Exercices corrigés : les fonctions trigonométriques et leurs dérivées (201-103)

a) Le pont entre les deux unités est $180^{\circ}=\pi$ rad. Donc $150^{\circ}=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\approx 2{,}618$ rad. Dans l'autre sens, $\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{7}{6}\times 180^{\circ}=210^{\circ}$. Vérification de bon sens : $150^{\circ}$ dépasse l'angle droit sans atteindre l'angle plat, donc sa mesure en radians doit tomber entre $\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ et $\pi\approx 3{,}142$, ce que $2{,}618$ respecte. Le piège classique est de multiplier par $\dfrac{180}{\pi}$ quand il faut diviser : on s'en sort toujours en vérifiant que le résultat reste dans le bon intervalle. Une conversion ratée ne coûte pas un point, elle fausse tout le modèle qui suit.

b) $\dfrac{2\pi}{3}=120^{\circ}$ est dans le deuxième quadrant, où le cosinus est NÉGATIF ; son angle de référence vaut $\dfrac{\pi}{3}$, donc $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5$. $\dfrac{5\pi}{4}=225^{\circ}$ est dans le troisième quadrant, où le sinus est négatif, avec $\dfrac{\pi}{4}$ pour référence : $\sin\dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}7071$. Enfin $\tan\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sin(\pi/3)}{\cos(\pi/3)}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\approx 1{,}7321$. La méthode tient en deux gestes, et un seul des deux est un calcul : on trouve l'angle de référence, puis on pose le signe du quadrant.

c) L'identité de Pythagore $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ donne $\cos^{2}\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$, donc $\cos\theta=\pm\dfrac{4}{5}$. C'est le quadrant qui tranche : dans le deuxième, le cosinus est négatif, donc $\cos\theta=-\dfrac{4}{5}=-0{,}8$. Puis $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac{3}{4}=-0{,}75$. Le piège coûte cher : oublier le signe revient à placer le point image dans le premier quadrant, donc à répondre $0{,}8$ et $0{,}75$, deux valeurs justes en apparence et fausses toutes les deux. L'identité donne le CARRÉ, jamais le signe.

d) Ces trois identités se lisent sur la figure sans rien calculer. $\pi-x$ est le symétrique de $x$ par rapport à l'axe vertical : l'ordonnée ne bouge pas, l'abscisse change de signe, donc $\sin(\pi-x)=\sin x$. $\pi+x$ est le symétrique par rapport au centre : les deux coordonnées changent de signe, donc $\cos(\pi+x)=-\cos x$. Enfin $-x$ est le symétrique par rapport à l'axe horizontal, donc $\sin(-x)=-\sin x$ : le sinus est impair, le cosinus est pair. Ces trois égalités reviendront à l'exercice 5, où elles servent à démontrer une dérivée.

e) Le logiciel a lu 30 RADIANS, pas 30 degrés. On le vérifie : $30-4\times 2\pi\approx 30-25{,}133=4{,}867$ rad, un angle du quatrième quadrant, où le sinus est négatif ; et effectivement $\sin(4{,}867)\approx -0{,}988$. Pour obtenir $\sin(30^{\circ})$, il faut taper $\sin\left(30\times\dfrac{\pi}{180}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=0{,}5$. Retenez la règle d'alerte : tout logiciel de calcul, tout tableur et tout langage de programmation travaillent en radians par défaut. Un rapport qui annonce un indice en baisse là où le phénomène monte vient presque toujours de cette confusion d'unité.

a) $\sin(0{,}2)=0{,}198669$, donc $\dfrac{\sin(0{,}2)}{0{,}2}=0{,}993347\approx 0{,}9933$. Puis $\sin(0{,}05)=0{,}0499792$, donc $\dfrac{\sin(0{,}05)}{0{,}05}=0{,}999583\approx 0{,}9996$. La tendance est nette : en divisant l'entrée par 4, on a divisé l'ÉCART À 1 par environ 16. C'est la signature d'une convergence en $x^{2}$, et l'approximation $\sin x\approx x-\dfrac{x^{3}}{6}$ le confirme, puisqu'elle donne $\dfrac{\sin x}{x}\approx 1-\dfrac{x^{2}}{6}$. Attention : la calculatrice doit être en radians, sinon ces deux nombres valent environ $0{,}0017$ et rien ne converge vers 1.

b) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$. Sur la figure, la droite $y=x$ et la courbe $y=\sin x$ se séparent visiblement dès $x=1$, mais restent collées entre $-0{,}3$ et $0{,}3$ : dire que le quotient tend vers 1, c'est dire que le sinus et son argument deviennent proportionnels avec un rapport de 1, autrement dit que $\sin x\approx x$ près de zéro. Géométriquement, c'est l'arc qui se confond avec sa corde quand l'angle devient petit, et ce n'est vrai QUE si l'angle est mesuré en radians, c'est-à-dire par une longueur d'arc.

c) On multiplie en haut et en bas par le conjugué $1+\cos x$ : $\dfrac{1-\cos x}{x}=\dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x(1+\cos x)}=\dfrac{1-\cos^{2}x}{x(1+\cos x)}=\dfrac{\sin^{2}x}{x(1+\cos x)}=\dfrac{\sin x}{x}\times\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$. Le premier facteur tend vers 1, le second vers $\dfrac{0}{2}=0$, donc le produit tend vers 0. Vérification en $x=0{,}01$ : $1-\cos(0{,}01)=0{,}0000499996$, divisé par $0{,}01$ cela donne $0{,}0050$. La méthode du conjugué est celle du chapitre des limites algébriques ; seule l'identité de Pythagore change.

d) Pour la première, on force le même argument en haut et en bas : $\dfrac{\sin 5x}{3x}=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{\sin 5x}{5x}$, et comme $5x\to 0$, le second facteur tend vers 1 : la limite vaut $\dfrac{5}{3}\approx 1{,}6667$. Pour la seconde, on fabrique deux quotients de référence : $\dfrac{\sin 5x}{\sin 3x}=\dfrac{\sin 5x}{5x}\times\dfrac{3x}{\sin 3x}\times\dfrac{5}{3}$, ce qui donne $1\times 1\times\dfrac{5}{3}\approx 1{,}6667$. Retenez la règle : quand les deux sinus portent des coefficients différents, la limite est le RAPPORT de ces coefficients, jamais 1. Répondre 1 par réflexe est l'erreur la plus fréquente de cette page.

e) $0{,}1^{\circ}=0{,}1\times\dfrac{\pi}{180}=0{,}0017453$ rad, dont le sinus vaut $0{,}0017453$. Le quotient vaut donc $\dfrac{0{,}0017453}{0{,}1}=0{,}017453$, et la limite est $\dfrac{\pi}{180}\approx 0{,}01745$, pas 1. Conséquence directe : en degrés, la dérivée du sinus n'est plus le cosinus mais $\dfrac{\pi}{180}\cos x$, et ce facteur parasite contaminerait chaque formule du chapitre, chaque règle de chaîne et chaque problème d'optimisation. Le radian n'est pas une convention de professeur : c'est la seule unité qui rende la table des dérivées propre.

a) On lit directement : $A=8$, donc l'amplitude vaut 8 unités. $\omega=\dfrac{\pi}{6}$, donc la période vaut $T=\dfrac{2\pi}{\pi/6}=12$ unités de temps, ce qui en fait le modèle annuel standard quand $t$ compte les mois. L'axe d'oscillation est la droite $y=k=30$. Le maximum vaut $k+A=38$, le minimum $k-A=22$. Vérification : la moyenne des deux vaut bien $\dfrac{38+22}{2}=30$, et leur demi-écart vaut $\dfrac{38-22}{2}=8$. Ces deux formules, $k=\dfrac{\max+\min}{2}$ et $A=\dfrac{\max-\min}{2}$, serviront en sens inverse à l'exercice 4, où ce sont les données qui donnent le maximum et le minimum.

