maximum et le minimum.

On met $\omega$ en facteur dans l'argument : $\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}\left(t+2\right)$, donc $g(t)=12\sin\left(\dfrac{\pi}{6}(t+2)\right)+40$ et $t_0=-2$. Le décalage est NÉGATIF, ce qui veut dire que le cycle est en avance de deux mois sur le modèle sans déphasage. Le maximum est atteint quand l'argument vaut $\dfrac{\pi}{2}$ : $\dfrac{\pi}{6}(t+2)=\dfrac{\pi}{2}$ donne $t+2=3$, donc $t=1$, et $g(1)=52$. Le piège est de lire $t_0=+2$ parce que l'énoncé montre un plus : la forme canonique s'écrit $t-t_0$, donc un plus dans l'argument est un $t_0$ négatif, exactement comme pour la parabole.

La tangente a pour période $\pi$, et non $2\pi$ : elle reprend les mêmes valeurs deux fois plus vite que le sinus, parce que le changement de signe simultané du sinus et du cosinus laisse leur quotient inchangé. Surtout, elle n'a pas d'amplitude : elle part de $-\infty$ et monte jusqu'à $+\infty$ sur chaque intervalle, avec une asymptote verticale en $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$. Un phénomène saisonnier réel est borné, des ventes ne deviennent pas infinies en décembre, donc la tangente ne sert jamais de modèle cyclique. Elle apparaît dans ce cours pour une autre raison, comme résultat de la dérivation et dans les équations du type $\tan u=c$ de l'exercice 10.

La sécante est l'inverse du cosinus, $\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ ; la cosécante est l'inverse du sinus, $\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$ ; la cotangente est l'inverse de la tangente, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$. Attention au vocabulaire : le préfixe co ne se suit pas, la CO-sécante répond au SINUS. Ces trois fonctions n'apparaissent que dans certains plans de cours et ne serviront pas plus loin ici, où tout s'écrit avec les trois fonctions de base.

$\dfrac{A}{k}$ mesure le poids de la saison par rapport au niveau habituel, et c'est cette proportion, pas l'amplitude brute, qu'un gestionnaire compare d'une série à l'autre. Pour $f$ : $\dfrac{8}{30}=0{,}2667$, soit $26{,}7$ pour cent. Pour $g$ : $\dfrac{12}{40}=0{,}30$, soit 30 pour cent. La série $g$ est donc la plus saisonnière, bien que les deux aient la même période. Comparer les amplitudes seules, 8 contre 12, donnerait la même conclusion ici par hasard ; elle s'inverserait dès que les niveaux moyens s'écartent, par exemple entre une amplitude de 12 sur un niveau de 200 et une amplitude de 8 sur un niveau de 30.

Les deux formules du chapitre s'utilisent ici en sens inverse de l'exercice 3 : $A=\dfrac{\max-\min}{2}=\dfrac{140-80}{2}=30$ et $k=\dfrac{\max+\min}{2}=\dfrac{140+80}{2}=110$, tous deux en milliers de dollars. Le piège est de prendre $A=140$, c'est-à-dire de confondre l'amplitude avec la valeur maximale : l'amplitude se mesure à partir de l'AXE, pas à partir de zéro. Cette confusion revient à l'exercice 8, affirmation d), et elle fausse ensuite la dérivée d'un facteur 4 sur cet exemple.