b) On met $\omega$ en facteur dans l'argument : $\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}\left(t+2\right)$, donc $g(t)=12\sin\left(\dfrac{\pi}{6}(t+2)\right)+40$ et $t_0=-2$. Le décalage est NÉGATIF, ce qui veut dire que le cycle est en avance de deux mois sur le modèle sans déphasage. Le maximum est atteint quand l'argument vaut $\dfrac{\pi}{2}$ : $\dfrac{\pi}{6}(t+2)=\dfrac{\pi}{2}$ donne $t+2=3$, donc $t=1$, et $g(1)=52$. Le piège est de lire $t_0=+2$ parce que l'énoncé montre un plus : la forme canonique s'écrit $t-t_0$, donc un plus dans l'argument est un $t_0$ négatif, exactement comme pour la parabole.

c) La tangente a pour période $\pi$, et non $2\pi$ : elle reprend les mêmes valeurs deux fois plus vite que le sinus, parce que le changement de signe simultané du sinus et du cosinus laisse leur quotient inchangé. Surtout, elle n'a pas d'amplitude : elle part de $-\infty$ et monte jusqu'à $+\infty$ sur chaque intervalle, avec une asymptote verticale en $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$. Un phénomène saisonnier réel est borné, des ventes ne deviennent pas infinies en décembre, donc la tangente ne sert jamais de modèle cyclique. Elle apparaît dans ce cours pour une autre raison, comme résultat de la dérivation et dans les équations du type $\tan u=c$ de l'exercice 10.

d) La sécante est l'inverse du cosinus, $\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ ; la cosécante est l'inverse du sinus, $\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$ ; la cotangente est l'inverse de la tangente, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$. Attention au vocabulaire : le préfixe co ne se suit pas, la CO-sécante répond au SINUS. Ces trois fonctions n'apparaissent que dans certains plans de cours et ne serviront pas plus loin ici, où tout s'écrit avec les trois fonctions de base.

e) $\dfrac{A}{k}$ mesure le poids de la saison par rapport au niveau habituel, et c'est cette proportion, pas l'amplitude brute, qu'un gestionnaire compare d'une série à l'autre. Pour $f$ : $\dfrac{8}{30}=0{,}2667$, soit $26{,}7$ pour cent. Pour $g$ : $\dfrac{12}{40}=0{,}30$, soit 30 pour cent. La série $g$ est donc la plus saisonnière, bien que les deux aient la même période. Comparer les amplitudes seules, 8 contre 12, donnerait la même conclusion ici par hasard ; elle s'inverserait dès que les niveaux moyens s'écartent, par exemple entre une amplitude de 12 sur un niveau de 200 et une amplitude de 8 sur un niveau de 30.

a) Les deux formules du chapitre s'utilisent ici en sens inverse de l'exercice 3 : $A=\dfrac{\max-\min}{2}=\dfrac{140-80}{2}=30$ et $k=\dfrac{\max+\min}{2}=\dfrac{140+80}{2}=110$, tous deux en milliers de dollars. Le piège est de prendre $A=140$, c'est-à-dire de confondre l'amplitude avec la valeur maximale : l'amplitude se mesure à partir de l'AXE, pas à partir de zéro. Cette confusion revient à l'exercice 8, affirmation d), et elle fausse ensuite la dérivée d'un facteur 4 sur cet exemple.

b) Le phénomène est annuel et les données sont mensuelles, donc la période vaut $T=12$ mois. On en tire $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{12}=\dfrac{\pi}{6}\approx 0{,}5236$ radian par mois. Les unités méritent une seconde : $\omega$ n'est pas un nombre pur, c'est un nombre de radians PAR MOIS, et c'est ce qui fera de $A\omega$ un nombre de milliers de dollars par mois à l'exercice 6. Un élève qui écrit $\omega=12$ a interverti la période et la pulsation ; sa courbe oscillerait alors environ deux fois par mois.

c) Le maximum d'un sinus est atteint quand son argument vaut $\dfrac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$. En $t=12$ : $\dfrac{\pi}{6}\times 12+\varphi=2\pi+\varphi$, qu'on veut égal à $\dfrac{\pi}{2}+2\pi$, donc $\varphi=\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}5708$. Le modèle s'écrit $f(t)=30\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)+110$, ce qui vaut aussi $f(t)=110+30\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$, puisqu'un sinus déphasé d'un quart de tour EST un cosinus. Les deux écritures sont correctes ; garder la première évite de changer de fonction en cours de chapitre.

d) $f(9)=30\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)+110=30\sin(2\pi)+110=110$ milliers de dollars. La donnée observée vaut 112, soit un écart de 2 milliers, environ $1{,}8$ pour cent de la valeur observée. C'est le bon ordre de grandeur pour un ajustement saisonnier : le modèle est un LISSAGE, pas une prophétie, et un écart de quelques pour cent sur un mois donné n'invalide rien. Ce qu'il faut vérifier, c'est que les écarts changent de signe d'un mois à l'autre au lieu de s'accumuler du même côté, signe d'une tendance de fond que la sinusoïde seule ne capte pas.

e) $k=110$ : en moyenne sur l'année, la chaîne vend 110 milliers de dollars par mois. $A=30$ : le meilleur mois dépasse cette moyenne de 30 milliers, et le pire lui est inférieur d'autant. $2A=60$ : entre décembre et juin, l'écart de chiffre d'affaires atteint 60 milliers de dollars par mois, soit plus de la moitié du niveau moyen. C'est ce troisième nombre qui commande le plan de trésorerie et l'embauche saisonnière, et c'est lui qu'on oublie de calculer quand on s'arrête à l'amplitude.

a) On remplace $\sin(x+h)$ par l'identité d'addition : $\dfrac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}=\dfrac{\cos x\sin h}{h}-\dfrac{\sin x(1-\cos h)}{h}=\cos x\cdot\dfrac{\sin h}{h}-\sin x\cdot\dfrac{1-\cos h}{h}$. Quand $h\to 0$, le premier quotient tend vers 1 et le second vers 0, par les deux limites de l'exercice 2. Il reste $\cos x\times 1-\sin x\times 0=\cos x$, donc $(\sin x)'=\cos x$. Noter que $x$ est resté SPECTATEUR pendant tout le passage à la limite : c'est $h$ qui tend vers zéro, et c'est pour cela que $\cos x$ et $\sin x$ sortent des quotients comme des constantes.

b) $\cos x=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ est l'identité des angles complémentaires. La règle de chaîne donne $(\cos x)'=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\times(-1)=-\sin x$, puisque $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$. Le signe moins vient de la dérivée de la couche intérieure, $\dfrac{\pi}{2}-x$, et non d'une convention à mémoriser. Voilà l'énoncé exact de la table : la dérivée du SINUS est le cosinus, sans signe ; la dérivée du COSINUS est moins le sinus. Inverser les deux est l'affirmation a) de l'exercice 8.

c) $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, donc la règle du quotient donne $(\tan x)'=\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ par l'identité de Pythagore. En divisant plutôt terme à terme, on obtient la seconde forme, $1+\tan^{2}x$. Les deux sont utiles : la première pour évaluer, la seconde pour résoudre. Conséquence immédiate : $\dfrac{1}{\cos^{2}x}\ge 1$ toujours, donc la dérivée de la tangente ne s'annule JAMAIS et la courbe n'a aucune tangente horizontale. C'est la traduction analytique du fait que la tangente est strictement croissante sur chacun de ses intervalles.

d) $f'(x)=\cos x$, donc $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$. $g'(x)=-\sin x$, donc $g'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5$. $h'(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$, donc $h'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{(\sqrt{2}/2)^{2}}=\dfrac{1}{1/2}=2$. Lecture graphique : en $\dfrac{\pi}{3}$ la courbe du sinus monte encore, mais moitié moins vite qu'à l'origine ; en $\dfrac{\pi}{6}$ le cosinus descend déjà. Le signe se vérifie à l'œil sur n'importe quel tracé, et c'est le contrôle le plus rapide.

e) Par la règle du produit : $p'(x)=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x$. Par la seconde écriture : $p(x)=\dfrac{1}{2}\sin 2x$, et la règle de chaîne donne $p'(x)=\dfrac{1}{2}\times 2\cos 2x=\cos 2x$. Les deux réponses sont nécessairement égales, donc $\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$ : la dérivation vient de RETROUVER l'identité de duplication. Vérification en $x=\dfrac{\pi}{6}$ : $\cos\dfrac{\pi}{3}=0{,}5$ d'un côté, $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=0{,}5$ de l'autre. Retenez le geste : quand deux chemins mènent à la même dérivée, leur égalité est une identité gratuite, et c'est souvent la plus simple des démonstrations.

a) La couche extérieure est le sinus, la couche intérieure est $u(t)=\omega t+\varphi$, dont la dérivée vaut $\omega$. La règle de chaîne donne donc $f'(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$. Chaque lettre a son sort : $A$ reste en facteur, $\omega$ apparaît EN PLUS comme facteur, $\varphi$ reste à sa place dans l'argument, et $k$ disparaît, puisque la dérivée d'une constante est nulle. Ce dernier point mérite d'être dit à voix haute : le niveau moyen n'a aucun effet sur le rythme, et deux séries de niveaux très différents peuvent avoir exactement la même dérivée.

b) Ici $A=30$, $\omega=\dfrac{\pi}{6}$ et $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, donc $f'(t)=30\times\dfrac{\pi}{6}\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)=5\pi\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)$. L'amplitude de $f'$ vaut $A\omega=5\pi\approx 15{,}71$. Autrement dit, le rythme des ventes oscille entre $-15{,}71$ et $+15{,}71$ milliers de dollars par mois, jamais au-delà. Ce nombre est le plus utile de tout le modèle pour un gestionnaire : c'est la variation mensuelle maximale à laquelle il doit se préparer, dans un sens comme dans l'autre.

c) $f'(3)=5\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)=5\pi\cos\pi=-5\pi\approx -15{,}71$. Phrase de rapport : en mars, les ventes baissent au rythme de $15{,}71$ milliers de dollars par mois. $f'(9)=5\pi\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)=5\pi\cos 2\pi=5\pi\approx +15{,}71$ : en septembre, elles montent au rythme de $15{,}71$ milliers de dollars par mois. Ces deux mois sont exactement ceux où le modèle traverse sa moyenne, $f(3)=f(9)=110$ : le niveau y est ordinaire, le rythme y est extrême. C'est le fil de toute la série, et l'exercice 7 en fait sa question centrale.

d) $f$ se mesure en milliers de dollars et $t$ en mois, donc $f'$ se mesure en MILLIERS DE DOLLARS PAR MOIS, l'unité de la sortie divisée par celle de l'entrée. Un élève qui oublie $\omega$ écrit $30\cos(\cdots)$ et annonce une amplitude de 30 au lieu de $5\pi\approx 15{,}708$ : il surestime le rythme d'un facteur $\dfrac{30}{5\pi}=\dfrac{6}{\pi}\approx 1{,}91$, soit une erreur de 91 pour cent. Sur un plan de trésorerie, cela revient à provisionner près du double du besoin réel. L'unité ne sauve pas ici, car les deux réponses sont homogènes : seule la règle de chaîne protège.

e) On dérive une seconde fois : $f''(t)=-A\omega^{2}\sin(\omega t+\varphi)$. Or $f(t)-k=A\sin(\omega t+\varphi)$, donc $f''(t)=-\omega^{2}\big(f(t)-k\big)$. Sur le modèle des ventes, $\omega^{2}=\dfrac{\pi^{2}}{36}\approx 0{,}2742$, d'où $f''(t)\approx -0{,}2742\,\big(f(t)-110\big)$. L'égalité raconte exactement ce que veut dire cyclique : l'accélération est proportionnelle à l'ÉCART À LA MOYENNE, et de signe contraire. Plus la série s'éloigne de son niveau habituel, plus fort est le rappel qui la ramène ; et quand elle traverse sa moyenne, l'accélération est nulle, donc le rythme y est à son maximum. C'est la même équation qui régit tout retour à l'équilibre.